Mutual Induction Questions in Hindi

(D) $r_1$ त्रिज्या वाली और $I$ धारा ले जाने वाली वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 r_1}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि छल्ले संकेंद्रित और समतलीय हैं,चुंबकीय क्षेत्र $B$ छोटे छल्ले (त्रिज्या $r_2$) के क्षेत्रफल पर समान रहता है।
छोटे छल्ले से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \times A_2$ है,जहाँ $A_2 = \pi r_2^2$ छोटे छल्ले का क्षेत्रफल है।
$\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2 r_1} \right) \times \pi r_2^2 = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1} I$.
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को $M = \frac{\phi}{I}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसलिए,$M = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1}$।

(C) $L_1$ और $L_2$ स्व-प्रेरकत्व वाली दो कुंडलियों के बीच अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ का सूत्र $M = k \sqrt{L_1 L_2}$ है,जहाँ $k$ युग्मन गुणांक है।
चूंकि एक कुंडली का फ्लक्स दूसरी कुंडली के साथ पूरी तरह से जुड़ा हुआ है,इसलिए युग्मन पूर्ण है,जिसका अर्थ है $k = 1$ है।
दिया गया है: $L_1 = 25 \ mH$ और $L_2 = 9 \ mH$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$M = \sqrt{25 \ mH \times 9 \ mH} = \sqrt{225 \ mH^2} = 15 \ mH$।

(B) दूसरी कुंडली में प्रेरित e.m.f. का सूत्र है: $|e_s| = M \left| \frac{dI_p}{dt} \right|$.
दिया गया है $I_p = I_0 \sin \omega t$, समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dI_p}{dt} = I_0 \omega \cos \omega t$.
इस मान को e.m.f. के समीकरण में रखने पर:
$|e_s| = M I_0 \omega \cos \omega t$.
e.m.f. का अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\cos \omega t = 1$ हो:
$|e_s|_{\max} = M I_0 \omega$.
दिए गए मान $M = 0.003 \ H$, $I_0 = 8 \ A$, और $\omega = 100 \pi \ rad \ s^{-1}$ रखने पर:
$|e_s|_{\max} = 0.003 \times 8 \times 100 \pi = 2.4 \pi \ V$.

(D) $r_1$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप जिसके केंद्र पर $I$ धारा प्रवाहित हो रही है,उसके कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 r_1}$ होता है।
चूंकि $r_2 \ll r_1$,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B$ छोटे लूप के क्षेत्रफल पर लगभग एकसमान रहता है।
छोटे लूप के साथ जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \times A_2$ है,जहाँ $A_2 = \pi r_2^2$ छोटे लूप का क्षेत्रफल है।
मान रखने पर,हमें $\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2 r_1} \right) \times (\pi r_2^2) = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1} I$ प्राप्त होता है।
अन्योन्य प्रेरण $M$ को $\phi = M I$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है।
अतः,$M = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1}$।

(A) म्यूचुअल इंडक्शन के कारण सेकेंडरी कुंडली में प्रेरित e.m.f. का सूत्र इस प्रकार है:
$e_s = M \cdot \frac{dI_p}{dt}$
जहाँ:
$M = 2 \ H$ (म्यूचुअल इंडक्शन का गुणांक)
$e_s = 2 \ kV = 2 \times 10^3 \ V$
$dI_p = 6 \ A - 3 \ A = 3 \ A$
समय $(dt)$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$dt = M \cdot \frac{dI_p}{e_s}$
मान रखने पर:
$dt = 2 \times \frac{3}{2 \times 10^3} \ s$
$dt = 3 \times 10^{-3} \ s$

(C) दो कुंडलियों के बीच अन्योन्य प्रेरण $M$ का सूत्र $M = K \sqrt{L_1 L_2}$ है,जहाँ $K$ युग्मन गुणांक है।
दी गई मान $M = 45 \ mH$,$L_1 = 75 \ mH$,और $L_2 = 48 \ mH$ हैं।
$K$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$K = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}$
मान रखने पर:
$K = \frac{45}{\sqrt{75 \times 48}}$
$K = \frac{45}{\sqrt{3600}}$
$K = \frac{45}{60}$
$K = 0.75$

(C) युग्मन गुणांक $(K)$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है:
$K = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}$
दिया गया है:
$M = 3 \ H$
$L_1 = 4 \ H$
$L_2 = 9 \ H$
सूत्र में मान रखने पर:
$K = \frac{3}{\sqrt{4 \times 9}}$
$K = \frac{3}{\sqrt{36}}$
$K = \frac{3}{6}$
$K = 0.5$

(B) कुंडली $B$ में प्रेरित e.m.f. का सूत्र $e = M \frac{dI}{dt}$ है।
दिया गया है: $M = 0.008 \ H$, $I = I_{m} \sin \omega t$, $I_{m} = 5 \ A$, और $\omega = 200 \pi \ rad \ s^{-1}$।
धारा का समय के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dI}{dt} = I_{m} \omega \cos \omega t$।
इस मान को e.m.f. के समीकरण में रखने पर: $e = M I_{m} \omega \cos \omega t$।
e.m.f. का अधिकतम मान $(e_{\max})$ तब प्राप्त होता है जब $\cos \omega t = 1$ हो।
अतः, $e_{\max} = M I_{m} \omega$।
मान रखने पर: $e_{\max} = 0.008 \times 5 \times 200 \pi$।
$e_{\max} = 0.04 \times 200 \pi = 8 \pi \ V$।

(A) मान लीजिए कि $r_1$ त्रिज्या वाली कुंडली से प्रवाहित धारा $I_1$ है।
इस कुंडली के केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 r_1}$ है।
चूंकि $r_2 \ll r_1$,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ को छोटी कुंडली के क्षेत्रफल पर लगभग एकसमान माना जा सकता है।
$r_2$ त्रिज्या वाली कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi_2 = B_1 \cdot A_2 = B_1 \cdot \pi r_2^2$ है।
$B_1$ का मान रखने पर,$\phi_2 = \left( \frac{\mu_0 I_1}{2 r_1} \right) \pi r_2^2$ प्राप्त होता है।
अन्योन्य प्रेरण $M$ की परिभाषा के अनुसार $M = \frac{\phi_2}{I_1}$ होता है।
अतः,$M = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1}$।

(D) अन्योन्य प्रेरण के कारण द्वितीयक कुंडली में प्रेरित कुल e.m.f. का सूत्र $e_{total} = M \frac{dI}{dt}$ है।
चूंकि धारा $I$ से $0$ तक $t$ सेकंड में बदलती है,इसलिए प्रेरित e.m.f. का परिमाण $e_{total} = M \frac{I}{t}$ होगा।
कुंडली में $N$ फेरे हैं,इसलिए कुल e.m.f. इन $N$ फेरों में वितरित होता है।
अतः,प्रति फेरा प्रेरित e.m.f. = $\frac{e_{total}}{N} = \frac{MI}{Nt}$ होगा।
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(B) $R$ त्रिज्या वाली बड़ी कुंडली के केंद्र पर $I$ धारा के कारण उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ होता है।
चूंकि $R \gg r$,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B$ छोटी कुंडली (त्रिज्या $r$) के क्षेत्रफल पर लगभग एकसमान रहता है।
छोटी कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \times A$ है,जहाँ $A = \pi r^2$ छोटी कुंडली का क्षेत्रफल है।
मान रखने पर,$\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2 R} \right) \times \pi r^2$ प्राप्त होता है।
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ की परिभाषा के अनुसार $M = \frac{\phi}{I}$ होता है।
अतः,$M = \frac{\frac{\mu_0 I}{2 R} \times \pi r^2}{I} = \frac{\mu_0 \pi r^2}{2 R}$।

(D) दूसरी कुंडली में प्रेरित e.m.f. का मान सूत्र $|e_s| = M \frac{dI}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $I = I_0 \sin \omega t$,समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dI}{dt} = I_0 \omega \cos \omega t$.
इसे e.m.f. के समीकरण में रखने पर:
$|e_s| = M I_0 \omega \cos \omega t$.
प्रेरित e.m.f. का अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\cos \omega t = 1$ हो,अतः $|e_s|_{\max} = M I_0 \omega$.
दिए गए मानों को रखने पर: $M = 0.004 \ H$,$I_0 = 10 \ A$,और $\omega = 50 \pi \ rad \ s^{-1}$:
$|e_s|_{\max} = 0.004 \times 10 \times 50 \pi = 2 \pi \ V$.

(D) कुंडली $A$ में धारा $i_1$ के कारण कुंडली $B$ से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\Phi$ को इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $\Phi = M i_1$.
यहाँ, $M$ अन्योन्य प्रेरण का गुणांक है.
दिया गया है कि धारा में परिवर्तन $\Delta i_1 = 0.8 \,A$ है, जिसके परिणामस्वरूप चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \Phi = 0.16 \,Wb$ होता है.
अन्योन्य प्रेरण $M$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$M = \frac{\Delta \Phi}{\Delta i_1} = \frac{0.16 \,Wb}{0.8 \,A} = 0.2 \,H$.

(C) प्राथमिक कुंडली में धारा में परिवर्तन $di_1 = (8 - 4) \,A = 4 \,A$ है।
समय अंतराल $dt = 0.6 \,s$ है।
द्वितीयक कुंडली में प्रेरित e.m.f. $E_2 = 50 \,mV = 50 \times 10^{-3} \,V$ है।
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ का सूत्र $E_2 = M \cdot \frac{di_1}{dt}$ है।
$M$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, $M = \frac{E_2 \cdot dt}{di_1}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $M = \frac{50 \times 10^{-3} \,V \times 0.6 \,s}{4 \,A}$।
$M = \frac{30 \times 10^{-3}}{4} \,H = 7.5 \times 10^{-3} \,H = 7.5 \,mH$।

(A) पास की कुंडली में प्रेरित emf $e$ का सूत्र $e = M \frac{dI}{dt}$ है।
दिया गया है $I = 10 \sin(100 \pi t)$, अतः धारा के परिवर्तन की दर:
$\frac{dI}{dt} = 10 \times 100 \pi \cos(100 \pi t) = 1000 \pi \cos(100 \pi t)$.
इस मान को emf के समीकरण में रखने पर:
$e = M \times 1000 \pi \cos(100 \pi t)$.
प्रेरित emf $e_0$ का अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\cos(100 \pi t) = 1$ हो, इसलिए $e_0 = 1000 \pi M$.
दिया गया है $e_0 = 5 \pi \text{ V}$, अतः $1000 \pi M = 5 \pi$.
$M$ के लिए हल करने पर: $M = \frac{5 \pi}{1000 \pi} = 0.005 \text{ H} = 5 \text{ mH}$.

(D) बड़ी कुंडली $B$ में प्रवाहित धारा $i$ के कारण छोटी कुंडली $A$ के केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$ को कुंडली $A$ के क्षेत्रफल पर लगभग एकसमान माना जा सकता है।
कुंडली $B$ द्वारा उसके केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} i}{2 R_{2}}$ है।
छोटी कुंडली $A$ से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \times A_{1} = \left( \frac{\mu_{0} i}{2 R_{2}} \right) (\pi R_{1}^{2})$ है।
परिभाषा के अनुसार,अन्योन्य प्रेरण $M = \frac{\phi}{i} = \frac{\mu_{0} \pi R_{1}^{2}}{2 R_{2}}$ होता है।
अतः,$M \propto \frac{R_{1}^{2}}{R_{2}}$।

(D) यदि $r_{1}$ त्रिज्या वाली बाहरी कुंडली में $I_{1}$ धारा प्रवाहित होती है,तो केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{1} = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 r_{1}}$ होगा।
चूंकि $r_{2} \ll r_{1}$ है,हम मान सकते हैं कि छोटी कुंडली के क्षेत्रफल पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{1}$ एकसमान है।
छोटी कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi_{2} = B_{1} \times A_{2} = B_{1} \times \pi r_{2}^{2}$ होगा।
$B_{1}$ का मान रखने पर,$\phi_{2} = \left( \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 r_{1}} \right) \times \pi r_{2}^{2}$ प्राप्त होता है।
अन्योन्य प्रेरकत्व $M = \frac{\phi_{2}}{I_{1}}$ की परिभाषा के अनुसार,$M = \frac{\mu_{0} \pi r_{2}^{2}}{2 r_{1}}$ होगा।

(D) $R$ त्रिज्या वाली और $I$ धारा वाली बड़ी कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $R \gg r$,हम मान सकते हैं कि छोटी कुंडली के क्षेत्रफल पर चुंबकीय क्षेत्र एकसमान है।
$r$ त्रिज्या वाली छोटी कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = B \cdot (\pi r^{2})$ है।
$B$ का मान रखने पर,हमें $\phi = \left( \frac{\mu_{0} I}{2R} \right) \cdot (\pi r^{2})$ प्राप्त होता है।
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को $M = \frac{\phi}{I}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,$M = \frac{\mu_{0} \pi r^{2}}{2R}$ है।
चूंकि $\mu_{0}$,$\pi$ और $2$ स्थिरांक हैं,इसलिए $M \propto \frac{r^{2}}{R}$ है।

(C) दो कुंडलियों के बीच अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ उनके स्व-प्रेरकत्व $L_{1}$ और $L_{2}$ से $M = k\sqrt{L_{1} L_{2}}$ सूत्र द्वारा संबंधित है,जहाँ $k$ युग्मन गुणांक (coefficient of coupling) है।
यह दिया गया है कि एक कुंडली का फ्लक्स दूसरी के साथ पूरी तरह से जुड़ा हुआ है,जिसका अर्थ है कि युग्मन पूर्ण है,यानी $k = 1$ है।
इसलिए,समीकरण सरल होकर $M = \sqrt{L_{1} L_{2}}$ हो जाता है।

(A) दूसरी कुंडली में चुंबकीय फ्लक्स लिंकेज $\phi$,पहली कुंडली में धारा $I$ से $\phi = M I$ संबंध द्वारा संबंधित है,जहाँ $M$ अन्योन्य प्रेरकत्व है।
धारा में परिवर्तन $\Delta I$ के लिए,फ्लक्स लिंकेज में परिवर्तन $\Delta \phi$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\Delta \phi = M \Delta I$
दिया गया है:
$M = 1.5 \ H$
$\Delta I = I_f - I_i = 10 \ A - 0 \ A = 10 \ A$
मान रखने पर:
$\Delta \phi = 1.5 \ H \times 10 \ A$
$\Delta \phi = 15 \ Wb$
अतः,फ्लक्स लिंकेज में परिवर्तन $15 \ Wb$ है।

(B) पास की कुंडली में धारा $I$ के कारण दूसरी कुंडली में फ्लक्स लिंकेज $\phi$ को $\phi = M I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ अन्योन्य प्रेरकत्व है।
फ्लक्स लिंकेज में परिवर्तन $\Delta \phi$ इस प्रकार है:
$\Delta \phi = M \Delta I$
दिया गया है:
अन्योन्य प्रेरकत्व $M = 1.5 \ H$
धारा में परिवर्तन $\Delta I = I_{final} - I_{initial} = 20 \ A - 0 \ A = 20 \ A$
मान रखने पर:
$\Delta \phi = 1.5 \times 20$
$\Delta \phi = 30 \ Wb$
अतः,फ्लक्स लिंकेज में परिवर्तन $30 \ Wb$ है।

(D) जब हम $R$ त्रिज्या वाले बाहरी लूप से $I$ धारा प्रवाहित करते हैं,तो केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र इस प्रकार होता है:
$B_{\text{center}} = \frac{\mu_0 I}{2 R}$
चूंकि $r \ll R$ है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B$ छोटे लूप $A$ के क्षेत्रफल पर लगभग एकसमान रहता है।
छोटे लूप से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ है:
$\phi = B \cdot A = \left( \frac{\mu_0 I}{2 R} \right) \times (\pi r^2)$
$\phi = \frac{\mu_0 I \pi r^2}{2 R}$
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को द्वितीयक कुंडली से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ और प्राथमिक कुंडली में प्रवाहित धारा $I$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$M = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_0 \pi r^2}{2 R}$

(B) दो कुंडलियों के बीच अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को एक कुंडली से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi$ और दूसरी कुंडली में धारा में परिवर्तन $\Delta I$ के बीच के संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है।
सूत्र इस प्रकार है:
$M = \frac{\Delta \phi}{\Delta I}$
दिए गए मान:
कुंडली $X$ में धारा में परिवर्तन,$\Delta I = 4 \ A$
कुंडली $Y$ में चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन,$\Delta \phi = 0.4 \ Wb$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$M = \frac{0.4 \ Wb}{4 \ A}$
$M = 0.1 \ H$
अतः,इस निकाय का अन्योन्य प्रेरकत्व $0.1 \ H$ है।

(D) सही उत्तर $D$ है।
दो कुंडलियों की प्रणाली का अन्योन्य प्रेरण $(M)$ ज्यामितीय कारकों जैसे फेरों की संख्या $(N_1, N_2)$, अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A)$, कुंडलियों के बीच की दूरी और उनके बीच के माध्यम की चुंबकीय पारगम्यता $(\mu)$ पर निर्भर करता है。
इसे संबंध $\phi_2 = M I_1$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ $\phi_2$ दूसरी कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स है और $I_1$ पहली कुंडली में प्रवाहित धारा है。
चूँकि $M = \frac{\phi_2}{I_1}$, इसलिए $M$ का मान कुंडलियों से प्रवाहित होने वाली धारा $I_1$ के परिमाण से स्वतंत्र होता है।

(A) अनंत लंबाई के तार द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
वर्गाकार लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = \int B \cdot dA = \int_{x}^{x+a} \frac{\mu_0 I}{2\pi r} (a \, dr) = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \ln\left(\frac{x+a}{x}\right)$ है।
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को $M = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_0 a}{2\pi} \ln\left(1 + \frac{a}{x}\right)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि लूप $v$ की स्थिर गति से चल रहा है,दूरी $x$ समय $t$ के साथ $x = x_0 + vt$ के अनुसार बढ़ती है।
इसे $M$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $M(t) = \frac{\mu_0 a}{2\pi} \ln\left(1 + \frac{a}{x_0 + vt}\right)$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,पद $\frac{a}{x_0 + vt}$ घटता है,और इसलिए $\ln(1 + \frac{a}{x_0 + vt})$ भी घटता है।
यह एक ऐसे वक्र के अनुरूप है जो एक अधिकतम मान से शुरू होता है और जैसे-जैसे $t \to \infty$ होता है,शून्य की ओर घटता जाता है,जो विकल्प $A$ में दिखाए गए ग्राफ से मेल खाता है।

(B) दिया गया है: अन्योन्य प्रेरकत्व $ M = 0.005 \ H $,धारा $ i = i_{m} \sin \omega t $,अधिकतम धारा $ i_{m} = 10 \ A $,और कोणीय आवृत्ति $ \omega = 100 \pi \ rad \ s^{-1} $.
दूसरी कुंडली में प्रेरित emf $ \varepsilon $ का सूत्र $ \varepsilon = M \frac{di}{dt} $ है।
धारा का समीकरण रखने पर: $ \varepsilon = M \frac{d}{dt} (i_{m} \sin \omega t) = M i_{m} \omega \cos \omega t $.
प्रेरित emf $ \varepsilon_{\max} $ का अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $ \cos \omega t = 1 $ हो।
अतः,$ \varepsilon_{\max} = M \omega i_{m} $.
मान रखने पर: $ \varepsilon_{\max} = 0.005 \times 100 \pi \times 10 = 5 \pi \ V $.
इस प्रकार,दूसरी कुंडली में प्रेरित emf का अधिकतम मान $ 5 \pi \ V $ है।

(B) दिया गया है: पारस्परिक प्रेरण $M = 3 \text{ mH} = 3 \times 10^{-3} \text{ H}$,परिपथ $Y$ का प्रतिरोध $R_2 = 4 \text{ } \Omega$,परिपथ $Y$ में प्रेरित धारा $I_2 = 60 \times 10^{-4} \text{ A}$,समय अंतराल $\Delta t = 0.02 \text{ s}$।
परिपथ $X$ में धारा परिवर्तन के कारण परिपथ $Y$ में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e_2)$ $e_2 = M \frac{\Delta I_1}{\Delta t}$ द्वारा दिया जाता है।
परिपथ $Y$ में प्रेरित धारा $I_2 = \frac{e_2}{R_2}$ है।
$e_2$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I_2 = \frac{M \cdot \Delta I_1}{R_2 \cdot \Delta t}$।
परिपथ $X$ में धारा परिवर्तन $\Delta I_1$ के लिए हल करने पर:
$\Delta I_1 = \frac{I_2 \cdot R_2 \cdot \Delta t}{M}$।
मान रखने पर:
$\Delta I_1 = \frac{60 \times 10^{-4} \times 4 \times 0.02}{3 \times 10^{-3}}$।
$\Delta I_1 = \frac{60 \times 10^{-4} \times 0.08}{3 \times 10^{-3}} = \frac{4.8 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-3}} = 1.6 \times 10^{-1} = 0.16 \text{ A}$।

(C) दो कुंडलियों के बीच अन्योन्य प्रेरण गुणांक $M$ को द्वितीयक कुंडली में चुंबकीय फ्लक्स लिंकेज में परिवर्तन और प्राथमिक कुंडली में धारा में परिवर्तन के अनुपात द्वारा परिभाषित किया जाता है।
$M = \frac{\Delta \phi_2}{\Delta I_1}$
दिया गया है:
दूसरी कुंडली में फ्लक्स लिंकेज में परिवर्तन, $\Delta \phi_2 = 40 \,Wb$
पहली कुंडली में धारा में परिवर्तन, $\Delta I_1 = 16 \,A - 0 \,A = 16 \,A$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$M = \frac{40}{16} \,H$
$M = 2.5 \,H$
अतः, $M$ का मान $2.5 \,H$ है।

(A) दो समाक्षीय सोलेनोइड्स का अन्योन्य प्रेरण $M$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $M = \mu_0 n_1 n_2 A l$,जहाँ $n_1$ और $n_2$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या हैं,$A$ आंतरिक सोलेनोइड का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है,और $l$ सोलेनोइड्स की लंबाई है।
दिया गया है:
लंबाई $l = 60 \ cm = 0.6 \ m$
बाहरी सोलेनोइड के लिए प्रति इकाई लंबाई फेरे $n_1 = 15 \ \text{turns/cm} = 1500 \ \text{turns/m}$
आंतरिक सोलेनोइड के लिए प्रति इकाई लंबाई फेरे $n_2 = 40 \ \text{turns/cm} = 4000 \ \text{turns/m}$
आंतरिक सोलेनोइड का क्षेत्रफल $A = 2 \times 10^{-3} \ m^2$
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
मान रखने पर:
$M = (4\pi \times 10^{-7}) \times 1500 \times 4000 \times (2 \times 10^{-3}) \times 0.6$
$M = (4 \times 3.14 \times 10^{-7}) \times (6 \times 10^6) \times (1.2 \times 10^{-3})$
$M \approx 9.04 \times 10^{-3} \ H = 9 \ mH$.

(B) दिया गया है:
$N_1 = 2000$,$L = 0.30 \ m$,$N_2 = 300$,$A = 1.2 \times 10^{-3} \ m^2$.
धारा में परिवर्तन की दर $\frac{di}{dt} = \frac{I_f - I_i}{\Delta t} = \frac{-2 - 2}{0.25} = -16 \ A/s$ है। इसका परिमाण $16 \ A/s$ है।
परिनालिका-कुंडली प्रणाली का अन्योन्य प्रेरकत्व (mutual inductance) $M = \frac{\mu_0 N_1 N_2 A}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$M = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 300 \times 1.2 \times 10^{-3}}{0.30} = 3.016 \times 10^{-3} \ H$.
प्रेरित emf $e = M \left| \frac{di}{dt} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$e = (3.016 \times 10^{-3}) \times 16 = 4.825 \times 10^{-2} \ V \approx 4.8 \times 10^{-2} \ V$.

(B) दिया गया है: अन्योन्य प्रेरण गुणांक $M = 0.2 H$ है।
प्राथमिक कुंडली में धारा के परिवर्तन की दर $\frac{dI}{dt} = 5 A s^{-1}$ है।
द्वितीयक कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ का सूत्र है:
$e = M \frac{dI}{dt}$
मान रखने पर:
$e = 0.2 H \times 5 A s^{-1}$
$e = 1 V$
अतः,द्वितीयक कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल $1 V$ होगा।

(C) द्वितीयक कुंडली में प्रेरित emf $(e_s)$ को संबंध $e_s = -M \frac{di_p}{dt}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ अन्योन्य प्रेरण का गुणांक है और $\frac{di_p}{dt}$ प्राथमिक कुंडली में धारा के परिवर्तन की दर है।
यदि प्राथमिक कुंडली में धारा के परिवर्तन की दर इकाई है,अर्थात $\frac{di_p}{dt} = 1 \ A/s$,तो प्रेरित emf का परिमाण अन्योन्य प्रेरण के गुणांक के बराबर होता है $(|e_s| = M)$।
इसलिए,प्राथमिक कुंडली में धारा के इकाई परिवर्तन की दर के कारण द्वितीयक कुंडली में प्रेरित emf को दो कुंडलियों का अन्योन्य प्रेरण (Mutual Induction) कहा जाता है।

(C) दो संकेंद्रित समतलीय वृत्ताकार लूप पर विचार करें। मान लीजिए कि बाहरी लूप की त्रिज्या $R$ है और आंतरिक लूप की त्रिज्या $r$ है।
जब बाहरी लूप से विद्युत धारा $I$ प्रवाहित होती है,तो इसके केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $R \gg r$,हम मान सकते हैं कि छोटे लूप के क्षेत्रफल पर चुंबकीय क्षेत्र एकसमान है।
छोटे लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A$ है,जहाँ $A = \pi r^2$ छोटे लूप का क्षेत्रफल है।
अतः,$\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) (\pi r^2) = \left( \frac{\mu_0 \pi r^2}{2R} \right) I$.
परिभाषा के अनुसार,अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को $\phi = MI$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $M = \frac{\mu_0 \pi r^2}{2R}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,अन्योन्य प्रेरकत्व $M$,$\frac{r^2}{R}$ के समानुपाती है।

(C) धारा $I$ ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
फ्रेम के भीतर तार से $r$ दूरी पर $dr$ चौड़ाई की एक छोटी आयताकार पट्टी पर विचार करें। इस पट्टी का क्षेत्रफल $dA = b \cdot dr$ है।
इस पट्टी से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $d\phi = B \cdot dA = \left( \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \right) (b \cdot dr) = \frac{\mu_0 I b}{2 \pi} \frac{dr}{r}$ है।
फ्रेम से गुजरने वाले कुल चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ को ज्ञात करने के लिए,हम $r = a$ से $r = 2a$ तक समाकलन करते हैं:
$\phi = \int_a^{2a} \frac{\mu_0 I b}{2 \pi} \frac{dr}{r} = \frac{\mu_0 I b}{2 \pi} [\ln r]_a^{2a} = \frac{\mu_0 I b}{2 \pi} \ln \left( \frac{2a}{a} \right) = \frac{\mu_0 I b}{2 \pi} \ln 2$.
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को $M = \frac{\phi}{I}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
अतः,$M = \frac{\mu_0 b}{2 \pi} \ln 2$.

(C) $r_2$ त्रिज्या वाली बड़ी वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर $I$ धारा के कारण उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 r_2}$ होता है।
चूंकि $r_1 \ll r_2$,हम मान सकते हैं कि $r_1$ त्रिज्या वाली छोटी कुंडली के क्षेत्रफल पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ एकसमान है।
छोटी कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \left(\frac{\mu_0 I}{2 r_2}\right) \cdot (\pi r_1^2)$ है।
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ की परिभाषा के अनुसार $M = \frac{\phi}{I}$ होता है।
$\phi$ का मान रखने पर,हमें $M = \frac{\mu_0 \pi r_1^2}{2 r_2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: अन्योन्य प्रेरण $M = 8 \ mH = 8 \times 10^{-3} \ H$. धारा $I = 12 \sin 100t$.
दूसरी कुंडली में प्रेरित emf का सूत्र $\varepsilon = M \frac{dI}{dt}$ है।
$I$ का मान रखने पर:
$\varepsilon = M \frac{d}{dt} (12 \sin 100t)$
$\varepsilon = M \times 12 \times 100 \cos 100t$
$\varepsilon = 1200 M \cos 100t$.
प्रेरित emf का अधिकतम मान तब होता है जब $\cos 100t = 1$ हो:
$\varepsilon_{\max} = 1200 \times M$
$\varepsilon_{\max} = 1200 \times 8 \times 10^{-3} \ V$
$\varepsilon_{\max} = 9.6 \ V$.

(B) पास स्थित कुंडली में धारा परिवर्तन के कारण प्रेरित emf $\varepsilon$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\varepsilon = M \left| \frac{dI}{dt} \right|$
दिया गया है:
धारा में परिवर्तन,$dI = 10 \,A - 2 \,A = 8 \,A$
समय अंतराल,$dt = 0.2 \,s$
प्रेरित emf,$\varepsilon = 120 \,V$
सूत्र में मान रखने पर:
$120 = M \times \frac{8}{0.2}$
$120 = M \times 40$
$M = \frac{120}{40} = 3 \,H$
अतः,कुंडलियों के युग्म का अन्योन्य प्रेरकत्व $3 \,H$ है।

(C) दो संकेंद्रित कुंडलियों के लिए अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ का सूत्र,जहाँ $r \ll R$ है,$M = \frac{\mu_0 \pi N_1 N_2 r^2}{2 R}$ है।
यहाँ,$N_1$ और $N_2$ क्रमशः आंतरिक और बाहरी कुंडलियों में फेरों की संख्या हैं,$r$ आंतरिक कुंडली की त्रिज्या है और $R$ बाहरी कुंडली की त्रिज्या है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $M \propto r^2$ है।
सापेक्ष त्रुटि की अवधारणा का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\frac{\Delta M}{M} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ है।
यह दिया गया है कि त्रिज्या में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta r}{r} \times 100 \% = 2 \%$ है।
इसलिए,अन्योन्य प्रेरकत्व में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta M}{M} \times 100 \% = 2 \times (2 \%) = 4 \%$ होगा।

(B) दिया गया है: अन्योन्य प्रेरकत्व $M = 0.005 \ H$,धारा $I = I_0 \sin \omega t$,$I_0 = 10 \ A$,और $\omega = 100 \pi \ rad/s$ है।
दूसरी कुंडली में प्रेरित emf $(e)$ का सूत्र है:
$e = M \frac{dI}{dt}$
धारा का मान रखने पर:
$e = M \frac{d}{dt} (I_0 \sin \omega t) = M I_0 \omega \cos \omega t$
प्रेरित emf का अधिकतम मान $(e_{\max})$ तब होता है जब $\cos \omega t = 1$ हो:
$e_{\max} = M I_0 \omega$
मान रखने पर:
$e_{\max} = 0.005 \times 10 \times 100 \pi$
$e_{\max} = 0.05 \times 100 \pi = 5 \pi \ V$
अतः,प्रेरित emf का अधिकतम मान $5 \pi \ V$ है।

(A) $L$ भुजा वाले बड़े वर्गाकार लूप द्वारा उसके केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi L}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $l$ भुजा वाला छोटा लूप केंद्र में रखा गया है,छोटे लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \times A$ है,जहाँ $A = l^2$ छोटे लूप का क्षेत्रफल है।
अतः,$\phi = \left( \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi L} \right) l^2$.
अन्योन्य प्रेरण $M$ को $M = \frac{\phi}{I}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\phi$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $M = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 l^2}{\pi L}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$M \propto \frac{l^2}{L}$.

(B) द्वितीयक कुंडली में प्रेरित emf $(e)$ का मान सूत्र $e = M \frac{di}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
अन्योन्य प्रेरण $(M) = 92 \times 10^{-6} \, H$.
धारा के परिवर्तन की दर $(\frac{di}{dt}) = \frac{25 \, A}{1 \, ms} = \frac{25 \, A}{1 \times 10^{-3} \, s} = 25,000 \, A/s$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$e = 92 \times 10^{-6} \times 25,000$
$e = 92 \times 10^{-6} \times 25 \times 10^3$
$e = 92 \times 25 \times 10^{-3}$
$e = 2300 \times 10^{-3} = 2.3 \, V$.
अतः, द्वितीयक कुंडली में प्रेरित emf का मान $2.3 \, V$ है।

(D) मान लीजिए कि $L$ भुजा वाले बड़े वर्गाकार लूप से $I$ धारा प्रवाहित हो रही है। बड़े लूप की एक भुजा द्वारा उसके केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$ को परिमित तार के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $B_{side} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} (\sin \alpha + \sin \beta)$,जहाँ $d = L/2$ और $\alpha = \beta = 45^\circ$ है।
चूंकि ऐसी चार भुजाएं हैं,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi (L/2)} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ) = \frac{\mu_0 I}{\pi L} \times 2 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 I}{\pi L}$ है।
चूंकि $L \gg l$,हम मान सकते हैं कि चुंबकीय क्षेत्र $B$ छोटे लूप के क्षेत्रफल $S_2 = l^2$ पर एकसमान है।
छोटे लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi_2 = B \times S_2 = \left( \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 I}{\pi L} \right) l^2$ है।
अन्योन्य प्रेरण $M$ को $M = \frac{\phi_2}{I} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 l^2}{\pi L}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
अतः,$M \propto \frac{l^2}{L}$।

(C) अन्योन्य प्रेरण $M$ को संबंध $\Delta \phi = M \Delta i$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\Delta \phi$ चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन है और $\Delta i$ धारा में परिवर्तन है।
दिया गया है:
$\Delta i = 0.01 \,A = 10^{-2} \,A$
$\Delta \phi = 2 \times 10^{-2} \,Wb$
सूत्र $M = \frac{\Delta \phi}{\Delta i}$ का उपयोग करने पर:
$M = \frac{2 \times 10^{-2} \,Wb}{10^{-2} \,A} = 2 \,H$.
अतः,दोनों कुंडलियों का अन्योन्य प्रेरण $2 \,H$ है।

(B) $1$. वृत्ताकार लूप के लिए: परिधि $2 \pi R = L$ है, इसलिए $R = \frac{L}{2 \pi}$।
$2$. वर्गाकार लूप के लिए: परिमाप $4s = a$ है, जहाँ $s$ वर्ग की भुजा की लंबाई है। अतः, $s = \frac{a}{4}$।
$3$. वृत्ताकार लूप से प्रवाहित धारा $I$ के कारण उसके केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{2R}$ होता है।
$4$. चूंकि $a \ll R$, चुंबकीय क्षेत्र $B$ वर्गाकार लूप के क्षेत्रफल पर लगभग एकसमान रहता है। वर्गाकार लूप से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \times \text{वर्ग का क्षेत्रफल} = B \times s^2$ है।
$5$. मान रखने पर: $\phi = \left( \frac{\mu_{0} I}{2R} \right) \times s^2 = \left( \frac{\mu_{0} I}{2(L / 2 \pi)} \right) \times \left( \frac{a}{4} \right)^2 = \left( \frac{\mu_{0} I \pi}{L} \right) \times \frac{a^2}{16} = \frac{\mu_{0} \pi a^2}{16 L} I$।
$6$. अन्योन्य प्रेरण $M = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_{0} \pi a^2}{16 L}$ प्राप्त होता है।

(C) द्वितीयक कुंडली में चुंबकीय फ्लक्स लिंकेज $\phi$ और प्राथमिक कुंडली में प्रवाहित धारा $I$ के बीच संबंध $\phi = M I$ है,जहाँ $M$ अन्योन्य प्रेरकत्व है।
फ्लक्स लिंकेज में परिवर्तन $\Delta \phi$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\Delta \phi = M \Delta I$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया है:
अन्योन्य प्रेरकत्व $M = 2 \text{H}$.
धारा में परिवर्तन $\Delta I = I_f - I_i = 30 \text{A} - 0 \text{A} = 30 \text{A}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta \phi = 2 \text{H} \times 30 \text{A} = 60 \text{ Wb}$.
अतः,दूसरी कुंडली के साथ फ्लक्स लिंकेज में परिवर्तन $60 \text{ Wb}$ है।

(C) $r_2$ त्रिज्या वाली बड़ी वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r_2}$ होता है।
चूंकि $r_1 \ll r_2$,बड़ी कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र छोटी कुंडली के क्षेत्रफल पर लगभग एकसमान रहता है।
छोटी कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \times A = \frac{\mu_0 I}{2r_2} \times (\pi r_1^2)$ है।
अन्योन्य प्रेरकत्व की परिभाषा के अनुसार $M = \frac{\phi}{I}$ होता है।
अतः,$M = \frac{\mu_0 \pi r_1^2}{2r_2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ का मान $\frac{r_1^2}{r_2}$ के समानुपाती है।