અ Gujarati
Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life Questions in Gujarati
Class 12 Physics · Nuclei · Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life
573+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 49 of 573 questions in Gujarati
451
MediumMCQ
એક રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $20 \text{ મિનિટ}$ છે. $........ \text{ મિનિટ}$ સમયમાં,પદાર્થની એક્ટિવિટી તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $\left(\frac{1}{16}\right)^{th}$ ભાગ જેટલી ઘટી જાય છે.
A
$80$
B
$20$
C
$40$
D
$60$
Solution
(A) આપેલ છે: અર્ધ-આયુષ્ય $T = 20 \text{ min}$.
સમય $t$ પર રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની એક્ટિવિટી નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{R}{R_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$,જ્યાં $n = \frac{t}{T}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપણને આપેલ છે કે એક્ટિવિટી તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $\frac{1}{16}$ ભાગ જેટલી ઘટી જાય છે,તેથી $\frac{R}{R_0} = \frac{1}{16}$.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20}$
કારણ કે $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$,તેથી:
$\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20}$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$4 = \frac{t}{20}$
$t$ માટે ઉકેલતા:
$t = 4 \times 20 = 80 \text{ મિનિટ}$.
સમય $t$ પર રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની એક્ટિવિટી નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{R}{R_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$,જ્યાં $n = \frac{t}{T}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપણને આપેલ છે કે એક્ટિવિટી તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $\frac{1}{16}$ ભાગ જેટલી ઘટી જાય છે,તેથી $\frac{R}{R_0} = \frac{1}{16}$.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20}$
કારણ કે $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$,તેથી:
$\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20}$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$4 = \frac{t}{20}$
$t$ માટે ઉકેલતા:
$t = 4 \times 20 = 80 \text{ મિનિટ}$.
0 likes
View Solution452
DifficultMCQ
$5 \mu Ci$ ની એક્ટિવિટી ધરાવતા રેડિયોએક્ટિવ નમૂના $S_1$ માં $10 \mu Ci$ ની એક્ટિવિટી ધરાવતા બીજા નમૂના $S_2$ કરતા બમણા ન્યુક્લિયસ છે. $S_1$ અને $S_2$ ના અર્ધ-આયુષ્ય (half-lives) કેટલા હોઈ શકે?
A
અનુક્રમે $20$ વર્ષ અને $5$ વર્ષ
B
અનુક્રમે $20$ વર્ષ અને $10$ વર્ષ
C
દરેક $10$ વર્ષ
D
દરેક $5$ વર્ષ
Solution
(A) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A$ એ $A = \lambda N = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે અને $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
નમૂના $S_1$ માટે: $A_1 = 5 \mu Ci$ અને $N_1 = 2N_0$.
તેથી,$5 = \frac{\ln 2}{T_1} (2N_0) \implies \frac{\ln 2}{T_1} = \frac{2.5}{N_0}$.
નમૂના $S_2$ માટે: $A_2 = 10 \mu Ci$ અને $N_2 = N_0$.
તેથી,$10 = \frac{\ln 2}{T_2} (N_0) \implies \frac{\ln 2}{T_2} = \frac{10}{N_0}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{T_2}{T_1} = \frac{2.5}{10} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$T_1 = 4T_2$.
વિકલ્પો તપાસતા,જો $T_2 = 5$ વર્ષ હોય,તો $T_1 = 20$ વર્ષ થાય. આ વિકલ્પ $A$ સાથે સુસંગત છે.
નમૂના $S_1$ માટે: $A_1 = 5 \mu Ci$ અને $N_1 = 2N_0$.
તેથી,$5 = \frac{\ln 2}{T_1} (2N_0) \implies \frac{\ln 2}{T_1} = \frac{2.5}{N_0}$.
નમૂના $S_2$ માટે: $A_2 = 10 \mu Ci$ અને $N_2 = N_0$.
તેથી,$10 = \frac{\ln 2}{T_2} (N_0) \implies \frac{\ln 2}{T_2} = \frac{10}{N_0}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{T_2}{T_1} = \frac{2.5}{10} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$T_1 = 4T_2$.
વિકલ્પો તપાસતા,જો $T_2 = 5$ વર્ષ હોય,તો $T_1 = 20$ વર્ષ થાય. આ વિકલ્પ $A$ સાથે સુસંગત છે.
0 likes
View Solution453
MediumMCQ
એક ન્યુક્લિયર પ્રયોગશાળામાં અકસ્માતને કારણે $18$ દિવસના અર્ધ-આયુષ્ય ધરાવતા કિરણોત્સર્ગી પદાર્થનો અમુક જથ્થો પ્રયોગશાળામાં જમા થયો. પરીક્ષણોમાં જાણવા મળ્યું કે રેડિયેશનનું સ્તર પ્રયોગશાળાના સુરક્ષિત સંચાલન માટે જરૂરી સ્તર કરતા $64$ ગણું વધારે હતું. કેટલા દિવસો પછી પ્રયોગશાળાને ઉપયોગ માટે સુરક્ષિત ગણી શકાય?
A
$64$
B
$90$
C
$108$
D
$120$
Solution
(C) સમય $t$ પર કિરણોત્સર્ગી નમૂનાની પ્રવૃત્તિ (activity) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$,જ્યાં $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક પ્રવૃત્તિ એ સ્વીકાર્ય સ્તર કરતા $64$ ગણી છે $(R = 64 R_0)$,તેથી સુરક્ષિત મર્યાદા સુધી પહોંચવા માટે અંતિમ પ્રવૃત્તિ $R_0$ હોવી જોઈએ.
આમ,$64 R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{n} = R_0$.
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા $\left( \frac{1}{2} \right)^{n} = \frac{1}{64}$ મળે છે.
કારણ કે $64 = 2^6$,તેથી $\left( \frac{1}{2} \right)^{n} = \left( \frac{1}{2} \right)^{6}$.
તેથી,$n = 6$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 18$ દિવસ આપેલ હોવાથી,કુલ સમય $t = n \times T_{1/2} = 6 \times 18 = 108$ દિવસ થાય.
આમ,$108$ દિવસ પછી પ્રયોગશાળા સુરક્ષિત રહેશે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક પ્રવૃત્તિ એ સ્વીકાર્ય સ્તર કરતા $64$ ગણી છે $(R = 64 R_0)$,તેથી સુરક્ષિત મર્યાદા સુધી પહોંચવા માટે અંતિમ પ્રવૃત્તિ $R_0$ હોવી જોઈએ.
આમ,$64 R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{n} = R_0$.
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા $\left( \frac{1}{2} \right)^{n} = \frac{1}{64}$ મળે છે.
કારણ કે $64 = 2^6$,તેથી $\left( \frac{1}{2} \right)^{n} = \left( \frac{1}{2} \right)^{6}$.
તેથી,$n = 6$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 18$ દિવસ આપેલ હોવાથી,કુલ સમય $t = n \times T_{1/2} = 6 \times 18 = 108$ દિવસ થાય.
આમ,$108$ દિવસ પછી પ્રયોગશાળા સુરક્ષિત રહેશે.
0 likes
View Solution454
MediumMCQ
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રક્રિયામાં,એક્ટિવિટીને $A = -\frac{dN}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $N(t)$ એ સમય $t$ પર રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લીની સંખ્યા છે. બે રેડિયોએક્ટિવ સ્ત્રોતો,$S_1$ અને $S_2$,સમય $t = 0$ પર સમાન એક્ટિવિટી ધરાવે છે. પછીના સમયે,$S_1$ અને $S_2$ ની એક્ટિવિટી અનુક્રમે $A_1$ અને $A_2$ છે. જ્યારે $S_1$ અને $S_2$ તેમના અનુક્રમે $3^{\text{rd}}$ અને $7^{\text{th}}$ અર્ધ-આયુ પૂર્ણ કરે છે,ત્યારે ગુણોત્તર $A_1/A_2$ કેટલો થાય?
A
$10$
B
$12$
C
$15$
D
$16$
Solution
(D) સમય $t$ પર રેડિયોએક્ટિવ સ્ત્રોતની એક્ટિવિટી $A(t) = A_0 (0.5)^{t/T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુ છે.
આપેલ છે કે બંને સ્ત્રોતો $S_1$ અને $S_2$ સમય $t = 0$ પર સમાન પ્રારંભિક એક્ટિવિટી $A_0$ ધરાવે છે.
સ્ત્રોત $S_1$ માટે,$n_1 = 3$ અર્ધ-આયુ પછી,એક્ટિવિટી $A_1 = A_0 (0.5)^3$ છે.
સ્ત્રોત $S_2$ માટે,$n_2 = 7$ અર્ધ-આયુ પછી,એક્ટિવિટી $A_2 = A_0 (0.5)^7$ છે.
એક્ટિવિટીનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{A_0 (0.5)^3}{A_0 (0.5)^7} = \frac{(0.5)^3}{(0.5)^7} = (0.5)^{3-7} = (0.5)^{-4} = 2^4 = 16$ થાય છે.
આપેલ છે કે બંને સ્ત્રોતો $S_1$ અને $S_2$ સમય $t = 0$ પર સમાન પ્રારંભિક એક્ટિવિટી $A_0$ ધરાવે છે.
સ્ત્રોત $S_1$ માટે,$n_1 = 3$ અર્ધ-આયુ પછી,એક્ટિવિટી $A_1 = A_0 (0.5)^3$ છે.
સ્ત્રોત $S_2$ માટે,$n_2 = 7$ અર્ધ-આયુ પછી,એક્ટિવિટી $A_2 = A_0 (0.5)^7$ છે.
એક્ટિવિટીનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{A_0 (0.5)^3}{A_0 (0.5)^7} = \frac{(0.5)^3}{(0.5)^7} = (0.5)^{3-7} = (0.5)^{-4} = 2^4 = 16$ થાય છે.
0 likes
View Solution455
AdvancedMCQ
${ }^{131} I$ એ આયોડિનનું આઇસોટોપ છે જે $8$ દિવસના અર્ધ-આયુષ્ય સાથે ઝેનોનના આઇસોટોપમાં $\beta$ ક્ષય પામે છે. ${ }^{131} I$ લેબલવાળા સીરમનો થોડો જથ્થો વ્યક્તિના લોહીમાં ઇન્જેક્ટ કરવામાં આવે છે. ઇન્જેક્ટ કરેલા ${ }^{131} I$ ની એક્ટિવિટી $2.4 \times 10^5 \text{ Bq}$ હતી. એવું જાણવા મળ્યું છે કે ઇન્જેક્ટ કરેલું સીરમ અડધા કલાકથી ઓછા સમયમાં રક્ત પ્રવાહમાં સમાનરૂપે વિતરિત થઈ જશે. $11.5$ કલાક પછી,વ્યક્તિના શરીરમાંથી $2.5 \text{ ml}$ લોહી લેવામાં આવે છે,જેની એક્ટિવિટી $115 \text{ Bq}$ મળે છે. વ્યક્તિના શરીરમાં લોહીનું કુલ કદ,લિટરમાં આશરે કેટલું હશે? (તમે $|x| \ll 1$ માટે $e^{x} \approx 1+x$ અને $\ln 2 \approx 0.7$ નો ઉપયોગ કરી શકો છો):
A
$2$
B
$3$
C
$4$
D
$5$
Solution
(D) પ્રારંભિક એક્ટિવિટી $A_0 = 2.4 \times 10^5 \text{ Bq}$ છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 8 \text{ દિવસ} = 8 \times 24 = 192 \text{ કલાક}$.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.7}{192} \text{ h}^{-1}$.
$t = 11.5 \text{ કલાક}$ પછી,કુલ રક્ત કદ $V$ ની એક્ટિવિટી $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ છે.
નાના $x$ માટે $e^{-x} \approx 1 - x$ અંદાજનો ઉપયોગ કરતા:
$A(t) \approx A_0 (1 - \lambda t) = 2.4 \times 10^5 \times (1 - \frac{0.7 \times 11.5}{192}) \approx 2.4 \times 10^5 \times (1 - 0.0419) \approx 2.4 \times 10^5 \times 0.9581 = 2.299 \times 10^5 \text{ Bq}$.
$2.5 \text{ ml}$ લોહીની એક્ટિવિટી $115 \text{ Bq}$ છે.
તેથી,કુલ એક્ટિવિટી $A(t)$ એ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A_s$ સાથે $A(t) = A_s \times \frac{V}{V_s}$ દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $V_s = 2.5 \text{ ml}$.
$V = \frac{A(t) \times V_s}{A_s} = \frac{2.299 \times 10^5 \times 2.5 \text{ ml}}{115} \approx 4997.8 \text{ ml} \approx 5 \text{ લિટર}$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 8 \text{ દિવસ} = 8 \times 24 = 192 \text{ કલાક}$.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.7}{192} \text{ h}^{-1}$.
$t = 11.5 \text{ કલાક}$ પછી,કુલ રક્ત કદ $V$ ની એક્ટિવિટી $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ છે.
નાના $x$ માટે $e^{-x} \approx 1 - x$ અંદાજનો ઉપયોગ કરતા:
$A(t) \approx A_0 (1 - \lambda t) = 2.4 \times 10^5 \times (1 - \frac{0.7 \times 11.5}{192}) \approx 2.4 \times 10^5 \times (1 - 0.0419) \approx 2.4 \times 10^5 \times 0.9581 = 2.299 \times 10^5 \text{ Bq}$.
$2.5 \text{ ml}$ લોહીની એક્ટિવિટી $115 \text{ Bq}$ છે.
તેથી,કુલ એક્ટિવિટી $A(t)$ એ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A_s$ સાથે $A(t) = A_s \times \frac{V}{V_s}$ દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $V_s = 2.5 \text{ ml}$.
$V = \frac{A(t) \times V_s}{A_s} = \frac{2.299 \times 10^5 \times 2.5 \text{ ml}}{115} \approx 4997.8 \text{ ml} \approx 5 \text{ લિટર}$.
0 likes
View Solution456
DifficultMCQ
એક તાજા તૈયાર કરેલા રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $10^{10}$ વિભંજન પ્રતિ સેકન્ડ છે,જેનું સરેરાશ આયુષ્ય $10^9 \ s$ છે. આ રેડિયોઆઈસોટોપના એક પરમાણુનું દળ $10^{-25} \ kg$ છે. રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાનું દળ ($mg$ માં) કેટલું હશે?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(A) આપેલ છે: એક્ટિવિટી $A = |\frac{dN}{dt}| = 10^{10} \ s^{-1}$.
સરેરાશ આયુષ્ય $\tau = 10^9 \ s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tau = \frac{1}{\lambda}$,તેથી ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{1}{\tau} = 10^{-9} \ s^{-1}$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,$A = \lambda N$,જ્યાં $N$ એ પરમાણુઓની સંખ્યા છે.
$10^{10} = 10^{-9} \times N \implies N = 10^{19}$ પરમાણુઓ.
એક પરમાણુનું દળ $m_a = 10^{-25} \ kg$ છે.
કુલ દળ $M = N \times m_a = 10^{19} \times 10^{-25} \ kg = 10^{-6} \ kg$.
મિલીગ્રામ $(mg)$ માં રૂપાંતર કરતા: $10^{-6} \ kg = 10^{-3} \ g = 1 \ mg$.
સરેરાશ આયુષ્ય $\tau = 10^9 \ s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tau = \frac{1}{\lambda}$,તેથી ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{1}{\tau} = 10^{-9} \ s^{-1}$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,$A = \lambda N$,જ્યાં $N$ એ પરમાણુઓની સંખ્યા છે.
$10^{10} = 10^{-9} \times N \implies N = 10^{19}$ પરમાણુઓ.
એક પરમાણુનું દળ $m_a = 10^{-25} \ kg$ છે.
કુલ દળ $M = N \times m_a = 10^{19} \times 10^{-25} \ kg = 10^{-6} \ kg$.
મિલીગ્રામ $(mg)$ માં રૂપાંતર કરતા: $10^{-6} \ kg = 10^{-3} \ g = 1 \ mg$.
0 likes
View Solution457
AdvancedMCQ
જો તમામ સ્વતંત્ર રાશિઓમાં માપન ક્ષતિઓ જાણીતી હોય,તો કોઈપણ આશ્રિત રાશિમાં ક્ષતિ નક્કી કરવી શક્ય છે. આ શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને અને ક્ષતિના પ્રથમ ઘાત પર વિસ્તરણને કાપીને કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,સંબંધ $z = x / y$ ધ્યાનમાં લો. જો $x, y$ અને $z$ માં ક્ષતિઓ અનુક્રમે $\Delta x, \Delta y$ અને $\Delta z$ હોય,તો $z \pm \Delta z = \frac{x \pm \Delta x}{y \pm \Delta y} = \frac{x}{y}(1 \pm \frac{\Delta x}{x})(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$. $(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$ માટે શ્રેણી વિસ્તરણ,$\Delta y / y$ માં પ્રથમ ઘાત સુધી,$1 \mp(\Delta y / y)$ છે. સ્વતંત્ર ચલોમાં સાપેક્ષ ક્ષતિઓ હંમેશા ઉમેરવામાં આવે છે. તેથી $z$ માં ક્ષતિ $\Delta z = z(\frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y})$ હશે. ઉપરોક્ત તારણ એ ધારણા કરે છે કે $\Delta x / x \ll 1, \Delta y / y \ll 1$. તેથી,આ રાશિઓની ઉચ્ચ ઘાતને અવગણવામાં આવે છે.
$(1)$ ગુણોત્તર $r = \frac{(1-a)}{(1+a)}$ ધ્યાનમાં લો જે પરિમાણરહિત રાશિ $a$ માપીને નક્કી કરવામાં આવે છે. જો $a$ ના માપનમાં ક્ષતિ $\Delta a$ $(\Delta a / a \ll 1)$ હોય,તો ક્ષતિ $\Delta r$ શું છે?
$(2)$ એક પ્રયોગમાં,રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા $3000$ છે. એવું જોવા મળ્યું છે કે પ્રથમ $1.0 \ s$ માં $1000 \pm 40$ ન્યુક્લિયસ ક્ષય પામ્યા છે. $|x| \ll 1$ માટે,$\ln(1+x) \approx x$ એ $x$ ની પ્રથમ ઘાત સુધી છે. ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ના નિર્ધારણમાં ક્ષતિ $\Delta \lambda$ ($s^{-1}$ માં) કેટલી છે?
$(1)$ ગુણોત્તર $r = \frac{(1-a)}{(1+a)}$ ધ્યાનમાં લો જે પરિમાણરહિત રાશિ $a$ માપીને નક્કી કરવામાં આવે છે. જો $a$ ના માપનમાં ક્ષતિ $\Delta a$ $(\Delta a / a \ll 1)$ હોય,તો ક્ષતિ $\Delta r$ શું છે?
$(2)$ એક પ્રયોગમાં,રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા $3000$ છે. એવું જોવા મળ્યું છે કે પ્રથમ $1.0 \ s$ માં $1000 \pm 40$ ન્યુક્લિયસ ક્ષય પામ્યા છે. $|x| \ll 1$ માટે,$\ln(1+x) \approx x$ એ $x$ ની પ્રથમ ઘાત સુધી છે. ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ના નિર્ધારણમાં ક્ષતિ $\Delta \lambda$ ($s^{-1}$ માં) કેટલી છે?
A
$B, C$
B
$B, D$
C
$B, A$
D
$B, C, D$
Solution
(C) $(1)$ આપેલ છે $r = \frac{1-a}{1+a}$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln r = \ln(1-a) - \ln(1+a)$. બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{dr}{r} = \frac{-da}{1-a} - \frac{da}{1+a}$. ક્ષતિઓ હંમેશા ઉમેરાતી હોવાથી,$\frac{\Delta r}{r} = \frac{\Delta a}{1-a} + \frac{\Delta a}{1+a} = \Delta a \frac{(1+a) + (1-a)}{(1-a)(1+a)} = \frac{2 \Delta a}{1-a^2}$. આમ,$\Delta r = r \cdot \frac{2 \Delta a}{1-a^2} = \frac{1-a}{1+a} \cdot \frac{2 \Delta a}{(1-a)(1+a)} = \frac{2 \Delta a}{(1+a)^2}$. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
$(2)$ બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = N_0 - N_{decayed} = 3000 - 1000 = 2000$. ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 e^{-\lambda t}$ છે,તેથી $\ln N = \ln N_0 - \lambda t$. વિકલન કરતા,$\frac{dN}{N} = -t \cdot d\lambda$. ક્ષતિઓ માટે મૂલ્યો ધ્યાનમાં લેતા,$\Delta \lambda = \frac{\Delta N}{N \cdot t}$. અહીં $\Delta N = 40$,$N = 2000$,અને $t = 1.0 \ s$. તેથી,$\Delta \lambda = \frac{40}{2000 \times 1} = 0.02 \ s^{-1}$. સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
$(2)$ બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = N_0 - N_{decayed} = 3000 - 1000 = 2000$. ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 e^{-\lambda t}$ છે,તેથી $\ln N = \ln N_0 - \lambda t$. વિકલન કરતા,$\frac{dN}{N} = -t \cdot d\lambda$. ક્ષતિઓ માટે મૂલ્યો ધ્યાનમાં લેતા,$\Delta \lambda = \frac{\Delta N}{N \cdot t}$. અહીં $\Delta N = 40$,$N = 2000$,અને $t = 1.0 \ s$. તેથી,$\Delta \lambda = \frac{40}{2000 \times 1} = 0.02 \ s^{-1}$. સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
0 likes
View Solution458
AdvancedMCQ
જો તમામ સ્વતંત્ર રાશિઓમાં માપન ક્ષતિઓ જાણીતી હોય,તો કોઈપણ આશ્રિત રાશિમાં ક્ષતિ નક્કી કરવી શક્ય છે. આ શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને અને ક્ષતિના પ્રથમ ઘાત પર વિસ્તરણને કાપીને કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,સંબંધ $z = x / y$ ધ્યાનમાં લો. જો $x, y$ અને $z$ માં ક્ષતિઓ અનુક્રમે $\Delta x, \Delta y$ અને $\Delta z$ હોય,તો $z \pm \Delta z = \frac{x \pm \Delta x}{y \pm \Delta y} = \frac{x}{y} (1 \pm \frac{\Delta x}{x}) (1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$. $(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$ માટે શ્રેણી વિસ્તરણ,$\Delta y / y$ માં પ્રથમ ઘાત સુધી,$1 \mp (\Delta y / y)$ છે. સ્વતંત્ર ચલોમાં સાપેક્ષ ક્ષતિઓ હંમેશા ઉમેરવામાં આવે છે. તેથી $z$ માં ક્ષતિ $\Delta z = z (\frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y})$ હશે. ઉપરોક્ત તારણ એવી ધારણા કરે છે કે $\Delta x / x \ll 1, \Delta y / y \ll 1$. તેથી,આ રાશિઓની ઉચ્ચ ઘાતને અવગણવામાં આવે છે.
$(1)$ ગુણોત્તર $r = \frac{(1 - a)}{(1 + a)}$ ધ્યાનમાં લો જે પરિમાણરહિત રાશિ $a$ માપીને નક્કી કરવામાં આવે છે. જો $a$ ના માપનમાં ક્ષતિ $\Delta a$ $(\Delta a / a \ll 1)$ હોય,તો ક્ષતિ $\Delta r$ શું છે?
$(2)$ એક પ્રયોગમાં,રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા $3000$ છે. એવું જોવા મળ્યું છે કે પ્રથમ $1.0 \ s$ માં $1000 \pm 40$ ન્યુક્લિયસ ક્ષય પામ્યા છે. $|x| < 1$ માટે,$\ln(1 + x) = x$ એ $x$ માં પ્રથમ ઘાત સુધી છે. ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ના નિર્ધારણમાં ક્ષતિ $\Delta \lambda$ ($s^{-1}$ માં) કેટલી છે?
$(1)$ ગુણોત્તર $r = \frac{(1 - a)}{(1 + a)}$ ધ્યાનમાં લો જે પરિમાણરહિત રાશિ $a$ માપીને નક્કી કરવામાં આવે છે. જો $a$ ના માપનમાં ક્ષતિ $\Delta a$ $(\Delta a / a \ll 1)$ હોય,તો ક્ષતિ $\Delta r$ શું છે?
$(2)$ એક પ્રયોગમાં,રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા $3000$ છે. એવું જોવા મળ્યું છે કે પ્રથમ $1.0 \ s$ માં $1000 \pm 40$ ન્યુક્લિયસ ક્ષય પામ્યા છે. $|x| < 1$ માટે,$\ln(1 + x) = x$ એ $x$ માં પ્રથમ ઘાત સુધી છે. ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ના નિર્ધારણમાં ક્ષતિ $\Delta \lambda$ ($s^{-1}$ માં) કેટલી છે?
A
$A, B$
B
$A, C$
C
$B, C$
D
$B, D$
Solution
(B, C) $(1)$ આપેલ છે $r = \frac{1 - a}{1 + a}$.
પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln r = \ln(1 - a) - \ln(1 + a)$.
વિકલન કરતા: $\frac{dr}{r} = \frac{-da}{1 - a} - \frac{da}{1 + a}$.
મહત્તમ ક્ષતિ માટે મૂલ્યો લેતા: $\frac{\Delta r}{r} = \frac{\Delta a}{1 - a} + \frac{\Delta a}{1 + a} = \Delta a \left( \frac{1 + a + 1 - a}{1 - a^2} \right) = \frac{2 \Delta a}{1 - a^2}$.
$r = \frac{1 - a}{1 + a}$ મૂકતા: $\Delta r = r \left( \frac{2 \Delta a}{1 - a^2} \right) = \left( \frac{1 - a}{1 + a} \right) \left( \frac{2 \Delta a}{(1 - a)(1 + a)} \right) = \frac{2 \Delta a}{(1 + a)^2}$.
$(2)$ આપેલ છે $N = N_0 e^{-\lambda t}$,જ્યાં $N_0 = 3000$.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $1000 \pm 40$ છે,તેથી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસ $N = 3000 - 1000 = 2000$. $N$ માં ક્ષતિ $\Delta N = 40$ છે.
$\ln$ લેતા: $\ln N = \ln N_0 - \lambda t$.
વિકલન કરતા: $\frac{dN}{N} = -d(\lambda t) \implies \Delta \lambda = \frac{\Delta N}{N \cdot t}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta \lambda = \frac{40}{2000 \times 1.0} = 0.02 \ s^{-1}$.
પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln r = \ln(1 - a) - \ln(1 + a)$.
વિકલન કરતા: $\frac{dr}{r} = \frac{-da}{1 - a} - \frac{da}{1 + a}$.
મહત્તમ ક્ષતિ માટે મૂલ્યો લેતા: $\frac{\Delta r}{r} = \frac{\Delta a}{1 - a} + \frac{\Delta a}{1 + a} = \Delta a \left( \frac{1 + a + 1 - a}{1 - a^2} \right) = \frac{2 \Delta a}{1 - a^2}$.
$r = \frac{1 - a}{1 + a}$ મૂકતા: $\Delta r = r \left( \frac{2 \Delta a}{1 - a^2} \right) = \left( \frac{1 - a}{1 + a} \right) \left( \frac{2 \Delta a}{(1 - a)(1 + a)} \right) = \frac{2 \Delta a}{(1 + a)^2}$.
$(2)$ આપેલ છે $N = N_0 e^{-\lambda t}$,જ્યાં $N_0 = 3000$.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $1000 \pm 40$ છે,તેથી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસ $N = 3000 - 1000 = 2000$. $N$ માં ક્ષતિ $\Delta N = 40$ છે.
$\ln$ લેતા: $\ln N = \ln N_0 - \lambda t$.
વિકલન કરતા: $\frac{dN}{N} = -d(\lambda t) \implies \Delta \lambda = \frac{\Delta N}{N \cdot t}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta \lambda = \frac{40}{2000 \times 1.0} = 0.02 \ s^{-1}$.
0 likes
View Solution459
DifficultMCQ
${ }_{92}^{238} U$ એ આલ્ફા અને બીટા કણોનું ઉત્સર્જન કરીને ${ }_{82}^{206} Pb$ બનાવવા માટે રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પામે છે. એક ખડકમાં શરૂઆતમાં $68 \times 10^{-6} \text{ g}$ ${ }_{92}^{238} U$ હતું. જો ત્રણ અર્ધ-આયુષ્યમાં ${ }_{92}^{238} U$ થી ${ }_{82}^{206} Pb$ ના રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય દરમિયાન ઉત્સર્જિત આલ્ફા કણોની સંખ્યા $Z \times 10^{18}$ હોય,તો $Z$ નું મૂલ્ય શું છે?
A
$1.10$
B
$1.15$
C
$1.19$
D
$1.20$
Solution
(D) ક્ષય પ્રક્રિયા છે: ${ }_{92}^{238} U \rightarrow { }_{82}^{206} Pb + n_{\alpha} { }_{2}^{4} He + n_{\beta} { }_{-1}^{0} e$.
દળ સંખ્યાને સરખાવતા: $238 = 206 + 4n_{\alpha} \Rightarrow 4n_{\alpha} = 32 \Rightarrow n_{\alpha} = 8$.
${ }_{92}^{238} U$ ના શરૂઆતના મોલ $= \frac{68 \times 10^{-6} \text{ g}}{238 \text{ g/mol}} \approx 2.857 \times 10^{-7} \text{ mol}$.
ત્રણ અર્ધ-આયુષ્યમાં,ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસનો અંશ $1 - (1/2)^3 = 1 - 1/8 = 7/8$ છે.
ક્ષય પામેલા ${ }_{92}^{238} U$ ના મોલ $= \frac{7}{8} \times \frac{68 \times 10^{-6}}{238} \text{ mol}$.
ઉત્સર્જિત આલ્ફા કણોની કુલ સંખ્યા $= (\text{ક્ષય પામેલા મોલ}) \times n_{\alpha} \times N_{A}$.
$= \frac{7}{8} \times \frac{68 \times 10^{-6}}{238} \times 8 \times 6.022 \times 10^{23}$.
$= 7 \times \frac{68 \times 10^{-6}}{238} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 1.2044 \times 10^{18}$.
$Z \times 10^{18}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $Z \approx 1.20$ મળે છે.
દળ સંખ્યાને સરખાવતા: $238 = 206 + 4n_{\alpha} \Rightarrow 4n_{\alpha} = 32 \Rightarrow n_{\alpha} = 8$.
${ }_{92}^{238} U$ ના શરૂઆતના મોલ $= \frac{68 \times 10^{-6} \text{ g}}{238 \text{ g/mol}} \approx 2.857 \times 10^{-7} \text{ mol}$.
ત્રણ અર્ધ-આયુષ્યમાં,ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસનો અંશ $1 - (1/2)^3 = 1 - 1/8 = 7/8$ છે.
ક્ષય પામેલા ${ }_{92}^{238} U$ ના મોલ $= \frac{7}{8} \times \frac{68 \times 10^{-6}}{238} \text{ mol}$.
ઉત્સર્જિત આલ્ફા કણોની કુલ સંખ્યા $= (\text{ક્ષય પામેલા મોલ}) \times n_{\alpha} \times N_{A}$.
$= \frac{7}{8} \times \frac{68 \times 10^{-6}}{238} \times 8 \times 6.022 \times 10^{23}$.
$= 7 \times \frac{68 \times 10^{-6}}{238} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 1.2044 \times 10^{18}$.
$Z \times 10^{18}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $Z \approx 1.20$ મળે છે.
0 likes
View Solution460
MediumMCQ
$20 \text{ minutes}$ નું અર્ધ-આયુષ્ય ધરાવતું એક ભારે ન્યુક્લિયસ $Q$,$60 \%$ સંભાવના સાથે આલ્ફા-ક્ષય અને $40 \%$ સંભાવના સાથે બીટા-ક્ષય અનુભવે છે. શરૂઆતમાં,$Q$ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $1000$ છે. પ્રથમ એક કલાકમાં $Q$ ના આલ્ફા-ક્ષયની સંખ્યા કેટલી હશે?
A
$50$
B
$75$
C
$350$
D
$525$
Solution
(D) કુલ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0 = 1000$ છે. કારણ કે $60 \%$ ન્યુક્લિયસ આલ્ફા-ક્ષય પામે છે,તેથી આલ્ફા-ક્ષય માટે ઉપલબ્ધ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા $N_{0,\alpha} = 1000 \times 0.60 = 600$ છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{20 \text{ min}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિતેલો સમય $t = 1 \text{ કલાક} = 60 \text{ મિનિટ}$ છે.
સમય $t$ પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_{0,\alpha} e^{-\lambda t}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $N(60) = 600 \times e^{-\left(\frac{\ln 2}{20}\right) \times 60} = 600 \times e^{-3 \ln 2} = 600 \times e^{\ln(2^{-3})} = 600 \times 2^{-3} = 600 \times \frac{1}{8} = 75$.
આલ્ફા-ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા એ પ્રારંભિક સંખ્યા અને બાકી રહેલી સંખ્યા વચ્ચેનો તફાવત છે: $\Delta N = N_{0,\alpha} - N(60) = 600 - 75 = 525$.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{20 \text{ min}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિતેલો સમય $t = 1 \text{ કલાક} = 60 \text{ મિનિટ}$ છે.
સમય $t$ પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_{0,\alpha} e^{-\lambda t}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $N(60) = 600 \times e^{-\left(\frac{\ln 2}{20}\right) \times 60} = 600 \times e^{-3 \ln 2} = 600 \times e^{\ln(2^{-3})} = 600 \times 2^{-3} = 600 \times \frac{1}{8} = 75$.
આલ્ફા-ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા એ પ્રારંભિક સંખ્યા અને બાકી રહેલી સંખ્યા વચ્ચેનો તફાવત છે: $\Delta N = N_{0,\alpha} - N(60) = 600 - 75 = 525$.
0 likes
View Solution461
MediumMCQ
$1386 \ s$ નું અર્ધ-આયુષ્ય ધરાવતા રેડિયોઆઈસોટોપના તાજા તૈયાર કરેલા નમૂનાની એક્ટિવિટી $10^3$ વિભંજન પ્રતિ સેકન્ડ છે. જો $\ln 2 = 0.693$ હોય,તો નમૂનાની તૈયારી પછીની પ્રથમ $80 \ s$ માં ક્ષય પામતા ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો અંશ (નજીકના પૂર્ણાંક ટકાવારીમાં) કેટલો હશે?
A
$4$
B
$5$
C
$6$
D
$7$
Solution
(A) ક્ષય અચળાંક $\lambda$ નીચે મુજબ મળે છે: $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{1386} = 5 \times 10^{-4} \ s^{-1}$.
સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષય પામતા ન્યુક્લિયસનો અંશ $\frac{N_0 - N(t)}{N_0} = 1 - e^{-\lambda t}$ છે.
$\lambda t$ ના નાના મૂલ્યો માટે,આપણે $1 - e^{-\lambda t} \approx \lambda t$ અંદાજનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અહીં,$\lambda t = (5 \times 10^{-4}) \times 80 = 400 \times 10^{-4} = 0.04$.
જેથી,ક્ષય પામતો અંશ આશરે $0.04$ છે.
તેને ટકાવારીમાં દર્શાવતા: $0.04 \times 100 = 4\%$.
સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષય પામતા ન્યુક્લિયસનો અંશ $\frac{N_0 - N(t)}{N_0} = 1 - e^{-\lambda t}$ છે.
$\lambda t$ ના નાના મૂલ્યો માટે,આપણે $1 - e^{-\lambda t} \approx \lambda t$ અંદાજનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અહીં,$\lambda t = (5 \times 10^{-4}) \times 80 = 400 \times 10^{-4} = 0.04$.
જેથી,ક્ષય પામતો અંશ આશરે $0.04$ છે.
તેને ટકાવારીમાં દર્શાવતા: $0.04 \times 100 = 4\%$.
0 likes
View Solution462
MediumMCQ
એક ન્યુક્લિયર પાવર પ્લાન્ટ જે ગામને વિદ્યુત પાવર પૂરો પાડે છે,તે બળતણ તરીકે $T$ વર્ષના અર્ધ-આયુષ્ય ધરાવતા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો ઉપયોગ કરે છે. શરૂઆતમાં બળતણનો જથ્થો એવો છે કે ગામની કુલ પાવરની જરૂરિયાત તે સમયે પ્લાન્ટમાંથી ઉપલબ્ધ વિદ્યુત પાવરના $12.5 \%$ છે. જો પ્લાન્ટ $n T$ વર્ષના મહત્તમ સમયગાળા માટે ગામની કુલ પાવરની જરૂરિયાતો પૂરી કરી શકતો હોય,તો $n$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(C) ન્યુક્લિયર પ્લાન્ટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પાવર રેડિયોએક્ટિવ બળતણની એક્ટિવિટી $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. ધારો કે શરૂઆતનો પાવર $P_0$ છે અને $t$ સમયે પાવર $P(t)$ છે.
$t$ સમયે એક્ટિવિટી $A(t) = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે કે ગામની પાવરની જરૂરિયાત $P_{req}$ એ શરૂઆતના પાવર $P_0$ ના $12.5 \%$ છે,તેથી $P_{req} = 0.125 P_0 = \frac{1}{8} P_0$.
પ્લાન્ટ ત્યાં સુધી જરૂરિયાતો પૂરી કરી શકે છે જ્યાં સુધી $P(t) \ge P_{req}$ હોય. મહત્તમ સમય $t = nT$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $P(nT) = P_{req}$ થાય.
તેથી,$P_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{nT}{T}} = \frac{1}{8} P_0$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $n = 3$ મળે છે.
$t$ સમયે એક્ટિવિટી $A(t) = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે કે ગામની પાવરની જરૂરિયાત $P_{req}$ એ શરૂઆતના પાવર $P_0$ ના $12.5 \%$ છે,તેથી $P_{req} = 0.125 P_0 = \frac{1}{8} P_0$.
પ્લાન્ટ ત્યાં સુધી જરૂરિયાતો પૂરી કરી શકે છે જ્યાં સુધી $P(t) \ge P_{req}$ હોય. મહત્તમ સમય $t = nT$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $P(nT) = P_{req}$ થાય.
તેથી,$P_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{nT}{T}} = \frac{1}{8} P_0$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $n = 3$ મળે છે.
0 likes
View Solution463
AdvancedMCQ
રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ માટે,તેની એક્ટિવિટી $A$ અને તેની એક્ટિવિટીમાં થતો ફેરફારનો દર $R$ એ $A = -\frac{dN}{dt}$ અને $R = -\frac{dA}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $N(t)$ એ સમય $t$ પર ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે. બે રેડિયોએક્ટિવ સ્ત્રોત $P$ (સરેરાશ આયુષ્ય $\tau$) અને $Q$ (સરેરાશ આયુષ્ય $2\tau$) ની $t = 0$ સમયે એક્ટિવિટી સમાન છે. $t = 2\tau$ સમયે તેમની એક્ટિવિટીમાં થતા ફેરફારના દર અનુક્રમે $R_P$ અને $R_Q$ છે. જો $\frac{R_P}{R_Q} = \frac{n}{e}$ હોય,તો $n$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) રેડિયોએક્ટિવ સ્ત્રોતની એક્ટિવિટી $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda = \frac{1}{\tau}$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
સ્ત્રોત $P$ માટે,$\lambda_P = \frac{1}{\tau}$. સ્ત્રોત $Q$ માટે,$\lambda_Q = \frac{1}{2\tau}$.
એક્ટિવિટીમાં ફેરફારનો દર $R = -\frac{dA}{dt} = -\frac{d}{dt}(A_0 e^{-\lambda t}) = A_0 \lambda e^{-\lambda t}$ છે.
આપેલ છે કે $t = 0$ સમયે બંને માટે $A_0$ સમાન છે,તેથી $R_P(t) = A_0 \lambda_P e^{-\lambda_P t}$ અને $R_Q(t) = A_0 \lambda_Q e^{-\lambda_Q t}$ મળે.
$t = 2\tau$ સમયે:
$R_P = A_0 (\frac{1}{\tau}) e^{-(\frac{1}{\tau})(2\tau)} = \frac{A_0}{\tau} e^{-2}$.
$R_Q = A_0 (\frac{1}{2\tau}) e^{-(\frac{1}{2\tau})(2\tau)} = \frac{A_0}{2\tau} e^{-1}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{R_P}{R_Q} = \frac{\frac{A_0}{\tau} e^{-2}}{\frac{A_0}{2\tau} e^{-1}} = 2 \cdot \frac{e^{-2}}{e^{-1}} = 2 e^{-1} = \frac{2}{e}$.
આને $\frac{n}{e}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 2$ મળે છે.
સ્ત્રોત $P$ માટે,$\lambda_P = \frac{1}{\tau}$. સ્ત્રોત $Q$ માટે,$\lambda_Q = \frac{1}{2\tau}$.
એક્ટિવિટીમાં ફેરફારનો દર $R = -\frac{dA}{dt} = -\frac{d}{dt}(A_0 e^{-\lambda t}) = A_0 \lambda e^{-\lambda t}$ છે.
આપેલ છે કે $t = 0$ સમયે બંને માટે $A_0$ સમાન છે,તેથી $R_P(t) = A_0 \lambda_P e^{-\lambda_P t}$ અને $R_Q(t) = A_0 \lambda_Q e^{-\lambda_Q t}$ મળે.
$t = 2\tau$ સમયે:
$R_P = A_0 (\frac{1}{\tau}) e^{-(\frac{1}{\tau})(2\tau)} = \frac{A_0}{\tau} e^{-2}$.
$R_Q = A_0 (\frac{1}{2\tau}) e^{-(\frac{1}{2\tau})(2\tau)} = \frac{A_0}{2\tau} e^{-1}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{R_P}{R_Q} = \frac{\frac{A_0}{\tau} e^{-2}}{\frac{A_0}{2\tau} e^{-1}} = 2 \cdot \frac{e^{-2}}{e^{-1}} = 2 e^{-1} = \frac{2}{e}$.
આને $\frac{n}{e}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 2$ મળે છે.
0 likes
View Solution464
AdvancedMCQ
એક નમૂનામાં શરૂઆતમાં માત્ર યુરેનિયમનો $U-238$ આઈસોટોપ છે. સમય જતાં,$U-238$ નો કેટલોક ભાગ રેડિયોએક્ટિવ રીતે $Pb-206$ માં ક્ષય પામે છે જ્યારે બાકીનો ભાગ અવિભંજિત રહે છે. જ્યારે નમૂનાની ઉંમર $P \times 10^8$ વર્ષ હોય,ત્યારે નમૂનામાં $Pb-206$ ના દળનો $U-238$ ના દળ સાથેનો ગુણોત્તર $7$ જોવા મળે છે. $P$ નું મૂલ્ય શોધો. [આપેલ છે: $U-238$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $4.5 \times 10^9$ વર્ષ છે; $\log_e 2 = 0.693$]
A
$143$
B
$145$
C
$150$
D
$155$
Solution
(A) ધારો કે $U-238$ ની શરૂઆતની સંખ્યા $N_0$ છે. $t$ સમયે,બાકી રહેલા $U-238$ પરમાણુઓની સંખ્યા $N_t$ છે અને બનેલા $Pb-206$ પરમાણુઓની સંખ્યા $N_{Pb}$ છે.
$1$ પરમાણુ $U-238$ માંથી $1$ પરમાણુ $Pb-206$ બને છે,તેથી $N_0 = N_t + N_{Pb}$.
દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_{Pb}}{m_U} = 7$ આપેલ છે. $m = \frac{N \times M}{N_A}$ હોવાથી,$\frac{N_{Pb} \times 206}{N_t \times 238} = 7$.
તેથી,$N_{Pb} = 7 \times N_t \times \frac{238}{206} = N_t \times \frac{1666}{206} \approx 8.087 N_t$.
માટે $N_0 = N_t + 8.087 N_t = 9.087 N_t$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ: $N_t = N_0 e^{-\lambda t}$,તેથી $\frac{N_0}{N_t} = e^{\lambda t}$.
$\lambda t = \ln(9.087) \approx 2.2068$.
$T_{1/2} = 4.5 \times 10^9$ વર્ષ આપેલ છે,તેથી $\lambda = \frac{\ln 2}{4.5 \times 10^9} \approx \frac{0.693}{4.5 \times 10^9}$.
$t = \frac{2.2068 \times 4.5 \times 10^9}{0.693} \approx 14.33 \times 10^9 = 143.3 \times 10^8$ વર્ષ.
આમ,$P \approx 143$.
$1$ પરમાણુ $U-238$ માંથી $1$ પરમાણુ $Pb-206$ બને છે,તેથી $N_0 = N_t + N_{Pb}$.
દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_{Pb}}{m_U} = 7$ આપેલ છે. $m = \frac{N \times M}{N_A}$ હોવાથી,$\frac{N_{Pb} \times 206}{N_t \times 238} = 7$.
તેથી,$N_{Pb} = 7 \times N_t \times \frac{238}{206} = N_t \times \frac{1666}{206} \approx 8.087 N_t$.
માટે $N_0 = N_t + 8.087 N_t = 9.087 N_t$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ: $N_t = N_0 e^{-\lambda t}$,તેથી $\frac{N_0}{N_t} = e^{\lambda t}$.
$\lambda t = \ln(9.087) \approx 2.2068$.
$T_{1/2} = 4.5 \times 10^9$ વર્ષ આપેલ છે,તેથી $\lambda = \frac{\ln 2}{4.5 \times 10^9} \approx \frac{0.693}{4.5 \times 10^9}$.
$t = \frac{2.2068 \times 4.5 \times 10^9}{0.693} \approx 14.33 \times 10^9 = 143.3 \times 10^8$ વર્ષ.
આમ,$P \approx 143$.
0 likes
View Solution465
DifficultMCQ
એક રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસ $n_2$ નો ક્ષય અચળાંક બીજા રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસ $n_1$ ના ક્ષય અચળાંક કરતા $3$ ગણો છે. જો બંને ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા સમાન હોય,તો $n_1$ ના એક અર્ધ-આયુષ્ય સમય પછી $n_2$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા અને $n_1$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો ગુણોત્તર કેટલો થશે?
A
$1/4$
B
$1/8$
C
$4$
D
$8$
Solution
(A) ધારો કે $n_1$ નો ક્ષય અચળાંક $\lambda_1 = \lambda$ છે. તો $n_2$ નો ક્ષય અચળાંક $\lambda_2 = 3\lambda$ થશે.
સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n_1$ માટે: $N_1(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
$n_2$ માટે: $N_2(t) = N_0 e^{-3\lambda t}$.
સમય $t$ એ $n_1$ નું એક અર્ધ-આયુષ્ય છે,તેથી $t = T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$.
આ કિંમત સમીકરણોમાં મૂકતા:
$N_1(t) = N_0 e^{-\lambda (\frac{\ln 2}{\lambda})} = N_0 e^{-\ln 2} = N_0 / 2$.
$N_2(t) = N_0 e^{-3\lambda (\frac{\ln 2}{\lambda})} = N_0 e^{-3 \ln 2} = N_0 (e^{\ln 2})^{-3} = N_0 (2)^{-3} = N_0 / 8$.
ગુણોત્તર $\frac{N_2(t)}{N_1(t)} = \frac{N_0 / 8}{N_0 / 2} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n_1$ માટે: $N_1(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
$n_2$ માટે: $N_2(t) = N_0 e^{-3\lambda t}$.
સમય $t$ એ $n_1$ નું એક અર્ધ-આયુષ્ય છે,તેથી $t = T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$.
આ કિંમત સમીકરણોમાં મૂકતા:
$N_1(t) = N_0 e^{-\lambda (\frac{\ln 2}{\lambda})} = N_0 e^{-\ln 2} = N_0 / 2$.
$N_2(t) = N_0 e^{-3\lambda (\frac{\ln 2}{\lambda})} = N_0 e^{-3 \ln 2} = N_0 (e^{\ln 2})^{-3} = N_0 (2)^{-3} = N_0 / 8$.
ગુણોત્તર $\frac{N_2(t)}{N_1(t)} = \frac{N_0 / 8}{N_0 / 2} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
0 likes
View Solution466
MediumMCQ
એક રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થમાં,સમય $t_{1}$ પર એક્ટિવિટી $R_{1}$ છે અને પછીના સમય $t_{2}$ પર,તે $R_{2}$ છે. જો પદાર્થનો ક્ષય અચળાંક $\lambda$ હોય,તો:
A
$R_{1}=R_{2} e^{-\lambda\left(t_{1}-t_{2}\right)}$
B
$R_{1}=R_{2} e^{\lambda\left(t_{1}-t_{2}\right)}$
C
$R_{1}=R_{2}\left(t_{2} / t_{1}\right)$
D
$R_{1}=R_{2}$
Solution
(A) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $R$ એ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R = R_{0} e^{-\lambda t}$,જ્યાં $R_{0}$ એ $t=0$ સમયે પ્રારંભિક એક્ટિવિટી છે.
સમય $t_{1}$ પર,એક્ટિવિટી $R_{1} = R_{0} e^{-\lambda t_{1}}$ છે.
સમય $t_{2}$ પર,એક્ટિવિટી $R_{2} = R_{0} e^{-\lambda t_{2}}$ છે.
$R_{1}$ ના સમીકરણને $R_{2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{R_{0} e^{-\lambda t_{1}}}{R_{0} e^{-\lambda t_{2}}} = e^{-\lambda t_{1} - (-\lambda t_{2})} = e^{-\lambda(t_{1}-t_{2})}$.
તેથી,$R_{1} = R_{2} e^{-\lambda(t_{1}-t_{2})}$.
સમય $t_{1}$ પર,એક્ટિવિટી $R_{1} = R_{0} e^{-\lambda t_{1}}$ છે.
સમય $t_{2}$ પર,એક્ટિવિટી $R_{2} = R_{0} e^{-\lambda t_{2}}$ છે.
$R_{1}$ ના સમીકરણને $R_{2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{R_{0} e^{-\lambda t_{1}}}{R_{0} e^{-\lambda t_{2}}} = e^{-\lambda t_{1} - (-\lambda t_{2})} = e^{-\lambda(t_{1}-t_{2})}$.
તેથી,$R_{1} = R_{2} e^{-\lambda(t_{1}-t_{2})}$.
0 likes
View Solution467
MediumMCQ
બે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થો $A$ અને $B$ ના ક્ષય અચળાંક અનુક્રમે $7 \lambda$ અને $\lambda$ છે,શરૂઆતમાં બંનેમાં ન્યુક્લિયસની સંખ્યા સમાન છે. પદાર્થ $B$ અને $A$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $e$ થાય તે માટે લાગતો સમય કેટલો હશે?
A
$\frac{1}{\lambda}$
B
$\frac{1}{6 \lambda}$
C
$\frac{1}{7 \lambda}$
D
$\frac{1}{8 \lambda}$
Solution
(B) ધારો કે $A$ અને $B$ બંને પદાર્થો માટે શરૂઆતના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે.
સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ $A$ માટે: $N_A(t) = N_0 e^{-(7 \lambda) t}$.
પદાર્થ $B$ માટે: $N_B(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
આપણને આપેલ છે કે ગુણોત્તર $\frac{N_B(t)}{N_A(t)} = e$ છે.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{N_0 e^{-\lambda t}}{N_0 e^{-7 \lambda t}} = e$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $e^{-\lambda t + 7 \lambda t} = e^1$.
$e^{6 \lambda t} = e^1$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $6 \lambda t = 1$.
તેથી,$t = \frac{1}{6 \lambda}$.
સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ $A$ માટે: $N_A(t) = N_0 e^{-(7 \lambda) t}$.
પદાર્થ $B$ માટે: $N_B(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
આપણને આપેલ છે કે ગુણોત્તર $\frac{N_B(t)}{N_A(t)} = e$ છે.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{N_0 e^{-\lambda t}}{N_0 e^{-7 \lambda t}} = e$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $e^{-\lambda t + 7 \lambda t} = e^1$.
$e^{6 \lambda t} = e^1$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $6 \lambda t = 1$.
તેથી,$t = \frac{1}{6 \lambda}$.
0 likes
View Solution468
MediumMCQ
એક રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી સમય $t=0$ પર $N_0$ કાઉન્ટ્સ પ્રતિ મિનિટ અને સમય $t=3$ મિનિટ પર $\frac{N_0}{e}$ કાઉન્ટ્સ પ્રતિ મિનિટ માપવામાં આવે છે. એક્ટિવિટી તેના અડધા મૂલ્ય સુધી ઘટવા માટે લાગતો સમય (મિનિટમાં) કેટલો હશે?
A
$3 \log_e 2$
B
$\frac{3}{\log_e 2}$
C
$3 \ln 2$
D
$\frac{1}{3} \ln 2$
Solution
(C) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ ના નિયમનું પાલન કરે છે.
આપેલ છે કે $A(0) = N_0$ અને $A(3) = \frac{N_0}{e}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{N_0}{e} = N_0 e^{-\lambda (3)}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $e^{-1} = e^{-3\lambda}$,તેથી $3\lambda = 1$,જે ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{1}{3} \text{ min}^{-1}$ આપે છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ એ સૂત્ર $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda = \frac{1}{3}$ મૂકતા,આપણને $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{1/3} = 3 \ln 2$ મિનિટ મળે છે.
આપેલ છે કે $A(0) = N_0$ અને $A(3) = \frac{N_0}{e}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{N_0}{e} = N_0 e^{-\lambda (3)}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $e^{-1} = e^{-3\lambda}$,તેથી $3\lambda = 1$,જે ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{1}{3} \text{ min}^{-1}$ આપે છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ એ સૂત્ર $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda = \frac{1}{3}$ મૂકતા,આપણને $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{1/3} = 3 \ln 2$ મિનિટ મળે છે.
0 likes
View Solution469
MediumMCQ
એક રેડિયોએક્ટિવ તત્વનો વિભંજન દર કોઈ ચોક્કસ સમયે $9000$ વિભંજન પ્રતિ મિનિટ છે. $2$ મિનિટ પછી તે $3000$ વિભંજન પ્રતિ મિનિટ થાય છે. તો પ્રતિ મિનિટ ક્ષય અચળાંક કેટલો હશે?
A
$0.5 \log _e 3$
B
$0.2 \log _e 3$
C
$0.5 \log _e 2$
D
$0.2 \log _e 2$
Solution
(A) કોઈપણ સમયે $t$ પર વિભંજન દર $R$ એ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R = R_0 e^{-\lambda t}$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક દર $R_0 = 9000 \text{ વિભંજન/મિનિટ}$.
$t = 2 \text{ મિનિટ}$ પછીનો દર $R = 3000 \text{ વિભંજન/મિનિટ}$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$3000 = 9000 e^{-\lambda \times 2}$
બંને બાજુ $9000$ વડે ભાગતા:
$\frac{3000}{9000} = e^{-2\lambda}$
$\frac{1}{3} = e^{-2\lambda}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક $(\log_e)$ લેતા:
$\log_e(\frac{1}{3}) = -2\lambda$
$-\log_e 3 = -2\lambda$
$\lambda = \frac{\log_e 3}{2} = 0.5 \log_e 3$.
આમ, ક્ષય અચળાંક $0.5 \log_e 3 \text{ min}^{-1}$ છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક દર $R_0 = 9000 \text{ વિભંજન/મિનિટ}$.
$t = 2 \text{ મિનિટ}$ પછીનો દર $R = 3000 \text{ વિભંજન/મિનિટ}$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$3000 = 9000 e^{-\lambda \times 2}$
બંને બાજુ $9000$ વડે ભાગતા:
$\frac{3000}{9000} = e^{-2\lambda}$
$\frac{1}{3} = e^{-2\lambda}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક $(\log_e)$ લેતા:
$\log_e(\frac{1}{3}) = -2\lambda$
$-\log_e 3 = -2\lambda$
$\lambda = \frac{\log_e 3}{2} = 0.5 \log_e 3$.
આમ, ક્ષય અચળાંક $0.5 \log_e 3 \text{ min}^{-1}$ છે.
0 likes
View Solution470
MediumMCQ
એક રેડિયોએક્ટિવ તત્વનો વિઘટન દર એક ચોક્કસ ક્ષણે $8000$ વિઘટન પ્રતિ મિનિટ છે. $4$ મિનિટ પછી તે $2000$ વિઘટન પ્રતિ મિનિટ થાય છે. તો પ્રતિ મિનિટ ક્ષય અચળાંક કેટલો હશે ($log _e 2$ માં)?
A
$0.8$
B
$0.6$
C
$0.5$
D
$0.2$
Solution
(C) કોઈપણ સમયે $t$ પર વિઘટન દર $R$ એ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R = R_0 e^{-\lambda t}$.
આપેલ છે કે $t = 0$ સમયે $R_0 = 8000$ વિઘટન પ્રતિ મિનિટ.
$t = 4$ મિનિટ પછી,$R = 2000$ વિઘટન પ્રતિ મિનિટ.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $2000 = 8000 e^{-\lambda (4)}$.
બંને બાજુ $8000$ વડે ભાગતા: $\frac{2000}{8000} = e^{-4\lambda}$.
$\frac{1}{4} = e^{-4\lambda}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln(1/4) = -4\lambda$.
$-\ln(4) = -4\lambda$.
$\ln(2^2) = 4\lambda$.
$2 \ln(2) = 4\lambda$.
$\lambda = \frac{2 \ln(2)}{4} = 0.5 \ln(2)$ પ્રતિ મિનિટ.
તેથી,ક્ષય અચળાંક $0.5 \log _e 2$ પ્રતિ મિનિટ છે.
આપેલ છે કે $t = 0$ સમયે $R_0 = 8000$ વિઘટન પ્રતિ મિનિટ.
$t = 4$ મિનિટ પછી,$R = 2000$ વિઘટન પ્રતિ મિનિટ.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $2000 = 8000 e^{-\lambda (4)}$.
બંને બાજુ $8000$ વડે ભાગતા: $\frac{2000}{8000} = e^{-4\lambda}$.
$\frac{1}{4} = e^{-4\lambda}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln(1/4) = -4\lambda$.
$-\ln(4) = -4\lambda$.
$\ln(2^2) = 4\lambda$.
$2 \ln(2) = 4\lambda$.
$\lambda = \frac{2 \ln(2)}{4} = 0.5 \ln(2)$ પ્રતિ મિનિટ.
તેથી,ક્ષય અચળાંક $0.5 \log _e 2$ પ્રતિ મિનિટ છે.
0 likes
View Solution471
MediumMCQ
બે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થો $M_1$ અને $M_2$ ના ક્ષય અચળાંકો અનુક્રમે $9 \lambda$ અને $\lambda$ છે. શરૂઆતમાં તેમની પાસે ન્યુક્લિયસની સંખ્યા સમાન છે. કેટલા સમયના અંતરાલ પછી $M_1$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા અને $M_2$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{1}{e}$ થશે?
A
$\frac{9}{10 \lambda}$
B
$\frac{1}{10 \lambda}$
C
$\frac{1}{9 \lambda}$
D
$\frac{1}{8 \lambda}$
Solution
(D) ધારો કે $M_1$ અને $M_2$ બંને પદાર્થો માટે શરૂઆતના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે.
સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
$M_1$ માટે,સમય $t$ પર ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_1(t) = N_0 e^{-(9 \lambda) t}$ છે.
$M_2$ માટે,સમય $t$ પર ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_2(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ છે.
$M_1$ અને $M_2$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{N_1(t)}{N_2(t)} = \frac{1}{e}$ આપેલ છે.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{N_0 e^{-9 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = \frac{1}{e}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $e^{-9 \lambda t + \lambda t} = e^{-1}$ મળે છે.
$e^{-8 \lambda t} = e^{-1}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $-8 \lambda t = -1$.
તેથી,$t = \frac{1}{8 \lambda}$.
સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
$M_1$ માટે,સમય $t$ પર ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_1(t) = N_0 e^{-(9 \lambda) t}$ છે.
$M_2$ માટે,સમય $t$ પર ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_2(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ છે.
$M_1$ અને $M_2$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{N_1(t)}{N_2(t)} = \frac{1}{e}$ આપેલ છે.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{N_0 e^{-9 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = \frac{1}{e}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $e^{-9 \lambda t + \lambda t} = e^{-1}$ મળે છે.
$e^{-8 \lambda t} = e^{-1}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $-8 \lambda t = -1$.
તેથી,$t = \frac{1}{8 \lambda}$.
0 likes
View Solution472
EasyMCQ
$30 \ min$ અર્ધ-આયુષ્ય ધરાવતું એક રેડિયોએક્ટિવ તત્વ બીટા ક્ષય અનુભવે છે. $90 \ min$ પછી રેડિયોએક્ટિવ તત્વનો કેટલો અંશ અક્ષયિત રહેશે?
A
$\frac{1}{2}$
B
$\frac{1}{4}$
C
$\frac{1}{8}$
D
$\frac{1}{16}$
Solution
(C) સમય $t$ પછી બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અંશ શોધવાનું સૂત્ર છે: $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
અહીં,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 30 \ min$ અને કુલ સમય $t = 90 \ min$ છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{90}{30} = 3$.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
તેથી,રેડિયોએક્ટિવ તત્વનો અક્ષયિત રહેલો અંશ $\frac{1}{8}$ છે.
અહીં,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 30 \ min$ અને કુલ સમય $t = 90 \ min$ છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{90}{30} = 3$.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
તેથી,રેડિયોએક્ટિવ તત્વનો અક્ષયિત રહેલો અંશ $\frac{1}{8}$ છે.
0 likes
View Solution473
MediumMCQ
બે રેડિયોએક્ટિવ તત્વો $A$ અને $B$ ના અર્ધ-આયુષ્ય અનુક્રમે $30 \text{ minute}$ અને $60 \text{ minute}$ છે. શરૂઆતમાં નમૂનાઓમાં ન્યુક્લિયસની સંખ્યા સમાન છે. $120 \text{ minute}$ પછી,$B$ ના ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા અને $A$ ના ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો ગુણોત્તર કેટલો હશે?
A
$1: 15$
B
$1: 4$
C
$4: 5$
D
$5: 4$
Solution
(C) $t$ સમય પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = N_0 (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = t / T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
તત્વ $A$ માટે: $T_{1/2, A} = 30 \text{ min}$,$t = 120 \text{ min}$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n_A = 120 / 30 = 4$.
બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસ $N_A = N_0 (1/2)^4 = N_0 / 16$.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસ $N'_A = N_0 - N_A = N_0 - N_0 / 16 = (15/16) N_0$.
તત્વ $B$ માટે: $T_{1/2, B} = 60 \text{ min}$,$t = 120 \text{ min}$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n_B = 120 / 60 = 2$.
બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસ $N_B = N_0 (1/2)^2 = N_0 / 4$.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસ $N'_B = N_0 - N_B = N_0 - N_0 / 4 = (3/4) N_0 = (12/16) N_0$.
$B$ અને $A$ ના ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસનો ગુણોત્તર $N'_B / N'_A = (12/16) N_0 / (15/16) N_0 = 12 / 15 = 4 / 5$ થાય છે.
તત્વ $A$ માટે: $T_{1/2, A} = 30 \text{ min}$,$t = 120 \text{ min}$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n_A = 120 / 30 = 4$.
બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસ $N_A = N_0 (1/2)^4 = N_0 / 16$.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસ $N'_A = N_0 - N_A = N_0 - N_0 / 16 = (15/16) N_0$.
તત્વ $B$ માટે: $T_{1/2, B} = 60 \text{ min}$,$t = 120 \text{ min}$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n_B = 120 / 60 = 2$.
બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસ $N_B = N_0 (1/2)^2 = N_0 / 4$.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસ $N'_B = N_0 - N_B = N_0 - N_0 / 4 = (3/4) N_0 = (12/16) N_0$.
$B$ અને $A$ ના ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસનો ગુણોત્તર $N'_B / N'_A = (12/16) N_0 / (15/16) N_0 = 12 / 15 = 4 / 5$ થાય છે.
0 likes
View Solution474
MediumMCQ
જો '$T$' એ રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય હોય,તો તેની એક્ટિવિટીમાં થતો તત્કાલીન ફેરફારનો દર કોના પ્રમાણમાં હોય છે?
A
$T$
B
$T^{-2}$
C
$T^{+2}$
D
$T^{-1}$
Solution
(B) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની એક્ટિવિટી $R = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ હાજર ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
એક્ટિવિટીમાં થતા તત્કાલીન ફેરફારનો દર $\frac{dR}{dt} = \frac{d}{dt}(\lambda N) = \lambda \frac{dN}{dt}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{dN}{dt} = -\lambda N$,તેથી $\frac{dR}{dt} = \lambda(-\lambda N) = -\lambda^2 N$.
એક્ટિવિટીમાં થતા ફેરફારના દરનું મૂલ્ય $|\frac{dR}{dt}| = \lambda^2 N$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$,જ્યાં $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય સમય છે.
આ કિંમત મૂકતા,$|\frac{dR}{dt}| = (\frac{\ln 2}{T})^2 N = \frac{(\ln 2)^2 N}{T^2}$ મળે.
અહીં $(\ln 2)^2$ અને $N$ અચળ હોવાથી,$\frac{dR}{dt} \propto \frac{1}{T^2}$ અથવા $T^{-2}$ થાય.
એક્ટિવિટીમાં થતા તત્કાલીન ફેરફારનો દર $\frac{dR}{dt} = \frac{d}{dt}(\lambda N) = \lambda \frac{dN}{dt}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{dN}{dt} = -\lambda N$,તેથી $\frac{dR}{dt} = \lambda(-\lambda N) = -\lambda^2 N$.
એક્ટિવિટીમાં થતા ફેરફારના દરનું મૂલ્ય $|\frac{dR}{dt}| = \lambda^2 N$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$,જ્યાં $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય સમય છે.
આ કિંમત મૂકતા,$|\frac{dR}{dt}| = (\frac{\ln 2}{T})^2 N = \frac{(\ln 2)^2 N}{T^2}$ મળે.
અહીં $(\ln 2)^2$ અને $N$ અચળ હોવાથી,$\frac{dR}{dt} \propto \frac{1}{T^2}$ અથવા $T^{-2}$ થાય.
0 likes
View Solution475
EasyMCQ
એક રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $60 \text{ મિનિટ}$ છે. $3 \text{ કલાક}$ દરમિયાન,પદાર્થનો કેટલો જથ્થો ક્ષય પામશે ($\%$ માં)?
A
$8.5$
B
$12.5$
C
$25$
D
$87.5$
Solution
(D) સમય $t$ માં અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ એ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $t = 3 \text{ કલાક} = 180 \text{ મિનિટ}$ અને $T_{1/2} = 60 \text{ મિનિટ}$ આપેલ છે.
તેથી,$n = \frac{180}{60} = 3$.
બાકી રહેલા પદાર્થનો અંશ $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ છે.
ક્ષય પામેલા પદાર્થનો અંશ $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ છે.
ટકામાં રૂપાંતર કરતા: $\frac{7}{8} \times 100 \% = 87.5 \%$.
અહીં $t = 3 \text{ કલાક} = 180 \text{ મિનિટ}$ અને $T_{1/2} = 60 \text{ મિનિટ}$ આપેલ છે.
તેથી,$n = \frac{180}{60} = 3$.
બાકી રહેલા પદાર્થનો અંશ $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ છે.
ક્ષય પામેલા પદાર્થનો અંશ $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ છે.
ટકામાં રૂપાંતર કરતા: $\frac{7}{8} \times 100 \% = 87.5 \%$.
0 likes
View Solution476
MediumMCQ
બે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થો $A$ અને $B$ ના ક્ષય અચળાંક અનુક્રમે $5 \lambda$ અને $\lambda$ છે. $t=0$ સમયે,તેમની પાસે ન્યુક્લિયસની સંખ્યા સમાન છે. કેટલા સમયના અંતરાલ પછી $A$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા અને $B$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $(1/e)^2$ થશે?
A
$1/(4 \lambda)$
B
$4 \lambda$
C
$2 \lambda$
D
$1/(2 \lambda)$
Solution
(D) $t$ સમય પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ $A$ માટે,$N_A = N_0 e^{-5 \lambda t} \dots (i)$.
પદાર્થ $B$ માટે,$N_B = N_0 e^{-\lambda t} \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{N_0 e^{-5 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-5 \lambda t + \lambda t} = e^{-4 \lambda t}$.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $\frac{N_A}{N_B} = (1/e)^2 = e^{-2}$ છે.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $-4 \lambda t = -2$.
તેથી,$t = \frac{2}{4 \lambda} = \frac{1}{2 \lambda}$.
પદાર્થ $A$ માટે,$N_A = N_0 e^{-5 \lambda t} \dots (i)$.
પદાર્થ $B$ માટે,$N_B = N_0 e^{-\lambda t} \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{N_0 e^{-5 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-5 \lambda t + \lambda t} = e^{-4 \lambda t}$.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $\frac{N_A}{N_B} = (1/e)^2 = e^{-2}$ છે.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $-4 \lambda t = -2$.
તેથી,$t = \frac{2}{4 \lambda} = \frac{1}{2 \lambda}$.
0 likes
View Solution477
EasyMCQ
એક રેડિયોએક્ટિવ વિઘટનમાં,શરૂઆતના પરમાણુઓની સંખ્યા અને $t = \frac{1}{2 \lambda}$ સમયે હાજર પરમાણુઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર કેટલો થાય? $[\lambda = \text{ક્ષય અચળાંક}]$
A
$\frac{1}{e}$
B
$\sqrt{e}$
C
$e$
D
$2e$
Solution
(B) રેડિયોએક્ટિવ વિઘટનના નિયમ મુજબ,$t$ સમયે પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ નીચે મુજબ મળે છે: $N = N_0 e^{-\lambda t}$.
અહીં,$N_0$ એ શરૂઆતના પરમાણુઓની સંખ્યા છે.
આપણે $t = \frac{1}{2 \lambda}$ સમયે $\frac{N_0}{N}$ નો ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{N}{N_0} = e^{-\lambda \times \frac{1}{2 \lambda}}$
$\frac{N}{N_0} = e^{-\frac{1}{2}}$
$\frac{N_0}{N}$ શોધવા માટે વ્યસ્ત લેતા:
$\frac{N_0}{N} = e^{\frac{1}{2}}$
$\frac{N_0}{N} = \sqrt{e}$
અહીં,$N_0$ એ શરૂઆતના પરમાણુઓની સંખ્યા છે.
આપણે $t = \frac{1}{2 \lambda}$ સમયે $\frac{N_0}{N}$ નો ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{N}{N_0} = e^{-\lambda \times \frac{1}{2 \lambda}}$
$\frac{N}{N_0} = e^{-\frac{1}{2}}$
$\frac{N_0}{N}$ શોધવા માટે વ્યસ્ત લેતા:
$\frac{N_0}{N} = e^{\frac{1}{2}}$
$\frac{N_0}{N} = \sqrt{e}$
0 likes
View Solution478
MediumMCQ
$T_1$ અને $T_2$ અર્ધ-આયુષ્ય ધરાવતા બે અલગ-અલગ રેડિયોએક્ટિવ તત્વોમાં કોઈ ચોક્કસ સમયે અનુક્રમે $N_1$ અને $N_2$ અવિભંજિત પરમાણુઓ હાજર છે. તે સમયે તેમની એક્ટિવિટીનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?
A
$\frac{N_1 T_1}{N_2 T_2}$
B
$\frac{N_2 T_2}{N_1 T_1}$
C
$\frac{N_1 T_2}{N_2 T_1}$
D
$\frac{N_1 N_2}{T_1 T_2}$
Solution
(C) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A$ એ સૂત્ર $A = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ અવિભંજિત પરમાણુઓની સંખ્યા છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ છે.
બે રેડિયોએક્ટિવ તત્વો માટે,તેમની એક્ટિવિટી નીચે મુજબ છે:
$A_1 = \lambda_1 N_1 = \frac{\ln 2}{T_1} N_1$
$A_2 = \lambda_2 N_2 = \frac{\ln 2}{T_2} N_2$
તેમની એક્ટિવિટીનો ગુણોત્તર:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{(\frac{\ln 2}{T_1}) N_1}{(\frac{\ln 2}{T_2}) N_2}$
પદને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{N_1}{T_1} \times \frac{T_2}{N_2} = \frac{N_1 T_2}{N_2 T_1}$
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ છે.
બે રેડિયોએક્ટિવ તત્વો માટે,તેમની એક્ટિવિટી નીચે મુજબ છે:
$A_1 = \lambda_1 N_1 = \frac{\ln 2}{T_1} N_1$
$A_2 = \lambda_2 N_2 = \frac{\ln 2}{T_2} N_2$
તેમની એક્ટિવિટીનો ગુણોત્તર:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{(\frac{\ln 2}{T_1}) N_1}{(\frac{\ln 2}{T_2}) N_2}$
પદને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{N_1}{T_1} \times \frac{T_2}{N_2} = \frac{N_1 T_2}{N_2 T_1}$
0 likes
View Solution479
MediumMCQ
એક રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $5$ વર્ષ છે. $10$ વર્ષમાં ક્ષય પામેલા અંશની ટકાવારી કેટલી હશે ($\%$ માં)?
A
$25$
B
$50$
C
$75$
D
$100$
Solution
(C) આપેલ છે:
કુલ સમય,$T = 10$ વર્ષ
અર્ધ-આયુષ્ય,$T_{1/2} = 5$ વર્ષ
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા,$n = \frac{T}{T_{1/2}} = \frac{10}{5} = 2$
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,બાકી રહેતો અંશ $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ દ્વારા મળે છે.
$n$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$
આનો અર્થ એ છે કે $10$ વર્ષ પછી મૂળ પદાર્થનો $\frac{1}{4}$ ભાગ બાકી રહેશે.
ક્ષય પામેલો અંશ $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
આને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ: $\frac{3}{4} \times 100 = 75 \%$
તેથી,$10$ વર્ષમાં નમૂનાનો $75 \%$ ભાગ ક્ષય પામશે.
કુલ સમય,$T = 10$ વર્ષ
અર્ધ-આયુષ્ય,$T_{1/2} = 5$ વર્ષ
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા,$n = \frac{T}{T_{1/2}} = \frac{10}{5} = 2$
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,બાકી રહેતો અંશ $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ દ્વારા મળે છે.
$n$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$
આનો અર્થ એ છે કે $10$ વર્ષ પછી મૂળ પદાર્થનો $\frac{1}{4}$ ભાગ બાકી રહેશે.
ક્ષય પામેલો અંશ $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
આને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ: $\frac{3}{4} \times 100 = 75 \%$
તેથી,$10$ વર્ષમાં નમૂનાનો $75 \%$ ભાગ ક્ષય પામશે.
0 likes
View Solution480
MediumMCQ
એક રેડિયોએક્ટિવ તત્વનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $1600$ વર્ષ છે. $6400$ વર્ષ પછી નમૂનાનો કેટલો ભાગ અવિભંજિત રહેશે?
A
$\frac{1}{16}$
B
$\frac{1}{4}$
C
$\frac{1}{8}$
D
$\frac{1}{24}$
Solution
(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,અવિભંજિત રહેલા નમૂનાનો ભાગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$
અહીં,કુલ સમય $t = 6400$ વર્ષ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T = 1600$ વર્ષ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{6400}{1600}}$
$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$
$\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$
આમ,$6400$ વર્ષ પછી નમૂનાનો $\frac{1}{16}$ ભાગ અવિભંજિત રહેશે.
અહીં,કુલ સમય $t = 6400$ વર્ષ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T = 1600$ વર્ષ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{6400}{1600}}$
$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$
$\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$
આમ,$6400$ વર્ષ પછી નમૂનાનો $\frac{1}{16}$ ભાગ અવિભંજિત રહેશે.
0 likes
View Solution481
MediumMCQ
એક પદાર્થ માટે,તેના સરેરાશ આયુષ્ય દરમિયાન તેના પ્રારંભિક જથ્થા $(N_0)$ નો કેટલો અંશ વિઘટન પામશે? $(e = 2.71)$
A
$(1/3) N_0$
B
$(1/2) N_0$
C
$(2/3) N_0$
D
$(0.9) N_0$
Solution
(C) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ માટે,$t$ સમયે બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરેરાશ આયુષ્ય $\tau = 1/\lambda$ આપેલ છે,તેથી $t = \tau$ સમયે,$t = 1/\lambda$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $N = N_0 e^{-\lambda \times (1/\lambda)} = N_0 e^{-1} = N_0 / e$.
$e = 2.71$ આપેલ હોવાથી,બાકી રહેલો જથ્થો $N = N_0 / 2.71 \approx 0.37 N_0$ છે.
વિઘટન પામેલો જથ્થો એ પ્રારંભિક જથ્થામાંથી બાકી રહેલો જથ્થો બાદ કરવાથી મળે છે.
વિઘટન પામેલો જથ્થો $= N_0 - 0.37 N_0 = 0.63 N_0$.
આમ,વિઘટન પામેલો અંશ આશરે $0.63 N_0$ છે,જે $(2/3) N_0$ ની સૌથી નજીક છે.
સરેરાશ આયુષ્ય $\tau = 1/\lambda$ આપેલ છે,તેથી $t = \tau$ સમયે,$t = 1/\lambda$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $N = N_0 e^{-\lambda \times (1/\lambda)} = N_0 e^{-1} = N_0 / e$.
$e = 2.71$ આપેલ હોવાથી,બાકી રહેલો જથ્થો $N = N_0 / 2.71 \approx 0.37 N_0$ છે.
વિઘટન પામેલો જથ્થો એ પ્રારંભિક જથ્થામાંથી બાકી રહેલો જથ્થો બાદ કરવાથી મળે છે.
વિઘટન પામેલો જથ્થો $= N_0 - 0.37 N_0 = 0.63 N_0$.
આમ,વિઘટન પામેલો અંશ આશરે $0.63 N_0$ છે,જે $(2/3) N_0$ ની સૌથી નજીક છે.
0 likes
View Solution482
EasyMCQ
એક રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $25 \ min$ છે. આ પદાર્થના $50 \%$ ક્ષય અને $87.5 \%$ ક્ષય વચ્ચેનો સમયગાળો કેટલો હશે ($min$ માં)?
A
$75$
B
$25$
C
$37.5$
D
$50$
Solution
(D) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ $25 \ min$ આપેલું છે.
$50 \%$ ક્ષય માટે,પદાર્થે એક અર્ધ-આયુષ્ય પૂર્ણ કર્યું હોય,તેથી $t_1 = 1 \times T_{1/2} = 25 \ min$.
$87.5 \%$ ક્ષય માટે,બાકી રહેલો જથ્થો $100 \% - 87.5 \% = 12.5 \%$ છે.
કારણ કે $12.5 \% = (1/2)^3$ જેટલો પ્રારંભિક જથ્થો છે,આ $3$ અર્ધ-આયુષ્ય દર્શાવે છે,તેથી $t_2 = 3 \times T_{1/2} = 3 \times 25 \ min = 75 \ min$.
$50 \%$ ક્ષય અને $87.5 \%$ ક્ષય વચ્ચેનો સમયગાળો $\Delta t = t_2 - t_1 = 75 \ min - 25 \ min = 50 \ min$ થશે.
$50 \%$ ક્ષય માટે,પદાર્થે એક અર્ધ-આયુષ્ય પૂર્ણ કર્યું હોય,તેથી $t_1 = 1 \times T_{1/2} = 25 \ min$.
$87.5 \%$ ક્ષય માટે,બાકી રહેલો જથ્થો $100 \% - 87.5 \% = 12.5 \%$ છે.
કારણ કે $12.5 \% = (1/2)^3$ જેટલો પ્રારંભિક જથ્થો છે,આ $3$ અર્ધ-આયુષ્ય દર્શાવે છે,તેથી $t_2 = 3 \times T_{1/2} = 3 \times 25 \ min = 75 \ min$.
$50 \%$ ક્ષય અને $87.5 \%$ ક્ષય વચ્ચેનો સમયગાળો $\Delta t = t_2 - t_1 = 75 \ min - 25 \ min = 50 \ min$ થશે.
0 likes
View Solution483
EasyMCQ
એક રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $3 \ days$ માં તેના મૂળ મૂલ્યના $\left(\frac{1}{3}\right)$ જેટલી ઘટે છે. તો $9 \ days$ માં તેની એક્ટિવિટી ઘટીને કેટલી થશે?
A
મૂળ મૂલ્યના $\left(\frac{1}{18}\right)$
B
મૂળ મૂલ્યના $\left(\frac{1}{9}\right)$
C
મૂળ મૂલ્યના $\left(\frac{1}{27}\right)$
D
મૂળ મૂલ્યના $\left(\frac{1}{3}\right)$
Solution
(C) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની $t$ સમયે એક્ટિવિટી $A = A_0 e^{-\lambda t}$ અથવા $A = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે કે $t_1 = 3 \ days$ માં,એક્ટિવિટી $A_1 = \frac{A_0}{3}$ થાય છે.
સંબંધ $A = A_0 \left(\frac{1}{k}\right)^{t/\tau}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\tau$ એ મૂળ મૂલ્યના $\frac{1}{k}$ થવા માટેનો સમય છે:
$\frac{A_0}{3} = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^{3/3} \implies \frac{1}{3} = \left(\frac{1}{3}\right)^1$.
આ સાબિત કરે છે કે દર $3 \ days$ માં એક્ટિવિટી $\frac{1}{3}$ ના ગુણાંકમાં ઘટે છે.
$t_2 = 9 \ days$ માટે,આવા અંતરાલોની સંખ્યા $n = \frac{9}{3} = 3$ છે.
તેથી,$9 \ days$ પછીની એક્ટિવિટી $A_2 = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^n = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{A_0}{27}$ થશે.
આપેલ છે કે $t_1 = 3 \ days$ માં,એક્ટિવિટી $A_1 = \frac{A_0}{3}$ થાય છે.
સંબંધ $A = A_0 \left(\frac{1}{k}\right)^{t/\tau}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\tau$ એ મૂળ મૂલ્યના $\frac{1}{k}$ થવા માટેનો સમય છે:
$\frac{A_0}{3} = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^{3/3} \implies \frac{1}{3} = \left(\frac{1}{3}\right)^1$.
આ સાબિત કરે છે કે દર $3 \ days$ માં એક્ટિવિટી $\frac{1}{3}$ ના ગુણાંકમાં ઘટે છે.
$t_2 = 9 \ days$ માટે,આવા અંતરાલોની સંખ્યા $n = \frac{9}{3} = 3$ છે.
તેથી,$9 \ days$ પછીની એક્ટિવિટી $A_2 = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^n = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{A_0}{27}$ થશે.
0 likes
View Solution484
MediumMCQ
રેડિયોએક્ટિવ તત્વના એક નમૂનામાં $8 \times 10^{16}$ સક્રિય ન્યુક્લિયસ છે. આ તત્વનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $15 \text{ દિવસ}$ છે. $60 \text{ દિવસ}$ પછી ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા કેટલી હશે?
A
$7.5 \times 10^{16}$
B
$2.0 \times 10^{16}$
C
$0.5 \times 10^{16}$
D
$4.0 \times 10^{16}$
Solution
(A) આપેલ છે: ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા $N_0 = 8 \times 10^{16}$,અર્ધ-આયુષ્ય $T = 15 \text{ દિવસ}$,અને કુલ સમય $t = 60 \text{ દિવસ}$.
સૌ પ્રથમ,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ ગણો:
$n = \frac{t}{T} = \frac{60}{15} = 4$.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ નીચે મુજબ છે:
$N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n = 8 \times 10^{16} \times \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 8 \times 10^{16} \times \frac{1}{16} = 0.5 \times 10^{16}$.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા એ પ્રારંભિક અને બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસ} = N_0 - N = 8 \times 10^{16} - 0.5 \times 10^{16} = 7.5 \times 10^{16}$.
સૌ પ્રથમ,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ ગણો:
$n = \frac{t}{T} = \frac{60}{15} = 4$.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ નીચે મુજબ છે:
$N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n = 8 \times 10^{16} \times \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 8 \times 10^{16} \times \frac{1}{16} = 0.5 \times 10^{16}$.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા એ પ્રારંભિક અને બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસ} = N_0 - N = 8 \times 10^{16} - 0.5 \times 10^{16} = 7.5 \times 10^{16}$.
0 likes
View Solution485
MediumMCQ
બે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થો $X_1$ અને $X_2$ ના ક્ષય અચળાંક અનુક્રમે $5 \lambda$ અને $\lambda$ છે. શરૂઆતમાં,તેમની પાસે ન્યુક્લિયસની સંખ્યા સમાન છે. $t$ સમય પછી,$X_1$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા અને $X_2$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{1}{e}$ છે. તો $t$ બરાબર કેટલા થાય?
A
$\frac{\lambda}{2}$
B
$\frac{e}{\lambda}$
C
$\lambda$
D
$\frac{1}{4 \lambda}$
Solution
(D) ધારો કે બંને પદાર્થો માટે શરૂઆતના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે.
$t$ સમય પછી,$X_1$ માટે બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_1 = N_0 e^{-5 \lambda t}$ છે.
$t$ સમય પછી,$X_2$ માટે બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_2 = N_0 e^{-\lambda t}$ છે.
ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{N_1}{N_2} = \frac{N_0 e^{-5 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-5 \lambda t + \lambda t} = e^{-4 \lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{N_1}{N_2} = \frac{1}{e} = e^{-1}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $-4 \lambda t = -1$.
તેથી,$t = \frac{1}{4 \lambda}$.
$t$ સમય પછી,$X_1$ માટે બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_1 = N_0 e^{-5 \lambda t}$ છે.
$t$ સમય પછી,$X_2$ માટે બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_2 = N_0 e^{-\lambda t}$ છે.
ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{N_1}{N_2} = \frac{N_0 e^{-5 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-5 \lambda t + \lambda t} = e^{-4 \lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{N_1}{N_2} = \frac{1}{e} = e^{-1}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $-4 \lambda t = -1$.
તેથી,$t = \frac{1}{4 \lambda}$.
0 likes
View Solution486
EasyMCQ
એક રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $30 \text{ મિનિટ}$ છે. તે જ રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થના $40 \%$ ક્ષય અને $85 \%$ ક્ષય વચ્ચે લાગતો સમય કેટલો હશે ($\text{ મિનિટ}$ માં)?
A
$15$
B
$90$
C
$60$
D
$30$
Solution
(C) ધારો કે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો પ્રારંભિક જથ્થો $N_i = 100 \%$ છે।
$40 \%$ ક્ષય સમયે, બાકી રહેલો જથ્થો $N_1 = 100 \% - 40 \% = 60 \%$ છે।
$85 \%$ ક્ષય સમયે, બાકી રહેલો જથ્થો $N_2 = 100 \% - 85 \% = 15 \%$ છે।
આપણે જાણીએ છીએ કે $t$ સમય પછી બાકી રહેલો જથ્થો $N(t) = N_i \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે, જ્યાં $T_{1/2} = 30 \text{ મિનિટ}$ છે।
$N_1$ અને $N_2$ વચ્ચેના અંતરાલ માટે, બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસનો ગુણોત્તર $\frac{N_2}{N_1} = \frac{15 \%}{60 \%} = \frac{1}{4}$ છે।
કારણ કે $\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^2$, તેથી લાગતો સમય બે અર્ધ-આયુષ્ય જેટલો થાય છે।
તેથી, લાગતો સમય $t = 2 \times T_{1/2} = 2 \times 30 \text{ મિનિટ} = 60 \text{ મિનિટ}$ છે।
$40 \%$ ક્ષય સમયે, બાકી રહેલો જથ્થો $N_1 = 100 \% - 40 \% = 60 \%$ છે।
$85 \%$ ક્ષય સમયે, બાકી રહેલો જથ્થો $N_2 = 100 \% - 85 \% = 15 \%$ છે।
આપણે જાણીએ છીએ કે $t$ સમય પછી બાકી રહેલો જથ્થો $N(t) = N_i \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે, જ્યાં $T_{1/2} = 30 \text{ મિનિટ}$ છે।
$N_1$ અને $N_2$ વચ્ચેના અંતરાલ માટે, બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસનો ગુણોત્તર $\frac{N_2}{N_1} = \frac{15 \%}{60 \%} = \frac{1}{4}$ છે।
કારણ કે $\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^2$, તેથી લાગતો સમય બે અર્ધ-આયુષ્ય જેટલો થાય છે।
તેથી, લાગતો સમય $t = 2 \times T_{1/2} = 2 \times 30 \text{ મિનિટ} = 60 \text{ મિનિટ}$ છે।
0 likes
View Solution487
EasyMCQ
સક્રિય ન્યુક્લિયસની સંખ્યા સાથે ક્ષય દરનો ફેરફાર કયા આલેખમાં યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવ્યો છે?
A
$A$
B
$B$
C
$C$
D
$D$
Solution
(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,ક્ષય દર નીચે મુજબના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$-\frac{dN}{dt} = \lambda N$
જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ સમય $t$ પર હાજર સક્રિય ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
આને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકાય:
$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$
આ સમીકરણ ક્ષય દર $(R = -\frac{dN}{dt})$ અને સક્રિય ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $(N)$ વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે,જ્યાં ઢાળ ઋણ $(-\lambda)$ છે.
આને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \frac{dN}{dt}$ અને $x = N$,ઢાળ $m = -\lambda$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dN}{dt}$ વિરુદ્ધ $N$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,આલેખ $A$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
$-\frac{dN}{dt} = \lambda N$
જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ સમય $t$ પર હાજર સક્રિય ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
આને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકાય:
$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$
આ સમીકરણ ક્ષય દર $(R = -\frac{dN}{dt})$ અને સક્રિય ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $(N)$ વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે,જ્યાં ઢાળ ઋણ $(-\lambda)$ છે.
આને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \frac{dN}{dt}$ અને $x = N$,ઢાળ $m = -\lambda$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dN}{dt}$ વિરુદ્ધ $N$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,આલેખ $A$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
0 likes
View Solution488
EasyMCQ
જો $T$ એ રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય હોય,તો તેની એક્ટિવિટીમાં થતો ત્વરિત ફેરફારનો દર કોના પ્રમાણમાં હોય છે?
A
$\sqrt{T}$
B
$T$
C
$T^{2}$
D
$T^{-2}$
Solution
(D) કોઈપણ સમયે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની એક્ટિવિટી $A = A_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ છે.
એક્ટિવિટીમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(A_0 e^{-\lambda t}) = -\lambda A_0 e^{-\lambda t} = -\lambda A$ છે.
એક્ટિવિટીમાં થતા ફેરફારના દરનું મૂલ્ય $|\frac{dA}{dt}| = \lambda A$ છે.
વધુમાં,$A = \lambda N$ હોવાથી,$\frac{dA}{dt} = -\lambda (\lambda N) = -\lambda^2 N$ થાય.
અહીં $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ હોવાથી,$\frac{dA}{dt} \propto \lambda^2 \propto (\frac{1}{T})^2 = T^{-2}$ મળે.
તેથી,એક્ટિવિટીમાં થતો ફેરફારનો દર $T^{-2}$ ના પ્રમાણમાં છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ છે.
એક્ટિવિટીમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(A_0 e^{-\lambda t}) = -\lambda A_0 e^{-\lambda t} = -\lambda A$ છે.
એક્ટિવિટીમાં થતા ફેરફારના દરનું મૂલ્ય $|\frac{dA}{dt}| = \lambda A$ છે.
વધુમાં,$A = \lambda N$ હોવાથી,$\frac{dA}{dt} = -\lambda (\lambda N) = -\lambda^2 N$ થાય.
અહીં $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ હોવાથી,$\frac{dA}{dt} \propto \lambda^2 \propto (\frac{1}{T})^2 = T^{-2}$ મળે.
તેથી,એક્ટિવિટીમાં થતો ફેરફારનો દર $T^{-2}$ ના પ્રમાણમાં છે.
0 likes
View Solution489
MediumMCQ
એક રેડિયોએક્ટિવ તત્વનો વિભંજન દર કોઈ ચોક્કસ સમયે $10,000$ વિભંજન પ્રતિ મિનિટ છે. ચાર મિનિટ પછી તે $2500$ વિભંજન પ્રતિ મિનિટ થાય છે. તો પ્રતિ મિનિટ ક્ષય અચળાંક કેટલો હશે ($log _e 2$ માં)?
A
$0.2$
B
$0.5$
C
$0.6$
D
$0.8$
Solution
(B) વિભંજનનો દર $R$ એ $R = R_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $R_0 = 10,000$ વિભંજન પ્રતિ મિનિટ,$R = 2500$ વિભંજન પ્રતિ મિનિટ અને $t = 4$ મિનિટ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{2500}{10000} = e^{-\lambda \times 4}$
$\frac{1}{4} = e^{-4 \lambda}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln(\frac{1}{4}) = -4 \lambda$
$-\ln(4) = -4 \lambda$
$\ln(2^2) = 4 \lambda$
$2 \ln(2) = 4 \lambda$
$\lambda = \frac{2}{4} \ln(2)$
$\lambda = 0.5 \log _e 2$ પ્રતિ મિનિટ.
અહીં $R_0 = 10,000$ વિભંજન પ્રતિ મિનિટ,$R = 2500$ વિભંજન પ્રતિ મિનિટ અને $t = 4$ મિનિટ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{2500}{10000} = e^{-\lambda \times 4}$
$\frac{1}{4} = e^{-4 \lambda}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln(\frac{1}{4}) = -4 \lambda$
$-\ln(4) = -4 \lambda$
$\ln(2^2) = 4 \lambda$
$2 \ln(2) = 4 \lambda$
$\lambda = \frac{2}{4} \ln(2)$
$\lambda = 0.5 \log _e 2$ પ્રતિ મિનિટ.
0 likes
View Solution490
EasyMCQ
અર્ધ-આયુષ્ય $(T)$ અને ક્ષય અચળાંક $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ છે
A
$\lambda T=1$
B
$\lambda T=\frac{1}{2}$
C
$\lambda T=\log _{e} 2$
D
$\lambda=\log 2 T$
Solution
(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $t = T$ સમયે,અક્ષયિત ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(T) = \frac{N_0}{2}$ થાય છે.
આ કિંમતોને ક્ષયના નિયમમાં મૂકતા:
$\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T}$
$\frac{1}{2} = e^{-\lambda T}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln(1/2) = -\lambda T$
$-\ln(2) = -\lambda T$
$\lambda T = \ln(2) = \log_{e} 2$.
અર્ધ-આયુષ્ય $t = T$ સમયે,અક્ષયિત ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(T) = \frac{N_0}{2}$ થાય છે.
આ કિંમતોને ક્ષયના નિયમમાં મૂકતા:
$\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T}$
$\frac{1}{2} = e^{-\lambda T}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln(1/2) = -\lambda T$
$-\ln(2) = -\lambda T$
$\lambda T = \ln(2) = \log_{e} 2$.
0 likes
View Solution491
DifficultMCQ
એક રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $ 20 \text{ મિનિટ} $ છે. પદાર્થના $ 50\% $ ક્ષય અને $ 87.5\% $ ક્ષય વચ્ચે લાગતો સમય કેટલો હશે ($ \text{ મિનિટ} $ માં)?
A
$ 30 $
B
$ 40 $
C
$ 25 $
D
$ 10 $
Solution
(B) આપેલ છે, રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું અર્ધ-આયુષ્ય $ T_{1/2} = 20 \text{ મિનિટ} $ છે.
$ 50\% $ ક્ષય સમયે, બાકી રહેલો જથ્થો $ N_1 = 50\% $ of $ N_0 = 0.5 N_0 $ છે. આ $ 1 $ અર્ધ-આયુષ્યને અનુરૂપ છે, તેથી $ t_1 = 20 \text{ મિનિટ} $.
$ 87.5\% $ ક્ષય સમયે, બાકી રહેલો જથ્થો $ N_2 = (100 - 87.5)\% $ of $ N_0 = 12.5\% $ of $ N_0 = 0.125 N_0 = (1/8) N_0 = (1/2)^3 N_0 $ છે.
આ $ 3 $ અર્ધ-આયુષ્યને અનુરૂપ છે, તેથી $ t_2 = 3 \times T_{1/2} = 3 \times 20 = 60 \text{ મિનિટ} $.
$ 50\% $ ક્ષય અને $ 87.5\% $ ક્ષય વચ્ચે લાગતો સમય $ \Delta t = t_2 - t_1 = 60 - 20 = 40 \text{ મિનિટ} $ છે.
$ 50\% $ ક્ષય સમયે, બાકી રહેલો જથ્થો $ N_1 = 50\% $ of $ N_0 = 0.5 N_0 $ છે. આ $ 1 $ અર્ધ-આયુષ્યને અનુરૂપ છે, તેથી $ t_1 = 20 \text{ મિનિટ} $.
$ 87.5\% $ ક્ષય સમયે, બાકી રહેલો જથ્થો $ N_2 = (100 - 87.5)\% $ of $ N_0 = 12.5\% $ of $ N_0 = 0.125 N_0 = (1/8) N_0 = (1/2)^3 N_0 $ છે.
આ $ 3 $ અર્ધ-આયુષ્યને અનુરૂપ છે, તેથી $ t_2 = 3 \times T_{1/2} = 3 \times 20 = 60 \text{ મિનિટ} $.
$ 50\% $ ક્ષય અને $ 87.5\% $ ક્ષય વચ્ચે લાગતો સમય $ \Delta t = t_2 - t_1 = 60 - 20 = 40 \text{ મિનિટ} $ છે.
0 likes
View Solution492
EasyMCQ
રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $R$ નો પ્રાકૃતિક લઘુગણક સમય $t$ સાથે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બદલાય છે. $t=0$ સમયે,$N_0$ અવિભંજિત ન્યુક્લિયસ છે. તો,$N_0$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય? [$e^2=7.5$ લો].
A
$7500$
B
$3500$
C
$75000$
D
$150000$
Solution
(C) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $R = R_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln R = \ln R_0 - \lambda t$ મળે છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આલેખનો ઢાળ $m = -\lambda$ છે.
આપેલ આલેખ પરથી,$t = 0$ સમયે,$\ln R_0 = 2$,જેનો અર્થ છે કે $R_0 = e^2 = 7.5$.
આલેખનો ઢાળ $\lambda = -\frac{\Delta(\ln R)}{\Delta t} = -\frac{1 - 2}{10 \times 10^3 - 0} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4} \text{ s}^{-1}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે એક્ટિવિટી $R_0 = \lambda N_0$,જ્યાં $N_0$ એ $t = 0$ સમયે અવિભંજિત ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
તેથી,$N_0 = \frac{R_0}{\lambda} = \frac{7.5}{10^{-4}} = 7.5 \times 10^4 = 75000$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln R = \ln R_0 - \lambda t$ મળે છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આલેખનો ઢાળ $m = -\lambda$ છે.
આપેલ આલેખ પરથી,$t = 0$ સમયે,$\ln R_0 = 2$,જેનો અર્થ છે કે $R_0 = e^2 = 7.5$.
આલેખનો ઢાળ $\lambda = -\frac{\Delta(\ln R)}{\Delta t} = -\frac{1 - 2}{10 \times 10^3 - 0} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4} \text{ s}^{-1}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે એક્ટિવિટી $R_0 = \lambda N_0$,જ્યાં $N_0$ એ $t = 0$ સમયે અવિભંજિત ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
તેથી,$N_0 = \frac{R_0}{\lambda} = \frac{7.5}{10^{-4}} = 7.5 \times 10^4 = 75000$.
0 likes
View Solution493
EasyMCQ
એક રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $3$ વર્ષ છે. નમૂનાની એક્ટિવિટી તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $\frac{1}{5}$ ભાગ સુધી ઘટવા માટે જરૂરી સમય આશરે કેટલો હશે ($\text{વર્ષ}$ માં)?
A
$10$
B
$7$
C
$15$
D
$5$
Solution
(B) આપેલ છે કે, અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 3$ વર્ષ.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમય $t$ પર એક્ટિવિટી $R$ એ $R = R_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $R = \frac{R_0}{5}$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{R_0}{5} = R_0 e^{-\lambda t} \Rightarrow \frac{1}{5} = e^{-\lambda t}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln(1/5) = -\lambda t \Rightarrow \ln(5) = \lambda t$.
તેથી, $t = \frac{\ln 5}{\lambda} = \frac{\ln 5}{\ln 2 / T_{1/2}} = \frac{\ln 5}{\ln 2} \times T_{1/2}$.
$\ln 5 \approx 1.609$ અને $\ln 2 \approx 0.693$ લેતા:
$t = \frac{1.609}{0.693} \times 3 \approx 2.3218 \times 3 \approx 6.965$ વર્ષ.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, $t \approx 7$ વર્ષ.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમય $t$ પર એક્ટિવિટી $R$ એ $R = R_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $R = \frac{R_0}{5}$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{R_0}{5} = R_0 e^{-\lambda t} \Rightarrow \frac{1}{5} = e^{-\lambda t}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln(1/5) = -\lambda t \Rightarrow \ln(5) = \lambda t$.
તેથી, $t = \frac{\ln 5}{\lambda} = \frac{\ln 5}{\ln 2 / T_{1/2}} = \frac{\ln 5}{\ln 2} \times T_{1/2}$.
$\ln 5 \approx 1.609$ અને $\ln 2 \approx 0.693$ લેતા:
$t = \frac{1.609}{0.693} \times 3 \approx 2.3218 \times 3 \approx 6.965$ વર્ષ.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, $t \approx 7$ વર્ષ.
0 likes
View Solution494
MediumMCQ
એક રેડિયોએક્ટિવ તત્વનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $15$ વર્ષ છે. $30$ વર્ષમાં તેનું કેટલું પ્રમાણ ક્ષય પામશે?
A
$0.25$
B
$0.5$
C
$0.75$
D
$0.85$
Solution
(C) આપેલ છે,અર્ધ-આયુષ્ય સમય,$T_{1/2} = 15$ વર્ષ.
સમય,$t = 30$ વર્ષ.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા,$n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{30}{15} = 2$.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસનું પ્રમાણ $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 2$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = 0.25$.
ક્ષય પામેલા તત્વનું પ્રમાણ $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - 0.25 = 0.75$ થાય.
સમય,$t = 30$ વર્ષ.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા,$n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{30}{15} = 2$.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસનું પ્રમાણ $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 2$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = 0.25$.
ક્ષય પામેલા તત્વનું પ્રમાણ $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - 0.25 = 0.75$ થાય.
0 likes
View Solution495
EasyMCQ
નીચેનામાંથી કયા ન્યુક્લિયસનું સરેરાશ આયુષ્ય ટૂંકું છે?
A
$C$
B
$A$
C
બધા માટે સમાન
D
$B$
Solution
(B) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $R = |dN/dt|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આલેખ પરથી,$A$ માટેનો ક્ષય વક્ર સૌથી ઝડપથી નીચે ઉતરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો ક્ષય અચળાંક $\lambda$ સૌથી વધુ છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને સરેરાશ આયુષ્ય $\tau$ વચ્ચેનો સંબંધ $\tau = 1/\lambda$ છે.
તેથી,ઉચ્ચ ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ ટૂંકા સરેરાશ આયુષ્ય $\tau$ ને અનુરૂપ છે.
વક્ર $A$ નો ઢાળ સૌથી વધુ (સૌથી વધુ એક્ટિવિટી) હોવાથી,તેનો $\lambda$ સૌથી મોટો છે અને તેથી તેનું સરેરાશ આયુષ્ય સૌથી ટૂંકું છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
આલેખ પરથી,$A$ માટેનો ક્ષય વક્ર સૌથી ઝડપથી નીચે ઉતરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો ક્ષય અચળાંક $\lambda$ સૌથી વધુ છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને સરેરાશ આયુષ્ય $\tau$ વચ્ચેનો સંબંધ $\tau = 1/\lambda$ છે.
તેથી,ઉચ્ચ ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ ટૂંકા સરેરાશ આયુષ્ય $\tau$ ને અનુરૂપ છે.
વક્ર $A$ નો ઢાળ સૌથી વધુ (સૌથી વધુ એક્ટિવિટી) હોવાથી,તેનો $\lambda$ સૌથી મોટો છે અને તેથી તેનું સરેરાશ આયુષ્ય સૌથી ટૂંકું છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
0 likes
View Solution496
DifficultMCQ
ટ્રિટિયમનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $ 12.5 $ વર્ષ છે. $ 64 \ mg $ ના પ્રારંભિક દળ ધરાવતા ટ્રિટિયમનું $ 50 $ વર્ષ પછી કેટલું દળ અવિભંજિત રહેશે ($mg$ માં)?
A
$32$
B
$8$
C
$16$
D
$4$
Solution
(D) આપેલ છે: અર્ધ-આયુષ્ય $( T_{1/2} )$ $= 12.5 \text{ વર્ષ}$,પ્રારંભિક દળ $( N_0 )$ $= 64 \ mg$,કુલ સમય $( t )$ $= 50 \text{ વર્ષ}$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા શોધવા માટેનું સૂત્ર: $ n = \frac{t}{T_{1/2}} $.
$ n = \frac{50}{12.5} = 4 $.
બાકી રહેલ દળ $( N )$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $ N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n $.
$ N = 64 \times (\frac{1}{2})^4 $.
$ N = 64 \times \frac{1}{16} $.
$ N = 4 \ mg $.
આમ,$ 50 $ વર્ષ પછી $ 4 \ mg $ ટ્રિટિયમ અવિભંજિત રહેશે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા શોધવા માટેનું સૂત્ર: $ n = \frac{t}{T_{1/2}} $.
$ n = \frac{50}{12.5} = 4 $.
બાકી રહેલ દળ $( N )$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $ N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n $.
$ N = 64 \times (\frac{1}{2})^4 $.
$ N = 64 \times \frac{1}{16} $.
$ N = 4 \ mg $.
આમ,$ 50 $ વર્ષ પછી $ 4 \ mg $ ટ્રિટિયમ અવિભંજિત રહેશે.
0 likes
View Solution497
MediumMCQ
$ 10 $ દિવસના અર્ધ-આયુષ્ય ધરાવતા રેડિયોએક્ટિવ નમૂનામાં $ 1000x $ ન્યુક્લિયસ છે. $ 5 $ દિવસ પછી બાકી રહેલા મૂળ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા કેટલી હશે ($x$ માં)?
A
$707$
B
$750$
C
$500$
D
$250$
Solution
(A) આપેલ છે: અર્ધ-આયુષ્ય $ T_{1/2} = 10 $ દિવસ,પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $ N_0 = 1000x $,સમય $ t = 5 $ દિવસ.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $ N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t / T_{1/2}} $.
કિંમતો મૂકતા: $ N = 1000x \left( \frac{1}{2} \right)^{5 / 10} $.
$ N = 1000x \left( \frac{1}{2} \right)^{1/2} $.
$ N = \frac{1000x}{\sqrt{2}} $.
કારણ કે $ \sqrt{2} \approx 1.414 $,
$ N = \frac{1000x}{1.414} \approx 707.21x $.
તેથી,$ 5 $ દિવસ પછી બાકી રહેલા મૂળ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા આશરે $ 707x $ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $ N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t / T_{1/2}} $.
કિંમતો મૂકતા: $ N = 1000x \left( \frac{1}{2} \right)^{5 / 10} $.
$ N = 1000x \left( \frac{1}{2} \right)^{1/2} $.
$ N = \frac{1000x}{\sqrt{2}} $.
કારણ કે $ \sqrt{2} \approx 1.414 $,
$ N = \frac{1000x}{1.414} \approx 707.21x $.
તેથી,$ 5 $ દિવસ પછી બાકી રહેલા મૂળ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા આશરે $ 707x $ છે.
0 likes
View Solution498
MediumMCQ
એક કિરણોત્સર્ગી પદાર્થ પ્રથમ $2 \,s$ માં $100$ બીટા કણો અને પછીના $2 \,s$ માં $50$ બીટા કણોનું ઉત્સર્જન કરે છે. તો આ નમૂનાનું સરેરાશ આયુષ્ય કેટલું હશે?
A
$4 \,s$
B
$2 \,s$
C
$\frac{2}{0.693} \,s$
D
$2 \times 0.693 \,s$
Solution
(C) ચોક્કસ સમયગાળામાં ક્ષય પામતા કિરણોત્સર્ગી ન્યુક્લિયસની સંખ્યા હાજર રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોય છે।
ધારો કે શરૂઆતમાં ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે।
પ્રથમ $2 \,s$ માં $100$ કણો ઉત્સર્જિત થાય છે, તેથી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસ $N_0 - 100$ છે।
ત્યારબાદના $2 \,s$ માં $50$ કણો ઉત્સર્જિત થાય છે।
સમાન સમયગાળામાં ક્ષય પામતા કણોની સંખ્યા અડધી થતી હોવાથી, અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 2 \,s$ થાય।
સરેરાશ આયુષ્ય $T_m$ અને અર્ધ-આયુષ્ય વચ્ચેનો સંબંધ $T_m = \frac{T_{1/2}}{0.693}$ છે।
$T_{1/2} = 2 \,s$ મૂકતા, આપણને $T_m = \frac{2}{0.693} \,s$ મળે છે।
ધારો કે શરૂઆતમાં ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે।
પ્રથમ $2 \,s$ માં $100$ કણો ઉત્સર્જિત થાય છે, તેથી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસ $N_0 - 100$ છે।
ત્યારબાદના $2 \,s$ માં $50$ કણો ઉત્સર્જિત થાય છે।
સમાન સમયગાળામાં ક્ષય પામતા કણોની સંખ્યા અડધી થતી હોવાથી, અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 2 \,s$ થાય।
સરેરાશ આયુષ્ય $T_m$ અને અર્ધ-આયુષ્ય વચ્ચેનો સંબંધ $T_m = \frac{T_{1/2}}{0.693}$ છે।
$T_{1/2} = 2 \,s$ મૂકતા, આપણને $T_m = \frac{2}{0.693} \,s$ મળે છે।
0 likes
View Solution499
MediumMCQ
$A$ અને $B$ બે રેડિયોએક્ટિવ તત્વો છે. આ તત્વોના મિશ્રણની કુલ એક્ટિવિટી $1200 \text{ disintegrations/minute}$ છે. $A$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $1 \text{ day}$ અને $B$ નો $2 \text{ days}$ છે. $4 \text{ days}$ પછી કુલ એક્ટિવિટી કેટલી હશે? આપેલ છે કે,$A$ અને $B$ માં પરમાણુઓની પ્રારંભિક સંખ્યા સમાન છે.
A
$200 \text{ dis/min}$
B
$250 \text{ dis/min}$
C
$500 \text{ dis/min}$
D
$150 \text{ dis/min}$
Solution
(D) એક્ટિવિટી $A$ એ $A = \lambda N = \frac{0.693}{T_{1/2}} N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $A$ અને $B$ માટે પરમાણુઓની પ્રારંભિક સંખ્યા $N_0$ સમાન છે,તેથી પ્રારંભિક એક્ટિવિટી $A_0$ એ અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$\frac{A_0(A)}{A_0(B)} = \frac{T_{1/2}(B)}{T_{1/2}(A)} = \frac{2 \text{ days}}{1 \text{ day}} = 2$.
આપેલ છે કે $A_0(A) + A_0(B) = 1200 \text{ dis/min}$.
$A_0(A) = 2 A_0(B)$ મૂકતા,આપણને $2 A_0(B) + A_0(B) = 1200$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $3 A_0(B) = 1200$,તેથી $A_0(B) = 400 \text{ dis/min}$ અને $A_0(A) = 800 \text{ dis/min}$.
$t = 4 \text{ days}$ પછી,$A$ ની એક્ટિવિટી $A(A) = \frac{A_0(A)}{2^{t/T_{1/2}(A)}} = \frac{800}{2^{4/1}} = \frac{800}{16} = 50 \text{ dis/min}$ થશે.
$B$ ની એક્ટિવિટી $A(B) = \frac{A_0(B)}{2^{t/T_{1/2}(B)}} = \frac{400}{2^{4/2}} = \frac{400}{4} = 100 \text{ dis/min}$ થશે.
$4 \text{ days}$ પછી કુલ એક્ટિવિટી $50 + 100 = 150 \text{ dis/min}$ થશે.
કારણ કે $A$ અને $B$ માટે પરમાણુઓની પ્રારંભિક સંખ્યા $N_0$ સમાન છે,તેથી પ્રારંભિક એક્ટિવિટી $A_0$ એ અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$\frac{A_0(A)}{A_0(B)} = \frac{T_{1/2}(B)}{T_{1/2}(A)} = \frac{2 \text{ days}}{1 \text{ day}} = 2$.
આપેલ છે કે $A_0(A) + A_0(B) = 1200 \text{ dis/min}$.
$A_0(A) = 2 A_0(B)$ મૂકતા,આપણને $2 A_0(B) + A_0(B) = 1200$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $3 A_0(B) = 1200$,તેથી $A_0(B) = 400 \text{ dis/min}$ અને $A_0(A) = 800 \text{ dis/min}$.
$t = 4 \text{ days}$ પછી,$A$ ની એક્ટિવિટી $A(A) = \frac{A_0(A)}{2^{t/T_{1/2}(A)}} = \frac{800}{2^{4/1}} = \frac{800}{16} = 50 \text{ dis/min}$ થશે.
$B$ ની એક્ટિવિટી $A(B) = \frac{A_0(B)}{2^{t/T_{1/2}(B)}} = \frac{400}{2^{4/2}} = \frac{400}{4} = 100 \text{ dis/min}$ થશે.
$4 \text{ days}$ પછી કુલ એક્ટિવિટી $50 + 100 = 150 \text{ dis/min}$ થશે.
0 likes
View SolutionNuclei — Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life · Frequently Asked Questions
1Are these Nuclei questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Nuclei Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.