Mix Examples-Moving Charges and Magnetism Questions in Gujarati

(A, C, D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ની હાજરીમાં $\vec{v}$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું કુલ બળ લોરેન્ઝ બળ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$.
વેગ અચળ રહે તે માટે,કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ $(\vec{F} = 0)$.
કિસ્સો $(i)$: જો $\vec{E} = 0$ અને $\vec{B} = 0$ હોય,તો $\vec{F} = 0$. કણ અચળ વેગથી ગતિ કરે છે.
કિસ્સો (ii): જો $\vec{E} \neq 0$ અને $\vec{B} \neq 0$ હોય,તો જો $\vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B})$ હોય તો બળો એકબીજાને નાબૂદ કરી શકે છે. આ શક્ય છે.
કિસ્સો (iii): જો $\vec{E} = 0$ અને $\vec{B} \neq 0$ હોય,તો બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ છે. જો $\vec{v}$ એ $\vec{B}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય,તો $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ થાય,તેથી $\vec{F} = 0$. કણ અચળ વેગથી ગતિ કરે છે.
કિસ્સો (iv): જો $\vec{E} \neq 0$ અને $\vec{B} = 0$ હોય,તો બળ $\vec{F} = q\vec{E}$ છે. $\vec{F} = 0$ માટે,$\vec{E}$ શૂન્ય હોવું જોઈએ,જે ધારણાથી વિરુદ્ધ છે. તેથી,આ કિસ્સો શક્ય નથી.
આમ,કિસ્સાઓ $(A)$,$(C)$,અને $(D)$ શક્ય છે.

(D) વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત-વિદ્યુત આકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$F_{\text{centripetal}} = m r \omega^{2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$
આના પરથી,આપણે કોણીય વેગ $\omega$ શોધીએ છીએ:
$\omega^{2} = \frac{q_{1} q_{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} m r^{3}} \implies \omega \propto \frac{1}{r^{3/2}}$
ગતિશીલ વીજભાર $q_{1}$ એ પ્રવાહ $i$ ઉત્પન્ન કરે છે જે નીચે મુજબ છે:
$i = \frac{q_{1}}{T} = \frac{q_{1} \omega}{2 \pi}$
વર્તુળાકાર પ્રવાહ લૂપના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ છે:
$B = \frac{\mu_{0} i}{2 r} = \frac{\mu_{0}}{2 r} \left( \frac{q_{1} \omega}{2 \pi} \right) = \frac{\mu_{0} q_{1} \omega}{4 \pi r}$
કારણ કે $\omega \propto r^{-3/2}$,તેથી:
$B \propto \frac{\omega}{r} \propto \frac{r^{-3/2}}{r} = r^{-5/2}$
આમ,$B \propto \frac{1}{r^{5/2}}$.

(A) જ્યારે પ્રવાહ ધારિત લંબચોરસ ગૂંચળાને અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ગૂંચળાના વિવિધ બિંદુઓ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા અલગ-અલગ હોય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર અસમાન હોવાથી,ગૂંચળાના વિવિધ ભાગો પર લાગતા ચુંબકીય બળો એકબીજાને નાબૂદ કરતા નથી,જેના પરિણામે કુલ બળ શૂન્ય હોતું નથી.
વધુમાં,કારણ કે બળો એવી રીતે વિતરિત થાય છે કે તેઓ એક બિંદુ પર કાર્ય કરતા નથી અથવા સંતુલિત હોતા નથી,તેથી શૂન્ય ન હોય તેવું કુલ ટોર્ક પણ ઉત્પન્ન થાય છે.
તેથી,ગૂંચળા પર લાગતું કુલ બળ અને કુલ ટોર્ક બંને શૂન્ય નથી.
આવા બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોના પ્રમાણભૂત સ્વરૂપને જોતા,જ્યાં એક જવાબ અપેક્ષિત હોય છે,$(a)$ અને $(d)$ બંને ભૌતિક રીતે સાચા વિધાનો છે.

(C) બંને રેખીય વિદ્યુતભારો પર $\ell$ લંબાઈનો ખંડ ધ્યાનમાં લો,જેની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ છે.
બે રેખીય વિદ્યુતભારો વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું વિદ્યુત બળ $F_E$ કુલંબના નિયમ મુજબ: $F_E = \frac{2 k \lambda_1 \lambda_2 \ell}{d} = \frac{2 \lambda_1 \lambda_2 \ell}{4 \pi \varepsilon_0 d} = \frac{\lambda_1 \lambda_2 \ell}{2 \pi \varepsilon_0 d}$.
ગતિશીલ વિદ્યુતભારો $I_1 = \lambda_1 v$ અને $I_2 = \lambda_2 v$ જેટલો પ્રવાહ રચે છે.
બે સમાંતર પ્રવાહધારિત તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું ચુંબકીય બળ $F_B$ છે: $F_B = \frac{\mu_0 I_1 I_2 \ell}{2 \pi d} = \frac{\mu_0 (\lambda_1 v) (\lambda_2 v) \ell}{2 \pi d} = \frac{\mu_0 \lambda_1 \lambda_2 v^2 \ell}{2 \pi d}$.
ચુંબકીય આકર્ષણ બળ વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે તે માટે,$F_E = F_B$ લેતા:
$\frac{\lambda_1 \lambda_2 \ell}{2 \pi \varepsilon_0 d} = \frac{\mu_0 \lambda_1 \lambda_2 v^2 \ell}{2 \pi d}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{\varepsilon_0} = \mu_0 v^2$.
પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ હોવાથી,$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $v^2 = c^2$ અથવા $v = c$.

(D) $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{loop} = \frac{\mu_{0} I}{2r}$ (બહારની તરફ) છે.
'$a$' બાજુવાળા ચોરસ લૂપને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{square} = 4 \times \frac{\mu_{0} I}{4 \pi (a/2)} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{4 \mu_{0} I}{\pi a} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{2} \mu_{0} I}{\pi a}$ (અંદરની તરફ) છે.
આપેલ છે કે $a/r = 8/\pi$,તેથી $r = \frac{\pi a}{8}$.
$B_{loop}$ માં $r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $B_{loop} = \frac{\mu_{0} I}{2(\pi a / 8)} = \frac{4 \mu_{0} I}{\pi a}$ મળે છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_{square} - B_{loop} = \frac{4 \sqrt{2} \mu_{0} I}{\pi a} - \frac{4 \mu_{0} I}{\pi a} = \frac{4 \mu_{0} I}{\pi a} (\sqrt{2} - 1)$.
આને $\frac{2 \mu_{0} I}{\pi a} \times 2(\sqrt{2} - 1)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે,જે વિકલ્પ $D$ સાથે મેળ ખાય છે.