Motional EMI (Induced Parameter) Questions in Gujarati

(D) ભ્રમણ કરતી ધાતુની તકતીમાં પ્રેરિત emf $(e)$ માટેનું સૂત્ર: $e = \frac{1}{2} B \omega r^2$ છે.
આપેલ છે:
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ = $5 \times 10^{-2} \ T$
કોણીય ઝડપ $(\omega)$ = $60 \ rad \ s^{-1}$
ત્રિજ્યા $(r)$ = $0.3 \ m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-2}) \times 60 \times (0.3)^2$
$e = \frac{1}{2} \times 0.05 \times 60 \times 0.09$
$e = 0.025 \times 60 \times 0.09$
$e = 1.5 \times 0.09$
$e = 0.135 \ V$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ માં કોણીય વેગ $(\omega)$ સાથે ફરતા $l$ લંબાઈના ધાતુના આરામાં ઉદ્ભવતું emf $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = \frac{1}{2} B \omega l^2$.
અહીં, emf એ આરાની સંખ્યા પર આધારિત નથી, કારણ કે દરેક આરો ધરી અને રીમ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલ emf ના વ્યક્તિગત સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $\omega_1 = 180 \ rev/min$, $e_1 = E = \frac{1}{2} B \omega_1 l^2$.
અંતિમ સ્થિતિ: $\omega_2 = 90 \ rev/min$, $e_2 = \frac{1}{2} B \omega_2 l^2$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{e_2}{E} = \frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{90}{180} = \frac{1}{2}$.
તેથી, $e_2 = 0.5 E$.

(B) આપેલ છે: બાજુની લંબાઈ $l = 0.1 \text{ m}$, લૂપનો અવરોધ $R_{loop} = 1 \Omega$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 2 \text{ Wb m}^{-2}$, પ્રવાહ $I = 1 \text{ mA} = 10^{-3} \text{ A}$.
પ્રથમ, લૂપ સાથે જોડાયેલ અવરોધ નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધો। આ નેટવર્ક ચાર $3 \Omega$ ના અવરોધોનું બનેલું છે। આ નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{net} = 3 \Omega$ છે।
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{loop} + R_{net} = 1 \Omega + 3 \Omega = 4 \Omega$ છે।
લૂપમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય emf $E = Bvl$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
ઓમના નિયમ મુજબ, $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{Bvl}{R_{total}}$.
કિંમતો મૂકતા: $10^{-3} = \frac{2 \times v \times 0.1}{4}$.
$10^{-3} = \frac{0.2v}{4} = 0.05v$.
$v = \frac{10^{-3}}{0.05} = 0.02 \text{ m s}^{-1} = 2 \text{ cm s}^{-1}$.

(A) સમય $t$ પર ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = NBA \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\omega = 2 \pi v$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે。
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત $EMF$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ છે。
$\phi$ નું સૂત્ર મૂકતા: $e = -\frac{d}{dt} [NBA \cos(\omega t)] = -NBA \frac{d}{dt} [\cos(\omega t)]$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા, $e = -NBA [-\omega \sin(\omega t)] = NBA \omega \sin(\omega t)$.
$\omega = 2 \pi v$ મૂકતા, આપણને $e = NBA(2 \pi v) \sin(2 \pi v t)$ મળે છે.

(D) સરકતો તાર $PQ$ એ $\varepsilon = B l v$ સાથે ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ (emf) ના સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે.
આ emf સ્ત્રોત તાર $PQ$ ના અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
આ સંયોજન દરેક $R$ અવરોધ ધરાવતા બે બાહ્ય અવરોધો સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે.
પ્રથમ,સમાંતરમાં જોડાયેલા બે બાહ્ય અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણો: $R_{p} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$.
હવે,સર્કિટનો કુલ અવરોધ એ તાર $PQ$ નો અવરોધ અને સમાંતર સમતુલ્ય અવરોધનો સરવાળો છે: $R_{eq} = R + R_{p} = R + \frac{R}{2} = \frac{3 R}{2}$.
અંતે,તાર $PQ$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે: $I = \frac{\varepsilon}{R_{eq}} = \frac{B l v}{3 R / 2} = \frac{2 B l v}{3 R}$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ નું મૂલ્ય $e = B v l_{eff}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l_{eff}$ એ વેગ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ વાહકની અસરકારક લંબાઈ છે.
$l$ લંબાઈના સીધા તાર માટે,અસરકારક લંબાઈ $l$ છે. જ્યારે તારને અર્ધવર્તુળાકાર તાર દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક લંબાઈ $l_{eff}$ (રેલ પરના બે સંપર્ક બિંદુઓ વચ્ચેનું સીધું અંતર) અર્ધવર્તુળના વ્યાસ જેટલું જ રહે છે,જે મૂળ સીધા તારની લંબાઈ $l$ જેટલું જ છે.
તેથી,પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{e}{R} = \frac{B v l_{eff}}{R}$ હોવાથી,અને $B, v, R$ તથા $l_{eff}$ બદલાતા ન હોવાથી,પ્રેરિત પ્રવાહનું મૂલ્ય સમાન રહેશે.

(D) આપેલ છે: સળિયાની લંબાઈ, $l = 1.0 \,m$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર, $B = 0.25 \,T$.
ભ્રમણની આવૃત્તિ, $f = 12 \,rev/s$.
ભ્રમણ કરતા સળિયાના છેડાઓ વચ્ચે ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e = \frac{1}{2} B \omega l^2$
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f$ હોવાથી, આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$e = \frac{1}{2} B (2 \pi f) l^2 = B \pi f l^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$e = 0.25 \times \pi \times 12 \times (1.0)^2$
$e = 3 \pi \,V$
$\pi \approx 3.14159$ લેતા, આપણને મળે છે:
$e \approx 3 \times 3.14159 = 9.42477 \,V$
આમ, પ્રેરિત emf આશરે $9.42 \,V$ છે।

(A) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = BA \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક પરિભ્રમણ માટે લાગતો સમય $T = 8 \ s$ છે. $90^{\circ}$ ના પરિભ્રમણ માટે લાગતો સમય $\Delta t = \frac{T}{4} = \frac{8}{4} = 2 \ s$ છે.
સરેરાશ emf $e = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = -\frac{\phi_2 - \phi_1}{\Delta t}$ છે.
$i. 0^{\circ}$ થી $90^{\circ}$: $e = -\frac{BA \cos(90^{\circ}) - BA \cos(0^{\circ})}{2} = -\frac{0 - (0.3 \times 10)}{2} = \frac{3}{2} \ V$.
$ii. 90^{\circ}$ થી $180^{\circ}$: $e = -\frac{BA \cos(180^{\circ}) - BA \cos(90^{\circ})}{2} = -\frac{-3 - 0}{2} = \frac{3}{2} \ V$.
$iii. 180^{\circ}$ થી $270^{\circ}$: $e = -\frac{BA \cos(270^{\circ}) - BA \cos(180^{\circ})}{2} = -\frac{0 - (-3)}{2} = -\frac{3}{2} \ V$.
$iv. 270^{\circ}$ થી $360^{\circ}$: $e = -\frac{BA \cos(360^{\circ}) - BA \cos(270^{\circ})}{2} = -\frac{3 - 0}{2} = -\frac{3}{2} \ V$.

(B) $l$ લંબાઈનો વાહક જ્યારે $v$ વેગથી $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે ત્યારે તેમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય ઈ.એમ.એફ. (emf) નું સૂત્ર $\varepsilon = l(v \times B)$ છે.
અહીં,સળિયાની લંબાઈ $l = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$ છે.
વેગ $v = 8 \text{ ms}^{-1}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 2 \text{ T}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને ગતિના સમતલના લંબ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
પ્રેરિત ઈ.એમ.એફ. $\varepsilon = B v l \sin(\theta)$ થશે.
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon = 2 \times 8 \times 0.5 \times \sin(30^{\circ})$
$\varepsilon = 8 \times 0.5 = 4 \text{ V}$.
આમ,છેડાઓ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $4 \text{ V}$ છે. ગતિની દિશા અને ચુંબકીય ક્ષેત્રને ધ્યાનમાં લેતા,$V_A - V_B = 4 \text{ V}$ મળે છે.

(A) વાહક સળિયા $PQ$ માં પ્રેરિત ગતિકીય ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $V = Bvl$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $B = 4 \ T$,$v = 2 \ ms^{-1}$,$l = 1 \ m$.
તેથી,$V = 4 \times 2 \times 1 = 8 \ V$.
ફ્લેમિંગના જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$P$ પરનું સ્થિતિમાન $Q$ કરતા વધારે છે. આમ,કેપેસિટરની ઉપરની પ્લેટ ($P$ સાથે જોડાયેલ) ધન વિદ્યુતભારિત બને છે અને નીચેની પ્લેટ ($Q$ સાથે જોડાયેલ) ઋણ વિદ્યુતભારિત બને છે.
કેપેસિટરની પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $q = CV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $C = 10 \ \mu F = 10 \times 10^{-6} \ F$.
$q = (10 \times 10^{-6} \ F) \times (8 \ V) = 80 \times 10^{-6} \ C = 80 \ \mu C$.
આમ,$q_A = +80 \ \mu C$ અને $q_B = -80 \ \mu C$.

(B) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $N = 1000$,ક્ષેત્રફળ $A = 500 \text{ cm}^2 = 500 \times 10^{-4} \text{ m}^2 = 5 \times 10^{-2} \text{ m}^2$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 2 \times 10^{-5} \text{ Wb/m}^2$,સમયગાળો $\Delta t = 0.2 \text{ s}$.
કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_1 = 0^{\circ}$ છે.
પ્રારંભિક ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_1 = N B A \cos(0^{\circ}) = N B A$.
કોઈલને $180^{\circ}$ ફેરવ્યા પછી,નવો ખૂણો $\theta_2 = 180^{\circ}$ થાય છે.
અંતિમ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_2 = N B A \cos(180^{\circ}) = -N B A$.
ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = -N B A - N B A = -2 N B A$.
પ્રેરિત emf $e = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = -\frac{-2 N B A}{\Delta t} = \frac{2 N B A}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $e = \frac{2 \times 1000 \times 2 \times 10^{-5} \times 5 \times 10^{-2}}{0.2} = \frac{2 \times 10^3 \times 10 \times 10^{-7}}{0.2} = \frac{2 \times 10^{-3}}{0.2} = 10 \times 10^{-3} \text{ V} = 10 \text{ mV}$.

(B) ગતિશીલ કનેક્ટરમાં પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ $e = Bvl$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $B = 2 \, T$, $v = 2 \, ms^{-1}$, અને $l = 1 \, m$ છે।
$e = 2 \times 2 \times 1 = 4 \, V$.
લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $(I)$ $I = e/R$ છે, જ્યાં $R = 2 \, \Omega$ છે।
$I = 4 / 2 = 2 \, A$.
કનેક્ટર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $(F_m)$ $F_m = IlB$ છે।
$F_m = 2 \times 1 \times 2 = 4 \, N$.
કનેક્ટર સમાન વેગથી ગતિ કરતું હોવાથી, બાહ્ય બળ $(F_{ext})$ એ ચુંબકીય બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ।
$F_{ext} = F_m = 4 \, N$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $r$ લંબાઈના ફરતા સળિયા (આરા) માં પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B_{\perp} \omega r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $B_{\perp}$ એ પરિભ્રમણના સમતલને લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઘટક છે。
પૈડાનું સમતલ પૂર્વ-પશ્ચિમ દિશામાં શિરોલંબ હોવાથી, સમતલને લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઘટક એ સમક્ષિતિજ ઘટક $B_{H}$ છે。
આપેલ છે: $\omega = 100 \text{ rpm} = \frac{100 \times 2\pi}{60} = \frac{10\pi}{3} \text{ rad/s}$, $r = 0.3 \, m$, $\varepsilon = 3\pi \times 10^{-6} \, V$, $B_{V} = 15 \times 10^{-6} \, T$.
કિંમતો મૂકતા: $3\pi \times 10^{-6} = \frac{1}{2} \times B_{H} \times \frac{10\pi}{3} \times (0.3)^2$.
$3\pi \times 10^{-6} = B_{H} \times \frac{5\pi}{3} \times 0.09 = B_{H} \times 0.15\pi$.
$B_{H} = \frac{3\pi \times 10^{-6}}{0.15\pi} = 20 \times 10^{-6} \, T = 20 \mu T$.
ડીપનો ખૂણો $\delta$ એ $\tan \delta = \frac{B_{V}}{B_{H}} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$ દ્વારા મળે છે。
તેથી, $\delta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(D) ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત emf નું સૂત્ર $e = B l_{eff} v \sin(\theta)$ છે,જ્યાં $l_{eff}$ એ વાહકના બે છેડાઓ વચ્ચેનું સ્થાનાંતર સદિશ છે.
$L$ લંબાઈના અર્ધવર્તુળાકાર તાર માટે,ત્રિજ્યા $r$ એ $L = \pi r$ દ્વારા મળે છે,તેથી $r = \frac{L}{\pi}$.
અસરકારક લંબાઈ $l_{eff}$ (બે છેડાઓ વચ્ચેનું સીધું અંતર) એ અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ છે,$l_{eff} = 2r = \frac{2L}{\pi}$.
વેગ $v$ એ વ્યાસ (અસરકારક લંબાઈ સદિશ) સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આ કિંમતોને emf ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = B \times (\frac{2L}{\pi}) \times v \times \sin(45^{\circ})$
$e = B \times \frac{2L}{\pi} \times v \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$e = \frac{\sqrt{2}}{\pi} B v L$
આ સમીકરણની આપેલ સમીકરણ $\Phi = \alpha(B v L)$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $\alpha = \frac{\sqrt{2}}{\pi}$ મળે છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર રહેલા લૂપના ભાગમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B$ એ ક્ષેત્રની અંદરના વર્તુળના સેક્ટરના ક્ષેત્રફળ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
ધારો કે કોઈપણ સમયે $t$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર રહેલા સેક્ટરનો ખૂણો $\theta$ છે. આ સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} R^2 \theta$ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B = B A = B \left( \frac{1}{2} R^2 \theta \right)$ છે.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $\varepsilon$ નું મૂલ્ય $\varepsilon = \left| \frac{d \phi_B}{dt} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપ $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ભ્રમણ કરતું હોવાથી,$\frac{d \theta}{dt} = \omega$ થાય.
તેથી,$\varepsilon = \left| \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} B R^2 \theta \right) \right| = \frac{1}{2} B R^2 \left| \frac{d \theta}{dt} \right| = \frac{B R^2 \omega}{2}$.

(A) આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $A = 3 \times 10^{-2} \, m^2$, આંટાની સંખ્યા $N = 900$, અવરોધ $R = 1.8 \, \Omega$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3.5 \times 10^{-5} \, T$, સમય $t = 0.5 \, s$.
પ્રારંભિક ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_i = N B A \cos(0^{\circ}) = N B A$.
અંતિમ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_f = N B A \cos(180^{\circ}) = -N B A$.
ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_f - \phi_i = -2 N B A$.
પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{2 N B A}{t}$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{2 N B A}{R t}$.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{2 \times 900 \times 3.5 \times 10^{-5} \times 3 \times 10^{-2}}{1.8 \times 0.5}$.
$I = \frac{1800 \times 10.5 \times 10^{-7}}{0.9} = 2000 \times 10.5 \times 10^{-7} = 21000 \times 10^{-7} = 2.1 \times 10^{-3} \, A = 2.1 \, mA$.

(C) અનંત લાંબા તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ લૂપ $v$ વેગથી ગતિ કરે છે,તેમ $b$ લંબાઈની બે ઊભી બાજુઓમાં ગતિકીય emf પ્રેરિત થાય છે.
$x$ અંતરે રહેલી બાજુ માટે,વેગ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ છે,તેથી પ્રેરિત emf $e_1 = B_1 v b = \left(\frac{\mu_0 i}{2 \pi x}\right) v b$ છે.
$(x+l)$ અંતરે રહેલી બાજુ માટે,પ્રેરિત emf $e_2 = B_2 v b = \left(\frac{\mu_0 i}{2 \pi (x+l)}\right) v b$ છે.
લૂપ દૂર જઈ રહ્યું હોવાથી,આ બે બાજુઓમાં પ્રેરિત emf લૂપ સર્કિટમાં એકબીજાનો વિરોધ કરે છે.
emf નું ચોખ્ખું મૂલ્ય $e = |e_1 - e_2| = \frac{\mu_0 i v b}{2 \pi} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+l} \right)$ છે.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $e = \frac{\mu_0 i v b}{2 \pi} \left( \frac{x+l-x}{x(x+l)} \right) = \frac{\mu_0 i l b v}{2 \pi x(x+l)}$.

(C) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતી ટ્રેનના એક્સલ પર ઉદ્ભવતું પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = Bvl$, જ્યાં $B$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક છે, $v$ એ ટ્રેનનો વેગ છે અને $l$ એ પાટાઓ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ કિંમતો:
$B = 2 \times 10^{-5} \, T$
$v = 72 \, km/h = 72 \times \frac{5}{18} \, m/s = 20 \, m/s$
$l = 1 \, m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = (2 \times 10^{-5} \, T) \times (20 \, m/s) \times (1 \, m)$
$e = 40 \times 10^{-5} \, V$
$e = 4 \times 10^{-4} \, V$
પરિણામને મિલિવોલ્ટ $(mV)$ માં ફેરવવા માટે, આપણે $10^3$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$e = 4 \times 10^{-4} \times 10^3 \, mV = 0.4 \, mV$.
તેથી, મિલિવોલ્ટમીટરનું અવલોકન $0.4 \, mV$ છે.

(C) આપેલ છે:
ધરીની લંબાઈ,$l = 1.66 \ m$
ટ્રેનની ઝડપ,$v = 90 \ km/h = 90 \times \frac{5}{18} \ m/s = 25 \ m/s$
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક,$B_v = 0.2 \times 10^{-4} \ T$
ધરી પર પ્રેરિત ગતિકીય emf માટેનું સૂત્ર:
$e = B_v \cdot l \cdot v$
કિંમતો મૂકતા:
$e = (0.2 \times 10^{-4} \ T) \times (1.66 \ m) \times (25 \ m/s)$
$e = 0.2 \times 1.66 \times 25 \times 10^{-4} \ V$
$e = 8.3 \times 10^{-4} \ V$
$e = 0.83 \times 10^{-3} \ V = 0.83 \ mV$

(C) તકતીના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ત્રિજ્યાવર્તી ખંડ ધ્યાનમાં લો.
આ ખંડનો વેગ $v = \omega x$ છે.
આ ખંડ પર ઉદ્ભવતું emf $d\epsilon = B v dx = B \omega x dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્ર $(x=0)$ થી પરિઘ $(x=r)$ સુધી તેનું સંકલન કરતા, ત્રિજ્યા પર ઉદ્ભવતું કુલ emf:
$\epsilon = \int_0^r B \omega x dx = \frac{1}{2} B \omega r^2$.
આપેલ છે: $B = 0.1 \ T$, $f = 10 \ \text{rev/s}$, તેથી $\omega = 2 \pi f = 20 \pi \ \text{rad/s}$, અને $r = 0.1 \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$\epsilon = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 20 \pi \times (0.1)^2$
$\epsilon = 0.1 \times 10 \pi \times 0.01$
$\epsilon = 0.01 \pi \ V = 10 \pi \ mV$.

(B) ધારો કે તકતીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $dr$ લંબાઈનો એક નાનો ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક છે. જેમ તકતી ફરે છે,આ ઘટક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ ગતિ કરે છે.
આ નાના ઘટક પર પ્રેરિત ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ $(de)$ $de = Bv \cdot dr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v = r\omega$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $de = B(r\omega)dr$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(r=0)$ અને કિનારી $(r=R)$ વચ્ચેનો કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(e)$ શોધવા માટે,આપણે પદાવલિનું સંકલન કરીએ છીએ:
$e = \int_0^R B\omega r \, dr = B\omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^R = \frac{1}{2} B\omega R^2$.
આપેલ કિંમતો: $B = 4 \ mT = 4 \times 10^{-3} \ T$,$\omega = 100 \ rad/s$,અને $R = 30 \ cm = 0.3 \ m$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-3}) \times 100 \times (0.3)^2$
$e = 2 \times 10^{-3} \times 100 \times 0.09$
$e = 0.2 \times 0.09 = 0.018 \ V = 18 \ mV$.

(D) આપેલ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
ધારો કે $l$ લંબાઈનો એક ધાતુનો સળિયો $B$ જેટલા સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે $v$ વેગથી ગતિ કરે છે.
સળિયા દ્વારા $dt$ જેટલા સૂક્ષ્મ સમયગાળામાં કાપેલું અંતર $dx = v dt$ છે.
$dt$ સમયમાં સળિયા દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $dA = l \cdot dx = l v dt$ છે.
આ ક્ષેત્રફળ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $d\phi = B \cdot dA = B l v dt$ છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $\varepsilon$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$\varepsilon = \frac{d\phi}{dt} = \frac{B l v dt}{dt} = Blv$.
અહીં વેગ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી,પ્રેરિત emf $Blv$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f = 10 \ rev/s$,સળિયાની લંબાઈ $L = 80 \ cm = 0.8 \ m$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.5 \ T$.
સળિયો તેના મધ્યબિંદુની આસપાસ ફરે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં કોણીય વેગ $\omega$ થી ફરતા $l$ લંબાઈના સળિયામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega l^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,સળિયો તેના કેન્દ્રની આસપાસ ફરે છે,તેથી સળિયાનો દરેક અડધો ભાગ (લંબાઈ $r = L/2 = 0.4 \ m$) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા અલગ વાહક તરીકે વર્તે છે.
સળિયાના એક અડધા ભાગમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon' = \frac{1}{2} B \omega r^2$ છે.
કારણ કે $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 10 = 20 \pi \ rad/s$,તેથી:
$\varepsilon' = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (20 \pi) \times (0.4)^2 = 0.5 \times 10 \pi \times 0.16 = 0.8 \pi \ V$.
કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં બંને અડધા ભાગો વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,બે છેડાઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \varepsilon' + \varepsilon' = 2 \times 0.8 \pi = 1.6 \pi \ V$ થશે.

(A) $L$ લંબાઈનો સળિયો $X$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. $Y$-અક્ષ પર સળિયાનો પ્રક્ષેપ $l = L \sin 30^{\circ} = \frac{L}{2}$ થશે.
સળિયો $X$-અક્ષની દિશામાં $v_0$ વેગથી ગતિ કરે છે,તેથી વેગ સદિશને લંબ સળિયાના ઘટકને કારણે ગતિકીય emf પ્રેરિત થાય છે. વેગ $v_0$ (જે $X$-અક્ષ પર છે) ને લંબ અસરકારક લંબાઈ એ $Y$-અક્ષ પર સળિયાનો પ્રક્ષેપ છે.
$Y$-અક્ષ પર ઉગમબિંદુથી $y$ અંતરે $dy$ લંબાઈનો સળિયાનો એક નાનો ખંડ ધ્યાનમાં લો. આ સ્થાને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_0 \left(\frac{y}{L}\right)^3$ છે.
આ નાના ખંડ પર પ્રેરિત emf $dE$ એ $dE = B v_0 dy$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$B$ નું પદ મૂકતા:
$dE = B_0 \left(\frac{y}{L}\right)^3 v_0 dy = \frac{B_0 v_0}{L^3} y^3 dy$.
સળિયામાં પ્રેરિત કુલ emf $E$ શોધવા માટે,આપણે $y = 0$ થી $y = L/2$ સુધી $dE$ નું સંકલન કરીએ છીએ:
$E = \int_0^{L/2} \frac{B_0 v_0}{L^3} y^3 dy = \frac{B_0 v_0}{L^3} \left[ \frac{y^4}{4} \right]_0^{L/2}$.
$E = \frac{B_0 v_0}{L^3} \left( \frac{(L/2)^4}{4} - 0 \right) = \frac{B_0 v_0}{L^3} \left( \frac{L^4}{16 \cdot 4} \right) = \frac{B_0 v_0 L}{64}$.

$(C)$ લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = 3 \,cm \times 4 \,cm = 12 \,cm^2 = 12 \times 10^{-4} \,m^2$ છે।
લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ છે।
ફેરાડેના નિયમ મુજબ પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -A \frac{dB}{dt}$ છે।
જ્યારે લૂપ અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે, ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ના ફેરફારનો કુલ દર $\frac{dB}{dt} = \frac{\partial B}{\partial t} + v \frac{\partial B}{\partial x}$ દ્વારા મળે છે।
આપેલ છે:
$\frac{\partial B}{\partial t} = 2 \times 10^{-2} \,T/s$ (સમય સાથે વધારો)।
$\frac{\partial B}{\partial x} = -2 \times 10^{-3} \,T/cm = -0.2 \,T/m$ ($X$-અક્ષની દિશામાં ઘટાડો)।
$v = 10 \,cm/s = 0.1 \,m/s$।
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dB}{dt} = (2 \times 10^{-2}) + (0.1) \times (-0.2) = 0.02 - 0.02 = 0 \,T/s$।
તેથી, પ્રેરિત emf $\varepsilon = -A \times 0 = 0 \,V$ થાય।

(A) પરિભ્રમણ કરતા પૈડાની રીમ અને ધરી વચ્ચેનું પ્રેરિત emf $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = \frac{1}{2} B \omega R^2$,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$\omega$ એ કોણીય વેગ છે,અને $R$ એ આરાની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $R = 1 \ m$,$B = 0.5 \times 10^{-4} \ T$,અને $e = \frac{\pi}{3000} \ V$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\pi}{3000} = \frac{1}{2} \times (0.5 \times 10^{-4}) \times \omega \times (1)^2$
$\omega = \frac{2 \times \pi}{3000 \times 0.5 \times 10^{-4}} = \frac{2 \pi}{1.5 \times 10^{-1}} = \frac{4 \pi}{3} \times 10^3 \ rad/s$.
પ્રતિ મિનિટ પરિભ્રમણ $(N)$ એ કોણીય વેગ સાથે $\omega = 2 \pi n$ દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણની આવૃત્તિ છે. તેથી,$N = n \times 60 = \frac{\omega}{2 \pi} \times 60$.
$N = \frac{4 \pi \times 1000}{3 \times 2 \pi} \times 60 = \frac{2000}{3} \times 60 = 400 \ rpm$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય $EMF$ (ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ) નું સૂત્ર $e = \int (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ધાતુના ગોળા માટે,મહત્તમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત ધરાવતા બિંદુઓ વચ્ચેની અસરકારક લંબાઈ $l$ એ ગોળાનો વ્યાસ છે,એટલે કે $l = 2r$.
પ્રેરિત $EMF$ નું સૂત્ર $e = B v l \sin \alpha$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ વેગ સદિશ $\vec{v}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સૂત્રમાં $l = 2r$ મૂકતા,આપણને $e = B v (2r) \sin \alpha$ મળે છે.
તેથી,મહત્તમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $2r|\vec{B}||\vec{v}| \sin \alpha$ છે.

(D) ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e = B v l \sin \theta$
જ્યાં:
$B = 0.1 \,Wb/m^2$ (ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા)
$v = 10 \,m/s$ (વાહકની ઝડપ)
$l = 4 \,m$ (વાહકની લંબાઈ)
$\theta = 30^{\circ}$ (વાહક અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો)
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$e = 0.1 \times 10 \times 4 \times \sin(30^{\circ})$
કારણ કે $\sin(30^{\circ}) = 0.5$:
$e = 0.1 \times 10 \times 4 \times 0.5$
$e = 1 \times 4 \times 0.5 = 2 \,V$
આમ, પ્રેરિત emf $2 \,V$ છે।

(B) આપેલ છે: $N = 1000$,$A = 500 \text{ cm}^2 = 500 \times 10^{-4} \text{ m}^2 = 5 \times 10^{-2} \text{ m}^2$,$B = 2 \times 10^{-5} \text{ Wb/m}^2$,$\Delta t = 0.2 \text{ s}$.
કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_1 = 0^{\circ}$ છે.
કોઈલ સાથે સંકળાયેલ પ્રારંભિક ચુંબકીય ફ્લક્સ: $\phi_1 = N B A \cos 0^{\circ} = N B A$.
કોઈલને $180^{\circ}$ ફેરવ્યા પછી,નવો ખૂણો $\theta_2 = 180^{\circ}$ થાય છે.
અંતિમ ચુંબકીય ફ્લક્સ: $\phi_2 = N B A \cos 180^{\circ} = -N B A$.
ફ્લક્સમાં ફેરફાર: $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = -N B A - N B A = -2 N B A$.
સરેરાશ પ્રેરિત emf: $e = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = -\frac{-2 N B A}{\Delta t} = \frac{2 N B A}{\Delta t}$.
કિંમતો મૂકતા: $e = \frac{2 \times 1000 \times 2 \times 10^{-5} \times 5 \times 10^{-2}}{0.2} = \frac{2 \times 10^3 \times 10 \times 10^{-7}}{0.2} = \frac{2 \times 10^{-3}}{0.2} = 10 \times 10^{-3} \text{ V} = 10 \text{ mV}$.

(B) ધારો કે ભ્રમણની ધરીથી $r$ અંતરે $dr$ લંબાઈનો એક નાનો ખંડ છે.
આ ખંડનો વેગ $v = r\omega$ છે.
આ નાના ખંડ પર ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $de = B v dr = B (r\omega) dr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો સળિયો એક છેડાને અનુલક્ષીને ફરતો હોય,તો કુલ પ્રેરિત emf $e$ મેળવવા માટે આપણે $r = 0$ થી $r = L$ સુધી સંકલન કરીએ:
$e = \int_{0}^{L} B \omega r dr = B \omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{1}{2} B \omega L^2$.
આમ,સળિયાના બે છેડાઓ વચ્ચે ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $\frac{1}{2} B \omega L^2$ છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર '$B$' માં '$V$' વેગ સાથે ગતિ કરતા '$q$' વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{V} \times \vec{B})$.
વાહક સળિયા માટે,ધન વિદ્યુતભાર વાહકો (હોલ્સ) પ્રેરિત પ્રવાહ '$i$' ની દિશામાં બળ અનુભવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,વેગ '$V$' જમણી તરફ છે અને પ્રવાહ '$i$' ઉપરની તરફ છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{V} \times \vec{B}$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
જો આપણે આપણી આંગળીઓને '$V$' (જમણી તરફ) ની દિશામાં રાખીએ અને તેમને '$B$' (કાગળની અંદર) ની દિશામાં વાળીએ,તો અંગૂઠો ઉપરની તરફ નિર્દેશ કરે છે,જે પ્રવાહ '$i$' ની દિશા છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર '$B$' કાગળના સમતલને લંબ અને કાગળની અંદરની તરફ હોવું જોઈએ.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ફરતી ધાતુની તકતીને કારણે ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $emf$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e = \frac{1}{2} B \omega a^2$
જ્યાં $\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે અને $a$ એ તકતીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ કિંમતો:
ત્રિજ્યા $a = 10 \ cm = 0.1 \ m$
કોણીય ઝડપ $\omega = 200 \ rad \ s^{-1}$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 5 \ mT = 5 \times 10^{-3} \ T$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-3} \ T) \times (200 \ rad \ s^{-1}) \times (0.1 \ m)^2$
$e = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^{-3} \times 200 \times 0.01$
$e = 0.5 \times 10^{-3} \times 10 = 5 \times 10^{-3} \ V = 5 \ mV$
આમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $5 \ mV$ છે.

(A) રીંગની ત્રિજ્યા $R = 40 \, cm = 0.4 \, m$ છે. કોણીય ઝડપ $\omega = 20 \, rad \, s^{-1}$ છે।
જ્યારે ધાતુની રીંગ આડી સપાટી પર ગબડે છે, ત્યારે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v = R\omega = 0.4 \times 20 = 8 \, m/s$ થાય છે।
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉત્પન્ન થતું e.m.f. $\varepsilon = \int (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
ગબડતી રીંગ માટે, લૂપમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ બદલાતું નથી, અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વ્યાસ પર ઉત્પન્ન થતું ગતિકીય e.m.f. સંમિતિને કારણે એકબીજાને નાબૂદ કરે છે।
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો, ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં ગબડતી રીંગ માટે, પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક $(B_V)$ રીંગના સમતલને લંબ હોય છે, પરંતુ રીંગ તેના પોતાના સમતલમાં ગતિ કરતી હોવાથી, રીંગ દ્વારા કોઈ ફ્લક્સ કપાતું નથી।
સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ જમીનને સમાંતર હોય છે। જેમ રીંગ ગબડે છે, તેમ કોઈપણ વ્યાસ પર ઉત્પન્ન થતું e.m.f. શૂન્ય હોય છે કારણ કે રીંગના એક અર્ધભાગમાં ઉત્પન્ન થતો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બીજા અર્ધભાગ દ્વારા બરાબર સંતુલિત થઈ જાય છે।
તેથી, રીંગમાં ઉત્પન્ન થતું કુલ e.m.f. $0$ છે।

(C) આપેલ છે: પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક,$B_v = 0.5 \times 10^{-4} \,T$.
પાંખની લંબાઈ,$\ell = 4 \,m$.
વેગ,$v = 360 \,km/h = 360 \times \frac{5}{18} = 100 \,m/s$.
પાંખના છેડાઓ વચ્ચે ઉદ્ભવતું ગતિકીય emf $(\varepsilon)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\varepsilon = B_v \cdot v \cdot \ell$
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon = (0.5 \times 10^{-4}) \times 100 \times 4$
$\varepsilon = 0.5 \times 10^{-4} \times 400$
$\varepsilon = 200 \times 10^{-4} \,V$
$\varepsilon = 20 \times 10^{-3} \,V$.

(C) વિમાનની ઝડપ $v = 540 \,km/h = 540 \times \frac{5}{18} \,m/s = 150 \,m/s$ છે.
પાંખોની લંબાઈ $l = 20 \,m$ છે.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = 2.5 \sqrt{3} \times 10^{-4} \,T$ છે.
નમનકોણ $\delta = 30^{\circ}$ છે.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો શિરોલંબ ઘટક $B_V = B_H \tan \delta = (2.5 \sqrt{3} \times 10^{-4}) \times \tan 30^{\circ} = 2.5 \sqrt{3} \times 10^{-4} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 2.5 \times 10^{-4} \,T$ થાય.
પાંખો વચ્ચે પ્રેરિત થતો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત (ગતિકીય $EMF$) $E = B_V \cdot l \cdot v$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = (2.5 \times 10^{-4} \,T) \times (20 \,m) \times (150 \,m/s)$
$E = 2.5 \times 10^{-4} \times 3000 = 7500 \times 10^{-4} = 0.75 \,V$.

(A) $L$ લંબાઈનો એક આરો જ્યારે $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $\omega$ કોણીય વેગથી ફરે છે,ત્યારે તેમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $(e)$ નીચે મુજબ છે: $e = \frac{1}{2} B \omega L^2$.
આપેલ છે:
$B = H_{e} = 0.4 \text{ G} = 0.4 \times 10^{-4} \text{ T}$.
$L = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$.
આવૃત્તિ $f = 180 \text{ rev/min} = 3 \text{ Hz}$.
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 6 \pi \text{ rad/s}$.
કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{1}{2} \times (0.4 \times 10^{-4}) \times (6 \pi) \times (0.4)^2$.
$e = 0.2 \times 10^{-4} \times 6 \pi \times 0.16$.
$e = 0.192 \pi \times 10^{-4} \text{ V} = 192 \pi \times 10^{-7} \text{ V}$.
બધા આરા સમાંતર હોવાથી,કુલ પ્રેરિત emf એક આરા જેટલું જ રહેશે.

(C) આપેલ છે: વાહક સળિયાનો વેગ $v=5 \ m \ s^{-1}$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B=0.1 \ T$.
સમય $t=4 \ s$ પર,શિરોબિંદુથી સળિયાનું અંતર $x = v \times t = 5 \times 4 = 20 \ m$ છે.
રેલ કાટખૂણો $(90^{\circ})$ બનાવતી હોવાથી,રેલ અને સળિયા દ્વારા બનતો ત્રિકોણ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
રેલના સંપર્કમાં રહેલા સળિયાની લંબાઈ $l = 2 \times x \tan(45^{\circ}) = 2 \times 20 \times 1 = 40 \ m$ છે.
પ્રેરિત emf $e = B \times v \times l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $e = 0.1 \times 5 \times 40 = 20 \ V$.

(C) ધારો કે સમય $t$ પર શિરોબિંદુથી સળિયાનું અંતર $x = vt$ છે.
પ્લેટો અને સળિયા દ્વારા બનતા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,સળિયાની લંબાઈ $\ell$ ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે.
ખૂણા $\theta$ ના દ્વિભાજક દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લેતા,આપણી પાસે છે:
$\frac{\ell/2}{x} = \tan \frac{\theta}{2}$
$\ell = 2x \tan \frac{\theta}{2} = 2vt \tan \frac{\theta}{2}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં વેગ $v$ થી ગતિ કરતા $\ell$ લંબાઈના વાહકમાં પ્રેરિત ગતિકીય emf $\varepsilon = B \ell v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 1 \text{ s}$ પર $\ell$ નું મૂલ્ય મૂકતા:
$\ell = 2v(1) \tan \frac{\theta}{2} = 2v \tan \frac{\theta}{2}$.
તેથી,પ્રેરિત emf:
$\varepsilon = B(2v \tan \frac{\theta}{2})v = 2Bv^2 \tan \frac{\theta}{2}$.

(A) પ્રવાહ $I$ વહેતા લાંબા સીધા તારથી $y$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે લૂપની લંબાઈ $l$ અને પહોળાઈ $b$ છે. લૂપ $v$ વેગથી તારથી દૂર જાય છે. $t=0$ સમયે તારથી લૂપની અંદરની ધારનું અંતર $y_0$ છે. $t$ સમયે અંતર $y(t) = y_0 + vt$ થાય.
પહોળાઈ $b$ ખૂબ નાની $(b \ll y)$ હોવાથી,લૂપ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન ગણી શકાય,અને પ્રેરિત emf $E$ એ લંબાઈ $l$ ની બે બાજુઓ વચ્ચેના ગતિકીય emf નો તફાવત છે:
$E = E_1 - E_2 = v l (B_1 - B_2) = v l \left( \frac{\mu_{0} I}{2 \pi y} - \frac{\mu_{0} I}{2 \pi (y+b)} \right)$
$E = \frac{\mu_{0} I v l}{2 \pi} \left( \frac{y+b-y}{y(y+b)} \right) = \frac{\mu_{0} I v l b}{2 \pi y(y+b)}$
$b \ll y$ હોવાથી,$y+b \approx y$ લેતા,$E \approx \frac{\mu_{0} I v l b}{2 \pi y^2}$ મળે.
$y = y_0 + vt$ હોવાથી,મોટા $t$ માટે,$y \approx vt$ થાય. તેથી,$E \propto \frac{1}{(vt)^2} \propto \frac{1}{t^2}$.

(C) ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા લૂપના કેન્દ્રમાં $I$ પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2 b}$ છે.
નાનો લૂપ ખૂબ જ નાનો હોવાથી,આપણે ધારી શકીએ કે તેના ક્ષેત્રફળ $A = \pi a^{2}$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન છે.
સમય $t$ પર નાના લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B A \cos(\theta)$ છે,જ્યાં $\theta = \omega t$ એ નાના લૂપના ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\phi = \left( \frac{\mu_{0} I}{2 b} \right) (\pi a^{2}) \cos(\omega t)$.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$\varepsilon = -\frac{d}{dt} \left[ \frac{\mu_{0} I \pi a^{2}}{2 b} \cos(\omega t) \right]$.
$\varepsilon = -\frac{\mu_{0} I \pi a^{2}}{2 b} (-\omega \sin(\omega t)) = \frac{\pi a^{2} \mu_{0} I}{2 b} \omega \sin(\omega t)$.

(A, B, D) લૂપમાં પ્રેરિત ગતિકીય ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $\varepsilon = B \times b \times v$ છે,જે ફક્ત $PS$ ભાગમાં જ કાર્યરત છે જે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી પસાર થઈ રહ્યો છે.
લૂપનો કુલ અવરોધ $R_{\text{total}} = \lambda(2b + 2a)$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R_{\text{total}}} = \frac{Bbv}{\lambda(2b + 2a)}$ છે.
લેન્ઝના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જેમ લૂપ બહાર નીકળે છે તેમ પેજની અંદર તરફનું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટે છે,તેથી આ ફેરફારનો વિરોધ કરવા માટે પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હશે.
ભાગ $SR$ માટે,લંબાઈ સદિશ $\vec{\ell}$ એ વેગ સદિશ $\vec{v}$ ને સમાંતર છે,તેથી પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = \vec{v} \times \vec{B} \cdot \vec{\ell} = 0$ થાય છે. આમ,ભાગ $SR$ માં કોઈ પ્રેરણ થતું નથી.
તેથી,વિધાનો $A$,$B$ અને $D$ સાચા છે.

(B) આપેલ છે:
વાહકની લંબાઈ,$l = 0.1 \ m$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B = 0.1 \ T$
વાહકનો વેગ,$v = 15 \ m/s$
વેગ સદિશ $v$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ છે.
જ્યારે વાહક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ગતિ કરે છે,ત્યારે પ્રેરિત ગતિકીય emf નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\varepsilon = B \cdot l \cdot v \cdot \sin(\theta)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon = 0.1 \times 0.1 \times 15 \times \sin(90^{\circ})$
કારણ કે $\sin(90^{\circ}) = 1$:
$\varepsilon = 0.01 \times 15 = 0.15 \ V$
તેથી,પ્રેરિત emf $0.15 \ V$ છે.

(B) પરિભ્રમણ કરતી લૂપમાં પ્રેરિત $EMF$ નું સૂત્ર $E = B A \omega \sin(\theta)$ છે,જ્યાં $\theta = \omega t$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે: $B = 0.5 \ T$,$\omega = 100 \ rad/s$,$E = 15.4 \ mV = 15.4 \times 10^{-3} \ V$,અને $\theta = 30^{\circ}$.
વર્તુળાકાર લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $15.4 \times 10^{-3} = 0.5 \times (\pi r^2) \times 100 \times \sin(30^{\circ})$.
$\sin(30^{\circ}) = 0.5$ હોવાથી: $15.4 \times 10^{-3} = 0.5 \times \pi r^2 \times 100 \times 0.5$.
$15.4 \times 10^{-3} = 25 \times \pi r^2$.
$\pi = 22/7$ લેતા: $15.4 \times 10^{-3} = 25 \times (22/7) \times r^2$.
$r^2 = \frac{15.4 \times 10^{-3} \times 7}{25 \times 22} = \frac{107.8 \times 10^{-3}}{550} = 0.196 \times 10^{-3} = 196 \times 10^{-6} \ m^2$.
$r = \sqrt{196 \times 10^{-6}} = 14 \times 10^{-3} \ m = 14 \ mm$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ફરતા $\ell$ લંબાઈના સળિયામાં પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = \frac{B \omega \ell^2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ કોણીય વેગ $\omega_{\max}$ શોધવા માટે,આપણે ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$60^{\circ}$ ના ખૂણે સ્થિતિ ઉર્જાનું રૂપાંતર સૌથી નીચલા બિંદુએ ગતિ ઉર્જામાં થાય છે.
$mg\ell(1 - \cos 60^{\circ}) = \frac{1}{2} I \omega_{\max}^2$,જ્યાં $I = m\ell^2$.
$mg\ell(1 - 0.5) = \frac{1}{2} m\ell^2 \omega_{\max}^2$.
$g(0.5) = \frac{1}{2} \ell \omega_{\max}^2$.
$\omega_{\max} = \sqrt{\frac{g}{\ell}} = \sqrt{\frac{10}{0.1}} = \sqrt{100} = 10 \ rad/s$.
હવે,કિંમતોને $EMF$ સૂત્રમાં મૂકતા:
$\varepsilon_{\max} = \frac{2 \times 10 \times (0.1)^2}{2} = 10 \times 0.01 = 0.1 \ V$.
$mV$ માં રૂપાંતર કરતા: $0.1 \ V = 100 \ mV$.