Combination of Lens and Mirror and Silvering of Lens, Cutting of Mirror Questions in Gujarati

(C) પ્રકાશના કિરણો પાછા અનંત અંતરે જાય તે માટે,તેઓએ અંતર્ગોળ અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવું પડે. આ ત્યારે જ શક્ય છે જો કિરણો અંતર્ગોળ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર તરફ જતા હોય.
આપાત પ્રકાશ મુખ્ય અક્ષને સમાંતર હોવાથી,બહિર્ગોળ લેન્સ આ કિરણોને તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત કરે છે,જે લેન્સથી $f_2$ અંતરે આવેલું છે.
કિરણો અંતર્ગોળ અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થાય તે માટે,આ મુખ્ય કેન્દ્ર બિંદુ અંતર્ગોળ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર સાથે સંપાત થવું જોઈએ.
અંતર્ગોળ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્રનું અરીસાથી અંતર $2f_1$ છે.
તેથી,લેન્સ અને અરીસા વચ્ચેનું કુલ અંતર $d$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ અને અરીસાની વક્રતા ત્રિજ્યાનો સરવાળો છે:
$d = f_2 + 2f_1$.

(B) ચાંદીનો ઢોળ ચડાવેલ લેન્સ માટે,આ તંત્ર $F$ જેટલી અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે. તંત્રનો પાવર $P = 2P_L + P_M$ છે,જ્યાં $P_L = \frac{1}{f_L}$ અને $P_M = 0$ (સમતલ અરીસા માટે).
આપેલ છે કે $f_L = 30\,cm$,તેથી લેન્સનો પાવર $P_L = \frac{1}{30}$ છે.
અસરકારક પાવર $P = 2(\frac{1}{30}) + 0 = \frac{1}{15}$ છે.
આમ,અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F = -15\,cm$ (અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે) મળે છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -40\,cm$ અને $F = -15\,cm$:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-40} = \frac{1}{-15}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{40} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 8}{120} = \frac{-5}{120}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{24}$
$v = -24\,cm$.
તેથી લેન્સથી પ્રતિબિંબનું અંતર $24\,cm$ છે.

(D) લેન્સનો પાવર લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
જ્યારે લેન્સને મુખ્ય અક્ષ ધરાવતા સમતલ દ્વારા કાપવામાં આવે છે,ત્યારે લેન્સની સપાટીઓની વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1$ અને $R_2$ બદલાતી નથી.
વક્રીભવનાંક $\mu$ અને વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1$ અને $R_2$ સમાન રહેતા હોવાથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ માં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
પાવર $P = \frac{1}{f}$ હોવાથી,દરેક ભાગનો પાવર $P$ જ રહેશે.

(1.33) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_{1} = 30 \; cm$.
પ્રવાહીનું સ્તર સમતલ-અંતર્ગોળ લેન્સ તરીકે કાર્ય કરે છે. ધારો કે તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f_{2}$ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ અને પ્રવાહીના સ્તરનું સંયોજન $f = 45 \; cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતી સિસ્ટમ તરીકે કાર્ય કરે છે.
સંપર્કમાં મૂકવામાં આવેલી ઓપ્ટિકલ સિસ્ટમની જોડી માટે,સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}}$
$\frac{1}{f_{2}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f_{1}} = \frac{1}{45} - \frac{1}{30} = \frac{2 - 3}{90} = -\frac{1}{90}$
$\therefore f_{2} = -90 \; cm$.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f_{1}} = (\mu_{1} - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$
કારણ કે $f_{1} = 30 \; cm$,તેથી $R = 30 \; cm$.
સમતલ-અંતર્ગોળ પ્રવાહી લેન્સ માટે,ઉપરની સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R = -30 \; cm$ છે અને નીચેની સપાટી $\infty$ છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f_{2}} = (\mu_{2} - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{\infty} \right)$
$-\frac{1}{90} = (\mu_{2} - 1) \left( \frac{1}{-30} - 0 \right)$
$\mu_{2} - 1 = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$
$\mu_{2} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.33$.
આમ,પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક $1.33$ છે.

(D) લેન્સને કાપ્યા પછી તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 25 \, cm$ જ રહે છે.
નવા લેન્સની મુખ્ય અક્ષ તેના ઓપ્ટિકલ સેન્ટર $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
વસ્તુ $(-50 \, cm, 0)$ પર મૂકવામાં આવી છે. લેન્સને મૂળ મુખ્ય અક્ષથી $0.5 \, cm$ ઉપર કાપવામાં આવ્યો હોવાથી,નવી મુખ્ય અક્ષ મૂળ અક્ષથી $0.5 \, cm$ નીચે છે.
નવી મુખ્ય અક્ષની સાપેક્ષમાં,વસ્તુની ઊંચાઈ $y_o = 0.5 \, cm$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{25} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-50} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{25} - \frac{1}{50} = \frac{1}{50} \implies v = 50 \, cm$.
મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{y_i}{y_o}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$m = \frac{50}{-50} = -1$.
તેથી,$y_i = m \cdot y_o = -1 \cdot 0.5 \, cm = -0.5 \, cm$.
નવી મુખ્ય અક્ષની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબના યામ $(50 \, cm, -0.5 \, cm)$ છે.
નવી મુખ્ય અક્ષ મૂળ અક્ષની સાપેક્ષમાં $y = -0.5 \, cm$ પર હોવાથી,નિરપેક્ષ $y$-યામ $-0.5 + (-0.5) = -1.0 \, cm$ થશે.
તેથી,પ્રતિબિંબના યામ $(50 \, cm, -1.0 \, cm)$ છે.

(C) $1$. પદાર્થ બહિર્ગોળ લેન્સથી $u = -1\, m$ અંતરે છે. આપેલ છે $f = +0.5\, m$. $u = -2f$ હોવાથી,પ્રથમ પ્રતિબિંબ $I_1$ લેન્સની પાછળ $v_1 = +2f = +1\, m$ અંતરે રચાય છે.
$2$. સમતલ અરીસો લેન્સથી $2\, m$ અંતરે છે. પ્રતિબિંબ $I_1$ અરીસા માટે પદાર્થ તરીકે કાર્ય કરે છે. અરીસાથી $I_1$ નું અંતર $2\, m - 1\, m = 1\, m$ છે.
$3$. સમતલ અરીસો અરીસાની પાછળ $1\, m$ અંતરે પ્રતિબિંબ $I_2$ રચે છે. આ $I_2$ લેન્સ માટે આભાસી પદાર્થ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$4$. લેન્સથી $I_2$ નું અંતર $2\, m + 1\, m = 3\, m$ છે. તે જમણી બાજુ હોવાથી,$u = +3\, m$.
$5$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{0.5} + \frac{1}{-3} = 2 - 0.333 = 1.666 = \frac{5}{3}$.
તેથી $v = 0.6\, m$. અરીસાથી કુલ અંતર = $2\, m + 0.6\, m = 2.6\, m$. પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે.

(C) વસ્તુનું પ્રતિબિંબ વસ્તુ સાથે સંપાત થાય તે માટે,પ્રકાશના કિરણો બહિર્ગોળ અરીસા પર લંબરૂપે પડવા જોઈએ. આ ત્યારે જ શક્ય છે જો પ્રકાશના કિરણો બહિર્ગોળ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર $(C)$ તરફ લક્ષિત હોય.
બહિર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 15 \,{cm}$ આપેલી છે,તેથી વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 2f = 30 \,{cm}$ થાય.
આમ,લેન્સમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો અરીસાની પાછળ $30 \,{cm}$ ના અંતરે કેન્દ્રિત થવા જોઈએ.
જ્યારે અરીસો દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે લેન્સ તે જ બિંદુએ વાસ્તવિક અને ઉલટું પ્રતિબિંબ બનાવે છે જ્યાં કિરણો કેન્દ્રિત થઈ રહ્યા હતા,જે અરીસાની પાછળ $30 \,{cm}$ છે.
વસ્તુથી આ પ્રતિબિંબનું કુલ અંતર એ વસ્તુથી લેન્સનું અંતર $(12 \,{cm})$,લેન્સથી અરીસાનું અંતર $(8 \,{cm})$ અને અરીસાથી પ્રતિબિંબનું અંતર $(30 \,{cm})$ નો સરવાળો છે.
કુલ અંતર = $12 \,{cm} + 8 \,{cm} + 30 \,{cm} = 50 \,{cm}$.

(D) લેન્સ માટે,લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
અહીં $u = -60\,cm$ અને $f = +20\,cm$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{v} - \frac{1}{-60} = \frac{1}{20}$.
$\frac{1}{v} + \frac{1}{60} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{60} = \frac{3-1}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$.
તેથી,$v = 30\,cm$. આ પ્રતિબિંબ લેન્સની પાછળ $30\,cm$ અંતરે રચાય છે.
અંતિમ પ્રતિબિંબ વસ્તુ પર જ સંપાત થાય તે માટે,કિરણો અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવા જોઈએ. આ ત્યારે જ શક્ય છે જો કિરણો અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર $(C)$ તરફ નિર્દેશિત હોય.
અરીસાથી પ્રતિબિંબનું અંતર $30\,cm - 10\,cm = 20\,cm$ છે. આમ,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 20\,cm$.
અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = \frac{R}{2} = \frac{20}{2} = 10\,cm$ થાય.

(B) જ્યારે લેન્સ પર ચાંદીનો ઢોળ ચડાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે $f_{eq}$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અરીસા તરીકે વર્તે છે.
સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{2}{f_l} + \frac{1}{f_m}$ છે,જ્યાં $f_l$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_m$ એ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$f_l = 10 \,cm$. સપાટ સપાટી પર ચાંદીનો ઢોળ ચડાવેલ હોવાથી,તે સમતલ અરીસા તરીકે વર્તે છે,એટલે કે $f_m = \infty$.
આમ,$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{2}{10} + \frac{1}{\infty} = \frac{1}{5}$.
સિસ્ટમ અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તતી હોવાથી,આપણે $f_{eq} = -5 \,cm$ લઈએ છીએ (અરીસા માટેની સંજ્ઞા પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરીને).
વસ્તુનું અંતર $u = -30 \,cm$ આપેલ છે,તેથી આપણે અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{-5} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-30}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{-5} + \frac{1}{30} = \frac{-6 + 1}{30} = \frac{-5}{30} = -\frac{1}{6}$.
તેથી,$v = -6 \,cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ અરીસાની સામે રચાય છે,જેનો અર્થ છે કે તે લેન્સથી $6 \,cm$ અંતરે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ છે.

(A) જ્યારે પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સની વક્ર સપાટી પર ચાંદીનો ઢોળ ચડાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે. આ તંત્રની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{f} = \frac{2}{f_l} + \frac{1}{f_m}$
જ્યાં $f_l$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_m$ એ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સ માટે,$\frac{1}{f_l} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{\mu - 1}{R}$.
ચાંદીનો ઢોળ ચડાવેલી વક્ર સપાટી (જે અરીસા તરીકે વર્તે છે) ની કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = \frac{R}{2}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f} = 2 \left( \frac{\mu - 1}{R} + \frac{1}{R} \right) = \frac{2\mu - 2}{R} + \frac{2}{R} = \frac{2\mu}{R}$.
આમ,સમતુલ્ય અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{R}{2\mu}$ છે.
પ્રતિબિંબ વસ્તુ પર જ રચાય તે માટે,વસ્તુને સમતુલ્ય અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર પર મૂકવી જોઈએ,જે ધ્રુવથી $2f$ અંતરે હોય છે.
અંતર $x = 2f = 2 \left( \frac{R}{2\mu} \right) = \frac{R}{\mu}$.
તેથી,વસ્તુને લેન્સથી $\frac{R}{\mu}$ અંતરે મૂકવી જોઈએ.

(C) ધારો કે $S$ એ બિંદુવત સ્ત્રોત છે જે અભિસારી લેન્સથી $u = -2f$ અંતરે મૂકવામાં આવેલ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{1}{v} - \frac{1}{-2f} = \frac{1}{f}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{2f} = \frac{1}{2f}$. આમ,$v = 2f$.
આનો અર્થ એ છે કે લેન્સ બીજી બાજુએ $2f$ અંતરે $S'$ પ્રતિબિંબ રચે છે.
અરીસા પરથી પરાવર્તિત કિરણો લેન્સમાંથી ફરી પસાર થયા પછી સમાંતર બને તે માટે,અરીસામાંથી લેન્સ પર આપાત થતા કિરણો લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પરથી આવતા હોય તેવું લાગવું જોઈએ.
ધારો કે અરીસો લેન્સથી $d$ અંતરે મૂકવામાં આવેલ છે. લેન્સમાંથી આવતા કિરણો $2f$ અંતરે આવેલા $S'$ તરફ અભિસારી થાય છે. અરીસો આ કિરણોનું પરાવર્તન કરે છે,જે લેન્સ માટે આભાસી વસ્તુ $S''$ બનાવે છે. અંતિમ કિરણો સમાંતર રહે તે માટે,વસ્તુ $S''$ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર $F$ પર હોવી જોઈએ.
ભૂમિતિ પરથી,લેન્સથી અરીસાનું અંતર $d$ છે. લેન્સથી $S'$ નું અંતર $2f$ છે. લેન્સથી $S''$ નું અંતર $f$ છે.
અરીસો $S''$ અને $S'$ ની વચ્ચેના મધ્યબિંદુ પર મૂકવામાં આવેલ છે. તેથી,$d = \frac{f + 2f}{2} = \frac{3f}{2}$.
અહીં $f = 30 \, cm$ આપેલ છે,તેથી $d = \frac{3 \times 30}{2} = 45 \, cm$.

(A) અંતિમ પ્રતિબિંબ વસ્તુ સાથે સંપાત થાય તે માટે,પ્રકાશના કિરણો સમતલ અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવા જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે બહિર્ગોળ લેન્સમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશના કિરણો મુખ્ય અક્ષને સમાંતર હોય.
બહિર્ગોળ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવેલી વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો વક્રીભવન પછી મુખ્ય અક્ષને સમાંતર બને છે.
બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 15 \,cm$ આપેલી હોવાથી,વસ્તુને અરીસાની વિરુદ્ધ બાજુએ લેન્સથી $15 \,cm$ ના અંતરે મૂકવી જોઈએ.
જ્યારે $15 \,cm$ પર રહેલી વસ્તુમાંથી કિરણો લેન્સમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તે મુખ્ય અક્ષને સમાંતર બને છે.
આ સમાંતર કિરણો સમતલ અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થાય છે અને તે જ માર્ગે પાછા પરાવર્તિત થાય છે.
ફરીથી લેન્સમાંથી પસાર થયા પછી,તેઓ તે જ બિંદુ પર કેન્દ્રિત થાય છે જ્યાં વસ્તુ સ્થિત છે,આમ અંતિમ પ્રતિબિંબ વસ્તુના સ્થાન પર જ રચાય છે.

(D) આપેલ છે: અંતર્ગોળ લેન્સ માટે $u = -20 \,cm$,$f = -10 \,cm$.
$(a)$ લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-20} = \frac{1}{-10} \Rightarrow \frac{1}{v} = -\frac{1}{10} - \frac{1}{20} = -\frac{3}{20} \Rightarrow v = -\frac{20}{3} \,cm$.
પ્રતિબિંબ આભાસી છે અને લેન્સની ડાબી બાજુએ $6.67 \,cm$ અંતરે રચાય છે.
$(b)$ ધારો કે અરીસો લેન્સથી $x$ અંતરે છે. લેન્સ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ અરીસા માટે વસ્તુ તરીકે વર્તે છે. અંતિમ પ્રતિબિંબ ઉદગમ પર સંપાત થાય તે માટે,કિરણો અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવા જોઈએ. આ ત્યારે જ શક્ય છે જો કિરણો અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર તરફ જતા હોય. અરીસાથી પ્રતિબિંબનું અંતર $d = x + \frac{20}{3}$ છે. કિરણો તે જ માર્ગે પાછા ફરે તે માટે,આ અંતર વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 2|f_m| = 2 \times 5 = 10 \,cm$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$x + \frac{20}{3} = 10 \Rightarrow x = 10 - 6.67 = 3.33 \,cm$.
$(c)$ જો $x = 3.33 \,cm$ પર સમતલ અરીસો મૂકવામાં આવે,તો અરીસા માટે વસ્તુ અંતર $u_m = -(x + \frac{20}{3}) = -(3.33 + 6.67) = -10 \,cm$ થાય. સમતલ અરીસો અરીસાની પાછળ $v_m = +10 \,cm$ અંતરે પ્રતિબિંબ રચે છે. આ પ્રતિબિંબ લેન્સ માટે $u' = +(10 - 3.33) = +6.67 \,cm$ અંતરે આભાસી વસ્તુ તરીકે વર્તે છે. લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v'} - \frac{1}{6.67} = \frac{1}{-10} \Rightarrow \frac{1}{v'} = \frac{1}{6.67} - \frac{1}{10} = \frac{1}{20/3} - \frac{1}{10} = \frac{3}{20} - \frac{2}{20} = \frac{1}{20} \Rightarrow v' = +20 \,cm$.
અંતિમ પ્રતિબિંબ લેન્સની જમણી બાજુએ $20 \,cm$ અંતરે રચાશે.

(D) જ્યારે સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સની સમતલ સપાટી પર ચાંદીનો ઢોળ ચડાવવામાં આવે છે,ત્યારે આ સંયોજન અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે.
સંયોજનનો પાવર $P = 2P_L + P_m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P_L$ એ લેન્સનો પાવર છે અને $P_m$ એ સમતલ અરીસાનો પાવર છે.
સમતલ અરીસા માટે $P_m = 0$ હોવાથી,સંયોજનનો પાવર $P = 2P_L$ થાય.
લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_L = 20 \,cm = 0.2 \,m$ છે,તેથી $P_L = \frac{1}{f_L} = \frac{1}{0.2} = 5 \,D$.
આમ,$P = 2 \times 5 = 10 \,D$.
સમતુલ્ય અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $F = -\frac{1}{P} = -\frac{1}{10} \,m = -10 \,cm$ (અંતર્ગોળ અરીસા માટે ઋણ નિશાની).
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -60 \,cm$ અને $F = -10 \,cm$:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-60} = \frac{1}{-10}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{60} - \frac{1}{10} = \frac{1 - 6}{60} = -\frac{5}{60} = -\frac{1}{12}$
$v = -12 \,cm$.
તેથી,પ્રતિબિંબનું અંતર લેન્સથી $12 \,cm$ છે.

(D) આ સિસ્ટમ બે લેન્સ અને એક અરીસાની બનેલી છે. ધારો કે દરેક લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l$ છે અને વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ છે. અરીસો બીજા લેન્સની પાછળની સપાટી દ્વારા બને છે,જે $f_m = R/2$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે કાર્ય કરે છે.
કિસ્સો $1$: લેન્સની વચ્ચે હવા.
સિલ્વર કરેલા લેન્સ સિસ્ટમની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ એ $1/F = 2/f_l + 1/f_m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અનંત અંતરે રહેલી વસ્તુનું પ્રતિબિંબ $20 \, cm$ પર રચાતું હોવાથી,$F = 20 \, cm$ છે.
પાતળા લેન્સ માટે,$1/f_l = (\mu_g - 1)(2/R)$. અરીસા માટે,$f_m = R/2$.
આપેલ $F = 20 \, cm$ પરથી,આપણને $1/20 = 2(2(\mu_g - 1)/R) + 2/R = (8(\mu_g - 1) + 2)/R$ મળે છે. આ સિસ્ટમના પરિમાણો નક્કી કરે છે.
કિસ્સો $2$: લેન્સની વચ્ચે પાણી.
જ્યારે પાણી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે સિસ્ટમ બે હવાવાળા બહિર્ગોળ લેન્સ,વચ્ચે એક પાણીનો લેન્સ અને અરીસા તરીકે કાર્ય કરે છે. સિસ્ટમનો પાવર $P_{eq} = 2P_l + P_w + P_m$ છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર અને સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈની ગણતરીનો ઉપયોગ કરીને,નવી કેન્દ્રલંબાઈ $F'$ ગણવામાં આવે છે.
જ્યારે હવાને બદલે પાણી $(\mu_w = 4/3)$ લેવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $12 \, cm$ થાય છે.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ તેનાથી $50 \, cm$ અંતરે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચે છે. આ બિંદુ અંતર્ગોળ લેન્સ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
જ્યારે સમતલ અરીસાને એવી રીતે મૂકવામાં આવે કે અંતિમ પ્રતિબિંબ વસ્તુ સાથે સંપાત થાય,ત્યારે પ્રકાશના કિરણો અરીસા પર લંબરૂપે પડવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે અંતર્ગોળ લેન્સમાંથી પસાર થયા પછી તેઓ મુખ્ય અક્ષને સમાંતર હોવા જોઈએ.
અંતર્ગોળ લેન્સમાંથી પસાર થયા પછી કિરણો મુખ્ય અક્ષને સમાંતર બને તે માટે,આભાસી વસ્તુ અંતર્ગોળ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર હોવી જોઈએ.
અંતર્ગોળ લેન્સથી આભાસી વસ્તુનું અંતર $d = 50 \, cm - 10 \, cm = 40 \, cm$ છે.
આભાસી વસ્તુ મુખ્ય કેન્દ્ર પર હોવાથી,અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 40 \, cm$ (મૂલ્ય) છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f(m)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મૂળ લેન્સ માટે,$f = 10\,cm = 0.1\,m$,તેથી પાવર $P = \frac{1}{0.1} = 10\,D$ થાય.
જ્યારે લેન્સને મુખ્ય અક્ષને લંબ કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ મૂળ કેન્દ્રલંબાઈ કરતા બમણી થાય છે $(f' = 2f = 20\,cm = 0.2\,m)$.
દરેક નવા લેન્સનો પાવર $P' = \frac{1}{f'} = \frac{1}{0.2} = 5\,D$ થાય.

(C) પગલું $1$: લેન્સ દ્વારા વક્રીભવન.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
અહીં $u = -30 \,cm$ અને $f = +15 \,cm$ આપેલ છે.
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{15} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{15} - \frac{1}{30} = \frac{1}{30}$.
તેથી,$v_1 = +30 \,cm$. આ પ્રતિબિંબ અરીસા માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
પગલું $2$: અરીસા દ્વારા પરાવર્તન.
આ પ્રતિબિંબનું લેન્સથી અંતર જમણી બાજુ $30 \,cm$ છે. અરીસો લેન્સથી $10 \,cm$ દૂર હોવાથી,પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ $30 - 10 = 20 \,cm$ અંતરે છે.
સમતલ અરીસા માટે,વસ્તુ અંતર $u_m = +20 \,cm$ (આભાસી વસ્તુ).
સમતલ અરીસા દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ $v_m = -20 \,cm$ પર હશે (અરીસાની સામે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ).
પગલું $3$: લેન્સ દ્વારા ફરીથી વક્રીભવન.
અરીસાથી પરાવર્તિત કિરણો ફરીથી લેન્સમાંથી પસાર થાય છે. હવે લેન્સ માટે વસ્તુ લેન્સની ડાબી બાજુ $10 + 20 = 30 \,cm$ અંતરે છે $(u_2 = -30 \,cm)$.
ફરીથી લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{15} \implies v_2 = +30 \,cm$.
આ પ્રતિબિંબ લેન્સની જમણી બાજુ $30 \,cm$ અંતરે છે,જે અરીસાની પાછળ $30 - 10 = 20 \,cm$ અંતરે છે. પ્રકાશના કિરણો અરીસાની પાછળના બિંદુ તરફ કેન્દ્રિત થતા હોવાથી,અંતિમ પ્રતિબિંબ આભાસી છે અને અરીસાથી $20 \,cm$ દૂર સ્થિત છે.

(A) $1$. હવામાં અરીસા માટે: $u = -15 \ cm$,$f = -10 \ cm$. અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v} - \frac{1}{15} = -\frac{1}{10} \Rightarrow v = -30 \ cm$. પ્રતિમા અરીસાની ડાબી બાજુ $30 \ cm$ પર રચાય છે. મોટવણી $M_{m1} = -\frac{v}{u} = -\frac{-30}{-15} = -2$.
$2$. આ પ્રતિમા લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે વર્તે છે. લેન્સથી અંતર $u' = -(50 + 30) = -80 \ cm$. લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l = 10 \ cm$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v'} - \frac{1}{u'} = \frac{1}{f_l}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v'} + \frac{1}{80} = \frac{1}{10} \Rightarrow v' = \frac{80}{7} \ cm$. મોટવણી $M_{l1} = \frac{v'}{u'} = \frac{80/7}{-80} = -\frac{1}{7}$. કુલ મોટવણી $M_1 = M_{m1} \times M_{l1} = (-2) \times (-1/7) = 2/7$.
$3$. માધ્યમ $\mu_m = 7/6$ માં: અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10 \ cm$ રહે છે. $M_{m2} = -2$. લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f'_l$ બદલાય છે: $\frac{1}{f'_l} = \left(\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1\right) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$. તેથી $\frac{f'_l}{f_l} = \frac{\mu_l - 1}{\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1} = \frac{1.5 - 1}{\frac{1.5}{7/6} - 1} = 1.75 = 7/4$. તેથી $f'_l = 10 \times 7/4 = 17.5 \ cm$.
$4$. લેન્સ માટે વસ્તુનું અંતર $u' = -80 \ cm$. $\frac{1}{v''} - \frac{1}{-80} = \frac{1}{17.5} \Rightarrow v'' = 22.4 \ cm$. $M_{l2} = \frac{v''}{u'} = -7/25$. કુલ મોટવણી $M_2 = M_{m2} \times M_{l2} = 14/25$.
$5$. $\left|\frac{M_2}{M_1}\right| = \left|\frac{14/25}{2/7}\right| = 7$.

(B) આ સિસ્ટમ સંપર્કમાં રહેલા ત્રણ લેન્સની બનેલી છે: એક પાણીનો લેન્સ $(p_1)$,એક કાચનો લેન્સ $(p_2)$,અને બીજો પાણીનો લેન્સ $(p_3)$.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર $p = (\mu_{rel} - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{surrounding}}$.
ઉપરના પાણીના લેન્સ માટે $(p_1)$: $p_1 = (4/3 - 1) \left(\frac{1}{\infty} - \frac{1}{-|R_1|}\right) = \frac{1}{3|R_1|}$.
વચ્ચેના કાચના લેન્સ માટે $(p_2)$: $p_2 = (\frac{3/2}{4/3} - 1) \left(\frac{1}{-|R_1|} - \frac{1}{-|R_2|}\right) = (9/8 - 1) \left(\frac{1}{|R_2|} - \frac{1}{|R_1|}\right) = -\frac{1}{8} \left(\frac{1}{|R_1|} - \frac{1}{|R_2|}\right)$.
આ સંયોજનનો કુલ પાવર $p_{eq} = p_1 + p_2 + p_3$ છે. ગણતરી કરતા,$p_{eq} = -\frac{1}{6} \left(\frac{1}{|R_1|} - \frac{1}{|R_2|}\right)$ મળે છે.

(D) એક બાજુ સિલ્વર કરેલા લેન્સ માટે,સિસ્ટમનો સમતુલ્ય પાવર $P_{eq} = 2P_{\ell} + P_{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$P_{\ell} = \frac{(\mu - 1)}{R}$ એ લેન્સની એક સપાટીનો પાવર છે. તે બહિર્ગોળ લેન્સ હોવાથી,બંને સપાટીઓ પાવરમાં ફાળો આપે છે.
$P_{m} = -\frac{1}{f_{m}} = -\frac{1}{(-R/2)} = \frac{2}{R}$ (કારણ કે સિલ્વર કરેલી સપાટી દ્વારા બનેલા અરીસાની ત્રિજ્યા $R/2$ છે).
$P_{eq} = 2 \left[ \frac{(\mu - 1)}{R} + \frac{(\mu - 1)}{R} \right] + \frac{2}{R} = \frac{4\mu - 4 + 2}{R} = \frac{4\mu - 2}{R}$.
આ સિસ્ટમ $F = -\frac{1}{P_{eq}} = -\frac{R}{4\mu - 2} = -\frac{R}{2(2\mu - 1)}$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે કાર્ય કરે છે.
પ્રતિબિંબ વસ્તુ પર જ રચાય તે માટે,વસ્તુને આ સમતુલ્ય અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર પર મૂકવી આવશ્યક છે.
તેથી અંતર $d = 2|F| = 2 \times \frac{R}{2(2\mu - 1)} = \frac{R}{2\mu - 1}$ થાય.

(B) સિલ્વર કરેલા લેન્સ માટે,સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{2}{f_L} - \frac{1}{f_m}$.
અહીં,$f_m = -\frac{|R_2|}{2}$ (કારણ કે તે અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે).
પ્રવાહીમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{1}{f_L} = \left(\frac{\mu_2}{\mu_1} - 1\right) \left(\frac{1}{|R_1|} + \frac{1}{|R_2|}\right) = \left(\frac{\mu_2 - \mu_1}{\mu_1}\right) \left(\frac{|R_1| + |R_2|}{|R_1| |R_2|}\right)$ છે.
આ કિંમતોને સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f_{eq}} = 2 \left(\frac{\mu_2 - \mu_1}{\mu_1}\right) \left(\frac{|R_1| + |R_2|}{|R_1| |R_2|}\right) + \frac{2}{|R_2|}$.
પદને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{2(\mu_2 - \mu_1)(|R_1| + |R_2|) + 2\mu_1 |R_1|}{\mu_1 |R_1| |R_2|} = \frac{2(\mu_2 |R_1| + \mu_2 |R_2| - \mu_1 |R_1| - \mu_1 |R_2| + \mu_1 |R_1|)}{\mu_1 |R_1| |R_2|} = \frac{2(\mu_2 |R_1| + \mu_2 |R_2| - \mu_1 |R_2|)}{\mu_1 |R_1| |R_2|}$.
તેથી,$f_{eq} = \frac{\mu_1 |R_1| |R_2|}{2(\mu_2 |R_1| + \mu_2 |R_2| - \mu_1 |R_2|)}$.
વસ્તુના સ્થાને જ વાસ્તવિક અને ઉલટું પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે,વસ્તુને સમતુલ્ય અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર પર મૂકવી પડે,જે $u = 2|f_{eq}|$ અંતરે હોય છે.
$u = 2 \cdot \frac{\mu_1 |R_1| |R_2|}{2(\mu_2 |R_1| + \mu_2 |R_2| - \mu_1 |R_2|)} = \frac{\mu_1 |R_1| |R_2|}{\mu_2 |R_1| + \mu_2 |R_2| - \mu_1 |R_2|}$.
આ જવાબ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) સિલ્વર કરેલા લેન્સ સિસ્ટમનો પાવર $P = 2P_L + P_M$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P_L$ એ લેન્સનો પાવર છે અને $P_M$ એ અરીસાનો પાવર છે.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,પાવર $P_L = \frac{1}{f_L} = (\mu_g/\mu_l - 1)(1/R_1 - 1/R_2)$.
અહીં,$\mu_g = 1.5$,$\mu_l = 1.2$,$R_1 = R$,અને $R_2 = \infty$.
તેથી,$P_L = (1.5/1.2 - 1)(1/R - 0) = (1.25 - 1)/R = 0.25/R$.
અરીસો એ સમતલ સપાટી છે,તેથી તેનો પાવર $P_M = -1/f_M$. તે સમતલ અરીસો હોવાથી,$f_M = \infty$,તેથી $P_M = 0$.
સિસ્ટમની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ એ $1/F = -(2P_L + P_M)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $F = -0.2 \ m$ (અંતર્ગોળ અરીસો),તેથી $1/(-0.2) = -(2 \times (0.25/R) + 0)$.
$-5 = -0.5/R$.
$R = 0.5/5 = 0.1 \ m$.

(B) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
જ્યારે લેન્સને મુખ્ય અક્ષને લંબરૂપે ($AB$ સમતલ પર) કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા સમાન રહે છે,પરંતુ લેન્સની જાડાઈ અડધી થાય છે. આ કિસ્સામાં દરેક ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ જ રહે છે. તેથી,$f_{L_1} = f$.
જ્યારે લેન્સને મુખ્ય અક્ષને સમાંતર ($XY$ સમતલ પર) કાપવામાં આવે છે,ત્યારે એક સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા અનંત બને છે. નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ માટે: $\frac{1}{f'} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{(\mu - 1)}{R}$. મૂળ લેન્સ માટે $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = \frac{2(\mu - 1)}{R}$ હોવાથી,$f' = 2f$ મળે છે. તેથી,$f_{L_3} = 2f$.
આમ,કેન્દ્રલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{f_{L_1}}{f_{L_3}} = \frac{f}{2f} = 1: 2$ થાય છે.

(A) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ છે,તેથી $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \right) = \frac{2(\mu - 1)}{R}$.
જ્યારે લેન્સને $AB$ અક્ષ પર (મુખ્ય અક્ષને લંબ) કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક અડધા ભાગ માટે વક્રતા ત્રિજ્યા સમાન રહે છે.
દરેક અડધા ભાગ માટે,લેન્સ સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ બની જાય છે જ્યાં એક સપાટીની ત્રિજ્યા $R$ છે અને બીજી સપાટી સમતલ છે (અનંત ત્રિજ્યા,$R' = \infty$).
એક અડધા ભાગ માટે સૂત્ર લાગુ પાડતા: $\frac{1}{f'} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{\mu - 1}{R}$.
આને મૂળ કેન્દ્રલંબાઈ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $\frac{1}{f'} = \frac{1}{2} \times \frac{2(\mu - 1)}{R} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{f}$.
તેથી,$f' = 2f$.

(A) દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
ધારો કે $R_1 = R_2 = R$, તેથી $\frac{1}{F} = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$.
જ્યારે લેન્સને ઉભી અક્ષ પરથી બે સમાન ભાગમાં કાપવામાં આવે છે, ત્યારે દરેક ભાગ એક સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ બને છે.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, એક વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ છે અને બીજી $\infty$ છે.
નવી કેન્દ્રલંબાઈ $F'$ માટે લેન્સ મેકરનું સૂત્ર વાપરતા:
$\frac{1}{F'} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{\infty} \right) = \frac{\mu - 1}{R}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$\frac{1/F}{1/F'} = \frac{(\mu - 1) \times (2/R)}{(\mu - 1) / R} = 2$.
તેથી, $\frac{F'}{F} = 2$, જે દર્શાવે છે કે $F' = 2 F$.

(B) વક્રીભવનાંક '$n$' અને વક્રતા ત્રિજ્યા '$R$' ધરાવતા સમાન-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (n - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$
જ્યારે લેન્સને મુખ્ય અક્ષને લંબ અને પ્રકાશીય કેન્દ્રમાંથી કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક અડધો ભાગ એક સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ બને છે,જેમાં એક સપાટીની ત્રિજ્યા '$R$' હોય છે અને બીજી સપાટી સમતલ (ત્રિજ્યા = $\infty$) હોય છે.
નવા લેન્સ માટે કેન્દ્રલંબાઈ '$f^{\prime}$' સાથે લેન્સ મેકરનું સૂત્ર વાપરતા:
$\frac{1}{f^{\prime}} = (n - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = (n - 1) \left( \frac{1}{R} \right)$
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$\frac{1}{f^{\prime}} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{f} \right)$
તેથી,$f^{\prime} = 2f$.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ અનંત અંતરેથી આવતા પ્રકાશના સમાંતર કિરણપુંજને તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત કરે છે,જે લેન્સથી $f_{2}$ અંતરે આવેલું છે.
પ્રકાશના કિરણો અંતર્ગોળ અરીસા પરથી પરાવર્તન પામ્યા બાદ પોતાનો માર્ગ પુનઃપ્રાપ્ત કરે તે માટે,કિરણો અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવા જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જો કિરણો અંતર્ગોળ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર તરફ જતા હોય.
અંતર્ગોળ અરીસાનું વક્રતા કેન્દ્ર તેના ધ્રુવથી $2f_{1}$ અંતરે આવેલું હોય છે.
તેથી,લેન્સ અને અરીસા વચ્ચેનું અંતર '$d$' એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ અને અરીસાની વક્રતા ત્રિજ્યાનો સરવાળો હોવો જોઈએ.
આમ,$d = f_{2} + 2f_{1}$.

(D) $1$. જ્યારે લેન્સને તેના મુખ્ય અક્ષની દિશામાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક અડધા ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ મૂળ લેન્સ જેટલી જ રહે છે,તેથી દરેક ભાગનો પાવર $P$ રહે છે. આમ,$L_1$ નો પાવર $P$ છે.
$2$. જ્યારે લેન્સને તેના મુખ્ય અક્ષને લંબ રૂપે કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ બમણી થાય છે,જેનો અર્થ છે કે દરેક ભાગનો પાવર મૂળ પાવર કરતા અડધો થઈ જાય છે.
$3$. કારણ કે $L_2$ અને $L_3$ મૂળ લેન્સના ઉપરના અડધા ભાગને મુખ્ય અક્ષને લંબ રૂપે કાપીને મેળવવામાં આવે છે,તેથી $L_2$ નો પાવર $\frac{P}{2}$ અને $L_3$ નો પાવર $\frac{P}{2}$ થાય છે.
$4$. આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,ખોટું વિધાન એ છે કે $L_1$ નો પાવર $\frac{P}{2}$ છે.

(D) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ ચાંદીની સપાટી પરથી પરાવર્તન પામીને પોતાનો માર્ગ પુનઃપ્રાપ્ત કરે,ત્યારે તે સપાટીને લંબરૂપે આપાત થવું જોઈએ.
આથી,બીજી સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r_{2} = 0^{\circ}$ થશે.
પ્રિઝમ માટે,$r_{1} + r_{2} = A$ થાય.
અહીં $A = 30^{\circ}$ અને $r_{2} = 0^{\circ}$ હોવાથી,$r_{1} = 30^{\circ}$ મળે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ: $n = \frac{\sin i}{\sin r_{1}}$.
અહીં $n = 1.414 = \sqrt{2}$ આપેલ છે,તેથી $\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$.
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^{\circ} = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$i = 45^{\circ}$ મળે.

(D) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ ચાંદીનો ઢોળ ચડાવેલા કાચના સ્લેબની પારદર્શક સપાટી પર આપાત થાય છે,ત્યારે તે વક્રીભવન પામે છે,ત્યારબાદ ચાંદીની સપાટી પરથી પરાવર્તન પામે છે અને છેલ્લે સ્લેબમાંથી બહાર નીકળતી વખતે ફરીથી વક્રીભવન પામે છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$ અને વક્રીભૂતકોણ $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$ છે. અહીં,$n_1 = 1$ (હવા) અને $n_2 = 1.5$ (કાચ).
તેથી,$\sin(45^{\circ}) = 1.5 \sin(r)$,જે આપણને $\sin(r) = \frac{1}{1.5 \sqrt{2}}$ આપે છે.
સ્લેબની અંદરના માર્ગની સમપ્રમાણતાને કારણે,કિરણ ચાંદીની સપાટી પર $r$ ખૂણે અથડાય છે અને $r$ ખૂણે પરાવર્તિત થાય છે. ત્યારબાદ તે પારદર્શક સપાટી પર $r$ ખૂણે અથડાય છે અને મૂળ આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$ પર હવામાં પાછું વક્રીભવન પામે છે.
આપાત કિરણ લંબ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. બહાર નીકળતું કિરણ પણ લંબની બીજી બાજુએ લંબ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
કુલ વિચલન $\delta$ એ આપાત કિરણની દિશા અને બહાર નીકળતા કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો છે. કારણ કે આપાત કિરણ લંબની ડાબી બાજુએ $45^{\circ}$ પર છે અને બહાર નીકળતું કિરણ લંબની જમણી બાજુએ $45^{\circ}$ પર છે,તેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ થશે.

(B) આપેલ છે: બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l = 20 \,cm$,વસ્તુ અંતર $u = -10 \,cm$,વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$,અને ચાંદીની સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 22 \,cm$.
લેન્સનો પાવર $P_l = \frac{1}{f_l} = \frac{1}{20} \,cm^{-1}$ છે.
ચાંદીની સપાટી (અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે) નો પાવર $P_m = -\frac{1}{f_m} = -\frac{1}{-R/2} = \frac{2}{R} = \frac{2}{22} = \frac{1}{11} \,cm^{-1}$ છે.
તંત્રનો સમતુલ્ય પાવર $P_{eq} = 2P_l + P_m = 2(\frac{1}{20}) + \frac{1}{11} = \frac{1}{10} + \frac{1}{11} = \frac{21}{110} \,cm^{-1}$ છે.
સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F = -\frac{1}{P_{eq}} = -\frac{110}{21} \,cm$ છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-10} = -\frac{21}{110}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{21}{110} = \frac{11 - 21}{110} = -\frac{10}{110} = -\frac{1}{11}$.
આમ,$v = -11 \,cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ ચાંદીની સપાટીની સામે $11 \,cm$ અંતરે રચાય છે.

(C) લેન્સમાંથી પસાર થયા પછી અંતિમ કિરણપુંજ મુખ્ય અક્ષને સમાંતર રહે તે માટે,અરીસામાંથી પરાવર્તિત થઈને લેન્સ પર આપાત થતા કિરણો લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પરથી આવતા હોય તેવું લાગવું જોઈએ. આમ,અરીસા દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર હોવું જોઈએ,જે લેન્સની ડાબી બાજુએ $15 \ cm$ અંતરે છે.
અરીસો લેન્સની જમણી બાજુએ $40 \ cm$ અંતરે હોવાથી,અરીસા દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ અરીસાથી $v_2 = -(40 - 15) = -25 \ cm$ અંતરે છે.
અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = -20 \ cm$ (અંતર્ગોળ અરીસો).
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{-25} + \frac{1}{u_2} = \frac{1}{-20} \Rightarrow \frac{1}{u_2} = \frac{1}{25} - \frac{1}{20} = -\frac{1}{100}$.
તેથી,$u_2 = -100 \ cm$. આનો અર્થ એ છે કે અરીસા માટે વસ્તુ અરીસાની જમણી બાજુએ $100 \ cm$ અંતરે છે.
લેન્સ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ $(v_1)$ અરીસા માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. અરીસો લેન્સથી $40 \ cm$ દૂર હોવાથી,અરીસા માટે વસ્તુ અંતર $u_2 = v_1 - 40$ થાય. તેથી,$v_1 - 40 = -100 \Rightarrow v_1 = -60 \ cm$.
હવે,લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_l}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{-60} - \frac{1}{-d} = \frac{1}{15} \Rightarrow \frac{1}{d} = \frac{1}{15} + \frac{1}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$.
તેથી,$d = 12 \ cm$.

(D) $R$ વક્રતા ત્રિજ્યા અને $\mu_g = 1.5$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા બાયકોન્વેક્સ લેન્સ માટે, હવામાં લેન્સ મેકરનું સૂત્ર:
$\frac{1}{f} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$
આપેલ છે કે $f = 10 \ cm$, તેથી $R = 10 \ cm$.
જ્યારે લેન્સને મુખ્ય અક્ષને લંબ કાપવામાં આવે છે, ત્યારે આપણને બે પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સ મળે છે, જેમાં દરેકની એક સપાટી સપાટ $(R_1 = \infty)$ અને એક વક્ર $(R_2 = -10 \ cm)$ હોય છે.
દરેક પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{f'} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-10} \right) = 0.5 \times \frac{1}{10} = \frac{1}{20} \implies f' = 20 \ cm$.
જ્યારે આ બે ટુકડાઓને એવી રીતે જોડવામાં આવે છે કે જેથી બહિર્ગોળ સપાટીઓ એકબીજાને સ્પર્શે, ત્યારે આ સંયોજન $R_1 = 10 \ cm$ અને $R_2 = -10 \ cm$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતા એક લેન્સ તરીકે કાર્ય કરે છે.
જ્યારે તેને પાણીમાં $(\mu_w = 4/3)$ ડૂબાડવામાં આવે, ત્યારે નવી કેન્દ્રલંબાઈ $F'$:
$\frac{1}{F'} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
$\frac{1}{F'} = \left( \frac{1.5}{4/3} - 1 \right) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{-10} \right) = \left( \frac{4.5}{4} - 1 \right) \left( \frac{2}{10} \right) = \left( \frac{0.5}{4} \right) \left( \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{40}$
તેથી, $F' = 40 \ cm$.

(B) બિંદુવત પદાર્થને બહિર્ગોળ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવ્યો છે.
જ્યારે મુખ્ય કેન્દ્ર પર રહેલા પદાર્થમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો લેન્સમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેઓ મુખ્ય અક્ષને સમાંતર બને છે.
આ સમાંતર કિરણો લેન્સની નીચે આડા મૂકવામાં આવેલા સમતલ અરીસા પર આપાત થાય છે.
સમતલ અરીસો આ કિરણોને તે જ માર્ગે પાછા પરાવર્તિત કરે છે.
આ પરાવર્તિત કિરણો,સમાંતર હોવાથી,ફરીથી લેન્સમાંથી પસાર થાય છે અને લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થાય છે.
તેથી,અંતિમ પ્રતિબિંબ પદાર્થના સ્થાન પર જ રચાય છે,જે લેન્સના કેન્દ્રથી $0.1 \ m$ ઉપર છે.

(D) જ્યારે લેન્સ પર ચાંદીનો ઢોળ ચડાવવામાં આવે છે, ત્યારે તે અરીસા તરીકે વર્તે છે। સિસ્ટમનો સમતુલ્ય પાવર $P_{eq} = 2P_L + P_M$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $P_L$ એ લેન્સનો પાવર છે અને $P_M$ એ અરીસાનો પાવર છે।
આપેલ છે, લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 20 \,cm$. લેન્સનો પાવર $P_L = \frac{1}{f} = \frac{1}{20} \,cm^{-1}$.
સમતલ સપાટી પર ચાંદીનો ઢોળ ચડાવેલ છે, તેથી તે સમતલ અરીસા તરીકે વર્તે છે। સમતલ અરીસાનો પાવર $P_M = 0$.
આમ, $P_{eq} = 2 \times P_L + 0 = 2 \times \frac{1}{20} = \frac{1}{10} \,cm^{-1}$.
સિસ્ટમની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ એ $P_{eq} = -\frac{1}{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (ઋણ નિશાની કારણ કે તે અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે)।
તેથી, $-\frac{1}{F} = \frac{1}{10}$, જે $F = -10 \,cm$ આપે છે।
કેન્દ્રલંબાઈનું મૂલ્ય $10 \,cm$ છે।

(A) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = 20 \text{ cm}$ અને $R_2 = -20 \text{ cm}$ છે.
લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{f_l} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} \right) = 0.5 \times \frac{2}{20} = \frac{1}{20}$. તેથી,$f_l = 20 \text{ cm}$.
આ તંત્ર એક અરીસા તરીકે વર્તે છે જેનો પાવર $P = 2P_l + P_m$ છે,જ્યાં $P_l = \frac{1}{f_l}$ અને $P_m = -\frac{1}{f_m}$ છે.
રજતિત સપાટી (બહિર્ગોળ) માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_m = \frac{R}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm}$ છે. તંત્રમાં તે અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે,તેથી સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ $P_m = -\frac{1}{f_m} = -\frac{1}{10}$.
તંત્રનો અસરકારક પાવર $P = -\left( 2P_l + P_m \right) = -\left( 2 \times \frac{1}{20} + \frac{1}{10} \right) = -\left( \frac{1}{10} + \frac{1}{10} \right) = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$.
તંત્રની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F = \frac{1}{P} = -5 \text{ cm}$ છે.
પ્રતિબિંબ અને વસ્તુ એક જ સ્થાને મળે તે માટે,વસ્તુને સમતુલ્ય અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર પર મૂકવી જોઈએ,જે $u = 2|F| = 2 \times 5 = 10 \text{ cm}$ અંતરે છે.