Motion of Charged Particle In Magnetic Field Questions in Gujarati

(C) ગતિશીલ વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ કક્ષાના સમતલને લંબ હોવાથી,બળ $\vec{F}$ વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે (કેન્દ્રગામી બળ).
ન્યુક્લિયસની આસપાસ ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળ $\vec{F}$ કેન્દ્ર તરફ હોવાથી,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ એક જ રેખા પર (પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં) છે.
તેથી,$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$.
ટોર્ક શૂન્ય હોવાથી,ટોર્ક સદિશનો કોઈપણ સદિશ સાથેનો ડોટ ગુણાકાર,જેમાં કોણીય વેગમાન સદિશ $\vec{L}$ પણ સામેલ છે,તે શૂન્ય થવો જોઈએ: $\vec{\tau} \cdot \vec{L} = 0$.

(A, C) જો કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R$ એ વિસ્તાર-$b$ ની પહોળાઈ $L$ કરતા વધારે હોય તો જ કણ વિસ્તાર-$c$ માં પ્રવેશે છે.
$R = \frac{mv}{qB}$ હોવાથી,વિસ્તાર-$c$ માં પ્રવેશવા માટેની શરત $\frac{mv}{qB} > L$ છે,જેનો અર્થ છે કે $v > \frac{qBL}{m}$. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન છે અને વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે,જેનાથી વિસ્તાર-$b$ માં કણનો પથ વર્તુળાકાર બને છે. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
વિસ્તાર-$b$ માં વિતાવેલો સમય $t = \frac{\theta}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ કેન્દ્ર પર આંતરેલો ખૂણો છે અને $\omega = \frac{qB}{m}$ એ કોણીય વેગ છે. ખૂણો $\theta$ એ ત્રિજ્યા $R$ (અને તેથી વેગ $v$) પર આધારિત હોવાથી,વિસ્તાર-$b$ માં વિતાવેલો સમય વેગ $v$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.

(D) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ $v$ વેગ સાથે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ રૂપે ગતિ કરે છે (એટલે કે $\theta = 90^{\circ}$),ત્યારે તે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $F = qvB$ અનુભવે છે.
આ બળ વેગને લંબ રૂપે કાર્ય કરે છે,જે વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્ર મેળવતા:
$r = \frac{mv}{qB}$
કણનું વેગમાન $p = mv$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$r = \frac{p}{qB}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ત્રિજ્યા $r$ એ કણના વેગમાન $p$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(A) પ્રશ્ન મુજબ,કણ પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે અને તેનો વેગ $v$ છે.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે,કણ પર લાગતું વિદ્યુત બળ $F_{\text{electric}} = qE$ છે.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે,કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_{\text{magnetic}} = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ વિચલિત થયા વગર ગતિ કરે તે માટે,કુલ લોરેન્ઝ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ: $F_{\text{electric}} = F_{\text{magnetic}}$.
મૂલ્યો મૂકતા,આપણને $qE = qvB$ મળે છે.
વેગ માટે ઉકેલતા,આપણને $v = \frac{E}{B}$ મળે છે.
આમ,કણ વિચલિત થયા વગર ગતિ કરે તે માટેની શરત $v = \frac{E}{B}$ છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = \frac{2\pi m}{qB}$.
આ સૂત્ર દર્શાવે છે કે આવર્તકાળ $T$ માત્ર દળ $m$,વિદ્યુતભાર $q$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B$ પર આધાર રાખે છે.
અહીં $m$,$q$ અને $B$ અચળ રહેતા હોવાથી,આવર્તકાળ $T$ એ પ્રોટોનની ઝડપ $v$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,જો ઝડપ વધારીને $\sqrt{2}v$ કરવામાં આવે તો પણ,આવર્તકાળ $T$ જ રહેશે.

(A) આપેલ છે:
પ્રોટોનનો વેગ $v = 10^{6} \ m/s$,$Y$-અક્ષની દિશામાં.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = 2 \times 10^{4} \ V/m$,ઋણ $X$-અક્ષની દિશામાં.
વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{e}{m} = 10^{8} \ C/kg$.
જ્યારે પ્રોટોન સમાન વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોય છે. તેથી,ચુંબકીય બળ વિદ્યુત બળને સંતુલિત કરે છે:
$qE = qvB$
$B = \frac{E}{v} = \frac{2 \times 10^{4}}{10^{6}} = 2 \times 10^{-2} \ T$
જ્યારે વિદ્યુત ક્ષેત્ર બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રોટોન ચુંબકીય બળને કારણે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે,જે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$R = \frac{mv}{qB} = \frac{v}{(e/m)B}$
$R = \frac{10^{6}}{10^{8} \times 2 \times 10^{-2}}$
$R = \frac{10^{6}}{2 \times 10^{6}} = 0.5 \ m$
તેથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $0.5 \ m$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ગતિઊર્જા છે.
જ્યારે કણ $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થાય છે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $K = qV$ થાય છે.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા,$R = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$ મળે છે.
અહીં $q$,$V$ અને $B$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,$R \propto \sqrt{m}$ થાય છે.
તેથી,$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \sqrt{\frac{m_{A}}{m_{B}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{m_{A}}{m_{B}} = \left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)^{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: ગતિઊર્જા $= E$,દળ $= m$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $= B$,વિદ્યુતભાર $= q$.
જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે ગતિ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$F_m = qvB$ અને $F_c = \frac{mv^2}{r}$.
આ બંનેને સરખાવતા,$qvB = \frac{mv^2}{r}$,જેનું સાદું રૂપ $r = \frac{mv}{qB}$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$,તેથી $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$.
$v$ ની કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2E}{m}} = \frac{\sqrt{m^2} \cdot \sqrt{2E}}{\sqrt{m} \cdot qB} = \frac{\sqrt{2Em}}{qB}$.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ધરાવતા વિસ્તારમાં $v$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે,લોરેન્ઝ બળ $F = q(E + v \times B)$ છે.
કણ વિચલિત થયા વિના પસાર થાય તે માટે,કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $qE = -q(v \times B)$.
પ્રોટોન $(q > 0)$ માટે: વિદ્યુત બળ $F_E = qE$ નીચેની તરફ છે. ચુંબકીય બળ $F_B = q(v \times B)$ ઉપરની તરફ છે (જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$v$ જમણી તરફ છે,$B$ બહારની તરફ છે,તેથી $v \times B$ ઉપરની તરફ છે). વિચલન ન થાય તે માટે,$qE = qvB$,જે $v = E/B$ આપે છે.
ઇલેક્ટ્રોન $(q < 0)$ માટે: વિદ્યુત બળ $F_E = qE$ ઉપરની તરફ છે. ચુંબકીય બળ $F_B = q(v \times B)$ નીચેની તરફ છે (કારણ કે $q$ ઋણ છે,$F_B$ ની દિશા ઉલટાય છે). વિચલન ન થાય તે માટે,$|q|E = |q|vB$,જે પણ $v = E/B$ આપે છે.
તેથી,$v = E/B$ ઝડપ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને સ્લિટમાંથી પસાર થશે. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $F = qvB$ છે.
આ ચુંબકીય બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $qvB = \frac{mv^2}{R}$.
ત્રિજ્યા $R$ માટે ઉકેલતા,આપણને $R = \frac{mv}{qB}$ મળે છે.
પરિભ્રમણનો આવર્તકાળ $T$ એ એક પૂર્ણ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય છે,જે $T = \frac{2\pi R}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T$ ના સૂત્રમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = \frac{2\pi}{v} \cdot \frac{mv}{qB} = \frac{2\pi m}{qB}$ મળે છે.
આમ,$T$ ફક્ત દળ $m$,વિદ્યુતભાર $q$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે રેખીય ઝડપ $v$ અને ત્રિજ્યા $R$ બંનેથી સ્વતંત્ર છે.

(B) કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં હેલિકલ (કુંતલાકાર) ગતિ કરે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર વેગનો ઘટક $v_\parallel = 2 \times 10^{-2} \text{ m/s}$ ($\hat{k}$ દિશામાં) છે.
એક પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T = \frac{2\pi m}{qB}$ છે.
આપેલ છે: $m = 5 \text{ mg} = 5 \times 10^{-6} \text{ kg}$,$q = 5 \times 10^{-6} \text{ C}$,$B = 0.1 \text{ T}$.
$T = \frac{2 \times \pi \times 5 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-6} \times 0.1} = \frac{2\pi}{0.1} = 20\pi \text{ s}$.
હેલિક્સની પીચ $p = v_\parallel \times T = (2 \times 10^{-2}) \times (20\pi) = 0.4\pi \text{ m}$ છે.
$5$ પરિભ્રમણ માટે,$\hat{k}$ દિશામાં કુલ અંતર $\alpha = 5 \times p = 5 \times 0.4\pi = 2\pi \text{ m}$ થાય.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$\alpha = 2 \times 3.14 = 6.28 \text{ m}$ મળે.

(B) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{v} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -5 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-2)(-5) - (3)(3)) - \hat{j}((1)(-5) - (3)(2)) + \hat{k}((1)(3) - (-2)(2))$
$= \hat{i}(10 - 9) - \hat{j}(-5 - 6) + \hat{k}(3 + 4)$
$= 1\hat{i} + 11\hat{j} + 7\hat{k}$.
આ સદિશ ગુણાકારનું મૂલ્ય $|\vec{v} \times \vec{B}| = \sqrt{1^2 + 11^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 121 + 49} = \sqrt{171}$ છે.
અહીં $q = 1 \mu\text{C} = 10^{-6} \text{ C}$ આપેલ છે,તેથી બળનું મૂલ્ય $F = |q| |\vec{v} \times \vec{B}| = 10^{-6} \times \sqrt{171} \text{ N}$ થાય.
તેને $\sqrt{\alpha} \times 10^{-6} \text{ N}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 171$ મળે છે.

(B) વીજભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\vec{F} = m\vec{a}$,તેથી $m\vec{a} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ હંમેશા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ હોય છે,તેથી પ્રવેગ $\vec{a}$ પણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,પ્રવેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થવો જોઈએ: $\vec{a} \cdot \vec{B} = 0$.
અહીં $\vec{B} = (3\hat{i} + 2\hat{j}) \ \text{T}$ અને $\vec{a} = (4\hat{i} - \frac{x}{2}\hat{j}) \ \text{m/s}^2$ આપેલ છે,તેથી અદિશ ગુણાકાર ગણતા:
$(4)(3) + (-\frac{x}{2})(2) = 0$
$12 - x = 0$
$x = 12$.