Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life Questions in Gujarati

(A) ધારો કે બંને રેડિયોએક્ટિવ તત્વો $A$ અને $B$ નું પ્રારંભિક દળ $M_0$ છે. તેમના પરમાણુ ભાર સમાન હોવાથી,પરમાણુઓની પ્રારંભિક સંખ્યા $(N_0)_A = (N_0)_B = N_0$ થશે.
તત્વ $A$ માટે,$t$ સમય પછી બાકી રહેલો જથ્થો $N_A = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10} = \frac{1}{e}$ છે.
તત્વ $B$ માટે,$t$ સમય પછી બાકી રહેલો જથ્થો $N_B = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20} = 1$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{1/e}{1} = \frac{N_0 (1/2)^{t/10}}{N_0 (1/2)^{t/20}}$
$\frac{1}{e} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10 - t/20} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln(e^{-1}) = \frac{t}{20} \ln(1/2)$
$-1 = \frac{t}{20} (-\ln 2)$
$1 = \frac{t}{20} (0.7)$
$t = \frac{20}{0.7} = \frac{200}{7} \ yrs$.

(B) ક્ષય પ્રક્રિયા માટે ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે સમાંતર ક્ષય પ્રક્રિયાઓ માટે,અસરકારક ક્ષય અચળાંક $\lambda_{\text{eff}} = \lambda_1 + \lambda_2$ થાય છે.
અહીં $T_1 = 0.7 \ hr$ અને $T_2 = 0.3 \ hr$ આપેલ છે,અને $\ln 2 = 0.7$ છે.
તેથી $\lambda_1 = \frac{0.7}{0.7} = 1 \ hr^{-1}$ અને $\lambda_2 = \frac{0.7}{0.3} = \frac{7}{3} \ hr^{-1}$.
અસરકારક ક્ષય અચળાંક $\lambda_{\text{eff}} = 1 + \frac{7}{3} = \frac{10}{3} \ hr^{-1}$.
અસરકારક સરેરાશ આયુષ્ય $\tau_{\text{eff}}$ એ અસરકારક ક્ષય અચળાંકનો વ્યસ્ત છે:
$\tau_{\text{eff}} = \frac{1}{\lambda_{\text{eff}}} = \frac{1}{10/3} = 0.3 \ hr$.
મિનિટમાં રૂપાંતર કરતા: $\tau_{\text{eff}} = 0.3 \times 60 \ min = 18 \ min$.

(A) આપેલ છે,અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = 693 \ s$. ગતિઊર્જા $K = 0.084 \ eV = 0.084 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
$K = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરતા,વેગ $v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.084 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.68 \times 10^{-27}}} = \sqrt{0.16 \times 10^8} = 0.4 \times 10^4 \ m/s$.
$d = 1000 \ m$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v} = \frac{1000}{0.4 \times 10^4} = 0.25 \ s$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ $N = N_0 e^{-\lambda t}$ મુજબ,ક્ષય પામતો અંશ $\frac{N_0 - N}{N_0} = 1 - e^{-\lambda t}$ છે.
કારણ કે $\lambda t = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \times t$ ખૂબ નાનું છે,તેથી $1 - e^{-\lambda t} \approx \lambda t = \frac{\ln 2 \times t}{t_{1/2}}$.
ક્ષય પામતો અંશ $= \frac{0.693 \times 0.25}{693} = 0.25 \times 10^{-3} \times 10^{-2} = 0.25 \times 10^{-5}$.

(B) આપેલ ક્ષય અચળાંકો $\lambda_1 = 6\lambda$ અને $\lambda_2 = \lambda$ છે.
$R_2$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})_2 = 1.4 \times 10^{17} \,s$ છે.
સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_1$ માટે: $N_1 = N_0 e^{-\lambda_1 t} = N_0 e^{-6\lambda t}$.
$R_2$ માટે: $N_2 = N_0 e^{-\lambda_2 t} = N_0 e^{-\lambda t}$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{N_2}{N_1} = e$ છે.
$\frac{N_0 e^{-\lambda t}}{N_0 e^{-6\lambda t}} = e$.
$e^{-\lambda t + 6\lambda t} = e^1$.
$e^{5\lambda t} = e^1$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા: $5\lambda t = 1$, તેથી $t = \frac{1}{5\lambda}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lambda = \frac{\ln 2}{(t_{1/2})_2} = \frac{0.7}{1.4 \times 10^{17}} = 0.5 \times 10^{-17} \,s^{-1}$.
$t$ ના સમીકરણમાં $\lambda$ ની કિંમત મૂકતા:
$t = \frac{1}{5 \times 0.5 \times 10^{-17}} = \frac{1}{2.5 \times 10^{-17}} = 0.4 \times 10^{17} \,s = 4 \times 10^{16} \,s$.

(B) સમય $t$ પર રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની સક્રિયતા $A = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સામાન્ય ક્ષયના નિયમ $A = A_0 \left(\frac{1}{n}\right)^{t/t_0}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં સક્રિયતા $t_0$ સમયમાં તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $\frac{1}{n}$ ભાગની થઈ જાય છે.
આપેલ છે કે સક્રિયતા $t_0 = 20 \text{ કલાક}$ માં તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $\frac{1}{3}$ ભાગની થઈ જાય છે,તેથી આપણી પાસે $\frac{A}{A_0} = \left(\frac{1}{3}\right)^{t/t_0}$ છે.
$t = 80 \text{ કલાક}$ માટે,બાકી રહેલો અંશ $\frac{A}{A_0} = \left(\frac{1}{3}\right)^{80/20}$ છે.
$\frac{A}{A_0} = \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81}$.

(D) નમૂનાનો પ્રારંભિક જથ્થો $N_0 = 100 \text{ g}$ છે.
નમૂનાનો અંતિમ જથ્થો $N = 3.125 \text{ g}$ છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 103 \text{ વર્ષ}$ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
$3.125 = 100 \left( \frac{1}{2} \right)^n$
$\left( \frac{1}{2} \right)^n = \frac{3.125}{100} = \frac{1}{32}$
કારણ કે $\frac{1}{32} = \left( \frac{1}{2} \right)^5$,તેથી $n = 5$ મળે છે.
કુલ લાગતો સમય $t = n \times T_{1/2} = 5 \times 103 \text{ વર્ષ} = 515 \text{ વર્ષ}$ થાય.

(B) આપેલ ક્ષય દરનું સૂત્ર: $A(t) = A_0 2^{-(t/t_0)}$,જ્યાં $t_0$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
અમને $t_1 = 120 \ h$ પર $A_1$ અને $t_2 = 200 \ h$ પર $A_2$ આપેલ છે.
ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = 16$ તરીકે આપવામાં આવ્યો છે.
$A_1$ અને $A_2$ માટેના સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{A_0 2^{-(120/t_0)}}{A_0 2^{-(200/t_0)}} = 16$
$2^{-(120/t_0) + (200/t_0)} = 2^4$
$2^{(80/t_0)} = 2^4$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$\frac{80}{t_0} = 4$
$t_0 = \frac{80}{4} = 20 \ h$.
આમ,અર્ધ-આયુષ્ય $20 \ h$ છે.

(A) આપેલ ક્ષય અચળાંક,$\lambda = 7.9 \times 10^{-10} / s$.
નમૂનાની એક્ટિવિટી,$A = 55.3 \times 10^{11} \text{ વિઘટન/સેકન્ડ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે એક્ટિવિટી $A$ અને ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$A = \lambda N$
ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ શોધવા માટે,સૂત્રને આ રીતે લખી શકાય:
$N = \frac{A}{\lambda}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$N = \frac{55.3 \times 10^{11}}{7.9 \times 10^{-10}}$
$N = 7.0 \times 10^{21}$
તેથી,તે ક્ષણે ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $7.0 \times 10^{21}$ છે.

(B) પ્રથમ પ્રક્રિયા માટે ક્ષય અચળાંક $\lambda_1 = \frac{\ln 2}{T_1}$ અને બીજી પ્રક્રિયા માટે $\lambda_2 = \frac{\ln 2}{T_2}$ છે.
ન્યુક્લિયસ બે પ્રક્રિયાઓ દ્વારા ક્ષય પામતું હોવાથી,અસરકારક ક્ષય અચળાંક $\lambda = \lambda_1 + \lambda_2$ થાય.
ક્ષય અચળાંકના સૂત્રો મૂકતા,$\frac{\ln 2}{T} = \frac{\ln 2}{T_1} + \frac{\ln 2}{T_2}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{T} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}$ થાય છે.
આમ,અસરકારક અર્ધ-આયુષ્ય $T = \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $T_1 = 5 \times 10^3 \text{ વર્ષ}$ અને $T_2 = 10^5 \text{ વર્ષ} = 100 \times 10^3 \text{ વર્ષ}$ આપેલ છે.
$T = \frac{(5 \times 10^3) \times (100 \times 10^3)}{5 \times 10^3 + 100 \times 10^3} = \frac{500 \times 10^6}{105 \times 10^3} = \frac{500000}{105} \approx 4761.9 \text{ વર્ષ}$.
પૂર્ણાંકમાં લેતા,જવાબ $4762 \text{ વર્ષ}$ મળે છે.

(B) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ એ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $t = 40 \ h$ અને $T_{1/2} = 10 \ h$ આપેલ છે,તેથી $n = \frac{40}{10} = 4$ મળે.
પ્રારંભિક રેડિયોએક્ટિવિટીનો બાકી રહેતો અંશ $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 4$ મૂકતા,આપણને $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ મળે છે.

(C) ક્ષયનો દર $\frac{dN}{dt} = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 1620$ વર્ષને સેકન્ડમાં ફેરવો:
$T_{1/2} = 1620 \times 365 \times 24 \times 3600 \approx 5.11 \times 10^{10} \ s$.
ત્યારબાદ,$1 \ g$ $Ra^{226}$ માં પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ ગણો:
$N = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} \times N_A = \frac{1}{226} \times 6.023 \times 10^{23} \approx 2.665 \times 10^{21}$ પરમાણુઓ.
હવે,એક્ટિવિટી $\frac{dN}{dt} = \frac{0.693}{T_{1/2}} \times N$ ગણો:
$\frac{dN}{dt} = \frac{0.693}{5.11 \times 10^{10}} \times 2.665 \times 10^{21} \approx 3.61 \times 10^{10}$ ક્ષય પ્રતિ સેકન્ડ.

(D) સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
ક્ષય અચળાંક $10 \lambda$ ધરાવતા પદાર્થ $X_1$ માટે: $N_1 = N_0 e^{-10 \lambda t}$.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ધરાવતા પદાર્થ $X_2$ માટે: $N_2 = N_0 e^{-\lambda t}$.
આપેલ છે કે સમય $t$ પર ગુણોત્તર $N_1 / N_2 = 1 / e$ છે:
$\frac{N_1}{N_2} = \frac{N_0 e^{-10 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-10 \lambda t + \lambda t} = e^{-9 \lambda t}$.
આપણને $\frac{N_1}{N_2} = e^{-1}$ આપેલ છે.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $-9 \lambda t = -1$.
તેથી,$t = \frac{1}{9 \lambda}$.

(A) $t$ સમયે બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરેરાશ આયુષ્ય $\tau$ ને $\tau = 1/\lambda$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$t = \tau$ સમયે,બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(\tau) = N_0 e^{-\lambda(1/\lambda)} = N_0 e^{-1} \approx N_0 / 2.718 \approx 0.368 N_0$ છે.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_{decayed} = N_0 - N(\tau) = N_0 - 0.368 N_0 = 0.632 N_0$ છે.
કારણ કે $0.632 N_0 > 0.5 N_0$,તેથી એક સરેરાશ આયુષ્યમાં અડધા કરતાં વધુ સક્રિય ન્યુક્લિયસનું ક્ષય થાય છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક્ટિવિટી $A$ ને ન્યુક્લિયસના ક્ષયના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $A = -\frac{dN}{dt}$ છે.
$N$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dN}{dt} = -\lambda N_0 e^{-\lambda t} = -\lambda N$.
તેથી,એક્ટિવિટીનું મૂલ્ય $A = |-\frac{dN}{dt}| = \lambda N$ થાય છે.
આ સમીકરણ $A = \lambda N$ એ $N$ અને $A$ વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
જેમ કે $A$ એ $N$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(A \propto N)$,તેથી $N$ વિરુદ્ધ $A$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા હશે. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) ક્ષય પ્રક્રિયા $X \xrightarrow{\alpha} Y \xrightarrow{\beta} Z$ છે.
ધારો કે $N_X$ અને $N_Y$ એ કોઈપણ સમયે $t$ પર હાજર $X$ અને $Y$ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
પુત્રી ન્યુક્લિયસ $Y$ ની સંખ્યામાં ફેરફારનો દર: $\frac{dN_Y}{dt} = \lambda_X N_X - \lambda_Y N_Y$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\beta$-કણોના ઉત્સર્જનનો દર $(\lambda_Y N_Y)$ ઘણા મહિનાઓ સુધી અચળ રહે છે,તેથી $\frac{dN_Y}{dt} \approx 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda_X N_X = \lambda_Y N_Y$.
$\alpha$-કણોના ઉત્સર્જનનો દર $\lambda_X N_X$ છે,અને $\beta$-કણોના ઉત્સર્જનનો દર $\lambda_Y N_Y$ છે.
આપેલ છે કે $\beta$-ઉત્સર્જનનો દર $10^{7} / \text{h}$ છે,તેથી $\alpha$-ઉત્સર્જનનો દર પણ $10^{7} / \text{h}$ હોવો જોઈએ.
તેથી,એક કલાકમાં ઉત્સર્જિત $\alpha$-કણોની સંખ્યા $10^{7}$ છે.

(D) આપેલ છે,અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = 3$ દિવસ.
સમય $t$ પછી બાકી રહેલા સક્રિય ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 (1/2)^{t/t_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રીજા દિવસની શરૂઆતમાં ($t = 2$ દિવસ),બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_1 = N_0 (1/2)^{2/3} = N_0 / (2^{2/3}) = N_0 / (4^{1/3})$ છે.
આપેલ છે કે $\sqrt[3]{0.25} \approx 0.63$,તેથી $N_1 = N_0 \times 0.63$.
ત્રીજા દિવસના અંતે ($t = 3$ દિવસ),બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_2 = N_0 (1/2)^{3/3} = 0.5 N_0$ છે.
ત્રીજા દિવસે ક્ષય પામતા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા એ દિવસની શરૂઆતમાં અને અંતે હાજર ન્યુક્લિયસ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta N = N_1 - N_2 = 0.63 N_0 - 0.5 N_0 = 0.13 N_0$.
આમ,ત્રીજા દિવસે ક્ષય પામતા પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસનો અંશ $0.13$ છે.

(A) રેડોન-$222$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_{1/2} = 3.8 \text{ દિવસ}$ છે.
કુલ વીતેલો સમય $t = 19 \text{ દિવસ}$ છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ નીચે મુજબ મળે છે: $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{19}{3.8} = 5$.
બાકી રહેલો જથ્થો $N$ એ સૂત્ર $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $N_0$ એ પ્રારંભિક જથ્થો છે.
અહીં $N_0 = 0.064 \ kg$ અને $n = 5$ આપેલ છે,તેથી:
$N = 0.064 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5$
$N = 0.064 \times \frac{1}{32}$
$N = 0.002 \ kg$.
આમ,$19$ દિવસ પછી બાકી રહેલા રેડોન-$222$ નો જથ્થો $0.002 \ kg$ હશે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_{0} e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ છે.
ધારો કે $t_{1}$ એ સમય છે જ્યારે પરમાણુઓની સંખ્યા $N_{0}/2$ છે અને $t_{2}$ એ સમય છે જ્યારે પરમાણુઓની સંખ્યા $N_{0}/10$ છે.
$N(t_{1}) = N_{0}/2$ માટે,આપણને મળે છે $\frac{N_{0}}{2} = N_{0} e^{-\lambda t_{1}} \Rightarrow e^{\lambda t_{1}} = 2 \Rightarrow \lambda t_{1} = \ln 2$.
$N(t_{2}) = N_{0}/10$ માટે,આપણને મળે છે $\frac{N_{0}}{10} = N_{0} e^{-\lambda t_{2}} \Rightarrow e^{\lambda t_{2}} = 10 \Rightarrow \lambda t_{2} = \ln 10$.
જરૂરી સમયગાળો $\Delta t = t_{2} - t_{1} = \frac{\ln 10 - \ln 2}{\lambda} = \frac{\ln(10/2)}{\lambda} = \frac{\ln 5}{\lambda}$ છે.
કારણ કે $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$,આપણે $\lambda$ ની કિંમત મૂકતા $\Delta t = \frac{\ln 5}{(\ln 2 / T)} = T \frac{\ln 5}{\ln 2} = T \log_{2} 5$ મળે છે.

(B) સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ $A$ માટે,$N_A = N_0 e^{-5 \lambda t}$.
પદાર્થ $B$ માટે,$N_B = N_0 e^{-\lambda t}$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{N_A}{N_B} = (1/e)^2 = e^{-2}$ છે.
સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{N_0 e^{-5 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-2}$
$e^{-5 \lambda t + \lambda t} = e^{-2}$
$e^{-4 \lambda t} = e^{-2}$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$-4 \lambda t = -2$
$t = \frac{2}{4 \lambda} = \frac{1}{2 \lambda}$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $N(t)$ એ $t$ સમયે બાકી રહેલો જથ્થો છે.
$20 \%$ ક્ષય માટે, બાકી રહેલો જથ્થો $N_1 = 80 \% \text{ of } N_0 = 0.8 N_0$ છે. તેથી, $0.8 N_0 = N_0 e^{-\lambda t_1} \Rightarrow e^{-\lambda t_1} = 0.8$.
$80 \%$ ક્ષય માટે, બાકી રહેલો જથ્થો $N_2 = 20 \% \text{ of } N_0 = 0.2 N_0$ છે. તેથી, $0.2 N_0 = N_0 e^{-\lambda t_2} \Rightarrow e^{-\lambda t_2} = 0.2$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{e^{-\lambda t_1}}{e^{-\lambda t_2}} = \frac{0.8}{0.2} = 4$.
આ સમીકરણ $e^{\lambda(t_2 - t_1)} = 4$ માં પરિણમે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\lambda(t_2 - t_1) = \ln(4) = 2 \ln(2)$.
કારણ કે $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$, તેથી $\frac{\ln 2}{T_{1/2}}(t_2 - t_1) = 2 \ln 2$.
આમ, $t_2 - t_1 = 2 \times T_{1/2} = 2 \times 20 \text{ min} = 40 \text{ min}$.