Combination of Lenses Questions in Gujarati

(A) એરોમેટિક ડબલેટ માટેની શરત $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ છે.
કોઈપણ પદાર્થ માટે $\omega_1$ અને $\omega_2$ (વિભાજન શક્તિ) હંમેશા ધન હોવાથી,સરવાળો શૂન્ય થવા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ ($f_1$ અથવા $f_2$) માંથી એક ઋણ હોવી આવશ્યક છે.
ઋણ કેન્દ્રલંબાઈ અંતર્ગોળ લેન્સ સૂચવે છે.
તેથી,એરોમેટિક સંયોજન બનાવવા માટે,એક લેન્સ બહિર્ગોળ અને બીજો અંતર્ગોળ હોવો જોઈએ.
બે બહિર્ગોળ લેન્સ આ શરતને સંતોષી શકતા નથી કારણ કે $f_1$ અને $f_2$ બંને ધન હશે,જેનાથી સરવાળો $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2}$ હંમેશા ધન (શૂન્ય કરતા વધારે) રહેશે.
આમ,વિધાન સાચું છે અને કારણ પણ સાચું છે,જે સાચી સમજૂતી આપે છે.

(B) સંપર્કમાં રહેલા બે પાતળા લેન્સ માટે,સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F_{1}$ એ $\frac{1}{F_{1}} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $F_{1} = \frac{f}{2}$.
જ્યારે લેન્સ વચ્ચેની જગ્યામાં કાચ જેટલા જ વક્રીભવનાંક ધરાવતું પ્રવાહી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે આ સંયોજન કાચના એક ટુકડા તરીકે વર્તે છે. બહારની સપાટીઓ બહિર્ગોળ હોવાથી અને અંદરની જગ્યા ભરાઈ જવાથી,આ તંત્ર મૂળ લેન્સ જેવી જ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતા એક બહિર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તે છે. પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$ છે,જે કાચના વક્રીભવનાંક જેટલો જ છે. તેથી,સમગ્ર તંત્ર $F_{2} = f$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા એક લેન્સ તરીકે વર્તે છે.
આથી,ગુણોત્તર $\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{f/2}{f} = \frac{1}{2}$ થશે.

(N/A) પગલું $1$: પ્રથમ લેન્સ $(f_1 = +10 \, cm)$ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ:
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u_1 = -30 \, cm$ છે:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$
તેથી,$v_1 = 15 \, cm$ (પ્રથમ લેન્સની જમણી બાજુએ).
પગલું $2$: બીજા લેન્સ $(f_2 = -10 \, cm)$ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ:
પ્રથમ લેન્સ દ્વારા રચાયેલ પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. પ્રથમ અને બીજા લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $5 \, cm$ છે. તેથી,બીજા લેન્સ માટે વસ્તુનું અંતર $u_2 = +(15 - 5) \, cm = +10 \, cm$ (આભાસી વસ્તુ) થશે.
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{10} = \frac{1}{-10} \implies \frac{1}{v_2} = 0 \implies v_2 = \infty$.
પગલું $3$: ત્રીજા લેન્સ $(f_3 = +30 \, cm)$ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ:
બીજા લેન્સમાંથી બહાર આવતા કિરણો સમાંતર છે,તેથી તેઓ ત્રીજા લેન્સ માટે અનંત અંતરે રહેલી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે $(u_3 = \infty)$.
$\frac{1}{v_3} - \frac{1}{u_3} = \frac{1}{f_3}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_3} - \frac{1}{\infty} = \frac{1}{30} \implies v_3 = 30 \, cm$.
આમ,અંતિમ પ્રતિબિંબ ત્રીજા લેન્સની જમણી બાજુએ $30 \, cm$ અંતરે રચાય છે.

(N/A) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_{1} = 30 \, cm$.
અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_{2} = -20 \, cm$.
ધારો કે લેન્સના તંત્રની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ છે.
સંપર્કમાં રહેલા બે પાતળા લેન્સના તંત્રની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{30} + \frac{1}{-20} = \frac{2 - 3}{60} = -\frac{1}{60} \, cm^{-1}$.
તેથી,$f = -60 \, cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે લેન્સનું તંત્ર અપસારી (diverging) લેન્સ તરીકે વર્તે છે.

(N/A) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_{1} = 30 \; cm$.
અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_{2} = -20 \; cm$.
બે લેન્સ વચ્ચેનું અંતર,$d = 8.0 \; cm$.
$(a)$ જ્યારે સમાંતર પ્રકાશનું કિરણ પ્રથમ બહિર્ગોળ લેન્સ પર આપાત થાય છે:
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_{1}} - \frac{1}{u_{1}} = \frac{1}{f_{1}}$ માં $u_{1} = -\infty$ લેતા,$v_{1} = f_{1} = 30 \; cm$ મળે છે.
આ પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ લેન્સ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે વર્તે છે. અંતર $u_{2} = v_{1} - d = 30 - 8 = 22 \; cm$.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે લેન્સનું સૂત્ર વાપરતા: $\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{22} = \frac{1}{-20} \implies \frac{1}{v_{2}} = \frac{1}{22} - \frac{1}{20} = -\frac{1}{220}$.
તેથી,$v_{2} = -220 \; cm$. સમાંતર કિરણો સંયોજનના કેન્દ્રથી $220 - 4 = 216 \; cm$ દૂરના બિંદુએથી અપસરણ પામતા જણાય છે.
જ્યારે સમાંતર કિરણ પ્રથમ અંતર્ગોળ લેન્સ પર આપાત થાય છે:
$\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{u_{2}} = \frac{1}{f_{2}}$ માં $u_{2} = -\infty$ લેતા,$v_{2} = f_{2} = -20 \; cm$ મળે છે.
આ પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ લેન્સ માટે વાસ્તવિક વસ્તુ તરીકે વર્તે છે. અંતર $u_{1} = -(20 + 8) = -28 \; cm$.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે લેન્સનું સૂત્ર વાપરતા: $\frac{1}{v_{1}} - \frac{1}{-28} = \frac{1}{30} \implies \frac{1}{v_{1}} = \frac{1}{30} - \frac{1}{28} = -\frac{1}{420}$.
તેથી,$v_{1} = -420 \; cm$. સમાંતર કિરણો કેન્દ્રથી $420 - 4 = 416 \; cm$ દૂરના બિંદુએથી અપસરણ પામતા જણાય છે.
પરિણામો અલગ હોવાથી,આ સિસ્ટમ માટે અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈનો ખ્યાલ ઉપયોગી નથી.
$(b)$ બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$u_{1} = -40 \; cm, f_{1} = 30 \; cm$. $\frac{1}{v_{1}} = \frac{1}{30} + \frac{1}{-40} = \frac{1}{120} \implies v_{1} = 120 \; cm$.
મોટવણી $m_{1} = \frac{v_{1}}{u_{1}} = \frac{120}{-40} = -3$.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,$u_{2} = 120 - 8 = 112 \; cm, f_{2} = -20 \; cm$. $\frac{1}{v_{2}} = \frac{1}{-20} + \frac{1}{112} = -\frac{92}{2240} \implies v_{2} \approx -24.35 \; cm$.
મોટવણી $m_{2} = \frac{v_{2}}{u_{2}} = \frac{-2240/92}{112} = -\frac{20}{92} \approx -0.217$.
કુલ મોટવણી $m = m_{1} \times m_{2} = (-3) \times (-0.217) = 0.652$.
પ્રતિબિંબનું કદ $h_{2} = m \times h_{1} = 0.652 \times 1.5 = 0.978 \; cm \approx 0.98 \; cm$.

(N/A) ધારો કે $f_{1}$ અને $f_{2}$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા બે લેન્સ $A$ અને $B$ એકબીજાના સંપર્કમાં રાખેલા છે. ધારો કે વસ્તુને પ્રથમ લેન્સ $A$ ના મુખ્ય કેન્દ્રની બહાર બિંદુ $O$ પર મૂકવામાં આવી છે.
પ્રથમ લેન્સ $I_{1}$ પર પ્રતિબિંબ રચે છે. $I_{1}$ વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ હોવાથી,તે બીજા લેન્સ $B$ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે અંતિમ પ્રતિબિંબ $I$ પર રચે છે.
પ્રથમ લેન્સ દ્વારા પ્રતિબિંબની રચના માત્ર અંતિમ પ્રતિબિંબનું સ્થાન નક્કી કરવા માટે ધારવામાં આવે છે. વાસ્તવમાં,પ્રથમ લેન્સમાંથી બહાર આવતા કિરણોની દિશા તે બીજા લેન્સ પર જે ખૂણે આપાત થાય છે તેના આધારે બદલાય છે.
લેન્સ પાતળા હોવાથી,આપણે ધારીએ છીએ કે લેન્સના ઓપ્ટિકલ સેન્ટર એકબીજા પર સંપાત થાય છે. આ કેન્દ્રબિંદુને $P$ તરીકે દર્શાવો.
પ્રથમ લેન્સ $A$ દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબ માટે:
$\frac{1}{v_{1}} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f_{1}} \quad \dots (1)$
બીજા લેન્સ $B$ દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબ માટે:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{v_{1}} = \frac{1}{f_{2}} \quad \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}} \quad \dots (3)$
જો બે લેન્સની સિસ્ટમને $f$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા એક જ લેન્સ તરીકે ગણવામાં આવે,તો આપણને મળે:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}}$
આ તારણ સંપર્કમાં રહેલા કોઈપણ સંખ્યાના પાતળા લેન્સ માટે માન્ય છે. જો $f_{1}, f_{2}, f_{3}, \dots, f_{n}$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અનેક પાતળા લેન્સ સંપર્કમાં હોય,તો તેમના સંયોજનની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}} + \frac{1}{f_{3}} + \dots + \frac{1}{f_{n}}$

(N/A) લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f}$ હોવાથી,લેન્સના સંયોજનનો સમતુલ્ય પાવર $P = P_{1} + P_{2} + P_{3} + \ldots$ થાય છે.
નોંધો કે આ વ્યક્તિગત પાવરનો બેઝિક સરવાળો છે.
તેથી,જમણી બાજુના પદોનો સરવાળો બહિર્ગોળ લેન્સ માટે ધન અને અંતર્ગોળ લેન્સ માટે ઋણ હોઈ શકે છે.
લેન્સનું સંયોજન ઇચ્છિત મોટવણી ધરાવતા અપસારી કે અભિસારી લેન્સ મેળવવામાં મદદ કરે છે. તે પ્રતિબિંબની સ્પષ્ટતા પણ વધારે છે.
લેન્સના સંયોજનનો ઉપયોગ કેમેરા,માઇક્રોસ્કોપ,ટેલિસ્કોપ અને અન્ય પ્રકાશીય સાધનોમાં થાય છે.
ધારો કે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે લેન્સના સંયોજનની મોટવણી $m_{1}$ અને $m_{2}$ છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બહિર્ગોળ લેન્સ $L_{1}$ માટે,વસ્તુ અંતર $= OP = u$,પ્રતિબિંબ અંતર $= PI' = v'$ છે.
તે જ રીતે,બહિર્ગોળ લેન્સ $L_{2}$ માટે વસ્તુ અંતર $= PI' = v'$,પ્રતિબિંબ અંતર $= PI = v$ છે.
આકૃતિ પરથી:
લેન્સ $L_{1}$ માટે મોટવણી $m_{1} = \frac{v'}{u} \quad \ldots (1)$
લેન્સ $L_{2}$ માટે મોટવણી $m_{2} = \frac{v}{v'} \quad \ldots (2)$
હવે,લેન્સના સંયોજન માટે મોટવણી $m = \frac{v}{u}$ છે.
કારણ કે $\frac{v}{u} = \frac{v}{v'} \times \frac{v'}{u}$,તેથી $m = m_{2} \times m_{1}$ મળે છે.
જો સંયોજનમાં બે કરતા વધારે લેન્સ હોય,તો $m = m_{1} \times m_{2} \times m_{3} \times \ldots \times m_{n}$ થાય છે.

(C) મોટવણી વધારવા માટે અને રંગીન તેમજ ગોલીય વિપથન જેવી ખામીઓને ઘટાડવા માટે પ્રકાશીય ઉપકરણોમાં લેન્સના સંયોજનનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપ અને ટેલિસ્કોપ એ શ્રેષ્ઠ ઉદાહરણો છે જ્યાં ઉચ્ચ મોટવણી અને સ્પષ્ટ પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે અનેક લેન્સ (ઓબ્જેક્ટિવ અને આઈપીસ) ને જોડવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) $1$. પ્રથમ લેન્સ માટે $(f_1 = +10 \, cm)$: વસ્તુ અંતર $u_1 = -30 \, cm$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{10} \Rightarrow \frac{1}{v_1} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$. તેથી,$v_1 = +15 \, cm$.
$2$. પ્રથમ લેન્સ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સ $(f_2 = -10 \, cm)$ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. પ્રથમ અને બીજા લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $5 \, cm$ છે. તેથી,બીજા લેન્સ માટે વસ્તુ અંતર $u_2 = +(15 - 5) = +10 \, cm$ થાય. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{10} = \frac{1}{-10} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $v_2 = \infty$.
$3$. બીજા લેન્સમાંથી આવતા સમાંતર કિરણો ત્રીજા લેન્સ $(f_3 = +30 \, cm)$ પર પડે છે. કિરણો સમાંતર હોવાથી,પ્રતિબિંબ ત્રીજા લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર રચાય છે. બીજા અને ત્રીજા લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $10 \, cm$ છે. પ્રતિબિંબ ત્રીજા લેન્સથી $30 \, cm$ અંતરે રચાય છે.
$4$. વસ્તુ $O$ થી કુલ અંતર $30 \, cm$ (પ્રથમ લેન્સ સુધી) $+ 5 \, cm$ (પ્રથમ અને બીજા વચ્ચે) $+ 10 \, cm$ (બીજા અને ત્રીજા વચ્ચે) $+ 30 \, cm$ (ત્રીજા લેન્સથી) $= 75 \, cm$ થાય.

(B) $\mu_{1}$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ કેન્દ્રલંબાઈ $f_{1}$ છે: $\frac{1}{f_{1}} = (\mu_{1}-1)(\frac{1}{R})$.
$\mu_{2}$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્લેનો-કોન્કેવ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_{2}$ છે: $\frac{1}{f_{2}} = (\mu_{2}-1)(-\frac{1}{R})$.
જ્યારે આ લેન્સને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f_{eq}$ આ મુજબ મળે છે: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}}$.
પદો મૂકતા: $\frac{1}{f_{eq}} = (\mu_{1}-1)(\frac{1}{R}) + (\mu_{2}-1)(-\frac{1}{R}) = \frac{(\mu_{1}-1) - (\mu_{2}-1)}{R} = \frac{\mu_{1}-\mu_{2}}{R}$.
તેથી,વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ અને સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f_{eq}$ નો ગુણોત્તર: $\frac{R}{f_{eq}} = \mu_{1}-\mu_{2}$.

(B) બે લેન્સના સંયોજનમાંથી પસાર થયા પછી પ્રકાશનું સમાંતર કિરણપુંજ સમાંતર રહે તે માટે,પ્રથમ લેન્સનું બીજું મુખ્ય કેન્દ્ર અને બીજા લેન્સનું પ્રથમ મુખ્ય કેન્દ્ર એકબીજા પર સંપાત થવું જોઈએ.
ધારો કે $f_1 = 20 \, cm$ (બહિર્ગોળ લેન્સ) અને $f_2 = -5 \, cm$ (અંતર્ગોળ લેન્સ).
લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = f_1 + f_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$d = 20 \, cm + (-5 \, cm) = 15 \, cm$ મળે છે.
આમ,અંતર $d$ નું મૂલ્ય $15 \, cm$ છે.

(A) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
આપેલ છે કે $f = 15 \, cm$ અને $\mu = 1.5$,અને સંમિત બહિર્ગોળ લેન્સ માટે $R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ લેતા:
$\frac{1}{15} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = 0.5 \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$.
આમ,$R = 15 \, cm$.
આ સંયોજનમાં બે બહિર્ગોળ લેન્સ અને તેમની વચ્ચે એક પ્રવાહી લેન્સ છે. પ્રવાહી લેન્સનો વક્રીભવનાંક $\mu_l = 1.25$ છે અને તેની સપાટીઓની વક્રતા ત્રિજ્યા $-R$ અને $R$ છે (અંતર્ગોળ આકાર).
પ્રવાહી લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{f_l} = (\mu_l - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{R} \right) = (1.25 - 1) \left( -\frac{2}{R} \right) = 0.25 \left( -\frac{2}{15} \right) = -\frac{0.5}{15} = -\frac{1}{30}$.
સંયોજનની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f_{eq}$:
$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_l} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{15} - \frac{1}{30} + \frac{1}{15} = \frac{2 - 1 + 2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$.
તેથી,$f_{eq} = 10 \, cm$.

(A) ઓપ્ટિકલ ઉપકરણમાં $f = 10 \,cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા ત્રણ સમાન બહિર્ગોળ લેન્સ છે,જે એકબીજાથી $30 \,cm$ ના અંતરે મૂકવામાં આવ્યા છે.
કિસ્સો $1$: ઉદગમ $O$ પ્રથમ લેન્સથી $10 \,cm$ ના અંતરે છે. $u = -10 \,cm$ અને $f = 10 \,cm$ હોવાથી,પ્રથમ લેન્સમાંથી પસાર થયા પછી કિરણો સમાંતર બને છે. આ સમાંતર કિરણો બીજા લેન્સ પર પડે છે,જે તેમને તેના કેન્દ્રબિંદુ પર,તેની પાછળ $10 \,cm$ અંતરે કેન્દ્રિત કરે છે. બીજા અને ત્રીજા લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $30 \,cm$ હોવાથી,બીજા લેન્સના કેન્દ્રબિંદુમાંથી આવતા કિરણો ત્રીજા લેન્સ માટે $20 \,cm$ $(30 - 10 = 20 \,cm)$ ના અંતરે અપસારી ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે. ત્રીજા લેન્સ માટે લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -20 \,cm$ અને $f = 10 \,cm$,આપણને $\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{20} = \frac{1}{20}$ મળે છે,તેથી $v = 20 \,cm$. અંતિમ પ્રતિબિંબ ત્રીજા લેન્સની પાછળ $20 \,cm$ અંતરે રચાય છે.
કિસ્સો $2$: જ્યારે ઉપકરણને $10 \,cm$ દૂર ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે ઉદગમ હવે પ્રથમ લેન્સથી $20 \,cm$ ના અંતરે છે. પ્રથમ લેન્સ માટે,$u = -20 \,cm$ અને $f = 10 \,cm$,તેથી $v = 20 \,cm$. ત્યારબાદ કિરણો બીજા લેન્સ પર $10 \,cm$ $(30 - 20 = 10 \,cm)$ ના અંતરે પડે છે. $u = -10 \,cm$ અને $f = 10 \,cm$ હોવાથી,બીજા લેન્સ પછી કિરણો સમાંતર બને છે. આ સમાંતર કિરણો ત્રીજા લેન્સ પર પડે છે અને તેની પાછળ $10 \,cm$ અંતરે તેના કેન્દ્રબિંદુ પર કેન્દ્રિત થાય છે.
ઉદગમની સાપેક્ષમાં અંતિમ પ્રતિબિંબના સ્થાનની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે બંને કિસ્સાઓમાં ઉદગમ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું કુલ અંતર અચળ રહે છે. તેથી,પ્રતિબિંબના સ્થાનમાં સ્થાનાંતર $0 \,cm$ છે.

(D) પ્રથમ લેન્સ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
પ્રથમ લેન્સ $(L_1)$ માટે:
આપેલ છે $u_1 = -0.40 \,m$ અને $f_1 = +0.20 \,m$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{u_1} = \frac{1}{0.20} + \frac{1}{-0.40} = 5 - 2.5 = 2.5 \,m^{-1}$.
તેથી,$v_1 = \frac{1}{2.5} = 0.40 \,m$.
આ પ્રતિબિંબ $L_1$ ની જમણી બાજુએ $0.40 \,m$ અંતરે રચાય છે.
બીજા લેન્સ $(L_2)$ માટે:
લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $0.30 \,m$ છે. $L_1$ થી મળતું પ્રતિબિંબ $L_1$ ની જમણી બાજુએ $0.40 \,m$ અંતરે છે,જેનો અર્થ છે કે તે $L_2$ ની જમણી બાજુએ $0.40 - 0.30 = 0.10 \,m$ અંતરે છે.
પ્રકાશના કિરણો $L_2$ ની પાછળ એક બિંદુ તરફ અભિસરણ પામતા હોવાથી,આ $L_2$ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
આમ,$u_2 = +0.10 \,m$ અને $f_2 = -0.10 \,m$ (અંતર્ગોળ લેન્સ).
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{f_2} + \frac{1}{u_2} = \frac{1}{-0.10} + \frac{1}{0.10} = -10 + 10 = 0$.
તેથી,$v_2 = \infty$.
અંતિમ પ્રતિબિંબ અનંત અંતરે રચાય છે.

(C) $1$. જ્યારે પ્રકાશનું સમાંતર કિરણપુંજ $f_1 = 100 \, cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા બહિર્ગોળ લેન્સ પર આપાત થાય છે,ત્યારે તે તેના મુખ્ય કેન્દ્ર તરફ કેન્દ્રિત થાય છે,જે બહિર્ગોળ લેન્સથી $100 \, cm$ ના અંતરે છે.
$2$. અંતર્ગોળ લેન્સને બહિર્ગોળ લેન્સથી $90 \, cm$ ના અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે. તેથી,પ્રકાશના કિરણો અંતર્ગોળ લેન્સની પાછળ $10 \, cm$ ના અંતરે આવેલા બિંદુ તરફ જાય છે.
$3$. અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,આ બિંદુ આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. અંતર્ગોળ લેન્સથી આ આભાસી વસ્તુનું અંતર $u = +10 \, cm$ છે.
$4$. અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -10 \, cm$ છે.
$5$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{1}{v} - \frac{1}{10} = \frac{1}{-10}$ મળે છે.
$6$. આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{v} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \infty$.
$7$. પ્રતિબિંબ અનંત અંતરે રચાતું હોવાથી,અંતર્ગોળ લેન્સમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશના કિરણો સમાંતર કિરણપુંજ તરીકે બહાર આવે છે.

(C) પ્રથમ લેન્સ $(I)$ પર આપાત થતા સમાંતર કિરણો માટે,કિરણો તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થાય છે,જે તેના પ્રકાશીય કેન્દ્ર $O_1$ થી $f_1$ અંતરે છે.
અંતિમ નિર્ગમન કિરણો મુખ્ય અક્ષને સમાંતર રહે તે માટે,કેન્દ્રિત થતું બિંદુ (જે બીજા લેન્સ $II$ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે) બીજા લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે આ બિંદુનું પ્રકાશીય કેન્દ્ર $O_2$ થી અંતર $f_2$ હોવું જોઈએ.
કેન્દ્રિત થતું બિંદુ $O_1$ થી $f_1$ અંતરે અને $O_2$ થી $f_2$ અંતરે હોવાથી,બે લેન્સ વચ્ચેનું કુલ અંતર $d$ એ આ બે કેન્દ્રલંબાઈઓનો સરવાળો છે.
તેથી,$d = f_1 + f_2$.

(A) લેન્સનો પાવર $P = 1/f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અભિસારી લેન્સ માટે પાવર ધન હોય છે.
જ્યારે બે અભિસારી લેન્સને સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજનનો કુલ પાવર $P_{eq} = P_1 + P_2$ થાય છે.
બંને લેન્સ અભિસારી હોવાથી,$P_1 > 0$ અને $P_2 > 0$,તેથી $P_{eq} > P_1$ થાય.
$P_{eq} = 1/f_{eq}$ અને $P_1 = 1/f_1$ હોવાથી,$P_{eq} > P_1$ નો અર્થ એ થાય કે $1/f_{eq} > 1/f_1$,જેનો અર્થ છે કે $f_{eq} < f_1$.
અહીં $f_1 = 30 \,cm$ આપેલ છે,તેથી સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $30 \,cm$ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $15 \,cm$ એ $30 \,cm$ કરતા ઓછી અને ધન કિંમત છે (કારણ કે બે અભિસારી લેન્સનું સંયોજન પણ અભિસારી લેન્સ જ બને છે).
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) સમતલ-અંતર્ગોળ લેન્સ $(L_1)$ માટે:
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{1}{f_1} = (\mu - 1) \left( -\frac{1}{R} \right) = (1.75 - 1) \left( -\frac{1}{30} \right) = 0.75 \times \left( -\frac{1}{30} \right) = -\frac{0.75}{30} = -\frac{1}{40}$.
તેથી, $f_1 = -40\,cm$.
વસ્તુ અનંત અંતરે હોવાથી, $L_1$ પર આપાત થતા કિરણો સમાંતર છે. $L_1$ માંથી પસાર થયા પછી, તેઓ $L_1$ ની ડાબી બાજુએ $40\,cm$ ના અંતરેથી અપસરણ પામતા હોય તેવું લાગે છે।
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ $(L_2)$ માટે:
લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 40\,cm$ છે।
$L_1$ દ્વારા રચાતું આભાસી પ્રતિબિંબ $L_2$ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે।
$L_2$ થી આ આભાસી વસ્તુનું અંતર $u_2 = -(40 + 40) = -80\,cm$ છે।
$L_2$ માટે લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{1}{f_2} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} \right) = (1.75 - 1) \left( \frac{1}{30} \right) = \frac{0.75}{30} = \frac{1}{40}$.
તેથી, $f_2 = 40\,cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-80} = \frac{1}{40} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = \frac{1}{40} - \frac{1}{80} = \frac{2-1}{80} = \frac{1}{80}$.
તેથી, $v_2 = 80\,cm$ ($L_2$ ની જમણી બાજુએ)।
અંતર્ગોળ લેન્સ $(L_1)$ થી અંતિમ પ્રતિબિંબ સુધીનું અંતર $x = d + v_2 = 40 + 80 = 120\,cm$ છે।

(C) પ્રથમ લેન્સ $L_1$ માટે,વસ્તુ અંતર $u_1 = -6\,cm$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +24\,cm$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-6} = \frac{1}{24}$
$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{24} - \frac{1}{6} = \frac{1-4}{24} = -\frac{3}{24} = -\frac{1}{8}$
તેથી,$v_1 = -8\,cm$. આનો અર્થ એ છે કે આભાસી પ્રતિબિંબ $I_1$ એ $L_1$ ની ડાબી બાજુએ $8\,cm$ અંતરે રચાય છે.
બીજા લેન્સ $L_2$ માટે,વસ્તુ અંતર $u_2$ એ $L_2$ થી $I_1$ નું અંતર છે. $I_1$ એ $L_1$ ની ડાબી બાજુ $8\,cm$ પર છે અને $L_1$ એ $L_2$ ની ડાબી બાજુ $10\,cm$ પર છે,તેથી $u_2 = -(8 + 10) = -18\,cm$. કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = +9\,cm$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-18} = \frac{1}{9}$
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{9} - \frac{1}{18} = \frac{2-1}{18} = \frac{1}{18}$
તેથી,$v_2 = +18\,cm$. આનો અર્થ એ છે કે અંતિમ પ્રતિબિંબ $L_2$ ની જમણી બાજુએ $18\,cm$ અંતરે રચાય છે.
વસ્તુ $L_1$ ની ડાબી બાજુ $6\,cm$ પર છે. અંતિમ પ્રતિબિંબ $L_2$ ની જમણી બાજુ $18\,cm$ પર છે. લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $10\,cm$ છે.
વસ્તુ અને અંતિમ પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું કુલ અંતર $6\,cm + 10\,cm + 18\,cm = 34\,cm$ છે.

(D) પ્રથમ લેન્સ $L_1$ માટે,વસ્તુ અનંત અંતરે છે $(u = -\infty)$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-\infty} = \frac{1}{20} \implies v_1 = 20\,cm$.
આ પ્રતિબિંબ $I_1$ બીજા લેન્સ $L_2$ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 60\,cm$ છે.
$L_2$ થી $I_1$ નું અંતર $u_2 = -(60 - 20) = -40\,cm$ છે (કારણ કે તે લેન્સની આગળ છે).
બીજા લેન્સ $L_2$ માટે,લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-40} = \frac{1}{20}$
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{1}{40} \implies v_2 = 40\,cm$.
પ્રથમ લેન્સ $L_1$ થી અંતિમ પ્રતિબિંબનું કુલ અંતર $60 + 40 = 100\,cm$ છે.

(D) લેન્સ મેકરના સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right]$ નો ઉપયોગ કરતા.
પ્રથમ લેન્સ માટે $(f_1)$: $\frac{1}{f_1} = (1.6 - 1) \left[\frac{1}{\infty} - \frac{1}{20}\right] = 0.6 \times (-\frac{1}{20}) = -\frac{3}{100}$.
બીજા લેન્સ માટે $(f_2)$: $\frac{1}{f_2} = (1.5 - 1) \left[\frac{1}{20} - \frac{1}{-20}\right] = 0.5 \times \frac{2}{20} = \frac{1}{20}$.
ત્રીજા લેન્સ માટે $(f_3)$: $\frac{1}{f_3} = (1.6 - 1) \left[\frac{1}{20} - \frac{1}{\infty}\right] = 0.6 \times \frac{1}{20} = \frac{3}{100}$.
સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ માટે: $\frac{1}{f_{\text{eq}}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f_3} = -\frac{3}{100} + \frac{1}{20} - \frac{3}{100} = -\frac{1}{100}$.
તેથી,$f_{\text{eq}} = -100 \ cm$.

(A) સંપર્કમાં રહેલા બે પાતળા લેન્સની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $(f_{eq})$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે કેન્દ્રલંબાઈ ધન $(+f)$ હોય છે અને અંતર્ગોળ લેન્સ માટે કેન્દ્રલંબાઈ ઋણ $(-f)$ હોય છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f} + \left(-\frac{1}{f}\right) = 0$.
તેથી,$\frac{1}{f_{eq}} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $f_{eq} = \infty$ (અનંત).

(A) સંપર્કમાં રહેલા લેન્સના સંયોજનનો અસરકારક પાવર તેમના વ્યક્તિગત પાવરના સરવાળા જેટલો હોય છે: $P_{eq} = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5$.
અહીં $5$ લેન્સ સમાન હોવાથી,$P_{eq} = 5P$ થાય.
આપેલ છે કે $P_{eq} = 25 \ D$,તેથી $5P = 25 \ D$,જેનો અર્થ છે કે $P = 5 \ D$.
પાવર $P$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f$ (મીટરમાં) વચ્ચેનો સંબંધ $P = \frac{1}{f}$ છે.
તેથી,$f = \frac{1}{P} = \frac{1}{5} \ m = 0.2 \ m$.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા,$f = 0.2 \times 100 \ cm = 20 \ cm$.
આમ,દરેક લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $20 \ cm$ છે.

(A) પ્રથમ લેન્સ માટે $(f_1 = 10 \ cm)$: વસ્તુ અંતર $u_1 = -30 \ cm$ છે. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3-1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$. તેથી,$v_1 = 15 \ cm$. પ્રતિબિંબ પ્રથમ લેન્સની જમણી બાજુએ $15 \ cm$ અંતરે રચાય છે.
બીજા લેન્સ માટે $(f_2 = -10 \ cm)$: પ્રથમ અને બીજા લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $5 \ cm$ છે. પ્રથમ લેન્સ દ્વારા રચાયેલ પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. વસ્તુ અંતર $u_2 = +(15 - 5) = +10 \ cm$ છે. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{-10} + \frac{1}{10} = 0$. તેથી,$v_2 = \infty$.
ત્રીજા લેન્સ માટે $(f_3 = 30 \ cm)$: કિરણો મુખ્ય અક્ષને સમાંતર છે કારણ કે તે અનંત અંતરેથી આવે છે. તેથી,અંતિમ પ્રતિબિંબ ત્રીજા લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર રચાય છે,જે ત્રીજા લેન્સની જમણી બાજુએ $30 \ cm$ અંતરે છે.

(C) બે બહિર્ગોળ લેન્સમાંથી પસાર થયા પછી કિરણો મુખ્ય અક્ષને સમાંતર બહાર નીકળે તે માટે,પ્રથમ લેન્સ દ્વારા રચાયેલી મધ્યવર્તી છબી બીજા લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર હોવી જોઈએ.
આપાત કિરણો મુખ્ય અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેઓ પ્રથમ લેન્સ $L_1$ ના મુખ્ય કેન્દ્ર પર $f_1 = 10 \,cm$ ના અંતરે કેન્દ્રિત થાય છે.
આ કિરણો બીજા લેન્સ $L_2$ માંથી સમાંતર બહાર નીકળે તે માટે,આ મુખ્ય કેન્દ્ર એ બીજા લેન્સ $L_2$ નું પણ મુખ્ય કેન્દ્ર હોવું જોઈએ. તેથી,બંને લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d = f_1 + f_2$ હોવું જોઈએ.
અહીં $f_1 = 10 \,cm$ અને $f_2 = 15 \,cm$ આપેલ છે,તેથી અંતર $d = 10 \,cm + 15 \,cm = 25 \,cm$ થાય.

(B) લેન્સનું કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (n-1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$.
પ્રથમ સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે $(n_1 = 1.5)$: $\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1) \left[ \frac{1}{14} - \frac{1}{\infty} \right] = \frac{0.5}{14} = \frac{1}{28} \ cm^{-1}$.
બીજા સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે $(n_2 = 1.2)$: $\frac{1}{f_2} = (1.2 - 1) \left[ \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-14} \right] = \frac{0.2}{14} = \frac{1}{70} \ cm^{-1}$.
સંપર્કમાં રહેલા પાતળા લેન્સના સંયોજન માટે,અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ એ $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{1}{F} = \frac{1}{28} + \frac{1}{70} = \frac{5 + 2}{140} = \frac{7}{140} = \frac{1}{20} \ cm^{-1}$.
આમ,અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F = 20 \ cm$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -40 \ cm$:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-40} = \frac{1}{20} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{2 - 1}{40} = \frac{1}{40}$.
તેથી,પ્રતિબિંબ અંતર $v = 40 \ cm$ છે.

(B) પાતળા લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$. આપેલ છે $\mu = 1.5$,તેથી $(\mu - 1) = 0.5 = \frac{1}{2}$.
$(P)$ બે બાયકોન્વેક્સ લેન્સ: દરેક લેન્સ માટે $f = r$. સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{2}{r} \implies f_{eq} = \frac{r}{2}$. આમ,$P-2$.
$(Q)$ બે મેનિસ્કસ લેન્સ જે બાયકોન્વેક્સ આકાર બનાવે છે: $f_{eq} = r$. આમ,$Q-4$.
$(R)$ બે બાયકોન્કેવ લેન્સ: $f_{eq} = -r$. આમ,$R-3$.
$(S)$ એક બાયકોન્વેક્સ અને એક મેનિસ્કસ લેન્સનું સંયોજન: $f_{eq} = 2r$. આમ,$S-1$.
મેળવણી: $P-2, Q-4, R-3, S-1$.

(A) બધા કિસ્સાઓ માટે,પ્રથમ લેન્સ માટે વસ્તુ અંતર $u_1 = -20 \ cm$ છે. લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે,અથવા $v = \frac{uf}{u+f}$. લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 5 \ cm$ છે. બીજા લેન્સ માટે વસ્તુ અંતર $u_2 = v_1 - d$ છે.
$(I)$ $f_1 = +10, f_2 = +15$: $v_1 = \frac{(-20)(10)}{-20+10} = +20 \ cm$. $u_2 = 20 - 5 = +15 \ cm$. $v_2 = \frac{(15)(15)}{15+15} = +7.5 \ cm$ (જમણી બાજુ). $(P)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(II)$ $f_1 = +10, f_2 = -10$: $v_1 = +20 \ cm$. $u_2 = 20 - 5 = +15 \ cm$. $v_2 = \frac{(15)(-10)}{15-10} = -30 \ cm$ (ડાબી બાજુ). $(R)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(III)$ $f_1 = +10, f_2 = -20$: $v_1 = +20 \ cm$. $u_2 = 20 - 5 = +15 \ cm$. $v_2 = \frac{(15)(-20)}{15-20} = +60 \ cm$ (જમણી બાજુ). $(Q)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(IV)$ $f_1 = -20, f_2 = +10$: $v_1 = \frac{(-20)(-20)}{-20-20} = -10 \ cm$. $u_2 = -10 - 5 = -15 \ cm$. $v_2 = \frac{(-15)(10)}{-15+10} = +30 \ cm$ (જમણી બાજુ). $(T)$ સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,સાચો ક્રમ $I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow Q, IV \rightarrow T$ છે.

(D) આપેલ કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = 30 \ cm = 0.3 \ m$ અને $f_2 = 10 \ cm = 0.1 \ m$ છે.
લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 1 \ cm = 0.01 \ m$ છે.
$d$ અંતરે રહેલા બે લેન્સ માટે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f_{eq}$ નું સૂત્ર:
$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
મીટરમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{0.3} + \frac{1}{0.1} - \frac{0.01}{0.3 \times 0.1}$
$\frac{1}{f_{eq}} = 3.33 + 10 - \frac{0.01}{0.03}$
$\frac{1}{f_{eq}} = 3.33 + 10 - 0.33 = 13 \ D$
ફરીથી ગણતરી કરતા: $P = \frac{1}{0.3} + \frac{1}{0.1} - \frac{0.01}{0.03} = 3.33 + 10 - 3.33 = 10 \ D$.
આમ,સંયોજનનો પાવર $10 \ D$ છે.

(D) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +30 \ cm$ અને અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -20 \ cm$ છે.
સંપર્કમાં રહેલા બે પાતળા લેન્સના સંયોજન માટે,સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{30} + \frac{1}{-20} = \frac{2 - 3}{60} = -\frac{1}{60}$
આમ,$f = -60 \ cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં વસ્તુ અંતર $u = -20 \ cm$ છે:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{-60}$
$\frac{1}{v} + \frac{1}{20} = -\frac{1}{60}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{60} - \frac{1}{20} = \frac{-1 - 3}{60} = -\frac{4}{60} = -\frac{1}{15}$
તેથી,$v = -15 \ cm$.
લેન્સથી પ્રતિબિંબનું અંતર $15 \ cm$ છે.

(C) જ્યારે લેન્સના સંયોજનનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પાવર એ વ્યક્તિગત પાવરનો બેઝિક સરવાળો છે.
$p$ પાવર ધરાવતા ચાર સમાન લેન્સ માટે,ચોખ્ખો પાવર $P_{\text{net}} = p + p + p + p = 4p$ થાય છે.
જ્યારે લેન્સ સંપર્કમાં હોય,ત્યારે સંયોજનનું કુલ મેગ્નિફિકેશન એ વ્યક્તિગત મેગ્નિફિકેશનનો ગુણાકાર છે.
$m$ મેગ્નિફિકેશન ધરાવતા ચાર સમાન લેન્સ માટે,કુલ મેગ્નિફિકેશન $m_{\text{net}} = m \times m \times m \times m = m^4$ થાય છે.
તેથી,પાવર $4p$ અને મેગ્નિફિકેશન $m^4$ છે.

(D) લેન્સના સંયોજનનો સમતુલ્ય પાવર $P = P_1 + P_2 = 10D - 5D = 5D$ છે.
$P = 5D$ હોવાથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{1}{P} = \frac{1}{5} m = 20 \ cm$ થાય.
લેન્સ માટે,મોટવણી $m = \frac{f}{f + u}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $m = 2$ (આભાસી પ્રતિબિંબ માટે $m$ ધન હોય છે) અને $f = 20 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $2 = \frac{20}{20 + u}$.
$40 + 2u = 20$.
$2u = -20$.
$u = -10 \ cm$.
આમ,વસ્તુને લેન્સના સંયોજનથી $10 \ cm$ ના અંતરે રાખવી જોઈએ.

(B) અંતરે રહેલા $P_1$ અને $P_2$ પાવર ધરાવતા બે પાતળા લેન્સનો સમતુલ્ય પાવર $P_{eq}$ નીચે મુજબ છે: $P_{eq} = P_1 + P_2 - d P_1 P_2$.
આપેલ છે કે $P_1 + P_2 = 9 \text{ D}$ અને $d = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$9 - (0.2) P_1 P_2 = \frac{27}{5} = 5.4$.
$P_1 P_2$ માટે પદ ગોઠવતા:
$0.2 P_1 P_2 = 9 - 5.4 = 3.6$.
$P_1 P_2 = \frac{3.6}{0.2} = 18$.
હવે આપણી પાસે બે સમીકરણો છે: $P_1 + P_2 = 9$ અને $P_1 P_2 = 18$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 9x + 18 = 0$ ના બીજ છે.
અવયવ પાડતા: $(x - 3)(x - 6) = 0$.
આમ,બંને લેન્સનો પાવર $3 \text{ D}$ અને $6 \text{ D}$ છે.

(B) આપેલ છે કે,બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = f$ અને અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -f$ છે.
જ્યારે બે પાતળા લેન્સ સંપર્કમાં હોય,ત્યારે સંયોજનની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
આપેલ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f} + \left( -\frac{1}{f} \right)$
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f} = 0$
અહીં $\frac{1}{F} = 0$ હોવાથી,$F = \infty$ મળે છે.
તેથી,આ સંયોજનની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ અનંત છે.

(A) એક્રોમેટિક ડબલેટ માટેની શરત $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ છે, જેને પાવરના સંદર્ભમાં $\omega_1 P_1 + \omega_2 P_2 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલ છે: કુલ પાવર $P = P_1 + P_2 = +2 \text{ D}$.
બહિર્ગોળ લેન્સનો પાવર $P_1 = +5 \text{ D}$.
તેથી, $P_2 = P - P_1 = 2 - 5 = -3 \text{ D}$.
એક્રોમેટિક શરતમાં કિંમતો મૂકતા: $\omega_1(5) + \omega_2(-3) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $5\omega_1 = 3\omega_2$.
ડિસ્પર્સિવ પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{3}{5}$ થાય છે.

(D) $n_1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ કેન્દ્રલંબાઈ $f_1$ છે: $\frac{1}{f_1} = (n_1 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{n_1 - 1}{R}$.
$n_2$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા સમતલ-અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_2$ છે: $\frac{1}{f_2} = (n_2 - 1) \left( -\frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = -\frac{n_2 - 1}{R}$.
જ્યારે આ બે લેન્સને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ એ $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{F} = \frac{n_1 - 1}{R} - \frac{n_2 - 1}{R} = \frac{n_1 - 1 - n_2 + 1}{R} = \frac{n_1 - n_2}{R}$.
તેથી,સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $F = \frac{R}{n_1 - n_2}$ છે.

(D) સંપર્કમાં રહેલા લેન્સના સંયોજનનો પાવર એ વ્યક્તિગત લેન્સના પાવરનો બેઝિક સરવાળો છે.
$P = P_1 + P_2$
અહીં $P_1 = +2.50 \ D$ અને $P_2 = -3.75 \ D$ આપેલ છે.
$P = 2.50 + (-3.75) = -1.25 \ D$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ મીટરમાં પાવર $P$ ના વ્યસ્ત જેટલી હોય છે:
$f = \frac{1}{P} = \frac{1}{-1.25} \ m$.
$f = -0.8 \ m$.
$1 \ m = 100 \ cm$ હોવાથી:
$f = -0.8 \times 100 \ cm = -80 \ cm$.

(B) પાવર $(P) = \frac{1}{f} \dots (i)$
આપેલ છે કે,પાવરના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર $\frac{|P_{\text{concave}}|}{|P_{\text{convex}}|} = \frac{2}{3} \dots (ii)$
ધારો કે બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_{\text{convex}} = f$ (ધન) અને અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_{\text{concave}} = -f'$ (ઋણ) છે.
$P = \frac{1}{f}$ હોવાથી,પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{1/f'}{1/f} = \frac{f}{f'} = \frac{2}{3}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $f' = \frac{3}{2}f$.
આમ,$f_{\text{convex}} = f$ અને $f_{\text{concave}} = -\frac{3}{2}f$.
સંપર્કમાં રહેલા બે લેન્સ માટે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈનું સૂત્ર વાપરતા: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_{\text{convex}}} + \frac{1}{f_{\text{concave}}}$
$\frac{1}{30} = \frac{1}{f} - \frac{1}{\frac{3}{2}f} = \frac{1}{f} - \frac{2}{3f} = \frac{3-2}{3f} = \frac{1}{3f}$
$\frac{1}{30} = \frac{1}{3f} \Rightarrow 3f = 30 \Rightarrow f = 10 \ cm$.
તેથી,$f_{\text{convex}} = 10 \ cm$ અને $f_{\text{concave}} = -\frac{3}{2}(10) = -15 \ cm$.

(A) લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (જ્યાં $f$ મીટરમાં છે).
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$f_1 = +40 \ cm = +0.4 \ m$.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,$f_2 = -25 \ cm = -0.25 \ m$.
સંપર્કમાં રહેલા પાતળા લેન્સના સંયોજનનો પાવર $P = P_1 + P_2 = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{1}{0.4} + \frac{1}{-0.25}$.
$P = 2.5 - 4.0 = -1.5 \ D$.

(B) લેન્સનો પાવર $P$ એ $P = \frac{1}{f(m)}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મીટરમાં કેન્દ્રલંબાઈ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$f_1 = +40 \ cm = +0.4 \ m$. તેથી,$P_1 = \frac{1}{0.4} = +2.5 \ D$.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,$f_2 = -25 \ cm = -0.25 \ m$. તેથી,$P_2 = \frac{1}{-0.25} = -4.0 \ D$.
સંપર્કમાં રહેલા લેન્સના સંયોજનનો પાવર $P = P_1 + P_2$ છે.
$P = 2.5 \ D + (-4.0 \ D) = -1.5 \ D$.

(B) લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $f$ એ મીટરમાં કેન્દ્રલંબાઈ છે.
સંપર્કમાં રહેલા પાતળા લેન્સના સંયોજન માટે, સમતુલ્ય પાવર $P$ એ વ્યક્તિગત પાવરનો બેઝિક સરવાળો છે:
$P = P_1 + P_2$
આપેલ છે:
$P_1 = -15 D$
$P_2 = +5 D$
કિંમતો મૂકતા:
$P = -15 D + 5 D = -10 D$
હવે, કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ની ગણતરી કરો:
$f = \frac{1}{P} = \frac{1}{-10} \,m$
$f = -0.1 \,m$
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતરિત કરતા $(1 \,m = 100 \,cm)$:
$f = -0.1 \times 100 \,cm = -10 \,cm$
આમ, સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $-10 \,cm$ છે.

(D) ધારો કે બે લેન્સનો પાવર $P_1$ અને $P_2$ છે. જ્યારે લેન્સ સંપર્કમાં હોય,ત્યારે સમતુલ્ય પાવર $P = P_1 + P_2 = 10 D$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લેન્સ $d = 0.25 m$ ના અંતરે હોય,ત્યારે સમતુલ્ય પાવર $P = P_1 + P_2 - d P_1 P_2 = 6 D$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજા સમીકરણમાં $P_1 + P_2 = 10$ મૂકતા: $10 - 0.25 P_1 P_2 = 6$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $0.25 P_1 P_2 = 4$ મળે,તેથી $P_1 P_2 = 16$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(P_1 - P_2)^2 = (P_1 + P_2)^2 - 4 P_1 P_2$.
$(P_1 - P_2)^2 = (10)^2 - 4(16) = 100 - 64 = 36$.
આમ,$P_1 - P_2 = 6 D$.
$P_1 + P_2 = 10$ અને $P_1 - P_2 = 6$ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $2 P_1 = 16 \Rightarrow P_1 = 8 D$ અને $P_2 = 2 D$ મળે છે.

(D) ધારો કે બે પાતળા લેન્સના પાવર $P_1$ અને $P_2$ છે.
આપેલ છે કે, સંપર્કમાં રહેલા લેન્સનો સંયુક્ત પાવર $P = P_1 + P_2 = 9 D$ ---$(1)$
જ્યારે લેન્સને $d = 20 \,cm = 0.2 \,m$ ના અંતરે રાખવામાં આવે છે, ત્યારે સમતુલ્ય પાવર $P_{eq}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$P_{eq} = P_1 + P_2 - d P_1 P_2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{27}{5} = 9 - 0.2 P_1 P_2$
$5.4 = 9 - 0.2 P_1 P_2$
$0.2 P_1 P_2 = 9 - 5.4 = 3.6$
$P_1 P_2 = \frac{3.6}{0.2} = 18$ ---$(2)$
આપણી પાસે સરવાળો $P_1 + P_2 = 9$ અને ગુણાકાર $P_1 P_2 = 18$ છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (P_1 + P_2)x + P_1 P_2 = 0$ ના બીજ છે, જે $x^2 - 9x + 18 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$(x - 3)(x - 6) = 0$
તેથી, $x = 3$ અથવા $x = 6$.
આમ, વ્યક્તિગત પાવર $3 D$ અને $6 D$ છે.
સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(B) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = 20 \,cm$ છે અને અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -56 \,cm$ છે.
$d$ અંતરે રહેલા બે પાતળા લેન્સના સંયોજન માટે, સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
આપાત કિરણપુંજ સમાંતર છે અને નિર્ગમન કિરણપુંજ પણ સમાંતર હોવાથી, આ સંયોજન અનંત કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતી સિસ્ટમ તરીકે વર્તે છે, એટલે કે $F = \infty$, જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{F} = 0$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0 = \frac{1}{20} + \frac{1}{-56} - \frac{d}{20 \times (-56)}$
$\frac{d}{20 \times 56} = \frac{1}{20} - \frac{1}{56}$
$\frac{d}{1120} = \frac{56 - 20}{1120}$
$d = 56 - 20 = 36 \,cm$.
આમ, અંતર $d$ નું મૂલ્ય $36 \,cm$ છે.

(A) સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ કેન્દ્રલંબાઈ $f_1$ છે: $\frac{1}{f_1} = (\mu_1 - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{\infty}) = \frac{\mu_1 - 1}{R}$.
સમતલ-અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_2$ છે: $\frac{1}{f_2} = (\mu_2 - 1)(\frac{1}{-\infty} - \frac{1}{-R}) = \frac{\mu_2 - 1}{-R} = -\frac{\mu_2 - 1}{R}$.
સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = \frac{\mu_1 - 1}{R} - \frac{\mu_2 - 1}{R} = \frac{\mu_1 - 1 - \mu_2 + 1}{R} = \frac{\mu_1 - \mu_2}{R}$.
તેથી,$f = \frac{R}{\mu_1 - \mu_2}$.

(A) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +30 \ cm$ છે.
અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -10 \ cm$ છે.
જ્યારે બે પાતળા લેન્સને સંપર્કમાં રાખવામાં આવે,ત્યારે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{30} + \frac{1}{-10}$
$\frac{1}{f} = \frac{1 - 3}{30}$
$\frac{1}{f} = \frac{-2}{30}$
$\frac{1}{f} = \frac{-1}{15}$
તેથી,$f = -15 \ cm$ મળે છે.

(D) સંપર્કમાં રહેલા બે પાતળા લેન્સની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
અહીં બંને લેન્સ બહિર્ગોળ છે અને તેમની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = 30 \ cm$ અને $f_2 = 30 \ cm$ છે:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{30} + \frac{1}{30}$
$\frac{1}{f} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$
તેથી,$f = 15 \ cm$.
સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) જ્યારે $f_{1}$ અને $f_{2}$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા બે પાતળા લેન્સને સંપર્કમાં રાખવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજનની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}}$ છે.
લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f}$ (જ્યાં $f$ મીટરમાં છે) તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,સંયોજનનો પાવર $P$ એ વ્યક્તિગત પાવરનો સરવાળો છે: $P = P_{1} + P_{2}$.
પાવર માટેના પદો મૂકતા,આપણને મળે છે: $P = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}}$.
સામાન્ય છેદ લેતા,આપણને મળે છે: $P = \frac{f_{1} + f_{2}}{f_{1} f_{2}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) કાર્તેઝિયન સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ:
પ્રથમ બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $= f_{1}$
બીજા બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $= f_{2}$
ત્રીજા અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $= -f_{3}$
સંપર્કમાં રહેલા પાતળા લેન્સના સંયોજન માટે,કુલ પાવર $P = P_{A} + P_{B} = \frac{1}{f_{A}} + \frac{1}{f_{B}}$.
પ્રથમ અને બીજા લેન્સ માટે: $P_{1} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}} = \frac{f_{1} + f_{2}}{f_{1} f_{2}}$.
પ્રથમ અને ત્રીજા લેન્સ માટે: $P_{2} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{-f_{3}} = \frac{1}{f_{1}} - \frac{1}{f_{3}} = \frac{f_{3} - f_{1}}{f_{1} f_{3}}$.
બીજા અને ત્રીજા લેન્સ માટે: $P_{3} = \frac{1}{f_{2}} + \frac{1}{-f_{3}} = \frac{1}{f_{2}} - \frac{1}{f_{3}} = \frac{f_{3} - f_{2}}{f_{2} f_{3}}$.