Energy Stored in a Capacitor Questions in Hindi

(A) विद्युत क्षेत्र $E$ का ऊर्जा घनत्व (प्रति इकाई आयतन ऊर्जा) $u$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $u = \frac{1}{2}{\varepsilon _0}{E^2}$.
समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$,विभवांतर $V$ और दूरी $d$ से इस संबंध द्वारा जुड़ा होता है: $E = \frac{V}{d}$.
$E$ के इस मान को ऊर्जा घनत्व के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $u = \frac{1}{2}{\varepsilon _0}{\left( \frac{V}{d} \right)^2} = \frac{1}{2}{\varepsilon _0}\frac{{{V^2}}}{{{d^2}}}$.

(D) एक संधारित्र को $V$ विभव तक आवेशित करने में बैटरी द्वारा किया गया कार्य $(W_b)$ इस प्रकार है: $W_b = Q \cdot V = (CV) \cdot V = CV^2$.
संधारित्र में संचित ऊर्जा $(U)$ इस प्रकार है: $U = \frac{1}{2} CV^2$.
अतः,संधारित्र में संचित ऊर्जा और बैटरी द्वारा किए गए कार्य का अनुपात है:
$\frac{U}{W_b} = \frac{\frac{1}{2} CV^2}{CV^2} = \frac{1}{2} = 0.5$.

(B) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2} C V^2$ होता है।
ऊर्जा में वृद्धि $\Delta E = E_{final} - E_{initial} = \frac{1}{2} C (V_{final}^2 - V_{initial}^2)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $C = 6 \ \mu F = 6 \times 10^{-6} \ F$,$V_{initial} = 10 \ V$,और $V_{final} = 20 \ V$।
मान रखने पर:
$\Delta E = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^{-6}) \times (20^2 - 10^2)$
$\Delta E = 3 \times 10^{-6} \times (400 - 100)$
$\Delta E = 3 \times 10^{-6} \times 300$
$\Delta E = 900 \times 10^{-6} \ J = 9 \times 10^{-4} \ J$.

(A) जब संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रत्येक संधारित्र पर संचित आवेश $Q$ समान होता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{Q^2}{2C}$ है।
चूंकि श्रेणीक्रम संयोजन में $Q$ स्थिर रहता है,इसलिए ऊर्जा $U$,धारिता $C$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(U \propto \frac{1}{C})$।
अतः,दोनों संधारित्रों में संचित ऊर्जा का अनुपात होगा:
$\frac{U_1}{U_2} = \frac{C_2}{C_1}$
यहाँ $C_1 = 2 \ \mu F$ और $C_2 = 4 \ \mu F$ दिया गया है:
$\frac{U_1}{U_2} = \frac{4 \ \mu F}{2 \ \mu F} = \frac{2}{1}$
इस प्रकार,संचित ऊर्जा का अनुपात $2 : 1$ है।

(B) विद्युत क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व $u$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$.
दिया गया है: $u = 1.8 \times 10^{-9} \ J/m^3$ और $\epsilon_0 = 9 \times 10^{-12} \ C^2/N \cdot m^2$.
सूत्र में मान रखने पर:
$1.8 \times 10^{-9} = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-12}) \times E^2$.
$1.8 \times 10^{-9} = 4.5 \times 10^{-12} \times E^2$.
$E^2 = \frac{1.8 \times 10^{-9}}{4.5 \times 10^{-12}}$.
$E^2 = \frac{1.8}{4.5} \times 10^3 = 0.4 \times 1000 = 400$.
$E = \sqrt{400} = 20 \ NC^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) बादल और पृथ्वी एक समांतर प्लेट संधारित्र (capacitor) बनाते हैं।
विद्युत क्षेत्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 \times \text{Volume}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ, $E = \frac{V}{d}$, जहाँ $V = 10^5\ V$ और $d = 0.75\ km = 750\ m$ है।
बादल और पृथ्वी के बीच के स्थान का आयतन $V_{ol} = A \times d$ है, जहाँ $A = 25 \times 10^6\ m^2$ है।
इन मानों को ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( \frac{V}{d} \right)^2 \times (A \times d) = \frac{1}{2} \epsilon_0 \frac{V^2 A}{d}$.
$U = \frac{1}{2} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times \frac{(10^5)^2 \times 25 \times 10^6}{750}$.
$U = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times \frac{10^{10} \times 25 \times 10^6}{750} = \frac{8.85 \times 25 \times 10^4}{1500} \approx 1475\ J$.

(B) जब $n$ संधारित्र,जिनमें से प्रत्येक की धारिता $C$ है,को $V$ वोल्ट के वोल्टेज स्रोत के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रत्येक संधारित्र पर विभवांतर $V$ होता है।
एक संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U_i = \frac{1}{2}CV^2$ है।
चूंकि संधारित्र समानांतर क्रम में हैं,इसलिए कुल ऊर्जा $U$ प्रत्येक संधारित्र में संचित ऊर्जा का योग होगी:
$U = U_1 + U_2 + ... + U_n$
$U = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{2}CV^2 + ... + \frac{1}{2}CV^2$ ($n$ बार)
$U = n \times (\frac{1}{2}CV^2)$
$U = \frac{1}{2}nCV^2$.

(C) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $W = \frac{Q^2}{2C}$ होता है।
जब आवेश को $Q$ से बढ़ाकर $Q' = 2Q$ कर दिया जाता है,तो नई ऊर्जा $W'$ इस प्रकार होगी:
$W' = \frac{(Q')^2}{2C} = \frac{(2Q)^2}{2C} = \frac{4Q^2}{2C}$.
चूंकि $W = \frac{Q^2}{2C}$,इसलिए इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$W' = 4 \times \left( \frac{Q^2}{2C} \right) = 4W$.
अतः,नई संचित ऊर्जा $4W$ होगी।

(B) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है। यदि दूरी $d$ को दोगुना कर दिया जाए $(d' = 2d)$,तो नई धारिता $C' = \frac{C}{2}$ हो जाती है।
चूंकि संधारित्र बैटरी से अलग है,इसलिए आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
प्रारंभिक संचित ऊर्जा $U_1 = \frac{Q^2}{2C}$ है।
अंतिम संचित ऊर्जा $U_2 = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(C/2)} = \frac{Q^2}{C}$ है।
किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_2 - U_1 = \frac{Q^2}{C} - \frac{Q^2}{2C} = \frac{Q^2}{2C}$.

(D) संधारित्र में संचित ऊर्जा,जो इसे आवेशित करने के लिए किए गए कार्य के बराबर होती है,का सूत्र है: $W = \frac{Q^2}{2C}$।
दिया गया है:
आवेश $Q = 8 \times 10^{-18} \ C$
धारिता $C = 800 \ \mu F = 800 \times 10^{-6} \ F = 8 \times 10^{-4} \ F$।
सूत्र में मान रखने पर:
$W = \frac{(8 \times 10^{-18})^2}{2 \times (8 \times 10^{-4})}$
$W = \frac{64 \times 10^{-36}}{16 \times 10^{-4}}$
$W = 4 \times 10^{-32} \ J$।

(B) एक पूर्णतः आवेशित संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ संधारित्र के सिरों के बीच का विभवांतर है।
चूंकि संधारित्र को एक ऊष्मीय रूप से कुचालक ब्लॉक में स्थित प्रतिरोधक कुंडली के माध्यम से निरावेशित किया जाता है,इसलिए संधारित्र में संचित संपूर्ण विद्युत ऊर्जा ब्लॉक द्वारा अवशोषित ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ब्लॉक द्वारा अवशोषित ऊष्मीय ऊर्जा $Q = ms\Delta T$ है।
संचित ऊर्जा को अवशोषित ऊष्मीय ऊर्जा के बराबर रखने पर:
$\frac{1}{2}CV^2 = ms\Delta T$
$V^2 = \frac{2ms\Delta T}{C}$
$V = \sqrt{\frac{2ms\Delta T}{C}}$

(B) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2}CV^2$ है।
दिया गया है: $C = 40\ \mu F = 40 \times 10^{-6}\ F$,$V = 3000\ V$,और $t = 2\ ms = 2 \times 10^{-3}\ s$.
मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (40 \times 10^{-6}) \times (3000)^2 = 20 \times 10^{-6} \times 9 \times 10^6 = 180\ J$.
रोगी को दी गई शक्ति $P = \frac{U}{t} = \frac{180\ J}{2 \times 10^{-3}\ s} = 90 \times 10^3\ W = 90\ kW$ है।

(C) समानांतर क्रम में जुड़े संधारित्रों के लिए,तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $C_1 = C_2 = 10 \ \mu F$ है,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq} = 10 \ \mu F + 10 \ \mu F = 20 \ \mu F = 20 \times 10^{-6} \ F$ होगी।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ है।
मान रखने पर,$C_{eq} = 20 \times 10^{-6} \ F$ और $V = 200 \ V$:
$U = \frac{1}{2} \times (20 \times 10^{-6}) \times (200)^2$
$U = 10 \times 10^{-6} \times 40000$
$U = 10 \times 10^{-6} \times 4 \times 10^4$
$U = 40 \times 10^{-2} = 0.4 \ J$.

(C) प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
चूंकि संधारित्र को बैटरी से अलग कर दिया गया है,इसलिए प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
प्रारंभिक संचित ऊर्जा $U_i = \frac{Q^2}{2C}$ है।
जब दूरी को बढ़ाकर $2d$ कर दिया जाता है,तो नई धारिता $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{2d} = \frac{C}{2}$ हो जाती है।
अंतिम संचित ऊर्जा $U_f = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(C/2)} = \frac{Q^2}{C}$ है।
किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है: $W = U_f - U_i = \frac{Q^2}{C} - \frac{Q^2}{2C} = \frac{Q^2}{2C}$।
$Q = CV$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $W = \frac{(CV)^2}{2C} = \frac{1}{2} C V^2$।
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $W = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) V^2 = \frac{\varepsilon_0 A V^2}{2d}$।

(B) प्लेटों का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (8 \times 10^{-2})^2 \approx 0.0201\,m^2$ है और दूरी $d = 1\,mm = 1 \times 10^{-3}\,m$ है।
परावैद्युत के साथ संधारित्र की धारिता $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $C = \frac{6 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 0.0201}{1 \times 10^{-3}} \approx 1.068 \times 10^{-9}\,F$।
विभवांतर $V = 150\,V$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2$ है।
$U = \frac{1}{2} \times (1.068 \times 10^{-9}) \times (150)^2$।
$U = 0.5 \times 1.068 \times 10^{-9} \times 22500$।
$U \approx 1.2 \times 10^{-5}\,J$।

(B) यह निकाय समानांतर क्रम में जुड़े दो संधारित्रों से बना है।
प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
चूंकि दो संधारित्र समानांतर में हैं,इसलिए कुल धारिता $C_{eq} = 2 \times \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d}$ होगी।
निकाय में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{2 \varepsilon_0 A}{d} \right) V^2 = \frac{\varepsilon_0 A V^2}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, F/m$,$A = 50 \times 10^{-4} \, m^2$,$d = 3 \times 10^{-3} \, m$,$V = 12 \, V$.
$U = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 50 \times 10^{-4} \times (12)^2}{3 \times 10^{-3}}$.
$U = \frac{8.854 \times 50 \times 144 \times 10^{-16}}{3 \times 10^{-3}} = \frac{63748.8 \times 10^{-16}}{3 \times 10^{-3}} \approx 2.125 \times 10^{-9} \, J$.
अतः,संचित ऊर्जा लगभग $2.1 \times 10^{-9} \, J$ है।

(B) बेलनाकार संधारित्र की धारिता $C = \frac{2\pi \varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}$ द्वारा दी जाती है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$ होती है।
$C$ का व्यंजक रखने पर,हमें $U = \frac{1}{2} \frac{Q^2 \ln(b/a)}{2\pi \varepsilon_0 L}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\ln(b/a)$,$\pi$,और $\varepsilon_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए ऊर्जा $U$,$\frac{Q^2}{L}$ के समानुपाती है,अर्थात $U \propto \frac{Q^2}{L}$।
माना नया आवेश $Q' = 2Q$ और नई लंबाई $L' = 2L$ है।
नई ऊर्जा $U'$,$\frac{(Q')^2}{L'} = \frac{(2Q)^2}{2L} = \frac{4Q^2}{2L} = 2 \left( \frac{Q^2}{L} \right)$ के समानुपाती है।
अतः,ऊर्जा मूल ऊर्जा की $2$ गुनी हो जाएगी।

(A) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} CV^2$ है।
दिया गया है:
धारिता $C = 4 \times 10^{-6} \ F$
विभवांतर $V = 100 \ V$
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-6}) \times (100)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times 10000$
$U = 2 \times 10^{-6} \times 10^4$
$U = 2 \times 10^{-2} \ J$
$U = 0.02 \ J$
अतः,संधारित्र को निरावेशित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $0.02 \ J$ है।

(D) संधारित्र की स्थितिज ऊर्जा में किया गया परिवर्तन उस पर किए गए कार्य के बराबर होता है।
प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C V_1^2 = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^{-6}\ F) \times (10\ V)^2 = 3 \times 10^{-4}\ J$.
अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} C V_2^2 = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^{-6}\ F) \times (20\ V)^2 = 12 \times 10^{-4}\ J$.
किया गया कार्य $W = \Delta U = U_f - U_i = (12 - 3) \times 10^{-4}\ J = 9 \times 10^{-4}\ J$.

(D) जब एक आवेशित संधारित्र को प्रतिरोधक से जोड़ा जाता है,तो संधारित्र में संचित कुल ऊर्जा प्रतिरोधक में ऊष्मा के रूप में व्यय हो जाती है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2}CV^2$ है।
दिया गया है:
धारिता $C = 4\ \mu F = 4 \times 10^{-6}\ F$
विभवांतर $V = 400\ V$
मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-6}) \times (400)^2$
$U = 2 \times 10^{-6} \times 160000$
$U = 2 \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^5$
$U = 3.2 \times 10^{-1} = 0.32\ J$.
अतः,उत्पन्न कुल ऊष्मा ऊर्जा $0.32\ J$ है।

(D) एक संधारित्र के विभव को $V_1$ से $V_2$ तक बदलने के लिए किया गया कार्य $W$,संचित ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_f - U_i = \frac{1}{2} C (V_2^2 - V_1^2)$.
प्रथम स्थिति के लिए,$W = \frac{1}{2} C (10^2 - 5^2) = \frac{1}{2} C (100 - 25) = \frac{1}{2} C (75) = 37.5 C$.
द्वितीय स्थिति के लिए,$W' = \frac{1}{2} C (15^2 - 10^2) = \frac{1}{2} C (225 - 100) = \frac{1}{2} C (125) = 62.5 C$.
अनुपात लेने पर: $\frac{W'}{W} = \frac{62.5 C}{37.5 C} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{625}{375} = \frac{5}{3} \approx 1.67$.
अतः,$W' = 1.67\ W$.

(C) दिए गए दो संधारित्र समांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = 1 \ \mu F + 1 \ \mu F = 2 \ \mu F = 2 \times 10^{-6} \ F$ है।
संधारित्रों के सिरों पर विभवांतर $V = 200 \ V$ है।
निकाय में संचित कुल ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ है।
मान रखने पर,$U = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-6} \ F) \times (200 \ V)^2$ प्राप्त होता है।
$U = 10^{-6} \times 40000 = 0.04 \ J$।

(B) परिपथ आरेख से,$C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं,और उनका संयोजन $C_3$ के साथ समांतर क्रम में है।
सबसे पहले,श्रेणीक्रम में $C_1$ और $C_2$ की तुल्य धारिता की गणना करें:
$C_{12} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{2 \times 6}{2 + 6} = \frac{12}{8} = 1.5\ \mu F$.
अब,$C_{12}$ और $C_3$ समांतर क्रम में हैं,इसलिए कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ होगी:
$C_{eq} = C_{12} + C_3 = 1.5 + 4 = 5.5\ \mu F$.
निकाय में संचित कुल ऊर्जा $U$ इस प्रकार है:
$U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2 = \frac{1}{2} \times 5.5 \times 10^{-6} \times (2)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 5.5 \times 10^{-6} \times 4 = 11 \times 10^{-6}\ J$.

(B) संधारित्र $V$ विभव वाली बैटरी के साथ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
समानांतर संयोजन की तुल्य धारिता $C_{eq} = C + \frac{C}{2} = \frac{3}{2} C$ है।
एक संधारित्र को आवेशित करने में किया गया कार्य $W$ संधारित्र में संचित ऊर्जा के बराबर होता है,जो $W = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ द्वारा दिया जाता है।
$C_{eq}$ का मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times \left( \frac{3}{2} C \right) V^2 = \frac{3}{4} C V^2$.

(C) एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में स्थित समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच विभवांतर $V = Ed$ द्वारा दिया जाता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
ऊर्जा के सूत्र में $C$ और $V$ के मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) (Ed)^2$
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) E^2 d^2$
$U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 Ad$.

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच आकर्षण बल $F$ का सूत्र है:
$F = \frac{Q^2}{2 \varepsilon_0 A}$
जहाँ $Q$ संधारित्र पर आवेश है,$\varepsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है और $A$ प्रत्येक प्लेट का क्षेत्रफल है।
हम जानते हैं कि आवेश $Q$,धारिता $C$ और विभवांतर $V$ से इस प्रकार संबंधित है:
$Q = CV$
साथ ही,समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता होती है:
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \implies \varepsilon_0 A = Cd$
इन व्यंजकों को बल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = \frac{(CV)^2}{2(Cd)}$
$F = \frac{C^2 V^2}{2Cd}$
$F = \frac{CV^2}{2d}$

(B) एक संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए $A$ पर विभव $0 \ V$ है और $C$ पर $10 \ V$ है। मान लीजिए नोड $B$ पर विभव $V_B$ है।
नोड $B$ पर किरचॉफ के धारा नियम का उपयोग करते हुए,$B$ से जुड़ी प्लेटों पर आवेशों का योग शून्य होना चाहिए: $10(V_B - 0) + 5(V_B - 0) + 4(V_B - 10) + 6(V_B - 10) = 0$.
$15V_B + 10V_B - 40 - 60 = 0 \implies 25V_B = 100 \implies V_B = 4 \ V$.
अब,प्रत्येक संधारित्र के लिए ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C(V_{diff})^2$ की गणना करें:
$10 \ \mu F$ के लिए: $U = \frac{1}{2} \times 10 \times (4 - 0)^2 = 5 \times 16 = 80 \ \mu J$.
$5 \ \mu F$ के लिए: $U = \frac{1}{2} \times 5 \times (4 - 0)^2 = 2.5 \times 16 = 40 \ \mu J$.
$4 \ \mu F$ के लिए: $U = \frac{1}{2} \times 4 \times (4 - 10)^2 = 2 \times 36 = 72 \ \mu J$.
$6 \ \mu F$ के लिए: $U = \frac{1}{2} \times 6 \times (4 - 10)^2 = 3 \times 36 = 108 \ \mu J$.
अधिकतम ऊर्जा $6 \ \mu F$ के संधारित्र में संचित होती है।

(A) मान लीजिए कि संधारित्र की धारिता $C$ है और बैटरी का विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $V$ है।
जब संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाता है,तो प्लेटों पर संचित आवेश $Q = CV$ होता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2$ द्वारा दी जाती है।
संधारित्र को आवेशित करने में बैटरी द्वारा किया गया कार्य $W = Q \times V = (CV) \times V = CV^2$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा और बैटरी द्वारा किए गए कार्य का अनुपात $\frac{U}{W} = \frac{\frac{1}{2} CV^2}{CV^2} = \frac{1}{2} = 0.5$ है।

(A) विद्युत क्षेत्र $E$ वाले क्षेत्र में ऊर्जा घनत्व $u$ (प्रति इकाई आयतन ऊर्जा) का सूत्र है: $u = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2}$।
संधारित्र की प्लेटों के बीच के स्थान का आयतन $V$,क्षेत्रफल $A$ और दूरी $d$ का गुणनफल है,इसलिए $V = Ad$।
संधारित्र में संचित कुल ऊर्जा $U$,ऊर्जा घनत्व और आयतन का गुणनफल है:
$U = u \times V$
$U = (\frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2}) \times (Ad)$
$U = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2} Ad$।

(D) यह ग्राफ एक संधारित्र के लिए वोल्टेज $V$ (y-अक्ष पर) और आवेश $q$ (x-अक्ष पर) के बीच परिवर्तन को दर्शाता है।
$V-q$ ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल संधारित्र को चार्ज करने में किए गए कार्य को दर्शाता है,जो स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित होता है।
त्रिभुज $AOB$ का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times q \times V$
चूंकि संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} qV$ होती है,इसलिए त्रिभुज $AOB$ का क्षेत्रफल संधारित्र द्वारा संचित ऊर्जा को दर्शाता है।

(D) स्थायी अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ के रूप में कार्य करता है,इसलिए इसमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ $6 \, V$ की बैटरी से जुड़ी दो समानांतर शाखाओं से बना है।
शाखा $1$ (बाईं ओर) में $3 \, \Omega$ और $7 \, \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणी में हैं। वोल्टेज विभाजक नियम के अनुसार $A$ के सापेक्ष $D$ का विभव: $V_{A} - V_{D} = \frac{3}{3+7} \times 6 = 1.8 \, V$ है।
शाखा $2$ (दाईं ओर) में $2 \, \Omega$ और $4 \, \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणी में हैं। $A$ के सापेक्ष $B$ का विभव: $V_{A} - V_{B} = \frac{2}{2+4} \times 6 = 2 \, V$ है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर ($D$ और $B$ बिंदुओं के बीच) $V_{DB} = |V_{A} - V_{B} - (V_{A} - V_{D})| = |2 - 1.8| = 0.2 \, V$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^{2}$ है।
यहाँ $C = 3 \, \mu F = 3 \times 10^{-6} \, F$ और $V = 0.2 \, V$ दिया गया है।
$U = \frac{1}{2} \times (3 \times 10^{-6}) \times (0.2)^{2} = \frac{1}{2} \times 3 \times 10^{-6} \times 0.04 = 6 \times 10^{-8} \, J = 60 \times 10^{-9} \, J = 60 \, nJ$.

(B) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
यदि दूरी $d$ को दोगुना कर दिया जाए $(d' = 2d)$,तो नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{2d} = \frac{C}{2}$ हो जाती है।
चूंकि संधारित्र विलगित (isolated) है,इसलिए आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
प्रारंभिक संचित ऊर्जा $U_i = \frac{Q^2}{2C}$ है।
अंतिम संचित ऊर्जा $U_f = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(C/2)} = \frac{Q^2}{C}$ है।
बाह्य कारक द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_f - U_i$.
$W = \frac{Q^2}{C} - \frac{Q^2}{2C} = \frac{Q^2}{2C}$.

(D) एक आवेशित गोलाकार चालक में संचित ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $U = 4.5\, J$ और $Q = 4\,\mu C = 4 \times 10^{-6}\, C$.
मान रखने पर: $4.5 = \frac{(4 \times 10^{-6})^2}{2C} = \frac{16 \times 10^{-12}}{2C}$.
$C = \frac{16 \times 10^{-12}}{9} = 1.77 \times 10^{-12}\, F$.
गोलाकार चालक की धारिता $C = 4\pi\varepsilon_0 R$ होती है।
अतः,$R = \frac{C}{4\pi\varepsilon_0} = C \times (9 \times 10^9)$.
$R = \frac{16 \times 10^{-12}}{9} \times 9 \times 10^9 = 16 \times 10^{-3}\, m$.
मिलीमीटर में बदलने पर: $R = 16\, mm$.

(A) संधारित्र को आवेशित करने के बाद अलग कर दिए जाने के कारण उस पर आवेश $q$ स्थिर रहता है।
प्रारंभिक धारिता $C_i = 5\,\mu F = 5 \times 10^{-6}\,F$.
अंतिम धारिता $C_f = 2\,\mu F = 2 \times 10^{-6}\,F$.
आवेश $q = 5\,\mu C = 5 \times 10^{-6}\,C$.
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
किया गया कार्य $W = \Delta U = U_f - U_i = \frac{q^2}{2C_f} - \frac{q^2}{2C_i} = \frac{q^2}{2} \left( \frac{1}{C_f} - \frac{1}{C_i} \right)$.
मान रखने पर:
$W = \frac{(5 \times 10^{-6})^2}{2} \left( \frac{1}{2 \times 10^{-6}} - \frac{1}{5 \times 10^{-6}} \right)$.
$W = \frac{25 \times 10^{-12}}{2} \left( \frac{5 - 2}{10 \times 10^{-6}} \right) = \frac{25 \times 10^{-12}}{2} \left( \frac{3}{10 \times 10^{-6}} \right)$.
$W = \frac{75 \times 10^{-12}}{20 \times 10^{-6}} = 3.75 \times 10^{-6}\,J$.

(D) संधारित्र में संचित ऊर्जा उसे आवेशित करने में किए गए कार्य द्वारा दी जाती है। एक संधारित्र के लिए,आवेश $q$ विभवांतर $V$ के सीधे आनुपातिक होता है,अर्थात $q = CV$।
ग्राफ $V$ और $q$ के बीच एक रैखिक संबंध दिखाता है।
$V-q$ ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल किए गए कार्य को दर्शाता है,जो संधारित्र में स्थितिज ऊर्जा $U$ के रूप में संचित होता है।
$\Delta OPM$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times q \times V$।
चूंकि $U = \frac{1}{2} qV$,इसलिए $\Delta OPM$ का क्षेत्रफल संधारित्र में संचित ऊर्जा को दर्शाता है।

(D) दोनों संधारित्र $V$ विभव वाली बैटरी के साथ समांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
समांतर क्रम में तुल्य धारिता $C_{eq}$ का सूत्र $C_{eq} = C_1 + C_2$ होता है।
यहाँ,$C_{eq} = C + \frac{C}{2} = \frac{3C}{2}$ है।
संधारित्र को आवेशित करने में किया गया कार्य $W$ संधारित्र में संचित ऊर्जा के बराबर होता है,जो $W = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ द्वारा दिया जाता है।
$C_{eq}$ का मान रखने पर,हमें $W = \frac{1}{2} \left( \frac{3C}{2} \right) V^2 = \frac{3}{4} CV^2$ प्राप्त होता है।

(D) $V-q$ ग्राफ में त्रिभुज $AOB$ का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया गया है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times q \times V$
हम जानते हैं कि संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} qV$ होती है।
अतः,त्रिभुज $AOB$ का क्षेत्रफल संधारित्र द्वारा संचित ऊर्जा के बराबर है।
इस प्रकार,क्षेत्रफल संधारित्र द्वारा संचित ऊर्जा के समानुपाती है।

(D) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
प्लेटों के बीच विभवांतर $V = Ed$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C V^2$ होती है।
$C$ और $V$ के मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\epsilon_0 A}{d} \right) (Ed)^2$.
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\epsilon_0 A}{d} \right) E^2 d^2$.
$U = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 Ad$.

(D) दिया गया धारिता,$C = 12 \;pF = 12 \times 10^{-12} \;F$ है।
विभवांतर,$V = 50 \;V$ है।
संधारित्र में संचित स्थिर-विद्युत ऊर्जा $E$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$E = \frac{1}{2} C V^2$
मान रखने पर:
$E = \frac{1}{2} \times (12 \times 10^{-12} \;F) \times (50 \;V)^2$
$E = 6 \times 10^{-12} \times 2500 \;J$
$E = 15000 \times 10^{-12} \;J$
$E = 1.5 \times 10^{-8} \;J$
अतः,संधारित्र में संचित स्थिर-विद्युत ऊर्जा $1.5 \times 10^{-8} \;J$ है।

(N/A) दिया गया है:
प्लेट का क्षेत्रफल $A = 90 \,cm^{2} = 90 \times 10^{-4} \,m^{2}$
प्लेटों के बीच की दूरी $d = 2.5 \,mm = 2.5 \times 10^{-3} \,m$
विभवांतर $V = 400 \,V$
निर्वात की विद्युतशीलता $\epsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} \,C^{2} \,N^{-1} \,m^{-2}$
$(a)$ धारिता $C = \frac{\epsilon_{0} A}{d} = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 90 \times 10^{-4}}{2.5 \times 10^{-3}} = 3.186 \times 10^{-11} \,F$
संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} \times 3.186 \times 10^{-11} \times (400)^{2} = 2.55 \times 10^{-6} \,J$
$(b)$ संधारित्र का आयतन $V' = A \times d = 90 \times 10^{-4} \times 2.5 \times 10^{-3} = 2.25 \times 10^{-5} \,m^{3}$
प्रति इकाई आयतन ऊर्जा $u = \frac{U}{V'} = \frac{2.55 \times 10^{-6}}{2.25 \times 10^{-5}} = 0.113 \,J \,m^{-3}$
संबंध: $u = \frac{U}{Ad} = \frac{\frac{1}{2} (\frac{\epsilon_{0} A}{d}) V^{2}}{Ad} = \frac{1}{2} \epsilon_{0} (\frac{V}{d})^{2} = \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2}$

(N/A) संधारित्र अपनी प्लेटों के बीच स्थिर वैद्युत क्षेत्र के रूप में ऊर्जा का भंडारण करता है। संधारित्र को आवेशित करते समय,एक प्लेट से दूसरी प्लेट पर आवेश ले जाने के लिए किसी बाहरी कारक द्वारा कार्य किया जाता है,जो मौजूदा विभवांतर के विरुद्ध होता है।
चित्र में दिखाए अनुसार दो अनावेशित चालक $1$ और $2$ लें।
चालक $2$ से चालक $1$ पर थोड़ा-थोड़ा आवेश स्थानांतरित करने की प्रक्रिया की कल्पना करें। जैसे-जैसे आवेश स्थानांतरित होता है,चालक $1$ धनावेशित और चालक $2$ ऋणावेशित हो जाता है।
चालक $2$ से चालक $1$ पर धनात्मक आवेश स्थानांतरित करने के लिए बाहरी कार्य करना पड़ता है क्योंकि चालक $1$,चालक $2$ की तुलना में उच्च विभव पर होता है।
उस स्थिति पर विचार करें जब चालकों $1$ और $2$ पर क्रमशः $Q'$ और $-Q'$ आवेश हों।
चालकों $1$ और $2$ के बीच विभवांतर $V' = \frac{Q'}{C}$ है,जहाँ $C$ निकाय की धारिता है।
यदि एक छोटा आवेश $\delta Q'$ चालक $2$ से $1$ पर स्थानांतरित किया जाता है,तो किया गया कार्य $\delta W = V' \delta Q'$ है।
$V'$ का मान रखने पर,हमें $\delta W = \frac{Q' \delta Q'}{C}$ प्राप्त होता है।
चालक $2$ से $1$ पर कुल आवेश $Q$ लाने के लिए किया गया कुल कार्य $W$,छोटे आवेश स्थानांतरण के लिए किए गए कार्य का $0$ से $Q$ तक समाकलन करने पर प्राप्त होता है:
$W = \int_{0}^{Q} \frac{Q'}{C} dQ' = \frac{1}{C} \left[ \frac{(Q')^2}{2} \right]_{0}^{Q} = \frac{Q^2}{2C}$.
चूंकि $Q = CV$,संचित ऊर्जा को $U = \frac{1}{2}CV^2$ या $U = \frac{1}{2}QV$ के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

प्रति इकाई आयतन संचित ऊर्जा को ऊर्जा घनत्व कहा जाता है। संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$ द्वारा दी जाती है।
$Q = \sigma A$ और $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$U = \frac{1}{2} \frac{(\sigma A)^2}{\epsilon_0 A / d} = \frac{1}{2} \frac{\sigma^2 A^2 d}{\epsilon_0 A} = \frac{1}{2} \frac{\sigma^2 A d}{\epsilon_0}$.
चूंकि प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ है,इसलिए $\sigma = \epsilon_0 E$ होगा।
इस मान को $U$ के व्यंजक में रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \frac{(\epsilon_0 E)^2 A d}{\epsilon_0} = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 (A d)$.
यहाँ,$A d$ प्लेटों के बीच के क्षेत्र का आयतन $V$ दर्शाता है।
अतः,प्रति इकाई आयतन संचित ऊर्जा $(u)$:
$u = \frac{U}{V} = \frac{U}{A d} = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$.

(B) संधारित्र एक ऐसा उपकरण है जो विद्युत ऊर्जा को विद्युत क्षेत्र में संचित करता है।
जब संधारित्र की प्लेटों के बीच विभवांतर लागू किया जाता है,तो आवेश अलग हो जाते हैं,जिससे प्लेटों के बीच एक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न होता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{Q^2}{2C}$ है,जहाँ $C$ धारिता है,$V$ विभवांतर है और $Q$ आवेश है।
यह ऊर्जा प्लेटों के बीच के स्थान में विद्युत क्षेत्र के रूप में संचित होती है।

(N/A) धारिता $C$,आवेश $Q$ और विभवांतर $V$ वाले संधारित्र में संचित ऊर्जा $(U)$ के लिए तीन सूत्र निम्नलिखित हैं:
$1$. $U = \frac{1}{2} CV^2$
$2$. $U = \frac{Q^2}{2C}$
$3$. $U = \frac{1}{2} QV$
ये सूत्र $Q = CV$ के संबंध का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं।

(N/A) ऊर्जा घनत्व को विद्युत क्षेत्र में प्रति इकाई आयतन में संचित ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2$ होती है।
चूंकि $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ और $V = Ed$,इसलिए $U = \frac{1}{2} (\frac{\epsilon_0 A}{d}) (Ed)^2 = \frac{1}{2} \epsilon_0 A d E^2$ होता है।
प्लेटों के बीच के स्थान का आयतन $V_{vol} = Ad$ है।
अतः,ऊर्जा घनत्व $u = \frac{U}{V_{vol}} = \frac{\frac{1}{2} \epsilon_0 A d E^2}{Ad} = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ प्राप्त होता है।

(C) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र इस प्रकार है:
$U = \frac{1}{2} C V^2$
दिया गया है:
धारिता $C = 5.0 \mu F = 5.0 \times 10^{-6} F$
विभवांतर $V = 800 V$
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (5.0 \times 10^{-6} F) \times (800 V)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 5.0 \times 10^{-6} \times 640000$
$U = 2.5 \times 10^{-6} \times 6.4 \times 10^5$
$U = 16 \times 10^{-1} = 1.6 J$
अतः,चालक को दी गई ऊर्जा $1.6 J$ है।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र में ऊर्जा घनत्व $u$ (प्रति इकाई आयतन ऊर्जा) का सूत्र है: $u = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2}$।
प्लेटों के बीच के स्थान का आयतन $V$,क्षेत्रफल $A$ और दूरी $d$ का गुणनफल है,इसलिए $V = Ad$।
संधारित्र में संचित कुल ऊर्जा $U$,ऊर्जा घनत्व और आयतन का गुणनफल है:
$U = u \times V$
$U = (\frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2}) \times (Ad)$
$U = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2} Ad$।

(A) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{q^2}{2C}$ है,जहाँ $q$ आवेश है और $C$ धारिता है।
चूंकि $C$ स्थिर है,इसलिए $U \propto q^2$ होगा।
मान लीजिए प्रारंभिक आवेश $q$ है और प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{q^2}{2C}$ है।
जब आवेश को $2 \ C$ से बढ़ाया जाता है,तो नया आवेश $q' = q + 2$ हो जाता है।
नई ऊर्जा $U_f = \frac{(q+2)^2}{2C}$ होगी।
यह दिया गया है कि ऊर्जा में $44 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए नई ऊर्जा $U_f = U_i + 0.44 \, U_i = 1.44 \, U_i$ है।
$U_f$ और $U_i$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(q+2)^2}{2C} = 1.44 \times \frac{q^2}{2C}$.
$(q+2)^2 = 1.44 \, q^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$q + 2 = \sqrt{1.44} \, q$.
$q + 2 = 1.2 \, q$.
$0.2 \, q = 2$.
$q = \frac{2}{0.2} = 10 \ C$.