Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life Questions in Gujarati

(A) સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
નમૂના $A$ માટે,ક્ષય અચળાંક $\lambda_A = 15x$ છે. $t = \frac{1}{6x}$ સમય પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા:
$N_A = N_0 e^{-(15x)(\frac{1}{6x})} = N_0 e^{-15/6} = N_0 e^{-5/2}$.
નમૂના $B$ માટે,ક્ષય અચળાંક $\lambda_B = 3x$ છે. $t = \frac{1}{6x}$ સમય પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા:
$N_B = N_0 e^{-(3x)(\frac{1}{6x})} = N_0 e^{-3/6} = N_0 e^{-1/2}$.
$A$ અને $B$ માં બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો ગુણોત્તર:
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{N_0 e^{-5/2}}{N_0 e^{-1/2}} = e^{-5/2 - (-1/2)} = e^{-4/2} = e^{-2}$.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_{0} e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$.
આપેલ સમય $t = \frac{1}{2} T_{1/2}$ છે.
આ કિંમતોને ક્ષયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$N(t) = N_{0} e^{-(\frac{\ln 2}{T_{1/2}}) (\frac{1}{2} T_{1/2})}$
$N(t) = N_{0} e^{-\frac{1}{2} \ln 2} = N_{0} e^{\ln(2^{-1/2})}$
$N(t) = N_{0} (2^{-1/2}) = \frac{N_{0}}{\sqrt{2}}$.
બાકી રહેતો અંશ $\frac{N(t)}{N_{0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A$ એ $A = \lambda N = \frac{0.693}{T_{1/2}} N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે અને $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,$N_{1} = 2 N_{2}$ અને $A_{2} = 2 A_{1}$ છે.
એક્ટિવિટીનો ગુણોત્તર આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{N_{1} / T_{1}}{N_{2} / T_{2}} = \frac{N_{1}}{N_{2}} \times \frac{T_{2}}{T_{1}}$
અર્ધ-આયુષ્યના ગુણોત્તર $\frac{T_{1}}{T_{2}}$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{A_{2}}{A_{1}} \times \frac{N_{1}}{N_{2}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{2 A_{1}}{A_{1}} \times \frac{2 N_{2}}{N_{2}} = 2 \times 2 = 4$
આમ,$S_{1}$ ના અર્ધ-આયુષ્ય અને $S_{2}$ ના અર્ધ-આયુષ્યનો ગુણોત્તર $4$ છે.

(C) ધારો કે $t=0$ સમયે શરૂઆતના પરમાણુઓની સંખ્યા $N_0$ છે.
ધારો કે કોઈપણ સમયે $t$ પર પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ છે.
સરેરાશ આયુષ્ય $\tau = 1/\lambda$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ વિઘટન અચળાંક છે.
રેડિયોએક્ટિવ વિઘટનના નિયમ મુજબ,$t$ સમયે બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N = N_0 e^{-\lambda t}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે સમય $t$ એ સરેરાશ આયુષ્ય જેટલો છે,એટલે કે $t = \tau = 1/\lambda$.
વિઘટનના સમીકરણમાં $t = 1/\lambda$ મૂકતા:
$N = N_0 e^{-\lambda (1/\lambda)} = N_0 e^{-1} = N_0/e$.
આપણે શરૂઆતના પરમાણુઓની સંખ્યા $(N_0)$ અને $t$ સમયે હાજર પરમાણુઓની સંખ્યા $(N)$ નો ગુણોત્તર શોધવાનો છે:
ગુણોત્તર $= N_0 / N = N_0 / (N_0 / e) = e$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની એક્ટિવિટી $R = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ સમય $t$ પર હાજર રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે. શરૂઆતનું દળ સમાન હોવાથી,બંને પદાર્થો માટે શરૂઆતની ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ સમાન છે.
સમય $t$ પર એક્ટિવિટી $R = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t / T_{1/2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે: $T_{1/2, 1} = 1 \ yr$,$t = 4 \ yr$.
$R_1 = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{4/1} = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^4$.
બીજા પદાર્થ માટે: $T_{1/2, 2} = 2 \ yr$,$t = 4 \ yr$.
$R_2 = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{4/2} = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^2$.
તેમની એક્ટિવિટીનો ગુણોત્તર:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_0 (1/2)^4}{R_0 (1/2)^2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{4-2} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 4$ છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ નીચે મુજબ છે: $N = N_{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$.
અહીં,ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા $N_{0} = 10000$,અર્ધ-આયુષ્ય $T = 20 \text{ દિવસ}$,અને વીતેલો સમય $t = 10 \text{ દિવસ}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$N = 10000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{10/20}$
$N = 10000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2}$
$N = \frac{10000}{\sqrt{2}}$
$\sqrt{2} \approx 1.414$ લેતા:
$N = \frac{10000}{1.414} \approx 7072.13$
નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં ગણતા,આપણને $N \approx 7070$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે,રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની એક્ટિવિટી $\left| \frac{dN}{dt} \right| = 2000 / s$ છે.
નીપજોનું સરેરાશ આયુષ્ય $\tau = 50 \text{ મિનિટ} = 50 \times 60 \text{ સેકન્ડ} = 3000 \text{ સેકન્ડ}$ છે.
સરેરાશ આયુષ્ય $\tau$ અને ક્ષય અચળાંક $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $\tau = \frac{1}{\lambda}$ છે,તેથી $\lambda = \frac{1}{\tau} = \frac{1}{3000} \text{ s}^{-1}$ થાય.
એક્ટિવિટીને $\left| \frac{dN}{dt} \right| = \lambda N$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $2000 = \left( \frac{1}{3000} \right) N$ મળે છે.
તેથી,$N = 2000 \times 3000 = 6,000,000 = 60 \times 10^5$ થાય.
આમ,રેડિયોન્યુક્લાઇડ્સની સંખ્યા $60 \times 10^5$ છે.

(A) ધારો કે $t$ સમયે ખડકમાં તત્વ $X$ નો જથ્થો $N_X$ અને તત્વ $Y$ નો જથ્થો $N_Y$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $N_X : N_Y = 1 : 7$ છે,તેથી $N_Y = 7N_X$.
શરૂઆતમાં ($t=0$ સમયે) તત્વ $X$ નો કુલ જથ્થો $N_0 = N_X + N_Y = N_X + 7N_X = 8N_X$ હતો.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,$N_X = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$,જ્યાં $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
કિંમતો મૂકતા,$N_X = 8N_X \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$.
આથી $\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$,જેનો અર્થ છે કે $\left( \frac{1}{2} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$.
તેથી,$n = 3$.
$n = \frac{t}{T_{1/2}}$ હોવાથી,$t = 3 \times T_{1/2}$.
$T_{1/2} = 1.4 \times 10^9$ વર્ષ આપેલ હોવાથી,ખડકની ઉંમર $t = 3 \times 1.4 \times 10^9 = 4.2 \times 10^9$ વર્ષ થાય.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનું સૂત્ર $N = N_0 (1/2)^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
અહીં $N_0 = 256 \ g$ અને $N = 1 \ g$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $1 = 256 \times (1/2)^n$.
$(1/2)^n = 1/256$.
કારણ કે $256 = 2^8$,તેથી $(1/2)^n = (1/2)^8$.
આથી,$n = 8$.
કુલ સમય $t = n \times T_{1/2}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $T_{1/2} = 12.5 \ h$.
$t = 8 \times 12.5 \ h = 100 \ h$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ છે.
અહીં $N_1 = 0.88 N_0$ અને $N_2 = 0.77 N_0$ છે.
સમય $t = 12 \text{ મિનિટ}$ માટે,$\frac{N_2}{N_1} = e^{-\lambda t}$.
$\frac{0.77}{0.88} = \frac{7}{8} = e^{-12\lambda}$.
તેથી,$\lambda = \frac{\ln(8/7)}{12}$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{12 \ln 2}{\ln(8/7)}$.
ગણતરી કરતા,$T_{1/2} \approx 62.5 \text{ મિનિટ}$ મળે છે. જો પ્રશ્નમાં ક્ષય $100 \%$ થી $50 \%$ માટે $12 \text{ મિનિટ}$ આપેલ હોય,તો જવાબ $12$ આવશે.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક પરમાણુઓની સંખ્યા $N_0$ છે.
સમય $t$ પછી બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N(t) = N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T_{1/2} = 10 \, \text{મિનિટ}$ છે.
$t_1 = 20 \, \text{મિનિટ}$ માટે, બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N_1 = N_0 (1/2)^{20/10} = N_0 (1/2)^2 = N_0 / 4$ છે.
ક્ષય પામેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $n_1 = N_0 - N_1 = N_0 - N_0 / 4 = 3N_0 / 4$ છે.
$t_2 = 30 \, \text{મિનિટ}$ માટે, બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N_2 = N_0 (1/2)^{30/10} = N_0 (1/2)^3 = N_0 / 8$ છે.
ક્ષય પામેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $n_2 = N_0 - N_2 = N_0 - N_0 / 8 = 7N_0 / 8$ છે.
તેથી, ગુણોત્તર $n_1 : n_2 = (3N_0 / 4) : (7N_0 / 8) = (3/4) : (7/8) = 6 : 7$ થાય.

(A) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(T_{1/2})$ $10 \ years$ છે.
કુલ સમય $t = 30 \ years$ છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ $n = t / T_{1/2} = 30 / 10 = 3$ છે.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા પદાર્થનો અંશ $N/N_0 = (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $N/N_0 = (1/2)^3 = 1/8 = 0.125$ મળે છે.
ક્ષય પામેલા પદાર્થનો અંશ $1 - N/N_0 = 1 - 0.125 = 0.875$ છે.
આને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ: $0.875 \times 100 = 87.5\%$.
તેથી,$30 \ years$ માં ક્ષય પામેલા પદાર્થની ટકાવારી $87.5\%$ છે.

(D) ધારો કે $t$ સમય પછી બંનેનું પ્રમાણ સમાન થાય છે.
રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ $A_1$ માટે,બાકી રહેલ જથ્થો $N_1 = N_{01} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_1} = 40 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20}$ છે.
રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ $A_2$ માટે,બાકી રહેલ જથ્થો $N_2 = N_{02} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_2} = 160 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10}$ છે.
$N_1 = N_2$ લેતા:
$40 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20} = 160 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10}$.
બંને બાજુ $40$ વડે ભાગતા:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{t/20} = 4 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10}$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^{t/20} = 2^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10}$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^{t/20} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10 - 2}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$\frac{t}{20} = \frac{t}{10} - 2$.
$2 = \frac{t}{10} - \frac{t}{20} = \frac{2t - t}{20} = \frac{t}{20}$.
$t = 40 \ s$.

(A) આપેલ છે: મોલની સંખ્યા $n = 1 \text{ mol}$.
એક્ટિવિટી $A = \frac{1}{3.7} \text{ kCi} = \frac{1}{3.7} \times 10^3 \times 3.7 \times 10^{10} \text{ વિભંજન/સેકન્ડ} = 10^{13} \text{ s}^{-1}$.
ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = n \times N_A = 1 \times 6 \times 10^{23} = 6 \times 10^{23}$.
એક્ટિવિટી અને ક્ષય અચળાંક વચ્ચેનો સંબંધ $A = \lambda N$ છે.
તેથી,$\lambda = \frac{A}{N} = \frac{10^{13}}{6 \times 10^{23}} = \frac{1}{6} \times 10^{-10} \text{ s}^{-1}$.

(A) ધારો કે $N_0$ એ રેડિયોએક્ટિવ તત્વ $A$ નો પ્રારંભિક જથ્થો છે અને $N$ એ $t$ સમય પછી બાકી રહેલો જથ્થો છે.
આપેલ છે કે $A$ એ $B$ માં ક્ષય પામે છે, તેથી $t$ સમયે $B$ નો જથ્થો $N_B = N_0 - N$ થશે.
$A$ અને $B$ નો ગુણોત્તર $\frac{N}{N_B} = \frac{1}{15}$ આપેલ છે.
$N_B = N_0 - N$ મૂકતા, આપણને $\frac{N}{N_0 - N} = \frac{1}{15}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $15N = N_0 - N$, જેનું સાદું રૂપ $16N = N_0$ અથવા $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$ થાય છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ જણાવે છે કે $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$, જ્યાં $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
$T_{1/2} = 62 \text{ વર્ષ}$ આપેલ હોવાથી, $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{\frac{t}{62}}$ મળે.
કારણ કે $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$, ઘાતાંકોને સરખાવતા: $4 = \frac{t}{62}$.
તેથી, $t = 62 \times 4 = 248 \text{ વર્ષ}$.

(A) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ એ સૂત્ર $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
સરેરાશ આયુષ્ય $\tau$ ને ક્ષય અચળાંકના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,એટલે કે $\tau = \frac{1}{\lambda}$.
અર્ધ-આયુષ્યના સૂત્રમાં $\lambda = \frac{1}{\tau}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$T_{1/2} = \tau \ln 2$.
તેથી,સાચો સંબંધ $T_{1/2} = \tau \ln 2$ છે.

(C) આપેલ છે: અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_{1/2} = 2$ વર્ષ,પ્રારંભિક દળ $N_0 = 1 \,g$,કુલ સમય $t = 4$ વર્ષ.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{4}{2} = 2$.
કિંમતો મૂકતા: $N = 1 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 1 \times \frac{1}{4} = 0.25 \,g$.
તેથી,બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું પ્રમાણ $0.25 \,g$ છે.

(B) ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $T_{1/2} = 5730 \text{ વર્ષ}$ અને $\ln 2 = -\ln 0.5 = 0.7$ આપેલ છે.
તેથી,$\lambda = \frac{0.7}{5730} \text{ વર્ષ}^{-1}$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ છે,જ્યાં $N(t) = 0.75 N_0$.
આમ,$0.75 = e^{-\lambda t}$,જેનો અર્થ છે કે $\ln(0.75) = -\lambda t$.
આપેલ છે કે $\ln(0.75) = -0.3$,તેથી $-0.3 = -\left(\frac{0.7}{5730}\right) t$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{0.3 \times 5730}{0.7} = \frac{1719}{0.7} \approx 2455.7 \text{ વર્ષ}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,નમૂનાની ઉંમર $2456 \text{ વર્ષ}$ છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ એટલે તે સમયગાળો કે જેમાં આપેલા નમૂનામાં રહેલા રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતાં અડધી થઈ જાય છે.
ગાણિતિક રીતે,જો $N_0$ એ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા હોય,તો એક અર્ધ-આયુષ્ય પછી,બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ એ $N_0/2$ થાય છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_{1/2} = 10^8 \text{ વર્ષ}$ છે.
તેને સેકન્ડમાં ફેરવતા: $T_{1/2} = 10^8 \times 365 \times 24 \times 60 \times 60 \approx 3.15 \times 10^{15} \,s$.
એક્ટિવિટી $R = 10^4 \,Bq$ આપેલ છે.
એક્ટિવિટી $R$, ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ વચ્ચેનો સંબંધ $R = \lambda N$ છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$ છે.
એક્ટિવિટીના સમીકરણમાં $\lambda$ ની કિંમત મૂકતા: $R = \frac{0.693}{T_{1/2}} \times N$.
$N$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $N = \frac{R \times T_{1/2}}{0.693}$.
કિંમતો મૂકતા: $N = \frac{10^4 \times 3.15 \times 10^{15}}{0.693} \approx 4.54 \times 10^{19}$.
આમ, હાજર પરમાણુઓની સંખ્યા આશરે $4.5 \times 10^{19}$ છે.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક જથ્થો $N_0 = 1 \,kg = 1000 \,g$. અંતિમ જથ્થો $N_t = 125 \,g$. અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 12.5 \,y$.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેતો જથ્થો $N_t = N_0 \times (1/2)^n$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $125 = 1000 \times (1/2)^n$.
$(1/2)^n = 125/1000 = 1/8$.
કારણ કે $1/8 = (1/2)^3$, તેથી $n = 3$.
કુલ સમય $N = n \times T_{1/2}$ દ્વારા મળે છે.
$N = 3 \times 12.5 \,y = 37.5 \,years$.

(D) ધારો કે $A$ ના પરમાણુઓની પ્રારંભિક સંખ્યા $N_0$ છે. $n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી,$A$ ના બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N_A = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ છે.
તત્વ $A$ એ $B$ માં રૂપાંતરિત થતું હોવાથી,$B$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા $N_B = N_0 - N_A = N_0 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)$ થશે.
$A$ અને $B$ ના પરમાણુઓનો ગુણોત્તર $\frac{N_A}{N_B} = \frac{1}{8}$ આપેલ છે.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{N_0 (1/2)^n}{N_0 (1 - (1/2)^n)} = \frac{1}{8}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{(1/2)^n}{1 - (1/2)^n} = \frac{1}{8}$ મળે છે.
ધારો કે $x = (1/2)^n$. તો $\frac{x}{1-x} = \frac{1}{8} \implies 8x = 1 - x \implies 9x = 1 \implies x = \frac{1}{9}$.
કારણ કે $(1/2)^3 = 1/8$ અને $(1/2)^4 = 1/16$,અને $1/16 < 1/9 < 1/8$ હોવાથી,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ એ $3$ અને $4$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 1.5 \ hrs$ આપેલ છે,તેથી સમય $t = n \times T_{1/2}$.
$3 < n < 4$ હોવાથી,સમય $t$ એ $3 \times 1.5 = 4.5 \ hrs$ અને $4 \times 1.5 = 6 \ hrs$ ની વચ્ચે હશે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી એ રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસના ક્ષય થવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે સૂત્ર $A = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ તે ક્ષણે હાજર રહેલા રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ એ રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થના આંતરિક ગુણધર્મો છે અને તે તાપમાન,દબાણ અથવા આસપાસના માધ્યમ જેવી બાહ્ય ભૌતિક પરિસ્થિતિઓથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,નમૂનાને પાણીમાં રાખવાથી ક્ષયના દરમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આમ,પાણીમાં એક્ટિવિટી $A^{\prime}$ એ હવામાં રહેલી એક્ટિવિટી $A$ જેટલી જ રહે છે,એટલે કે $A^{\prime} = A$.

(C) $t$ સમય પછી બાકી રહેલા નમૂનાનો અંશ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^{t/T}$,જ્યાં $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે કે $t = \frac{T}{2}$,તેથી બાકી રહેલો અંશ $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^{(\frac{T/2}{T})} = (\frac{1}{2})^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
ક્ષય પામેલો ભાગ એ પ્રારંભિક જથ્થામાંથી બાકી રહેલો જથ્થો બાદ કરવાથી મળે છે: $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}$.

(C) ધારો કે $N_0$ એ રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાનો પ્રારંભિક જથ્થો છે.
$t = 16 \text{ દિવસ}$ પછી, બાકી રહેલો જથ્થો $N$ નીચે મુજબ છે:
$N = N_0 - 75\% \text{ of } N_0 = N_0 - 0.75 N_0 = 0.25 N_0 = \frac{N_0}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનું સૂત્ર $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ છે, જ્યાં $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{N_0}{4} = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$
$\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
$\left( \frac{1}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
આમ, $n = 2$.
કારણ કે $n = \frac{t}{T_{1/2}}$, તેથી $2 = \frac{16}{T_{1/2}}$.
તેથી, $T_{1/2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ દિવસ}$.

(D) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાનું અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ $20 \ days$ છે.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી,પદાર્થનો બાકી રહેલો જથ્થો $N = N_0(1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$60 \ days$ માં,પસાર થયેલ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = 60 / 20 = 3$ છે.
પદાર્થનો બાકી રહેલો જથ્થો $N = N_0(1/2)^3 = N_0 / 8$ છે.
વિઘટિત થયેલ પદાર્થનો જથ્થો $N_0 - N = N_0 - N_0/8 = 7N_0/8$ છે.
તેથી,$60 \ days$ માં પદાર્થનો $7/8$ ભાગ વિઘટિત થાય છે.

(D) સમય $t$ પછી બાકી રહેલા અવિભંજિત પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ એ $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_{1/2} = 18 \text{ min}$.
$20 \%$ ક્ષય માટે,બાકી રહેલો જથ્થો $N_1 = N_0 - 0.20 N_0 = 0.8 N_0$ છે.
તેથી,$0.8 N_0 = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{18}} \implies \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{18}} = 0.8 \quad (i)$.
$80 \%$ ક્ષય માટે,બાકી રહેલો જથ્થો $N_2 = N_0 - 0.80 N_0 = 0.2 N_0$ છે.
તેથી,$0.2 N_0 = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_2}{18}} \implies \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_2}{18}} = 0.2 \quad (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{(1/2)^{t_1/18}}{(1/2)^{t_2/18}} = \frac{0.8}{0.2} = 4$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1-t_2}{18}} = 4 = 2^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $\frac{t_1-t_2}{18} = -2 \implies t_2 - t_1 = 36 \text{ min}$.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ નીચે મુજબ છે:
$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$
જ્યાં $\frac{dN}{dt}$ એ વિઘટનનો દર છે,જેને $R$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,$R = -\lambda N$ (મૂલ્ય લેતા,$R = \lambda N$).
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{R}{N} = \lambda$
કારણ કે $\lambda$ (ક્ષય અચળાંક) એ આપેલ રેડિયોએક્ટિવ નમૂના માટે અચળ છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{R}{N}$ સમય $t$ સાથે બદલાતો નથી.
તેથી,$\frac{R}{N}$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ $X$-અક્ષને સમાંતર એક આડી સીધી રેખા છે.
આ વિકલ્પ $(D)$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 138.6 \text{ દિવસ}$ છે।
ધારો કે $N_0$ એ રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો પ્રારંભિક જથ્થો છે। $n$ દિવસ પછી બાકી રહેલો જથ્થો $N = 20\% \text{ of } N_0 = \frac{20}{100} N_0 = \frac{N_0}{5}$ છે।
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ, $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{n}{T_{1/2}}}$.
કિંમતો મૂકતા, $\frac{N_0}{5} = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{n}{138.6}}$, જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{5} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{n}{138.6}}$ થાય છે।
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક $(\ln)$ લેતા:
$\ln \left( \frac{1}{5} \right) = \frac{n}{138.6} \ln \left( \frac{1}{2} \right)$
$-\ln(5) = \frac{n}{138.6} (-\ln(2))$
$\ln(5) = \frac{n}{138.6} \ln(2)$
આપેલ છે કે $\ln(5) = 1.61$ અને $\ln(2) \approx 0.693$, તેથી:
$1.61 = \frac{n}{138.6} \times 0.693$
$n = \frac{1.61 \times 138.6}{0.693} = 1.61 \times 200 = 322 \text{ દિવસ}$.

(A) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $R = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 13.86 \times 10^{16} \,s$,દળ $m = 1 \,g$,અને મોલર દળ $M = 238 \,g/mol$.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} \approx \frac{0.693}{T_{1/2}}$.
ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = \frac{m}{M} \times N_A$,જ્યાં $N_A = 6.022 \times 10^{23} \,mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{0.693}{13.86 \times 10^{16}} \times \frac{1}{238} \times 6.022 \times 10^{23}$
$R = \frac{0.693 \times 6.022}{13.86 \times 238} \times 10^7$
$R = \frac{4.173}{3298.68} \times 10^7 \approx 0.001265 \times 10^7 = 1.265 \times 10^4 \,s^{-1}$.
આમ,એક્ટિવિટી આશરે $1.26 \times 10^4 \,s^{-1}$ થાય છે.

(B) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ ને રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:
$N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$
જ્યાં $N$ એ $n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલો જથ્થો છે.
આપેલ છે કે નમૂનાનો $93.75 \%$ ક્ષય થયો છે,તેથી બાકી રહેલો જથ્થો:
$N = (100 - 93.75) \% \text{ of } N_0 = 6.25 \% \text{ of } N_0 = \frac{6.25}{100} N_0 = \frac{1}{16} N_0$
આ કિંમતને ક્ષયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{16} N_0 = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$
$\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
કારણ કે $16 = 2^4$,તેથી:
$\left( \frac{1}{2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
તેથી,$n = 4$.

(C) ધારો કે $X$ ના પ્રારંભિક પરમાણુઓની સંખ્યા $N_0$ છે.
$t$ સમયે,ધારો કે $X$ ના બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N_X$ છે અને બનેલા $Y$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા $N_Y$ છે.
જેમ કે $X$ એ $Y$ માં રૂપાંતરિત થાય છે,કુલ પરમાણુઓની સંખ્યા અચળ રહે છે: $N_0 = N_X + N_Y$.
આપેલ ગુણોત્તર $N_X : N_Y = 1 : 4$ પરથી,આપણે લખી શકીએ $N_Y = 4N_X$.
આને સંરક્ષણ સમીકરણમાં મૂકતા: $N_0 = N_X + 4N_X = 5N_X$.
આમ,$X$ નો બાકી રહેલો અંશ $\frac{N_X}{N_0} = \frac{1}{5}$ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ $\frac{N_X}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $T_{1/2} = 2 \text{ કલાક}$:
$\frac{1}{5} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{2}}$.
ઘાતાંકની સરખામણી કરતા:
જેમ કે $\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$ અને $\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$,અને આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{8} < \frac{1}{5} < \frac{1}{4}$,
તેથી $\left(\frac{1}{2}\right)^3 < \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{2}} < \left(\frac{1}{2}\right)^2$.
આધાર $1$ કરતા નાનો હોવાથી,ઘાતાંક માટે અસમતા ઉલટાઈ જશે:
$2 < \frac{t}{2} < 3$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $4 < t < 6$ મળે છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $R = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ સમય $t$ પર હાજર રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $R_1 = \lambda N_1$ અને $R_2 = \lambda N_2$.
સમયગાળા $(t_2 - t_1)$ માં વિભંજિત થયેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $\Delta N = N_1 - N_2$ છે.
$N = \frac{R}{\lambda}$ હોવાથી,$\Delta N = \frac{R_1 - R_2}{\lambda}$ મળે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ છે.
$\Delta N$ ના સમીકરણમાં $\lambda$ ની કિંમત મૂકતા:
$\Delta N = \frac{(R_1 - R_2)T}{\ln 2}$.
આપણને આપેલ છે કે $\Delta N = \frac{n(R_1 - R_2)T}{\ln 4}$.
$\ln 4 = \ln(2^2) = 2 \ln 2$ હોવાથી:
$\Delta N = \frac{n(R_1 - R_2)T}{2 \ln 2}$.
$\Delta N$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{R_1 - R_2}{\ln 2} = \frac{n(R_1 - R_2)}{2 \ln 2}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $(R_1 - R_2)$ અને $\ln 2$ ને દૂર કરતા:
$1 = \frac{n}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $n = 2$.

(A) ધારો કે બંને પદાર્થો માટે શરૂઆતના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે.
સમય $t$ પર અવિભંજિત ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ $Y_1$ માટે,$N_1(t) = N_0 e^{-(9 \lambda) t}$.
પદાર્થ $Y_2$ માટે,$N_2(t) = N_0 e^{-(6 \lambda) t}$.
અવિભંજિત ન્યુક્લિયસનો ગુણોત્તર $\frac{N_1(t)}{N_2(t)} = \frac{N_0 e^{-9 \lambda t}}{N_0 e^{-6 \lambda t}} = e^{-9 \lambda t + 6 \lambda t} = e^{-3 \lambda t}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે આ ગુણોત્તર $\frac{1}{e}$ છે,જે $e^{-1}$ છે.
તેથી,$e^{-3 \lambda t} = e^{-1}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $-3 \lambda t = -1$.
તેથી,$t = \frac{1}{3 \lambda} \ s$.

(A) આલેખ પરથી,આપણે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(T_{1/2})$ જોઈ શકીએ છીએ. શરૂઆતમાં,$t = 0 \ h$ સમયે,પદાર્થનો જથ્થો $100 \ kg$ છે. પદાર્થને તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના અડધા $(50 \ kg)$ સુધી ઘટવા માટે લાગતો સમય $20 \ h$ છે. આમ,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 20 \ h$ છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ અર્ધ-આયુષ્ય સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}}$.
$T_{1/2} = 20 \ h$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{0.693}{20} \ h^{-1} = 0.03465 \ h^{-1} \approx 0.035 \ h^{-1}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે,$K.E. = 4 \text{ eV} = 4 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 6.4 \times 10^{-19} \text{ J}$.
દળ $m = 3.2 \times 10^{-21} \text{ kg}$.
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$v = \sqrt{\frac{2 \times K.E.}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 6.4 \times 10^{-19}}{3.2 \times 10^{-21}}} = \sqrt{4 \times 10^2} = 20 \text{ m/s}$.
$D = 3.6 \text{ km} = 3600 \text{ m}$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{D}{v} = \frac{3600}{20} = 180 \text{ s} = 3 \text{ મિનિટ}$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 1 \text{ મિનિટ}$ હોવાથી,સમય $t = 3 \text{ અર્ધ-આયુષ્ય}$ થાય.
બાકી રહેલા કણોની સંખ્યા $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{N_0}{8}$.
ક્ષય પામેલા કણોની સંખ્યા $N_0 - N = N_0 - \frac{N_0}{8} = \frac{7}{8}N_0$.
ક્ષય પામેલા કણોની ટકાવારી $\frac{7/8 N_0}{N_0} \times 100 = 87.5\%$ છે.

(D) ક્ષય થયા પછી બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો જથ્થો $N = N_0 - 0.96875 N_0 = 0.03125 N_0$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $N = N_0 (1/2)^n$,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
$0.03125 N_0 = N_0 (1/2)^n$
$0.03125 = (1/2)^n$
કારણ કે $0.03125 = 1/32 = (1/2)^5$,તેથી $n = 5$.
કુલ સમય $t$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ સાથે $t = n \times T_{1/2}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ છે કે $t = 10 \text{ દિવસ}$ અને $n = 5$,તેથી $10 = 5 \times T_{1/2}$.
આમ,$T_{1/2} = 10 / 5 = 2 \text{ દિવસ}$.

(A) $t$ સમય પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = N_0 (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = t / T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
પદાર્થ $A$ માટે: $T_{1/2, A} = 1.5 \ days$,$t = 9 \ days$. અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n_A = 9 / 1.5 = 6$. બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસ $N_A = N_0 (1/2)^6 = N_0 / 64$.
પદાર્થ $B$ માટે: $T_{1/2, B} = 4.5 \ days$,$t = 9 \ days$. અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n_B = 9 / 4.5 = 2$. બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસ $N_B = N_0 (1/2)^2 = N_0 / 4$.
ગુણોત્તર $N_A / N_B = (N_0 / 64) / (N_0 / 4) = 4 / 64 = 1 / 16$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 16$ છે.

(D) $t$ સમયે રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A = A_0 (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = t/T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક એક્ટિવિટી $A_0 = 32 A_{safe}$ છે અને આપણે અંતિમ એક્ટિવિટી $A = A_{safe}$ જોઈએ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $A_{safe} = 32 A_{safe} \times (1/2)^n$.
બંને બાજુ $A_{safe}$ વડે ભાગતા,આપણને $1 = 32 \times (1/2)^n$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $(1/2)^n = 1/32$ થાય છે.
કારણ કે $32 = 2^5$,તેથી $(1/2)^n = (1/2)^5$,જેનો અર્થ છે કે $n = 5$.
$n = t/T_{1/2}$ હોવાથી,$5 = t / 2.5$ મળે છે.
તેથી,$t = 5 \times 2.5 = 12.5 \text{ કલાક}$.

(D) આપેલ છે કે પદાર્થ $16 \text{ કલાક}$ માં $10 \%$ ક્ષય પામે છે,તેથી $16 \text{ કલાક}$ પછી બાકી રહેલો જથ્થો પ્રારંભિક જથ્થાના $90 \%$ અથવા $0.9$ ગણો છે.
કુલ સમય $2 \text{ દિવસ} = 2 \times 24 \text{ કલાક} = 48 \text{ કલાક}$ છે.
$48 \text{ કલાક}$ માં $16 \text{ કલાક}$ ના અંતરાલની સંખ્યા $n = \frac{48}{16} = 3$ છે.
$n$ અંતરાલ પછી બાકી રહેલા પદાર્થનો અંશ $N = N_0 \times (0.9)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$N = N_0 \times (0.9)^3$.
$N = N_0 \times 0.729$.
તેથી,બાકી રહેલી ટકાવારી $0.729 \times 100 = 72.9 \%$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $t$ સમય પછી બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N(t) = N_0 (1/2)^{t/T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે કે $6 \ days$ માં $87.5 \%$ પરમાણુઓ ક્ષય પામે છે, તેથી બાકી રહેલો અંશ $100 \% - 87.5 \% = 12.5 \% = 1/8$ છે.
તેથી, $1/8 = (1/2)^{6/T}$.
કારણ કે $1/8 = (1/2)^3$, આપણને $6/T = 3$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $T = 2 \ days$.
હવે, આપણે $8 \ days$ માં ક્ષય પામતા પરમાણુઓનો અંશ શોધવો છે.
$8 \ days$ પછી બાકી રહેલો અંશ $N(8)/N_0 = (1/2)^{8/T} = (1/2)^{8/2} = (1/2)^4 = 1/16$ છે.
ક્ષય પામતા પરમાણુઓનો અંશ $1 - (\text{બાકી રહેલો અંશ}) = 1 - 1/16 = 15/16$ છે.

(D) આપેલ અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 12 \text{ મિનિટ}$ છે.
$28 \%$ ક્ષય સમયે, બાકી રહેલો જથ્થો $100 - 28 = 72 \%$ છે.
$82 \%$ ક્ષય સમયે, બાકી રહેલો જથ્થો $100 - 82 = 18 \%$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો જથ્થો એક અર્ધ-આયુષ્ય સમયમાં અડધો થઈ જાય છે.
$72 \%$ થી શરૂ કરીને, એક અર્ધ-આયુષ્ય $(12 \text{ મિનિટ})$ પછી, જથ્થો $72 / 2 = 36 \%$ થાય છે.
બીજા એક અર્ધ-આયુષ્ય $(12 \text{ મિનિટ})$ પછી, જથ્થો $36 / 2 = 18 \%$ થાય છે.
તેથી, કુલ સમયગાળો $12 + 12 = 24 \text{ મિનિટ}$ છે.

(A) સમય $t$ પછી બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું દળ $M = M_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M_0$ પ્રારંભિક દળ છે અને $T_{1/2}$ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
પદાર્થ $A$ માટે: $M_A = M_{0A} (1/2)^{t/T}$.
પદાર્થ $B$ માટે: $M_B = M_{0B} (1/2)^{t/2T}$.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક દળનો ગુણોત્તર $M_{0A} / M_{0B} = 8/1$ અને બાકી રહેલા દળનો ગુણોત્તર $M_A / M_B = 4/1$ છે.
તેથી,$\frac{M_A}{M_B} = \frac{M_{0A}}{M_{0B}} \cdot \frac{(1/2)^{t/T}}{(1/2)^{t/2T}} = 4/1$.
કિંમતો મૂકતા: $8 \cdot (1/2)^{t/T - t/2T} = 4$.
$8 \cdot (1/2)^{t/2T} = 4$.
$(1/2)^{t/2T} = 4/8 = 1/2$.
$(1/2)^{t/2T} = (1/2)^1$.
ઘાતાંકની સરખામણી કરતા,$t/2T = 1$,જેનો અર્થ છે કે $t = 2T$.

(C) તત્વ $X$ માટે,અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})_X = \frac{0.693}{\lambda_X}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તત્વ $Y$ માટે,સરેરાશ આયુષ્ય $(\tau)_Y = \frac{1}{\lambda_Y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $(t_{1/2})_X = (\tau)_Y$,તેથી $\frac{0.693}{\lambda_X} = \frac{1}{\lambda_Y}$.
આ સૂચવે છે કે $\lambda_X = 0.693 \lambda_Y$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_X < \lambda_Y$.
ક્ષય દર $R = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. શરૂઆતમાં $N_X = N_Y$ હોવાથી અને $\lambda_Y > \lambda_X$ હોવાથી,$Y$ નો ક્ષય દર $X$ કરતા વધારે છે $(R_Y > R_X)$.
તેથી,$Y$ એ $X$ કરતા ઝડપથી ક્ષય પામે છે.

(D) ધારો કે પદાર્થ $B$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_B = T$ છે. તો પદાર્થ $A$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_A = 2T$ થશે.
સમય $t$ પછી,બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિતેલો સમય $t = 3 T_A = 3(2T) = 6T$ છે.
આ સમયે,$A$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_A(t) = N_A \left(\frac{1}{2}\right)^3$ છે.
આ સમયે,$B$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_B(t) = N_B \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_B} = N_B \left(\frac{1}{2}\right)^{6T/T} = N_B \left(\frac{1}{2}\right)^6$ છે.
આપેલ છે કે $N_A(t) = N_B(t)$,તેથી $N_A \left(\frac{1}{2}\right)^3 = N_B \left(\frac{1}{2}\right)^6$.
તેથી,$\frac{N_A}{N_B} = \frac{(1/2)^6}{(1/2)^3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{6-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.

(A) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી એક અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2} = 6 \,h)$ માં અડધી થઈ જાય છે.
ધારો કે $s$ એ સ્ત્રોતનું સ્વીકાર્ય સુરક્ષિત મૂલ્ય છે.
પ્રારંભિક એક્ટિવિટી $32s$ છે.
$1$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી, એક્ટિવિટી = $32s / 2 = 16s$.
$2$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી, એક્ટિવિટી = $16s / 2 = 8s$.
$3$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી, એક્ટિવિટી = $8s / 2 = 4s$.
$4$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી, એક્ટિવિટી = $4s / 2 = 2s$.
$5$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી, એક્ટિવિટી = $2s / 2 = s$.
આમ, નમૂનો $5$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી સુરક્ષિત બને છે.
કુલ સમય $T = 5 \times T_{1/2} = 5 \times 6 \,h = 30 \,h$.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય સંબંધ $N(t) = N_0 (1/2)^n$ ને અનુસરે છે, જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે, પ્રારંભિક દળ $N_0 = 60 \,g$ અને અંતિમ દળ $N(t) = 7.5 \,g$ છે.
આથી, $7.5 = 60 \times (1/2)^n$.
$(1/2)^n = 7.5 / 60 = 1/8 = (1/2)^3$.
તેથી, અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = 3$ છે.
કુલ જરૂરી સમય $\Delta t = n \times T_{1/2} = 3 \times 5 \,s = 15 \,s$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે, ક્ષય પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: $60 \,g \xrightarrow{5 \,s} 30 \,g \xrightarrow{5 \,s} 15 \,g \xrightarrow{5 \,s} 7.5 \,g$.
કુલ સમય = $5 \,s + 5 \,s + 5 \,s = 15 \,s$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો દર $\frac{dN}{dt} = -\lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
બે એકસાથે થતી ક્ષય પ્રક્રિયાઓ માટે,કુલ ક્ષય અચળાંક $\lambda_{\text{eff}} = \lambda_1 + \lambda_2$ થાય છે।
$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ હોવાથી,આપણને $\frac{\ln 2}{T_{\text{eff}}} = \frac{\ln 2}{t_1} + \frac{\ln 2}{t_2}$ મળે છે।
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{T_{\text{eff}}} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$ મળે,તેથી $T_{\text{eff}} = \frac{t_1 t_2}{t_1+t_2}$।
સરેરાશ આયુષ્ય $\langle t \rangle$ એ અસરકારક અર્ધ-આયુષ્ય સાથે $\langle t \rangle = \frac{T_{\text{eff}}}{\ln 2}$ સંબંધ ધરાવે છે।
$T_{\text{eff}}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\langle t \rangle = \frac{1}{\ln 2} \left( \frac{t_1 t_2}{t_1+t_2} \right)$ મળે છે।
$\ln 2 \approx 0.693 < 1$ હોવાથી,$\frac{1}{\ln 2} > 1$ થાય।
તેથી,$\langle t \rangle > \frac{t_1 t_2}{t_1+t_2}$ સાચું છે।

(A) પ્રારંભિક રેડિયોએક્ટિવિટી $A_0$ એ સુરક્ષિત મર્યાદા $A_s$ કરતા $4$ ગણી છે. આપણે એવો સમય $t$ શોધવો છે કે જેથી રેડિયોએક્ટિવિટી $A_t$ એ $A_s$ જેટલી થઈ જાય.
આપેલ છે, $A_t = \frac{A_0}{2^{t/T_{1/2}}}$, જ્યાં $T_{1/2} = 24 \,h$.
કારણ કે $A_t = A_s$ અને $A_0 = 4A_s$, તેથી:
$A_s = \frac{4A_s}{2^{t/24}}$
$2^{t/24} = 4$
$2^{t/24} = 2^2$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$\frac{t}{24} = 2$
$t = 48 \,h$.
આમ, જરૂરી ન્યૂનતમ સમય $48 \,h$ છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ આઇસોટોપનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_{1/2} = 30 \,h$ આપેલ છે.
ધારો કે રેડિયોએક્ટિવ આઇસોટોપનો પ્રારંભિક જથ્થો $N_0$ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે બાકી રહેલો જથ્થો $N$ એ $N_0$ ના $12.5 \%$ હોય.
$N = 12.5 \% \text{ of } N_0 = \frac{12.5}{100} N_0 = \frac{1}{8} N_0$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના સૂત્ર $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે:
$\frac{1}{8} N_0 = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$
$\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
$\left( \frac{1}{2} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
તેથી, $n = 3$.
કારણ કે $n = \frac{t}{T_{1/2}}$, તેથી $t = n \times T_{1/2} = 3 \times 30 \,h = 90 \,h$.