Refraction of Light Questions in Gujarati

(D) તરંગો માટે સ્નેલના નિયમ મુજબ,આપાતકોણના સાઈન અને વક્રીભવન કોણના સાઈનનો ગુણોત્તર તે માધ્યમોમાં તરંગના વેગના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે:
$\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_1}{v_2}$
આપેલ છે:
આપાતકોણ $i = 30^\circ$
માધ્યમ $P$ માં વેગ $(v_1)$ = $u$
માધ્યમ $Q$ માં વેગ $(v_2)$ = $2u$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\sin 30^\circ}{\sin r} = \frac{u}{2u}$
$\frac{0.5}{\sin r} = \frac{1}{2}$
$\sin r = 0.5 \times 2 = 1$
તેથી,$\sin r = 1$ હોવાથી,વક્રીભવન કોણ $r = 90^\circ$ થશે.

(A) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક પ્રકાશની તરંગલંબાઈ પર આધાર રાખે છે,જે કોશીના સમીકરણ $\mu = A + \frac{B}{\lambda^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_{red})$ એ વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_{blue})$ કરતા વધારે હોવાથી,લાલ પ્રકાશનો વક્રીભવનાંક વાદળી પ્રકાશ કરતા ઓછો હોય છે $(\mu_{red} < \mu_{blue})$.
તેથી,લાલ પ્રકાશ અને વાદળી પ્રકાશના વક્રીભવનાંકનો ગુણોત્તર $\frac{\mu_{red}}{\mu_{blue}} < 1$ થાય.
આમ,આ ગુણોત્તર એકમ કરતા ઓછો છે.

(A) માધ્યમમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_{medium})$ અને શૂન્યાવકાશમાં તેની તરંગલંબાઈ $(\lambda_{vacuum})$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda_{medium} = \frac{\lambda_{vacuum}}{\mu}$,જ્યાં $\mu$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે: $\lambda_{vacuum} = 6000\;\mathring A$ અને $\mu = 1.5$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\lambda_{medium} = \frac{6000}{1.5} = 4000\;\mathring A$.
તેથી,કાચમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $4000\;\mathring A$ થશે.

(D) જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે, ત્યારે પ્રકાશની આવૃત્તિ અચળ રહે છે કારણ કે તે પ્રકાશના ઉદગમ પર આધાર રાખે છે। જો કે, પ્રકાશનો વેગ $(v)$ અને તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ એ $v = f \lambda$ સંબંધ મુજબ બદલાય છે, જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે। માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $(n)$ બદલાતો હોવાથી, વેગ $v = c/n$ મુજબ બદલાય છે, જેના કારણે આવૃત્તિને અચળ રાખવા માટે તરંગલંબાઇમાં ફેરફાર થાય છે। તેથી, માત્ર તરંગલંબાઇ અને વેગ બદલાય છે।

(C) વક્રીભવન દરમિયાન પ્રકાશની આવૃત્તિ અચળ રહે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રકાશની ઝડપ $v = f \lambda$,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
$f$ અચળ હોવાથી,$v \propto \lambda$ થાય.
વળી,વક્રીભવનાંક $\mu$ ને $\mu = c / v$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = c / \mu$.
તેથી,$\lambda \propto 1 / \mu$.
ધારો કે હવામાં તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ $(\mu_1 = 1)$ છે અને કાચમાં તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ $(\mu_2 = \mu)$ છે.
તેથી,$\lambda_1 / \lambda_2 = \mu_2 / \mu_1 = \mu / 1 = \mu : 1$.

(A) જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમ (વક્રીભવનાંક $\mu_1$) માંથી પાતળા માધ્યમ (વક્રીભવનાંક $\mu_2$) માં જાય છે,જ્યાં $\mu_2 < \mu_1$,ત્યારે પ્રકાશનો વેગ $v = \frac{c}{\mu}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વક્રીભવનાંક $\mu$ ઘટતો હોવાથી,પ્રકાશના કિરણનો વેગ $v$ વધે છે.
પ્રકાશની આવૃત્તિ માત્ર ઉદગમ પર આધાર રાખે છે અને વક્રીભવન દરમિયાન અચળ રહે છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $v$ વધે છે અને $f$ અચળ છે,તેથી તરંગલંબાઈ $\lambda$ પણ વધે છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે તેનો વેગ વધે છે.

(B) કોશીના વિક્ષેપન સૂત્ર મુજબ,પદાર્થનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ સાથે $\mu \approx A + \frac{B}{\lambda^2}$ સંબંધ ધરાવે છે.
આ દર્શાવે છે કે વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
ઇન્ફ્રારેડ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ અલ્ટ્રાવાયોલેટ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ કરતા વધારે હોવાથી $(\lambda_{\text{infrared}} > \lambda_{\text{ultraviolet}})$,ઇન્ફ્રારેડ પ્રકાશ માટેનો વક્રીભવનાંક અલ્ટ્રાવાયોલેટ પ્રકાશ માટેના વક્રીભવનાંક કરતા ઓછો હશે.
તેથી,$\mu_{\text{infrared}} < \mu_{\text{ultraviolet}}$.

(D) વક્રીભવનાંક $\mu$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c$ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\mu = \frac{c}{v}$.
અહીં,$\mu = 2.0$ અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ આપેલ છે.
વેગ માટેનું સૂત્ર: $v = \frac{c}{\mu}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{2.0} = 1.5 \times 10^8 \ m/s$.
વેગને $m/s$ માંથી $cm/s$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ $(1 \ m = 100 \ cm)$:
$v = 1.5 \times 10^8 \times 10^2 \ cm/s = 1.5 \times 10^{10} \ cm/s$.

(B) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n(A) \sin(i) = n(B) \sin(r)$.
અહીં આપેલ છે કે આપાતકોણ $i$ એ વક્રીભૂતકોણ $r$ કરતા મોટો છે $(i > r)$,તેથી $\sin(i) > \sin(r)$ થાય.
આ સમીકરણ સંતોષવા માટે,$n(A) < n(B)$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે માધ્યમ $B$ એ માધ્યમ $A$ કરતા પ્રકાશીય ઘટ્ટ છે.
કોઈ માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = c/n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $n(A) < n(B)$ હોવાથી,$v(A) > v(B)$ થાય.
તેથી,સાચો સંબંધ $v(A) > v(B)$ અને $n(A) < n(B)$ છે.

(C) $n$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = c / n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
$t$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\text{સમય} = \text{અંતર} / \text{ઝડપ}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $\text{સમય} = t / (c / n) = (nt) / c$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) પ્રકાશને $d$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = d/v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
કારણ કે $v = c/\mu$,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે,તેથી $t = d\mu/c$ થાય.
ધારો કે શૂન્યાવકાશ (અથવા હવા) માં લાગતો સમય $t_a$ છે અને પાણીમાં લાગતો સમય $t_w$ છે.
તેથી,$t_a = d/c$ અને $t_w = d/v_w = d\mu_w/c$.
આમ,$t_w = t_a \times \mu_w$.
આપેલ છે કે $t_a = 8$ મિનિટ $20$ સેકન્ડ $= 500$ સેકન્ડ અને $\mu_w = 4/3$.
$t_w = 500 \times (4/3) = 2000/3$ સેકન્ડ.
$t_w = 666.67$ સેકન્ડ.
મિનિટમાં રૂપાંતર કરતા: $666.67 / 60 = 11.11$ મિનિટ.
$0.11$ મિનિટ $= 0.11 \times 60 = 6.6$ સેકન્ડ $\approx 6$ સેકન્ડ.
તેથી,$t_w = 11$ મિનિટ $6$ સેકન્ડ.

(A) ઓપ્ટિકલ પથની લંબાઈ એટલે માધ્યમનો વક્રીભવનાંક અને તે માધ્યમમાં પ્રકાશ દ્વારા કાપવામાં આવેલ ભૌમિતિક અંતરનો ગુણાકાર.
ઓપ્ટિકલ પથ = $\mu \times d$
માધ્યમ $1$ માટે,ઓપ્ટિકલ પથ = $\mu_1 d_1$ છે.
માધ્યમ $2$ માટે,ઓપ્ટિકલ પથ = $\mu_2 d_2$ છે.
તેથી,સંપર્કમાં રહેલા બે માધ્યમો માટે કુલ ઓપ્ટિકલ પથની લંબાઈ એ વ્યક્તિગત ઓપ્ટિકલ પથનો સરવાળો છે:
કુલ ઓપ્ટિકલ પથ = $\mu_1 d_1 + \mu_2 d_2$.

(B) જ્યારે કોઈ વસ્તુનો વક્રીભવનાંક તે માધ્યમના વક્રીભવનાંક જેટલો હોય,ત્યારે તે પારદર્શક માધ્યમમાં અદ્રશ્ય થઈ જાય છે. આનું કારણ એ છે કે વસ્તુ અને માધ્યમ વચ્ચેના સંપર્ક સપાટી પર પ્રકાશનું વક્રીભવન કે પરાવર્તન થતું નથી.
કાચના ટુકડાનો વક્રીભવનાંક $\mu_{glass} = 1.61$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
- પ્રવાહી $A$ નો વક્રીભવનાંક = $1.51$
- પ્રવાહી $B$ નો વક્રીભવનાંક = $1.53$
- પ્રવાહી $C$ નો વક્રીભવનાંક = $1.61$
- પ્રવાહી $D$ નો વક્રીભવનાંક = $1.52$
- પ્રવાહી $E$ નો વક્રીભવનાંક = $1.65$
પ્રવાહી $C$ નો વક્રીભવનાંક કાચના ટુકડાના વક્રીભવનાંક જેટલો હોવાથી $(1.61 = 1.61)$,તેથી જ્યારે કાચનો ટુકડો પ્રવાહી $C$ માં હશે ત્યારે તે દેખાશે નહીં.

(B) આપેલ છે:
હવાની સાપેક્ષે કાચનો વક્રીભવનાંક,$_a\mu_g = 3/2$
હવાની સાપેક્ષે પાણીનો વક્રીભવનાંક,$_a\mu_w = 4/3$
આપણે પાણીની સાપેક્ષે કાચનો વક્રીભવનાંક,$_w\mu_g$ શોધવાનો છે.
સાપેક્ષ વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$_w\mu_g = \frac{_a\mu_g}{_a\mu_w}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$_w\mu_g = \frac{3/2}{4/3} = \frac{3}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{8}$
તેથી,પાણીની સાપેક્ષે કાચનો વક્રીભવનાંક $9/8$ થશે.

(C) માધ્યમ $i$ ની સાપેક્ષમાં માધ્યમ $j$ નો વક્રીભવનાંક $_i{\mu _j} = \frac{\mu_j}{\mu_i}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\mu$ એ માધ્યમનો નિરપેક્ષ વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ પદ: $_2{\mu _1} \times {\,_3}{\mu _2} \times {\,_4}{\mu _3}$.
વ્યાખ્યા મૂકતા: $\frac{\mu_1}{\mu_2} \times \frac{\mu_2}{\mu_3} \times \frac{\mu_3}{\mu_4}$.
સામાન્ય પદો $\mu_2$ અને $\mu_3$ ને રદ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{\mu_1}{\mu_4}$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$\frac{\mu_1}{\mu_4} = {_4}{\mu _1}$.
કારણ કે $_4{\mu _1} = \frac{1}{{_1{\mu _4}}}$,તેથી ગુણાકાર $\frac{1}{{_1{\mu _4}}}$ બરાબર થાય છે.

(A) પ્રકાશનો રંગ તેની આવૃત્તિ દ્વારા નક્કી થાય છે.
જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તેની ઝડપ અને તરંગલંબાઈ બદલાય છે,પરંતુ તેની આવૃત્તિ અચળ રહે છે.
આવૃત્તિ બદલાતી ન હોવાથી,વસ્તુનો દેખીતો રંગ સમાન રહે છે.
તેથી,ડાઇવર વસ્તુને લીલા રંગની જોશે.

(A) માધ્યમ $1$ ની સાપેક્ષે માધ્યમ $2$ નો વક્રીભવનાંક $_1{n_2} = \frac{n_2}{n_1}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
માધ્યમોની શ્રેણી માટે,વક્રીભવનાંકનો ગુણાકાર આ મુજબ થાય છે:
$_a{n_w} \times {_w}{n_{gl}} \times {_{gl}}{n_{gas}} \times {_{gas}}{n_a} = \left( \frac{n_w}{n_a} \right) \times \left( \frac{n_{gl}}{n_w} \right) \times \left( \frac{n_{gas}}{n_{gl}} \right) \times \left( \frac{n_a}{n_{gas}} \right) = 1$.
આમ,માધ્યમોના બંધ લૂપ માટે વક્રીભવનાંકનો ગુણાકાર જે ફરીથી પ્રારંભિક માધ્યમમાં પાછો ફરે છે,તે $1$ ની બરાબર થાય છે.

(B) જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે ત્યારે તેની આવૃત્તિ અચળ રહે છે. પ્રકાશની ઝડપ $v$,તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને આવૃત્તિ $f$ સાથે $v = f \lambda$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે.
આવૃત્તિ $f$ અચળ હોવાથી,$v \propto \lambda$ થાય.
તેથી,$\frac{v_w}{v_a} = \frac{\lambda_w}{\lambda_a}$,જ્યાં $v_w$ અને $\lambda_w$ એ પાણીમાં ઝડપ અને તરંગલંબાઈ છે,અને $v_a$ અને $\lambda_a$ એ હવામાં ઝડપ અને તરંગલંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $v_a = 3 \times 10^8 \ m/s$,$\lambda_a = 6000 \ \mathring A$,અને $\lambda_w = 4500 \ \mathring A$.
$v_w = v_a \times \frac{\lambda_w}{\lambda_a} = (3 \times 10^8 \ m/s) \times \frac{4500}{6000}$.
$v_w = 3 \times 10^8 \times 0.75 = 2.25 \times 10^8 \ m/s$.

(C) માધ્યમમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda_m = \frac{\lambda_a}{\mu}$ છે,જ્યાં $\lambda_a$ એ હવામાં તરંગલંબાઈ છે અને $\mu$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે: $\lambda_a = 4200 \, \mathring{A}$ અને $\mu = 4/3$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda_m = \frac{4200}{4/3} = 4200 \times \frac{3}{4} = 1050 \times 3 = 3150 \, \mathring{A}$.
તેથી,પાણીમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $3150 \, \mathring{A}$ થશે.

(C) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(C)$ અને તે માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $(v)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\mu = \frac{C}{v}$
આપેલ છે કે વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$ અને શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $C$ છે,તેથી માધ્યમમાં વેગ $(v)$ શોધવા માટે આપણે સૂત્રને આ રીતે લખી શકીએ:
$v = \frac{C}{\mu} = \frac{C}{1.5}$
તેથી,માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ $\frac{C}{1.5}$ થશે.

(B) જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ અચળ રહે છે કારણ કે તે પ્રકાશના સ્ત્રોત પર આધાર રાખે છે.
પાણીનો વક્રીભવનાંક $(n_w \approx 1.33)$ હવાની સરખામણીમાં $(n_a \approx 1.0)$ વધારે હોવાથી,પાણીમાં પ્રકાશની ઝડપ ઘટે છે $(v = c/n)$.
સંબંધ $v = f \lambda$ મુજબ,જ્યાં $v$ ઘટે છે અને $f$ અચળ રહે છે,તેથી તરંગલંબાઇ $\lambda$ પણ ઘટવી જોઈએ.
તેથી,આવૃત્તિ સમાન રહે છે,પરંતુ તરંગલંબાઇ હવાની સરખામણીમાં પાણીમાં ઓછી હોય છે.

(B) પ્રશ્ન મુજબ,આપાતકોણ $i = 60^o$ છે.
પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો એકબીજાને લંબ હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ છે.
પરાવર્તન અને વક્રીભવનની ભૂમિતિ પરથી,$i + 90^o + r = 180^o$ થાય,જ્યાં $r$ એ વક્રીભવનકોણ છે.
$i = 60^o$ મૂકતા,$60^o + 90^o + r = 180^o$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $r = 30^o$.
સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 60^o}{\sin 30^o}$.
કિંમતો મૂકતા,$\mu = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.

(B) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તે માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે $\mu = c/v$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
તેથી,$\mu \propto 1/v$,જેનો અર્થ છે કે $\mu_g v_g = \mu_w v_w$.
આપેલ છે: $\mu_g = 3/2$,$\mu_w = 4/3$,અને $v_g = 2.00 \times 10^8 \ m/s$.
સંબંધ $\frac{\mu_g}{\mu_w} = \frac{v_w}{v_g}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{3/2}{4/3} = \frac{v_w}{2.00 \times 10^8 \ m/s}$
$\frac{9}{8} = \frac{v_w}{2.00 \times 10^8 \ m/s}$
$v_w = \frac{9}{8} \times 2.00 \times 10^8 \ m/s = 2.25 \times 10^8 \ m/s$.

(A) જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં પ્રવેશે ત્યારે તેની આવૃત્તિ બદલાતી નથી. આવૃત્તિ $\nu = 5 \times 10^{14} \ Hz$ છે.
શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ છે.
શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઈ $\lambda_a = \frac{c}{\nu} = \frac{3 \times 10^8}{5 \times 10^{14}} = 0.6 \times 10^{-6} \ m = 6000 \ \mathring{A}$ થાય.
$\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ $\lambda_m = \frac{\lambda_a}{\mu}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $\mu = 1.5$ આપેલ છે,તેથી $\lambda_m = \frac{6000 \ \mathring{A}}{1.5} = 4000 \ \mathring{A}$ મળે.

(B) માધ્યમમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર $\lambda_{medium} = \frac{\lambda_{air}}{\mu}$ છે.
અહીં,$\lambda_{air} = 7200 \ \mathring{A}$ અને વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\lambda_{glass} = \frac{7200}{1.5} = 4800 \ \mathring{A}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) માધ્યમ $1$ ની સાપેક્ષે માધ્યમ $2$ નો વક્રીભવનાંક $_1\mu_2 = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $D$ માં આપેલ પદ: $\frac{_a\mu_r}{_w\mu_r}$.
વક્રીભવનાંક મૂકતા: $\frac{_a\mu_r}{_w\mu_r} = \frac{\mu_r / \mu_a}{\mu_r / \mu_w}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{\mu_r}{\mu_a} \times \frac{\mu_w}{\mu_r} = \frac{\mu_w}{\mu_a}$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$\frac{\mu_w}{\mu_a} = _a\mu_w$.
તેથી,સંબંધ $\frac{_a\mu_r}{_w\mu_r} = _a\mu_w$ સાચો છે.

(D) માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{c}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $\mu = 1.5$ એ કાચનો વક્રીભવનાંક છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $v = \frac{3 \times 10^8}{1.5} = 2 \times 10^8 \ m/s$ મળે છે.
આપેલ સમય $t = 1 \text{ નેનોસેકન્ડ} = 10^{-9} \ s$ છે.
કાપેલું અંતર $d = v \times t = (2 \times 10^8 \ m/s) \times (10^{-9} \ s) = 0.2 \ m$ છે.
મીટરને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા,$d = 0.2 \times 100 \ cm = 20 \ cm$ થાય.

(C) જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $(f)$ અચળ રહે છે કારણ કે તે પ્રકાશના ઉદગમ પર આધાર રાખે છે.
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $(v)$ $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
કાચનો વક્રીભવનાંક $(\mu_g)$ હવાના વક્રીભવનાંક $(\mu_a)$ કરતા વધારે હોવાથી,જ્યારે પ્રકાશ કાચમાં પ્રવેશે છે ત્યારે તેની ઝડપ ઘટે છે $(v_g < v_a)$.
કારણ કે $v = f \lambda$ અને $f$ અચળ છે,તેથી ઝડપ $(v)$ માં ઘટાડો થવાથી તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ માં પણ ઘટાડો થાય છે.
તેથી,તરંગલંબાઇ ઘટે છે જ્યારે આવૃત્તિ બદલાતી નથી.

(C) પ્રવાહીની વાસ્તવિક ઊંડાઈ $d = 1 \ m$ છે.
નિશાનના સ્થાનમાં થતું આભાસી સ્થાનાંતર $\Delta d = 0.1 \ m$ છે.
આભાસી ઊંડાઈ $d'$ એ $d' = d - \Delta d = 1 - 0.1 = 0.9 \ m$ દ્વારા મળે છે.
વક્રીભવનાંક $\mu$ એ વાસ્તવિક ઊંડાઈ અને આભાસી ઊંડાઈનો ગુણોત્તર છે:
$\mu = \frac{d}{d'} = \frac{1}{0.9} = \frac{10}{9}$.

(A) જ્યારે પ્રવાહીને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની ઘનતા સામાન્ય રીતે ઘટે છે કારણ કે વધેલી ઉષ્મીય ઉર્જાને લીધે અણુઓ એકબીજાથી દૂર જાય છે.
લોરેન્ટ્ઝ-લોરેન્ઝ સૂત્ર મુજબ,વક્રીભવનાંક $n$ એ માધ્યમની ઘનતા $\rho$ સાથે સંબંધિત છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ઘનતા $\rho$ ઘટે છે,જે વક્રીભવનાંક $n$ માં ઘટાડો લાવે છે.
તેથી,ગરમ કરવા પર પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક સામાન્ય રીતે ઘટે છે.

(C) સ્નેલના નિયમનું સદિશ સ્વરૂપ આપાત કિરણ સદિશ $\hat{i}$,વક્રીભૂત કિરણ સદિશ $\hat{r}$ અને સપાટીને લંબ સદિશ $\hat{n}$ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે.
વક્રીભવનના નિયમ મુજબ,$\mu_1 \sin \theta_1 = \mu_2 \sin \theta_2$ થાય છે.
સદિશ સંકેતમાં,જ્યાં $\hat{n}$ એ આપાત માધ્યમ તરફનો લંબ છે,ત્યારે સદિશ ગુણાકાર $\hat{i} \times \hat{n}$ નું મૂલ્ય $\sin \theta_1$ થાય છે (કારણ કે $\hat{i}$ અને $\hat{n}$ એકમ સદિશો છે).
તે જ રીતે,$\hat{r} \times \hat{n}$ નું મૂલ્ય $\sin \theta_2$ થાય છે.
આમ,સ્નેલના નિયમનું સદિશ સ્વરૂપ $\hat{i} \times \hat{n} = \mu (\hat{r} \times \hat{n})$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ પ્રથમ માધ્યમની સાપેક્ષે બીજા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.

(A) જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમ (પ્રવાહી) માંથી પાતળા માધ્યમ (હવા) માં જાય છે,ત્યારે તે લંબથી દૂર જાય છે.
વક્રીભવનની આ ઘટનાને કારણે,પાત્રના તળિયેથી આવતા પ્રકાશના કિરણો તેમની વાસ્તવિક સ્થિતિ કરતા ઊંચા બિંદુએથી આવતા હોય તેવું લાગે છે.
આના કારણે ઉપરથી જોનાર અવલોકનકારને પાત્રનું તળિયું થોડું ઊંચું દેખાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ શૂન્યાવકાશ (અથવા હવા) માં પ્રકાશની ઝડપ $c$ અને તે માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સૂત્ર: $\mu = \frac{c}{v}$
આપેલ છે:
હવામાં પ્રકાશની ઝડપ,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$
હીરાનો વક્રીભવનાંક,$\mu = 2.4$
હીરામાં ઝડપ $(v)$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$v = \frac{c}{\mu}$
$v = \frac{3 \times 10^8}{2.4}$
$v = 1.25 \times 10^8 \, m/s$
તેથી,હીરામાં પ્રકાશની ઝડપ $1.25 \times 10^8 \, m/s$ છે.

(B) વક્રીભવનાંક $\mu$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $(v)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\mu = \frac{c}{v}$.
આપેલ છે: $\mu = 1.33$ અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
$v$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $v = \frac{c}{\mu}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{3 \times 10^8}{1.33} \approx 2.25 \times 10^8 \ m/s$.
તેથી,પાણીમાં પ્રકાશની ઝડપ $2.25 \times 10^8 \ m/s$ છે.

(B) આપેલ છે:
હવામાં સાપેક્ષ પાણીનો વક્રીભવનાંક,$^a\mu_w = 4/3$.
હવામાં સાપેક્ષ કાચનો વક્રીભવનાંક,$^a\mu_g = 3/2$.
આપણે કાચની સાપેક્ષ પાણીનો વક્રીભવનાંક,$^g\mu_w$ શોધવાનો છે.
માધ્યમ $1$ ની સાપેક્ષ માધ્યમ $2$ ના વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર $^1\mu_2 = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ છે.
તેથી,$^g\mu_w = \frac{^a\mu_w}{^a\mu_g}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$^g\mu_w = \frac{4/3}{3/2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$.
આમ,કાચની સાપેક્ષ પાણીનો વક્રીભવનાંક $8/9$ છે.

(B) જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $(n)$ અચળ રહે છે કારણ કે તે પ્રકાશના ઉદગમ પર આધાર રાખે છે.
જ્યારે પ્રકાશ $\mu > 1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તેનો વેગ $(v')$ ઘટે છે અને તે $v' = \frac{v}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ,આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $v = n\lambda$ હોવાથી,અને $n$ અચળ હોવાથી,નવી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ એ $\lambda' = \frac{v'}{n} = \frac{v/\mu}{n} = \frac{\lambda}{\mu}$ થશે.
તેથી,નવી આવૃત્તિ,તરંગલંબાઈ અને વેગ અનુક્રમે $n, \frac{\lambda}{\mu}, \frac{v}{\mu}$ છે.

(B) સ્નેલના નિયમ મુજબ,હવાના સાપેક્ષ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$ છે.
વળી,વક્રીભવનાંક એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ $(c)$ અને માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ $(v)$ સાથે $\mu = \frac{c}{v}$ સંબંધ ધરાવે છે.
આ બંનેને સરખાવતા,$\frac{c}{v} = \frac{\sin i}{\sin r}$ મળે.
અહીં $i = 45^\circ$,$r = 30^\circ$ અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ આપેલ છે.
કિંમતો મુકતા: $\frac{3 \times 10^8}{v} = \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \sqrt{2}$.
તેથી,$v = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{2}} \approx \frac{3 \times 10^8}{1.414} \approx 2.12 \times 10^8 \ m/s$.

(C) કોઈ માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ $v$ તેના વક્રીભવનાંક $\mu$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે સંબંધ $v = \frac{c}{\mu}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
તેથી,કાચમાં પ્રકાશના વેગ $(v_g)$ અને પાણીમાં પ્રકાશના વેગ $(v_w)$ નો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{v_g}{v_w} = \frac{\mu_w}{\mu_g}$
અહીં $\mu_g = \frac{3}{2}$ અને $\mu_w = \frac{4}{3}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_g}{v_w} = \frac{4/3}{3/2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$
આમ,ગુણોત્તર $8:9$ છે.

(B) વક્રીભવનાંક $\mu$ ધરાવતા માધ્યમમાં $x$ અંતર કાપવા માટે પ્રકાશ દ્વારા લેવામાં આવતો સમય $t = \frac{\mu x}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
બંને માધ્યમો માટે સમય સમાન હોવાથી,$t_A = t_B$ થાય.
તેથી,$\frac{\mu_A x_A}{c} = \frac{\mu_B x_B}{c}$.
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા,$\frac{\mu_B}{\mu_A} = \frac{x_A}{x_B}$ મળે.
જાડાઈનો ગુણોત્તર $x_A : x_B = 6 : 4$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\mu_B}{\mu_A} = \frac{6}{4} = 1.5$.
$A$ ની સાપેક્ષે $B$ નો વક્રીભવનાંક $_A\mu_B = \frac{\mu_B}{\mu_A} = 1.5$ થશે.

(D) આપેલ છે કે હવાના સાપેક્ષ પાણીનો વક્રીભવનાંક $_a\mu_w = 1.3$ છે.
આપેલ છે કે હવાના સાપેક્ષ કાચનો વક્રીભવનાંક $_a\mu_g = 1.5$ છે.
પાણીના સાપેક્ષ કાચનો વક્રીભવનાંક શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$_w\mu_g = \frac{_a\mu_g}{_a\mu_w}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$_w\mu_g = \frac{1.5}{1.3}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) વક્રીભવનાંક $\mu$ એ વાસ્તવિક ઊંડાઈ અને આભાસી ઊંડાઈના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે:
વાસ્તવિક ઊંડાઈ $d = 120 \,mm$
આભાસી ઊંડાઈ $d' = 80 \,mm$
સૂત્ર: $\mu = \frac{d}{d'}$
ગણતરી: $\mu = \frac{120}{80} = 1.5$
તેથી,બેન્ઝીનનો વક્રીભવનાંક $1.5$ છે.

(D) બહુવિધ સમાંતર આંતરપૃષ્ઠો માટે સ્નેલના નિયમ મુજબ,દરેક આંતરપૃષ્ઠ પર વક્રીભવનાંક અને આપાતકોણના સાઈન (sine) નો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
ધારો કે પ્રથમ માધ્યમમાં આપાતકોણ $\theta_1$ છે અને ચોથા માધ્યમમાં વક્રીભૂતકોણ $\theta_4$ છે.
દરેક આંતરપૃષ્ઠ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\mu_1 \sin \theta_1 = \mu_2 \sin \theta_2 = \mu_3 \sin \theta_3 = \mu_4 \sin \theta_4$.
કારણ કે નિર્ગમન કિરણ $CD$ એ આપાત કિરણ $AB$ ને સમાંતર છે,તેથી આપાતકોણ $\theta_1$ એ નિર્ગમન કોણ $\theta_4$ જેટલો જ હોવો જોઈએ (એટલે કે $\theta_1 = \theta_4$).
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $\mu_1 \sin \theta_1 = \mu_4 \sin \theta_1$.
તેથી,$\mu_1 = \mu_4$.

(B) ઓપ્ટિકલ પાથની લંબાઈ એ વક્રીભવનાંક $(\mu)$ અને ભૌમિતિક પથ લંબાઈ $(x)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બંને માધ્યમો માટે ઓપ્ટિકલ પાથ સમાન છે,તેથી:
$\mu_{glass} \times x_{glass} = \mu_{water} \times x_{water}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$1.53 \times 4.0 = \mu_{water} \times 4.5$
$\mu_{water} = \frac{1.53 \times 4.0}{4.5}$
$\mu_{water} = \frac{6.12}{4.5} = 1.36$
તેથી,પાણીનો વક્રીભવનાંક $1.36$ છે.

(B) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ એક સાર્વત્રિક અચળાંક છે જેને $c \approx 3 \times 10^8 \ m/s$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કોઈપણ અન્ય માધ્યમમાં,પ્રકાશનો વેગ $v = c/n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
કોઈપણ ભૌતિક માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n$ હંમેશા $1$ કરતા વધારે હોવાથી,કોઈપણ માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ હંમેશા શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશના વેગ કરતા ઓછો હોય છે.
તેથી,શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ મહત્તમ હોય છે.

(C) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તે માધ્યમમાં પ્રકાશના વેગ $v$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે $\mu = \frac{c}{v}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
કાચ $(g)$ અને પ્રવાહી $(l)$ માટે:
$\mu_g = \frac{c}{v_g}$ અને $\mu_l = \frac{c}{v_l}$
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\mu_l}{\mu_g} = \frac{v_g}{v_l}$
આપેલ છે:
$\mu_g = 1.5$
$v_g = 2 \times 10^8 \ m/s$
$v_l = 2.5 \times 10^8 \ m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\mu_l}{1.5} = \frac{2 \times 10^8}{2.5 \times 10^8}$
$\frac{\mu_l}{1.5} = \frac{2}{2.5} = 0.8$
$\mu_l = 1.5 \times 0.8 = 1.2$
આમ,પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક $1.2$ છે.

(D) હવા-તેલની સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ:
${\mu _{air}} \sin i = {\mu _{oil}} \sin {r_1}$
અહીં $i = 40^o$,${\mu _{air}} = 1$,${\mu _{oil}} = 1.45$ છે:
$1 \times \sin 40^o = 1.45 \times \sin {r_1}$
$\sin {r_1} = \frac{\sin 40^o}{1.45} = \frac{0.6428}{1.45} \approx 0.4433$
હવે,તેલ-પાણીની સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
${\mu _{oil}} \sin {r_1} = {\mu _{water}} \sin r$
પ્રથમ સપાટી પરથી,${\mu _{oil}} \sin {r_1} = \sin i$ હોવાથી:
$\sin i = {\mu _{water}} \sin r$
$\sin 40^o = 1.33 \times \sin r$
$\sin r = \frac{\sin 40^o}{1.33} = \frac{0.6428}{1.33} \approx 0.4833$
$r = \arcsin(0.4833) \approx 28.9^o$

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થને પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશના કિરણો પદાર્થ અને પ્રવાહીની સપાટી પર વક્રીભવન પામે છે.
જો પદાર્થનો વક્રીભવનાંક $(n_1)$ એ આસપાસના પ્રવાહીના વક્રીભવનાંક $(n_2)$ જેટલો હોય,તો પ્રકાશના કિરણો સપાટી પર વાંકા વળતા નથી કે પરાવર્તિત થતા નથી.
પરિણામે,પદાર્થ અદ્રશ્ય થઈ જાય છે કારણ કે માધ્યમમાંથી પસાર થતા પ્રકાશના ઓપ્ટિકલ પાથમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,સાચી શરત એ છે કે પદાર્થનો વક્રીભવનાંક આસપાસના પ્રવાહીના વક્રીભવનાંક સાથે બરાબર મળતો આવવો જોઈએ.

(B) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$.
અહીં,પ્રકાશ કાચ (ઘટ્ટ માધ્યમ,$n_1 \approx 1.5$) માંથી હવા (પાતળા માધ્યમ,$n_2 \approx 1.0$) માં ગતિ કરે છે.
કારણ કે $n_1 > n_2$,પ્રકાશનું કિરણ લંબથી દૂર જાય છે.
તેથી,વક્રીભૂતકોણ ${\theta _2}$ એ આપાતકોણ ${\theta _1}$ કરતા મોટો હોવો જોઈએ.
આમ,સાચો સંબંધ ${\theta _1} < {\theta _2}$ છે.

(D) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $(v)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે:
શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ,$v = 1.5 \times 10^8 \ m/s$
સૂત્ર:
$\mu = \frac{c}{v}$
ગણતરી:
$\mu = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{1.5 \times 10^8 \ m/s} = \frac{3}{1.5} = 2$
તેથી,માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $2$ છે.