Refraction through Plane Surface and Glass Slab Questions in Hindi

(A) जब कोई वस्तु विरल माध्यम में होती है और उसे सघन माध्यम से देखा जाता है,तो आभासी वेग $v_{app}$ और वास्तविक वेग $v_{act}$ के बीच का संबंध सघन माध्यम के अपवर्तनांक $\mu$ द्वारा $v_{app} = \mu \times v_{act}$ के रूप में होता है।
यहाँ,पक्षी हवा (विरल माध्यम) में है और मछली पानी (सघन माध्यम) में है।
पानी का अपवर्तनांक $\mu = \frac{4}{3}$ है।
पक्षी की वास्तविक गति $v_{act} = 6\, m/s$ है।
इसलिए,मछली द्वारा देखी गई आभासी गति $v_{app} = \frac{4}{3} \times 6 = 8\, m/s$ होगी।

(D) चरण $1$: गोलीय सतह पर अपवर्तन।
गोलीय सतह के लिए अपवर्तन का सूत्र: $\frac{n_2}{v_1} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$.
यहाँ,$n_1 = 1$ (हवा),$n_2 = 1.5$ (कांच),$u = -\infty$,और $R = +6\, cm$.
$\frac{1.5}{v_1} - \frac{1}{-\infty} = \frac{1.5 - 1}{6} \implies \frac{1.5}{v_1} = \frac{0.5}{6}$.
$v_1 = \frac{1.5 \times 6}{0.5} = 18\, cm$.
इसका अर्थ है कि किरणें गोलीय सतह के ध्रुव से $18\, cm$ की दूरी पर अभिसरित होंगी।
चरण $2$: समतल सतह पर अपवर्तन।
किरणें कांच $(n_2 = 1.5)$ से हवा $(n_1 = 1)$ में जा रही हैं।
समतल सतह से आभासी वस्तु की दूरी $d = v_1 - R = 18 - 6 = 12\, cm$ है।
सघन माध्यम से विरल माध्यम में अपवर्तन के लिए आभासी गहराई का सूत्र उपयोग करने पर: $v = d \times \frac{n_{air}}{n_{glass}}$.
$v = 12 \times \frac{1}{1.5} = 12 \times \frac{2}{3} = 8\, cm$.
अतः,समतल सतह से अभिसरण बिंदु $F$ की अंतिम दूरी $8\, cm$ है।

(C) ऑप्टिकल पथ लंबाई $(OPL)$ को किरण की दिशा में पथ लंबाई $dx$ पर अपवर्तनांक $\mu(x)$ के समाकलन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है कि $\mu(x) = 1 + x^2$ और स्लैब $x = 0$ से $x = 1$ तक फैला है।
ऑप्टिकल पथ लंबाई इस प्रकार है:
$OPL = \int_{0}^{1} \mu(x) \, dx$
$OPL = \int_{0}^{1} (1 + x^2) \, dx$
$OPL = [x + \frac{x^3}{3}]_{0}^{1}$
$OPL = (1 + \frac{1^3}{3}) - (0 + \frac{0^3}{3})$
$OPL = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \, m$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना बर्तन में भरे पानी की ऊँचाई $x$ है। पानी की आभासी गहराई $d_{app} = \frac{x}{\mu}$ द्वारा दी जाती है।
बर्तन के खाली हिस्से की ऊँचाई $(21 - x)$ है।
प्रश्न के अनुसार,बर्तन $20\%$ भरा हुआ दिखाई देता है। इसका मतलब है कि पानी की आभासी गहराई और खाली हिस्से की ऊँचाई का अनुपात $20:80$ या $1:4$ है।
अतः,$\frac{d_{app}}{21 - x} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$ है।
$d_{app} = \frac{x}{4/3} = \frac{3x}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{3x/4}{21 - x} = \frac{1}{4}$
$3x = 21 - x$
$4x = 21$
$x = 5.25 \, cm$.

(C) माना कांच के स्लैब की मोटाई $x$ है।
जब एक तरफ से देखा जाता है,तो आभासी गहराई $d_1 = 5 \ cm$ है।
जब दूसरी तरफ से देखा जाता है,तो आभासी गहराई $d_2 = 2 \ cm$ है।
वास्तविक गहराई और आभासी गहराई के बीच का संबंध $\mu = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{\text{आभासी गहराई}}$ द्वारा दिया जाता है।
माना $x_1$ पहली तरफ से बुलबुले की वास्तविक दूरी है और $x_2$ दूसरी तरफ से वास्तविक दूरी है,ताकि $x_1 + x_2 = x$ हो।
सूत्र के अनुसार,$x_1 = \mu d_1 = 1.5 \times 5 = 7.5 \ cm$।
इसी प्रकार,$x_2 = \mu d_2 = 1.5 \times 2 = 3.0 \ cm$।
अतः,स्लैब की कुल मोटाई $x = x_1 + x_2 = 7.5 + 3.0 = 10.5 \ cm$ है।

(B) दो अमिश्रणीय द्रवों के संयोजन की आभासी गहराई $(d_{app})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$d_{app} = \frac{t_1}{\mu_1} + \frac{t_2}{\mu_2}$
जहाँ $t_1$ और $t_2$ वास्तविक मोटाई हैं और $\mu_1$ और $\mu_2$ दो द्रवों के अपवर्तनांक हैं।
दिया गया है:
पानी की मोटाई $(t_w) = 5\,cm$,पानी का अपवर्तनांक $(\mu_w) = 5/3$.
तेल की मोटाई $(t_o) = 3\,cm$,तेल का अपवर्तनांक $(\mu_o) = ?$.
आभासी गहराई $(d_{app}) = 36/7\,cm$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{36}{7} = \frac{5}{5/3} + \frac{3}{\mu_o}$
$\frac{36}{7} = 3 + \frac{3}{\mu_o}$
$\frac{3}{\mu_o} = \frac{36}{7} - 3$
$\frac{3}{\mu_o} = \frac{36 - 21}{7} = \frac{15}{7}$
$\mu_o = \frac{3 \times 7}{15} = \frac{21}{15} = 1.4$
अतः,तेल का अपवर्तनांक $1.4$ है।

(A) जब विभिन्न रंगों (तरंग दैर्ध्य) से बना प्रकाश का पुंज कांच के स्लैब में प्रवेश करता है, तो उसका अपवर्तन होता है। स्नेल के नियम के अनुसार, कांच का अपवर्तनांक प्रकाश की तरंग दैर्ध्य पर निर्भर करता है $(\mu_{red} < \mu_{green})$।
अपवर्तनांक अलग होने के कारण, स्लैब के अंदर लाल और हरी किरणों के लिए अपवर्तन के कोण अलग-अलग होते हैं।
परिणामस्वरूप, किरणें स्लैब के अंदर अलग-अलग रास्तों पर चलती हैं और विपरीत समानांतर सतह पर दो अलग-अलग बिंदुओं से बाहर निकलती हैं।
हालाँकि, चूंकि कांच के स्लैब की दोनों सतहें समानांतर होती हैं, इसलिए बाहर निकलने वाली किरणें आपतित किरण के समानांतर होंगी और इसलिए, एक-दूसरे के भी समानांतर होंगी।

(C) $t$ मोटाई वाले कांच के स्लैब द्वारा उत्पन्न पार्श्व विस्थापन $d$ का सूत्र है:
$d = \frac{t \sin(i - r)}{\cos r}$
छोटे कोणों के लिए,हम $\sin(i - r) \approx i - r$ और $\cos r \approx 1$ का सन्निकटन उपयोग कर सकते हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$d \approx t(i - r)$
इसे दिए गए विकल्पों के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम $i$ को कॉमन लेते हैं:
$d = ti \left( 1 - \frac{r}{i} \right)$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) जब किसी वस्तु को एक अलग माध्यम से लगभग लंबवत आपतन पर देखा जाता है,तो अपवर्तन के कारण आभासी गहराई बदल जाती है,लेकिन पार्श्व आयाम (सतह के समानांतर आयाम) अपरिवर्तित रहते हैं।
चूंकि $l$ लंबाई की वस्तु $AB$ को $d$ गहराई पर रखा गया है,यदि लंबाई $l$ पानी की सतह के समानांतर है,तो इसकी पार्श्व लंबाई में कोई आवर्धन या कमी नहीं होती है।
इसलिए,प्रतिबिंब की लंबाई वस्तु की वास्तविक लंबाई के बराबर रहती है,जो कि $l$ है।

(C) बिंदु स्रोत से आने वाला प्रकाश ऊपरी सतह से तभी बाहर निकलेगा यदि ऊपरी सतह पर आपतन कोण क्रांतिक कोण $C$ से कम या उसके बराबर हो।
वृत्ताकार क्षेत्र की त्रिज्या $R$ का सूत्र $R = \frac{h}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ है,जहाँ $h$ स्लैब की मोटाई है और $\mu$ अपवर्तनांक है।
दिया गया है: $h = 8 \, cm$ और $\mu = \frac{5}{3}$।
मान रखने पर:
$R = \frac{8}{\sqrt{(\frac{5}{3})^2 - 1}}$
$R = \frac{8}{\sqrt{\frac{25}{9} - 1}}$
$R = \frac{8}{\sqrt{\frac{16}{9}}}$
$R = \frac{8}{4/3} = \frac{8 \times 3}{4} = 6 \, cm$.

(A) जब प्रकाश की किरण $\mu_{surrounding}$ अपवर्तनांक वाले माध्यम से $\mu_{slab}$ अपवर्तनांक वाले $t$ मोटाई के स्लैब से गुजरती है,तो उत्पन्न विस्थापन $\Delta x = t(1 - \frac{\mu_{surrounding}}{\mu_{slab}})$ द्वारा दिया जाता है।
तीनों स्लैब द्वारा उत्पन्न कुल विस्थापन:
$\Delta x_{total} = 45(1 - \frac{4/3}{1.5}) + 24(1 - \frac{4/3}{1}) + 54(1 - \frac{4/3}{1.5})$
$= 45(1 - \frac{4/3}{3/2}) + 24(1 - 4/3) + 54(1 - \frac{4/3}{3/2})$
$= 45(1 - 8/9) + 24(-1/3) + 54(1 - 8/9)$
$= 45(1/9) - 8 + 54(1/9)$
$= 5 - 8 + 6 = 3 \, cm$.
दर्पण से वस्तु की वास्तविक दूरी $d_{real} = 20 + 45 + 24 + 54 + 10 = 153 \, cm$ है।
दर्पण से वस्तु की आभासी दूरी $d_{apparent} = d_{real} - \Delta x_{total} = 153 - 3 = 150 \, cm$ है।
चूंकि आभासी दूरी वक्रता त्रिज्या $(R = 150 \, cm)$ के बराबर है,इसलिए वस्तु वक्रता केंद्र पर स्थित प्रतीत होती है। अतः,अंतिम प्रतिबिंब वस्तु पर ही बनता है।

(C) पानी की वास्तविक गहराई $d = 33.25 \, cm$ है। पानी का अपवर्तनांक $\mu = 1.33 = 4/3$ है।
पानी की सतह से वस्तु की आभासी गहराई $d' = d / \mu = 33.25 / (4/3) = 33.25 \times 0.75 = 24.9375 \, cm \approx 25 \, cm$ है।
दर्पण पानी की सतह से $15 \, cm$ ऊपर रखा गया है।
इसलिए,दर्पण से वस्तु की कुल दूरी $u = 15 \, cm + 25 \, cm = 40 \, cm$ है।
चूंकि प्रतिबिंब वस्तु के स्थान पर ही बनता है (जैसा कि अवतल दर्पण के लिए होता है जब वस्तु वक्रता केंद्र पर हो),वस्तु की दूरी $u$ वक्रता त्रिज्या $R$ के बराबर है।
अतः,$R = 40 \, cm$.
फोकस दूरी $f = R / 2 = 40 / 2 = 20 \, cm$ होगी।

(C) माना पक्षी का वास्तविक वेग $V_B$ है और मछली का वेग $V_F = 3 \, cm/s$ है।
जब पानी में एक मछली हवा में एक पक्षी को देखती है,तो पक्षी की आभासी ऊँचाई $h'$ का मान $h' = \mu h$ होता है,जहाँ $\mu = 4/3$ पानी का अपवर्तनांक है।
समय के सापेक्ष अवकलन करने पर,पानी की सतह के सापेक्ष पक्षी का आभासी वेग $V_{app} = \mu V_B = \frac{4}{3} V_B$ प्राप्त होता है।
मछली भी $3 \, cm/s$ के वेग से सतह की ओर गति कर रही है।
मछली द्वारा देखा गया पक्षी का सापेक्ष वेग,पक्षी के आभासी वेग और मछली के वेग का योग है:
$V_{rel} = V_{app} + V_F = \frac{4}{3} V_B + 3$
दिया गया है कि $V_{rel} = 19 \, cm/s$,इसलिए:
$\frac{4}{3} V_B + 3 = 19$
$\frac{4}{3} V_B = 16$
$V_B = 16 \times \frac{3}{4} = 12 \, cm/s$.

(D) मान लीजिए कि हवा के बुलबुले की दोनों सतहों से वास्तविक दूरियाँ $x_1$ और $x_2$ हैं। आभासी गहराई $d'$ और वास्तविक गहराई $d$ के बीच संबंध $d' = d / \mu$ है।
पहली सतह के लिए: $5 = x_1 / 1.5 \implies x_1 = 5 \times 1.5 = 7.5 \, cm$.
दूसरी सतह के लिए: $2 = x_2 / 1.5 \implies x_2 = 2 \times 1.5 = 3.0 \, cm$.
स्लैब की कुल मोटाई $t = x_1 + x_2 = 7.5 + 3.0 = 10.5 \, cm$ है।

(C) ट्रैवलिंग माइक्रोस्कोप का उपयोग करके कांच के स्लैब का अपवर्तनांक $(\mu)$ निर्धारित करने के लिए, हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं: $\mu = \frac{\text{वास्तविक मोटाई}}{\text{आभासी मोटाई}}$.
चरण $1$: कांच के स्लैब के बिना माइक्रोस्कोप के आधार पर एक निशान की रीडिंग लें $(R_1)$।
चरण $2$: कांच के स्लैब को निशान के ऊपर रखें और कांच के स्लैब के माध्यम से उसी निशान की रीडिंग लें $(R_2)$।
चरण $3$: कांच के स्लैब की ऊपरी सतह पर कुछ बुरादा (saw dust) या महीन पाउडर डालें और उस बुरादे की रीडिंग लें $(R_3)$।
इन तीन रीडिंग का उपयोग करके, वास्तविक मोटाई $(R_3 - R_1)$ है और आभासी मोटाई $(R_3 - R_2)$ है। इस प्रकार, अपवर्तनांक निर्धारित करने के लिए न्यूनतम $3$ रीडिंग की आवश्यकता होती है।

(C) स्लैब के संयोजन के लिए आभासी विस्थापन $\Delta x$ का सूत्र: $\Delta x = \sum d_i \left(1 - \frac{1}{\mu_i}\right)$ है।
यहाँ,हमारे पास दो परतें हैं: कांच $(d_1 = 1\, cm, \mu_1 = 1.5)$ और पानी $(d_2 = 5\, cm, \mu_2 = 1.33)$।
कांच के कारण विस्थापन: $\Delta x_1 = 1 \times (1 - \frac{1}{1.5}) = 1 \times (1 - 0.6667) = 0.3333\, cm$।
पानी के कारण विस्थापन: $\Delta x_2 = 5 \times (1 - \frac{1}{1.33}) = 5 \times (1 - 0.7519) = 5 \times 0.2481 = 1.2405\, cm$।
कुल विस्थापन = $\Delta x_1 + \Delta x_2 = 0.3333 + 1.2405 = 1.5738\, cm$।

(D) दिया गया है,वस्तु दूरी $u = -10\, cm$ और प्रतिबिंब दूरी $v = +10\, cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{10} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{2}{10} = \frac{1}{f} \Rightarrow f = 5\, cm$ प्राप्त होता है।
जब $t = 1.5\, cm$ मोटाई और $\mu = 1.5$ अपवर्तनांक वाली कांच की स्लैब को स्रोत के सामने रखा जाता है,तो वस्तु की स्थिति में आभासी विस्थापन $\Delta x = t(1 - \frac{1}{\mu}) = 1.5(1 - \frac{1}{1.5}) = 1.5(1 - \frac{2}{3}) = 1.5(\frac{1}{3}) = 0.5\, cm$ होता है।
वस्तु प्रभावी रूप से लेंस के करीब आ जाती है,इसलिए नई वस्तु दूरी $u' = -(10 - 0.5) = -9.5\, cm$ है।
नई प्रतिबिंब स्थिति $v'$ ज्ञात करने के लिए पुनः लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v'} - \frac{1}{-9.5} = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{1}{v'} = \frac{1}{5} - \frac{1}{9.5} = \frac{9.5 - 5}{47.5} = \frac{4.5}{47.5}$।
अतः,$v' = \frac{47.5}{4.5} \approx 10.55\, cm$ प्राप्त होता है।
पर्दे की स्थिति में विस्थापन $d = v' - v = 10.55 - 10 = 0.55\, cm$ लेंस से दूर की ओर होगा।

(C) आपतित तरंग की तीव्रता $I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$ है।
चूंकि $4\%$ प्रकाश परावर्तित होता है,इसलिए $96\%$ तीव्रता कांच के स्लैब में संचरित होती है।
माना $E_0'$ कांच में विद्युत क्षेत्र का आयाम है। कांच में तीव्रता $I' = \frac{1}{2} \varepsilon E_0'^2 v$ है,जहाँ $v = c/n$ और $\varepsilon = \varepsilon_0 n^2$ है।
अतः,$I' = 0.96 I$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} \varepsilon_0 n^2 E_0'^2 (c/n) = 0.96 \times \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$.
सरल करने पर,$n E_0'^2 = 0.96 E_0^2$.
यहाँ $n = 1.5$ और $E_0 = 30\, V/m$ दिया गया है:
$1.5 E_0'^2 = 0.96 \times (30)^2$.
$1.5 E_0'^2 = 0.96 \times 900 = 864$.
$E_0'^2 = 864 / 1.5 = 576$.
$E_0' = \sqrt{576} = 24\, V/m$.

(B) माना गिलास में भरे द्रव की ऊँचाई $h$ है। द्रव की आभासी गहराई $h' = \frac{h}{\mu}$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,गिलास आधा भरा हुआ दिखाई देता है। गिलास की कुल ऊँचाई $H = 21\, cm$ है।
गिलास का खाली भाग $(H - h)$ है।
गिलास के आधा भरा हुआ दिखने के लिए,द्रव की आभासी गहराई गिलास के खाली भाग की ऊँचाई के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$H - h = \frac{h}{\mu}$.
यहाँ $H = 21\, cm$ और $\mu = 1.33 \approx 4/3$ लेने पर.
$21 - h = \frac{h}{4/3} = \frac{3h}{4}$.
$21 = h + \frac{3h}{4} = \frac{7h}{4}$.
$h = \frac{21 \times 4}{7} = 3 \times 4 = 12\, cm$.

(D) मछली की आभासी गहराई $(d_{app})$ ज्ञात करने का सूत्र है: $d_{app} = \frac{d_{act}}{\mu}$,जहाँ $d_{act}$ वास्तविक गहराई है और $\mu$ पानी का अपवर्तनांक है।
यहाँ $d_{act} = 12 \, cm$ और $\mu = 4/3$ दिया गया है।
$d_{app} = \frac{12}{4/3} = 12 \times \frac{3}{4} = 9 \, cm$.
प्रतिबिंब जितनी ऊँचाई तक ऊपर उठता है (विस्थापन),वह है: $\text{Shift} = d_{act} - d_{app}$.
$\text{Shift} = 12 \, cm - 9 \, cm = 3 \, cm$.

(A) विभिन्न अपवर्तनांकों की कई परतों के माध्यम से देखी जाने वाली वस्तु की आभासी गहराई प्रत्येक परत की आभासी गहराई के योग के बराबर होती है।
$t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक परत के लिए,आभासी गहराई $t' = \frac{t}{\mu}$ होती है।
यहाँ,प्रत्येक द्रव की मोटाई $t = \frac{h}{3}$ है।
इसलिए,कुल आभासी गहराई $d_{app}$ तीन परतों की आभासी गहराई का योग है:
$d_{app} = \frac{h/3}{\mu_1} + \frac{h/3}{\mu_2} + \frac{h/3}{\mu_3}$
$d_{app} = \frac{h}{3} \left( \frac{1}{\mu_1} + \frac{1}{\mu_2} + \frac{1}{\mu_3} \right)$.

(A) मान लीजिए कि सतह से पक्षी की दूरी $y$ है और सतह से मछली की दूरी $x$ है। मछली द्वारा देखे जाने पर पक्षी की आभासी ऊँचाई $H_{app} = \mu y + x$ द्वारा दी जाती है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें मछली के सापेक्ष पक्षी का आभासी वेग प्राप्त होता है:
$v_{bf} = \frac{d}{dt}(\mu y + x) = \mu \frac{dy}{dt} + \frac{dx}{dt}$.
दिया गया है:
पक्षी का वेग,$\frac{dy}{dt} = -12\, m/s$ (नीचे की ओर,इसलिए ऋणात्मक)।
मछली का वेग,$\frac{dx}{dt} = 24\, m/s$ (नीचे की ओर,इसलिए दूरी $x$ बढ़ने के कारण धनात्मक)।
अपवर्तनांक,$\mu = 4/3$.
मान रखने पर:
$v_{bf} = \frac{4}{3}(-12) + 24$
$v_{bf} = -16 + 24 = 8\, m/s$.
चूंकि परिणाम धनात्मक है,इसलिए मछली द्वारा देखे जाने पर पक्षी $8\, m/s$ के वेग से ऊपर की ओर गति करता हुआ प्रतीत होता है।

(B) माना कि हवा के बुलबुले की पहली और दूसरी सतह से वास्तविक दूरियाँ क्रमशः $t_1$ और $t_2$ हैं।
आभासी गहराई $d'$ और वास्तविक गहराई $d$ के बीच का संबंध $d' = \frac{d}{\mu}$ है।
$(1)$ पहली सतह से देखने पर:
$5 = \frac{t_1}{1.5} \Rightarrow t_1 = 5 \times 1.5 = 7.5 \, cm$.
$(2)$ दूसरी सतह से देखने पर:
$2 = \frac{t_2}{1.5} \Rightarrow t_2 = 2 \times 1.5 = 3.0 \, cm$.
स्लैब की कुल मोटाई $T = t_1 + t_2$ है।
$T = 7.5 \, cm + 3.0 \, cm = 10.5 \, cm$.

(D) प्रतिबिंब के अनंत पर बनने के लिए,वस्तु को उत्तल लेंस के मुख्य फोकस पर स्थित होना चाहिए।
लेंस से वस्तु की मूल दूरी $u = 25 \, cm$ है। लेंस की फोकस दूरी $f = 20 \, cm$ है।
जब $t$ मोटाई और $\mu = 1.5$ अपवर्तनांक वाली कांच की स्लैब डाली जाती है,तो वस्तु लेंस की ओर $x$ दूरी से विस्थापित प्रतीत होती है,जो इस प्रकार है:
$x = t \left( 1 - \frac{1}{\mu} \right)$
मान रखने पर:
$x = t \left( 1 - \frac{1}{1.5} \right) = t \left( 1 - \frac{2}{3} \right) = \frac{t}{3}$
लेंस से वस्तु की नई प्रभावी दूरी $u' = u - x = 25 - \frac{t}{3}$ हो जाती है।
चूंकि प्रतिबिंब अनंत पर बनता है,इसलिए प्रभावी वस्तु दूरी फोकस दूरी के बराबर होनी चाहिए:
$25 - \frac{t}{3} = 20$
$t$ के लिए हल करने पर:
$\frac{t}{3} = 25 - 20 = 5$
$t = 15 \, cm$.

(A) कांच की स्लैब के माध्यम से देखी जाने वाली वस्तु की स्थिति में आभासी विस्थापन का सूत्र है: $x = t(1 - \frac{1}{\mu})$,
जहाँ $t$ कांच की स्लैब की मोटाई है और $\mu$ कांच का अपवर्तनांक है।
दिया गया है:
कांच की स्लैब की मोटाई,$t = 15 \, cm$
कांच का अपवर्तनांक,$\mu = 1.5$
सूत्र में मान रखने पर:
$x = 15 \times (1 - \frac{1}{1.5})$
$x = 15 \times (1 - \frac{2}{3})$
$x = 15 \times (\frac{1}{3})$
$x = 5 \, cm$
अतः,पिन $5 \, cm$ की दूरी ऊपर उठी हुई दिखाई देगी।

(A) समानांतर भुजाओं वाले कांच के स्लैब द्वारा उत्पन्न पार्श्व विस्थापन $d$ का सूत्र इस प्रकार है:
$d = t \sin \theta \left( 1 - \frac{\cos \theta}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \theta}} \right)$
छोटे आपतन कोण $\theta$ के लिए,हम निम्नलिखित अनुमानों का उपयोग कर सकते हैं:
$\sin \theta \approx \theta$
$\cos \theta \approx 1$
$\sqrt{n^2 - \sin^2 \theta} \approx \sqrt{n^2} = n$
इन अनुमानों को सूत्र में रखने पर:
$d \approx t \theta \left( 1 - \frac{1}{n} \right)$
$d \approx t \theta \left( \frac{n - 1}{n} \right)$
$d = \frac{t \theta (n - 1)}{n}$

(D) जब किसी वस्तु से प्रकाश की किरणें एक कोण पर रखी कांच की स्लैब से गुजरती हैं,तो उनका अपवर्तन होता है। स्लैब में प्रवेश करते समय प्रकाश की किरणें अभिलंब की ओर और बाहर निकलते समय अभिलंब से दूर पार्श्व विस्थापन (lateral shift) का अनुभव करती हैं। इस पार्श्व विस्थापन के कारण वस्तु का प्रतिबिंब स्लैब के झुकाव की दिशा में स्थानांतरित दिखाई देता है। चूंकि स्लैब तिरछी है,इसलिए दोनों बिंदुओं से आने वाली किरणें समान पार्श्व विस्थापन का अनुभव करती हैं। हालांकि,चूंकि किरणें एक कोण पर आपतित होती हैं,इसलिए प्रत्येक बिंदु की आभासी स्थिति स्थानांतरित हो जाती है। पार्श्व विस्थापन $d = t \sin(i - r) / \cos(r)$ द्वारा दिया जाता है,जहां $t$ स्लैब की मोटाई है,$i$ आपतन कोण है और $r$ अपवर्तन कोण है। स्लैब के तिरछे होने के कारण,दोनों बिंदुओं से आने वाली किरणें इस तरह से स्थानांतरित होती हैं कि प्रेक्षक को वे एक-दूसरे के करीब दिखाई देती हैं। अतः,बिंदु एक-दूसरे के करीब दिखाई देते हैं।

(A) किसी माध्यम में वस्तु की आभासी गहराई $d' = \frac{d}{\mu}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d$ वास्तविक गहराई है और $\mu$ अपवर्तनांक है।
यहाँ,$x$ कुल गहराई वाला बर्तन प्रत्येक $\frac{x}{2}$ गहराई की दो परतों में विभाजित है।
पहली परत $\mu_1$ अपवर्तनांक वाला तेल है,इसलिए इसकी आभासी गहराई $d_1 = \frac{x/2}{\mu_1} = \frac{x}{2\mu_1}$ है।
दूसरी परत $\mu_2$ अपवर्तनांक वाला पानी है,इसलिए इसकी आभासी गहराई $d_2 = \frac{x/2}{\mu_2} = \frac{x}{2\mu_2}$ है।
कुल आभासी गहराई दोनों परतों की आभासी गहराई का योग है:
$d_{total} = d_1 + d_2 = \frac{x}{2\mu_1} + \frac{x}{2\mu_2} = \frac{x}{2} \left( \frac{1}{\mu_1} + \frac{1}{\mu_2} \right) = \frac{x}{2} \left( \frac{\mu_1 + \mu_2}{\mu_1\mu_2} \right) = \frac{x(\mu_1 + \mu_2)}{2\mu_1\mu_2}$.

(A) आभासी गहराई $d'$ का सूत्र $d' = \frac{d}{\mu}$ है,जहाँ $d$ वास्तविक गहराई है और $\mu$ द्रव का अपवर्तनांक है।
पानी के लिए,आभासी गहराई $9.4\,cm$ है,जहाँ $\mu_1 = 1.33$ और $d = 12.5\,cm$ है।
जब पानी को $1.5$ अपवर्तनांक वाले द्रव से बदल दिया जाता है,तो नई आभासी गहराई $d_2$ इस प्रकार है:
$d_2 = \frac{12.5}{1.5} \approx 8.33\,cm$.
सूक्ष्मदर्शी शुरू में $9.4\,cm$ पर केंद्रित था। सुई पर फिर से फोकस करने के लिए,इसे आभासी गहराई के अंतर के बराबर स्थानांतरित करना होगा:
$\Delta d = 9.4 - 8.33 = 1.07\,cm \approx 1.1\,cm$.

(D) मान लीजिए कि पहले मामले में द्रव की वास्तविक गहराई $H_{R1}$ है और आभासी गहराई $H_{app1}$ है। मेज पर निशान के लिए सूक्ष्मदर्शी की रीडिंग $a$ है और सतह के लिए $b$ है। अतः,आभासी गहराई $H_{app1} = b - a$ है।
हम जानते हैं कि अपवर्तनांक $\mu = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{\text{आभासी गहराई}}$,इसलिए $H_{R1} = \mu(b - a)$ .......$(1)$
दूसरे मामले में,अधिक द्रव डालने के बाद,निशान के लिए रीडिंग $c$ है और सतह के लिए $d$ है। आभासी गहराई $H_{app2} = d - c$ है।
अतः,$H_{R2} = \mu(d - c)$ .......$(2)$
वास्तविक गहराई में अंतर मिलाया गया अतिरिक्त द्रव है,जो सतह के स्तर की रीडिंग में परिवर्तन के अनुरूप है: $H_{R2} - H_{R1} = d - b$ .......$(3)$
$(1)$ और $(2)$ को $(3)$ में रखने पर:
$\mu(d - c) - \mu(b - a) = d - b$
$\mu(d - c - b + a) = d - b$
$\mu = \frac{d - b}{d - c - b + a}$

(C) मान लीजिए कि हवा में एकवर्णी प्रकाश की तरंग दैर्ध्य $\lambda$ है। $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में प्रकाश की तरंग दैर्ध्य $\lambda_m = \frac{\lambda}{\mu}$ द्वारा दी जाती है।
$d$ मोटाई के स्लैब में तरंग दैर्ध्य की संख्या $N$,$N = \frac{d}{\lambda_m} = \frac{d \cdot \mu}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
स्लैब $X$ के लिए (मोटाई $t$,अपवर्तनांक $1.5$):
$N_X = \frac{t \cdot 1.5}{\lambda}$.
दूसरा स्लैब दो भागों $Y$ और $Z$ से बना है,जिनकी मोटाई $t_Y = \frac{t}{3}$ और $t_Z = \frac{2t}{3}$ है। मान लीजिए कि $Y$ का अपवर्तनांक $\mu_Y$ है।
$N_{YZ} = \frac{t_Y \cdot \mu_Y}{\lambda} + \frac{t_Z \cdot 1.6}{\lambda} = \frac{(t/3) \cdot \mu_Y}{\lambda} + \frac{(2t/3) \cdot 1.6}{\lambda}$.
यह दिया गया है कि दोनों स्लैब में तरंग दैर्ध्य की संख्या समान है $(N_X = N_{YZ})$:
$\frac{1.5 t}{\lambda} = \frac{t \cdot \mu_Y}{3 \lambda} + \frac{2t \cdot 1.6}{3 \lambda}$.
दोनों पक्षों को $t/\lambda$ से विभाजित करने पर:
$1.5 = \frac{\mu_Y}{3} + \frac{3.2}{3}$.
$3$ से गुणा करने पर:
$4.5 = \mu_Y + 3.2$.
$\mu_Y = 4.5 - 3.2 = 1.3$.

(B) द्रवों की कई परतों के माध्यम से देखी जाने वाली वस्तु की आभासी गहराई $(d_{app})$ प्रत्येक परत की आभासी गहराई के योग के बराबर होती है: $d_{app} = \sum \frac{h_i}{\mu_i}$.
यहाँ, कुल गहराई $2h$ है। निचले आधे भाग की गहराई $h$ है और अपवर्तनांक $\mu_1 = 2\sqrt{2}$ है। ऊपरी आधे भाग की गहराई $h$ है और अपवर्तनांक $\mu_2 = \sqrt{2}$ है।
ऊपर से देखने पर तल की सतह की आभासी गहराई:
$d_{app} = \frac{h_1}{\mu_1} + \frac{h_2}{\mu_2}$
$d_{app} = \frac{h}{2\sqrt{2}} + \frac{h}{\sqrt{2}}$
$d_{app} = \frac{h + 2h}{2\sqrt{2}} = \frac{3h}{2\sqrt{2}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$d_{app} = \frac{3h \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}h}{4} = \frac{3}{4}h\sqrt{2}$.

(5 CM) कांच की स्लैब के भीतर पिन की वास्तविक गहराई $d = 15 \, cm$ है।
पिन की आभासी गहराई $d^{\prime} = \frac{d}{\mu}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu = 1.5$ कांच का अपवर्तनांक है।
$d^{\prime} = \frac{15}{1.5} = 10 \, cm$.
वह विस्थापन या दूरी जिससे पिन ऊपर उठी हुई दिखाई देती है,$\Delta d = d - d^{\prime}$ द्वारा दी जाती है।
$\Delta d = 15 \, cm - 10 \, cm = 5 \, cm$.
चूंकि यह विस्थापन केवल स्लैब की मोटाई और उसके अपवर्तनांक पर निर्भर करता है,इसलिए उत्तर स्लैब के स्थान पर निर्भर नहीं करता है।

(N/A) जब प्रकाश की किरण एक आयताकार कांच के स्लैब से गुजरती है,तो दो समानांतर अंतरापृष्ठों (हवा-कांच और कांच-हवा) पर अपवर्तन होता है।
$1$. पहले अंतरापृष्ठ (हवा-कांच) पर,प्रकाश की किरण सघन माध्यम में प्रवेश करते समय अभिलंब की ओर झुक जाती है।
$2$. दूसरे अंतरापृष्ठ (कांच-हवा) पर,प्रकाश की किरण विरल माध्यम में प्रवेश करते समय अभिलंब से दूर हट जाती है।
$3$. स्नेल के नियम के अनुसार,पहली सतह पर आपतन कोण $(i_1)$ दूसरी सतह पर निर्गत कोण ($e$ या आरेख में $r_2$) के बराबर होता है। इस प्रकार,निर्गत किरण आपतित किरण के समानांतर होती है।
$4$. यद्यपि प्रकाश किरण की दिशा अपरिवर्तित रहती है,लेकिन यह अपने मूल पथ से लंबवत विस्थापित हो जाती है। आपतित किरण के पथ और निर्गत किरण के बीच की इस लंबवत दूरी को पार्श्व विस्थापन (lateral shift) कहा जाता है।

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार,टंकी का तल $n_{2} = n$ अपवर्तनांक वाले सघन माध्यम (पानी) में $h_{2}$ वास्तविक गहराई पर है।
जब तल को लंबवत देखा जाता है,तो यह चित्र $(a)$ में दिखाए अनुसार $O$ के बजाय $O^{\prime}$ पर दिखाई देता है। जब इसे अभिलंब से किसी कोण पर देखा जाता है,तो यह चित्र $(b)$ में दिखाए अनुसार $O^{\prime}$ पर दिखाई देता है। वास्तविक गहराई $h_{2}$ है और आभासी गहराई $h_{1}$ है।
अपवर्तनांक और गहराई के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\frac{\text{हवा का अपवर्तनांक } (n_{1})}{\text{सघन माध्यम का अपवर्तनांक } (n_{2})} = \frac{\text{आभासी गहराई } (h_{1})}{\text{वास्तविक गहराई } (h_{2})}$
चूंकि हवा के लिए $n_{1} = 1$ और सघन माध्यम के लिए $n_{2} = n$ है:
$\frac{1}{n} = \frac{h_{1}}{h_{2}}$
अतः,संबंध है:
$n = \frac{h_{2}}{h_{1}} = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{\text{आभासी गहराई}}$
इस प्रकार,आभासी गहराई है:
$h_{1} = \frac{h_{2}}{n} = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{\text{सघन माध्यम का अपवर्तनांक}}$

(N/A) पार्श्व विस्थापन को आपतित किरण और निर्गत किरण के बीच की लंबवत दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है,जब प्रकाश एक समानांतर-पक्षीय कांच के स्लैब से होकर गुजरता है।
जब प्रकाश की किरण कांच के स्लैब में प्रवेश करती है,तो वह पहली सतह पर अपवर्तन से गुजरती है और अभिलंब की ओर झुक जाती है।
दूसरी सतह पर,यह फिर से अपवर्तन से गुजरती है और अभिलंब से दूर झुक जाती है।
इन दो अपवर्तनों के कारण,निर्गत किरण आपतित किरण के समानांतर होती है लेकिन पार्श्व रूप से विस्थापित हो जाती है।
पार्श्व विस्थापन $(s)$ का परिमाण इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $s = \frac{t \sin(i - r)}{\cos(r)}$,जहाँ $t$ स्लैब की मोटाई है,$i$ आपतन कोण है,और $r$ अपवर्तन कोण है।

(N/A) जब किसी वस्तु को $\mu_2$ अपवर्तनांक वाले सघन माध्यम में रखा जाता है और $\mu_1$ अपवर्तनांक वाले विरल माध्यम से देखा जाता है,तो वस्तु से निकलने वाली प्रकाश किरणें अंतरापृष्ठ पर अपवर्तित होती हैं।
स्नेल के नियम और अपवर्तन की ज्यामिति के अनुसार,वास्तविक गहराई $(d)$ और आभासी गहराई $(d')$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$d' = d \times \frac{\mu_1}{\mu_2}$
जहाँ:
$d$ = वस्तु की वास्तविक गहराई।
$d'$ = वस्तु की आभासी गहराई।
$\mu_1$ = उस माध्यम का अपवर्तनांक जहाँ से प्रेक्षक देख रहा है (जैसे हवा,$\mu_1 \approx 1$)।
$\mu_2$ = उस माध्यम का अपवर्तनांक जिसमें वस्तु स्थित है।

(N/A) जब $\mu_2$ अपवर्तनांक वाले माध्यम से देखा जाता है,तो $\mu_1$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में स्थित वस्तु की आभासी गहराई $d' = d \times (\frac{\mu_2}{\mu_1})$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए बिंदु $P$ पर है। प्रेक्षक हवा में है $(\mu_{air} = 1)$।
$1$. दूसरे द्रव $(\mu_2)$ से देखे जाने पर $P$ की आभासी गहराई:
$x_1 = \frac{h}{3} \times (\frac{\mu_2}{\mu_1})$.
$2$. तीसरे द्रव $(\mu_3)$ से देखे जाने पर प्रतिबिंब $P_1$ की आभासी गहराई:
वास्तविक गहराई $h_2 = \frac{h}{3} + x_1$ है।
$x_2 = (\frac{h}{3} + x_1) \times (\frac{\mu_3}{\mu_2}) = \frac{h}{3} \times \frac{\mu_3}{\mu_2} + \frac{h}{3} \times \frac{\mu_3}{\mu_1}$.
$3$. हवा $(\mu_{air} = 1)$ से देखे जाने पर प्रतिबिंब $P_2$ की आभासी गहराई:
वास्तविक गहराई $h_3 = \frac{h}{3} + x_2$ है।
$x_3 = (\frac{h}{3} + x_2) \times (\frac{1}{\mu_3}) = \frac{h}{3} \times \frac{1}{\mu_3} + \frac{x_2}{\mu_3}$.
$x_2$ का मान रखने पर:
$x_3 = \frac{h}{3} (\frac{1}{\mu_3} + \frac{1}{\mu_2} + \frac{1}{\mu_1})$.
अतः,आभासी गहराई $\frac{h}{3} (\frac{1}{\mu_1} + \frac{1}{\mu_2} + \frac{1}{\mu_3})$ है।

(B) माना गिलास में पानी की वास्तविक ऊंचाई $H$ है। पानी का अपवर्तनांक $\mu_w = 4/3$ है।
ऊपर से देखने वाले प्रेक्षक के लिए पानी की आभासी गहराई $d_{app} = \frac{H}{\mu_w} = \frac{H}{4/3} = \frac{3H}{4}$ होगी।
गिलास के खाली हिस्से (हवा का स्तंभ) की ऊंचाई $17.5 - H$ है।
प्रश्न के अनुसार,छात्र को लगता है कि गिलास आधा भरा हुआ है,जिसका अर्थ है कि पानी की आभासी गहराई गिलास के खाली हिस्से की ऊंचाई के बराबर दिखाई देती है।
इसलिए,$\frac{3H}{4} = 17.5 - H$.
दोनों पक्षों में $H$ जोड़ने पर: $\frac{3H}{4} + H = 17.5$.
$\frac{7H}{4} = 17.5$.
$H = \frac{17.5 \times 4}{7} = 2.5 \times 4 = 10 \, cm$.

(B) पार्श्व विस्थापन $d$ का सूत्र है: $d = t \frac{\sin(i-r)}{\cos r}$,जहाँ $t$ मोटाई है,$i$ आपतन कोण है और $r$ अपवर्तन कोण है।
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: $\sin i = \mu \sin r \Rightarrow \sin 60^{\circ} = \sqrt{3} \sin r$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin r \Rightarrow \sin r = \frac{1}{2} \Rightarrow r = 30^{\circ}$.
अब,मानों को पार्श्व विस्थापन के सूत्र में रखने पर:
$4\sqrt{3} = t \frac{\sin(60^{\circ}-30^{\circ})}{\cos 30^{\circ}}$.
$4\sqrt{3} = t \frac{\sin 30^{\circ}}{\cos 30^{\circ}} = t \tan 30^{\circ}$.
$4\sqrt{3} = t \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.
$t = 4\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 4 \times 3 = 12 \, cm$.

(A) लेजर किरण ऊपरी सतह पर आंशिक परावर्तन और आंशिक अपवर्तन का अनुभव करती है। अपवर्तित किरण कांच के माध्यम से यात्रा करती है,पीछे के दर्पण से परावर्तित होती है और कांच के स्लैब से बाहर निकलती है।
मान लीजिए कि आपतन कोण $\theta$ है और अपवर्तन कोण $r$ है। स्नेल के नियम के अनुसार,$\sin \theta = n \sin r$,इसलिए $\sin r = \frac{\sin \theta}{n}$।
पहले परावर्तन के बिंदु (ऊपरी सतह पर) और उस बिंदु के बीच की क्षैतिज दूरी जहाँ अपवर्तित किरण स्लैब से बाहर निकलती है,$x = 2t \tan r$ है।
पर्दे पर,दो किरणें (एक ऊपरी सतह से परावर्तित,एक निचली सतह से) बिंदु बनाती हैं। इन बिंदुओं के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी $h_1 - h_2$ क्षैतिज दूरी $d_1 - d_2$ से $\tan \theta = \frac{d_1 - d_2}{h_1 - h_2}$ द्वारा संबंधित है।
अतः,दूरी $h_1 - h_2 = \frac{2t \tan r}{\tan \theta}$ है।
$\tan r = \frac{\sin r}{\cos r} = \frac{\sin \theta / n}{\sqrt{1 - (\sin \theta / n)^2}} = \frac{\sin \theta}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \theta}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$h_1 - h_2 = \frac{2t}{\tan \theta} \cdot \frac{\sin \theta}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \theta}} = \frac{2t \cos \theta}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \theta}}$।

(B) एक से अधिक माध्यमों वाली प्रणाली के लिए आभासी गहराई $d$ का सूत्र इस प्रकार है:
$d = \frac{d_1}{\mu_1} + \frac{d_2}{\mu_2}$
जहाँ $d_1$ और $d_2$ माध्यमों की मोटाई हैं और $\mu_1$ और $\mu_2$ उनके संबंधित अपवर्तनांक हैं।
यहाँ,पानी के लिए: $d_1 = 5 \,cm$ और $\mu_1 = 1.33$ है।
कांच की स्लैब के लिए: $d_2 = 2 \,cm$ और $\mu_2 = 1.5$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{5}{1.33} + \frac{2}{1.5}$
$d \approx 3.759 + 1.333$
$d \approx 5.092 \,cm$.
निकटतम मान में पूर्णांकित करने पर,हमें $d \approx 5.1 \,cm$ प्राप्त होता है।

(A) जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक समानांतर कांच की स्लैब को अभिसारी किरण पुंज के पथ में रखा जाता है,तो प्रकाश की किरणें कांच में प्रवेश करते समय अभिलंब की ओर और बाहर निकलते समय अभिलंब से दूर अपवर्तित होती हैं।
इसके कारण अभिसरण बिंदु आपतित प्रकाश की दिशा में विस्थापित हो जाता है।
कांच की स्लैब द्वारा उत्पन्न अनुदैर्ध्य विस्थापन $\Delta x$ सूत्र $\Delta x = t(1 - 1/\mu)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि विस्थापन आपतित प्रकाश की दिशा में होता है,इसलिए अभिसरण बिंदु स्लैब से दूर (मूल स्थिति से आगे) खिसक जाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) जब एक सूक्ष्मदर्शी को बीकर के तल पर स्थित वस्तु पर केंद्रित किया जाता है,और फिर सूक्ष्मदर्शी को $h = 1 \,cm$ की दूरी तक ऊपर उठाया जाता है,तो वस्तु को फिर से फोकस में लाने के लिए प्रतिबिंब को भी उसी दूरी $h$ से ऊपर की ओर विस्थापित होना चाहिए।
पानी के कारण वस्तु की स्थिति में आभासी विस्थापन का सूत्र है: $\Delta x = d \left(1 - \frac{1}{\mu}\right)$,जहाँ $d$ पानी की गहराई है और $\mu$ अपवर्तनांक है।
यहाँ विस्थापन $\Delta x = 1 \,cm$ और $\mu = \frac{4}{3}$ दिया गया है,इसलिए:
$1 = d \left(1 - \frac{1}{4/3}\right)$
$1 = d \left(1 - \frac{3}{4}\right)$
$1 = d \left(\frac{1}{4}\right)$
$d = 4 \,cm$.
अतः,$4 \,cm$ की गहराई तक पानी डाला जाना चाहिए।

(D) जब प्रकाश की किरण समानांतर सतहों वाले कांच के स्लैब से गुजरती है,तो निर्गत किरण आपतित किरण के समानांतर होती है।
दी गई आकृति में,किरण $1$ आपतित लाल किरण है और किरण $5$ निर्गत लाल किरण है। चूंकि कांच के स्लैब की सतहें समानांतर हैं,इसलिए निर्गत किरण $5$,आपतित किरण $1$ के समानांतर है।
इसी प्रकार,किरण $2$ आपतित बैंगनी किरण है और किरण $6$ निर्गत बैंगनी किरण है। अतः,निर्गत किरण $6$,आपतित किरण $2$ के समानांतर है।
चूंकि आपतित किरणें $1$ और $2$ एक-दूसरे के समानांतर हैं,इसलिए सभी निर्गत किरणें ($5$ और $6$) भी आपतित किरणों ($1$ और $2$) के समानांतर होंगी।
इसलिए,निर्गत किरण $5$,आपतित किरण $2$ (और $1$) के समानांतर है।
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(A) कांच की स्लैब के माध्यम से देखी गई वस्तु की स्थिति में आभासी विस्थापन (shift) का सूत्र है: $\Delta t = t(1 - \frac{1}{\mu})$,जहाँ $t$ स्लैब की मोटाई है और $\mu$ पदार्थ का अपवर्तनांक है।
दी गई स्लैब के लिए,विस्थापन $\Delta t$ अपवर्तनांक $\mu$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है (जैसे-जैसे $\mu$ बढ़ता है,विस्थापन बढ़ता है)।
जो अक्षर सबसे कम ऊपर उठा हुआ दिखाई देता है,वह न्यूनतम विस्थापन को दर्शाता है,जो उस रंग के लिए होता है जिसका अपवर्तनांक सबसे कम होता है।
कॉची के समीकरण के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu$ बैंगनी रंग के लिए सबसे अधिक और लाल रंग के लिए सबसे कम होता है।
चूंकि लाल रंग $(R)$ का अपवर्तनांक सबसे कम है,इसलिए इसमें सबसे कम विस्थापन होता है और इस प्रकार यह सबसे कम ऊपर उठा हुआ दिखाई देता है।

(C) अपवर्तनांक $\mu$ और लंबाई $L$ वाले माध्यम में एक किरण की प्रकाशिक पथ लंबाई (optical path length) $\Delta x = \mu L$ द्वारा दी जाती है।
दोनों किरणों के लिए,प्रकाशिक पथ लंबाई क्रमशः $\mu_1 L$ और $\mu_2 L$ है।
बाहर निकलने वाली किरणों के बीच पथ का अंतर $\Delta = |\mu_1 L - \mu_2 L| = (\mu_1 - \mu_2) L$ है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta$ के बीच का संबंध $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta$ है।
पथ अंतर का मान रखने पर,हमें $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} (\mu_1 - \mu_2) L$ प्राप्त होता है।

(D) कांच-हवा इंटरफेस के लिए क्रांतिक कोण $c$ का मान $\sin c = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$c = 45^{\circ}$।
दिया गया है कि आपतन कोण $i = c = 45^{\circ}$ है।
पहले इंटरफेस पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $1 \cdot \sin i = \mu \cdot \sin r$,जहाँ $r$ अपवर्तन कोण है।
$\sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \cdot \sin r \implies \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \sin r \implies \sin r = \frac{1}{2}$।
अतः,$r = 30^{\circ}$।
पार्श्व विस्थापन $x$ का सूत्र: $x = t \frac{\sin(i - r)}{\cos r}$ है।
मान रखने पर: $x = \sqrt{3} \cdot \frac{\sin(45^{\circ} - 30^{\circ})}{\cos 30^{\circ}}$।
$x = \sqrt{3} \cdot \frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 30^{\circ}} = \sqrt{3} \cdot \frac{0.26}{\sqrt{3}/2} = 0.26 \cdot 2 = 0.52 \, cm$।
अतः,$x = 52 \times 10^{-2} \, cm$।

(A) जब $\mu$ अपवर्तनांक वाले द्रव को $h$ ऊँचाई तक बाल्टी में डाला जाता है,तो तल पर स्थित वस्तु की आभासी गहराई बदल जाती है।
वस्तु की स्थिति में आभासी विस्थापन का सूत्र है: $\Delta x = h \left(1 - \frac{1}{\mu}\right)$.
यहाँ दिया गया है कि विस्थापन $\Delta x = 30\,cm$ और अपवर्तनांक $\mu = \frac{5}{3}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$30 = h \left(1 - \frac{1}{5/3}\right)$
$30 = h \left(1 - \frac{3}{5}\right)$
$30 = h \left(\frac{2}{5}\right)$
$h = \frac{30 \times 5}{2} = 15 \times 5 = 75\,cm$.
अतः,बाल्टी में द्रव की ऊँचाई $75\,cm$ है।

(A) बल्ब पानी की सतह से $8\,cm$ की गहराई पर टंकी के तल पर स्थित है। अपवर्तन के कारण,ऊपर से देखने पर बल्ब की आभासी गहराई $d' = \frac{d}{\mu} = \frac{8}{4/3} = 6\,cm$ होती है।
बल्ब की आभासी स्थिति पानी की सतह से $6\,cm$ नीचे है। इस आभासी स्थिति की समतल दर्पण से दूरी $50 - 6 = 44\,cm$ है।
समतल दर्पण अपने पीछे उतनी ही दूरी पर प्रतिबिंब बनाता है। अतः,प्रतिबिंब $I_2$ दर्पण के पीछे $44\,cm$ की दूरी पर बनता है।
टंकी के तल से प्रतिबिंब $I_2$ की कुल दूरी,तल से दर्पण तक की दूरी $(50\,cm)$ और दर्पण से प्रतिबिंब तक की दूरी $(44\,cm)$ का योग है।
कुल दूरी $= 50 + 44 = 94\,cm$.