Mutual Induction Questions in Hindi

(B) अन्योन्य प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार,एक कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ दूसरी कुंडली से बहने वाली धारा $I$ के समानुपाती होता है,जिसे $\phi = MI$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ अन्योन्य प्रेरण गुणांक है।
प्रथम स्थिति के लिए,जब कुंडली $P$ से $I_P = 3\, A$ धारा बहती है,तो कुंडली $Q$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_Q = 10^{-3}\, Wb$ है।
संबंध $\phi_Q = M I_P$ का उपयोग करने पर:
$10^{-3} = M \times 3$
$M = \frac{1}{3} \times 10^{-3}\, H$
दूसरी स्थिति के लिए,जब कुंडली $Q$ से $I_Q = 2\, A$ धारा बहती है,तो कुंडली $P$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_P = M I_Q$ है।
चूंकि अन्योन्य प्रेरण गुणांक $M$ दोनों स्थितियों के लिए समान रहता है:
$\phi_P = (\frac{1}{3} \times 10^{-3}) \times 2$
$\phi_P = \frac{2}{3} \times 10^{-3}\, Wb$
$\phi_P = 0.666... \times 10^{-3}\, Wb = 6.67 \times 10^{-4}\, Wb$.

(B) मान लीजिए कि $L$ भुजा वाले बड़े वर्गाकार लूप से $i$ धारा प्रवाहित हो रही है। बड़े लूप द्वारा उसके केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$,$l$ भुजा वाले छोटे लूप के क्षेत्रफल पर लगभग समान रहता है।
$L$ भुजा वाले वर्गाकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 i}{\pi L}$ द्वारा दिया जाता है।
छोटे लूप से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \times A$ है,जहाँ $A = l^2$ छोटे लूप का क्षेत्रफल है।
अतः,$\phi = \left(\frac{2\sqrt{2}\mu_0 i}{\pi L}\right) l^2$.
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को $M = \frac{\phi}{i}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसलिए,$M = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 l^2}{\pi L}$.
चूँकि $\mu_0$ और $\pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए $M \propto \frac{l^2}{L}$।

(A) एक कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ और पड़ोसी कुंडली में प्रवाहित धारा $I$ के बीच का संबंध $\phi = MI$ है,जहाँ $M$ अन्योन्य प्रेरण है।
धारा में परिवर्तन $dI$ और फ्लक्स में परिवर्तन $d\phi$ के लिए,संबंध $d\phi = M \cdot dI$ होता है।
दिया गया है: $dI = 2 \ A$ और $d\phi = 0.4 \ Wb$।
सूत्र में मान रखने पर:
$0.4 = M \times 2$
$M = \frac{0.4}{2} = 0.2 \ H$।
अतः,कुंडलियों का अन्योन्य प्रेरण $0.2 \ H$ है।

(B) द्वितीयक कुंडली में प्रेरित $emf$ $e$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$|e| = M \left| \frac{dI}{dt} \right|$
दिया गया है:
अन्योन्य प्रेरण $M = 5\, H$
धारा में परिवर्तन $dI = 10\, A - 0\, A = 10\, A$
समय अंतराल $dt = 5 \times 10^{-4}\, s$
सूत्र में मान रखने पर:
$|e| = 5 \times \frac{10}{5 \times 10^{-4}}$
$|e| = \frac{50}{5 \times 10^{-4}}$
$|e| = 10 \times 10^4 = 1 \times 10^5\, V$
अतः,प्रेरित $emf$ $1 \times 10^5\, V$ है।

(A) परिनालिका और कुंडली का अन्योन्य प्रेरकत्व (mutual inductance) $M$ सूत्र $M = \frac{\mu_{0} N_{1} N_{2} A}{l}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $N_{1} = 2000$,$N_{2} = 300$,$A = 1.2 \times 10^{-3} \, m^2$,$l = 0.3 \, m$,और $\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$.
$M = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 300 \times 1.2 \times 10^{-3}}{0.3} = 3.016 \times 10^{-3} \, H \approx 3 \times 10^{-3} \, H$.
प्रेरित emf $\varepsilon$ का मान $\varepsilon = -M \frac{dI}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
धारा $1 \, A$ से बदलकर $-1 \, A$ हो जाती है,इसलिए $dI = -1 - 1 = -2 \, A$.
समय अंतराल $dt = 0.25 \, s$.
$\varepsilon = - (3 \times 10^{-3}) \times \left( \frac{-2}{0.25} \right) = 3 \times 10^{-3} \times 8 = 24 \times 10^{-3} \, V = 24 \, mV$.

(C) द्वितीयक कुंडली में प्रेरित $emf$ $(e)$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$e = M \left| \frac{dI}{dt} \right|$
दिया गया है:
धारा में परिवर्तन $(dI)$ = $2\,A - 0\,A = 2\,A$
समय अंतराल $(dt)$ = $0.01\,s$
प्रेरित $emf$ $(e)$ = $1000\,V$
सूत्र में मान रखने पर:
$1000 = M \times \left( \frac{2}{0.01} \right)$
$1000 = M \times 200$
$M = \frac{1000}{200} = 5\,H$.
अतः,दोनों कुंडलियों का अन्योन्य प्रेरकत्व $5\,H$ है।

(N/A) मान लीजिए कि बाहरी वृत्ताकार कुंडली से $I_2$ धारा प्रवाहित हो रही है। कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 r_2}$ है।
चूंकि आंतरिक कुंडली की त्रिज्या बहुत छोटी है $(r_1 \ll r_2)$,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ को आंतरिक कुंडली के क्षेत्रफल पर एकसमान माना जा सकता है।
आंतरिक कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi_1 = B_2 \cdot A_1 = B_2 (\pi r_1^2)$ द्वारा दिया जाता है।
$B_2$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\phi_1 = \left( \frac{\mu_0 I_2}{2 r_2} \right) (\pi r_1^2) = \left( \frac{\mu_0 \pi r_1^2}{2 r_2} \right) I_2$.
परिभाषा के अनुसार,$\phi_1 = M_{12} I_2$,जहाँ $M_{12}$ अन्योन्य प्रेरकत्व है।
अतः,$M_{12} = \frac{\mu_0 \pi r_1^2}{2 r_2}$.
चूंकि अन्योन्य प्रेरकत्व पारस्परिक होता है,इसलिए $M_{12} = M_{21} = M = \frac{\mu_0 \pi r_1^2}{2 r_2}$.

(D) कुंडलियों के युग्म का अन्योन्य प्रेरकत्व $M = 1.5\; H$ दिया गया है।
पहली कुंडली में धारा में परिवर्तन $\Delta I = I_2 - I_1 = 20\; A - 0\; A = 20\; A$ है।
दूसरी कुंडली में चुंबकीय फ्लक्स लिंकेज $\phi$ और पहली कुंडली में धारा $I$ के बीच का संबंध $\phi = M I$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,फ्लक्स लिंकेज में परिवर्तन $\Delta \phi$ इस प्रकार है:
$\Delta \phi = M \Delta I$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\Delta \phi = 1.5\; H \times 20\; A$
$\Delta \phi = 30\; Wb$.
अतः,दूसरी कुंडली के साथ फ्लक्स लिंकेज में परिवर्तन $30\; Wb$ है।

(N/A) अन्योन्य प्रेरण वह घटना है जिसमें एक कुंडली में धारा में परिवर्तन के कारण उससे जुड़ी चुंबकीय फ्लक्स में बदलाव होने से पड़ोसी कुंडली में $emf$ प्रेरित होता है।
चित्र में दिखाए अनुसार,जब कुंडली $C_{2}$ में धारा $I_{2}$ बदलती है,तो कुंडली $C_{1}$ से जुड़ी चुंबकीय फ्लक्स $\Phi_{1}$ भी बदलती है,जिससे कुंडली $C_{1}$ में $emf$ प्रेरित होता है।
यदि कुंडली $C_{1}$ में फेरों की संख्या $N_{1}$ है,तो कुल फ्लक्स लिंकेज $C_{2}$ में धारा के समानुपाती होता है:
$N_{1} \Phi_{1} \propto I_{2}$
$N_{1} \Phi_{1} = M_{12} I_{2}$
जहाँ $M_{12}$ अन्योन्य प्रेरण गुणांक है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,कुंडली $C_{1}$ में प्रेरित $emf$ $\varepsilon_{1}$ है:
$\varepsilon_{1} = -\frac{d(N_{1} \Phi_{1})}{dt}$
फ्लक्स लिंकेज का मान रखने पर:
$\varepsilon_{1} = -\frac{d}{dt}(M_{12} I_{2})$
यदि $M_{12}$ स्थिर है,तो:
$\varepsilon_{1} = -M_{12} \frac{dI_{2}}{dt}$
इसी प्रकार,कुंडली $C_{2}$ के लिए प्रेरित $emf$ है:
$\varepsilon_{2} = -M_{21} \frac{dI_{1}}{dt}$

(N/A) जब कुंडली-$1$ में $I_{1}$ धारा प्रवाहित होती है, तो कुंडली-$2$ से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\Phi_{2} = M_{21} I_{1}$ द्वारा दिया जाता है。
यदि $I_{1} = 1 \text{ इकाई}$ लिया जाए, तो $\Phi_{2} = M_{21}$ प्राप्त होता है। अतः, "दूसरी कुंडली से प्रवाहित प्रति इकाई धारा के लिए एक कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स को उस निकाय का अन्योन्य प्रेरण कहा जाता है।"
कुंडली-$2$ में प्रेरित emf $\varepsilon_{2} = -M_{21} \frac{dI_{1}}{dt}$ द्वारा दिया जाता है。
जब $\frac{dI_{1}}{dt} = 1 \text{ इकाई}$ हो, तो $\varepsilon_{2} = M_{21}$ प्राप्त होता है। अतः, "दूसरी कुंडली में धारा परिवर्तन की इकाई दर के कारण एक कुंडली में उत्पन्न अन्योन्य emf को उस निकाय का अन्योन्य प्रेरण कहा जाता है।"
अन्योन्य प्रेरण का $SI$ मात्रक हेनरी $(H)$ है, जहाँ $1 \text{ H} = 1 \text{ Wb A}^{-1} = 1 \text{ V s A}^{-1}$ होता है。
अन्योन्य प्रेरण का मान निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
$(1)$ कुंडलियों का आकार और माप।
$(2)$ कुंडलियों में फेरों की संख्या।
$(3)$ कुंडलियों के बीच की दूरी।
$(4)$ कुंडलियों का सापेक्ष अभिविन्यास (झुकाव का कोण)।
$(5)$ उस क्रोड पदार्थ की चुंबकीय पारगम्यता जिस पर कुंडलियाँ लपेटी गई हैं।

(N/A) मान लीजिए $l$ लंबाई की दो लंबी समाक्षीय परिनालिकाएं हैं। आंतरिक परिनालिका $S_{1}$ की त्रिज्या $r_{1}$ और प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या $n_{1}$ है। बाहरी परिनालिका $S_{2}$ के लिए संबंधित राशियाँ $r_{2}$ और $n_{2}$ हैं। मान लीजिए $N_{1}$ और $N_{2}$ क्रमशः $S_{1}$ और $S_{2}$ के कुल फेरे हैं।
जब $S_{2}$ से धारा $I_{2}$ प्रवाहित होती है,तो यह इसके अंदर $B_{2} = \mu_{0} n_{2} I_{2}$ का चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है। यह क्षेत्र आंतरिक परिनालिका $S_{1}$ से होकर गुजरता है।
$S_{1}$ के प्रत्येक फेरे से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\Phi_{1} = B_{2} A_{1} = (\mu_{0} n_{2} I_{2})(\pi r_{1}^{2})$ है।
$S_{1}$ के साथ कुल फ्लक्स लिंकेज $N_{1} \Phi_{1} = (n_{1} l) (\mu_{0} n_{2} I_{2} \pi r_{1}^{2}) = (\mu_{0} n_{1} n_{2} \pi r_{1}^{2} l) I_{2}$ है।
परिभाषा के अनुसार,$N_{1} \Phi_{1} = M_{12} I_{2}$,जहाँ $M_{12}$ परिनालिका $S_{2}$ के सापेक्ष $S_{1}$ का अन्योन्य प्रेरकत्व है।
अतः,$M_{12} = \mu_{0} n_{1} n_{2} \pi r_{1}^{2} l$.
इसी प्रकार,यदि $S_{1}$ से धारा $I_{1}$ प्रवाहित होती है,तो $S_{2}$ के साथ फ्लक्स लिंकेज $N_{2} \Phi_{2} = M_{21} I_{1}$ होगा,जहाँ $M_{21} = \mu_{0} n_{1} n_{2} \pi r_{1}^{2} l$.
चूंकि $M_{12} = M_{21} = M$,यह पारस्परिक प्रमेय को सिद्ध करता है,जो बताता है कि दो कुंडलियों का अन्योन्य प्रेरकत्व समान रहता है,चाहे किसी भी कुंडली को प्राथमिक या द्वितीयक के रूप में उपयोग किया जाए।

$l$ लंबाई वाले दो लंबे समाक्षीय परिनालिकाओं पर विचार करें। मान लीजिए कि आंतरिक परिनालिका में $N_1$ फेरे और त्रिज्या $r_1$ है, और बाहरी परिनालिका में $N_2$ फेरे और त्रिज्या $r_2$ है।
मान लीजिए कि $n_1 = N_1/l$ और $n_2 = N_2/l$ क्रमशः दोनों परिनालिकाओं के लिए प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है।
जब बाहरी परिनालिका से धारा $I_2$ प्रवाहित होती है, तो इसके अंदर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \mu_0 n_2 I_2$ होता है।
यह चुंबकीय क्षेत्र एकसमान है और आंतरिक परिनालिका के आयतन तक सीमित है।
आंतरिक परिनालिका के प्रत्येक फेरे से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi_1 = B_2 A_1 = (\mu_0 n_2 I_2) (\pi r_1^2)$ है।
$N_1$ फेरों वाली आंतरिक परिनालिका से जुड़ा कुल चुंबकीय फ्लक्स $\Phi_1 = N_1 \phi_1 = N_1 (\mu_0 n_2 I_2) (\pi r_1^2)$ है।
$N_1 = n_1 l$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\Phi_1 = (n_1 l) (\mu_0 n_2 I_2) (\pi r_1^2) = \mu_0 n_1 n_2 l \pi r_1^2 I_2$ प्राप्त होता है।
परिभाषा के अनुसार, अन्योन्य प्रेरण $M$ को $\Phi_1 = M I_2$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, $M = \mu_0 n_1 n_2 l \pi r_1^2$ या $M = \frac{\mu_0 N_1 N_2 \pi r_1^2}{l}$।

(A) दो कुंडलियों की प्रणाली का अन्योन्य प्रेरकत्व (Mutual Inductance) $M$,एक कुंडली से गुजरने वाले फ्लक्स और दूसरी कुंडली में प्रवाहित धारा के बीच के संबंध द्वारा परिभाषित होता है।
दिया गया है: जब $I_A = 2 \ A$,तब $\phi_B = 10^{-2} \ Wb$ है।
अन्योन्य प्रेरकत्व $M_{BA} = \frac{\phi_B}{I_A} = \frac{10^{-2}}{2} = 5 \times 10^{-3} \ H$ है।
पारस्परिकता के सिद्धांत के अनुसार,$M_{AB} = M_{BA} = 5 \times 10^{-3} \ H$ होता है।
अब,जब $I_A = 0$ और $I_B = 1 \ A$ है,तो कुंडली $A$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_A = M_{AB} \times I_B$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\phi_A = (5 \times 10^{-3} \ H) \times (1 \ A) = 5 \times 10^{-3} \ Wb$।

(N/A) एक लंबी परिनालिका द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है।
छोटी कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = N A B$ है,जहाँ $A$ छोटी कुंडली का क्षेत्रफल है।
$\phi = N (\pi (b/2)^2) (\mu_0 n I) = \frac{\mu_0 N n \pi b^2 I}{4}$.
छोटी कुंडली में प्रेरित emf $\varepsilon$ फैराडे के नियम के अनुसार $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ है।
$\varepsilon = -\frac{d}{dt} \left( \frac{\mu_0 N n \pi b^2 I}{4} \right) = -\frac{\mu_0 N n \pi b^2}{4} \frac{dI}{dt}$.
दिया गया है कि धारा $I(t) = mt^2 + C$ के अनुसार बदलती है,इसलिए $\frac{dI}{dt} = 2mt$.
इस मान को emf के समीकरण में रखने पर:
$\varepsilon = -\frac{\mu_0 N n \pi b^2}{4} (2mt) = -\left( \frac{\mu_0 N n \pi b^2 m}{2} \right) t$.
प्रेरित emf का परिमाण $|\varepsilon| = \left( \frac{\mu_0 N n \pi b^2 m}{2} \right) t$ है।
यह $|\varepsilon|$ और $t$ के बीच एक रैखिक संबंध को दर्शाता है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

(A) छोटे लूप के कारण बड़े लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\phi = \frac{\mu_{0} I \pi R_{1}^{2} R_{2}^{2}}{2(R_{1}^{2} + x^{2})^{3/2}}$
यहाँ,$R_{1} = 0.3 \times 10^{-2} \, m$ (छोटे लूप की त्रिज्या),
$R_{2} = 0.2 \, m$ (बड़े लूप की त्रिज्या),
$x = 0.15 \, m$ (केंद्रों के बीच की दूरी),
$I = 20 \, A$ (धारा)।
मान रखने पर:
$\phi = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 20 \times \pi \times (0.3 \times 10^{-2})^{2} \times (0.2)^{2}}{2((0.3 \times 10^{-2})^{2} + (0.15)^{2})^{3/2}}$
हल करने पर:
$\phi \approx 9.1 \times 10^{-11} \, Wb$.

(A) भुजा वाले वर्गाकार लूप द्वारा केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$,इसकी चार भुजाओं द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का योग है।
एक भुजा के लिए,केंद्र पर क्षेत्र $B_{1} = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi (b/2)} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi b} (2 \times \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2} \mu_{0} I}{\pi b}$ है।
चूंकि चार भुजाएं हैं,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \times B_{1} = \frac{4 \sqrt{2} \mu_{0} I}{\pi b}$ है।
चूंकि $b \gg a$,हम मानते हैं कि चुंबकीय क्षेत्र छोटे लूप के क्षेत्रफल पर एकसमान है।
छोटे लूप के साथ जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ जिसका क्षेत्रफल $A = a^{2}$ है,$\phi = B \times A = \frac{4 \sqrt{2} \mu_{0} I}{\pi b} \times a^{2}$ है।
अन्योन्य प्रेरण गुणांक $M$ को $M = \frac{\phi}{I} = \frac{4 \sqrt{2} \mu_{0} a^{2}}{\pi b}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिए गए विकल्पों से मिलान करने के लिए,हम $4$ से गुणा और भाग करते हैं:
$M = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{8 \sqrt{2} a^{2}}{b}$.

(D) $R_{1}$ त्रिज्या वाले और $I_{1}$ धारा प्रवाहित करने वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{1} = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R_{1}}$ द्वारा दिया जाता है।
$R_{2}$ त्रिज्या वाले छोटे लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi_{2} = B_{1} A_{2}$ है,जहाँ $A_{2} = \pi R_{2}^{2}$ छोटे लूप का क्षेत्रफल है।
चूंकि $R_{1} >> R_{2}$ है,हम मान सकते हैं कि चुंबकीय क्षेत्र $B_{1}$ छोटे लूप के क्षेत्रफल पर एकसमान है।
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को $M = \frac{\phi_{2}}{I_{1}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $M = \frac{B_{1} A_{2}}{I_{1}} = \frac{(\frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R_{1}}) (\pi R_{2}^{2})}{I_{1}} = \frac{\mu_{0} \pi R_{2}^{2}}{2 R_{1}}$.
अतः,$M \propto \frac{R_{2}^{2}}{R_{1}}$.

(C) द्वितीयक कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e_{2})$ का सूत्र है: $e_{2} = -M \frac{di_{1}}{dt}$.
यहाँ,$M$ अन्योन्य प्रेरण है और $i_{1}$ प्राथमिक कुंडली में धारा है।
$M$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $M = -\frac{e_{2}}{di_{1}/dt}$.
प्रेरित emf $(e_{2})$ का विमीय सूत्र विभवांतर के समान होता है,जो $[ML^{2}T^{-3}A^{-1}]$ है।
धारा के परिवर्तन की दर $(di_{1}/dt)$ का विमीय सूत्र $[AT^{-1}]$ है।
अतः,$M$ की विमा होगी: $[M] = \frac{[ML^{2}T^{-3}A^{-1}]}{[AT^{-1}]} = [ML^{2}T^{-2}A^{-2}]$।

(C) मान लीजिए कि $L$ भुजा वाले बाहरी वर्गाकार लूप में $I$ धारा प्रवाहित हो रही है। इसके केंद्र $O$ पर इस लूप द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$ इसकी चार भुजाओं के कारण उत्पन्न क्षेत्रों के योग द्वारा दिया जाता है:
$B = 4 \times \left( \frac{\mu_{0} I}{4 \pi (L/2)} \times (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) \right) = 4 \times \left( \frac{\mu_{0} I}{2 \pi L} \times 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{2 \sqrt{2} \mu_{0} I}{\pi L}$.
चूंकि $L \gg l$,हम मान सकते हैं कि यह चुंबकीय क्षेत्र छोटे आंतरिक लूप के क्षेत्रफल पर एकसमान है।
$l$ भुजा वाले आंतरिक लूप से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ है:
$\phi = B \times \text{Area} = \left( \frac{2 \sqrt{2} \mu_{0} I}{\pi L} \right) \times l^{2}$.
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को $M = \frac{\phi}{I}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
अतः,$M = \frac{2 \sqrt{2} \mu_{0} l^{2}}{\pi L}$.

(B) सिस्टम के पारस्परिक प्रेरकत्व $M$ की गणना करने के लिए,हम पारस्परिकता के सिद्धांत का उपयोग करते हैं,जो बताता है कि $M_{12} = M_{21} = M$ होता है।
मान लीजिए कि लंबे बाहरी सोलेनोइड (सोलेनोइड $1$) से धारा $I_{1}$ प्रवाहित हो रही है। इस सोलेनोइड द्वारा इसके अंदर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र एकसमान होता है और इसे $B = \mu_{0} N I_{1}$ द्वारा दिया जाता है।
छोटे आंतरिक सोलेनोइड (सोलेनोइड $2$) से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi_{21}$ आंतरिक सोलेनोइड में फेरों की संख्या,चुंबकीय क्षेत्र और आंतरिक सोलेनोइड के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल का गुणनफल है।
आंतरिक सोलेनोइड में फेरों की संख्या = $n \times l$.
आंतरिक सोलेनोइड का क्षेत्रफल = $\pi r^{2}$.
इसलिए,$\phi_{21} = (n l) \times B \times (\pi r^{2}) = (n l) \times (\mu_{0} N I_{1}) \times (\pi r^{2})$.
परिभाषा के अनुसार,$\phi_{21} = M I_{1}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $M = \mu_{0} N n l \pi r^{2} = \pi \mu_{0} r^{2} n N l$ प्राप्त होता है।

(D) अन्योन्य प्रेरण $M = 5 \,mH = 5 \times 10^{-3} \,H$ दिया गया है।
प्राथमिक कुंडली में धारा $i = 50 \sin(500t) \,A$ है।
द्वितीयक कुंडली में प्रेरित e.m.f. $\varepsilon = -M \frac{di}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका परिमाण लेने पर,$\varepsilon = M \left| \frac{di}{dt} \right|$.
$\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt} [50 \sin(500t)] = 50 \times 500 \cos(500t) = 25000 \cos(500t)$.
अतः,$\varepsilon = (5 \times 10^{-3}) \times (25000 \cos(500t)) = 125 \cos(500t) \,V$.
प्रेरित e.m.f. का शिखर मान कोसाइन पद का गुणांक है,जो $125 \,V$ है।

(B) जब दो कुंडलियों को एक ही लोहे के क्रोड पर लपेटा जाता है,तो प्रत्येक कुंडली के प्रत्येक फेरे से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ समान होता है क्योंकि लोहे का क्रोड चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के लिए उच्च पारगम्यता वाला मार्ग प्रदान करता है।
हालाँकि,$N$ फेरों वाली कुंडली के लिए कुल चुंबकीय फ्लक्स लिंकेज $\lambda = N\phi$ द्वारा दिया जाता है।
कुंडली $A$ के लिए,फ्लक्स लिंकेज $\lambda_A = N_A \phi$ है।
कुंडली $B$ के लिए,फ्लक्स लिंकेज $\lambda_B = N_B \phi$ है।
फ्लक्स लिंकेज का अनुपात $\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{N_A \phi}{N_B \phi} = \frac{N_A}{N_B}$ है।
फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित emf $E$ को $E = -\frac{d\lambda}{dt} = -N \frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,प्रेरित emf का अनुपात $\frac{E_A}{E_B} = \frac{N_A (d\phi/dt)}{N_B (d\phi/dt)} = \frac{N_A}{N_B}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $(b)$ फ्लक्स लिंकेज के बीच के संबंध का सही वर्णन करता है।

(A) $i$ धारा प्रवाहित करने वाले $r$ त्रिज्या के बड़े वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वर्गाकार लूप छोटा है और केंद्र पर रखा गया है,हम मान सकते हैं कि चुंबकीय क्षेत्र वर्गाकार लूप के क्षेत्रफल पर समान है।
$l$ भुजा वाले वर्गाकार लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A$ है,जहाँ $A = l^2$ वर्गाकार लूप का क्षेत्रफल है।
अतः,$\phi = \left( \frac{\mu_0 i}{2r} \right) l^2$.
अन्योन्य प्रेरण $M$ को $M = \frac{\phi}{i}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\phi$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $M = \frac{(\mu_0 i / 2r) l^2}{i} = \frac{\mu_0 l^2}{2r}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,अन्योन्य प्रेरण $M$,$l^2/r$ के समानुपाती है।

(A) छोटे लूप (त्रिज्या $r = 0.3 \ cm = 0.003 \ m$) द्वारा अपनी अक्ष पर $x = 15 \ cm = 0.15 \ m$ की दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$ है।
चूंकि $r \ll x$,हम $B \approx \frac{\mu_0 I r^2}{2x^3}$ का उपयोग कर सकते हैं।
बड़े लूप (त्रिज्या $R = 20 \ cm = 0.2 \ m$) से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \times A_{big} = B \times (\pi R^2)$ है।
मान रखने पर: $B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 2.0 \times (0.003)^2}{2 \times (0.15)^3} \approx 3.35 \times 10^{-9} \ T$.
पारस्परिकता प्रमेय (Reciprocity Theorem) का उपयोग करते हुए,छोटे लूप के कारण बड़े लूप से जुड़ा फ्लक्स $\phi = M I$ होता है।
$M = \frac{\mu_0 \pi r^2 R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ की गणना करने पर $M \approx 4.55 \times 10^{-10} \ H$ प्राप्त होता है।
अतः,$\phi = 4.55 \times 10^{-10} \times 2.0 = 9.1 \times 10^{-10} \ Wb = 91 \times 10^{-11} \ Wb$।

(C) $i$ धारा ले जाने वाले $L$ भुजा वाले वर्गाकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ इसकी चार भुजाओं के कारण उत्पन्न क्षेत्रों के योग के बराबर होता है।
एक भुजा के लिए,केंद्र पर क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (L/2)} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ) = \frac{\mu_0 i}{2 \pi L} (2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{2 \pi L} = \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi L}$ है।
चूंकि चार भुजाएं हैं,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \cdot \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi L} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 i}{\pi L}$ है।
चूंकि $L \gg R$,हम मानते हैं कि छोटे वृत्ताकार लूप के क्षेत्रफल पर चुंबकीय क्षेत्र एकसमान है।
$A = \pi R^2$ क्षेत्रफल वाले वृत्ताकार लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \left( \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 i}{\pi L} \right) (\pi R^2) = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 R^2 i}{L}$ है।
परिभाषा के अनुसार,$\phi = Mi$,इसलिए $M = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 R^2}{L}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है:
आंतरिक कुंडली की त्रिज्या,$r_1 = 1\,cm = 0.01\,m$
आंतरिक कुंडली में फेरों की संख्या,$N_1 = 10$
बाहरी कुंडली की त्रिज्या,$r_2 = 1000\,cm = 10\,m$
बाहरी कुंडली में फेरों की संख्या,$N_2 = 200$
बाहरी कुंडली द्वारा उसके केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 N_2 I_2}{2 r_2}$ है।
बाहरी कुंडली के कारण आंतरिक कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi_1 = N_1 B_2 A_1$ है,जहाँ $A_1 = \pi r_1^2$ है।
अतः,$\phi_1 = N_1 \left( \frac{\mu_0 N_2 I_2}{2 r_2} \right) (\pi r_1^2) = M I_2$।
इसलिए,अन्योन्य प्रेरकत्व $M = \frac{\mu_0 N_1 N_2 \pi r_1^2}{2 r_2}$ है।
मान रखने पर:
$M = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 10 \times 200 \times \pi \times (0.01)^2}{2 \times 10}$
$M = \frac{4 \pi^2 \times 10^{-7} \times 2000 \times 10^{-4}}{20}$
$\pi^2 = 10$ का उपयोग करने पर:
$M = \frac{4 \times 10 \times 10^{-7} \times 2000 \times 10^{-4}}{20} = 4 \times 10^{-8}\,H$।
अतः,मान $4$ है।

(C) दूसरी कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = Mi = M i_0 \sin \omega t$ द्वारा दिया जाता है।
दूसरी कुंडली में प्रेरित $emf$ फैराडे के नियम के अनुसार है: $emf = -\frac{d\phi}{dt} = -M \frac{di}{dt}$।
धारा के लिए दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $emf = -M \frac{d}{dt}(i_0 \sin \omega t) = -M i_0 \omega \cos \omega t$।
प्रेरित $emf$ का अधिकतम मान $|emf|_{max} = M i_0 \omega$ होता है।
यहाँ $M = 0.002 \ H$,$i_0 = 5 \ A$,और $\omega = 50 \pi \ rad/s$ दिया गया है:
$|emf|_{max} = (0.002) \times (5) \times (50 \pi) = 0.01 \times 50 \pi = 0.5 \pi = \frac{\pi}{2} \ V$।
इसकी तुलना $\frac{\pi}{\alpha} \ V$ से करने पर,हमें $\alpha = 2$ प्राप्त होता है।

(C) $i$ धारा ले जाने वाले $L$ भुजा के एक बड़े वर्गाकार लूप के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र $B$ इस प्रकार है:
$B = 4 \times \frac{\mu_0 i}{4 \pi (L/2)} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ) = \frac{\mu_0 i}{\pi L/2} \times \sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2} \mu_0 i}{\pi L}$.
चूंकि $L \gg \ell$, हम मानते हैं कि छोटे लूप के क्षेत्रफल पर चुंबकीय क्षेत्र एकसमान है。
$\ell^2$ क्षेत्रफल वाले छोटे लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ है:
$\phi = B \times \ell^2 = \frac{2\sqrt{2} \mu_0 i}{\pi L} \ell^2$.
$L = \ell^2$ दिया गया है, इसलिए हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\phi = \frac{2\sqrt{2} \mu_0 i}{\pi \ell^2} \ell^2 = \frac{2\sqrt{2} \mu_0 i}{\pi}$.
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को $M = \phi / i$ के रूप में परिभाषित किया गया है:
$M = \frac{2\sqrt{2} \mu_0}{\pi} = \frac{2\sqrt{2} (4\pi \times 10^{-7})}{\pi} = 8\sqrt{2} \times 10^{-7} \text{ H}$.
$M = \sqrt{64 \times 2} \times 10^{-7} \text{ H} = \sqrt{128} \times 10^{-7} \text{ H}$.
अतः, $x = 128$.

(A) मान लीजिए कि $b$ त्रिज्या वाले बाहरी लूप $B$ में $i$ धारा प्रवाहित हो रही है।
लूप $B$ में धारा $i$ के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{center} = \frac{\mu_0 i}{2b}$ होता है।
चूंकि $b >> a$ है,हम मान सकते हैं कि यह चुंबकीय क्षेत्र $a$ त्रिज्या वाले आंतरिक लूप $A$ के क्षेत्रफल पर एकसमान है।
आंतरिक लूप $A$ से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B_{center} \cdot A_{area} = \left( \frac{\mu_0 i}{2b} \right) (\pi a^2)$ है।
अन्योन्य प्रेरकत्व की परिभाषा के अनुसार,$\phi = Mi$ होता है।
फ्लक्स के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $Mi = \frac{\mu_0 i \pi a^2}{2b}$।
अतः,अन्योन्य प्रेरकत्व $M = \frac{\mu_0 \pi a^2}{2b}$ है।

(B) $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार लूप की अक्ष पर केंद्र से $X$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + X^2)^{3/2}}$
यहाँ $X = \sqrt{3} R$ दिया गया है,इसलिए वर्गाकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र:
$B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + 3R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R^2}{2(4R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R^2}{2 \cdot 8 R^3} = \frac{\mu_0 i}{16 R}$
वर्गाकार लूप में $N = 2$ फेरे हैं,क्षेत्रफल $A = a^2$ है,और क्षेत्रफल सदिश तथा चुंबकीय क्षेत्र ($z$-अक्ष की दिशा में) के बीच का कोण $\theta = 45^{\circ}$ है,इसलिए चुंबकीय फ्लक्स $\phi$:
$\phi = N B A \cos(45^{\circ}) = 2 \cdot \left(\frac{\mu_0 i}{16 R}\right) \cdot a^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\mu_0 i a^2}{8 \sqrt{2} R}$
यहाँ $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ और $8 = 2^3$ है,इसलिए हर (denominator) $2^3 \cdot 2^{1/2} = 2^{7/2}$ होगा।
अतः,$\phi = \frac{\mu_0 i a^2}{2^{7/2} R}$.
अन्योन्य प्रेरकत्व $M = \frac{\phi}{i} = \frac{\mu_0 a^2}{2^{7/2} R}$.
दिए गए व्यंजक $\frac{\mu_0 a^2}{2^{p/2} R}$ के साथ तुलना करने पर,$p = 7$ प्राप्त होता है।

(C) स्थिर अवस्था में,दोनों सर्किट में धाराएँ हैं:
$I_1 = \frac{V_1}{R_1} = \frac{5 \text{ V}}{5 \text{ }\Omega} = 1 \text{ A}$
$I_2 = \frac{V_2}{R_2} = \frac{20 \text{ V}}{10 \text{ }\Omega} = 2 \text{ A}$
दो युग्मित इंडक्टर्स की प्रणाली में संचित कुल ऊर्जा है:
$U = \frac{1}{2} L_1 I_1^2 + \frac{1}{2} L_2 I_2^2 + M I_1 I_2$
दिए गए मानों को रखने पर $(L_1 = 10 \text{ mH}, L_2 = 20 \text{ mH}, M = 5 \text{ mH}, I_1 = 1 \text{ A}, I_2 = 2 \text{ A})$:
$U = \frac{1}{2} \times (10 \times 10^{-3}) \times (1)^2 + \frac{1}{2} \times (20 \times 10^{-3}) \times (2)^2 + (5 \times 10^{-3}) \times 1 \times 2$
$U = 5 \times 10^{-3} + 40 \times 10^{-3} + 10 \times 10^{-3}$
$U = 55 \times 10^{-3} \text{ J} = 55 \text{ mJ}$

(C) कुंडली $1$ से जुड़ा कुल चुंबकीय फ्लक्स $\phi_1$ उसकी अपनी धारा $I_1$ और पास की कुंडली $2$ में बहने वाली धारा $I_2$ के कारण होता है।
यह इस समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\phi_1 = L_1 I_1 + M_{12} I_2$.
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,कुंडली $1$ में प्रेरित emf $\varepsilon_1$ चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की दर का ऋणात्मक मान होता है:
$\varepsilon_1 = -\frac{d\phi_1}{dt}$.
$\phi_1$ का समीकरण रखने पर:
$\varepsilon_1 = -\frac{d}{dt}(L_1 I_1 + M_{12} I_2)$.
यदि $L_1$ और $M_{12}$ स्थिर हैं,तो हमें प्राप्त होता है:
$\varepsilon_1 = -L_1 \frac{dI_1}{dt} - M_{12} \frac{dI_2}{dt}$.

(A) अन्योन्य प्रेरण के संदर्भ में चुंबकीय फ्लक्स का सूत्र $\Delta \phi = M \Delta I$ है।
दिए गए मान हैं:
चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन,$\Delta \phi = 2 \times 10^{-2} \ Wb$
धारा में परिवर्तन,$\Delta I = 0.01 \ A$
अन्योन्य प्रेरण गुणांक $M$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$M = \frac{\Delta \phi}{\Delta I}$
मान रखने पर:
$M = \frac{2 \times 10^{-2}}{0.01} = \frac{0.02}{0.01} = 2 \ H$
अतः,अन्योन्य प्रेरण गुणांक $2 \ H$ है।

(B) दिया गया है: शिखर धारा $I_{0} = \frac{2}{\pi} \ A$,आवृत्ति $f = 50 \ Hz$,और अन्योन्य प्रेरण $M = 1 \ H$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi (50) = 100 \pi \ rad/s$ है।
प्राथमिक कुंडली में धारा $I = I_{0} \sin(\omega t)$ है।
द्वितीयक कुंडली में प्रेरित e.m.f. $\mathcal{E} = M \frac{dI}{dt}$ है।
समय के सापेक्ष धारा का अवकलन करने पर,$\frac{dI}{dt} = I_{0} \omega \cos(\omega t)$ प्राप्त होता है।
प्रेरित e.m.f. का शिखर मान $\mathcal{E}_{0} = M \cdot I_{0} \cdot \omega$ है।
मान रखने पर: $\mathcal{E}_{0} = 1 \times (\frac{2}{\pi}) \times (100 \pi) = 200 \ V$.

(D) ट्रांसफार्मर एक विद्युत उपकरण है जो विद्युतचुंबकीय प्रेरण के माध्यम से दो या दो से अधिक सर्किट के बीच विद्युत ऊर्जा को स्थानांतरित करता है।
इसमें दो कुंडलियाँ होती हैं,प्राथमिक कुंडली और द्वितीयक कुंडली,जो चुंबकीय रूप से जुड़ी होती हैं।
जब प्राथमिक कुंडली से प्रत्यावर्ती धारा $(AC)$ प्रवाहित होती है,तो यह एक बदलता हुआ चुंबकीय फ्लक्स उत्पन्न करती है।
यह बदलता हुआ चुंबकीय फ्लक्स द्वितीयक कुंडली से जुड़ जाता है,जिससे उसमें एक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ प्रेरित होता है।
यह घटना,जिसमें एक कुंडली में धारा के परिवर्तन के कारण पास की कुंडली में $EMF$ प्रेरित होता है,अन्योन्य प्रेरण (mutual induction) कहलाती है।
इसलिए,ट्रांसफार्मर अन्योन्य प्रेरण के सिद्धांत पर कार्य करता है।

(D) पहली कुंडली में प्रेरित e.m.f. $e_1 = M \frac{dI_2}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $e_1 = 20 \,mV = 20 \times 10^{-3} \,V$ और $\frac{dI_2}{dt} = 10 \,A/s$।
इन मानों को रखने पर, हमें $M = \frac{e_1}{dI_2/dt} = \frac{20 \times 10^{-3}}{10} = 2 \times 10^{-3} \,H$ प्राप्त होता है।
जब पहली कुंडली से $I_1$ धारा प्रवाहित होती है, तो दूसरी कुंडली में फ्लक्स लिंकेज $\phi_2 = M I_1$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $I_1 = 3.6 \,A$, इसलिए $\phi_2 = (2 \times 10^{-3} \,H) \times (3.6 \,A) = 7.2 \times 10^{-3} \,Wb$।

(D) दूसरी कुंडली में प्रेरित e.m.f. का सूत्र है: $e = M \frac{dI_1}{dt} \dots (i)$
दिया गया है $I_1 = I_0 \sin \omega t$, समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dI_1}{dt} = I_0 \omega \cos \omega t$
इसे समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$e = M I_0 \omega \cos \omega t$
e.m.f. का अधिकतम मान $(e_{max})$ तब होता है जब $\cos \omega t = 1$ हो:
$e_{max} = M I_0 \omega$
दिए गए मान: $M = 5 \times 10^{-3} \text{ H}$, $I_0 = 10 \text{ A}$, और $\omega = 100 \pi \text{ rad/s}$.
इन मानों को रखने पर:
$e_{max} = (5 \times 10^{-3}) \times 10 \times 100 \pi$
$e_{max} = 5 \times 10^{-3} \times 10^3 \pi$
$e_{max} = 5 \pi \text{ V}$

(D) प्राथमिक कुंडली में तात्कालिक धारा $I = I_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दी जाती है。
दिया गया शिखर मान $I_0 = \frac{2}{\pi} \text{ A}$ और आवृत्ति $v = 50 \text{ Hz}$ है。
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi v = 2 \pi(50) = 100 \pi \text{ rad/s}$ है。
धारा के परिवर्तन की दर $\frac{dI}{dt} = I_0 \omega \cos(\omega t)$ है。
धारा के परिवर्तन की दर का अधिकतम मान $\left(\frac{dI}{dt}\right)_{\text{max}} = I_0 \omega$ है。
मान रखने पर: $\left(\frac{dI}{dt}\right)_{\text{max}} = \left(\frac{2}{\pi}\right) \times (100 \pi) = 200 \text{ A/s}$。
द्वितीयक कुंडली में प्रेरित e.m.f. $E = M \left|\frac{dI}{dt}\right|$ है,जहाँ $M = 1 \text{ H}$ है。
अतः,प्रेरित शिखर e.m.f. $E_0 = 1 \times 200 = 200 \text{ V}$ है。

(B) कुंडली $P$ में धारा में परिवर्तन के कारण कुंडली $S$ में प्रेरित e.m.f. फैराडे के प्रेरण नियम द्वारा दिया जाता है: $E = -M \frac{dI}{dt}$.
दिया गया है,अन्योन्य प्रेरकत्व $M = 3 \times 10^{-3} \ H$ और धारा $I = 20 \sin(50 \pi t) \ A$.
समय $t$ के सापेक्ष धारा का अवकलन करने पर: $\frac{dI}{dt} = 20 \times 50 \pi \cos(50 \pi t) = 1000 \pi \cos(50 \pi t) \ A/s$.
e.m.f. के समीकरण में इन मानों को रखने पर: $E = -(3 \times 10^{-3}) \times (1000 \pi \cos(50 \pi t)) = -3 \pi \cos(50 \pi t) \ V$.
प्रेरित e.m.f. का अधिकतम मान $|E_{max}| = 3 \pi \ V$ है।
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,हमें $|E_{max}| = 3 \times 3.14 = 9.42 \ V$ प्राप्त होता है।

(C) एक वृत्ताकार कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ उसके केंद्र पर कुंडली के तल के लंबवत होती हैं।
चूँकि दोनों कुंडलियाँ $A$ और $B$ परस्पर लंबवत रखी गई हैं,कुंडली $A$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ कुंडली $B$ के तल में होंगी,और इसके विपरीत।
चुंबकीय फ्लक्स $\Phi$ को $\Phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ (जो कुंडली के तल के लंबवत होता है) के बीच का कोण है।
चूँकि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ दूसरी कुंडली के तल के समानांतर हैं,वे उस कुंडली के क्षेत्रफल सदिश के लंबवत हैं। अतः,$\theta = 90^\circ$ और $\cos 90^\circ = 0$ होता है।
इसलिए,दूसरी कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स शून्य है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = -d\Phi/dt$ है। चूँकि $\Phi = 0$ है,इसलिए प्रेरित $EMF$ और परिणामस्वरूप प्रेरित धारा शून्य होगी।

(A) दिया गया है: अन्योन्य प्रेरकत्व $M = 0.01 \ H$,धारा $I = 5 \sin(200 \pi t)$.
फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार दूसरी कुंडली में प्रेरित e.m.f.: $\varepsilon = -M \frac{dI}{dt}$.
धारा का समीकरण रखने पर:
$\varepsilon = -0.01 \cdot \frac{d}{dt} [5 \sin(200 \pi t)]$
$\varepsilon = -0.01 \cdot 5 \cdot 200 \pi \cdot \cos(200 \pi t)$
$\varepsilon = -10 \pi \cos(200 \pi t)$.
प्रेरित e.m.f. का अधिकतम मान कोसाइन पद के गुणांक का परिमाण है:
$\varepsilon_{max} = | -10 \pi | = 10 \pi \ V$.

(B) $I$ धारा वाली $r_1$ त्रिज्या की वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 r_1}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $r_1 > r_2$,बड़ी कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र छोटी कुंडली के क्षेत्रफल पर लगभग एकसमान रहता है।
$r_2$ त्रिज्या वाली छोटी कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \left( \frac{\mu_0 I}{2 r_1} \right) (\pi r_2^2)$ है।
अन्योन्य प्रेरण $M$ को संबंध $\phi = M I$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
अतः,$M = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1}$.

(D) अन्योन्य प्रेरण के कारण द्वितीयक कुंडली में प्रेरित e.m.f. का सूत्र है:
$|\varepsilon| = M \cdot \left| \frac{dI}{dt} \right|$
दिया गया है:
अन्योन्य प्रेरकत्व $M = 2 \text{ H}$
प्रेरित e.m.f. $\varepsilon = 2 \text{ kV} = 2000 \text{ V}$
धारा में परिवर्तन $\Delta I = 6 \text{ A} - 3 \text{ A} = 3 \text{ A}$
सूत्र में मान रखने पर:
$2000 = 2 \cdot \left( \frac{3}{\Delta t} \right)$
$2000 = \frac{6}{\Delta t}$
$\Delta t = \frac{6}{2000} \text{ s}$
$\Delta t = 3 \times 10^{-3} \text{ s}$
अतः,आवश्यक समय $3 \times 10^{-3} \text{ s}$ है।

(A) कुंडली $Q$ में बदलती धारा के कारण कुंडली $P$ में प्रेरित e.m.f. $\varepsilon_P = M \frac{dI_Q}{dt}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ अन्योन्य प्रेरकत्व (mutual inductance) है।
दिया गया है $\varepsilon_P = 15 \ mV = 15 \times 10^{-3} \ V$ और $\frac{dI_Q}{dt} = 10 \ A/s$.
$15 \times 10^{-3} = M \times 10 \implies M = 1.5 \times 10^{-3} \ H = 1.5 \ mH$.
जब कुंडली $P$ से धारा $I_P$ प्रवाहित होती है,तो कुंडली $Q$ से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi_Q = M I_P$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $I_P = 1.8 \ A$ और $M = 1.5 \ mH$.
$\phi_Q = 1.5 \ mH \times 1.8 \ A = 2.7 \ mWb$.

(C) अन्योन्य प्रेरण गुणांक $M$ को संबंध $\Delta \phi = M \Delta I$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\Delta \phi$ चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन है और $\Delta I$ धारा में परिवर्तन है।
दिया गया है:
प्रारंभिक फ्लक्स $\phi_1 = 6.5 \times 10^{-2} \ Wb$
अंतिम फ्लक्स $\phi_2 = 11 \times 10^{-2} \ Wb$
फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = (11 - 6.5) \times 10^{-2} \ Wb = 4.5 \times 10^{-2} \ Wb$
धारा में परिवर्तन $\Delta I = 0.03 \ A = 3 \times 10^{-2} \ A$
सूत्र $M = \frac{\Delta \phi}{\Delta I}$ का उपयोग करने पर:
$M = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{3 \times 10^{-2}} = \frac{4.5}{3} = 1.5 \ H$
अतः,अन्योन्य प्रेरण गुणांक $1.5 \ H$ है।

(D) कुंडली $Q$ में बदलती धारा के कारण कुंडली $P$ में प्रेरित emf $\epsilon_P = M \frac{dI_Q}{dt}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ अन्योन्य प्रेरण (mutual inductance) है।
दिया गया है $\epsilon_P = 12 \ mV = 12 \times 10^{-3} \ V$ और $\frac{dI_Q}{dt} = 10 \ A/s$.
$12 \times 10^{-3} = M \times 10 \implies M = 1.2 \times 10^{-3} \ H = 1.2 \ mH$.
अब,जब कुंडली $P$ से $I_P = 1.5 \ A$ की धारा प्रवाहित होती है,तो कुंडली $Q$ से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi_Q = M \times I_P$ द्वारा दिया जाता है।
$\phi_Q = 1.2 \ mH \times 1.5 \ A = 1.8 \ mWb$.
अतः,सही विकल्प $D$ है.