Combination of Lenses Questions in Gujarati

(A) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +40 \; cm$ અને અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -25 \; cm$ છે.
લેન્સનો પાવર $P = \frac{100}{f(cm)} \; D$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બહિર્ગોળ લેન્સનો પાવર $P_1 = \frac{100}{40} = +2.5 \; D$ થાય.
અંતર્ગોળ લેન્સનો પાવર $P_2 = \frac{100}{-25} = -4.0 \; D$ થાય.
સંપર્કમાં રહેલા પાતળા લેન્સના સંયોજનનો પાવર તેમના વ્યક્તિગત પાવરના બેઝિક સરવાળા જેટલો હોય છે:
$P = P_1 + P_2$
$P = 2.5 \; D + (-4.0 \; D) = -1.5 \; D$.

(D) સંપર્કમાં રહેલા બે પાતળા લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
આપેલ છે: $F = 80 \ cm$ અને $f_1 = 20 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{80} = \frac{1}{20} + \frac{1}{f_2}$.
$f_2$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{f_2} = \frac{1}{80} - \frac{1}{20} = \frac{1 - 4}{80} = -\frac{3}{80}$.
તેથી,$f_2 = -\frac{80}{3} \ cm$.
લેન્સનો પાવર $P$ ડાયોપ્ટર $(D)$ માં $P = \frac{100}{f(cm)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P_2 = \frac{100}{-80/3} = -\frac{300}{80} = -3.75 \ D$.

(A) સંપર્કમાં રહેલા પાતળા લેન્સના સંયોજનનો પાવર તેમના વ્યક્તિગત પાવરના બેઝિક સરવાળા જેટલો હોય છે: $P = P_1 + P_2$.
અહીં $P_1 = +12 \ D$ અને $P_2 = -2 \ D$ આપેલ છે.
તેથી,કુલ પાવર $P = 12 \ D + (-2 \ D) = 10 \ D$.
સેન્ટિમીટરમાં સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $F$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $F = \frac{100}{P}$ છે.
$P$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $F = \frac{100}{10} = 10 \ cm$ મળે છે.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +20 \ cm$ અને અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -20 \ cm$ છે.
જ્યારે તેમને સંપર્કમાં રાખવામાં આવે,ત્યારે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{F} = \frac{1}{20} + \frac{1}{-20} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $F = \infty$.
અનંત કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતું લેન્સ સંયોજન એક સમતલ કાચની પ્લેટ તરીકે વર્તે છે.
સમતલ કાચની પ્લેટ માટે,મોટવણી $m = +1$ હોય છે.
તેથી,મળતું પ્રતિબિંબ વસ્તુ જેવડું જ અને ચત્તું હોય છે.

(B) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +10 \ cm$ છે.
તે જ દ્રવ્ય અને તે જ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -10 \ cm$ છે.
જ્યારે બે પાતળા લેન્સને સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ શોધવાનું સૂત્ર:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{10} + \frac{1}{-10} = \frac{1}{10} - \frac{1}{10} = 0$
તેથી,$\frac{1}{F} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $F = \infty$.
આમ,સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $Infinity$ થશે.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +84 \ cm$ અને અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -12 \ cm$ છે.
સંપર્કમાં રહેલા પાતળા લેન્સના સંયોજન માટે,સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{84} + \frac{1}{-12} = \frac{1 - 7}{84} = \frac{-6}{84} = -\frac{1}{14} \ cm^{-1}$
આમ,$F = -14 \ cm$.
ડાયોપ્ટર $(D)$ માં સંયોજનનો પાવર $P$ એ $P = \frac{100}{F(cm)}$ દ્વારા મળે છે:
$P = \frac{100}{-14} = -\frac{50}{7} \ D$.

(D) જ્યારે $f_1$ અને $f_2$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા બે પાતળા લેન્સને સંપર્કમાં રાખવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજનની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
આપેલ છે:
$f_1 = + 60 \ cm$
$f_2 = - 20 \ cm$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{60} + \frac{1}{-20}$
$\frac{1}{F} = \frac{1}{60} - \frac{1}{20}$
$\frac{1}{F} = \frac{1 - 3}{60}$
$\frac{1}{F} = \frac{-2}{60}$
$\frac{1}{F} = -\frac{1}{30}$
તેથી,$F = -30 \ cm$.

(B) બે લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = 20 \; cm = 0.2 \; m$ અને $f_2 = 25 \; cm = 0.25 \; m$ છે.
વ્યક્તિગત લેન્સનો પાવર $P_1 = \frac{1}{f_1} = \frac{1}{0.2} = 5 \; D$ અને $P_2 = \frac{1}{f_2} = \frac{1}{0.25} = 4 \; D$ છે.
જ્યારે બે પાતળા લેન્સ સંપર્કમાં રાખવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજનનો અસરકારક પાવર $P = P_1 + P_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$P = 5 \; D + 4 \; D = 9 \; D$.

(A) લેન્સના સંયોજનનો પાવર વ્યક્તિગત પાવરના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = P_1 + P_2$.
અહીં $P_1 = 6 \ D$ અને $P_2 = -2 \ D$ આપેલ છે.
તેથી,સંયુક્ત પાવર $P = 6 \ D + (-2 \ D) = 4 \ D$.
સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ કુલ પાવરનો વ્યસ્ત છે: $f = \frac{1}{P}$.
$P$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $f = \frac{1}{4} \ m = 0.25 \ m$ મળે છે.

(B) જ્યારે લેન્સ સંપર્કમાં હોય,ત્યારે અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટે $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ થાય. વસ્તુ અનંત અંતરે હોવાથી,પ્રતિબિંબ $F = 60 \ cm$ પર રચાય છે. તેથી,$\frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{60}$ ... $(i)$.
જ્યારે લેન્સ $d = 10 \ cm$ ના અંતરે હોય,ત્યારે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F'$ માટે $\frac{1}{F'} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$ થાય. પ્રતિબિંબ સંયોજન તરફ $30 \ cm$ ખસે છે,તેથી નવું પ્રતિબિંબ અંતર $60 \ cm - 30 \ cm = 30 \ cm$ થાય. તેથી,$\frac{1}{30} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{10}{f_1 f_2}$ ... $(ii)$.
$(i)$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા: $\frac{1}{30} = \frac{1}{60} - \frac{10}{f_1 f_2} \implies \frac{10}{f_1 f_2} = \frac{1}{60} - \frac{1}{30} = -\frac{1}{60} \implies f_1 f_2 = -600$.
$(i)$ પરથી,$\frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2} = \frac{1}{60} \implies f_1 + f_2 = \frac{-600}{60} = -10$.
સમીકરણ $x^2 - (f_1+f_2)x + f_1 f_2 = 0 \implies x^2 + 10x - 600 = 0 \implies (x+30)(x-20) = 0$ ઉકેલતા,કેન્દ્રલંબાઈ $20 \ cm$ અને $-30 \ cm$ મળે છે.

(C) એક્રોમેટિક સંયોજન માટે,શરત $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\omega_1$ અને $\omega_2$ એ બે લેન્સની વિભાજન શક્તિ (dispersive power) છે,અને $f_1$ અને $f_2$ એ તેમની અનુક્રમે કેન્દ્રલંબાઈ છે.
જેમ કે વિભાજન શક્તિ $\omega_1$ અને $\omega_2$ હંમેશા ધન હોય છે,તેથી સરવાળો શૂન્ય થવા માટે કેન્દ્રલંબાઈ $f_1$ અને $f_2$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે એક લેન્સ બહિર્ગોળ (ધન કેન્દ્રલંબાઈ) અને બીજો લેન્સ અંતર્ગોળ (ઋણ કેન્દ્રલંબાઈ) હોવો જોઈએ.
તેથી,એક્રોમેટિક સંયોજન $1$ બહિર્ગોળ લેન્સ અને $1$ અંતર્ગોળ લેન્સને જોડીને બનાવવામાં આવે છે.

(D) જ્યારે $f_1$ અને $f_2$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા બે પાતળા લેન્સને સંપર્કમાં રાખવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજનની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
સામાન્ય છેદ લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{F} = \frac{f_2 + f_1}{f_1 f_2}$
લેન્સનો પાવર $P$ એ તેની મીટરમાં કેન્દ્રલંબાઈના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,એટલે કે $P = \frac{1}{F}$.
તેથી,સંયોજનનો પાવર $P = \frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}$ થાય છે.

(B) સંપર્કમાં રહેલા બે પાતળા લેન્સના એક્રોમેટિક સંયોજન માટે,શરત એ છે કે સંયોજનની કુલ વિભાજન શક્તિ શૂન્ય હોવી જોઈએ.
એક્રોમેટિઝમ માટેની શરત સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$.
આખા સમીકરણને $f_1 f_2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $\omega_1 f_2 + \omega_2 f_1 = 0$.
તેથી,સાચી શરત $\omega_1 f_2 + \omega_2 f_1 = 0$ છે.

(A) લેન્સનો પાવર $P$ એ $P = \frac{1}{f}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મીટરમાં કેન્દ્રલંબાઈ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ ધન હોય છે,તેથી $f_1 = 0.5 \ m$. તેનો પાવર $P_1 = \frac{1}{0.5} = 2 \ D$ છે.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ ઋણ હોય છે,તેથી $f_2 = -1 \ m$. તેનો પાવર $P_2 = \frac{1}{-1} = -1 \ D$ છે.
જ્યારે લેન્સને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પાવર એ વ્યક્તિગત પાવરનો સરવાળો છે: $P = P_1 + P_2$.
$P = 2 \ D + (-1 \ D) = 1 \ D$.

(D) સંપર્કમાં રહેલા પાતળા લેન્સના સંયોજનનો પાવર તેમના વ્યક્તિગત પાવરના બેઝિક સરવાળા જેટલો હોય છે: $P = P_1 + P_2$.
અહીં $P_1 = +2.50 \ D$ અને $P_2 = -3.75 \ D$ આપેલ છે.
તેથી,કુલ પાવર $P = 2.50 \ D + (-3.75 \ D) = -1.25 \ D$.
સેન્ટિમીટરમાં કેન્દ્રલંબાઈ $f$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $f = \frac{100}{P}$ છે.
$P$ ની કિંમત મૂકતા: $f = \frac{100}{-1.25} = -80 \ cm$.
આમ,લેન્સના સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $-80 \ cm$ થશે.

(D) લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (જ્યાં $f$ મીટરમાં છે).
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = + 80 \; cm = + 0.8 \; m$ છે.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = - 50 \; cm = - 0.5 \; m$ છે.
સંયોજનનો પાવર $P = P_1 + P_2 = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{1}{0.8} + \frac{1}{-0.5} = 1.25 - 2.0 = - 0.75 \; D$.

(A) જ્યારે $P_1$ અને $P_2$ પાવર ધરાવતા બે પાતળા લેન્સને સંપર્કમાં રાખવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજનનો સમતુલ્ય પાવર $P$ એ તેમના વ્યક્તિગત પાવરના બેઝિક સરવાળા જેટલો હોય છે.
$P = P_1 + P_2$
અહીં $P_1 = +2 \ D$ અને $P_2 = -4 \ D$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = (+2 \ D) + (-4 \ D) = -2 \ D$.
તેથી,સંયોજનનો પાવર $-2 \ D$ છે.

(B) જ્યારે બે પાતળા લેન્સને સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજનનો સમતુલ્ય પાવર $P$ એ વ્યક્તિગત પાવરના બેઝિક સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = P_1 + P_2$.
અહીં $P_1 = +6 D$ અને $P_2 = -4 D$ આપેલ છે.
તેથી,$P = +6 D + (-4 D) = +2 D$.
સમતુલ્ય પાવર $P$ ધન હોવાથી,આ સંયોજન બહિર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તે છે.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $f = \frac{1}{P}$ (મીટરમાં) અથવા $f = \frac{100}{P}$ (સેમીમાં) સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$f = \frac{100}{2} = +50 cm$.
આમ,આ સંયોજન $50 cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો બહિર્ગોળ લેન્સ છે.

(D) સંપર્કમાં રહેલા બે પાતળા લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
અહીં,બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = 9 \ cm$ અને અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -18 \ cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{9} + \frac{1}{-18}$
$\frac{1}{F} = \frac{2}{18} - \frac{1}{18}$
$\frac{1}{F} = \frac{1}{18}$
તેથી,સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $F = 18 \ cm$ થશે.

(C) જ્યારે બે પાતળા લેન્સને સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે સંયોજનનો સમતુલ્ય પાવર $P$ એ વ્યક્તિગત પાવરનો બેઝિક સરવાળો છે:
$P = P_1 + P_2$
અહીં $P_1 = +2 \text{ D}$ અને $P_2 = -1 \text{ D}$ આપેલ છે, તેથી સમતુલ્ય પાવર:
$P = (+2 \text{ D}) + (-1 \text{ D}) = +1 \text{ D}$
પાવર ધન હોવાથી, આ સંયોજન અભિસારી (બહિર્ગોળ) લેન્સ તરીકે વર્તશે.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f = \frac{100}{P} \text{ cm} = \frac{100}{+1} \text{ cm} = +100 \text{ cm}$
આમ, આ સંયોજન $100 \text{ cm}$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અભિસારી લેન્સ તરીકે વર્તે છે.

(A) બે પાતળા લેન્સના સંપર્ક માટે,સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નું સૂત્ર: $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
અહીં,$f_1$ એ બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે (ધન,તેથી $f_1 > 0$) અને $f_2$ એ અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે (ઋણ,તેથી ધારો કે $f_2 = -|f_2|$).
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} - \frac{1}{|f_2|} = \frac{|f_2| - f_1}{f_1 |f_2|}$.
આમ,$F = \frac{f_1 |f_2|}{|f_2| - f_1}$.
સંયોજન અંતર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તે તે માટે,સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ ઋણ હોવી જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે છેદ $|f_2| - f_1 < 0$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $f_1 > |f_2|$.
તેથી,જો $f_1 > f_2$ હોય (જ્યાં $f_2$ એ કેન્દ્રલંબાઈનું મૂલ્ય દર્શાવે છે),તો સંયોજન અંતર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તશે.

(A) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ ધન લેવામાં આવે છે,તેથી $f_1 = +18 \ cm$.
અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ ઋણ લેવામાં આવે છે,તેથી $f_2 = -9 \ cm$.
સંયોજનની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{18} + \frac{1}{-9}$
$\frac{1}{F} = \frac{1}{18} - \frac{2}{18} = -\frac{1}{18}$
તેથી,$F = -18 \ cm$.
સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ ઋણ હોવાથી,આ સંયોજન $18 \ cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અંતર્ગોળ લેન્સ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(A) લેન્સનો પાવર $P$ એ સૂત્ર $P = \frac{100}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (જ્યાં $f$ એ $cm$ માં છે).
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +25 \ cm$ છે. તેથી,તેનો પાવર $P_1 = \frac{100}{25} = +4 \ D$ થાય.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -10 \ cm$ છે. તેથી,તેનો પાવર $P_2 = \frac{100}{-10} = -10 \ D$ થાય.
સંપર્કમાં રહેલા લેન્સના સંયોજનનો પાવર $P_{eq} = P_1 + P_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P_{eq} = (+4 \ D) + (-10 \ D) = -6 \ D$.
આમ,સંયોજનનો પાવર $-6 \ D$ છે.

(C) લેન્સ $1$ માટે: લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f = +8 \ cm$ અને $u = -12 \ cm$ છે.
$\frac{1}{8} = \frac{1}{v_1} - \frac{1}{-12} \Rightarrow \frac{1}{v_1} = \frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{3-2}{24} = \frac{1}{24}$.
તેથી,$v_1 = 24 \ cm$. પ્રતિબિંબ $A'B'$ પ્રથમ લેન્સની જમણી બાજુએ $24 \ cm$ અંતરે રચાય છે.
બીજા લેન્સથી આ પ્રતિબિંબનું અંતર $d = 30 \ cm - 24 \ cm = 6 \ cm$ છે.
બીજા લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = 6 \ cm$ હોવાથી,પ્રતિબિંબ $A'B'$ બીજા લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર મૂકાયેલી વસ્તુ તરીકે વર્તે છે.
તેથી,બીજા લેન્સમાંથી બહાર આવતા કિરણો સમાંતર હશે અને અંતિમ પ્રતિબિંબ અનંત અંતરે રચાશે. ઓપ્ટિક્સની દ્રષ્ટિએ,અનંત અંતરે રચાતા પ્રતિબિંબને વાસ્તવિક અને અત્યંત મોટું ગણવામાં આવે છે.

(B) જ્યારે $f_1$ અને $f_2$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા બે પાતળા લેન્સને એકબીજાના સંપર્કમાં રાખવામાં આવે છે,ત્યારે આ સંયોજનની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
$F$ શોધવા માટે,આપણે સામાન્ય છેદ લઈએ છીએ:
$\frac{1}{F} = \frac{f_2 + f_1}{f_1 f_2}$
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે છે:
$F = \frac{f_1 f_2}{f_1 + f_2}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = f$ છે. પાતળા અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -f$ છે (કારણ કે તે સમાન કેન્દ્રલંબાઈનો અંતર્ગોળ લેન્સ છે).
જ્યારે બે પાતળા લેન્સ સંપર્કમાં રાખવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f} + \frac{1}{-f} = 0$
તેથી,$F = \infty$.
સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ અનંત હોવાથી,સમાંતર કિરણો લેન્સના સંયોજનમાંથી પસાર થયા પછી પણ સમાંતર રહેશે,જેનો અર્થ છે કે કેન્દ્રબિંદુ અનંત પર ખસે છે.

(B) બે પાતળા લેન્સના સંયોજન માટે ન્યૂનતમ ગોલીય અને વર્ણવિપથન મેળવવા માટે,લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d$ એ $d = f_1 - f_2$ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ,જ્યાં $f_1$ અને $f_2$ એ બે લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આપેલ છે કે,$f_1 = 0.3 \, m$ અને $f_2 = 0.1 \, m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = 0.3 \, m - 0.1 \, m = 0.2 \, m$.
તેથી,જરૂરી અંતર $0.2 \, m$ છે.

(B) આપેલ છે: સંયોજનનો કુલ પાવર $P = P_1 + P_2 = + 2D$.
બહિર્ગોળ લેન્સનો પાવર $P_1 = + 5D$.
તેથી,અંતર્ગોળ લેન્સનો પાવર $P_2 = P - P_1 = 2D - 5D = - 3D$.
વર્ણવિપથનરહિત સંયોજન માટેની શરત $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ છે,જેને પાવરના સ્વરૂપમાં $\omega_1 P_1 + \omega_2 P_2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{\omega_1}{\omega_2} = - \frac{P_2}{P_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\omega_1}{\omega_2} = - \left( \frac{- 3D}{5D} \right) = \frac{3}{5}$.
આમ,બહિર્ગોળ અને અંતર્ગોળ લેન્સની વિભાજન શક્તિનો ગુણોત્તર $3:5$ છે.

(D) સંપર્કમાં રહેલા લેન્સના સંયોજનનો પાવર તેમના વ્યક્તિગત પાવરના સરવાળા જેટલો હોય છે: $P = P_1 + P_2$.
અહીં $P_1 = +12 \ D$ અને $P_2 = -2 \ D$ આપેલ છે.
તેથી,કુલ પાવર $P = 12 \ D - 2 \ D = 10 \ D$.
મીટરમાં કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નું સૂત્ર $F = \frac{1}{P}$ છે.
$F = \frac{1}{10} \ m = 0.1 \ m$.
કેન્દ્રલંબાઈને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવવા માટે $100$ વડે ગુણતા: $F = 0.1 \times 100 \ cm = 10 \ cm$.

(D) ધારો કે બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1$ અને અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2$ છે. અંતર્ગોળ લેન્સ હોવાથી $f_2$ ઋણ લેવામાં આવે છે.
આપેલ ગુણોત્તર મુજબ: $|f_1| / |f_2| = 2/3$,તેથી $f_1 / (-f_2) = 2/3$,જેનો અર્થ છે કે $f_2 = -1.5 f_1$.
સંપર્કમાં રહેલા બે પાતળા લેન્સ માટે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નું સૂત્ર $1/F = 1/f_1 + 1/f_2$ છે.
અહીં $F = 30 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $1/30 = 1/f_1 - 1/|f_2|$.
$|f_2| = 1.5 f_1$ મૂકતા: $1/30 = 1/f_1 - 1/(1.5 f_1) = (1.5 - 1) / (1.5 f_1) = 0.5 / (1.5 f_1) = 1 / (3 f_1)$.
આમ,$3 f_1 = 30$,તેથી $f_1 = 10 \ cm$.
તેથી,$|f_2| = 1.5 \times 10 = 15 \ cm$. અંતર્ગોળ લેન્સ હોવાથી $f_2 = -15 \ cm$.
આમ,તેમની કેન્દ્રલંબાઈ $10 \ cm$ અને $-15 \ cm$ છે.

(B) જ્યારે બે પાતળા લેન્સને સંપર્કમાં રાખવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
અહીં $f_1 = f_2 = 40 \ cm$ આપેલ છે,તેથી સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{1}{F} = \frac{1}{40} + \frac{1}{40} = \frac{2}{40} = \frac{1}{20}$,એટલે કે $F = 20 \ cm$ મળે.
સમાન કદનું વાસ્તવિક અને ઉલટું પ્રતિબિંબ (મોટવણી $m = -1$) મેળવવા માટે,વસ્તુને લેન્સથી $2F$ અંતરે મૂકવી જોઈએ.
તેથી,વસ્તુ અંતર $u = 2 \times 20 \ cm = 40 \ cm$ થાય.

(A) અંતરે રહેલા બે લેન્સનો સમતુલ્ય પાવર $P$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = P_1 + P_2 - d \cdot P_1 \cdot P_2$.
અહીં $P_1 = +5 \ D$ અને $P_2 = +5 \ D$ આપેલ છે.
સમતુલ્ય પાવર ઋણ હોવા માટે,આપણે $P < 0$ ની જરૂર છે.
કિંમતો મૂકતા: $5 + 5 - d(5)(5) < 0$.
$10 - 25d < 0$.
$10 < 25d$.
$d > \frac{10}{25} \ m$.
$d > 0.4 \ m$.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $d > 0.4 \times 100 \ cm = 40 \ cm$.
આમ,જો અંતર $40 \ cm$ કરતા વધારે હોય તો સમતુલ્ય પાવર ઋણ રહેશે.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +20 \ cm$ છે અને અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -20 \ cm$ છે.
જ્યારે તેમને સંપર્કમાં રાખવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{F} = \frac{1}{20} + \frac{1}{-20} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $F = \infty$.
અનંત કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતું સંયોજન એક સાદી કાચની પ્લેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
સાદી કાચની પ્લેટ વસ્તુના સમાન કદનું અને ચત્તું આભાસી પ્રતિબિંબ પ્લેટની પાછળ તેટલા જ અંતરે બનાવે છે.

(B) એક્રોમેટિક સંયોજન માટેની શરત $\frac{f_1}{\omega_1} + \frac{f_2}{\omega_2} = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{f_1}{f_2} = -\frac{\omega_1}{\omega_2}$.
અહીં $\omega_1 = 0.024$ અને $\omega_2 = 0.036$ આપેલ છે,તેથી $\frac{f_1}{f_2} = -\frac{0.024}{0.036} = -\frac{2}{3}$,એટલે કે $f_2 = -1.5 f_1$.
સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{90}$ છે.
$f_2 = -1.5 f_1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{f_1} - \frac{1}{1.5 f_1} = \frac{1}{90}$.
$\frac{1.5 - 1}{1.5 f_1} = \frac{1}{90} \implies \frac{0.5}{1.5 f_1} = \frac{1}{90} \implies \frac{1}{3 f_1} = \frac{1}{90}$.
આમ,$f_1 = 30 \ cm$ અને $f_2 = -1.5(30) = -45 \ cm$ મળે છે.

(B) સમાન દ્રવ્યના બનેલા બે પાતળા લેન્સના સંયોજન માટે,ક્રોમેટિક એબરેશન (વર્ણવિપથન) ઘટાડવાની શરત એ છે કે લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d$ તેમની કેન્દ્રલંબાઈની સરેરાશ જેટલું હોવું જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,આને નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$d = \frac{f_1 + f_2}{2}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) બે પાતળા લેન્સના સંયોજન માટે કોઈ પણ પ્રકારનું ચોખ્ખું વિક્ષેપન ન થાય (એક્રોમેટિક ડબલેટ) તે માટેની શરત $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{\omega_1}{\omega_2} = -\frac{f_1}{f_2}$.
આપેલ કેન્દ્રલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2} = \frac{2}{3}$ છે.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{\omega_1}{\omega_2} = -\frac{2}{3}$ મળે છે.
વિક્ષેપન ક્ષમતા એ ધન રાશિ હોવાથી,આપણે ગુણોત્તરનું મૂલ્ય ધ્યાનમાં લઈએ છીએ,જે $2:3$ છે.

(B) લેન્સનો પાવર $P$ એ $P = \frac{100}{f(cm)}\, D$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +40\, cm$ છે.
તેથી,પાવર $P_1 = \frac{100}{40} = +2.5\, D$ થાય.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -25\, cm$ છે.
તેથી,પાવર $P_2 = \frac{100}{-25} = -4.0\, D$ થાય.
સંપર્કમાં રહેલા લેન્સના સંયોજનનો પાવર $P = P_1 + P_2$ દ્વારા મળે છે.
$P = 2.5\, D + (-4.0\, D) = -1.5\, D$.

(B) $1$. બહિર્ગોળ લેન્સ તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર પ્રતિબિંબ $I_1$ રચે છે. વસ્તુ અનંત અંતરે હોવાથી, પ્રતિબિંબ $I_1$ બહિર્ગોળ લેન્સથી $f = 30\,cm$ અંતરે રચાય છે.
$2$. આ પ્રતિબિંબ $I_1$ નું કદ $2\,cm$ છે.
$3$. $20\,cm$ કેન્દ્રલંબાઈ $(f_2 = -20\,cm)$ ધરાવતો અંતર્ગોળ લેન્સ બહિર્ગોળ લેન્સથી $26\,cm$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે. પ્રતિબિંબ $I_1$ અંતર્ગોળ લેન્સ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$4$. અંતર્ગોળ લેન્સથી આભાસી વસ્તુનું અંતર $u = 30\,cm - 26\,cm = 4\,cm$ છે. તે જમણી બાજુ હોવાથી, આપણે $u = +4\,cm$ લઈશું.
$5$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{4} = \frac{1}{-20}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{4} - \frac{1}{20} = \frac{5-1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$
$v = 5\,cm$.
$6$. અંતર્ગોળ લેન્સ માટે મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{5}{4} = 1.25$ છે.
$7$. પ્રતિબિંબ $I_2$ નું નવું કદ $m \times (I_1 \text{ નું કદ}) = 1.25 \times 2\,cm = 2.5\,cm$ થશે.

(C) ધારો કે બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +30 \ cm$ અને અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -10 \ cm$ છે.
ધારો કે બંને લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
જ્યારે સમાંતર કિરણપુંજ લેન્સના સંયોજનમાંથી પસાર થયા પછી પણ સમાંતર રહે,ત્યારે તંત્રની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ અનંત $(F = \infty)$ હોવી જોઈએ.
$d$ અંતરે રહેલા બે લેન્સના સંયોજન માટે અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈનું સૂત્ર:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
$F = \infty$,$f_1 = 30$ અને $f_2 = -10$ કિંમતો મૂકતા:
$0 = \frac{1}{30} + \frac{1}{-10} - \frac{d}{(30)(-10)}$
$0 = \frac{1}{30} - \frac{1}{10} + \frac{d}{300}$
$300$ વડે ગુણતા:
$0 = 10 - 30 + d$
$d = 20 \ cm$.
આમ,બંને લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $20 \ cm$ છે.

(A) સંપર્કમાં રહેલા બે લેન્સનો સમતુલ્ય પાવર $P = P_1 + P_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P = 3.5 \, D + (-2.5 \, D) = 1.0 \, D$.
પાવર ધન હોવાથી,આ સંયોજન અભિસારી લેન્સ તરીકે વર્તે છે.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{100}{P} \, cm$ છે.
$f = \frac{100}{1} = 100 \, cm$.
તેથી,આ સંયોજન $100 \, cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અભિસારી લેન્સ તરીકે વર્તે છે.

(B) સંપર્કમાં રહેલા લેન્સના સંયોજનનો પાવર તેમના વ્યક્તિગત પાવરના સરવાળા જેટલો હોય છે: $P = P_1 + P_2$.
અહીં $P_1 = -15 \, D$ અને $P_2 = 5 \, D$ આપેલ છે.
તેથી,$P = -15 \, D + 5 \, D = -10 \, D$.
સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $f = \frac{1}{P}$ (મીટરમાં) સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$f = \frac{1}{-10} \, m = -0.1 \, m$.
કેન્દ્રલંબાઈને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવવા માટે $100$ વડે ગુણતા: $f = -0.1 \times 100 \, cm = -10 \, cm$.

(D) જ્યારે $f$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા બહિર્ગોળ લેન્સને તેના મુખ્ય અક્ષને લંબરૂપે બે સમાન ભાગમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગ $2f$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ બને છે.
અહીં $f = 20 \, cm$ આપેલ છે,તેથી દરેક સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f' = 2f = 40 \, cm$ થશે.
જ્યારે આ બંને લેન્સને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એકબીજાના સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે (તેમની વક્ર સપાટીઓ એકબીજાની સામે રહે તે રીતે),ત્યારે લેન્સના સંયોજનના સૂત્ર મુજબ સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{40} + \frac{1}{40} = \frac{2}{40} = \frac{1}{20}$.
તેથી,$F = 20 \, cm$.

(B) જ્યારે બે પાતળા લેન્સને સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજનનો કુલ પાવર $P$ એ વ્યક્તિગત લેન્સના પાવરનો બેઝિક સરવાળો થાય છે.
આપેલ છે: $P_1 = 6 \, D$ અને $P_2 = -2 \, D$.
કુલ પાવર $P = P_1 + P_2 = 6 \, D + (-2 \, D) = 4 \, D$.
સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $f = \frac{1}{P}$ છે.
$P$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $f = \frac{1}{4} \, m$ મળે છે.

(B) બે પાતળા લેન્સના સંપર્કમાં રહેલા અર્ણ વિપથન રહિત (achromatic) સંયોજન માટેની શરત નીચે મુજબ છે:
$\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$
વિભાજન શક્તિનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_1}{\omega_2}$ શોધવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{\omega_1}{\omega_2} = -\frac{f_1}{f_2}$
અહીં આપેલ કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +10 \ cm$ અને $f_2 = -15 \ cm$ છે:
$\frac{\omega_1}{\omega_2} = -\frac{10}{-15}$
$\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$
આમ,તેમની વિભાજન શક્તિનો ગુણોત્તર $2/3$ છે.

(C) લેન્સના સંયોજનનો પાવર $P = P_1 + P_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $P_1 = +3\,D$ અને $P_2 = -5\,D$ આપેલ છે,તેથી કુલ પાવર $P = 3 + (-5) = -2\,D$ થાય.
સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{1}{P} = \frac{1}{-2}\,m = -0.5\,m = -50\,cm$ થાય.
વસ્તુનું અંતર $u = -50\,cm$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{v} = \frac{1}{-50} + \frac{1}{-50} = -\frac{2}{50} = -\frac{1}{25}$ મળે.
તેથી,$v = -25\,cm$ મળે.

(D) ધારો કે બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = 10 \, cm$ છે અને અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -f$ છે.
લેન્સના સંયોજનના સૂત્ર મુજબ,સંયુક્ત કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટે: $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$.
અહીં આપેલ છે કે સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈનું મૂલ્ય અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ જેટલું છે,એટલે કે $|F| = |f_2| = f$.
સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $F = \frac{f_1 f_2}{f_1 + f_2} = \frac{10(-f)}{10-f} = \frac{10f}{f-10}$.
શરત મુજબ,$F = f$ લેતા: $f = \frac{10f}{f-10}$.
$f-10 = 10 \Rightarrow f = 20$.
આમ,અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $-20 \, cm$ છે.

(B) સંયોજનનો કુલ પાવર $P = P_1 + P_2 = +2 \text{ D}$ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સનો પાવર $P_1 = +5 \text{ D}$ આપેલ છે, તેથી બીજા લેન્સનો પાવર $P_2 = P - P_1 = 2 - 5 = -3 \text{ D}$ મળે.
અવર્ણક સંયોજન માટેની શરત $\omega_1 P_1 + \omega_2 P_2 = 0$ છે, જ્યાં $\omega_1$ અને $\omega_2$ એ વિભાજન શક્તિઓ છે.
આથી, $\frac{\omega_1}{\omega_2} = -\frac{P_2}{P_1}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા, $\frac{\omega_1}{\omega_2} = -\left( \frac{-3}{5} \right) = \frac{3}{5}$.
આમ, વિભાજન શક્તિઓનો ગુણોત્તર $3 : 5$ છે.

(A) $f$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા બહિર્ગોળ લેન્સને તેની મુખ્ય અક્ષને લંબ રૂપે બે સમાન ભાગમાં કાપતા,દરેક ભાગ સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ બને છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
મૂળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ હોવાથી,$\frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{2}{R} \right)$.
જ્યારે તેને લંબ રૂપે કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક નવા લેન્સની એક સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ હોય છે અને બીજી સપાટી સમતલ $(R = \infty)$ હોય છે.
તેથી,નવા લેન્સ માટે,$\frac{1}{f'} = (n-1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{n-1}{R}$.
આ બંનેની સરખામણી કરતા,$f' = 2f$ મળે છે.
બંને ભાગ સમાન હોવાથી,તેમની કેન્દ્રલંબાઈ સમાન હોય છે,તેથી ગુણોત્તર $2f : 2f = 1 : 1$ થાય છે.

(C) જ્યારે સમબહિર્ગોળ લેન્સને તેની મુખ્ય અક્ષ પરથી (આડી રીતે) કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક અડધા ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ મૂળ લેન્સ જેટલી જ $f$ રહે છે.
આનું કારણ એ છે કે દરેક ભાગ માટે સપાટીઓની વક્રતા ત્રિજ્યા બદલાતી નથી.
આમ,દરેક ભાગનો પાવર $P = 1/f$ જ રહે છે.
જ્યારે આ બંને ભાગોને આકૃતિ $(b)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તે બે લેન્સના સંયોજન તરીકે વર્તે છે.
સંયોજનનો કુલ પાવર એ વ્યક્તિગત લેન્સના પાવરનો સરવાળો છે: $P_{net} = P_1 + P_2$.
અહીં $P_1 = P$ અને $P_2 = P$ હોવાથી,કુલ પાવર $P_{net} = P + P = 2P$ થાય છે.