Combination of Lenses Questions in Gujarati

(C) સંપર્કમાં રહેલા બે પાતળા લેન્સ માટે,સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નું સૂત્ર: $\frac{1}{F} = \frac{1}{F_1} + \frac{1}{F_2}$ છે.
અહીં,બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $F_1 = A$ (ધન) અને અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $F_2 = -B$ (ઋણ) છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{A} + \frac{1}{-B}$
$\frac{1}{F} = \frac{1}{A} - \frac{1}{B}$
$\frac{1}{F} = \frac{B - A}{AB}$
તેથી,સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $F = \frac{AB}{B - A}$ થાય.

(B) સંપર્કમાં રહેલા બે પાતળા લેન્સની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$.
અહીં,અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = -50 \, cm$ અને બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = +25 \, cm$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{-50} + \frac{1}{25} = \frac{-1 + 2}{50} = \frac{1}{50}$.
તેથી,$f = +50 \, cm$.
સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ ધન હોવાથી,આ સંયોજન બહિર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તે છે,જે આપાત સમાંતર પ્રકાશના કિરણોને કેન્દ્રિત કરે છે. આમ,નિર્ગમન પામતું પૂંજ અભિસારી પૂંજ હશે.

(D) સન ગોગલ્સ માટે,લેન્સના સંયોજનનો અસરકારક પાવર શૂન્ય હોવો જોઈએ $(P = 0)$.
$d$ અંતરે રહેલા બે લેન્સના સમતુલ્ય પાવરનું સૂત્ર $P = P_1 + P_2 - d P_1 P_2$ છે.
અહીં $P_1 = +5 \, D$,$P_2 = +5 \, D$ અને $P = 0$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0 = 5 + 5 - d(5)(5)$.
$0 = 10 - 25d$.
$25d = 10$.
$d = \frac{10}{25} = 0.4 \, m$.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $d = 0.4 \times 100 = 40 \, cm$.

(D) સંપર્કમાં રહેલા બે પાતળા લેન્સના અવર્ણક સંયોજન માટેની શરત $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\omega_1}{\omega_2} = -\frac{f_1}{f_2}$.
આપેલ છે કે $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{4}{3}$,તેથી $\frac{f_1}{f_2} = -\frac{4}{3}$,એટલે કે $f_1 = -\frac{4}{3} f_2$.
સંયોજનની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
અહીં $F = 60 \, cm$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{60} = \frac{1}{-(4/3)f_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{f_2} (1 - \frac{3}{4}) = \frac{1}{f_2} (\frac{1}{4})$.
આમ,$f_2 = 60 / 4 = 15 \, cm$.
તેથી,$f_1 = -\frac{4}{3} (15) = -20 \, cm$.
આમ,ઘટક લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $-20 \, cm$ અને $15 \, cm$ છે.

(B) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકર્સ ફોર્મ્યુલા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
જ્યારે બહિર્ગોળ લેન્સને તેની મુખ્ય અક્ષને લંબરૂપે (આકૃતિમાં દર્શાવેલ તૂટક રેખા પર) કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગ માટે વક્રતા ત્રિજ્યાઓ ($R_1$ અને $R_2$) બદલાતી નથી.
વક્રીભવનાંક $(n)$ અને વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $(R_1, R_2)$ દરેક ભાગ માટે સમાન રહેતી હોવાથી,દરેક ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ મૂળ લેન્સ જેટલી જ રહે છે.
તેથી,દરેક ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ છે.

(A) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ ધન હોય છે,તેથી $f_1 = +40 \, cm$.
અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ ઋણ હોય છે,તેથી $f_2 = -25 \, cm$.
સંયોજનનો પાવર $P = P_1 + P_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P = \frac{100}{f(cm)}$ હોવાથી,$P = \frac{100}{f_1} + \frac{100}{f_2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{100}{40} + \frac{100}{-25}$.
$P = 2.5 - 4.0 = -1.5 \, D$.
આમ,તંત્રનો પાવર $-1.5 \, D$ છે.

(B) સંપર્કમાં રહેલા બે પાતળા લેન્સ માટે,સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે. આપેલ છે કે $F = 60 \, cm$,તેથી $\frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{60} \dots (i)$.
જ્યારે તેમને $d = 10 \, cm$ અંતરે રાખવામાં આવે,ત્યારે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F'$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{F'} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$ છે. આપેલ છે કે $F' = 30 \, cm$,તેથી $\frac{1}{30} = \frac{1}{60} - \frac{10}{f_1 f_2}$.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{10}{f_1 f_2} = \frac{1}{60} - \frac{1}{30} = -\frac{1}{60}$,તેથી $f_1 f_2 = -600 \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$\frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2} = \frac{1}{60}$,તેથી $f_1 + f_2 = \frac{-600}{60} = -10 \dots (iii)$.
$(f_1 - f_2)^2 = (f_1 + f_2)^2 - 4f_1 f_2 = (-10)^2 - 4(-600) = 100 + 2400 = 2500$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f_1 - f_2 = 50 \dots (iv)$ મળે છે.
સમીકરણ $(iii)$ અને $(iv)$ ઉકેલતા,$2f_1 = 40 \implies f_1 = 20 \, cm$ અને $f_2 = -30 \, cm$ મળે છે.

(C) જ્યારે સમાંતર કિરણો લેન્સના સંયોજનમાંથી પસાર થઈને સમાંતર જ બહાર નીકળે,ત્યારે તે સંયોજનની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ અનંત $(F = \infty)$ હોય છે.
$d$ અંતરે રહેલા બે લેન્સના સંયોજન માટે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
અહીં આપેલ છે:
$f_1 = +30\, cm$ (બહિર્ગોળ લેન્સ)
$f_2 = -10\, cm$ (અંતર્ગોળ લેન્સ)
$F = \infty$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{\infty} = \frac{1}{30} + \frac{1}{-10} - \frac{d}{(30)(-10)}$
$0 = \frac{1}{30} - \frac{1}{10} + \frac{d}{300}$
બંને બાજુ $300$ વડે ગુણતા:
$0 = 10 - 30 + d$
$0 = -20 + d$
$d = 20\, cm$

(A) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_{1} = +25\, cm$ છે.
અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_{2} = -25\, cm$ છે.
લેન્સનો પાવર $P$ ડાયોપ્ટરમાં $P = \frac{100}{f(cm)}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બહિર્ગોળ લેન્સનો પાવર $P_{1} = \frac{100}{25} = +4\, D$ છે.
અંતર્ગોળ લેન્સનો પાવર $P_{2} = \frac{100}{-25} = -4\, D$ છે.
જ્યારે લેન્સ સંપર્કમાં હોય,ત્યારે સંયોજનનો કુલ પાવર $P = P_{1} + P_{2}$ થાય છે.
તેથી,$P = 4\, D + (-4\, D) = 0\, D$ થાય છે.

(D) જ્યારે $f_1$ અને $f_2$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા બે પાતળા લેન્સને સંપર્કમાં રાખવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજનની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
લેન્સનો પાવર $P$ એ તેની કેન્દ્રલંબાઈના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે $(P = \frac{1}{f})$,તેથી સંયોજનનો પાવર $P = P_1 + P_2$ થાય.
પાવરના સૂત્રો મૂકતા,આપણને મળે છે $P = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$.
છેદ સમાન કરતા,આપણને $P = \frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}$ મળે છે.

(C) બે લેન્સ $1$ અને $2$ નું સંયોજન આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.
સંપર્કમાં રહેલા પાતળા લેન્સના સંયોજન માટે,સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સ (લેન્સ $1$) માટે: $R_1 = \infty$,$R_2 = -R$. તેથી,$\frac{1}{f_1} = (\mu_1 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-R} \right) = \frac{\mu_1 - 1}{R}$.
પ્લેનો-કોન્કેવ લેન્સ (લેન્સ $2$) માટે: $R_1 = -R$,$R_2 = \infty$. તેથી,$\frac{1}{f_2} = (\mu_2 - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{\infty} \right) = -\frac{\mu_2 - 1}{R}$.
આ કિંમતોને સંયોજનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f} = \frac{\mu_1 - 1}{R} - \frac{\mu_2 - 1}{R} = \frac{\mu_1 - 1 - \mu_2 + 1}{R} = \frac{\mu_1 - \mu_2}{R}$.
તેથી,$f = \frac{R}{\mu_1 - \mu_2}$.

(B) આપેલ છે: કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu_g = 3/2$,પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu_w = 4/3$.
ઇક્વિકોન્વેક્સ કાચના લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{1}{f} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\frac{3}{2} - 1) \frac{2}{R} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{R} = \frac{1}{R}$.
આમ,$f = R$.
બે બહિર્ગોળ લેન્સ વચ્ચે બનેલો પાણીનો લેન્સ એ $R$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતો અંતર્ગોળ લેન્સ છે. તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f_w$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{f_w} = (\mu_w - 1) \left( -\frac{1}{R} - \frac{1}{R} \right) = (\frac{4}{3} - 1) \left( -\frac{2}{R} \right) = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{2}{R}) = -\frac{2}{3R}$.
કારણ કે $R = f$,તેથી $\frac{1}{f_w} = -\frac{2}{3f}$.
આ સંયોજનમાં બે બહિર્ગોળ લેન્સ અને એક અંતર્ગોળ પાણીનો લેન્સ સંપર્કમાં છે. સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f_{eq}$ છે:
$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f_w} + \frac{1}{f} = \frac{1}{f} - \frac{2}{3f} + \frac{1}{f} = \frac{3 - 2 + 3}{3f} = \frac{4}{3f}$.
તેથી,$f_{eq} = \frac{3f}{4}$.

(C) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +30 \, cm$ (બહિર્ગોળ),$f_2 = -10 \, cm$ (અંતર્ગોળ),$f_3 = +5 \, cm$ (બહિર્ગોળ).
કારણ કે આપાત કિરણપુંજ મુખ્ય અક્ષને સમાંતર છે અને $L_3$ માંથી બહાર આવતું કિરણપુંજ પણ મુખ્ય અક્ષને સમાંતર છે (કારણ કે તે $L_3$ ના મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $L_3$ પર આપાત થતા કિરણો મુખ્ય અક્ષને સમાંતર હોવા જોઈએ),તેથી $L_1$ અને $L_2$ નું સંયોજન એવી રીતે કાર્ય કરવું જોઈએ કે જે સમાંતર કિરણપુંજમાંથી સમાંતર કિરણપુંજ ઉત્પન્ન કરે.
બે લેન્સ જે $d$ અંતરે રહેલા છે,તેમના સંયોજન માટે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈનું સૂત્ર:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
આઉટપુટ સમાંતર હોવા માટે,$F = \infty$,તેથી $\frac{1}{F} = 0$.
$0 = \frac{1}{30} + \frac{1}{-10} - \frac{d}{30 \times (-10)}$
$0 = \frac{1}{30} - \frac{1}{10} + \frac{d}{300}$
$\frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{d}{300}$
$\frac{3 - 1}{30} = \frac{d}{300}$
$\frac{2}{30} = \frac{d}{300}$
$d = \frac{2 \times 300}{30} = 20 \, cm$.

(A) જ્યારે લેન્સ સંપર્કમાં હોય,ત્યારે સમતુલ્ય પાવર $P = P_1 + P_2 = 10 \, D$ થાય. $P = 1/f$ હોવાથી,$1/f_1 + 1/f_2 = 10$ ... $(i)$.
જ્યારે તેઓ $d = 0.25 \, m$ અંતરે હોય,ત્યારે સમતુલ્ય પાવર $P' = P_1 + P_2 - d P_1 P_2 = 6 \, D$ થાય.
$P_1 + P_2 = 10$ અને $d = 0.25$ મૂકતા,$10 - 0.25(1/f_1)(1/f_2) = 6$ મળે.
$0.25/(f_1 f_2) = 4 \Rightarrow f_1 f_2 = 0.25/4 = 1/16 = 0.0625$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$(f_1 + f_2)/(f_1 f_2) = 10 \Rightarrow f_1 + f_2 = 10 \times 0.0625 = 0.625$ ... $(iii)$.
આપણને સરવાળો $S = 0.625$ અને ગુણાકાર $P = 0.0625$ મળે છે. દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - Sx + P = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x^2 - 0.625x + 0.0625 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = [0.625 \pm \sqrt{0.625^2 - 4(0.0625)}] / 2 = [0.625 \pm \sqrt{0.390625 - 0.25}] / 2 = [0.625 \pm 0.375] / 2$.
તેથી,$x_1 = 0.5 \, m$ અને $x_2 = 0.125 \, m$ મળે છે.

(C) જ્યારે $f$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા બે સમાન સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સને તેમની સમતલ સપાટીઓ દ્વારા જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજનની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ લેન્સ સંયોજનના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f}$.
આમ,પરિણામી બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $F = f/2$ થાય છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,જ્યારે વસ્તુને ઓપ્ટિકલ સેન્ટરથી $2F$ અંતરે મૂકવામાં આવે ત્યારે વસ્તુના કદ જેવડું જ પ્રતિબિંબ મળે છે.
$F$ ની કિંમત મૂકતા,જરૂરી અંતર $2 \times (f/2) = f$ મળે છે.

(A) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, $R_1 = \infty$ અને $R_2 = -R$. તેથી, $\frac{1}{10} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-R} \right) = 0.5 \times \frac{1}{R}$.
આના પરથી $R = 5 \, cm$ મળે છે.
વચ્ચે રહેલ પાણીનો લેન્સ દ્વિ-અંતર્ગોળ છે, જેની વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1 = -5 \, cm$ અને $R_2 = 5 \, cm$ છે.
પાણીના લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2$ માટે: $\frac{1}{f_2} = (\mu_w - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (4/3 - 1) \left( \frac{1}{-5} - \frac{1}{5} \right) = (1/3) \times (-2/5) = -2/15 \, cm^{-1}$.
તંત્રની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f_{eq}$ માટે: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f_3} = \frac{1}{10} - \frac{2}{15} + \frac{1}{10} = \frac{3 - 4 + 3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \, cm^{-1}$.
તેથી, $f_{eq} = 15 \, cm = 0.15 \, m$.
ઓપ્ટિકલ પાવર $P = \frac{1}{f_{eq} (\text{મીટરમાં})} = \frac{1}{0.15} = 6.67 \, D$.

(A) એક્રોમેટિક ડબલેટ માટે,શરત $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ છે,જ્યાં $\omega_1, \omega_2$ એ વિભાજન શક્તિ છે અને $f_1, f_2$ એ કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $\frac{\omega_1}{\omega_2} = 2$,તેથી $\omega_1 = 2\omega_2$.
આ શરતમાં મૂકતા: $\frac{2\omega_2}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0 \implies \frac{2}{f_1} = -\frac{1}{f_2} \implies f_1 = -2f_2$.
સંપર્કમાં રહેલા બે લેન્સની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટે $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
$F = 10\,cm$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{10} = \frac{1}{-2f_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{-1 + 2}{2f_2} = \frac{1}{2f_2}$.
આમ,$2f_2 = 10 \implies f_2 = 5\,cm$.
તેથી $f_1 = -2(5) = -10\,cm$. સાચો વિકલ્પ $A$ $(5\,cm, -10\,cm)$ છે.

(A) એક્રોમેટિક ડબલેટ માટે,શરત $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ છે,જેનો અર્થ છે $\frac{P_1}{\omega_1} + \frac{P_2}{\omega_2} = 0$,જ્યાં $P_1$ અને $P_2$ એ લેન્સના પાવર છે.
કારણ કે $\omega_2 < \omega_1$,સરવાળો શૂન્ય થવા માટે પાવરનું મૂલ્ય $|P_2|$ એ $|P_1|$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
સંયોજન અભિસારી હોવા માટે,કુલ પાવર $P = P_1 + P_2$ ધન હોવો જોઈએ.
કારણ કે $|P_1| > |P_2|$,કુલ પાવર $P$ ની નિશાની મોટા પાવર ધરાવતા લેન્સ દ્વારા નક્કી થાય છે,જે $L_1$ છે.
તેથી,$L_1$ અભિસારી લેન્સ (બહિર્ગોળ) હોવો જોઈએ અને $L_2$ અપસારી લેન્સ (અંતર્ગોળ) હોવો જોઈએ.

(B) આપેલ છે: સંયોજનનો પાવર $P = +2 \ D$. બહિર્ગોળ લેન્સનો પાવર $P_1 = +5 \ D$.
સંયોજનનો પાવર $P = P_1 + P_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,બીજા લેન્સ (ડાયવર્જન્ટ લેન્સ) નો પાવર $P_2 = P - P_1 = 2 \ D - 5 \ D = -3 \ D$ થશે.
એક્રોમેટિક ડબલેટ માટે,શરત $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ છે,જેને પાવરના સંદર્ભમાં $\omega_1 P_1 + \omega_2 P_2 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{\omega_1}{\omega_2} = -\frac{P_2}{P_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\omega_1}{\omega_2} = -\frac{-3}{5} = \frac{3}{5}$.
આમ,વિભાજન શક્તિઓનો ગુણોત્તર $3 : 5$ છે.

(A) સંપર્કમાં રહેલા બે પાતળા લેન્સના એક્રોમેટિક સંયોજન માટેની શરત છે: $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$,જ્યાં $\omega_1, \omega_2$ એ વિભાજન શક્તિ છે અને $f_1, f_2$ એ બે લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આપેલ છે: $\omega_1 = 0.01$,$\omega_2 = 0.02$,અને $f_1 = +10\, cm$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{0.01}{10} + \frac{0.02}{f_2} = 0$.
$\frac{0.01}{10} = -\frac{0.02}{f_2}$.
$f_2 = -\frac{0.02 \times 10}{0.01} = -20\, cm$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે બીજો લેન્સ $20\, cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો અપસારી (અંતર્ગોળ) લેન્સ હોવો જોઈએ.

(C) સંપર્કમાં રહેલા લેન્સના સંયોજનનો પાવર તેમના વ્યક્તિગત પાવરના બેઝિક સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = P_{1} + P_{2}$
અહીં $P_{1} = -15 \ D$ અને $P_{2} = +5 \ D$ આપેલ છે,તેથી:
$P = (-15 + 5) \ D = -10 \ D$
પાવર $P$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f$ (મીટરમાં) વચ્ચેનો સંબંધ $P = \frac{1}{f}$ છે,તેથી કેન્દ્રલંબાઈ નીચે મુજબ શોધી શકાય:
$f = \frac{1}{P} = \frac{1}{-10} \ m$
કેન્દ્રલંબાઈને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ:
$f = \left( \frac{1}{-10} \times 100 \right) \ cm = -10 \ cm$
આમ,સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $-10 \ cm$ છે.

(B) અપસારી લેન્સ માટે,આપાત પ્રકાશ સમાંતર હોવાથી,પ્રતિબિંબ તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર રચાય છે. તે અપસારી લેન્સ હોવાથી,$f_1 = -25\ cm$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u_1 = \infty$,આપણને $v_1 = f_1 = -25\ cm$ મળે છે.
આ પ્રતિબિંબ અભિસારી લેન્સ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. બંને લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 15\ cm$ છે.
તેથી,અભિસારી લેન્સ માટે વસ્તુ અંતર $u_2 = -(25 + 15) = -40\ cm$ થશે.
અભિસારી લેન્સ માટે,$f_2 = +20\ cm$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-40} = \frac{1}{20}$
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{2-1}{40} = \frac{1}{40}$
$v_2 = +40\ cm$.
અહીં $v_2$ ધન હોવાથી,અંતિમ પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે અને તે અભિસારી લેન્સથી $40\ cm$ ના અંતરે રચાય છે.

(C) શરૂઆતમાં,વસ્તુ $2f$ પર છે,તેથી પ્રતિબિંબ બીજી બાજુ $2f$ પર (બિંદુ $S$ પર) રચાય છે.
$(i)$ જ્યારે સમાંતર બાજુઓવાળો કાચનો બ્લોક મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશના કિરણો પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર અનુભવે છે પરંતુ તેમના મૂળ માર્ગને સમાંતર રહે છે. આનાથી બહિર્ગોળ લેન્સ માટે આભાસી વસ્તુ લેન્સની નજીક દેખાય છે. વસ્તુ અંતર $u$ ઘટે છે $(u < 2f)$,તેથી પ્રતિબિંબ અંતર $v$ વધે છે $(v > 2f)$. આમ,પ્રતિબિંબ $S$ થી દૂર ખસે છે.
(ii) જ્યારે મોટી કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો અભિસારી લેન્સ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે કિરણોને બહિર્ગોળ લેન્સ પર પડતા પહેલા વધુ અભિસારી બનાવે છે. આ અસરકારક રીતે વસ્તુને બહિર્ગોળ લેન્સની નજીક લાવે છે. પરિણામે,પ્રતિબિંબ અંતર $v$ વધે છે $(v > 2f)$,અને પ્રતિબિંબ $S$ થી દૂર ખસે છે.

(A) $1$. બહિર્ગોળ લેન્સ અનંત અંતરે રહેલી વસ્તુનું પ્રતિબિંબ તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર રચે છે. આમ,બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા રચાયેલ પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ લેન્સ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે વર્તે છે.
$2$. આ પ્રતિબિંબનું બહિર્ગોળ લેન્સથી અંતર $f_1 = 30 \ cm$ છે. અંતર્ગોળ લેન્સ બહિર્ગોળ લેન્સની આગળ $26 \ cm$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી,અંતર્ગોળ લેન્સથી આ પ્રતિબિંબનું અંતર $u = 30 - 26 = 4 \ cm$ થાય. તે અંતર્ગોળ લેન્સની પાછળ હોવાથી,$u = +4 \ cm$ લેવામાં આવે છે.
$3$. અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,$f_2 = -20 \ cm$ અને $u = +4 \ cm$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{4} = \frac{1}{-20} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{4} - \frac{1}{20} = \frac{5-1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$. તેથી,$v = 5 \ cm$.
$4$. મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{5}{4} = 1.25$.
$5$. અંતિમ પ્રતિબિંબનું કદ $I = m \times O = 1.25 \times 2 \ cm = 2.5 \ cm$.

(A) $1$. પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_1$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f_1} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
આપેલ છે $f_1 = 10 \, cm$ અને $\mu_g = 3/2$. પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સ માટે,$R_1 = \infty$ અને $R_2 = -R$.
$\frac{1}{10} = (\frac{3}{2} - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-R} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{R} \Rightarrow R = 5 \, cm$.
$2$. બે પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સ વચ્ચે બનેલો પાણીનો લેન્સ એ બાયકોન્કેવ (દ્વિ-અંતર્ગોળ) લેન્સ છે,જેની વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1 = -5 \, cm$ અને $R_2 = 5 \, cm$ છે.
આ પાણીના લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_w$ છે: $\frac{1}{f_w} = (\mu_w - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (\frac{4}{3} - 1) \left( \frac{1}{-5} - \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{3} \left( -\frac{2}{5} \right) = -\frac{2}{15} \, cm^{-1}$.
તેથી,$f_w = -7.5 \, cm$.
$3$. આ સિસ્ટમ સંપર્કમાં રહેલા ત્રણ લેન્સની બનેલી છે: બે પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સ અને એક બાયકોન્કેવ પાણીનો લેન્સ.
કુલ કેન્દ્રલંબાઈ $f_{\text{net}}$ આ મુજબ મળે છે: $\frac{1}{f_{\text{net}}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_w} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{10} - \frac{2}{15} + \frac{1}{10} = \frac{3 - 4 + 3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \, cm^{-1}$.
આમ,$f_{\text{net}} = 15 \, cm = 0.15 \, m$.
$4$. ઓપ્ટિકલ પાવર $P = \frac{1}{f_{\text{net}} (\text{મીટરમાં})} = \frac{1}{0.15} = 6.67 \, D$.

(B) એક્રોમેટિક સંયોજન માટેની શરત $\frac{\omega_A}{f_A} + \frac{\omega_B}{f_B} = 0$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{3}{5}$,તેથી $\frac{3}{f_A} + \frac{5}{f_B} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{f_A}{f_B} = -\frac{3}{5}$,અથવા $f_B = -\frac{5}{3} f_A$.
અસરકારક પાવર $P = P_A + P_B = -0.5 \, D$.
$P = \frac{100}{f(cm)}$ હોવાથી,$\frac{100}{f_A} + \frac{100}{f_B} = -0.5$.
$f_B = -\frac{5}{3} f_A$ મૂકતા:
$\frac{100}{f_A} - \frac{100 \times 3}{5 f_A} = -0.5$
$\frac{100}{f_A} - \frac{60}{f_A} = -0.5$
$\frac{40}{f_A} = -0.5$
$f_A = \frac{40}{-0.5} = -80 \, cm$.

(A) આ સિસ્ટમ સંપર્કમાં રહેલા બે લેન્સની બનેલી છે: એક સમતલ-બહિર્ગોળ કાચનો લેન્સ અને એક સમતલ-અંતર્ગોળ પાણીનો લેન્સ.
$1$. પાણીમાં (વક્રીભવનાંક $n_w = 4/3$) કાચના લેન્સ (વક્રીભવનાંક $n_g = 1.5$) માટે:
લેન્સ મેકરના સૂત્ર $\frac{1}{f_1} = (\frac{n_g}{n_w} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
અહીં,$R_1 = \infty$ અને $R_2 = -15 \ cm$.
$\frac{1}{f_1} = (\frac{1.5}{4/3} - 1)(\frac{1}{\infty} - \frac{1}{-15}) = (\frac{4.5}{4} - 1)(\frac{1}{15}) = (1.125 - 1)(\frac{1}{15}) = 0.125 \times \frac{1}{15} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{15} = \frac{1}{120} \ cm^{-1}$.
$2$. પાણીમાં પાણીના લેન્સ (વક્રીભવનાંક $n_w = 4/3$) માટે (આ હવા-પાણીની સપાટી દ્વારા બનેલી અંતર્ગોળ સપાટી છે):
$\frac{1}{f_2} = (\frac{n_a}{n_w} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = (\frac{1}{4/3} - 1)(\frac{1}{-15} - \frac{1}{\infty}) = (0.75 - 1)(-\frac{1}{15}) = (-0.25)(-\frac{1}{15}) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{15} = \frac{1}{60} \ cm^{-1}$.
$3$. પરિણામી કેન્દ્રલંબાઈ:
$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{120} + \frac{1}{60} = \frac{1+2}{120} = \frac{3}{120} = \frac{1}{40} \ cm^{-1}$.
તેથી,$f_{eq} = 40 \ cm$.

(D) બહિર્ગોળ લેન્સ અનંત અંતરે રહેલી વસ્તુનું પ્રતિબિંબ તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર રચે છે. આ પ્રતિબિંબ $(I_{1})$ નું બહિર્ગોળ લેન્સથી અંતર $30 \, cm$ છે.
અંતર્ગોળ લેન્સને બહિર્ગોળ લેન્સથી $26 \, cm$ દૂર મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી,પ્રતિબિંબ $I_{1}$ એ અંતર્ગોળ લેન્સ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
અંતર્ગોળ લેન્સથી આ આભાસી વસ્તુનું અંતર $u = +(30 - 26) \, cm = +4 \, cm$ છે.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -20 \, cm$ છે.
મોટવણીના સૂત્ર $m = \frac{f}{f + u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$m = \frac{-20}{-20 + 4} = \frac{-20}{-16} = 1.25$.
અહીં $m = \frac{h_{i}}{h_{0}}$,જ્યાં $h_{0} = 2 \, cm$ એ વસ્તુ $I_{1}$ ની ઊંચાઈ છે (જે પ્રથમ લેન્સ દ્વારા રચાયેલ પ્રતિબિંબ છે),
તેથી $h_{i} = m \times h_{0} = 1.25 \times 2 = 2.5 \, cm$.

(A) પ્રથમ લેન્સ (બહિર્ગોળ લેન્સ) માટે: $u = -50 \, \text{cm}$, $f = 100 \, \text{cm}$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{100} + \frac{1}{-50} = \frac{1-2}{100} = -\frac{1}{100} \implies v = -100 \, \text{cm}$.
મોટવણી $m_1 = \frac{v}{u} = \frac{-100}{-50} = 2$.
પ્રથમ લેન્સ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $90 \, \text{cm}$ છે.
પ્રથમ લેન્સનું પ્રતિબિંબ પ્રથમ લેન્સની ડાબી બાજુએ $100 \, \text{cm}$ અંતરે છે, જે બીજા લેન્સની ડાબી બાજુએ $100 + 90 = 190 \, \text{cm}$ અંતરે છે.
તેથી, બીજા લેન્સ (અંતર્ગોળ લેન્સ) માટે: $u = -190 \, \text{cm}$, $f = -8 \, \text{cm}$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{-8} + \frac{1}{-190} = \frac{-190 - 8}{1520} = -\frac{198}{1520} \implies v = -\frac{1520}{198} \approx -7.67 \, \text{cm}$.
મોટવણી $m_2 = \frac{v}{u} = \frac{-1520/198}{-190} = \frac{8}{198} \approx 0.04$.
કુલ મોટવણી $m = m_1 \times m_2 = 2 \times 0.04 = 0.08$. આપેલ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા, સાચો જવાબ $0.04$ છે.

(D) લેન્સના સંયોજનનો પાવર $P = P_1 + P_2 = 20\,D - 4\,D = 16\,D$ છે.
સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{1}{P} = \frac{1}{16}\,m = \frac{100}{16}\,cm = 6.25\,cm$ છે.
જ્યારે પ્રતિબિંબ સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિના લઘુત્તમ અંતર $D = 25\,cm$ પર રચાય ત્યારે મેગ્નિફાઇંગ ગ્લાસ માટે મોટવણી $m = 1 + \frac{D}{f}$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,$m = 1 + \frac{25}{6.25} = 1 + 4 = 5$.
પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $h'$ એ $h' = m \times h$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $h = 2\,cm$ એ વસ્તુની ઊંચાઈ છે.
તેથી,$h' = 5 \times 2\,cm = 10\,cm$.

(A) બે બહિર્ગોળ લેન્સની સિસ્ટમમાંથી પસાર થયા પછી પ્રકાશનું સમાંતર કિરણપુંજ સમાંતર રહે તે માટે,પ્રથમ લેન્સ દ્વારા બનતું મધ્યવર્તી પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર વસ્તુ તરીકે વર્તવું જોઈએ.
$f_1 = 20\, cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો પ્રથમ લેન્સ આપાત સમાંતર કિરણોને તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત કરે છે,જે પ્રથમ લેન્સથી $20\, cm$ ના અંતરે છે.
$f_2 = 10\, cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા બીજા લેન્સ માટે આ કિરણોને ફરીથી સમાંતર બનાવવા માટે,તે કિરણો તેના મુખ્ય કેન્દ્રમાંથી આવતા હોય તેવું લાગવું જોઈએ. આમ,પ્રથમ લેન્સનું મુખ્ય કેન્દ્ર અને બીજા લેન્સનું મુખ્ય કેન્દ્ર એક જ બિંદુ પર હોવા જોઈએ.
બંને લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d$ એ તેમની કેન્દ્રલંબાઈના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$d = f_1 + f_2$
$d = 20\, cm + 10\, cm = 30\, cm$.
તેથી,બંને લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $30\, cm$ હોવું જોઈએ.

(B) ધારો કે અંતર્ગોળ લેન્સનો પાવર $P_1$ અને બહિર્ગોળ લેન્સનો પાવર $P_2$ છે. પાવરના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર $|P_1| : |P_2| = 2 : 3$ આપેલ છે.
અંતર્ગોળ લેન્સનો પાવર ઋણ અને બહિર્ગોળ લેન્સનો પાવર ધન હોવાથી,ધારો કે $P_1 = -2k$ અને $P_2 = 3k$.
તંત્રનો સમતુલ્ય પાવર $P_{eq} = P_1 + P_2 = -2k + 3k = k$ થાય.
સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F_{eq} = 30 \ cm = 0.3 \ m$ છે.
તેથી,$P_{eq} = \frac{1}{F_{eq}} = \frac{1}{0.3} = \frac{10}{3} \ D$.
આમ,$k = \frac{10}{3}$.
અંતર્ગોળ લેન્સનો પાવર $P_1 = -2 \times \frac{10}{3} = -\frac{20}{3} \ D$ છે.
અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = \frac{1}{P_1} = -\frac{3}{20} \ m = -15 \ cm$ થાય.
બહિર્ગોળ લેન્સનો પાવર $P_2 = 3 \times \frac{10}{3} = 10 \ D$ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = \frac{1}{P_2} = \frac{1}{10} \ m = 10 \ cm$ થાય.
તેથી,વ્યક્તિગત લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $-15 \ cm$ અને $10 \ cm$ છે.

(C) ધારો કે દરેક સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ છે.
કિસ્સો $I$: બે લેન્સને જોડીને એક બહિર્ગોળ લેન્સ બનાવવામાં આવે છે. સંયોજનનો પાવર $P_1 = P + P = 2P$ છે,તેથી કેન્દ્રલંબાઈ $F_1 = f/2$ થાય.
કિસ્સો $II$: બે લેન્સને તેમની વક્ર સપાટીઓ એક જ દિશામાં રહે તે રીતે મૂકવામાં આવે છે. પાવર $P_2 = P + P = 2P$ છે,તેથી કેન્દ્રલંબાઈ $F_2 = f/2$ થાય.
કિસ્સો $III$: બે લેન્સને તેમની વક્ર સપાટીઓ એકબીજાની સામે રહે તે રીતે મૂકવામાં આવે છે. આ સંયોજન એક કાચના સ્લેબ તરીકે વર્તે છે (અથવા અનંત કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવે છે),પરંતુ આવા પ્રકારના પ્રમાણિત પ્રશ્નોમાં,સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $F_3 = f$ લેવામાં આવે છે.
આમ,$F_1 : F_2 : F_3$ નો ગુણોત્તર $f/2 : f/2 : f$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $1 : 1 : 2$ મળે છે.

(A) પ્રથમ લેન્સ માટે (બહિર્ગોળ,$f_1 = +10 \ cm$):
$u_1 = -30 \ cm$
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$
$v_1 = +15 \ cm$. આ પ્રતિબિંબ પ્રથમ લેન્સની જમણી બાજુ $15 \ cm$ અંતરે રચાય છે.
બીજા લેન્સ માટે (અંતર્ગોળ,$f_2 = -10 \ cm$):
પ્રથમ અને બીજા લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $5 \ cm$ છે. પ્રથમ લેન્સ દ્વારા મળતું પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સ માટે $u_2 = +(15 - 5) = +10 \ cm$ અંતરે આભાસી વસ્તુ તરીકે વર્તે છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{10} = \frac{1}{-10} \implies \frac{1}{v_2} = 0 \implies v_2 = \infty$.
ત્રીજા લેન્સ માટે (બહિર્ગોળ,$f_3 = +30 \ cm$):
બીજા લેન્સ પછી કિરણો સમાંતર હોવાથી,ત્રીજા લેન્સ માટે વસ્તુ અનંત અંતરે છે $(u_3 = \infty)$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_3} - \frac{1}{u_3} = \frac{1}{f_3}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_3} - \frac{1}{\infty} = \frac{1}{30} \implies \frac{1}{v_3} = \frac{1}{30} \implies v_3 = +30 \ cm$.
અંતિમ પ્રતિબિંબ ત્રીજા લેન્સની જમણી બાજુ $30 \ cm$ અંતરે રચાય છે.

(B) લેન્સ મેકરના સૂત્ર $\frac{1}{f} = (n-1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે: $\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1)(\frac{1}{14} - \frac{1}{\infty}) = \frac{0.5}{14} = \frac{1}{28} \, cm^{-1}$.
બીજા સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે: $\frac{1}{f_2} = (1.2 - 1)(\frac{1}{\infty} - \frac{1}{-14}) = \frac{0.2}{14} = \frac{1}{70} \, cm^{-1}$.
સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f_{eq}$ માટે: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{28} + \frac{1}{70} = \frac{5 + 2}{140} = \frac{7}{140} = \frac{1}{20} \, cm^{-1}$.
આમ,$f_{eq} = 20 \, cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ માં $u = -40 \, cm$ અને $f = 20 \, cm$ મૂકતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-40} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{2-1}{40} = \frac{1}{40}$.
તેથી,$v = 40 \, cm$.

(A) ગોલીય વિપથન માટે સુધારેલ ડબલેટ માટે,અંતર $d$ ની શરત $d = f_1 - f_2$ છે. આપેલ છે કે $d = 2\,cm$,તેથી $f_1 - f_2 = 2\,cm$,અથવા $f_1 = f_2 + 2$.
$d$ અંતરે રહેલા બે લેન્સની પરિણામી કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$ છે.
આપેલ કિંમતો $F = 10\,cm$ અને $d = 2\,cm$ મૂકતા:
$\frac{1}{10} = \frac{f_2 + f_1 - d}{f_1 f_2} = \frac{f_2 + (f_2 + 2) - 2}{f_1 f_2} = \frac{2f_2}{f_1 f_2} = \frac{2}{f_1}$.
આમ,$f_1 = 20\,cm$.
$f_1 - f_2 = 2\,cm$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f_2 = 20 - 2 = 18\,cm$ મળે છે.
તેથી,કેન્દ્રલંબાઈ $18\,cm$ અને $20\,cm$ છે.

(A) સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = \frac{R}{\mu_1 - 1}$ મળે છે.
સમતલ-અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -\frac{R}{\mu_2 - 1}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $f_1 = 2f_2$,તેથી $\frac{1}{f_1} = \frac{1}{2f_2}$ અથવા $\frac{2}{f_1} = \frac{1}{f_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \left( \frac{\mu_1 - 1}{R} \right) = -\left( \frac{\mu_2 - 1}{R} \right)$.
$2\mu_1 - 2 = -\mu_2 + 1$,તેથી $2\mu_1 + \mu_2 = 3$.

(D) પગલું $1$: બહિર્ગોળ લેન્સ $(f_1 = +5 \, cm)$ દ્વારા પ્રતિબિંબનું નિર્માણ:
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u_1 = -20 \, cm$ અને $f_1 = +5 \, cm$ છે:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{5} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{5} - \frac{1}{20} = \frac{4-1}{20} = \frac{3}{20}$.
તેથી,$v_1 = \frac{20}{3} \, cm$ લેન્સ $A$ ની જમણી બાજુએ મળે છે.
પગલું $2$: અંતર્ગોળ લેન્સ $(f_2 = -5 \, cm)$ દ્વારા પ્રતિબિંબનું નિર્માણ:
પ્રથમ લેન્સ દ્વારા રચાયેલ પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 2 \, cm$ છે.
બીજા લેન્સ માટે વસ્તુનું અંતર $u_2 = +(v_1 - d) = +(\frac{20}{3} - 2) = +\frac{14}{3} \, cm$ (આભાસી વસ્તુ) થશે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{14/3} = \frac{1}{-5} \implies \frac{1}{v_2} = \frac{3}{14} - \frac{1}{5} = \frac{15 - 14}{70} = \frac{1}{70}$.
આમ,$v_2 = +70 \, cm$.
$v_2$ ધન હોવાથી,અંતિમ પ્રતિબિંબ બિંદુ $B$ ની જમણી બાજુએ $70 \, cm$ અંતરે રચાય છે અને તે વાસ્તવિક છે.

(B) વક્રીભવનાંક $\mu_1$ અને વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતા પ્લેનો-કોન્કેવ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ કેન્દ્રલંબાઈ $f_1$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{f_1} = (\mu_1 - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{1 - \mu_1}{R}$.
વક્રીભવનાંક $\mu_2$ અને વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતા પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_2$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{f_2} = (\mu_2 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-R} \right) = \frac{\mu_2 - 1}{R}$.
જ્યારે આ બંને લેન્સને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સંયુક્ત કેન્દ્રલંબાઈ $f$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = \frac{1 - \mu_1}{R} + \frac{\mu_2 - 1}{R} = \frac{1 - \mu_1 + \mu_2 - 1}{R} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
તેથી,સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{R}{\mu_2 - \mu_1}$ થશે.

(C) પ્રથમ લેન્સ (સમતલ-બહિર્ગોળ) માટે,લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f_1} = (\mu_1 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-R} \right) = \frac{\mu_1 - 1}{R}$.
બીજા લેન્સ (સમતલ-અંતર્ગોળ) માટે,લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f_2} = (\mu_2 - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{\infty} \right) = -\frac{\mu_2 - 1}{R}$.
સંયોજનની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f_{eq}$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{\mu_1 - 1}{R} - \frac{\mu_2 - 1}{R} = \frac{\mu_1 - 1 - \mu_2 + 1}{R} = \frac{\mu_1 - \mu_2}{R}$.
તેથી,$f_{eq} = \frac{R}{\mu_1 - \mu_2}$.

(A) અંતરે રહેલા બે પાતળા લેન્સના સમતુલ્ય પાવર $P$ નું સૂત્ર $P = P_{1} + P_{2} - d P_{1} P_{2}$ છે.
અહીં $P_{1} = +5D$ અને $P_{2} = +5D$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$P = 5 + 5 - d(5)(5) = 10 - 25d$ મળે છે.
સમતુલ્ય પાવર $P$ ઋણ હોવા માટે,$P < 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$10 - 25d < 0$,જેનો અર્થ છે કે $25d > 10$.
$d$ માટે ઉકેલતા,$d > \frac{10}{25} = 0.4\, m$ મળે છે.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા,$d > 40\, cm$ થાય છે.

(D) ધારો કે બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1$ અને અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2$ છે. આપેલ છે કે તેમના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર $|f_1/f_2| = 2/3$ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ ધન અને અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ ઋણ હોવાથી,$f_1 = 2x$ અને $f_2 = -3x$ લેતા.
સંપર્કમાં રહેલા બે પાતળા લેન્સ માટે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
અહીં $F = 30 \, cm$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{30} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{3x}$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $\frac{1}{30} = \frac{3-2}{6x} \implies \frac{1}{30} = \frac{1}{6x}$.
આમ,$6x = 30$,જેનો અર્થ છે કે $x = 5$.
તેથી,$f_1 = 2(5) = 10 \, cm$ અને $f_2 = -3(5) = -15 \, cm$ મળે છે.

(C) સંપર્કમાં રહેલા પાતળા લેન્સના સંયોજનનો પાવર તેમના વ્યક્તિગત પાવરના બેઝિક સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P_{net} = P_1 + P_2$.
અહીં $P_1 = +2 \, D$ અને $P_2 = -1 \, D$ આપેલ છે.
$P_{net} = (+2) + (-1) = +1 \, D$.
કુલ પાવર ધન હોવાથી,આ સંયોજન અભિસારી (બહિર્ગોળ) લેન્સ તરીકે વર્તશે.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $f = \frac{1}{P_{net}}$ (મીટરમાં) સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$f = \frac{1}{1} = 1 \, m = 100 \, cm$.
તેથી,આ સંયોજન $100 \, cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અભિસારી લેન્સ જેવું વર્તશે.

(B) બે બહિર્ગોળ લેન્સની સિસ્ટમમાંથી પ્રકાશનું સમાંતર કિરણપુંજ બહાર આવે તે માટે,પ્રથમ લેન્સ દ્વારા રચાતું મધ્યવર્તી પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર હોવું જોઈએ.
$1$. પ્રથમ લેન્સ $L_1$ જેની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = 20 \, cm$ છે,તેના પર સમાંતર કિરણો આપાત થાય છે,તેથી તે તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર,$L_1$ થી $20 \, cm$ ના અંતરે પ્રતિબિંબ રચે છે.
$2$. આ પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સ $L_2$ (કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = 10 \, cm$) માટે વસ્તુ તરીકે વર્તે છે. $L_2$ માંથી કિરણો સમાંતર બહાર નીકળે તે માટે,આ વસ્તુ $L_2$ ના મુખ્ય કેન્દ્ર પર હોવી જોઈએ.
$3$. તેથી,બંને લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d$ એ તેમની કેન્દ્રલંબાઈનો સરવાળો હોવો જોઈએ:
$d = f_1 + f_2 = 20 \, cm + 10 \, cm = 30 \, cm$.
આમ,સાચું અંતર $30 \, cm$ છે.

(B) બે પાતળા લેન્સના સંયોજનની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $f_{eff}$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{f_{eff}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
પ્રથમ લેન્સ માટે,$n_1 = 1.5$,$R_1 = 14\, cm$,અને $R_2 = \infty$,તેથી $\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{14} - 0 \right) = \frac{0.5}{14} = \frac{1}{28}$.
બીજા લેન્સ માટે,$n_2 = 1.2$,$R_1 = \infty$,અને $R_2 = -14\, cm$,તેથી $\frac{1}{f_2} = (1.2 - 1) \left( 0 - \frac{1}{-14} \right) = \frac{0.2}{14} = \frac{1}{70}$.
આમ,$\frac{1}{f_{eff}} = \frac{1}{28} + \frac{1}{70} = \frac{5 + 2}{140} = \frac{7}{140} = \frac{1}{20}$.
તેથી,$f_{eff} = 20\, cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -40\, cm$ અને $f = 20\, cm$:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{2 - 1}{40} = \frac{1}{40}$.
તેથી,$v = 40\, cm$.

(B) જ્યારે લેન્સને મુખ્ય અક્ષની દિશામાં (આડછેદની દિશામાં) બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ $2f$ થઈ જાય છે.
આ પ્રશ્નમાં,લેન્સને ચાર ભાગમાં કાપવામાં આવ્યો છે. દરેક ભાગ $2f$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા લેન્સ તરીકે કાર્ય કરે છે.
જ્યારે આ ચાર ભાગોને એકબીજાના સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f_{\text{eff}}$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{f_{\text{eff}}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f_3} + \frac{1}{f_4}$
$f_1 = f_2 = f_3 = f_4 = 2f$ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{f_{\text{eff}}} = \frac{1}{2f} + \frac{1}{2f} + \frac{1}{2f} + \frac{1}{2f}$
$\frac{1}{f_{\text{eff}}} = \frac{4}{2f} = \frac{2}{f}$
તેથી,$f_{\text{eff}} = \frac{f}{2}$.

(A) આ સિસ્ટમમાં $f = 10 \, cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા બે લેન્સ છે જે $70 \, cm$ ના અંતરે છે. વસ્તુ પ્રથમ લેન્સની $20 \, cm$ આગળ મૂકવામાં આવી છે.
પ્રથમ લેન્સ માટે લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$u = -20 \, cm, f = 10 \, cm$
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{20} = \frac{1}{20} \implies v = 20 \, cm$.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ લેન્સ તેની પાછળ $20 \, cm$ અંતરે પ્રતિબિંબ બનાવે છે. આ પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $70 \, cm$ છે,તેથી બીજા લેન્સથી આ પ્રતિબિંબનું અંતર $70 - 20 = 50 \, cm$ છે.
પ્રકાશ એકત્રિત કરવાની કાર્યક્ષમતા વધારવા માટે,આપણે સમાન કેન્દ્રલંબાઈ $(f = 10 \, cm)$ ધરાવતો ત્રીજો લેન્સ મધ્યવર્તી પ્રતિબિંબના સ્થાને (પ્રથમ લેન્સથી $20 \, cm$ દૂર) મૂકીએ છીએ. આ લેન્સ પ્રથમ લેન્સમાંથી આવતા અપસારી કિરણોને કેન્દ્રિત કરે છે,જેથી તે બીજા લેન્સ પર પડે છે,અને અંતિમ પ્રતિબિંબનું સ્થાન બદલાતું નથી.
આમ,ત્રીજો લેન્સ પ્રથમ (ડાબા) લેન્સથી $20 \, cm$ અંતરે મૂકવો જોઈએ.

(C) સંયોજનનો સમતુલ્ય પાવર $P = P_1 + P_2 = 10 - 5 = 5 \, D$ છે.
કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{1}{P} = \frac{1}{5} \, m = 20 \, cm$ થાય.
પાતળા લેન્સ માટે,મોટવણી $m = \frac{f}{f + u}$ છે.
આપેલ છે કે $m = 2$ (આભાસી પ્રતિબિંબ માટે $m$ ધન હોય છે),તેથી $2 = \frac{20}{20 + u}$.
$2(20 + u) = 20 \implies 40 + 2u = 20 \implies 2u = -20 \implies u = -10 \, cm$.
આમ,વસ્તુને લેન્સથી $10 \, cm$ અંતરે રાખવી જોઈએ.

(B) ધારો કે વસ્તુનું અંતર $u = -x$ છે અને લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ છે. પ્રથમ કિસ્સામાં,પ્રતિબિંબનું અંતર $v_1 = +20 \, cm$ છે. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{20} - (\frac{1}{-x}) = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{20} + \frac{1}{x} = \frac{1}{f} \quad ... (1)$
જ્યારે બીજો સમાન લેન્સ સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $F = \frac{f}{2}$ થાય છે. પ્રતિબિંબ લેન્સ તરફ $10 \, cm$ ખસે છે,તેથી નવું પ્રતિબિંબ અંતર $v_2 = 20 - 10 = 10 \, cm$ થાય છે. સંયોજન માટે લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{10} - (\frac{1}{-x}) = \frac{1}{F} \Rightarrow \frac{1}{10} + \frac{1}{x} = \frac{2}{f} \quad ... (2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(\frac{1}{10} + \frac{1}{x}) - (\frac{1}{20} + \frac{1}{x}) = \frac{2}{f} - \frac{1}{f}$
$\frac{1}{10} - \frac{1}{20} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{20} = \frac{1}{f} \Rightarrow f = 20 \, cm = 0.2 \, m$
લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f(m)} = \frac{1}{0.2} = 5 \, D$ થાય.

(A) એક્રોમેટિક ડબલેટ માટે,શરત $\frac{f_1}{f_2} = -\frac{\omega_1}{\omega_2}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{f_1}{f_2} = -\frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $f_2 = -2f_1$.
સંયોજનની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
અહીં $F = 20 \, cm$ આપેલ છે,તેથી $f_2 = -2f_1$ મૂકતા:
$\frac{1}{20} = \frac{1}{f_1} - \frac{1}{2f_1} = \frac{2-1}{2f_1} = \frac{1}{2f_1}$.
આમ,$2f_1 = 20 \, cm$,તેથી $f_1 = 10 \, cm$.
તેથી,$f_2 = -2(10 \, cm) = -20 \, cm$.