Energy Stored in a Capacitor Questions in Hindi

(B) जब एक संधारित्र को बैटरी द्वारा चार्ज किया जाता है,तो बैटरी द्वारा किया गया कार्य $W = qV = CV^2$ होता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2$ द्वारा दी जाती है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $U = \frac{W}{2}$ होता है।
चूंकि किया गया कार्य $W = 200 \, J$ है,इसलिए संचित ऊर्जा $U = \frac{200}{2} = 100 \, J$ होगी।
शेष $100 \, J$ ऊर्जा चार्जिंग प्रक्रिया के दौरान परिपथ में ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है।

(A) विद्युत क्षेत्र $E$ में संचित ऊर्जा घनत्व $u$ (प्रति इकाई आयतन ऊर्जा) का सूत्र है: $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$.
एक समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच के स्थान का कुल आयतन $V$,क्षेत्रफल $A$ और पृथक्करण $d$ का गुणनफल है,इसलिए $V = Ad$.
संधारित्र में संचित कुल स्थितिज ऊर्जा $U$,ऊर्जा घनत्व और आयतन का गुणनफल है: $U = u \times V$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $U = (\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2) \times (Ad)$.
अतः,संचित स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 Ad$ है।

(D) चूंकि संधारित्र एक ही बैटरी के समानांतर जुड़े हुए हैं,इसलिए दोनों संधारित्रों के बीच विभवांतर $V$ समान रहता है।
आवेश-समय ग्राफ से,हम संधारित्रों पर संचित अधिकतम आवेश $q$ देखते हैं। जैसे $t \to \infty$,संधारित्र पर आवेश अपने अधिकतम मान $q = CV$ तक पहुँच जाता है।
ग्राफ से यह स्पष्ट है कि संधारित्र $C_2$ के लिए स्थिर-अवस्था आवेश $q_2$,संधारित्र $C_1$ के आवेश $q_1$ से अधिक है (अर्थात $q_2 > q_1$)।
चूंकि $q = CV$ और $V$ स्थिर है,इसलिए $q \propto C$ होता है। अतः,$C_2 > C_1$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है। वैकल्पिक रूप से,$U = \frac{1}{2} qV$ का उपयोग करते हुए,चूंकि $V$ स्थिर है और $q_2 > q_1$ है,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $U_2 > U_1$ है।
अतः,$C_2 > C_1$ और $U_2 > U_1$ सत्य है।

(A) दिया गया है: धारिता $C = 1 \ \mu F = 10^{-6} \ F$,विभवांतर $V = 20 \ V$,दूरी $d = 1 \ \mu m = 10^{-6} \ m$.
प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d} = \frac{20}{10^{-6}} = 20 \times 10^6 \ V/m$ है।
ऊर्जा घनत्व $u$ का सूत्र $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ है।
मान रखने पर: $u = \frac{1}{2} \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (20 \times 10^6)^2$.
$u = 0.5 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 400 \times 10^{12}$.
$u = 0.5 \times 8.854 \times 400 = 1770.8 \ J/m^3 \approx 1.8 \times 10^3 \ J/m^3$.

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि बैटरी हटा दी गई है,प्लेटों पर आवेश $q$ स्थिर रहता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{q^2}{2C} = \frac{q^2 d}{2 \epsilon_0 A}$ होती है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी $d$ को दोगुना $(d' = 2d)$ किया जाता है,तो नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{2d} = \frac{C}{2}$ हो जाती है।
नई संचित ऊर्जा $U' = \frac{q^2}{2C'} = \frac{q^2}{2(C/2)} = 2 \times \frac{q^2}{2C} = 2U$ है।
अतः,संचित ऊर्जा $2U$ हो जाती है।

(B) संधारित्र के विभवांतर को बदलने में किया गया कार्य संचित ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $\Delta U = \frac{1}{2} C(V_f^2 - V_i^2).$
प्रथम स्थिति में,विभवांतर $15 \ V$ से $30 \ V$ तक बदलता है:
$W = \frac{1}{2} C(30^2 - 15^2) = \frac{1}{2} C(900 - 225) = \frac{1}{2} C(675) = 337.5 C.$
अतः,$C = \frac{W}{337.5}.$
द्वितीय स्थिति में,विभवांतर $30 \ V$ से $60 \ V$ तक बदलता है:
$W' = \frac{1}{2} C(60^2 - 30^2) = \frac{1}{2} C(3600 - 900) = \frac{1}{2} C(2700) = 1350 C.$
$W'$ के समीकरण में $C = \frac{W}{337.5}$ का मान रखने पर:
$W' = 1350 \times \left( \frac{W}{337.5} \right) = 4W.$

(A) मान लीजिए कि एक परिपथ है जिसमें $C$ धारिता वाले संधारित्र को $V$ वोल्टेज की बैटरी द्वारा आवेशित किया जाता है।
जब संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाता है,तो उस पर आवेश $Q = CV$ होता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $E_{\text{capacitor}} = \frac{1}{2} CV^2$ है।
इस आवेश को प्रदान करने के लिए बैटरी द्वारा किया गया कुल कार्य $W = QV = (CV)V = CV^2$ है।
परिपथ में ऊष्मा के रूप में नष्ट हुई ऊर्जा,बैटरी द्वारा किए गए कार्य और संधारित्र में संचित ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$E_{\text{loss}} = W - E_{\text{capacitor}} = CV^2 - \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} CV^2$.
बैटरी द्वारा प्रदान की गई कुल ऊर्जा $(W = CV^2)$ के साथ इसकी तुलना करने पर:
$\text{Percentage loss} = \frac{E_{\text{loss}}}{W} \times 100\% = \frac{\frac{1}{2} CV^2}{CV^2} \times 100\% = 50\%$.
अतः,बैटरी द्वारा प्रदान की गई ऊर्जा का $50\%$ भाग नष्ट हो जाता है।

(A) प्रारंभिक धारिता $C_i = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
प्रारंभिक आवेश $Q = C_i V = \frac{\epsilon_0 A V}{d}$ है।
चूंकि बैटरी हटा दी गई है, आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
अंतिम पृथक्करण $d_f = 4d$ है।
अंतिम धारिता $C_f = \frac{\epsilon_0 A}{4d} = \frac{C_i}{4}$ है।
प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{Q^2}{2C_i} = \frac{1}{2} C_i V^2 = \frac{\epsilon_0 A V^2}{2d}$ है।
अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{Q^2}{2C_f} = \frac{Q^2}{2(C_i/4)} = 4 \left( \frac{Q^2}{2C_i} \right) = 4 U_i$ है।
किया गया कार्य $W = U_f - U_i = 4 U_i - U_i = 3 U_i$ है।
$U_i$ का मान रखने पर, $W = 3 \left( \frac{\epsilon_0 A V^2}{2d} \right) = \frac{3 \epsilon_0 A V^2}{2d}$ प्राप्त होता है।

(C) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $Q$ आवेश है और $C$ धारिता है।
मान लीजिए मूल आवेश $Q$ है। मूल ऊर्जा $U_1 = \frac{Q^2}{2C}$ है।
जब आवेश को $3 \ C$ से बढ़ाया जाता है,तो नया आवेश $Q' = Q + 3$ हो जाता है।
नई ऊर्जा $U_2 = \frac{(Q+3)^2}{2C}$ है।
यह दिया गया है कि ऊर्जा $21 \%$ बढ़ जाती है,इसलिए $U_2 = U_1 + 0.21 U_1 = 1.21 U_1$.
$U_1$ और $U_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(Q+3)^2}{2C} = 1.21 \times \frac{Q^2}{2C}$.
$(Q+3)^2 = 1.21 Q^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$Q+3 = 1.1 Q$.
$3 = 1.1 Q - Q$.
$3 = 0.1 Q$.
$Q = \frac{3}{0.1} = 30 \ C$.
अतः,संधारित्र पर मूल आवेश $30 \ C$ है।

(A) माना संधारित्र पर मूल आवेश $Q$ है और धारिता $C$ है। संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
जब आवेश को $2 \text{ C}$ से बढ़ाया जाता है, तो नया आवेश $Q' = Q + 2$ हो जाता है।
नई संचित ऊर्जा $U' = \frac{(Q + 2)^2}{2C}$ है।
दिया गया है कि ऊर्जा $21 \% $ बढ़ जाती है, इसलिए $U' = U + 0.21U = 1.21U$ है।
$U$ और $U'$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $\frac{(Q + 2)^2}{2C} = 1.21 \times \frac{Q^2}{2C}$।
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2C}$ को हटाने पर, $(Q + 2)^2 = 1.21Q^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, $Q + 2 = 1.1Q$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, $0.1Q = 2$, जिससे $Q = \frac{2}{0.1} = 20 \text{ C}$ प्राप्त होता है।

(D) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2$ द्वारा दी जाती है।
विभवांतर को $V_i$ से $V_f$ तक बदलने में किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है: $W = \Delta U = \frac{1}{2} C(V_f^2 - V_i^2)$।
प्रथम स्थिति के लिए,$V_1 = 5 \ V$ से $V_2 = 10 \ V$:
$W = \frac{1}{2} C(10^2 - 5^2) = \frac{1}{2} C(100 - 25) = \frac{75}{2} C$।
दूसरी स्थिति के लिए,$V_2 = 10 \ V$ से $V_3 = 15 \ V$:
$W' = \frac{1}{2} C(15^2 - 10^2) = \frac{1}{2} C(225 - 100) = \frac{125}{2} C$।
अनुपात लेने पर:
$\frac{W'}{W} = \frac{125/2 C}{75/2 C} = \frac{125}{75} = \frac{5}{3} \approx 1.67$।
अतः,$W' = 1.67 \ W$।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,ऊर्जा घनत्व $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ होता है।
प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma = \frac{q}{A}$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है।
ऊर्जा घनत्व के सूत्र में $E$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left( \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \right)^2 = \frac{\sigma^2}{2 \varepsilon_0}$।
अब,$\sigma = \frac{q}{A}$ रखने पर:
$u = \frac{(q/A)^2}{2 \varepsilon_0} = \frac{q^2}{2 \varepsilon_0 A^2}$।

(D) प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
प्रारंभिक आवेश $Q = C_0 V_0$ है।
चूंकि बैटरी हटा दी गई है,इसलिए आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
अंतिम दूरी $d' = 3d$ है।
अंतिम धारिता $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{3d} = \frac{C_0}{3}$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{Q^2}{2C_0} = \frac{1}{2} C_0 V_0^2$ है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(C_0/3)} = \frac{3Q^2}{2C_0} = \frac{3}{2} C_0 V_0^2$ है।
किया गया कार्य $W = U_f - U_i = \frac{3}{2} C_0 V_0^2 - \frac{1}{2} C_0 V_0^2 = C_0 V_0^2$ है।
$C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ प्रतिस्थापित करने पर,$W = \frac{\varepsilon_0 A V_0^2}{d}$ प्राप्त होता है।

(B) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{Q^2}{2C}$ है।
चूंकि $C$ स्थिर है,इसलिए $U \propto Q^2$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक आवेश $Q_1$ है और प्रारंभिक ऊर्जा $U_1$ है।
जब आवेश को $3 \ C$ से बढ़ाया जाता है,तो नया आवेश $Q_2 = Q_1 + 3$ हो जाता है।
नई ऊर्जा $U_2 = U_1 + 44\% \text{ of } U_1 = 1.44 \ U_1$ है।
समानुपातिकता $U \propto Q^2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{U_2}{U_1} = \left( \frac{Q_2}{Q_1} \right)^2$
$1.44 = \left( \frac{Q_1 + 3}{Q_1} \right)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$1.2 = \frac{Q_1 + 3}{Q_1}$
$1.2 \ Q_1 = Q_1 + 3$
$0.2 \ Q_1 = 3$
$Q_1 = \frac{3}{0.2} = 15 \ C$.

(D) परिपथ में दो संधारित्र समानांतर क्रम में हैं जो अन्य दो संधारित्रों के साथ श्रेणी क्रम में जुड़े हुए हैं।
सबसे पहले,दो समानांतर संधारित्रों की तुल्य धारिता की गणना करें:
$C_{\|} = 2 \mu F + 2 \mu F = 4 \mu F$
अब,परिपथ $2 \mu F$,$4 \mu F$ और $2 \mu F$ के श्रेणी संयोजन के बराबर है।
तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार दी गई है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{2 \mu F} + \frac{1}{4 \mu F} + \frac{1}{2 \mu F} = \frac{2 + 1 + 2}{4 \mu F} = \frac{5}{4 \mu F}$
$C_{eq} = \frac{4}{5} \mu F = 0.8 \times 10^{-6} \,F$
संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र है:
$U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$
$U = \frac{1}{2} \times (0.8 \times 10^{-6} \,F) \times (10 \,V)^2$
$U = 0.4 \times 10^{-6} \times 100 \,J = 40 \times 10^{-6} \,J = 400 \times 10^{-7} \,J$

(D) प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है। प्रारंभिक आवेश $q = CV = \frac{\varepsilon_0 A V}{d}$ है।
प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{\varepsilon_0 A V^2}{2d}$ है।
जब बैटरी को हटा दिया जाता है,तो आवेश $q$ स्थिर रहता है।
नया पृथक्करण $d' = 4d$ है,इसलिए नई धारिता $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{4d} = \frac{C}{4}$ है।
अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{q^2}{2C'} = \frac{q^2}{2(C/4)} = \frac{4q^2}{2C} = 4U_i$ है।
किया गया कार्य $W = U_f - U_i = 4U_i - U_i = 3U_i$ है।
$U_i = \frac{\varepsilon_0 A V^2}{2d}$ का मान रखने पर,हमें $W = 3 \times \frac{\varepsilon_0 A V^2}{2d} = \frac{3 \varepsilon_0 A V^2}{2d}$ प्राप्त होता है।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र में ऊर्जा घनत्व $u$ को $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ द्वारा दिया जाता है।
प्लेटों के बीच के स्थान का आयतन $V$ है $V = A \times d$।
संधारित्र में संचित कुल ऊर्जा $U$,ऊर्जा घनत्व और आयतन का गुणनफल है।
$U = u \times V = (\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2) \times (A d) = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 A d$.

(D) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $W = \frac{1}{2} CV^2$ है, जहाँ $C$ धारिता है और $V$ विभवांतर है।
प्रारंभिक ऊर्जा $W_1 = \frac{1}{2} CV_1^2$, जहाँ $V_1 = 5 \,V$ है।
अंतिम ऊर्जा $W_2 = \frac{1}{2} CV_2^2$, जहाँ $V_2 = 15 \,V$ है।
अंतिम ऊर्जा और प्रारंभिक ऊर्जा का अनुपात $\frac{W_2}{W_1} = \frac{\frac{1}{2} CV_2^2}{\frac{1}{2} CV_1^2} = \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^2$ है।
मान रखने पर, हमें $\frac{W_2}{W_1} = \left(\frac{15}{5}\right)^2 = (3)^2 = 9$ प्राप्त होता है।
अतः, अनुपात $9 : 1$ है।

(B) मान लीजिए कि संधारित्र की धारिता $C$ है और बैटरी का e.m.f. $V$ है।
जब संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाता है,तो प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ होता है।
संधारित्र पर संचित आवेश $q = CV$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} qV$ है।
आवेश $q$ की आपूर्ति करने में बैटरी द्वारा किया गया कार्य $W = qV = CV^2$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा और बैटरी द्वारा किए गए कार्य का अनुपात $\frac{U}{W} = \frac{\frac{1}{2} qV}{qV} = \frac{1}{2}$ है।

(B) विद्युत क्षेत्र $E$ का ऊर्जा घनत्व $u$,$u = \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच की जगह का आयतन $V$,क्षेत्रफल $A$ और दूरी $d$ का गुणनफल है,इसलिए $V = Ad$ है।
संधारित्र में संचित कुल ऊर्जा $U$,ऊर्जा घनत्व और आयतन का गुणनफल है।
अतः,$U = u \times V = (\frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2}) \times (Ad) = \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2} Ad$.

(D) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C V^2$ द्वारा दी जाती है।
विभव को $V_i$ से $V_f$ तक बढ़ाने में किया गया कार्य $\Delta U = \frac{1}{2} C (V_f^2 - V_i^2)$ है।
पहले मामले के लिए,$W = \frac{1}{2} C (10^2 - 5^2) = \frac{1}{2} C (100 - 25) = \frac{75}{2} C$.
दूसरे मामले के लिए,$W_2 = \frac{1}{2} C (15^2 - 10^2) = \frac{1}{2} C (225 - 100) = \frac{125}{2} C$.
अनुपात लेने पर: $\frac{W_2}{W} = \frac{125/2 C}{75/2 C} = \frac{125}{75} = \frac{5}{3} \approx 1.67$.
अतः,$W_2 = 1.67 W$.

(A) संधारित्र का ऊर्जा घनत्व $u$ (प्रति इकाई आयतन ऊर्जा) सूत्र $u = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि संधारित्र की प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$,विभवांतर $V$ और दूरी $d$ के साथ $E = \frac{V}{d}$ के रूप में संबंधित है,
इस मान को ऊर्जा घनत्व के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $u = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} (\frac{V}{d})^{2} = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} \frac{V^{2}}{d^{2}}$ प्राप्त होता है।

(A) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{q^2}{2C}$ होता है।
दिया गया है: $C = 48 \mu F = 48 \times 10^{-6} \ F$,$q_1 = 0.1 \ C$,$q_2 = 0.5 \ C$.
ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ इस प्रकार है:
$\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{q_2^2}{2C} - \frac{q_1^2}{2C} = \frac{1}{2C} (q_2^2 - q_1^2)$
मान रखने पर:
$\Delta U = \frac{1}{2 \times 48 \times 10^{-6}} ((0.5)^2 - (0.1)^2)$
$\Delta U = \frac{1}{96 \times 10^{-6}} (0.25 - 0.01)$
$\Delta U = \frac{0.24}{96 \times 10^{-6}}$
$\Delta U = \frac{0.24 \times 10^6}{96} = \frac{240000}{96} = 2500 \ J$.

(D) समानांतर प्लेट संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ है।
यहाँ,धारिता $C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ है।
प्लेटों के बीच विभवांतर $V$,विद्युत क्षेत्र $E$ और दूरी $d$ के साथ $V = E d$ द्वारा संबंधित है।
इन मानों को ऊर्जा के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_{0} A}{d} \right) (E d)^{2}$
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_{0} A}{d} \right) (E^{2} d^{2})$
$U = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2} A d$.

(B) दोनों संधारित्र बैटरी के साथ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
समानांतर संयोजन में,तुल्य धारिता $C_{eq}$ व्यक्तिगत धारिताओं का योग होती है:
$C_{eq} = C + \frac{C}{2} = \frac{3C}{2}$
संधारित्रों को आवेशित करने के लिए बैटरी द्वारा किया गया कार्य $W$,तुल्य संधारित्र में संचित ऊर्जा के बराबर होता है:
$W = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$
$C_{eq}$ का मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \left( \frac{3C}{2} \right) V^2$
$W = \frac{3}{4} CV^2$

(A) विद्युत क्षेत्र में ऊर्जा घनत्व (प्रति इकाई आयतन ऊर्जा) $u = \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2}$ द्वारा दी जाती है।
प्लेटों के बीच के स्थान का आयतन $V = Ad$ है।
इसलिए,संधारित्र में संचित कुल ऊर्जा $U = u \times V = \left( \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2} \right) \times (Ad) = \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2} Ad$ होगी।

(C) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} CV^2$ है।
प्रथम संधारित्र के लिए दिया गया है: $C_1 = 900 \mu F$ और $V_1 = 100 \ V$।
प्रथम संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{2} C_1 V_1^2$ है।
जब यह ऊर्जा $C_2 = 100 \mu F$ धारिता वाले दूसरे संधारित्र में स्थानांतरित की जाती है, तो मान लीजिए नया विभव $V_u$ है।
चूंकि कुल ऊर्जा स्थानांतरित हो रही है, $U_1 = U_2$, जहां $U_2 = \frac{1}{2} C_2 V_u^2$ है।
ऊर्जाओं की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} C_2 V_u^2$।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} \times 900 \times 10^{-6} \times (100)^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-6} \times V_u^2$।
समीकरण को सरल करने पर: $900 \times 100^2 = 100 \times V_u^2$।
$V_u^2 = \frac{900 \times 10000}{100} = 90000$।
$V_u = \sqrt{90000} = 300 \ V$।

(A) संधारित्र को आवेशित करने में किया गया कार्य $W$ उसमें संचित स्थितिज ऊर्जा $U$ के बराबर होता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $W = U = \frac{Q^2}{2C}$ है।
दिया गया है:
आवेश $Q = 8 \times 10^{-18} \text{ C}$
धारिता $C = 800 \mu\text{F} = 800 \times 10^{-6} \text{ F} = 8 \times 10^{-4} \text{ F}$.
मान रखने पर:
$W = \frac{(8 \times 10^{-18})^2}{2 \times 8 \times 10^{-4}}$
$W = \frac{64 \times 10^{-36}}{16 \times 10^{-4}}$
$W = 4 \times 10^{-32} \text{ J}$.

(A) दिया गया है:
धारिता $C = 12 \text{ pF} = 12 \times 10^{-12} \text{ F}$
विभवांतर $V = 50 \text{ V}$
संधारित्र में संचित स्थिर-वैद्युत ऊर्जा $U$ का सूत्र है:
$U = \frac{1}{2} C V^2$
दिए गए मानों को रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (12 \times 10^{-12} \text{ F}) \times (50 \text{ V})^2$
$U = 6 \times 10^{-12} \times 2500$
$U = 15000 \times 10^{-12} \text{ J}$
$U = 1.5 \times 10^4 \times 10^{-12} \text{ J}$
$U = 1.5 \times 10^{-8} \text{ J}$
अतः,संचित ऊर्जा $1.5 \times 10^{-8} \text{ J}$ है।

(B) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} CV^2$ होता है।
दिया गया है:
धारिता $C = 12 \ pF = 12 \times 10^{-12} \ F$
विभवांतर $V = 50 \ V$
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (12 \times 10^{-12} \ F) \times (50 \ V)^2$
$U = 6 \times 10^{-12} \times 2500 \ J$
$U = 15000 \times 10^{-12} \ J$
$U = 1.5 \times 10^4 \times 10^{-12} \ J$
$U = 1.5 \times 10^{-8} \ J$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है: धारिता $C = 5 \mu \text{F} = 5 \times 10^{-6} \text{ F}$.
विभवांतर $V = 4 \text{ V}$.
विभवांतर के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 0.6 \text{ Vs}^{-1}$.
संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2}CV^2$ है।
ऊर्जा संचय की दर ज्ञात करने के लिए,हम $U$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे:
$\frac{dU}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{1}{2}CV^2) = \frac{1}{2}C \cdot 2V \cdot \frac{dV}{dt} = CV \frac{dV}{dt}$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{dU}{dt} = (5 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (4 \text{ V}) \times (0.6 \text{ Vs}^{-1})$.
$\frac{dU}{dt} = 20 \times 0.6 \times 10^{-6} \text{ W} = 12 \times 10^{-6} \text{ W} = 12 \mu \text{W}$.

(B) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र इस प्रकार है:
$U = \frac{1}{2} C V^{2} \dots (i)$
जहाँ $C$ धारिता है और $V$ विभवांतर है।
दिए गए ग्राफ से,ढाल (Slope) है:
$\text{Slope} = \tan \theta = \frac{Q}{V} = \frac{120 \mu C}{10 \text{ V}} = 12 \mu F \dots (ii)$
चूँकि धारिता $C = \frac{Q}{V}$ होती है,इसलिए:
$C = 12 \mu F = 12 \times 10^{-6} \text{ F}$
अब,$C = 12 \times 10^{-6} \text{ F}$ और $V = 10 \text{ V}$ के मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (12 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (10 \text{ V})^{2}$
$U = \frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-6} \times 100$
$U = 6 \times 10^{-4} \text{ J} = 600 \times 10^{-6} \text{ J} = 600 \mu J$
अतः,धारिता $12 \mu F$ है और संचित ऊर्जा $600 \mu J$ है।

(D) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{q^2}{2C}$ होता है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक आवेश $q_1 = q$ है और अंतिम आवेश $q_2 = q + 2 \text{ C}$ है।
प्रारंभिक ऊर्जा $U_1 = \frac{q^2}{2C}$ है और अंतिम ऊर्जा $U_2 = \frac{(q+2)^2}{2C}$ है।
यह दिया गया है कि ऊर्जा में $21 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $U_2 = U_1 + 0.21 U_1 = 1.21 U_1$ होगा।
$U_1$ और $U_2$ के व्यंजक रखने पर:
$\frac{(q+2)^2}{2C} = 1.21 \times \frac{q^2}{2C}$.
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2C}$ को हटाने पर,हमें $(q+2)^2 = 1.21 q^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $q + 2 = 1.1 q$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $1.1 q - q = 2$,जिससे $0.1 q = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$q = \frac{2}{0.1} = 20 \text{ C}$।

(C) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$U = \frac{1}{2} CV^2$
दिया गया है:
धारिता $C = 10 \mu F = 10 \times 10^{-6} \text{ F}$
विभवांतर $V = 10 \text{ V}$
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (10 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (10 \text{ V})^2$
$U = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-6} \times 100$
$U = 500 \times 10^{-6} \text{ J}$
$U = 500 \mu J$

(C) $6 \mu F$ और $3 \mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं।
अतः,तुल्य धारिता $C_1$ इस प्रकार होगी: $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,$C_1 = 2 \mu F$ प्राप्त होता है।
यह तुल्य संधारित्र $C_1$,$2 \mu F$ वाले संधारित्र के साथ समांतर क्रम में है।
अतः,निकाय की कुल तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + 2 \mu F = 2 \mu F + 2 \mu F = 4 \mu F$ होगी।
निकाय में संचित कुल ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ है।
यहाँ $V = 2 \text{ V}$ दिया गया है,इसलिए $U = \frac{1}{2} \times 4 \mu F \times (2 \text{ V})^2 = 2 \times 4 = 8 \mu J$।

(A) संधारित्र (capacitor) में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ होता है।
चूंकि $\frac{1}{2}$ एक विमाहीन स्थिरांक है,इसलिए $C V^{2}$ का विमीय सूत्र ऊर्जा $(U)$ के विमीय सूत्र के बराबर होगा।
ऊर्जा का विमीय सूत्र $[Work] = [Force \times Displacement] = [MLT^{-2} \times L] = [ML^{2} T^{-2}]$ होता है।
अतः,$C V^{2}$ का विमीय सूत्र $[ML^{2} T^{-2} A^{0}]$ है।

(D) धारिता और $Q$ आवेश वाले संधारित्र में संचित ऊर्जा $W = \frac{Q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
जब आवेश को दोगुना किया जाता है,तो नया आवेश $Q' = 2Q$ हो जाता है।
संधारित्र में संचित नई ऊर्जा $W' = \frac{(2Q)^2}{2C} = \frac{4Q^2}{2C} = 4W$ है।
किया जाने वाला अतिरिक्त कार्य ऊर्जा में परिवर्तन है,जो $\Delta W = W' - W$ है।
मान रखने पर,हमें $\Delta W = 4W - W = 3W$ प्राप्त होता है।

(C) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} C V^2$ है।
दिया गया है:
धारिता $C = 10 \mu F = 10 \times 10^{-6} \text{ F} = 10^{-5} \text{ F}$.
विभव $V = 6 \text{ kV} = 6 \times 10^3 \text{ V}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (10^{-5} \text{ F}) \times (6 \times 10^3 \text{ V})^2$
$U = \frac{1}{2} \times 10^{-5} \times 36 \times 10^6$
$U = 18 \times 10^1 \text{ J} = 180 \text{ J}$.
अतः,संचित ऊर्जा $180 \text{ J}$ है।

(C) संधारित्र में संचित ऊर्जा $E = \frac{1}{2} C V^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि बैटरी जुड़ी हुई है,प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ स्थिर रहता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{A \epsilon_0}{d}$ होती है,जिसका अर्थ है $C \propto \frac{1}{d}$।
यदि दूरी $d$ को दोगुना $(d' = 2d)$ कर दिया जाए,तो नई धारिता $C'$ का मान $C' = \frac{C}{2}$ हो जाएगा।
नई ऊर्जा $E'$ का मान $E' = \frac{1}{2} C' V^2$ होगा।
$C' = \frac{C}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E' = \frac{1}{2} (\frac{C}{2}) V^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} C V^2) = \frac{E}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि जब संधारित्र पूर्णतः आवेशित होता है तो उसके सिरों पर विभवांतर $V$ है। संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C V^2$ द्वारा दी जाती है।
जब संधारित्र प्रतिरोधक कुंडली के माध्यम से पूर्णतः विसर्जित हो जाता है,तो संचित ऊर्जा ऊष्मा $\Delta H$ के रूप में ब्लॉक में स्थानांतरित हो जाती है।
चूंकि निकाय ऊष्मीय रूप से पृथक है,इसलिए ब्लॉक द्वारा प्राप्त ऊष्मा संधारित्र द्वारा खोई गई ऊर्जा के बराबर है: $\Delta H = \frac{1}{2} C V^2$।
ब्लॉक द्वारा प्राप्त ऊष्मा को $\Delta H = m s \Delta T$ द्वारा भी व्यक्त किया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $s$ विशिष्ट ऊष्मा है।
$\Delta H$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{2} C V^2 = m s \Delta T$
$V^2 = \frac{2 m s \Delta T}{C}$
$V = \left(\frac{2 m s \Delta T}{C}\right)^{1 / 2}$

(B) एक आवेशित वस्तु में संचित ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{q^2}{2C}$ होता है,जहाँ $q$ आवेश है और $C$ धारिता है। अतः,$E \propto q^2$ है।
माना मूल आवेश $q_1 = q$ है और मूल ऊर्जा $E_1 = E$ है।
जब आवेश को $2 \ C$ से बढ़ाया जाता है,तो नया आवेश $q_2 = q + 2$ हो जाता है।
नई ऊर्जा $E_2$ में $21 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $E_2 = E + 0.21E = 1.21E$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{q_2}{q_1}\right)^2$.
मान रखने पर: $\frac{1.21E}{E} = \left(\frac{q+2}{q}\right)^2$.
$1.21 = \left(\frac{q+2}{q}\right)^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $1.1 = \frac{q+2}{q}$.
$1.1q = q + 2$.
$0.1q = 2$.
$q = \frac{2}{0.1} = 20 \ C$.

(B) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{q^2}{2C}$ है,जहाँ $q$ आवेश है और $C$ धारिता है।
माना प्रारंभिक आवेश $q_i = q$ है और अंतिम आवेश $q_f = q + 2$ है।
प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{q^2}{2C}$ है और अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{(q+2)^2}{2C}$ है।
दिया गया है कि ऊर्जा में $21 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $U_f = U_i + 0.21 U_i = 1.21 U_i$.
ऊर्जा के व्यंजक रखने पर: $\frac{(q+2)^2}{2C} = 1.21 \times \frac{q^2}{2C}$.
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2C}$ को हटाने पर,हमें $(q+2)^2 = 1.21 q^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $q + 2 = 1.1 q$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $1.1 q - q = 2$,जिससे $0.1 q = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$q = \frac{2}{0.1} = 20 \ C$.