Combination of Lenses Questions in Gujarati

(B) અંતરે રહેલા બે પાતળા લેન્સની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
અહીં,$f_1$ એ બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ (ધન) છે અને $f_2$ એ અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ (ઋણ) છે.
જ્યારે લેન્સને સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે અંતર $d = 0$ થાય છે.
સૂત્રમાં $d = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
કારણ કે $f_1 > 0$ અને $f_2 < 0$,ધારો કે $f_1 = f$ અને $f_2 = -f'$ (જ્યાં $f, f' > 0$).
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f'}$
જ્યારે લેન્સને અલગ સ્થિતિમાંથી સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે $-\frac{d}{f_1 f_2}$ પદ (જે ઋણ હતું કારણ કે $f_1 f_2 < 0$) દૂર થાય છે. પરિણામે,સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ અલગ સ્થિતિની સરખામણીમાં વધે છે.

(A) અંતરે રહેલા બે પાતળા લેન્સની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $(F)$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
અહીં $f_1 = 0.2 \,m$,$f_2 = 0.2 \,m$ અને $d = 0.5 \,m$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{0.2} + \frac{1}{0.2} - \frac{0.5}{(0.2)(0.2)}$
$\frac{1}{F} = 5 + 5 - \frac{0.5}{0.04}$
$\frac{1}{F} = 10 - 12.5$
$\frac{1}{F} = -2.5$
તેથી,$F = -\frac{1}{2.5} = -0.4 \,m$.

(D) જ્યારે બે પાતળા લેન્સ સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
આપેલ ત્રણેય કિસ્સાઓમાં,આપણી પાસે બે સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ છે,જે દરેકની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ છે. જ્યારે તેમને સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે આ સંયોજન એક લેન્સ સિસ્ટમ તરીકે કાર્ય કરે છે.
કિસ્સો $(i)$: બંને લેન્સ તેમની વક્ર સપાટીઓ એક જ દિશામાં રહે તે રીતે સંપર્કમાં છે. અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{1}{F_1} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f}$ થાય,તેથી $F_1 = \frac{f}{2}$.
કિસ્સો $(ii)$: બંને લેન્સ સંપર્કમાં આવીને એક બહિર્ગોળ લેન્સ બનાવે છે. અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{1}{F_2} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f}$ થાય,તેથી $F_2 = \frac{f}{2}$.
કિસ્સો $(iii)$: બંને લેન્સ તેમની વક્ર સપાટીઓ એકબીજાની સામે રહે તે રીતે સંપર્કમાં છે. અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{1}{F_3} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f}$ થાય,તેથી $F_3 = \frac{f}{2}$.
આમ,તેમની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈનો ગુણોત્તર $F_1 : F_2 : F_3 = \frac{f}{2} : \frac{f}{2} : \frac{f}{2} = 1 : 1 : 1$ છે.

(C) આપેલ છે કે,બે પાતળા લેન્સના પાવરનો સરવાળો $P_1 + P_2 = 9 \text{ D}$ છે.
જ્યારે તેમને $d = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$ ના અંતરે રાખવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય પાવર $P$ નું સૂત્ર:
$P = P_1 + P_2 - d P_1 P_2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{27}{5} = 9 - 0.2 \times P_1 P_2$
$5.4 = 9 - 0.2 \times P_1 P_2$
$0.2 \times P_1 P_2 = 9 - 5.4 = 3.6$
$P_1 P_2 = \frac{3.6}{0.2} = 18$
આપણી પાસે $P_1 + P_2 = 9$ અને $P_1 P_2 = 18$ છે. દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (P_1+P_2)x + P_1 P_2 = 0$ એ $x^2 - 9x + 18 = 0$ બને છે.
આને ઉકેલતા,$(x-3)(x-6) = 0$,તેથી $x = 3$ અથવા $x = 6$.
આમ,વ્યક્તિગત પાવર $3 \text{ D}$ અને $6 \text{ D}$ છે.

(B) આપેલ છે: બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_{1} = 30 \,cm$, અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_{2} = -20 \,cm$, અને પ્રારંભિક પ્રતિબિંબનું કદ $h_{o} = 2 \,cm$.
વસ્તુ અનંત અંતરે હોવાથી, બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર મળે છે, એટલે કે $v_{1} = 30 \,cm$.
અંતર્ગોળ લેન્સને બહિર્ગોળ લેન્સથી $26 \,cm$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે. તેથી, બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ લેન્સ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે વર્તે છે.
અંતર્ગોળ લેન્સથી આ આભાસી વસ્તુનું અંતર $u_{2} = v_{1} - 26 = 30 - 26 = 4 \,cm$ થશે.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{u_{2}} = \frac{1}{f_{2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{4} = \frac{1}{-20}$.
$\frac{1}{v_{2}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{20} = \frac{5-1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.
તેથી, $v_{2} = 5 \,cm$.
અંતર્ગોળ લેન્સ દ્વારા મળતી મોટવણી $m = \frac{v_{2}}{u_{2}} = \frac{5}{4} = 1.25$.
પ્રતિબિંબનું નવું કદ $h_{i} = m \times h_{o} = 1.25 \times 2 \,cm = 2.5 \,cm$.

(C) સંપર્કમાં રહેલા લેન્સના સંયોજનનો પાવર $P = P_1 + P_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $P_1 = -1.75 D$ અને $P_2 = +2.25 D$ આપેલ છે.
તેથી,$P = -1.75 + 2.25 = 0.5 D$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અને પાવર $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $f = \frac{1}{P}$ (મીટરમાં) છે.
$f = \frac{1}{0.5} = 2 \,m$.
કારણ કે $1 \,m = 100 \,cm$,તેથી $f = 2 \times 100 = 200 \,cm$.

(D) ધારો કે બે લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1$ અને $f_2$ છે.
જ્યારે લેન્સ સંપર્કમાં હોય,ત્યારે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
અહીં $F = 4 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{4}$.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2} = \frac{1}{4}$ મળે છે.
આપણને $f_1 + f_2 = 18 \ cm$ આપેલ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{18}{f_1 f_2} = \frac{1}{4}$,જેથી $f_1 f_2 = 72 \ cm^2$ મળે.
આમ,આપણી પાસે સરવાળો $f_1 + f_2 = 18$ અને ગુણાકાર $f_1 f_2 = 72$ છે.
આ કિંમતો દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 18x + 72 = 0$ ના બીજ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 6)(x - 12) = 0$.
તેથી,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $6 \ cm$ અને $12 \ cm$ છે.
પાવર $P$ એ કેન્દ્રલંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(P = \frac{1}{f})$.
જે લેન્સનો પાવર ઓછો હોય તેની કેન્દ્રલંબાઈ વધારે હોય.
તેથી,ઓછા પાવર ધરાવતા લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $12 \ cm$ છે.

(C) અંતર્ગોળ લેન્સ માટે:
$u = -30 \ cm$,$f = -20 \ cm$
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{-20}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{-3-2}{60} = -\frac{5}{60} = -\frac{1}{12}$
$v = -12 \ cm$ (પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ લેન્સની ડાબી બાજુ $12 \ cm$ પર રચાય છે).
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે:
અંતર્ગોળ લેન્સ દ્વારા રચાયેલ પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
બંને લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $5 \ cm$ છે.
$u = -(12 + 5) = -17 \ cm$,$f = +10 \ cm$
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-17} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{17} = \frac{17 - 10}{170} = \frac{7}{170}$
$v = \frac{170}{7} \approx 24.29 \ cm$ બહિર્ગોળ લેન્સની જમણી બાજુ.
બહિર્ગોળ લેન્સ અંતર્ગોળ લેન્સની જમણી બાજુ $5 \ cm$ પર હોવાથી,અંતર્ગોળ લેન્સથી અંતિમ પ્રતિબિંબનું અંતર $24.29 + 5 = 29.29 \ cm$ (જમણી બાજુ) થશે.

(C) બે લેન્સની સિસ્ટમમાંથી પ્રકાશનું સમાંતર કિરણપુંજ સમાંતર રીતે બહાર નીકળે તે માટે, પ્રથમ લેન્સનું બીજું મુખ્ય કેન્દ્ર અને બીજા લેન્સનું પ્રથમ મુખ્ય કેન્દ્ર એક જ બિંદુ પર હોવા જોઈએ。
ધારો કે $L_1$ એ $f_1 = -15 \,cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો અપસારી લેન્સ છે અને $L_2$ એ $f_2$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો અભિસારી લેન્સ છે。
$L_1$ પર આપાત થતું સમાંતર કિરણપુંજ તેના મુખ્ય કેન્દ્ર $F_1$ માંથી અપસરણ પામતું હોય તેમ લાગે છે, જે $L_1$ ની ડાબી બાજુએ $15 \,cm$ અંતરે છે。
કિરણો $L_2$ માંથી સમાંતર બહાર નીકળે તે માટે, $L_2$ પર આપાત થતા કિરણો તેના મુખ્ય કેન્દ્ર $F_2$ માંથી આવતા હોય તેમ લાગવું જોઈએ, જે $L_2$ ની ડાબી બાજુએ તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2$ જેટલા અંતરે આવેલું છે。
સિસ્ટમની ભૂમિતિ મુજબ, બે લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 40 \,cm$ છે。
મુખ્ય કેન્દ્ર $F_1$ એ $L_1$ ની ડાબી બાજુએ $15 \,cm$ અંતરે છે. તેથી, $L_2$ થી $F_1$ નું અંતર $15 \,cm + 40 \,cm = 55 \,cm$ થાય。
કિરણો સમાંતર બહાર નીકળે તે માટે $F_1$ અને $F_2$ એક જ બિંદુ પર હોવા જોઈએ, તેથી અભિસારી લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = 55 \,cm$ થાય。

(A) $\mu_1$ વક્રીભવનાંક અને $R$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતા સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ કેન્દ્રલંબાઈ $f_1$ છે: $1/f_1 = (\mu_1 - 1)(1/R - 1/\infty) = (\mu_1 - 1)/R$.
$\mu_2$ વક્રીભવનાંક અને $R$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતા સમતલ-અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_2$ છે: $1/f_2 = (\mu_2 - 1)(-1/\infty - 1/R) = -(\mu_2 - 1)/R$.
જ્યારે બંને લેન્સને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર $1/F = 1/f_1 + 1/f_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1/F = (\mu_1 - 1)/R - (\mu_2 - 1)/R = (\mu_1 - 1 - \mu_2 + 1)/R = (\mu_1 - \mu_2)/R$.
તેથી,સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $F = R/(\mu_1 - \mu_2)$ થશે.

(D) આપેલ છે:
પ્રથમ લેન્સની વિખેરણ શક્તિ,$\omega_1 = 0.45$.
બીજા લેન્સની વિખેરણ શક્તિ,$\omega_2 = 0.21$.
બીજા લેન્સ (બહિર્ગોળ) ની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_2 = 84 \,cm$.
સંપર્કમાં રહેલા બે પાતળા લેન્સના એરોમેટિક સંયોજન માટેની શરત નીચે મુજબ છે:
$\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$
$\Rightarrow \frac{\omega_1}{f_1} = -\frac{\omega_2}{f_2}$
$\Rightarrow \frac{f_1}{f_2} = -\frac{\omega_1}{\omega_2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{f_1}{84} = -\frac{0.45}{0.21}$
$f_1 = -\frac{45}{21} \times 84$
$f_1 = -\frac{45}{1} \times 4$
$f_1 = -180 \,cm$
આમ,જરૂરી લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $-180 \,cm$ છે.

(B) આપેલ છે કે,લેન્સનો પાવર $P_1 = -1.6 D$ અને $P_2 = +2.1 D$ છે.
જ્યારે બે પાતળા લેન્સને સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજનનો કુલ પાવર $P$ એ વ્યક્તિગત પાવરના સરવાળા જેટલો હોય છે:
$P = P_1 + P_2 = -1.6 D + 2.1 D = 0.5 D$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ (મીટરમાં) અને પાવર $P$ (ડાયોપ્ટરમાં) વચ્ચેનો સંબંધ $P = \frac{1}{f(m)}$ છે.
સેન્ટિમીટરમાં કેન્દ્રલંબાઈ શોધવા માટે,આપણે $f(cm) = \frac{100}{P(D)}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$P$ ની કિંમત મૂકતા:
$f = \frac{100}{0.5} = 200 cm$.
તેથી,સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $200 cm$ છે.

(A) કાચના સ્લેબ માટે,સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F = \infty$ હોય છે.
$f_1$ અને $f_2$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા બે પાતળા લેન્સ $d$ અંતરે રાખેલા હોય,તો તેમની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
આ સંયોજન કાચના સ્લેબ તરીકે વર્તે છે,તેથી $F = \infty$ લેતા,$\frac{1}{F} = 0$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$0 = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
$0 = \frac{f_2 + f_1}{f_1 f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
$\frac{d}{f_1 f_2} = \frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}$
$d = f_1 + f_2$
આમ,લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $f_1 + f_2$ હોવું જોઈએ.

(C) આપેલ છે: બે બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = 20 \,cm$ અને $f_2 = 30 \,cm$ છે.
જ્યારે બે પાતળા લેન્સને સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે,ત્યારે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30}$
$\frac{1}{F} = \frac{3 + 2}{60} = \frac{5}{60}$
$\frac{1}{F} = \frac{1}{12}$
તેથી,$F = 12 \,cm$.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે: વસ્તુ અંતર $u_1 = -8 \,cm$, કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +4 \,cm$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $\frac{1}{v_1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{-8} = \frac{1}{8}$, તેથી $v_1 = +8 \,cm$. આ પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ લેન્સ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે: લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 6 \,cm$ છે. બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ તેની પાછળ $8 \,cm$ અંતરે છે, જે અંતર્ગોળ લેન્સની પાછળ $8 - 6 = 2 \,cm$ અંતરે છે. આમ, અંતર્ગોળ લેન્સ માટે $u_2 = +2 \,cm$ અને $f_2 = -4 \,cm$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $\frac{1}{v_2} = \frac{1}{-4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$, તેથી $v_2 = +4 \,cm$. આનો અર્થ એ છે કે અંતિમ પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ લેન્સની જમણી બાજુએ $4 \,cm$ અંતરે રચાય છે.
વસ્તુ બહિર્ગોળ લેન્સની ડાબી બાજુએ $8 \,cm$ અંતરે છે. વસ્તુ અને બહિર્ગોળ લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $8 \,cm$ છે, લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $6 \,cm$ છે, અને અંતર્ગોળ લેન્સ તથા અંતિમ પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $4 \,cm$ છે. વસ્તુ અને અંતિમ પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું કુલ અંતર $8 + 6 + 4 = 18 \,cm$ છે.

(B) આપેલ છે: લેન્સ $A$ ની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = 2 \,cm$. લેન્સ $B$ ની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = 5 \,cm$. લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 14 \,cm$. લેન્સ $A$ માટે વસ્તુ અંતર $u_1 = -3 \,cm$.
લેન્સ $A$ માટે, લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-3} = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$
$v_1 = 6 \,cm$.
લેન્સ $A$ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ લેન્સ $B$ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. લેન્સ $B$ થી આ પ્રતિબિંબનું અંતર $u_2 = -(d - v_1) = -(14 - 6) = -8 \,cm$ છે.
લેન્સ $B$ માટે, લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-8} = \frac{1}{5}$
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{5} - \frac{1}{8} = \frac{8 - 5}{40} = \frac{3}{40}$
$v_2 = \frac{40}{3} \,cm$.
લેન્સ $A$ થી અંતિમ પ્રતિબિંબનું અંતર એ લેન્સ વચ્ચેનું અંતર અને લેન્સ $B$ થી પ્રતિબિંબનું અંતરનો સરવાળો છે:
અંતર $= d + v_2 = 14 + \frac{40}{3} = \frac{42 + 40}{3} = \frac{82}{3} \,cm$.

(B) સંપર્કમાં રહેલા ત્રણ પાતળા લેન્સની સંયુક્ત કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{1}{F} = \frac{1}{F_1} + \frac{1}{F_2} + \frac{1}{F_3}$ છે.
અહીં $F_1 = F_2 = F_3 = 3 \,cm$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{F} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \,cm^{-1}$.
આમ,અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F = 1 \,cm$ મળે છે.
સામાન્ય ગોઠવણમાં સિમ્પલ મેગ્નિફાયર (અથવા લેન્સ સંયોજન) ની મોટવણી $M = 1 + \frac{D}{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિનું લઘુત્તમ અંતર છે.
અહીં $D = 25 \,cm$ અને $F = 1 \,cm$ હોવાથી,$M = 1 + \frac{25}{1} = 26$ મળે છે.

(A) બે પાતળા લેન્સના એક્રોમેટિક સંયોજન માટેની શરત $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{f_1}{f_2} = -\frac{\omega_1}{\omega_2}$.
આપેલ વિભાજન શક્તિનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{4}{3}$ હોવાથી,$\frac{f_1}{f_2} = -\frac{4}{3}$,તેથી $f_1 = -\frac{4}{3}f_2$.
સંયોજનની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
$F = 60 \ cm$ અને $f_1 = -\frac{4}{3}f_2$ મૂકતા:
$\frac{1}{60} = \frac{1}{-(4/3)f_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{f_2} (1 - \frac{3}{4}) = \frac{1}{f_2} (\frac{1}{4})$.
આમ,$f_2 = 60 \times \frac{1}{4} = 15 \ cm$.
તેથી,$f_1 = -\frac{4}{3} \times 15 = -20 \ cm$.
આમ,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $-20 \ cm$ અને $15 \ cm$ છે.

(D) આપેલ છે:
પ્રથમ લેન્સની વિભાજન શક્તિ, $\omega_1 = 0.45$.
બીજા લેન્સની વિભાજન શક્તિ, $\omega_2 = 0.21$.
બીજા લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ, $f_2 = 84 \,cm$.
સંપર્કમાં રહેલા બે પાતળા લેન્સના વર્ણવિપથનરહિત સંયોજન માટેની શરત નીચે મુજબ છે:
$\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$
$\frac{\omega_1}{f_1} = -\frac{\omega_2}{f_2}$
$\frac{f_1}{f_2} = -\frac{\omega_1}{\omega_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$f_1 = -f_2 \times \left( \frac{\omega_1}{\omega_2} \right)$
$f_1 = -84 \times \left( \frac{0.45}{0.21} \right)$
$f_1 = -84 \times \left( \frac{45}{21} \right)$
$f_1 = -84 \times \frac{15}{7}$
$f_1 = -12 \times 15 = -180 \,cm$.
આમ, લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $-180 \,cm$ છે.

(D) એક્રોમેટિક ડબલેટ એ બે અલગ-અલગ દ્રવ્યોમાંથી બનેલા લેન્સનું સંયોજન છે,જે ક્રોમેટિક એબરેશન (રંગભૂલ) ઘટાડવા માટે બનાવવામાં આવે છે.
એક્રોમેટિક ડબલેટ માટે,સંયોજન એક્રોમેટિક બને તે માટેની શરત નીચે મુજબ છે:
$\omega_1 P_1 + \omega_2 P_2 = 0$
જ્યાં $P_1$ અને $P_2$ એ બે લેન્સના પાવર છે અને $\omega_1$ અને $\omega_2$ એ તેમના સંબંધિત ડિસ્પર્સિવ પાવર છે.
આ સમીકરણ સૂચવે છે કે તેમના પાવર અને ડિસ્પર્સિવ પાવરના ગુણાકારનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.

(C) સફેદ પ્રકાશમાં લેન્સ દ્વારા બનતું વસ્તુનું પ્રતિબિંબ સામાન્ય રીતે રંગીન અને અસ્પષ્ટ હોય છે કારણ કે લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ સાથે બદલાય છે. આ ખામીને ક્રોમેટિક એબરેશન (વર્ણવિપથન) કહેવામાં આવે છે.
લેન્સનું એક્રોમેટિક સંયોજન આ વર્ણવિપથનને ઘટાડવા અથવા દૂર કરવા માટે બનાવવામાં આવે છે.
જુદા જુદા દ્રવ્યોના બે લેન્સ (સામાન્ય રીતે ક્રાઉન ગ્લાસનો બહિર્ગોળ લેન્સ અને ફ્લિન્ટ ગ્લાસનો અંતર્ગોળ લેન્સ) ને જોડીને,એક લેન્સ દ્વારા થતું વિભાજન બીજા લેન્સ દ્વારા રદ કરવામાં આવે છે.
તેથી,પરિણામી પ્રતિબિંબ વર્ણવિપથનથી મુક્ત હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રતિબિંબની ગુણવત્તા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ સાથે વક્રીભવનાંકના ફેરફારથી પ્રભાવિત થતી નથી.

(B) આકૃતિ પરથી,વસ્તુ $O$ લેન્સ $A$ થી $30 \ cm$ અંતરે છે. લેન્સ $B$ એ લેન્સ $A$ થી $5 \ cm$ અંતરે છે,અને લેન્સ $C$ એ લેન્સ $B$ થી $10 \ cm$ અંતરે છે.
લેન્સ $A$ માટે: $u_A = -30 \ cm, f_A = +10 \ cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_A} - \frac{1}{u_A} = \frac{1}{f_A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_A} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{10} \Rightarrow \frac{1}{v_A} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \Rightarrow v_A = 15 \ cm$.
લેન્સ $A$ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ લેન્સ $B$ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. લેન્સ $B$ થી આ પ્રતિબિંબનું અંતર $u_B = +(v_A - 5) = +(15 - 5) = +10 \ cm$ છે.
લેન્સ $B$ માટે: $u_B = +10 \ cm, f_B = -10 \ cm$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v_B} - \frac{1}{10} = \frac{1}{-10} \Rightarrow \frac{1}{v_B} = 0 \Rightarrow v_B = \infty$.
લેન્સ $B$ માંથી બહાર આવતા કિરણો સમાંતર છે,તેથી તે લેન્સ $C$ માટે અનંત અંતરે રહેલી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
લેન્સ $C$ માટે: $u_C = \infty, f_C = +30 \ cm$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v_C} - \frac{1}{\infty} = \frac{1}{30} \Rightarrow v_C = 30 \ cm$.
અંતિમ પ્રતિબિંબ લેન્સ $C$ થી $30 \ cm$ અંતરે રચાય છે. વસ્તુથી લેન્સ $C$ નું કુલ અંતર $30 + 5 + 10 = 45 \ cm$ છે. અંતિમ પ્રતિબિંબ લેન્સ $C$ થી $30 \ cm$ અંતરે હોવાથી,વસ્તુથી તેનું અંતર $45 + 30 = 75 \ cm$ થશે.

(D) પ્રથમ લેન્સ માટે:
$f_1 = +10 \ cm, u_1 = -30 \ cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{u_1} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3-1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
તેથી,$v_1 = +15 \ cm$.
આ પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. પ્રથમ અને બીજા લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $5 \ cm$ છે,તેથી બીજા લેન્સ માટે વસ્તુ અંતર $u_2 = +(15 - 5) = +10 \ cm$ થશે.
બીજા લેન્સ માટે $(f_2 = -10 \ cm)$:
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{f_2} + \frac{1}{u_2} = \frac{1}{-10} + \frac{1}{10} = 0$.
તેથી,$v_2 = \infty$.
બીજા લેન્સમાંથી બહાર આવતા કિરણો મુખ્ય અક્ષને સમાંતર હોય છે.
આ સમાંતર કિરણો ત્રીજા લેન્સ $(f_3 = +30 \ cm)$ પર પડે છે. બહિર્ગોળ લેન્સ પર આપાત થતા સમાંતર કિરણો તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થાય છે.
તેથી,અંતિમ પ્રતિબિંબ ત્રીજા લેન્સથી $30 \ cm$ ના અંતરે રચાય છે.

(B) પ્રથમ લેન્સ માટે:
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f_1} = \frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f_1 = 2 \ m$ અને $u_1 = -4 \ m$ છે:
$\frac{1}{2} = \frac{1}{v_1} - \frac{1}{-4} \Rightarrow \frac{1}{v_1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow v_1 = 4 \ m$.
આ પ્રતિબિંબ પ્રથમ લેન્સની જમણી બાજુએ $4 \ m$ અંતરે રચાય છે.
બીજા લેન્સ માટે:
લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $3 \ m$ છે. પ્રથમ લેન્સ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
પ્રતિબિંબ પ્રથમ લેન્સની જમણી બાજુએ $4 \ m$ અંતરે હોવાથી અને બીજો લેન્સ પ્રથમ લેન્સથી $3 \ m$ જમણી બાજુએ હોવાથી,પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સની જમણી બાજુએ $1 \ m$ અંતરે છે.
તેથી,બીજા લેન્સ માટે વસ્તુ અંતર $u_2 = +1 \ m$ (આભાસી વસ્તુ) થશે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f_2} = \frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f_2 = 1 \ m$ અને $u_2 = +1 \ m$ છે:
$\frac{1}{1} = \frac{1}{v_2} - \frac{1}{1} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = 1 + 1 = 2 \Rightarrow v_2 = 0.5 \ m$.
અંતિમ પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સની જમણી બાજુએ $0.5 \ m$ અંતરે રચાય છે.
સ્ત્રોતથી કુલ અંતર $= 4 \ m$ (પ્રથમ લેન્સ સુધી) $+ 3 \ m$ (લેન્સ વચ્ચેનું) $+ 0.5 \ m$ (બીજા લેન્સથી) $= 7.5 \ m$.

(D) પ્રથમ સ્થિતિ માટે,લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
આપેલ છે કે $f_1 = 10 \ cm$ અને $u = -30 \ cm$.
$\frac{1}{10} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-30} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3-1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
તેથી,$v = 15 \ cm$.
બીજી સ્થિતિ માટે,જ્યારે અંતર્ગોળ લેન્સ સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવું પ્રતિબિંબ અંતર $v' = v + 45 \ cm = 15 + 45 = 60 \ cm$ થાય છે.
વસ્તુ અંતર $u = -30 \ cm$ સમાન રહે છે.
ધારો કે $F$ એ સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ છે: $\frac{1}{F} = \frac{1}{v'} - \frac{1}{u} = \frac{1}{60} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{60} + \frac{2}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$.
તેથી,$F = 20 \ cm$.
સંયોજનના સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{20} = \frac{1}{10} + \frac{1}{f_2} \Rightarrow \frac{1}{f_2} = \frac{1}{20} - \frac{1}{10} = \frac{1-2}{20} = -\frac{1}{20}$.
આમ,$f_2 = -20 \ cm$.
અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈનું મૂલ્ય $20 \ cm$ છે.

(D) પ્રથમ લેન્સ $L_1$ માટે,વસ્તુ અંતર $u_1 = -4f$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = f$ છે. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-4f} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_1} = \frac{1}{f} - \frac{1}{4f} = \frac{3}{4f} \Rightarrow v_1 = \frac{4f}{3}$.
આ પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સ $L_2$ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{f}{2}$ છે.
બીજા લેન્સ માટે વસ્તુ અંતર $u_2 = v_1 - d = \frac{4f}{3} - \frac{f}{2} = \frac{8f - 3f}{6} = \frac{5f}{6}$ થાય.
વસ્તુ $L_2$ ની ડાબી બાજુએ હોવાથી,$u_2 = -\frac{5f}{6}$ લેવાય.
$L_2$ માટે લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $(f_2 = f)$:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2} \Rightarrow \frac{1}{v_2} - \frac{1}{-5f/6} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_2} + \frac{6}{5f} = \frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{f} - \frac{6}{5f} = \frac{5 - 6}{5f} = -\frac{1}{5f} \Rightarrow v_2 = -5f$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે અંતિમ પ્રતિબિંબ $L_2$ ની ડાબી બાજુએ $5f$ અંતરે રચાય છે.

(B) આપેલ લેન્સનું સંયોજન ત્રણ લેન્સના સંપર્કથી બનેલું છે: બે સમાન ઇક્વિકોન્વેક્સ કાચના લેન્સ ($L_1$ અને $L_3$) અને તેમની વચ્ચે બનેલો પાણીનો લેન્સ $(L_2)$.
ધારો કે દરેક કાચના લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1$ છે અને પાણીના લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2$ છે.
લેન્સ સંપર્કમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f_3}$
$L_1$ અને $L_3$ સમાન હોવાથી,$f_1 = f_3 = f$. પાણીનો લેન્સ $L_2$ એ બાયકોન્કેવ લેન્સ છે,તેથી તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2$ ઋણ છે.
આમ,$\frac{1}{F} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f} + \frac{1}{f_2}$.
ધારો કે $R$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા છે. કાચના લેન્સ માટે,$\frac{1}{f} = (\mu_g - 1)(\frac{2}{R})$. પાણીના લેન્સ માટે,$\frac{1}{f_2} = -(\mu_w - 1)(\frac{2}{R})$.
કારણ કે $\mu_g > \mu_w$,કાચના લેન્સના પાવરનું મૂલ્ય પાણીના લેન્સ કરતા વધારે છે,એટલે કે $|\frac{1}{f}| > |\frac{1}{f_2}|$.
તેથી,$\frac{1}{F} = \frac{2}{f} - |\frac{1}{f_2}|$. કારણ કે $|\frac{1}{f_2}| > 0$,$\frac{1}{F} < \frac{2}{f}$,જે સૂચવે છે કે $F > \frac{f}{2}$.
વધુમાં,$\frac{1}{F} = \frac{2}{f} - |\frac{1}{f_2}|$ હોવાથી,તે સ્પષ્ટ છે કે $\frac{1}{F} > \frac{1}{f}$ (કારણ કે આપણે $\frac{2}{f}$ માંથી ધન મૂલ્ય બાદ કરી રહ્યા છીએ પરંતુ ચોખ્ખો પાવર હજુ પણ ધન છે અને $\frac{2}{f}$ કરતા ઓછો છે),તેથી $F < f$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $\frac{f}{2} < F < f$ મળે છે.

(A) લેન્સનો પાવર $P = \frac{100}{f}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ કેન્દ્રલંબાઈ $cm$ માં છે.
પ્રથમ લેન્સ માટે,$P_1 = \frac{100}{20} = 5 \ D$.
બીજા લેન્સ માટે,$P_2 = \frac{100}{25} = 4 \ D$.
જ્યારે બે પાતળા લેન્સ સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજનનો અસરકારક પાવર $P_{eff}$ એ તેમના વ્યક્તિગત પાવરનો સરવાળો છે: $P_{eff} = P_1 + P_2$.
તેથી,$P_{eff} = 5 \ D + 4 \ D = 9 \ D$.

(A) લેન્સનું કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
પ્રથમ સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે: $\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1)(\frac{1}{15} - \frac{1}{\infty}) = 0.5 \times \frac{1}{15} = \frac{1}{30} \ cm^{-1}$.
બીજા સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે: $\frac{1}{f_2} = (1.2 - 1)(\frac{1}{\infty} - (-\frac{1}{12})) = 0.2 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{60} \ cm^{-1}$.
સંયોજનની કુલ કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{1}{f_{net}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{2+1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20} \ cm^{-1}$,તેથી $f_{net} = 20 \ cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -30 \ cm$ અને $f = 20 \ cm$:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{20} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3-2}{60} = \frac{1}{60}$.
આમ,$v = 60 \ cm$.
મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{60}{-30} = -2$ થાય.

(A) જગ્યા વગરના સંયુક્ત લેન્સ માટે: સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ એ $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{5} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{20} \ cm$ દ્વારા મળે છે. તેથી,$F = -20 \ cm$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ નો ઉપયોગ કરીને,$u = -10 \ cm$ સાથે,આપણને $\frac{1}{v} = \frac{1}{-20} + \frac{1}{-10} = -\frac{3}{20}$ મળે છે,તેથી $v_1 = -\frac{20}{3} \ cm$. મોટવણી $m_1 = \frac{v_1}{u} = \frac{-20/3}{-10} = \frac{2}{3}$.
$d = 1 \ cm$ થી અલગ પડેલા લેન્સ માટે: પ્રથમ લેન્સ (બહિર્ગોળ) $v'$ અંતરે પ્રતિબિંબ રચે છે જ્યાં $\frac{1}{v'} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{5} \implies \frac{1}{v'} = \frac{1}{10} \implies v' = 10 \ cm$. મોટવણી $m_{1}' = \frac{v'}{u} = \frac{10}{-10} = -1$. આ પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. અંતર્ગોળ લેન્સથી આ પ્રતિબિંબનું અંતર $u' = v' - d = 10 - 1 = 9 \ cm$ છે. તે લેન્સની પાછળ હોવાથી,$u' = +9 \ cm$. અંતર્ગોળ લેન્સ માટે લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v''} - \frac{1}{9} = \frac{1}{-4} \implies \frac{1}{v''} = \frac{1}{9} - \frac{1}{4} = -\frac{5}{36} \implies v'' = -\frac{36}{5} \ cm$. મોટવણી $m_{2}' = \frac{v''}{u'} = \frac{-36/5}{9} = -\frac{4}{5}$. કુલ મોટવણી $m_2 = m_{1}' \times m_{2}' = (-1) \times (-4/5) = 4/5$. અંતે,$\left|\frac{m_1}{m_2}\right| = \left|\frac{2/3}{4/5}\right| = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{6}$.

(B) બે બહિર્ગોળ લેન્સ ધરાવતા બીમ એક્સપાન્ડર (કિરણપુંજ વિસ્તારક) માટે, મોટવણી $M$ એ આઉટપુટ કિરણપુંજના વ્યાસ અને ઇનપુટ કિરણપુંજના વ્યાસના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે બંને લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈના ગુણોત્તર જેટલી પણ હોય છે:
$M = \frac{D_{out}}{D_{in}} = \frac{f_2}{f_1}$
આપેલ છે:
ઇનપુટ વ્યાસ $D_{in} = 2 \ mm$
આઉટપુટ વ્યાસ $D_{out} = 14 \ mm$
પ્રથમ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = 40 \ mm$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{14}{2} = \frac{f_2}{40}$
$7 = \frac{f_2}{40}$
$f_2 = 7 \times 40 = 280 \ mm$
આમ, બીજા લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $280 \ mm$ છે.

(A) લેન્સનો પાવર શોધવાનું સૂત્ર $P = \frac{1}{f(m)}$ છે,જ્યાં $f$ એ મીટરમાં કેન્દ્રલંબાઈ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ ધન હોય છે,તેથી $f_1 = +0.25 \text{ m}$. આમ,$P_1 = \frac{1}{0.25} = +4 \text{ D}$.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ ઋણ હોય છે,તેથી $f_2 = -0.25 \text{ m}$. આમ,$P_2 = \frac{1}{-0.25} = -4 \text{ D}$.
સંપર્કમાં રહેલા લેન્સના સંયોજનનો પાવર તેમના વ્યક્તિગત પાવરના બેઝિક સરવાળા જેટલો હોય છે: $P = P_1 + P_2$.
કિંમતો મૂકતા,$P = 4 \text{ D} + (-4 \text{ D}) = 0 \text{ D}$.

(B) જ્યારે બે પાતળા લેન્સ એકબીજાના સંપર્કમાં હોય,ત્યારે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{1}{F} = \frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}$ મળે છે.
લેન્સનો પાવર $P$ એ તેની કેન્દ્રલંબાઈના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,એટલે કે $P = \frac{1}{F}$.
તેથી,સંયોજનનો સમતુલ્ય પાવર $P = P_1 + P_2 = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}$ થાય છે.

(B) લેન્સ $P$ માટે: $u_1 = -15 \text{ cm}$,$f_1 = 10 \text{ cm}$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-15} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{1}{30} \implies v_1 = 30 \text{ cm}$.
આ પ્રતિબિંબ લેન્સ $Q$ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $15 \text{ cm}$ છે. પ્રતિબિંબ લેન્સ $P$ ની જમણી બાજુએ $30 \text{ cm}$ અંતરે રચાય છે,તેથી તે લેન્સ $Q$ ની જમણી બાજુએ $30 - 15 = 15 \text{ cm}$ અંતરે સ્થિત છે. આમ,$u_2 = +15 \text{ cm}$.
લેન્સ $Q$ માટે: $u_2 = +15 \text{ cm}$,$f_2 = 15 \text{ cm}$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{15} = \frac{1}{15} \implies \frac{1}{v_2} = \frac{2}{15} \implies v_2 = 7.5 \text{ cm}$.
$v_2 > 0$ હોવાથી,પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે અને લેન્સ $Q$ ની જમણી બાજુએ $7.5 \text{ cm}$ અંતરે રચાય છે.
કુલ મોટવણી $M = m_1 \times m_2 = (v_1/u_1) \times (v_2/u_2) = (30/-15) \times (7.5/15) = -2 \times 0.5 = -1$. મોટવણીનું મૂલ્ય $1$ હોવાથી,પ્રતિબિંબનું કદ $AB$ જેટલું જ છે.

(A) સંપર્કમાં રહેલા બે પાતળા લેન્સની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે $f_1 > 0$ અને અંતર્ગોળ લેન્સ માટે $f_2 < 0$ હોય છે. ધારો કે $f_1 = f_{\text{convex}}$ અને $f_2 = -|f_{\text{concave}}|$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_{\text{convex}}} - \frac{1}{|f_{\text{concave}}|} = \frac{|f_{\text{concave}}| - f_{\text{convex}}}{f_{\text{convex}} |f_{\text{concave}}|}$.
જો $|f_{\text{concave}}| < f_{\text{convex}}$ હોય,તો $\frac{1}{F} < 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $F < 0$,એટલે કે સંયોજન અંતર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તે છે.
જો $|f_{\text{concave}}| > f_{\text{convex}}$ હોય,તો $\frac{1}{F} > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $F > 0$,એટલે કે સંયોજન બહિર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તે છે.
તેથી,જો $|f_{\text{convex}}| > |f_{\text{concave}}|$ હોય તો સંયોજન અંતર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તે છે.