Critical Angle and Total Internal Reflection Questions in Hindi

(B) यदि डिस्क क्रांतिक कोण $\theta_c$ के अनुरूप क्षेत्र को कवर करती है,तो स्रोत से आने वाला प्रकाश रुक जाएगा।
$h$ गहराई पर स्थित बिंदु स्रोत के लिए,डिस्क की त्रिज्या $r = h \tan \theta_c$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$,इसलिए $\tan \theta_c = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ होता है।
दिए गए मान $h = 4 \; m$ और $\mu = 5/3$ रखने पर:
$r = \frac{4}{\sqrt{(5/3)^2 - 1}} = \frac{4}{\sqrt{25/9 - 1}} = \frac{4}{\sqrt{16/9}} = \frac{4}{4/3} = 3 \; m$.
डिस्क का न्यूनतम व्यास $D = 2r = 2 \times 3 = 6 \; m$ है।

(A) अपवर्तनांक $\mu$ वाले माध्यम में $h$ गहराई पर स्थित प्रेक्षक के लिए वृत्ताकार क्षितिज की त्रिज्या $r = \frac{h}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ द्वारा दी जाती है।
पानी के लिए,अपवर्तनांक $\mu = \frac{4}{3}$ है।
दिया गया है $h = \sqrt{7} \ cm$।
मान रखने पर: $r = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{(\frac{4}{3})^2 - 1}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{\frac{16}{9} - 1}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{\frac{7}{9}}} = \frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{7}}{3}} = 3 \ cm$।

(A) चित्र से यह स्पष्ट है कि सतह $AC$ और $BC$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होता है।
$TIR$ होने के लिए,आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए।
यहाँ,सतहों पर आपतन कोण $45^{\circ}$ है।
इसलिए,$45^{\circ} > C$ होना चाहिए।
दोनों पक्षों का ज्या (sine) लेने पर,$\sin(45^{\circ}) > \sin(C)$।
चूँकि $\sin(C) = \frac{1}{\mu}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\mu}$।
इसका अर्थ है कि $\mu > \sqrt{2}$।
अतः,अपवर्तनांक का न्यूनतम मान $\mu_{least} = \sqrt{2}$ है।

(A) माना $\alpha$ छड़ के अंतिम सिरे पर आपतन कोण है और $r$ अपवर्तन कोण है। स्नेल के नियम के अनुसार,$1 \cdot \sin \alpha = n \cdot \sin r$,इसलिए $\sin r = \frac{\sin \alpha}{n}$ है।
पार्श्व सतह पर,आपतन कोण $i = 90^\circ - r$ है। पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए,जहाँ $\sin C = \frac{1}{n}$ है।
अतः,$i > C \implies \sin i > \sin C$ है।
$i = 90^\circ - r$ रखने पर,हमें $\sin(90^\circ - r) > \sin C$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\cos r > \frac{1}{n}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\cos^2 r > \frac{1}{n^2} \implies 1 - \sin^2 r > \frac{1}{n^2}$ प्राप्त होता है।
$\sin r = \frac{\sin \alpha}{n}$ रखने पर,हमें $1 - \frac{\sin^2 \alpha}{n^2} > \frac{1}{n^2}$ प्राप्त होता है।
इसे व्यवस्थित करने पर $1 > \frac{1 + \sin^2 \alpha}{n^2}$,या $n^2 > 1 + \sin^2 \alpha$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह शर्त आपतन कोण $\alpha$ के किसी भी मान के लिए सत्य होनी चाहिए,इसलिए हम $\sin^2 \alpha$ का अधिकतम मान लेते हैं,जो $1$ है (जब $\alpha = 90^\circ$ हो)।
अतः,$n^2 > 1 + 1 = 2$,जिसका अर्थ है कि $n > \sqrt{2}$।

(A) किरण के केवल $CD$ सतह से बाहर निकलने के लिए,इसे सतह $AD$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरना होगा।
सतह $AB$ पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$n_2 \sin \alpha_{max} = n_1 \sin r_1 \implies \alpha_{max} = \sin^{-1} \left( \frac{n_1}{n_2} \sin r_1 \right) \dots (i)$
सतह $AD$ पर,आपतन कोण $r_2$ है। पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,$r_2$ का मान क्रांतिक कोण $C$ के बराबर होना चाहिए,जहाँ $\sin C = \frac{n_2}{n_1}$ है।
चूंकि सतह $AD$,$AB$ के लंबवत है,इसलिए $r_1 + r_2 = 90^\circ$,अतः $r_1 = 90^\circ - r_2$ है।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि किरण $CD$ तक पहुँचे,हम $r_2 = C = \sin^{-1} \left( \frac{n_2}{n_1} \right)$ लेते हैं।
अतः,$r_1 = 90^\circ - \sin^{-1} \left( \frac{n_2}{n_1} \right)$ है।
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\alpha_{max} = \sin^{-1} \left[ \frac{n_1}{n_2} \sin \left( 90^\circ - \sin^{-1} \frac{n_2}{n_1} \right) \right]$
सर्वसमिका $\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\alpha_{max} = \sin^{-1} \left[ \frac{n_1}{n_2} \cos \left( \sin^{-1} \frac{n_2}{n_1} \right) \right]$.

(A) सतह $AC$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,सतह $AC$ पर आपतन कोण $i$ का मान कांच और पानी के बीच के क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए।
प्रिज्म की ज्यामिति से,$AB$ पर लंबवत आपतित प्रकाश किरण $AC$ सतह पर $i = \theta$ के कोण पर आपतित होती है।
$AC$ पर $TIR$ के लिए,हमें $i > C$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $\sin i > \sin C$।
$i = \theta$ रखने पर,हमें $\sin \theta > \sin C$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक कोण $C$ का मान $\sin C = \frac{\mu_w}{\mu_g}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu_w = 4/3$ और $\mu_g = 1.5 = 3/2$ है।
अतः,$\sin C = \frac{4/3}{3/2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$।
इसलिए,$TIR$ होने के लिए,$\sin \theta > 8/9$ होना चाहिए। दिए गए विकल्पों के अनुसार,शर्त $\sin \theta \ge 8/9$ है।

(B) प्रिज्म और द्रव के बीच के अंतरापृष्ठ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $C$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
प्रिज्म की ज्यामिति से,अंतरापृष्ठ पर आपतन कोण $\theta$ है।
इसलिए,शर्त $\theta \ge C$ है।
दोनों पक्षों में ज्या (sine) लेने पर,हमें $\sin \theta \ge \sin C$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक कोण $C$ का मान $\sin C = \frac{\mu_{\text{liquid}}}{\mu_{\text{prism}}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\mu_{\text{prism}} = 1.56$ और $\mu_{\text{liquid}} = 1.32$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\sin C = \frac{1.32}{1.56} = \frac{132}{156} = \frac{11}{13}$ प्राप्त होता है।
अतः,पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए शर्त $\sin \theta \ge \frac{11}{13}$ है।

(B) प्रकाश किरण के लिए कोर-क्लैडिंग इंटरफ़ेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $c$ से अधिक होना चाहिए।
$i > c \Rightarrow \sin i > \sin c \Rightarrow \sin i > \frac{\mu_2}{\mu_1}$ ... $(1)$
हवा-कोर इंटरफ़ेस पर स्नेल के नियम से,जहाँ हवा का अपवर्तनांक $1$ है:
$1 \cdot \sin \alpha = \mu_1 \cdot \sin r$ ... $(2)$
समकोण त्रिभुज $\Delta OBA$ में,अपवर्तन कोण $r$ और कोर-क्लैडिंग इंटरफ़ेस पर आपतन कोण $i$ के बीच संबंध है:
$r + i = 90^\circ \Rightarrow r = 90^\circ - i$
इसे समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin \alpha = \mu_1 \sin(90^\circ - i) = \mu_1 \cos i$
$\cos i = \frac{\sin \alpha}{\mu_1}$
सर्वसमिका $\sin i = \sqrt{1 - \cos^2 i}$ का उपयोग करने पर:
$\sin i = \sqrt{1 - \left(\frac{\sin \alpha}{\mu_1}\right)^2}$ ... $(3)$
समीकरण $(3)$ को $(1)$ में रखने पर:
$\sqrt{1 - \frac{\sin^2 \alpha}{\mu_1^2}} > \frac{\mu_2}{\mu_1}$
$1 - \frac{\sin^2 \alpha}{\mu_1^2} > \frac{\mu_2^2}{\mu_1^2}$
$1 - \frac{\mu_2^2}{\mu_1^2} > \frac{\sin^2 \alpha}{\mu_1^2}$
$\mu_1^2 - \mu_2^2 > \sin^2 \alpha$
$\sin \alpha < \sqrt{\mu_1^2 - \mu_2^2}$
अतः,अधिकतम कोण $\alpha_{\text{max}}$ है:
$\alpha_{\text{max}} = \sin^{-1}\sqrt{\mu_1^2 - \mu_2^2}$

(B) ग्राफ से,ढाल (slope) $\text{slope} = \tan \left( \frac{2\pi}{10} \right) = \tan(36^o) = \frac{\sin r}{\sin i}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $\tan 36^o \approx \frac{3}{4}$,इसलिए $\frac{\sin r}{\sin i} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
स्नेल के नियम के अनुसार,माध्यम $1$ के सापेक्ष माध्यम $2$ का अपवर्तनांक $_1\mu_2 = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{1}{\text{slope}} = \frac{4}{3}$ होता है।
चूंकि $_1\mu_2 = \frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{4}{3}$,इसका अर्थ है कि $\mu_2 = \frac{4}{3}\mu_1$,अर्थात $\mu_2 > \mu_1$ है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन केवल तब होता है जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाता है। चूंकि प्रकाश विरल माध्यम $(1)$ से सघन माध्यम $(2)$ में जा रहा है,इसलिए पूर्ण आंतरिक परावर्तन नहीं हो सकता है।

(A) प्रकाश की किरण समतल सतह पर अपवर्तित होती है। चूँकि किरण सघन माध्यम से विरल माध्यम में यात्रा कर रही है,इसलिए आपतन कोण $(i)$ के क्रांतिक कोण $(c)$ से अधिक होने पर,किरण का पूर्ण आंतरिक परावर्तन होता है।
$(1)$ $i < c$ के लिए,विचलन $\delta = r - i$ है,जहाँ $\frac{1}{\mu} = \frac{\sin i}{\sin r}$ है।
अतः,$\delta = \sin^{-1}(\mu \sin i) - i$। यह एक अरेखीय संबंध है जिसमें $i$ के साथ $\delta$ बढ़ता है। $\delta$ का अधिकतम मान $\delta_1 = \frac{\pi}{2} - c$ है,जो $i = c$ पर प्राप्त होता है।
$(2)$ $i > c$ के लिए,किरण परावर्तित होती है और विचलन कोण $\delta = \pi - 2i$ होता है।
यह दर्शाता है कि $i$ के बढ़ने के साथ $\delta$ रैखिक रूप से घटता है। $i = c$ पर $\delta_2 = \pi - 2c$ और $i = \frac{\pi}{2}$ पर $\delta = 0$ होता है।
इन व्यवहारों की तुलना करने पर,विकल्प $(A)$ में दिया गया ग्राफ $i < c$ के लिए अरेखीय वृद्धि और $i > c$ के लिए रैखिक गिरावट को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) ऑप्टिकल फाइबर कांच या प्लास्टिक से बना एक पतला, लचीला और पारदर्शी तंतु है जो फाइबर के दो सिरों के बीच प्रकाश को संचारित करने के लिए एक वेवगाइड के रूप में कार्य करता है।
यह $Total \text{ } Internal \text{ } Reflection$ $(TIR)$ यानी पूर्ण आंतरिक परावर्तन के सिद्धांत पर कार्य करता है।
जब प्रकाश फाइबर के कोर (क्रोड) में क्रांतिक कोण से अधिक कोण पर प्रवेश करता है, तो यह कोर-क्लैडिंग इंटरफेस पर बार-बार पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरता है, जिससे प्रकाश न्यूनतम नुकसान के साथ लंबी दूरी तय कर सकता है।

(A) ऑप्टिकल फाइबर कांच या प्लास्टिक से बना एक पतला, लचीला और पारदर्शी तंतु होता है। यह प्रकाश संकेतों को बहुत कम नुकसान के साथ लंबी दूरी तक प्रसारित करता है। ऑप्टिकल फाइबर के कार्य करने का मूल सिद्धांत $Total \text{ } Internal \text{ } Reflection$ $(TIR)$ यानी पूर्ण आंतरिक परावर्तन है। जब प्रकाश फाइबर के कोर (क्रोड) में क्रांतिक कोण से अधिक कोण पर प्रवेश करता है, तो यह कोर और क्लैडिंग की सतह पर बार-बार पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करता है, जिससे प्रकाश बाहर निकले बिना फाइबर के भीतर आगे बढ़ता रहता है।

(B) एक्सेप्टेंस एंगल $\theta_a$ वह अधिकतम कोण है जिस पर प्रकाश ऑप्टिकल फाइबर में प्रवेश कर सकता है और पूर्ण आंतरिक परावर्तन द्वारा कोर के माध्यम से निर्देशित हो सकता है।
हवा-कोर इंटरफेस पर स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: $n_0 \sin \theta_a = n_1 \sin \theta_r$,जहाँ $n_0 = 1$ (हवा के लिए)।
कोर-क्लैडिंग इंटरफेस पर,पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए क्रांतिक कोण की शर्त $\sin \theta_c = n_2/n_1$ है।
चूंकि $\theta_r = 90^\circ - \theta_c$,इसलिए $\sin \theta_r = \cos \theta_c = \sqrt{1 - \sin^2 \theta_c} = \sqrt{1 - (n_2/n_1)^2} = \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_1}$।
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर: $\sin \theta_a = n_1 \times \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_1} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$।
अतः,$\theta_a = \sin^{-1}(\sqrt{n_1^2 - n_2^2})$।

(B) पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $i_c$ से अधिक होना चाहिए।
दिया गया है कि आपतन कोण $i = 45^{\circ}$ है,इसलिए $i > i_c$ का अर्थ है $45^{\circ} > i_c$।
दोनों पक्षों का ज्या (sine) लेने पर,$\sin(45^{\circ}) > \sin(i_c)$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\sin(i_c) = \frac{1}{n}$,जहाँ $n$ प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक है।
इस मान को असमिका में रखने पर,$\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{n}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है,जिससे $\sqrt{2} < n$ या $n > \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(B) माना छड़ का अपवर्तनांक $\mu = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
दीवार पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,दीवार पर आपतन कोण क्रांतिक कोण $i_c$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
क्रांतिक कोण $i_c$ के लिए,$\sin i_c = \frac{1}{\mu} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,अतः $i_c = 60^{\circ}$।
पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r = 90^{\circ} - i_c = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ होगा।
पहली सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $1 \cdot \sin \theta = \mu \cdot \sin r$.
$\sin \theta = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \cdot \sin 30^{\circ} = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$।

(D) प्रकाश $AB$ सतह पर लंबवत प्रवेश करता है,इसलिए यह $AC$ सतह तक बिना विचलित हुए यात्रा करता है। $AC$ सतह पर आपतन कोण $i = 45^{\circ}$ है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ के लिए,आपतन कोण क्रांतिक कोण से अधिक होना चाहिए $(i > \theta_c)$,जहाँ $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$ है।
यह शर्त $\sin i > \sin \theta_c$ या $\sin 45^{\circ} > \frac{1}{\mu}$ के बराबर है,जिसे सरल करने पर $\mu > \frac{1}{\sin 45^{\circ}} = \sqrt{2} \approx 1.414$ प्राप्त होता है।
- लाल प्रकाश के लिए: $\mu_r = 1.39$। चूंकि $1.39 < 1.414$,लाल प्रकाश प्रिज्म से बाहर निकल जाएगा।
- हरे प्रकाश के लिए: $\mu_g = 1.44$। चूंकि $1.44 > 1.414$,हरा प्रकाश पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करेगा।
- नीले प्रकाश के लिए: $\mu_b = 1.47$। चूंकि $1.47 > 1.414$,नीला प्रकाश पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करेगा।
इसलिए,$AC$ सतह से केवल लाल रंग का प्रकाश ही बाहर निकलेगा।

(B) अपवर्तनांक $\mu$ और क्रांतिक कोण $\theta_c$ के बीच का संबंध $\mu = \frac{1}{\sin \theta_c}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\theta_c = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\mu = \frac{1}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1}{0.5} = 2$ प्राप्त होता है।
माध्यम में प्रकाश का वेग $v$ और निर्वात में प्रकाश की गति $c$ के बीच का संबंध $v = \frac{c}{\mu}$ है।
मान रखने पर,$v = \frac{3 \times 10^{8} \ m/s}{2} = 1.5 \times 10^{8} \ m/s$ होगा।

(A) यह स्थिति चित्र में दर्शाई गई है। यदि ऊर्ध्वाधर भुजा $BC$ पर आपतन कोण $i$,क्रांतिक कोण $\theta_c$ से अधिक है,तो प्रकाश उस भुजा से बाहर नहीं निकलेगा।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए शर्त: $i > \theta_c$ या $\sin i > \sin \theta_c$.
चूंकि $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$,इसलिए $\sin i > \frac{1}{\mu} \quad ......(i)$
निचली सतह पर बिंदु $O$ पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $1 \times \sin \theta = \mu \sin r$.
$\triangle OPR$ में,$r + 90^\circ + i = 180^\circ$,इसलिए $r + i = 90^\circ$,जिसका अर्थ है $r = 90^\circ - i$.
अतः,$\sin \theta = \mu \sin(90^\circ - i) = \mu \cos i$,जिससे $\cos i = \frac{\sin \theta}{\mu}$ प्राप्त होता है।
$\sin i = \sqrt{1 - \cos^2 i}$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है: $\sin i = \sqrt{1 - \left(\frac{\sin \theta}{\mu}\right)^2} \quad ......(ii)$.
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{1 - \frac{\sin^2 \theta}{\mu^2}} > \frac{1}{\mu} \implies 1 - \frac{\sin^2 \theta}{\mu^2} > \frac{1}{\mu^2} \implies 1 > \frac{1 + \sin^2 \theta}{\mu^2}$.
$\mu^2 > 1 + \sin^2 \theta$.
सभी कोणों $\theta$ के लिए अक्षरों के अदृश्य रहने हेतु,हम $\sin^2 \theta$ का अधिकतम मान $1$ लेते हैं।
$\mu^2 > 1 + 1 = 2 \implies \mu > \sqrt{2}$.
अतः,न्यूनतम अपवर्तनांक $\mu_{\min} = \sqrt{2}$ है।

(A) क्रांतिक कोण $i_c$ का सूत्र $sin\,i_c = \frac{1}{\mu}$ है।
जैसे-जैसे तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ती है,अपवर्तनांक $\mu$ घटता है (कॉची के समीकरण के अनुसार),इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ने पर क्रांतिक कोण $i_c$ बढ़ता है।
दृश्य प्रकाश के लिए तरंगदैर्ध्य का क्रम: $\lambda_{\text{violet}} < \lambda_{\text{indigo}} < \lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{green}} < \lambda_{\text{yellow}} < \lambda_{\text{orange}} < \lambda_{\text{red}}$.
अतः,क्रांतिक कोण का क्रम: $i_{c, \text{violet}} < i_{c, \text{indigo}} < i_{c, \text{blue}} < i_{c, \text{green}} < i_{c, \text{yellow}} < i_{c, \text{orange}} < i_{c, \text{red}}$.
यदि हरे प्रकाश का पूर्ण आंतरिक परावर्तन होता है,तो इसका अर्थ है कि आपतन कोण $i$ हरे प्रकाश के क्रांतिक कोण से अधिक है $(i \ge i_{c, \text{green}})$।
चूंकि बैंगनी,जामुनी और नीले रंगों के क्रांतिक कोण हरे रंग से छोटे होते हैं,इसलिए वे भी पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करेंगे।
हरे रंग से अधिक तरंगदैर्ध्य वाले रंगों (पीला,नारंगी,लाल) के क्रांतिक कोण हरे रंग से अधिक होते हैं,इसलिए वे हवा में अपवर्तित हो जाएंगे।

(B) बाहरी दुनिया से प्रकाश की किरणें मछली तक तभी पहुँचती हैं यदि पानी-हवा इंटरफ़ेस पर आपतन कोण क्रांतिक कोण $i_c$ से कम या उसके बराबर हो।
समस्या की ज्यामिति से,वृत्ताकार क्षितिज की त्रिज्या $r$ को $r = h \tan(i_c)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ मछली की गहराई है।
हम जानते हैं कि $\sin(i_c) = \frac{1}{\mu}$,जहाँ $\mu$ पानी का अपवर्तनांक है।
अतः,$\tan(i_c) = \frac{\sin(i_c)}{\cos(i_c)} = \frac{1/\mu}{\sqrt{1 - (1/\mu)^2}} = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$.
इसे $r$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r = \frac{h}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $h = 12 \, cm$ और $\mu = 4/3$ दिया गया है,इसलिए:
$r = \frac{12}{\sqrt{(4/3)^2 - 1}} = \frac{12}{\sqrt{16/9 - 1}} = \frac{12}{\sqrt{7/9}} = \frac{12 \times 3}{\sqrt{7}} = \frac{36}{\sqrt{7}} \, cm$.

(A) स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu_{D} \sin i = \mu_{R} \sin r'$,जहाँ $r'$ अपवर्तन कोण है।
अतः,सापेक्ष अपवर्तनांक $\mu = \frac{\mu_D}{\mu_R} = \frac{\sin r'}{\sin i} \dots (i)$.
चूंकि परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण परस्पर लंबवत हैं,परावर्तन कोण $(i)$,उनके बीच का कोण $(90^{\circ})$ और अपवर्तन कोण $(r')$ का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$i + 90^{\circ} + r' = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $r' = 90^{\circ} - i$.
इसे समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$\mu = \frac{\sin(90^{\circ} - i)}{\sin i} = \frac{\cos i}{\sin i} = \cot i$.
क्रांतिक कोण $\theta_c$ को $\theta_c = \sin^{-1}(\frac{1}{\mu})$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$\mu = \cot i$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\theta_c = \sin^{-1}(\frac{1}{\cot i}) = \sin^{-1}(\tan i)$.

(D) प्रकाश पुंज $AB$ फलक पर अभिलंबवत आपतित होता है,इसलिए यह बिना विचलित हुए प्रिज्म में प्रवेश करता है।
माना $A$ पर प्रिज्म का कोण $\theta$ है। $BC$ फलक पर आपतन कोण $\theta$ होगा।
$BC$ फलक पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $\theta$ कांच-पानी इंटरफ़ेस के लिए क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए।
अतः,$\sin \theta > \sin C$.
क्रांतिक कोण $C$ का मान $\sin C = \frac{\mu_{\text{water}}}{\mu_{\text{glass}}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\mu_{\text{glass}} = 1.5 = 3/2$ और $\mu_{\text{water}} = 4/3$ दिया गया है।
इसलिए,$\sin C = \frac{4/3}{3/2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$.
अतः,पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,$\sin \theta > 8/9$ होना चाहिए।

(B) प्रिज्म की ज्यामिति से,दूसरी सतह (सतह $BC$) पर आपतन कोण $45^{\circ}$ है।
इस सतह पर किरण के पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,आपतन कोण क्रांतिक कोण $\theta_c$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
अतः,$\theta_c \leq 45^{\circ}$।
हम जानते हैं कि $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$,जहाँ $\mu$ प्रिज्म का अपवर्तनांक है।
इसलिए,$\frac{1}{\mu} \leq \sin 45^{\circ}$।
$\frac{1}{\mu} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$\mu \geq \sqrt{2}$।
अतः,न्यूनतम अपवर्तनांक $\sqrt{2}$ है।

(D) दी गई आकृति से,प्रकाश किरण माध्यम और हवा के इंटरफेस पर $\theta$ कोण पर आपतित होती है और सतह को छूते हुए निकलती है,जिसका अर्थ है कि $\theta$ क्रांतिक कोण $(C)$ है।
प्रकाश किरण,ऊर्ध्वाधर गहराई और क्षैतिज दूरी द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,कर्ण $\sqrt{3} \ m$ है और आधार $1 \ m$ है।
त्रिकोणमिति का उपयोग करते हुए,$\sin \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
हवा के सापेक्ष माध्यम का अपवर्तनांक $\mu$,$\mu = \frac{1}{\sin C} = \frac{1}{\sin \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
$\sin \theta$ का मान रखने पर,हमें $\mu = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(B) जब प्रकाश माध्यम $x$ से माध्यम $y$ में जाता है,तो क्रांतिक कोण $\theta$ के लिए स्नेल के नियम की शर्त है: $\mu_x \sin \theta = \mu_y \sin 90^\circ$,जहाँ $\mu_x$ और $\mu_y$ माध्यमों के अपवर्तनांक हैं।
चूँकि $\sin 90^\circ = 1$,इसलिए $\frac{\mu_y}{\mu_x} = \sin \theta$.
किसी माध्यम में प्रकाश की चाल उसके अपवर्तनांक के व्युत्क्रमानुपाती होती है,$v = \frac{c}{\mu}$.
अतः,माध्यम $y$ में प्रकाश की चाल $(v_y)$ का माध्यम $x$ में प्रकाश की चाल $(v_x = v)$ के साथ संबंध अपवर्तनांक के अनुपात द्वारा दिया जाता है: $v_y = v_x \times \frac{\mu_x}{\mu_y}$.
अनुपात $\frac{\mu_x}{\mu_y} = \frac{1}{\sin \theta}$ रखने पर,हमें $v_y = \frac{v}{\sin \theta}$ प्राप्त होता है।

(B) यदि डिस्क को इस प्रकार रखा जाए कि पानी-हवा इंटरफ़ेस पर आपतन कोण क्रांतिक कोण $i_c$ के बराबर या उससे अधिक हो,तो प्रकाश बाहर आना बंद हो जाएगा।
डिस्क की त्रिज्या $r$ को $r = h \tan(i_c)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h = 4 \, m$ है।
चूँकि $\sin(i_c) = 1/\mu$,इसलिए $\tan(i_c) = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ होता है।
मान रखने पर: $r = \frac{4}{\sqrt{(5/3)^2 - 1}} = \frac{4}{\sqrt{25/9 - 1}} = \frac{4}{\sqrt{16/9}} = \frac{4}{4/3} = 3 \, m$।
अतः,व्यास $D = 2r = 2 \times 3 = 6 \, m$ होगा।

(B) आयनोस्फीयर पृथ्वी के वायुमंडल की एक आयनित परत है जिसमें सौर $UV$ विकिरण के कारण मुक्त इलेक्ट्रॉन और आयन होते हैं।
जब रेडियो तरंगें आयनोस्फीयर से होकर गुजरती हैं,तो इलेक्ट्रॉन घनत्व में बदलाव के कारण अपवर्तनांक बदल जाता है।
जैसे-जैसे रेडियो तरंगें आगे बढ़ती हैं,उनका अपवर्तन होता है और अंततः वे पृथ्वी की सतह की ओर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करती हैं।
यह प्रक्रिया मृगतृष्णा (मिराज) के निर्माण के समान है,जहाँ वायुमंडल में बदलते अपवर्तनांक के कारण प्रकाश का पूर्ण आंतरिक परावर्तन होता है।

(C) अपवर्तनांक $\mu$ माध्यम में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जिसे $\mu = \frac{\lambda_0}{\lambda}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दो माध्यमों जिनके अपवर्तनांक $\mu_1$ और $\mu_2$ $(\mu_1 > \mu_2)$ हैं,उनके बीच क्रांतिक कोण $C$ के लिए शर्त $\sin C = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ है।
चूँकि $\mu \propto \frac{1}{\lambda}$,इसलिए $\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ होगा।
यहाँ $\lambda_x = 3500 \, \mathring{A}$ और $\lambda_y = 7000 \, \mathring{A}$ दिया गया है।
यहाँ $\lambda_x < \lambda_y$ है,इसलिए $\mu_x > \mu_y$ होगा,अतः प्रकाश $x$ से $y$ में गमन करता है।
$\sin C = \frac{\lambda_x}{\lambda_y} = \frac{3500}{7000} = \frac{1}{2}$.
अतः,$C = \arcsin(0.5) = 30^o$।

(A) सतह $AB$ के लिए,आपतन कोण $i = 0$ है,इसलिए अपवर्तन कोण $r = 0$ है। प्रकाश बिना किसी विचलन के प्रिज्म में प्रवेश करता है।
सतह $AC$ के लिए,आपतन कोण $i = 45^\circ$ है। यदि $i > \theta_C$ हो,तो पूर्ण आंतरिक परावर्तन होता है,जहाँ $\theta_C$ क्रांतिक कोण है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए शर्त: $\sin i > \sin \theta_C \implies \sin 45^\circ > \frac{1}{\mu} \implies \mu > \frac{1}{\sin 45^\circ} = \sqrt{2} \approx 1.41$.
दिए गए अपवर्तनांक: $\mu_R = 1.39$,$\mu_G = 1.44$ और $\mu_B = 1.47$.
चूंकि $\mu_R < 1.41$,इसलिए लाल प्रकाश सतह $AC$ से पारगमित होगा।
चूंकि $\mu_G > 1.41$ और $\mu_B > 1.41$,इसलिए हरा और नीला दोनों प्रकाश सतह $AC$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करेंगे।
अतः,प्रिज्म लाल रंग को हरे और नीले रंग से अलग करता है।

(C) किरण के गोले से बाहर न निकलने के लिए,इसे बिंदु $B$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरना होगा।
बिंदु $B$ पर,आपतन कोण क्रांतिक कोण $C$ के बराबर होना चाहिए।
$\triangle OAB$ में,चूंकि $OA = OB$ (गोले की त्रिज्याएं),इसलिए $\angle OAB = \angle OBA = C$ है।
क्रांतिक कोण की परिभाषा से,$\sin C = 1/\mu = 1/(3/2) = 2/3$।
बिंदु $A$ पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $1 \cdot \sin i = \mu \cdot \sin(\angle OAB) = \mu \cdot \sin C$।
मान रखने पर: $\sin i = (3/2) \cdot (2/3) = 1$।
अतः,$i = 90^o$।

(B) प्रिज्म की ज्यामिति से,इंटरफेस $PQ$ पर आपतन कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण क्रांतिक कोण $C$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए,अर्थात $\theta \geq C$।
चूंकि $\theta = 60^{\circ}$ है,इसलिए $60^{\circ} \geq C$।
दोनों तरफ साइन लेने पर,$\sin 60^{\circ} \geq \sin C$।
हम जानते हैं कि $\sin C = \frac{\mu_{liquid}}{\mu_{prism}}$।
मान रखने पर,$\frac{\sqrt{3}}{2} \geq \frac{\mu_{liquid}}{1.5}$।
$\mu_{liquid} \leq 1.5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1.5 \times 0.866 = 1.299$।
अतः,द्रव का अपवर्तनांक लगभग $1.3$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए।

(D) मान लीजिए कि आधार पर प्रिज्म का कोण $\alpha$ है। प्रकाश की किरण लंबवत प्रवेश करती है,इसलिए यह बिना विचलित हुए आधार के समानांतर चलती है।
कर्ण पर,आपतन कोण $i$ कर्ण के अभिलंब और आपतित किरण के बीच का कोण है।
त्रिभुज की ज्यामिति से,कर्ण और आधार के बीच का कोण $\alpha$ है। कर्ण के अभिलंब और आधार के बीच का कोण $(90^\circ - \alpha)$ है।
चूंकि किरण आधार के समानांतर है,इसलिए कर्ण पर आपतन कोण $i = (90^\circ - \alpha)$ है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,आपतन कोण क्रांतिक कोण $C$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए,जहाँ $\sin C = \frac{1}{\mu}$ है।
अतः,$i \ge C \implies (90^\circ - \alpha) \ge C$.
सीमांत स्थिति के लिए,$90^\circ - \alpha = C$.
दोनों पक्षों का साइन लेने पर: $\sin(90^\circ - \alpha) = \sin C$.
$\cos \alpha = \frac{1}{\mu}$.
इसलिए,$\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\mu}\right)$.

(D) चित्र से,प्रकाश किरण सिक्के से सतह तक क्रांतिक कोण $C$ पर यात्रा करती है। बने त्रिभुज का आधार $3 \, cm$ है और ऊँचाई $4 \, cm$ है। कर्ण $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \, cm$ है।
क्रांतिक कोण की परिभाषा के अनुसार,$\sin C = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \frac{3}{5}$।
साथ ही,हवा के सापेक्ष तरल का अपवर्तनांक $\mu = \frac{1}{\sin C} = \frac{1}{3/5} = \frac{5}{3}$ है।
हम जानते हैं कि $\mu = \frac{c}{v}$,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ हवा में प्रकाश की चाल है और $v$ तरल में प्रकाश की चाल है।
अतः,$v = \frac{c}{\mu} = \frac{3 \times 10^8}{5/3} = \frac{9 \times 10^8}{5} = 1.8 \times 10^8 \, m/s$।

(C) पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए,अर्थात $i > C$।
इसका अर्थ है $\sin i > \sin C$।
हम जानते हैं कि $\sin C = \frac{1}{n}$,जहाँ $n$ हवा के सापेक्ष माध्यम का अपवर्तनांक है।
इस असमिका में मान रखने पर,हमें $\sin i > \frac{1}{n}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $n > \frac{1}{\sin i}$ मिलता है।
दिया गया आपतन कोण $i = 45^{\circ}$ है,इसलिए:
$n > \frac{1}{\sin 45^{\circ}}$
$n > \frac{1}{1/\sqrt{2}}$
$n > \sqrt{2} \approx 1.414$।
दिए गए विकल्पों में से,केवल $1.50$ ही $1.414$ से अधिक है। अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माध्यम $M_1$ का अपवर्तनांक $\mu_1 = c/v_1 = (3 \times 10^8) / (1.5 \times 10^8) = 2$ है।
माध्यम $M_2$ का अपवर्तनांक $\mu_2 = c/v_2 = (3 \times 10^8) / (2.0 \times 10^8) = 1.5 = 3/2$ है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,प्रकाश को सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाना चाहिए और आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $C$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
क्रांतिक कोण $C$ को $\sin C = \mu_2 / \mu_1$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
मान रखने पर,$\sin C = (3/2) / 2 = 3/4$ प्राप्त होता है।
अतः,पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए $i \geq C$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\sin i \geq \sin C$.
इस प्रकार,$i \geq \sin^{-1}(3/4)$।

(D) तालाब की आभासी और वास्तविक गहराई के बीच का अंतर प्रकाश के अपवर्तन के कारण होता है जब यह सघन माध्यम (पानी) से विरल माध्यम (हवा) में यात्रा करता है। अन्य तीन घटनाएं,जैसे ऑप्टिकल फाइबर का कार्य,गर्मियों के दिनों में मृगतृष्णा का बनना और हीरे की चमक,ये सभी पूर्ण आंतरिक परावर्तन के अनुप्रयोग या परिणाम हैं।

(A) चूंकि प्रकाश का पुंज समकोण प्रिज्म $ABC$ के फलक $AB$ पर लंबवत आपतित होता है,इसलिए फलक $AB$ पर कोई अपवर्तन नहीं होता है। प्रकाश सीधे गुजरता है और फलक $AC$ पर $i = 45^{\circ}$ के आपतन कोण पर टकराता है।
फलक $AC$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,शर्त $i > i_c$ है,जहाँ $i_c$ क्रांतिक कोण है।
हम जानते हैं कि $\sin i_c = \frac{1}{\mu}$। इसलिए,पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए शर्त $\sin i > \frac{1}{\mu}$ या $\mu > \frac{1}{\sin i}$ है।
यहाँ $i = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$। अतः,शर्त $\mu > \sqrt{2} \approx 1.414$ हो जाती है।
अपवर्तनांकों की तुलना करने पर:
लाल के लिए: $\mu_{\text{red}} = 1.39 < 1.414$।
हरे के लिए: $\mu_{\text{green}} = 1.44 > 1.414$।
नीले के लिए: $\mu_{\text{blue}} = 1.47 > 1.414$।
चूंकि $\mu_{\text{red}} < 1.414$ है,इसलिए लाल प्रकाश फलक $AC$ से अपवर्तित होकर बाहर निकल जाएगा। चूंकि $\mu_{\text{green}}$ और $\mu_{\text{blue}}$ दोनों $1.414$ से अधिक हैं,इसलिए हरा और नीला दोनों प्रकाश फलक $AC$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करेंगे।
अतः,प्रिज्म लाल रंग को हरे और नीले रंगों से अलग कर देगा।

(A) प्रकाश किरण द्रव (सघन माध्यम) से हवा (विरल माध्यम) में जा रही है। चूँकि प्रेक्षक कोने $E$ को देख पा रहा है,इसका अर्थ है कि द्रव की सतह से बाहर निकलने वाली किरण सतह को छूते हुए निकलती है,अर्थात अपवर्तन कोण $90^{\circ}$ है। अतः,आपतन कोण क्रांतिक कोण $C$ के बराबर है।
टंकी की ज्यामिति से,गहराई $3 \ cm$ और चौड़ाई $4 \ cm$ है। प्रकाश किरण द्वारा निर्मित त्रिभुज का कर्ण $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \ cm$ है।
चित्र से,$\sin C = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \frac{4}{5} = 0.8$.
अपवर्तनांक $\mu$ का मान $\mu = \frac{1}{\sin C}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\mu = \frac{1}{0.8} = \frac{5}{4} = 1.2$.

(C) स्रोत $S$ के ऊपर से दिखाई न देने के लिए,$S$ से आने वाली प्रकाश किरणों का द्रव-वायु इंटरफ़ेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होना चाहिए या उन्हें अपारदर्शी डिस्क $D$ द्वारा अवरुद्ध किया जाना चाहिए। स्रोत के पूरी तरह से छिपे रहने की शर्त यह है कि डिस्क की त्रिज्या $r$,सतह पर क्रांतिक कोण $\theta_c$ द्वारा निर्मित प्रकाश के वृत्त की त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
प्रकाश के वृत्त की त्रिज्या $r$ इस प्रकार दी जाती है:
$r = h \tan \theta_c$
चूंकि $\sin \theta_c = 1/\mu$,इसलिए $\tan \theta_c = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ होता है।
अतः,$r = \frac{h}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$।
यहाँ $r = 1\, cm$ और $\mu = 5/3$ दिया गया है,मान रखने पर:
$1 = \frac{h}{\sqrt{(5/3)^2 - 1}}$
$1 = \frac{h}{\sqrt{25/9 - 1}}$
$1 = \frac{h}{\sqrt{16/9}}$
$1 = \frac{h}{4/3}$
$h = 4/3 = 1.33\, cm$।
अतः,द्रव की अधिकतम ऊँचाई $1.33\, cm$ है।

(B) $PQ$ फलक पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ के लिए,आपतन कोण $\theta$ क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए,अर्थात $\theta > C$.
प्रिज्म की ज्यामिति से,प्रकाश $PR$ फलक पर लंबवत गिरता है,इसलिए यह बिना विचलित हुए प्रिज्म में प्रवेश करता है। $PQ$ फलक पर आपतन कोण $\theta = 60^o$ है।
$TIR$ के लिए,हमें $\theta > C$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $\sin \theta > \sin C$.
चूंकि $\sin C = \frac{\mu_{liquid}}{\mu_{prism}}$,इसलिए $\sin 60^o > \frac{\mu_{liquid}}{\mu_{prism}}$.
मान रखने पर: $\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{\mu_{liquid}}{1.5}$.
$\mu_{liquid} < 1.5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.5 \times 0.866 = 1.299$.
अतः,द्रव का अधिकतम अपवर्तनांक लगभग $1.3$ है।

(C) अपवर्तनांक $\mu$ माध्यम में तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जिसे $\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,क्रांतिक कोण $C$ को $\sin C = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\mu_1$ सघन माध्यम है और $\mu_2$ विरल माध्यम है।
दिया गया है कि $\lambda_1 = 6000 \, \mathring A$ और $\lambda_2 = 4000 \, \mathring A$ है।
चूंकि $\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$,इसलिए $\sin C = \frac{4000}{6000} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रांतिक कोण $C = \sin^{-1} \left( \frac{2}{3} \right)$ होगा।

(A) प्रकाश किरण फलक $AB$ पर लंबवत आपतित होती है,इसलिए यह बिना किसी विचलन के प्रिज्म में प्रवेश करती है।
यह फलक $BC$ पर $i = 90^o - \theta$ के आपतन कोण पर टकराती है।
प्रकाश के फलक $BC$ को पार न करने के लिए,इसे फलक $BC$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ से गुजरना होगा।
$TIR$ के लिए शर्त $i \geq \theta_c$ है,जहाँ $\theta_c$ क्रांतिक कोण है।
प्रिज्म का अपवर्तनांक $n_1 = 3/2$ है और स्लैब का अपवर्तनांक $n_2 = 6/5$ है।
क्रांतिक कोण $\theta_c$ इस प्रकार है: $\sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{6/5}{3/2} = \frac{6}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{5}$.
अतः,$\theta_c = \sin^{-1}(4/5) = 53^o$.
शर्त $i \geq \theta_c$ लागू करने पर:
$90^o - \theta \geq 53^o$
$90^o - 53^o \geq \theta$
$\theta \leq 37^o$.

(B) स्नेल के नियम के अनुसार,किसी भी परत $n$ के लिए,$\mu_0 \sin i = \mu(n) \sin r_n$ होता है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,अपवर्तन कोण $r_n = 90^\circ$ होना चाहिए,इसलिए $\sin r_n = 1$।
अतः,$\mu_0 \sin i = \mu(n)$।
दिया गया है कि $i > 30^\circ$,इसलिए $\sin i > \sin 30^\circ = 0.5$।
अतः,$\mu(n) = \mu_0 \sin i > 0.5 \mu_0$।
$\mu(n)$ का व्यंजक रखने पर:
$\mu_0 - \frac{\mu_0}{4n - 18} > 0.5 \mu_0$
$1 - \frac{1}{4n - 18} > 0.5$
$0.5 > \frac{1}{4n - 18}$
$4n - 18 > 2$
$4n > 20$
$n > 5$।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए अपवर्तनांक कम होना चाहिए,इसलिए $\mu(n) < \mu_0$ होना चाहिए।
$\mu_0 - \frac{\mu_0}{4n - 18} < \mu_0 \implies \frac{\mu_0}{4n - 18} > 0$।
इसका अर्थ है $4n - 18 > 0$,या $n > 4.5$।
$n=5$ के लिए,$\mu(5) = \mu_0 - \frac{\mu_0}{20-18} = 0.5 \mu_0$।
चूंकि $\sin i > 0.5$,इसलिए $n=5$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन की शर्त पूरी होती है।

(B) यह बिंदु $B$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का मामला है।
वृत्त की ज्यामिति से,बिंदु $B$ पर आपतन कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
संकेत के परावर्तन के बाद $C$ तक पहुँचने के लिए,$B$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होना चाहिए। अतः,आपतन कोण $\theta$ क्रांतिक कोण $\theta_C$ से बड़ा होना चाहिए।
$\theta > \theta_C \Rightarrow 45^{\circ} > \theta_C \Rightarrow \sin 45^{\circ} > \sin \theta_C$
चूंकि $\sin \theta_C = \frac{1}{\mu}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\mu} \Rightarrow \mu > \sqrt{2}$।
कांच में प्रकाश की गति $v = \frac{c}{\mu}$ है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$,इसलिए $\mu = \frac{c}{v}$।
इस मान को असमानता में रखने पर: $\frac{c}{v} > \sqrt{2} \Rightarrow v < \frac{c}{\sqrt{2}}$।
$v < \frac{3 \times 10^8}{1.414} \approx 2.12 \times 10^8 \text{ m/s}$।
दिए गए विकल्पों में से,केवल $2.4 \times 10^8 \text{ m/s}$ ही $2.12 \times 10^8 \text{ m/s}$ से अधिक है,इसलिए यह संभव नहीं है।

(A) परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण $i$,परावर्तन कोण $r$ के बराबर होता है,इसलिए $i = r$।
परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए $i + 90^{\circ} + r' = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $r' = 90^{\circ} - i = 90^{\circ} - r$।
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,विरल माध्यम के सापेक्ष सघन माध्यम का अपवर्तनांक $\mu = \frac{\sin i}{\sin r'} = \frac{\sin r}{\sin(90^{\circ} - r)} = \frac{\sin r}{\cos r} = \tan r$ है।
क्रांतिक कोण $C$ के लिए,$\sin C = \frac{1}{\mu}$ होता है।
अतः,$C = \sin^{-1}(\frac{1}{\tan r}) = \sin^{-1}(\cot r)$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $A$ है।

(D) जब प्रकाश की किरण सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाती है,तो वह अभिलंब से दूर हट जाती है।
माना आपतन कोण $i$ है और अपवर्तन कोण $r$ है।
विचलन $\delta$ को $\delta = r - i$ द्वारा दिया जाता है।
अपवर्तन होने के लिए,आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $C$ से कम होना चाहिए $(i < C)$।
जैसे-जैसे $i$,$C$ के करीब पहुंचता है,अपवर्तन कोण $r$,$90^\circ$ या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन के करीब पहुंच जाता है।
अतः,अधिकतम विचलन $\delta_{max}$ तब होता है जब $i$,$C$ से थोड़ा कम हो और $r$,$\frac{\pi}{2}$ से थोड़ा कम हो।
इन मानों को रखने पर: $\delta_{max} = \frac{\pi}{2} - C$।

(C) माना स्रोत की गहराई $h = 4 \ m$ है। द्रव का अपवर्तनांक $n = 5/3$ है।
सभी प्रकाश को रोकने के लिए,डिस्क को क्रांतिक कोण $C$ के अनुरूप क्षेत्र को कवर करना होगा।
क्रांतिक कोण पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $n \sin C = 1 \times \sin 90^{\circ}$
$\sin C = 1/n = 1 / (5/3) = 3/5$
ज्यामिति के अनुसार,$\tan C = r / h$,जहाँ $r$ डिस्क की त्रिज्या है।
चूँकि $\sin C = 3/5$,इसलिए $\cos C = \sqrt{1 - (3/5)^2} = 4/5$
अतः,$\tan C = \sin C / \cos C = (3/5) / (4/5) = 3/4$
इसलिए,$r / h = 3/4 \Rightarrow r = (3/4) \times 4 = 3 \ m$
डिस्क का व्यास $D = 2r = 2 \times 3 = 6 \ m$ है।