Mix Examples-Moving Charges and Magnetism Questions in Gujarati

(D) પરમિએબિલિટી $\mu$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$,ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ અને ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ સાથે સંબંધિત છે.
સંબંધ $B = \mu H$ પરથી,$\mu$ નો એકમ $\text{Tesla} / (\text{Ampere/metre}) = \text{Tesla metre per ampere}$ $(T \cdot m \cdot A^{-1})$ થાય છે.
કારણ કે $1 \text{ Tesla} = 1 \text{ Weber/metre}^2$,તેથી એકમ $(\text{Weber/metre}^2) \cdot \text{metre} / \text{Ampere} = \text{Weber per ampere metre}$ $(Wb \cdot A^{-1} \cdot m^{-1})$ બને છે.
વળી,સોલેનોઇડનું ઇન્ડક્ટન્સ $L$ એ $L = \mu n^2 A l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ નો એકમ $\text{Henry/metre}$ $(H \cdot m^{-1})$ છે.
તેથી,આપેલા તમામ એકમો સમાન અને સાચા છે.

(C) સ્થિર વિદ્યુતભાર માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર સમાન ગતિમાં હોય,ત્યારે તે સ્થાયી પ્રવાહ રચે છે.
સ્થાયી પ્રવાહ તેની આસપાસના વિસ્તારમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે,જે વિદ્યુતભાર સાથે હંમેશા સંકળાયેલા વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉપરાંત હોય છે.
તેથી,સમાન ગતિમાં રહેલો વિદ્યુતભાર વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ઉત્પન્ન કરે છે.

(C) સ્થિર ઇલેક્ટ્રોન તેના સ્થિર સંદર્ભ ફ્રેમમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. જ્યારે કોઈ અવલોકનકાર ઇલેક્ટ્રોનની સાપેક્ષમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકનકારની સાપેક્ષમાં ઇલેક્ટ્રોન ગતિમાં હોય તેમ જણાય છે. ગતિમાન વિદ્યુતભાર વિદ્યુત પ્રવાહ રચે છે,જે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. તેથી,અવલોકનકાર વિદ્યુત ક્ષેત્ર (વિદ્યુતભારને કારણે) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર (વિદ્યુતભારની સાપેક્ષ ગતિને કારણે) બંનેનું અવલોકન કરે છે.

(C) થર્મો $e.m.f.$ $(E)$ અને ગરમ જંકશનના તાપમાન $(T_h)$ વચ્ચેનો સંબંધ પરવલયાકાર સમીકરણ $E = a(T_h - T_c) + \frac{1}{2}b(T_h - T_c)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T_c$ એ ઠંડા જંકશનનું તાપમાન છે.
આલેખ પરવલયાકાર હોવાથી, $e.m.f.$ તાપમાન સાથે વધે છે જ્યાં સુધી તે તટસ્થ તાપમાન $(T_n)$ પર મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત ન કરે.
તટસ્થ તાપમાનથી આગળ, જેમ ગરમ જંકશનનું તાપમાન વધુ વધે છે તેમ $e.m.f.$ ઘટવાનું શરૂ થાય છે.
તેથી, તટસ્થ તાપમાનના સંદર્ભમાં તાપમાનની શ્રેણીના આધારે થર્મો $e.m.f.$ વધી શકે છે અથવા ઘટી શકે છે.

(B) થર્મો-ઇલેક્ટ્રિક પાવર $P$ ને તાપમાન $(\theta)$ ની સાપેક્ષમાં થર્મો-ઇલેક્ટ્રિક $EMF$ $(E)$ ના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $P = \frac{dE}{d\theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યુટ્રલ તાપમાન $(t_n)$ પર,થર્મો-ઇલેક્ટ્રિક $EMF$ $(E)$ તેનું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.
કારણ કે કોઈ વિધેયના મહત્તમ બિંદુ પર તેનું વિકલન શૂન્ય હોય છે,તેથી ન્યુટ્રલ તાપમાને થર્મો-ઇલેક્ટ્રિક પાવર $P$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) તટસ્થ તાપમાન $(t_n)$,ઠંડા જંકશનનું તાપમાન $(t_c)$,અને ઇન્વર્ઝન તાપમાન $(t_i)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $t_n = \frac{t_i + t_c}{2}$.
આપેલ પ્રારંભિક સ્થિતિ: $t_n = 350\,^{\circ}C$ જ્યારે $t_c = 0\,^{\circ}C$.
સૂત્ર $t_n = \frac{t_i + t_c}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે થર્મોકપલની લાક્ષણિકતા મેળવીએ છીએ: $350 = \frac{t_i + 0}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $t_c = 0\,^{\circ}C$ માટે $t_i = 700\,^{\circ}C$.
જોકે,તટસ્થ તાપમાન $t_n$ એ આપેલ થર્મોકપલ જોડી માટે અચળ રહે છે. સૂત્રને $t_i = 2t_n - t_c$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
નવા ઠંડા જંકશન તાપમાન $t_c = 30\,^{\circ}C$ અને અચળ $t_n = 350\,^{\circ}C$ મૂકતા:
$t_i = 2(350) - 30 = 700 - 30 = 670\,^{\circ}C$.

(C) $SI$ પદ્ધતિમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનો એકમ ટેસ્લા $(T)$ છે.
$CGS$ પદ્ધતિમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનો એકમ ગૌસ $(G)$ છે.
આ બંને એકમો વચ્ચેનો સંબંધ $1 \, T = 10^4 \, G$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
તેથી,એક ટેસ્લા એ $10^4 \, \text{gauss}$ ની બરાબર છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ ની હાજરીમાં $\overrightarrow{v}$ વેગથી ગતિ કરતા પ્રોટોન પર લાગતું બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
પ્રોટોન અચળ વેગથી ગતિ કરતો હોવાથી,ચોખ્ખું બળ $\overrightarrow{F}$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
કિસ્સો $1$: જો $\overrightarrow{E} = 0$ અને $\overrightarrow{B} = 0$ હોય,તો $\overrightarrow{F} = 0$. પ્રોટોન સીધી રેખામાં ગતિ ચાલુ રાખે છે.
કિસ્સો $2$: જો $\overrightarrow{E} = 0$ અને $\overrightarrow{B} \neq 0$ હોય,તો બળ $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$. જો $\overrightarrow{B}$ એ $\overrightarrow{v}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય,તો $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B} = 0$ થાય,તેથી $\overrightarrow{F} = 0$.
કિસ્સો $3$: જો $\overrightarrow{E} \neq 0$ અને $\overrightarrow{B} \neq 0$ હોય,તો જો $q\overrightarrow{E} = -q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ એટલે કે $\overrightarrow{E} = -(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ હોય તો બળો એકબીજાને નાબૂદ કરી શકે છે. આ વેગ પસંદગીકાર (velocity selector) નો સિદ્ધાંત છે.
આમ,આપેલી તમામ શરતો શક્ય છે.

(B) જ્યારે ઈલેક્ટ્રોનના બે બીમ એકબીજાને સમાંતર અને એક જ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે દરેક બીમ એક વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર તરીકે વર્તે છે. ઈલેક્ટ્રોન એક જ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,બંને બીમમાં પ્રચલિત વિદ્યુતપ્રવાહ પણ એક જ દિશામાં હોય છે. બે સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકો વચ્ચેના ચુંબકીય બળના નિયમ મુજબ,સમાન દિશામાં વહેતા પ્રવાહો એકબીજાને આકર્ષે છે. જો કે,ઈલેક્ટ્રોન બીમ માટે આપણે સ્થિત-વિદ્યુત બળને પણ ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ. ઋણ વીજભારિત ઈલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ એ ચુંબકીય આકર્ષણ બળ કરતા ઘણું વધારે હોય છે. તેથી,એક જ દિશામાં ગતિ કરતા બે સમાંતર ઈલેક્ટ્રોન બીમ વચ્ચેનું પરિણામી બળ એ કાગળના સમતલમાં અપાકર્ષણ બળ હોય છે.

(A) $1$. ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોનના ગતિશીલ બીમ વિદ્યુત પ્રવાહ રચે છે. તેઓ એક જ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું ચુંબકીય બળ આકર્ષી પ્રકારનું હોય છે.
$2$. જોકે,ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન એ વીજભારિત કણો છે. ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ આકર્ષી હોય છે કારણ કે તેઓ વિરુદ્ધ વીજભાર ધરાવે છે.
$3$. આ ચોક્કસ પરિસ્થિતિમાં,સ્થિત-વિદ્યુત બળ એ ચુંબકીય બળ કરતા ઘણું વધારે પ્રબળ હોય છે.
$4$. તેથી,ઇલેક્ટ્રોન બીમ અને પ્રોટોન બીમ વચ્ચેનું પરિણામી બળ આકર્ષી હોય છે.

(A) $r$ અંતરે રહેલા લાંબા સીધા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0 = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ છે. $r$ ત્રિજ્યાના સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર લૂપને કારણે ક્ષેત્ર $B_{loop} = \frac{\mu_0 i}{2r} = \pi B_0$ છે.
કિસ્સો $1$: ક્ષેત્ર અર્ધ-વર્તુળાકાર ચાપ અને બે અર્ધ-અનંત તારને કારણે છે. તાર વિરુદ્ધ દિશામાં ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. કુલ ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{\mu_0 i}{2r} \right) - \frac{\mu_0 i}{4\pi r} - \frac{\mu_0 i}{4\pi r} = \frac{\mu_0 i}{4\pi r} (\pi - 2)$ છે.
કિસ્સો $2$: ક્ષેત્ર અર્ધ-વર્તુળાકાર ચાપ અને બે અર્ધ-અનંત તારને કારણે છે. ક્ષેત્રોનો સરવાળો થાય છે: $B_2 = \frac{1}{2} \left( \frac{\mu_0 i}{2r} \right) + \frac{\mu_0 i}{4\pi r} + \frac{\mu_0 i}{4\pi r} = \frac{\mu_0 i}{4\pi r} (\pi + 2)$ છે.
કિસ્સો $3$: ક્ષેત્ર $3/4$ વર્તુળાકાર ચાપ અને બે અર્ધ-અનંત તારને કારણે છે. $B_3 = \frac{3}{4} \left( \frac{\mu_0 i}{2r} \right) + \frac{\mu_0 i}{4\pi r} + \frac{\mu_0 i}{4\pi r} = \frac{\mu_0 i}{4\pi r} (\frac{3\pi}{2} + 2)$ છે.
દિશાઓ અને મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લેતા,ગુણોત્તર $\left( -\frac{\pi}{2} \right) : \left( \frac{\pi}{2} \right) : \left( \frac{3\pi}{4} - \frac{1}{2} \right)$ મળે છે.

(C) લાંબા સીધા તારથી $a$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi a}$ છે.
$i_1$ પ્રવાહ ધરાવતા વાહક $AOB$ ને કારણે બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2\pi a}$ છે.
$i_2$ પ્રવાહ ધરાવતા વાહક $COD$ ને કારણે બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 i_2}{2\pi a}$ છે.
વાહકો એકબીજાને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશો $B_1$ અને $B_2$ પણ એકબીજાને લંબ છે.
બિંદુ $P$ પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,$B_{net} = \sqrt{\left(\frac{\mu_0 i_1}{2\pi a}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0 i_2}{2\pi a}\right)^2}$.
$B_{net} = \frac{\mu_0}{2\pi a} \sqrt{i_1^2 + i_2^2} = \frac{\mu_0}{2\pi a}(i_1^2 + i_2^2)^{1/2}$.

(D) $P$ બિંદુએ કણની ગતિઊર્જા $K_P = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
$Q$ બિંદુએ કણની ગતિઊર્જા $K_Q = \frac{1}{2}m(2v)^2 = 2mv^2$ છે.
ગતિઊર્જામાં વધારો $\Delta K = K_Q - K_P = 2mv^2 - \frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{2}mv^2$ છે.
આ વધારો વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ દ્વારા થતા કાર્યને કારણે છે,કારણ કે કણ $x$-અક્ષ પર $2a$ અંતર કાપે છે.
તેથી,$W = qE(2a) = \frac{3}{2}mv^2$,જે આપે છે $E = \frac{3}{4}\frac{mv^2}{qa}$. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થતા કાર્યનો દર $P_e = \vec{F_e} \cdot \vec{v}$ છે. $P$ બિંદુએ,$\vec{F_e} = qE\hat{i}$ અને $\vec{v} = v\hat{i}$,તેથી $P_e = (qE)(v) = q(\frac{3}{4}\frac{mv^2}{qa})v = \frac{3}{4}\frac{mv^3}{a}$. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$Q$ બિંદુએ,વેગ $\vec{v} = -2v\hat{j}$ છે. વિદ્યુત બળ $\vec{F_e} = qE\hat{i}$ છે. કારણ કે $\vec{F_e} \perp \vec{v}$,વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થતા કાર્યનો દર $P_e = \vec{F_e} \cdot \vec{v} = 0$ છે. ચુંબકીય બળ $\vec{F_m} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ હંમેશા વેગ $\vec{v}$ ને લંબ હોય છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા થતા કાર્યનો દર $P_m = \vec{F_m} \cdot \vec{v} = 0$ છે. આમ,$Q$ આગળ કુલ કાર્યનો દર $0+0=0$ છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
તેથી,બધા વિધાનો સાચા છે.

(B) $1$. વાહકો $A$ અને $B$ માટે: જ્યારે બે સમાંતર વાહકો સમાન દિશામાં વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરે છે, ત્યારે તેઓ ચુંબકીય ક્ષેત્રો ઉત્પન્ન કરે છે જે તેમની વચ્ચે આકર્ષી બળ પેદા કરે છે. એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $F/L = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રવાહો સમાન દિશામાં હોવાથી, બળ આકર્ષી હોય છે.
$2$. ઇલેક્ટ્રોન બીમ $x$ અને $y$ માટે: ઇલેક્ટ્રોન એ ઋણ વીજભારિત કણો છે. જ્યારે તેઓ સમાન દિશામાં ગતિ કરે છે, ત્યારે તેઓ તેમની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં વિદ્યુતપ્રવાહ રચે છે. જો કે, તેઓ બંને ઋણ વીજભારિત હોવાથી, તેઓ એકબીજા પર પ્રબળ સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષી બળ લગાડે છે. ગતિમાન ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા બનતા સમાંતર પ્રવાહો વચ્ચે ચુંબકીય આકર્ષી બળ હોવા છતાં, સમાન વીજભારો વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ પ્રબળ હોય છે. તેથી, બે સમાંતર ઇલેક્ટ્રોન બીમ વચ્ચેનું ચોખ્ખું બળ અપાકર્ષી હોય છે.

(A) દરેક પ્રવાહધારિત રિંગ ચુંબકીય ડાયપોલ તરીકે વર્તે છે,જેની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{\mu}$ તેના સમતલને લંબ હોય છે.
જ્યારે રિંગ્સમાં પ્રવાહ પસાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ બીજી રિંગના ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે ચુંબકીય ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}$ અનુભવે છે.
આ ટોર્ક બંને રિંગ્સની ચુંબકીય મોમેન્ટને એક જ દિશામાં ગોઠવવાનું કાર્ય કરે છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ રિંગના સમતલને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય મોમેન્ટને એકીકૃત કરવાનો અર્થ એ છે કે બંને રિંગ્સના સમતલો ત્યાં સુધી ફરશે જ્યાં સુધી તેઓ એક જ સમતલમાં ન આવી જાય,જેથી લઘુત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા પ્રાપ્ત કરવા માટે પ્રવાહ એક જ દિશામાં વહે.
તેથી,બંને રિંગ્સ ફરીને એક સામાન્ય સમતલમાં આવે છે.

(C) ધારો કે પ્રોટોન કિરણ $x = 0$ પર છે અને ઇલેક્ટ્રોન કિરણ $x = d$ પર છે. બંને કિરણોમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ નું મૂલ્ય સમાન છે.
પ્રોટોન કિરણથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ માટે,પ્રોટોન કિરણને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_p = \frac{\mu_0 I}{2 \pi x}$ (અંદરની તરફ,$\otimes$) છે.
ઇલેક્ટ્રોન કિરણથી $(d - x)$ અંતરે ઇલેક્ટ્રોન કિરણને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_e = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (d - x)}$ (તે પણ અંદરની તરફ,$\otimes$,કારણ કે ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં છે) છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_p + B_e = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{d - x} \right)$ છે.
જેમ $x \to 0$,તેમ $B \to \infty$. જેમ $x \to d$,તેમ $B \to \infty$.
$x = d/2$ પર,$B$ ન્યૂનતમ છે.
આ એક $U$-આકારના વક્રને અનુરૂપ છે જ્યાં $B$ ધન છે અને બંને સીમાઓ $x=0$ અને $x=d$ પર અનંત તરફ જાય છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,આલેખ $(c)$ આ વર્તણૂકને રજૂ કરે છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ ના વિસ્તારમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું કુલ બળ લોરેન્ઝ બળના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
કુલ બળ શૂન્ય થવા માટે,$\overrightarrow{F} = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\overrightarrow{E} = -(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુત બળ $\overrightarrow{F_e} = q\overrightarrow{E}$ અને ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F_m} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
આકૃતિ $B$ માં,વેગ $\overrightarrow{v}$ એ $x$-અક્ષ પર છે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ એ $z$-અક્ષ પર છે,અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ એ $y$-અક્ષ પર છે.
ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F_m} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ એ $(\hat{i} \times \hat{k}) = -\hat{j}$ ની દિશામાં હશે,જે ઋણ $y$-અક્ષ પર છે.
વિદ્યુત બળ $\overrightarrow{F_e} = q\overrightarrow{E}$ એ ધન $y$-અક્ષ પર છે.
બળો દિશામાં વિરુદ્ધ હોવાથી,જો તેમના મૂલ્યો સમાન હોય $(|qE| = |qvB|)$,તો તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરી શકે છે. આમ,આકૃતિ $B$ માં કુલ બળ શૂન્ય હોઈ શકે છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ની ઉર્જા ઘનતા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{B^2}{2\mu_0}$ છે.
અહીં,$U$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની પ્રેરણાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે $(U \propto B^2)$.
આ સંબંધ એક પરવલય (parabola) દર્શાવે છે જે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $U$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે.
તેથી,$U$ વિરુદ્ધ $B$ નો આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતો ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે,જે વિકલ્પ $A$ માં આપેલા આલેખને અનુરૂપ છે.

(B) જ્યારે $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી પાતળી નળાકાર કવચમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ વહે છે,ત્યારે એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,કવચની અંદર $(r < R)$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શૂન્ય હોય છે.
ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{B^2}{2\mu_0}$ હોવાથી,$r < R$ માટે $U = 0$ થાય છે.
કવચની બહારના વિસ્તાર $(r > R)$ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ છે.
આ કિંમતને ઉર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $U = \frac{1}{2\mu_0} \left( \frac{\mu_0 i}{2\pi r} \right)^2 = \frac{\mu_0 i^2}{8\pi^2 r^2}$ મળે છે.
આમ,$r > R$ માટે $U \propto \frac{1}{r^2}$ અને $r < R$ માટે $U = 0$ થાય છે.
આ વર્તણૂક દર્શાવતો આલેખ $r = 0$ થી $r = R$ સુધી $U = 0$ અને $r > R$ માટે $U \propto r^{-2}$ મુજબનો વળાંક દર્શાવે છે. આ આલેખ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $(B)$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ચુંબકીય ફ્લક્સ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ચુંબકીય ફ્લક્સનો $SI$ એકમ વેબર $(Wb)$ છે. તેથી,ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતાનો એકમ $Wb/m^2$ છે,જેને ટેસ્લા $(T)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.
લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ મુજબ,$F = IlB \sin(\theta)$ પરથી,$B = F / (Il)$ લખી શકાય. આમ,તેનો એકમ ન્યૂટન પ્રતિ એમ્પિયર-મીટર $(N/(A \cdot m))$ પણ થાય છે.
આમ,ત્રણેય વિકલ્પો સમાન ભૌતિક રાશિ દર્શાવતા હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) થોમસન માસ સ્પેક્ટ્રોગ્રાફમાં,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ એકબીજાને સમાંતર લાગુ કરવામાં આવે છે. આ ગોઠવણી ફ્લોરોસન્ટ સ્ક્રીન પરના વિચલનને અવલોકન કરીને ધન આયનોને તેમના વિદ્યુતભાર-દળ ગુણોત્તર $(q/m)$ ના આધારે અલગ કરવાની મંજૂરી આપે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) થોમસનના માસ સ્પેક્ટ્રોગ્રાફમાં,પેરાબોલાનું સમીકરણ $y = \frac{k q}{m} x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = \frac{B^2 L D}{E}$ છે.
પેરાબોલા સંપાત થાય તે માટે,બંને કિસ્સાઓમાં $\frac{k q}{m}$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
ધારો કે સિંગલી આયોનાઇઝ્ડ આયનનો વીજભાર $q_1 = e$ અને દળ $m_1$ છે,અને ડબલી આયોનાઇઝ્ડ આયનનો વીજભાર $q_2 = 2e$ અને દળ $m_2$ છે.
આપેલ છે કે વિદ્યુત ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{1}{2}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{B_1}{B_2} = \frac{3}{2}$ છે.
અચળાંકોને સરખાવતા: $\frac{B_1^2}{E_1 m_1} q_1 = \frac{B_2^2}{E_2 m_2} q_2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(3/2)^2}{1/2 \cdot m_1} \cdot e = \frac{1^2}{1 \cdot m_2} \cdot 2e$.
$\frac{9/4}{1/2 \cdot m_1} = \frac{2}{m_2} \implies \frac{9}{2 m_1} = \frac{2}{m_2}$.
તેથી,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{9}{4}$.

(B) ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે. $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ માટે,$L = 2\pi r$,તેથી $r = \frac{L}{2\pi}$. કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_c = \frac{\mu_0 i}{2r} = \frac{\mu_0 i}{2(L/2\pi)} = \frac{\mu_0 i \pi}{L}$ છે.
$a$ બાજુ ધરાવતા ચોરસ માટે,$L = 4a$,તેથી $a = \frac{L}{4}$. એક બાજુને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_s = \frac{\mu_0 i}{4\pi (a/2)} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ) = \frac{\mu_0 i}{2\pi a} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 i}{\pi a \sqrt{2}}$ છે.
ચોરસમાં $4$ બાજુઓ હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{square} = 4 \times \frac{\mu_0 i}{\pi a \sqrt{2}} = \frac{4\mu_0 i}{\pi (L/4) \sqrt{2}} = \frac{16\mu_0 i}{\pi L \sqrt{2}}$ થાય.
ગુણોત્તર $\frac{B_c}{B_{square}} = \frac{\mu_0 i \pi / L}{16\mu_0 i / (\pi L \sqrt{2})} = \frac{\pi^2 \sqrt{2}}{16} = \frac{\pi^2}{8\sqrt{2}}$ મળે.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવાહ ધરાવતા બંધ લૂપ પરનું કુલ ચુંબકીય બળ શૂન્ય હોય છે.
ધારો કે વિભાગ $QP$ પરનું બળ $F_4$ છે.
આ બળોની અસર હેઠળ લૂપ સંતુલનમાં હોવાથી,તમામ બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} + \vec{F_4} = 0$
$\vec{F_4} = -(\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3})$
બળોને આડા અને ઊભા ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
ધારો કે આડી દિશા $x$-અક્ષ (જમણી તરફ ધન) અને ઊભી દિશા $y$-અક્ષ (ઉપરની તરફ ધન) છે.
$F_{4x} = -(F_{3x} + F_{2x} + F_{1x}) = -(F_3 + 0 - F_1) = F_1 - F_3$
$F_{4y} = -(F_{3y} + F_{2y} + F_{1y}) = -(0 - F_2 + 0) = F_2$
બળ $F_4$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે છે:
$F_4 = \sqrt{F_{4x}^2 + F_{4y}^2} = \sqrt{(F_1 - F_3)^2 + F_2^2} = \sqrt{(F_3 - F_1)^2 + F_2^2}$

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા પ્રવાહધારિત બંધ લૂપ પરનું કુલ ચુંબકીય બળ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
ધારો કે ભુજાઓ $AB,$ $BC,$ અને $AC$ પરના બળો અનુક્રમે $\vec{F}_{AB},$ $\vec{F}_{BC},$ અને $\vec{F}_{AC}$ છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,$\vec{F}_{AB} + \vec{F}_{BC} + \vec{F}_{AC} = 0.$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર ભુજા $AB$ ની દિશામાં કાર્યરત હોવાથી,ભુજા $AB$ ના પ્રવાહ ખંડ $I\vec{dl}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ અથવા $180^\circ$ છે.
તેથી,ભુજા $AB$ પરનું ચુંબકીય બળ $\vec{F}_{AB} = I(\vec{L}_{AB} \times \vec{B}) = 0$ થાય.
આ કિંમતને કુલ બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $0 + \vec{F}_{BC} + \vec{F}_{AC} = 0.$
આપેલ છે કે $\vec{F}_{BC} = \vec{F},$ તેથી આપણને $\vec{F} + \vec{F}_{AC} = 0$ મળે છે.
આમ,$\vec{F}_{AC} = -\vec{F}$ થાય.

(B) $1$. જ્યારે પ્રોટોન સ્થિર હોય છે,ત્યારે તેના પર લાગતું એકમાત્ર બળ વિદ્યુત બળ $F_E = qE = eE$ છે. આપેલ છે કે પ્રવેગ પશ્ચિમ દિશામાં $a_0$ છે,તેથી $ma_0 = eE$,જેનો અર્થ છે કે $E = \frac{ma_0}{e}$ પશ્ચિમ દિશામાં છે.
$2$. જ્યારે પ્રોટોનને $v_0$ ઝડપ સાથે ઉત્તર દિશામાં ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ બળ એ વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળનો સદિશ સરવાળો છે: $F_{net} = F_E + F_B = ma_{net}$.
$3$. કુલ પ્રવેગ પશ્ચિમ દિશામાં $3a_0$ છે. કારણ કે $F_E$ પશ્ચિમ દિશામાં $ma_0$ છે,તેથી ચુંબકીય બળ $F_B$ પશ્ચિમ દિશામાં $2ma_0$ હોવું જોઈએ જેથી કુલ બળ પશ્ચિમ દિશામાં $3a_0$ મળે $(F_B = F_{net} - F_E = 3ma_0 - ma_0 = 2ma_0)$.
$4$. ચુંબકીય બળ $F_B = q(v \times B) = ev_0B \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બળ પશ્ચિમ દિશામાં અને વેગ ઉત્તર દિશામાં હોવાથી,ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમ મુજબ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચેની દિશામાં હોવું જોઈએ.
$5$. મૂલ્યોને સરખાવતા: $ev_0B = 2ma_0$,જે આપે છે $B = \frac{2ma_0}{ev_0}$ નીચેની દિશામાં.

(D) ઇલેક્ટ્રોન સીધી રેખામાં ગતિ કરે તે માટે,વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ સમાન હોવા જોઈએ: $F_E = F_B$.
$eE = evB$,જ્યાં $E$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર છે અને $v$ એ વેગ છે.
$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ હોવાથી,$\frac{\sigma}{\varepsilon_0} = vB$,જેનો અર્થ છે કે $v = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 B}$.
$l$ લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{l}{v}$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $t = \frac{l}{\frac{\sigma}{\varepsilon_0 B}} = \frac{\varepsilon_0 l B}{\sigma}$ મળે છે.

(D) શરૂઆતમાં,જ્યારે તાર આકૃતિ $(A)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ સમાન દિશામાં પ્રવાહ વહન કરે છે,ત્યારે તાર $1$ અને $2$ ને કારણે મધ્યબિંદુ $O$ પરના ચુંબકીય ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
$B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2i_1}{x}$ (અંદરની તરફ)
$B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2i_2}{x}$ (બહારની તરફ)
$O$ પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2}{x} (i_1 - i_2)$ છે.
આપેલ છે કે $B_{net} = 10 \, \mu T$,તેથી $10 \times 10^{-6} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2}{x} (i_1 - i_2)$ ..... $(i)$
જ્યારે $i_2$ ની દિશા આકૃતિ $(B)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે બંને તારને કારણે $O$ પરના ચુંબકીય ક્ષેત્રો સમાન દિશામાં (અંદરની તરફ) હોય છે.
$B_{net}' = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2}{x} (i_1 + i_2)$ છે.
આપેલ છે કે $B_{net}' = 40 \, \mu T$,તેથી $40 \times 10^{-6} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2}{x} (i_1 + i_2)$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{i_1 + i_2}{i_1 - i_2} = \frac{40}{10} = 4$
$i_1 + i_2 = 4i_1 - 4i_2$
$5i_2 = 3i_1$
$\frac{i_1}{i_2} = \frac{5}{3}$

(C) ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N i R^2}{2(x^2 + R^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના ગૂંચળા $X$ માટે,ત્રિજ્યા $r$ છે અને $O$ થી અંતર $x = d/2$ છે. તેથી,$B_X = \frac{\mu_0 N i r^2}{2((d/2)^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{8\mu_0 N i r^2}{2(d^2+4r^2)^{3/2}}$.
મોટા ગૂંચળા $Y$ માટે,ત્રિજ્યા $2r$ છે અને $O$ થી અંતર $x = d$ છે. તેથી,$B_Y = \frac{\mu_0 N i (2r)^2}{2(d^2 + 4r^2)^{3/2}} = \frac{4\mu_0 N i r^2}{2(d^2+4r^2)^{3/2}}$.
તેથી,$\frac{B_Y}{B_X} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(C) આ લૂપ બે ભાગોની બનેલી છે: એક વર્તુળાકાર ચાપ અને એક સીધો તાર.
બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,કેન્દ્ર પર $\theta$ ખૂણો બનાવતી $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{arc} = \frac{\mu_0 i \theta}{4 \pi R}$ છે. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપેલ વિષમઘડી પ્રવાહ માટે,ક્ષેત્ર કાગળને લંબ બહારની તરફ હોય છે.
સીધા તાર માટે,કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{wire} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sin \alpha + \sin \beta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ $O$ થી તારનું લંબ અંતર છે. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આ સીધા તારને કારણે ક્ષેત્ર કાગળને લંબ અંદરની તરફ હોય છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_{arc} - B_{wire}$ છે. કોઈપણ $\theta < 180^\circ$ માટે ચાપની લંબાઈ જીવા કરતા વધારે હોવાથી,ચાપનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર હંમેશા સીધા તાર કરતા વધારે હોય છે. તેથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળને લંબ બહારની તરફ હોય છે.

(A) ધારો કે ધન વીજભારિત બીમ $x = 0$ પર છે અને ઋણ વીજભારિત બીમ $x = d$ પર છે.
ધન વીજભારો એક દિશામાં અને ઋણ વીજભારો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,આ બીમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા પ્રવાહો $I_1$ અને $I_2$ સમાન દિશામાં હોય છે.
પ્રથમ બીમથી અંતર $x$ ધારો. પ્રથમ બીમ દ્વારા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi x}$ (પાનાની અંદરની તરફ) છે.
બીજા બીમ દ્વારા $(d - x)$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (d - x)}$ (પાનાની બહારની તરફ) છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{d - x} \right)$ છે.
મધ્યબિંદુ $x = d/2$ પર,$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi} \left( \frac{1}{d/2} - \frac{1}{d/2} \right) = 0$ થાય છે.
જેમ $x \to 0$ થાય,તેમ $B \to \infty$ અને જેમ $x \to d$ થાય,તેમ $B \to -\infty$ થાય છે.
આ વર્તણૂક વિકલ્પ $A$ માં આપેલા આલેખ દ્વારા યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવી છે.

(B) ધારો કે પાતળા વાહકમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ છે અને પોલા વાહકમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ છે. બંને પ્રવાહો સમાન દિશામાં છે.
$r < R$ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માત્ર અક્ષ પરના પાતળા વાહકને કારણે છે. એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$,આપણને $B(2\pi r) = \mu_0 I$ મળે છે,તેથી $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$. આમ,$B \propto \frac{1}{r}$.
$r > R$ માટે,$r$ ત્રિજ્યાના એમ્પીરીયન લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલ કુલ પ્રવાહ $I + I = 2I$ છે. એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$B(2\pi r) = \mu_0 (2I)$,તેથી $B = \frac{\mu_0 (2I)}{2\pi r} = \frac{\mu_0 I}{\pi r}$. આમ,$B \propto \frac{1}{r}$.
$r = R$ પર,પોલા વાહકને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર અંદર $(r < R)$ શૂન્ય છે અને પાતળા વાહકને કારણે ક્ષેત્ર $\frac{\mu_0 I}{2\pi R}$ છે. બહારની બાજુએ $(r > R)$,ક્ષેત્ર બંને વાહકોના ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે,જે $\frac{\mu_0 I}{2\pi R} + \frac{\mu_0 I}{2\pi R} = \frac{\mu_0 I}{\pi R}$ છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ $r = R$ પર $\frac{\mu_0 I}{2\pi R}$ થી વધીને $\frac{\mu_0 I}{\pi R}$ થાય છે,અને બંને પ્રદેશોમાં $1/r$ પર આધાર રાખે છે. આ તે આલેખને અનુરૂપ છે જ્યાં $r = R$ પર અસતત કૂદકો (jump) જોવા મળે છે અને બંને ભાગો $1/r$ વક્રને અનુસરે છે.

(A) પાઇપના એક નાના ઘટકને ધ્યાનમાં લો જે કેન્દ્ર પર $d\theta$ ખૂણો આંતરે છે. આ ઘટકમાં પ્રવાહ $dI = \frac{I}{2\pi} d\theta$ છે.
આ લાંબા પ્રવાહ વહન કરતા પટ્ટા (અનંત વાયર તરીકે કાર્યરત) ને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB = \frac{\mu_0 (dI)}{2\pi R} = \frac{\mu_0 I}{4\pi^2 R} d\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$dB$ ની દિશા ઘટકના ત્રિજ્યા સદિશને લંબ હોય છે. ચોથા ભાગ માટે,ખૂણો $\theta$ એ $0$ થી $\pi/2$ સુધી બદલાય છે. ક્ષેત્રને ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
$dB_x = dB \sin\theta$ અને $dB_y = -dB \cos\theta$.
આ ઘટકોનું $0$ થી $\pi/2$ સુધી સંકલન કરતા:
$B_x = \int_0^{\pi/2} \frac{\mu_0 I}{4\pi^2 R} \sin\theta d\theta = \frac{\mu_0 I}{4\pi^2 R} [-\cos\theta]_0^{\pi/2} = \frac{\mu_0 I}{4\pi^2 R}$.
$B_y = \int_0^{\pi/2} \frac{\mu_0 I}{4\pi^2 R} \cos\theta d\theta = \frac{\mu_0 I}{4\pi^2 R} [\sin\theta]_0^{\pi/2} = \frac{\mu_0 I}{4\pi^2 R}$.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B = \sqrt{B_x^2 + B_y^2} = \sqrt{(\frac{\mu_0 I}{4\pi^2 R})^2 + (\frac{\mu_0 I}{4\pi^2 R})^2} = \frac{\mu_0 I \sqrt{2}}{4\pi^2 R}$ મળે છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(-d, 0, 0)$ પરના તારથી $x'$ અંતરે છે. $(d, 0, 0)$ પરના તારથી તેનું અંતર $(2d - x')$ થશે.
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(-d, 0, 0)$ પરના તારમાં $-y$ દિશામાં વહેતા $I$ પ્રવાહને કારણે બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi x'}$ (પાનાની અંદરની તરફ,એટલે કે $-z$ દિશામાં) મળે છે.
$(d, 0, 0)$ પરના તારમાં $+y$ દિશામાં વહેતા $4I$ પ્રવાહને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 (4I)}{2 \pi (2d - x')}$ (પાનાની અંદરની તરફ,એટલે કે $-z$ દિશામાં) મળે છે.
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હોવાથી,કુલ ક્ષેત્ર $B_z = -\frac{\mu_0}{2 \pi} \left( \frac{I}{x'} + \frac{4I}{2d - x'} \right)$ થશે.
જ્યારે $x' \to 0$ અથવા $x' \to 2d$ થાય,ત્યારે $B_z \to -\infty$ થાય છે. માન $|B_z|$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય ત્યારે મળે જ્યારે $\frac{d|B_z|}{dx'} = 0$ થાય.
$\frac{d}{dx'} \left( \frac{1}{x'} + \frac{4}{2d - x'} \right) = -\frac{1}{(x')^2} + \frac{4}{(2d - x')^2} = 0 \Rightarrow (2d - x')^2 = 4(x')^2 \Rightarrow 2d - x' = 2x' \Rightarrow x' = \frac{2d}{3}$.
$x' = \frac{2d}{3}$ પર,ક્ષેત્રનું માન ન્યૂનતમ છે. આલેખ તારના સ્થાનો પર અનંત સ્પર્શકો સાથે $U$-આકારનો વળાંક દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે:
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = qE$ છે.
આ બળ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી $F = \frac{mv_0^2}{r_1}$.
બંનેને સરખાવતા,$qE = \frac{mv_0^2}{r_1}$,જે $r_1 = \frac{mv_0^2}{qE}$ આપે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે:
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = qv_0B$ છે (કારણ કે વેગ ક્ષેત્રને લંબ છે).
આ બળ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી $F = \frac{mv_0^2}{r_2}$.
બંનેને સરખાવતા,$qv_0B = \frac{mv_0^2}{r_2}$,જે $r_2 = \frac{mv_0}{qB}$ આપે છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી:
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{\frac{mv_0^2}{qE}}{\frac{mv_0}{qB}} = \frac{mv_0^2}{qE} \times \frac{qB}{mv_0} = \frac{Bv_0}{E}$.
આમ,ગુણોત્તર $r_1:r_2$ એ $\frac{Bv_0}{E}$ છે.

(A) $r$ અંતરે રહેલા બે પ્રોટોન વચ્ચેનું વિદ્યુત બળ $F_e$ કુલંબના નિયમ મુજબ: $F_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2}$ છે.
સમાંતર ગતિ કરતા બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું ચુંબકીય બળ $F_m = qvB$ છે,જ્યાં $B$ એ એક પ્રોટોન દ્વારા બીજા પ્રોટોનના સ્થાન પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે: $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{qv}{r^2}$.
તેથી,$F_m = qv \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{qv}{r^2} \right) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q^2 v^2}{r^2}$.
વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{F_e}{F_m} = \frac{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2}}{\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q^2 v^2}{r^2}} = \frac{1}{\epsilon_0 \mu_0 v^2}$.
પ્રકાશની ઝડપ $c$ એ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,તેથી $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$ થાય.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા,આપણને $\frac{F_e}{F_m} = \frac{c^2}{v^2}$ મળે છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશતા પહેલા વીજભારિત કણની ઝડપ $v_0$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પ્રાપ્ત કરેલી ગતિ ઊર્જા એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલી હોય છે:
$qV = \frac{1}{2}mv_0^2$
$v_0$ માટે ઉકેલતા:
$v_0 = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$r = \frac{mv_0}{qB}$
આકૃતિ પરથી,છિદ્રો વચ્ચેનું અંતર $d$ એ વર્તુળાકાર પથનો વ્યાસ છે,તેથી $r = \frac{d}{2}$.
આ કિંમતને ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{d}{2} = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{d^2}{4} = \frac{m^2}{q^2B^2} \cdot \frac{2qV}{m}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{d^2}{4} = \frac{2mV}{qB^2}$
$m$ માટે ઉકેલતા:
$m = \frac{qB^2d^2}{8V}$

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ $+y$ દિશામાં છે,તેથી કણનો પ્રવેગ $a_y = (qE/m)$ છે.
કણ ઉગમબિંદુ પર પાછો આવે તે માટે,કોઈ સમય $t > 0$ પર $y$-અક્ષ પર તેનું સ્થાનાંતર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$y$-અક્ષ પર ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$.
$y = 0$ અને $u_y = -v$ લેતા,આપણને મળે છે: $0 = -vt + \frac{1}{2} (qE/m) t^2$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે: $t = \frac{2mv}{qE}$.
આ સમય $t$ માં,$y$-અક્ષ પરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને કારણે કણે $x$-$z$ સમતલમાં પૂર્ણાંક સંખ્યામાં પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા જોઈએ.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પરિભ્રમણનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi m}{qB}$ છે.
કણ ઉગમબિંદુ પર પાછો આવે તે માટે,સમય $t$ એ આવર્તકાળ $T$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $t = nT$ જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
$t$ અને $T$ ના સૂત્રો મૂકતા: $\frac{2mv}{qE} = n \left( \frac{2\pi m}{qB} \right)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે: $\frac{v}{E} = n \frac{\pi}{B}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{vB}{\pi E} = n$.
આમ,$[vB / \pi E]$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ પરથી,જેમ કણ ગતિ કરે છે તેમ માર્ગની ત્રિજ્યા $r$ ઘટી રહી છે.
વિધાન $[1]$: જો ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B$ વધે,તો ત્રિજ્યા $r$ ઘટે છે $(r \propto \frac{1}{B})$. આમ,આ એક શક્ય સમજૂતી છે.
વિધાન $[2]$: જેમ કણ હવામાંથી પસાર થાય છે,તેમ તે હવાના અણુઓના અથડામણ અને આયનીકરણને કારણે ગતિ ઉર્જા $(K = \frac{1}{2}mv^2)$ ગુમાવે છે. કારણ કે $r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$,ગતિ ઉર્જા $K$ માં ઘટાડો થવાથી ત્રિજ્યા $r$ માં ઘટાડો થાય છે. આમ,આ એક શક્ય સમજૂતી છે.
વિધાન $[3]$: જો કણ વિદ્યુતભાર $q$ ગુમાવે,તો ત્રિજ્યા $r$ વધશે $(r \propto \frac{1}{q})$,જે અવલોકન કરેલા માર્ગથી વિરોધાભાસી છે. તેથી,આ વિધાન ખોટું છે.
આમ,વિધાનો $[1]$ અને $[2]$ સાચા છે.

(D) વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા બંધ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે જો વિદ્યુતપ્રવાહનું વિતરણ સપ્રમાણ હોય જેથી દરેક વિભાગ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર બીજા વિભાગ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ સમાન અને વિરુદ્ધ ક્ષેત્ર દ્વારા રદ થાય.
ષટ્કોણ માટે,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે જો દરેક વિભાગમાં વિદ્યુતપ્રવાહ એવો હોય કે જેથી ચોખ્ખા ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય થાય.
જો ષટ્કોણ અલગ-અલગ અવરોધ ધરાવતા બે અલગ-અલગ પદાર્થો $P$ અને $Q$ થી બનેલો હોય,તો $X$ અને $Y$ ને જોડતા બે માર્ગો વચ્ચે વિદ્યુતપ્રવાહ અસમાન રીતે વહેંચાશે.
જો પદાર્થો $P$ અને $Q$ ની ગોઠવણી $X$ અને $Y$ બિંદુઓના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ ન હોય,તો વિભાગોમાં વિદ્યુતપ્રવાહ એવો નહીં હોય કે જેથી તેમના ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાને રદ કરે.
વિકલ્પ $A$ માં,ગોઠવણી સપ્રમાણ છે. વિકલ્પ $B$ માં,ગોઠવણી સપ્રમાણ છે. વિકલ્પ $C$ માં,ગોઠવણી સપ્રમાણ છે. વિકલ્પ $D$ માં,$X$ અને $Y$ બિંદુઓના સંદર્ભમાં ગોઠવણી સપ્રમાણ નથી કારણ કે બે માર્ગો પર પદાર્થો $P$ અને $Q$ નું વિતરણ અલગ છે,જેના પરિણામે અસમાન વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે અને કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોતું નથી.

(C) જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ ચોરસ ફ્રેમના સામસામેના ખૂણાઓમાંથી દાખલ થાય અને બહાર નીકળે (જેમ કે વિકલ્પ $A$ અને $B$ માં),ત્યારે વિદ્યુતપ્રવાહના વિતરણની સંમિતિને કારણે કેન્દ્ર પર દરેક તારના ટુકડા દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,પરિણામે ચોખ્ખું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $0$ મળે છે.
વિકલ્પ $C$ માં,વિદ્યુતપ્રવાહ એક ખૂણેથી દાખલ થાય છે અને નજીકના ખૂણેથી બહાર નીકળે છે. વિદ્યુતપ્રવાહ બે અલગ-અલગ લંબાઈના માર્ગોમાં વહેંચાય છે. ધારો કે કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ છે. ટૂંકા માર્ગમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $i_1 = \frac{3}{4}I$ અને લાંબા માર્ગમાં $i_2 = \frac{1}{4}I$ છે.
$L$ લંબાઈના સીધા તારના ટુકડાને કારણે,જે $d = L/2$ ના લંબ અંતરે $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરે છે,તેના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi d}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ચોરસની દરેક બાજુ માટે,$\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ$ છે.
કારણ કે વિદ્યુતપ્રવાહ $i_1$ અને $i_2$ અસમાન છે,તેથી તારના ટુકડાઓ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાને નાબૂદ કરતા નથી. ખાસ કરીને,ટુકડાઓનું યોગદાન શૂન્ય થતું નથી કારણ કે કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં વિદ્યુતપ્રવાહનું વિતરણ અસમપ્રમાણ છે. તેથી,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય નથી.

(D) વિકલ્પ $(A)$ ખોટો છે કારણ કે $90^o$ સિવાયના ખૂણે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશતો વીજભારિત કણ હેલિકલ (કુંતલાકાર) માર્ગે ગતિ કરે છે,વર્તુળાકાર નહીં.
વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે. જ્યારે વીજભારિત કણ તેના વેગને લંબ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે $F = q(v \times B)$ જેટલું ચુંબકીય બળ અનુભવે છે જે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે કણ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે. ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરશે.
વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે. ગતિ કરતા વીજભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ હંમેશા તેના વેગને લંબ હોય છે $(F = q(v \times B))$. બળ સ્થાનાંતરને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય બળ દ્વારા થતું કાર્ય શૂન્ય છે $(W = F \cdot ds = 0)$. કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કણની ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા હોવાથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો જવાબ છે.

(C) વેલોસિટી સિલેક્ટરમાં,કણ વિચલિત થયા વગર પસાર થાય તે માટે વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ સંતુલિત હોવા જોઈએ: $qE = qvB$,તેથી $E = vB$.
આપેલ છે $v = 1.5 \times 10^6 \, ms^{-1}$ અને $B = 1.0 \, T$,તેથી $E = (1.5 \times 10^6)(1.0) = 1.5 \times 10^6 \, Vm^{-1}$.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ એ $+x$ દિશામાં લાગે છે (જમણા હાથના નિયમ મુજબ $\vec{v} = v\hat{j}$ અને $\vec{B} = -B\hat{k}$ માટે),તેથી વિદ્યુત બળ $-x$ દિશામાં લાગવું જોઈએ. આમ,$\vec{E} = -1.5 \times 10^6 \hat{i} \, NC^{-1}$.
ચેમ્બર $X$ માં વર્તુળાકાર ગતિ માટે,ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $v, q,$ અને $B$ બંને કણો માટે સમાન છે,તેથી $r \propto m$.
તેથી,$\frac{r_A}{r_B} = \frac{m_A}{m_B} = \frac{12}{13}$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) તકતી પર $x$ ત્રિજ્યા અને $dx$ જાડાઈની એક નાની રીંગ ધારો.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{Q}{\pi R^2}$ છે.
રીંગ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \sigma (2 \pi x dx) = \frac{Q}{\pi R^2} (2 \pi x dx) = \frac{2Qx dx}{R^2}$ છે.
આ રીંગના $\omega$ કોણીય વેગથી પરિભ્રમણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવાહ $di = \frac{dq}{T} = \frac{dq \omega}{2 \pi} = \frac{2Qx dx}{R^2} \cdot \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{Q \omega x dx}{\pi R^2}$ છે.
આ રીંગને કારણે કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB = \frac{\mu_0 di}{2x} = \frac{\mu_0}{2x} \cdot \frac{Q \omega x dx}{\pi R^2} = \frac{\mu_0 Q \omega}{2 \pi R^2} dx$ છે.
$x = 0$ થી $x = R$ સુધી સંકલન કરતા:
$B = \int_0^R \frac{\mu_0 Q \omega}{2 \pi R^2} dx = \frac{\mu_0 Q \omega}{2 \pi R^2} [x]_0^R = \frac{\mu_0 Q \omega}{2 \pi R^2} \cdot R = \frac{\mu_0 Q \omega}{2 \pi R}$ મળે.
આમ,$B \propto \frac{1}{R}$.
આ સંબંધ લંબચોરસ હાયપરબોલા (rectangular hyperbola) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જે આકૃતિ $A$ ને અનુરૂપ છે.

(A) ધારો કે વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારની લંબાઈ $l$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,તાર પર લાગતા બળો તણાવ $T$,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(\lambda l)g$ અને ચુંબકીય બળ $F_B$ છે.
બે તાર વચ્ચેનું અંતર $r = 2L \sin \theta$ છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ ચુંબકીય બળ $\frac{F_B}{l} = \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi (2L \sin \theta)} = \frac{\mu_0 I^2}{4 \pi L \sin \theta}$ થાય.
બળોને શિરોલંબ અને સમક્ષિતિજ દિશામાં ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
$T \cos \theta = \lambda l g$
$T \sin \theta = F_B = \frac{\mu_0 I^2 l}{4 \pi L \sin \theta}$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\tan \theta = \frac{F_B}{\lambda l g} = \frac{\mu_0 I^2 l}{4 \pi L \sin \theta \cdot \lambda l g} = \frac{\mu_0 I^2}{4 \pi \lambda g L \sin \theta}$
$I$ માટે ઉકેલતા:
$I^2 = \frac{4 \pi \lambda g L \sin \theta \tan \theta}{\mu_0} = \frac{4 \pi \lambda g L \sin^2 \theta}{\mu_0 \cos \theta}$
$I = 2 \sin \theta \sqrt{\frac{\pi \lambda g L}{\mu_0 \cos \theta}}$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવાહધારિત સુવાહક પર લાગતું બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ છે.
અહીં,$\vec{L} = 3 \hat{a}_z \text{ m}$ (સુવાહકની લંબાઈ $-1.5$ થી $1.5$ સુધી) અને $I = 10 \text{ A}$ એ $-\hat{a}_z$ દિશામાં છે,તેથી $\vec{I} = -10 \hat{a}_z \text{ A}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 3.0 \times 10^{-4} e^{-0.2x} \hat{a}_y \text{ T}$ છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I \vec{L} \times \vec{B} = (-10 \hat{a}_z) \times (3.0 \times 10^{-4} e^{-0.2x} \hat{a}_y) = -30 \times 10^{-4} e^{-0.2x} (\hat{a}_z \times \hat{a}_y) = 3.0 \times 10^{-3} e^{-0.2x} \hat{a}_x \text{ N}$.
સુવાહકને અચળ ઝડપે ગતિ કરાવવા માટે,બાહ્ય બળ $\vec{F}_{ext} = -\vec{F} = -3.0 \times 10^{-3} e^{-0.2x} \hat{a}_x \text{ N}$ લગાડવું પડે.
થયેલ કાર્ય $W = \int_0^2 F_{ext} dx = \int_0^2 3.0 \times 10^{-3} e^{-0.2x} dx$.
$W = 3.0 \times 10^{-3} \left[ \frac{e^{-0.2x}}{-0.2} \right]_0^2 = \frac{3.0 \times 10^{-3}}{-0.2} (e^{-0.4} - 1) = 0.015 (1 - e^{-0.4}) \approx 0.01485 \text{ J}$.
પાવર $P = \frac{W}{t} = \frac{0.01485}{5 \times 10^{-3}} = 2.97 \text{ W}$.

(D) આપેલ છે: $B = 1\, T$,$E = 1\, V/m$,$m = 1\, kg$,$q = 1\, C$,$\vec{v}_0 = 1\hat{i}\, m/s$. વિદ્યુત ક્ષેત્ર $y-$ અક્ષની દિશામાં છે,તેથી $y-$ દિશામાં પ્રવેગ $a_y = \frac{qE}{m} = \frac{1 \times 1}{1} = 1\, m/s^2$ થશે. $t$ સમયે $y-$ દિશામાં સ્થાન $y(t) = v_{0y}t + \frac{1}{2}a_yt^2 = 0 + \frac{1}{2}(1)t^2 = \frac{t^2}{2}$ થશે. $t = \pi$ સમયે,$y = \frac{\pi^2}{2}$ મળે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $y-$ અક્ષની દિશામાં છે. લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ ને કારણે $x-z$ સમતલમાં વર્તુળાકાર ગતિ થાય છે. આ વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv_{\perp}}{qB} = \frac{1 \times 1}{1 \times 1} = 1\, m$ છે. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{qB}{m} = 1\, rad/s$ છે. $x-z$ સમતલમાં સ્થાન $x(t) = R \sin(\omega t)$ અને $z(t) = R(1 - \cos(\omega t))$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (કારણ કે તે ઉગમબિંદુથી $x$ ની દિશામાં વેગ સાથે શરૂ થાય છે). $t = \pi$ સમયે,$x(\pi) = 1 \sin(\pi) = 0$ અને $z(\pi) = 1(1 - \cos(\pi)) = 1(1 - (-1)) = 2$ મળે. આમ,યામ $(0, \pi^2/2, 2)$ થશે.

(A) વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંનેની હાજરીમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર પર લાગતું પરિણામી બળ લોરેન્ઝ બળના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$.
પરિણામી બળ શૂન્ય થવા માટે,આપણે $\vec{F} = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B})$.
આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E}$ અને ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
આકૃતિ $A$ માં,વેગ $\vec{v}$ એ $+x$ દિશામાં છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $+y$ દિશામાં છે. ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ એ $+z$ દિશામાં હશે (જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરીને).
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ $-z$ દિશામાં દર્શાવેલ છે. આમ,વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E}$ એ $-z$ દિશામાં હશે.
જેহেতু વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ વિરુદ્ધ દિશામાં છે,જો તેમના મૂલ્યો સમાન હોય તો તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરી શકે છે. તેથી,આકૃતિ $A$ માં પરિણામી બળ શૂન્ય હોઈ શકે છે.

(C) અનંત તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ છે.
$1$. $x$-અક્ષ પરનો તાર $(1)$ $+x$ દિશામાં $i$ પ્રવાહ ધરાવે છે. બિંદુ $A(r, -r, 0)$ પર,તારથી અંતર $r$ છે અને દિશા $-\hat{k}$ મળે છે. તેથી,$\vec{B}_1 = -\frac{\mu_0 i}{2\pi r} \hat{k}$.
$2$. $y$-અક્ષ પરનો તાર $(2)$ $+y$ દિશામાં $i$ પ્રવાહ ધરાવે છે. બિંદુ $A$ પર,દિશા $-\hat{k}$ મળે છે. તેથી,$\vec{B}_2 = -\frac{\mu_0 i}{2\pi r} \hat{k}$.
$3$. $z$-અક્ષ પરનો તાર $(3)$ સમતલની બહાર ($+\hat{k}$ દિશામાં) $i$ પ્રવાહ ધરાવે છે. $z$-અક્ષથી $A$ નું અંતર $d = r\sqrt{2}$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B_3 = \frac{\mu_0 i}{2\pi (r\sqrt{2})}$ છે. તેની દિશા $\frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$ છે. તેથી,$\vec{B}_3 = \frac{\mu_0 i}{4\pi r} \hat{i} + \frac{\mu_0 i}{4\pi r} \hat{j}$.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $\vec{B}_{net} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 + \vec{B}_3 = \frac{\mu_0 i}{4\pi r} \hat{i} + \frac{\mu_0 i}{4\pi r} \hat{j} - \frac{\mu_0 i}{\pi r} \hat{k}$.

(D) $1$. બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ ખંડ $I d\vec{l}$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ક્રોસ પ્રોડક્ટને કારણે,$d\vec{B}$ એ $d\vec{l}$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ બંનેને લંબ હોય છે. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
$2$. બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ નું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2} \hat{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{r}$ એ સ્થાન સદિશની દિશામાં એકમ સદિશ છે. તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર સ્થાન સદિશની દિશામાં હોય છે. વિધાન $B$ સાચું છે.
$3$. પ્રકૃતિમાં ચુંબકીય મોનોપોલ ક્યારેય જોવા મળ્યા નથી; ચુંબકીય ક્ષેત્રો હંમેશા ડાયપોલ અથવા પ્રવાહ લૂપ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. તેથી,વિધાન $C$ સાચું છે.
આમ,બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.