Electric potential and Potential Energy of dipole Questions in Hindi

(C) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U = \sum \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए आवेश $q_1 = q$ ($x = -a$ पर),$q_2 = q$ ($x = a$ पर) और $q_3 = -2q$ ($x = 0$ पर) हैं।
आवेशों के बीच की दूरियाँ $r_{12} = 2a$,$r_{13} = a$ और $r_{23} = a$ हैं।
कुल स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} \right)$ है।
मान रखने पर: $U = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q \cdot q}{2a} + \frac{q \cdot (-2q)}{a} + \frac{q \cdot (-2q)}{a} \right)$.
$U = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q^2}{2a} - \frac{2q^2}{a} - \frac{2q^2}{a} \right) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q^2 - 4q^2 - 4q^2}{2a} \right)$.
$U = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( -\frac{7q^2}{2a} \right) = -\frac{7q^2}{8\pi \varepsilon_0 a}$.

(A) $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $Q_1$ और $Q_2$ के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r}$.
दिया गया है: $Q_1 = Q_2 = 1\,\mu C = 10^{-6}\,C$,$r = 1\,m$,और $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$.
सूत्र में मान रखने पर:
$U = (9 \times 10^9) \times \frac{(10^{-6}) \times (10^{-6})}{1}$.
$U = 9 \times 10^9 \times 10^{-12} = 9 \times 10^{-3}\,J$.

(A) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ सभी आवेशों के युग्मों की स्थितिज ऊर्जा के योग द्वारा दी जाती है: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
$l$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर स्थित तीन आवेशों $Q, q, q$ के निकाय के लिए,युग्म $(Q, q)$,$(Q, q)$ और $(q, q)$ हैं।
कुल स्थितिज ऊर्जा:
$U = \frac{kQq}{l} + \frac{kQq}{l} + \frac{kq^2}{l} = 0$
$\frac{kq}{l}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{kq}{l} (Q + Q + q) = 0$
चूंकि $\frac{kq}{l} \neq 0$,इसलिए:
$2Q + q = 0$
$2Q = -q$
$Q = -\frac{q}{2}$

(B) विद्युत विभव $V$ में आवेश $q$ की स्थितिज ऊर्जा $U$ को $U = qV$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
पृथ्वी को ऋणात्मक आवेशित माना जाता है,इसलिए सतह पर विभव $V$ ऋणात्मक होता है। जैसे-जैसे हम ऋणात्मक आवेश $q$ को पृथ्वी से दूर ऊँचाई पर ले जाते हैं,विभव $V$ कम ऋणात्मक होता जाता है (अर्थात यह शून्य की ओर बढ़ता है)।
चूँकि $q$ ऋणात्मक है और $V$ बढ़ रहा है (कम ऋणात्मक हो रहा है),इसलिए $qV$ का मान अधिक ऋणात्मक हो जाता है,लेकिन संदर्भ बिंदु के सापेक्ष पृथ्वी और ऋणात्मक आवेश के बीच आकर्षण बल के विरुद्ध कार्य करने के कारण स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि होती है।

(B) $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के निकाय की विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$ द्वारा दी जाती है।
दो इलेक्ट्रॉनों के लिए,$q_1 = -e$ और $q_2 = -e$,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$ है।
जब एक इलेक्ट्रॉन को दूसरे इलेक्ट्रॉन की ओर ले जाया जाता है,तो उनके बीच की दूरी $r$ कम हो जाती है।
चूंकि $U \propto \frac{1}{r}$,इसलिए जैसे-जैसे दूरी $r$ घटती है,स्थितिज ऊर्जा $U$ बढ़ती है।

(A) आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \sum \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$ द्वारा दी जाती है।
$C$ पर प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $(U_i)$: $q_3$ की $q_1$ से दूरी $0.4\,m$ है और $q_2$ से दूरी $0.5\,m$ है (पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए: $\sqrt{0.3^2 + 0.4^2} = 0.5\,m$)।
$U_i = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1 q_3}{0.4} + \frac{q_2 q_3}{0.5} + \frac{q_1 q_2}{0.3} \right)$.
$D$ पर अंतिम स्थितिज ऊर्जा $(U_f)$: $q_3$ की $q_1$ से दूरी $0.4\,m$ है और $q_2$ से दूरी $0.1\,m$ है।
$U_f = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1 q_3}{0.4} + \frac{q_2 q_3}{0.1} + \frac{q_1 q_2}{0.3} \right)$.
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_f - U_i = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_2 q_3}{0.1} - \frac{q_2 q_3}{0.5} \right) = \frac{q_3}{4\pi \varepsilon_0} \left( 10 q_2 - 2 q_2 \right) = \frac{q_3}{4\pi \varepsilon_0} (8 q_2)$.
इसे दिए गए व्यंजक $\frac{q_3}{4\pi \varepsilon_0} k$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 8 q_2$ प्राप्त होता है।

(B) विद्युत द्विध्रुव के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p \cos \theta}{r^2}$ होता है,जहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण है और $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण सदिश तथा स्थिति सदिश के बीच का कोण है।
द्विध्रुव की अक्ष पर स्थित बिंदु के लिए,$\theta = 0^\circ$ या $180^\circ$ होता है,इसलिए $\cos \theta = \pm 1$ होता है।
अतः,विभव $V = \pm \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r^2}$ हो जाता है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $V \propto \frac{1}{r^2}$ है।

(D) एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में,$p$ द्विध्रुव आघूर्ण वाले विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = -p \cdot E = -pE \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $p$ और विद्युत क्षेत्र सदिश $E$ के बीच का कोण है।
प्रारंभ में,द्विध्रुव स्थिर संतुलन में है,जिसका अर्थ है कि $p$ और $E$ के बीच का कोण $0^\circ$ है।
जब द्विध्रुव को इस प्रारंभिक स्थिति से $\theta$ कोण तक घुमाया जाता है,तो द्विध्रुव आघूर्ण और विद्युत क्षेत्र के बीच का नया कोण $\theta$ हो जाता है।
इसलिए,अंतिम स्थिति में विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -pE \cos \theta$ होगी।

(A) एक विद्युत द्विध्रुव के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{P \cos \theta}{r^2}$ है,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $P$ और बिंदु के स्थिति सदिश $r$ के बीच का कोण है।
निरक्षीय बिंदु के लिए,स्थिति सदिश द्विध्रुव आघूर्ण सदिश के लंबवत होता है,इसलिए $\theta = 90^\circ$ होता है।
चूंकि $\cos 90^\circ = 0$ होता है,इसलिए द्विध्रुव के निरक्षीय तल पर किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{P \cos 90^\circ}{r^2} = 0$ होता है।

(A) द्विध्रुव की अक्ष पर उसके केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{p}{r^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,द्विध्रुव आघूर्ण $p = q \times d$,जहाँ $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ और $d = 1.28 \times 10^{-10} \, m$ है।
दूरी $r = 12 \times 10^{-10} \, m$ है।
मान रखने पर:
$V = (9 \times 10^9) \times \frac{(1.6 \times 10^{-19}) \times (1.28 \times 10^{-10})}{(12 \times 10^{-10})^2}$.
$V = (9 \times 10^9) \times \frac{2.048 \times 10^{-29}}{144 \times 10^{-20}}$.
$V = 9 \times \frac{2.048}{144} \times 10^0 = 0.128 \, V \approx 0.13 \, V$.

(D) द्विध्रुव आघूर्ण $\vec p$ वाले विद्युत द्विध्रुव के कारण स्थिति सदिश $\vec r$ पर स्थित किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{{4\pi \epsilon_0}} \frac{{\vec p \cdot \hat r}}{{{r^2}}}$
चूंकि $\hat r = \frac{{\vec r}}{r}$ है,इसलिए हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$V = k \frac{{\vec p \cdot \vec r}}{{{r^3}}}$
जहाँ $k = \frac{1}{{4\pi \epsilon_0}}$ कूलम्ब नियतांक है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) एक समान विद्युत क्षेत्र में स्थित विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ और विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ के बीच का कोण है।
न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा प्राप्त करने के लिए,हमें $\cos \theta$ के मान को अधिकतम करना होगा।
$\cos \theta$ का अधिकतम मान $1$ है,जो $\theta = 0^o$ पर प्राप्त होता है।
सूत्र में $\theta = 0^o$ रखने पर,हमें $U_{\min} = -pE \cos(0^o) = -pE$ प्राप्त होता है।
अतः,स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम तब होती है जब $\vec{p}$ और $\vec{E}$ के बीच का कोण $0$ होता है।

(B) बाह्य विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
स्थिर संतुलन में,द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ की दिशा में होता है,इसलिए $\theta = 0^\circ$ होता है।
दिया गया है: $q = 3.2 \times 10^{-19} \, C$,$2l = 2.4 \, \mathring{A} = 2.4 \times 10^{-10} \, m$,और $E = 4 \times 10^5 \, V/m$.
द्विध्रुव आघूर्ण $p = q \times 2l = (3.2 \times 10^{-19}) \times (2.4 \times 10^{-10}) = 7.68 \times 10^{-29} \, C \cdot m$.
स्थितिज ऊर्जा के सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$U = -(7.68 \times 10^{-29}) \times (4 \times 10^5) \times \cos(0^\circ)$
$U = -30.72 \times 10^{-24} \, J = -3.072 \times 10^{-23} \, J$.
निकटतम मान लेने पर,$U \approx -3 \times 10^{-23} \, J$ प्राप्त होता है।

(A) विद्युत द्विध्रुव के कारण उसके केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विद्युत विभव $V$,जहाँ स्थिति सदिश द्विध्रुव अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है,को $OP$ रेखा के अनुदिश द्विध्रुव आघूर्ण के घटक पर विचार करके प्राप्त किया जाता है।
$OP$ रेखा के अनुदिश द्विध्रुव आघूर्ण $p$ का घटक $p' = p \cos \theta$ है।
बड़ी दूरी $(r \gg 2a)$ के लिए,द्विध्रुव को एक बिंदु द्विध्रुव माना जा सकता है। इस घटक के कारण विभव का सूत्र इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{p \cos \theta}{r^2}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{P}$ वाले विद्युत द्विध्रुव के कारण उसके केंद्र से $\vec{r}$ स्थिति सदिश पर स्थित बिंदु पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{P} \cdot \hat{r}}{r^2}$
चूंकि एकांक सदिश $\hat{r} = \frac{\vec{r}}{r}$ होता है,इसलिए हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{P} \cdot \vec{r}}{r^3}$
स्थिरांक $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ का उपयोग करने पर,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$V = k \frac{\vec{P} \cdot \vec{r}}{r^3}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के निकाय की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$ है।
दो इलेक्ट्रॉनों के लिए,$q_1 = -e$ और $q_2 = -e$ है,इसलिए $U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r}$ होगा।
चूंकि दोनों आवेश ऋणात्मक हैं,इसलिए उनका गुणनफल $q_1 q_2$ धनात्मक है,जिससे $U$ धनात्मक हो जाता है।
जैसे-जैसे दोनों इलेक्ट्रॉन एक-दूसरे की ओर गति करते हैं,उनके बीच की दूरी $r$ कम होती जाती है।
चूंकि $U \propto \frac{1}{r}$,इसलिए जैसे-जैसे $r$ घटता है,स्थितिज ऊर्जा $U$ बढ़ती है।

(A) एकसमान विद्युत क्षेत्र $\vec E$ में स्थित विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र: $U = -\vec p \cdot \vec E = -pE \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण $\vec p$ और विद्युत क्षेत्र $\vec E$ के बीच का कोण है।
स्थितिज ऊर्जा को न्यूनतम होने के लिए,$\cos \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\cos \theta$ का अधिकतम मान $1$ है,जो $\theta = 0^\circ$ पर प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि द्विध्रुव आघूर्ण $\vec p$ और विद्युत क्षेत्र $\vec E$ एक ही दिशा में होने चाहिए।

(D) विद्युत क्षेत्र में एक विद्युत द्विध्रुव को प्रारंभिक कोण $\theta_1$ से अंतिम कोण $\theta_2$ तक घुमाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = pE(\cos\theta_1 - \cos\theta_2)$.
यहाँ दिया गया है कि द्विध्रुव प्रारंभ में क्षेत्र के समानांतर है,इसलिए प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^{\circ}$ है।
अंतिम कोण $\theta_2 = 180^{\circ}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = pE(\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ})$
$W = pE(1 - (-1))$
$W = pE(1 + 1)$
$W = 2pE$.
अतः,बाह्य कारक द्वारा किया गया कार्य $2pE$ है।

(B) $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$।
दिया गया है: $q_1 = q_2 = -2 \, \mu C = -2 \times 10^{-6} \, C$,$r = 1 \, m$,और $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$।
मान रखने पर:
$U = \frac{(9 \times 10^9) \times (-2 \times 10^{-6}) \times (-2 \times 10^{-6})}{1}$
$U = 9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-12}$
$U = 36 \times 10^{-3} \, J = 3.6 \times 10^{-2} \, J$।

(B) एक समान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव को $\theta_1$ कोण से $\theta_2$ कोण तक घुमाने में किया गया कार्य $W$ निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = pE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
यहाँ,प्रारंभिक स्थिति संतुलन स्थिति है,इसलिए $\theta_1 = 0^\circ$ है।
अंतिम स्थिति $\theta_2 = 90^\circ$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = pE(\cos 0^\circ - \cos 90^\circ)$
चूंकि $\cos 0^\circ = 1$ और $\cos 90^\circ = 0$ है:
$W = pE(1 - 0) = pE$
अतः,किया गया कार्य $pE$ है।

(C) आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम विन्यास के लिए ($-q, q, -q$ जिसमें निकटवर्ती आवेशों के बीच की दूरी $r$ है):
$U_1 = \frac{k(-q)(q)}{r} + \frac{k(q)(-q)}{r} + \frac{k(-q)(-q)}{2r} = -\frac{kq^2}{r} - \frac{kq^2}{r} + \frac{kq^2}{2r} = -\frac{2kq^2}{r} + \frac{kq^2}{2r} = -\frac{3kq^2}{2r}$.
द्वितीय विन्यास के लिए ($-q, -q, q$ जिसमें निकटवर्ती आवेशों के बीच की दूरी $r$ है):
$U_2 = \frac{k(-q)(-q)}{r} + \frac{k(-q)(q)}{r} + \frac{k(-q)(q)}{2r} = \frac{kq^2}{r} - \frac{kq^2}{r} - \frac{kq^2}{2r} = -\frac{kq^2}{2r}$.
अतः,अनुपात:
$\frac{U_1}{U_2} = \frac{-3kq^2 / 2r}{-kq^2 / 2r} = 3$.

(B) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $(U)$ सभी आवेश युग्मों की स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
दिए गए निकाय के लिए,$a, a$ भुजाओं और $\sqrt{2}a$ कर्ण वाले समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर $Q, +q, +q$ आवेश स्थित हैं।
युग्म इस प्रकार हैं: $a$ दूरी पर $(Q, q)$,$a$ दूरी पर $(Q, q)$ और $\sqrt{2}a$ दूरी पर $(q, q)$।
कुल स्थितिज ऊर्जा को शून्य रखने पर:
$U = \frac{kQq}{a} + \frac{kQq}{a} + \frac{kq^2}{\sqrt{2}a} = 0$
$\frac{k}{a} [2Qq + \frac{q^2}{\sqrt{2}}] = 0$
$2Qq = -\frac{q^2}{\sqrt{2}}$
$Q = -\frac{q}{2\sqrt{2}} = -\frac{q\sqrt{2}}{4}$
विकल्पों के अनुसार सरल करने पर:
$Q = -\frac{q}{2(1 + 1/\sqrt{2})} = -\frac{q}{2 + \sqrt{2}}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $Q_1$ और $Q_2$ के निकाय की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = k \frac{Q_1 Q_2}{r}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ कूलम्ब नियतांक है।
यदि आवेश समान प्रकृति के हैं $(Q_1 Q_2 > 0)$,तो $U$ धनात्मक होता है। जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,$U$ घटता है।
यदि आवेश विपरीत प्रकृति के हैं $(Q_1 Q_2 < 0)$,तो $U$ ऋणात्मक होता है। जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,$U$ का परिमाण घटता है,जिसका अर्थ है कि $U$ कम ऋणात्मक हो जाता है (अर्थात यह शून्य की ओर बढ़ता है)।
अतः,आवेशों की प्रकृति के आधार पर स्थितिज ऊर्जा बढ़ सकती है या घट सकती है।

(B) बिंदु आवेशों के निकाय की कुल स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ सभी आवेश युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
दिए गए निकाय के लिए,आवेशों के बीच की दूरियाँ $a$,$a$ और $a\sqrt{2}$ हैं।
स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{kQq}{a} + \frac{kQq}{a\sqrt{2}} + \frac{kq^2}{a} = 0$ है।
$k/a$ से विभाजित करने पर,$Q(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) + q = 0$ प्राप्त होता है।
$Q(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}) = -q$।
अतः,$Q = -\frac{\sqrt{2}q}{\sqrt{2}+1}$।

(A) एकसमान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में $\vec{p}$ द्विध्रुव आघूर्ण वाले विद्युत द्विध्रुव को प्रारंभिक कोण $\theta_1$ से अंतिम कोण $\theta_2$ तक घुमाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} pE \sin \theta \, d\theta = pE (\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
चूंकि द्विध्रुव प्रारंभ में विद्युत क्षेत्र के अनुदिश है,इसलिए प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^{\circ}$ है।
अंतिम कोण $\theta_2 = 90^{\circ}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = pE (\cos 0^{\circ} - \cos 90^{\circ})$
चूंकि $\cos 0^{\circ} = 1$ और $\cos 90^{\circ} = 0$,इसलिए:
$W = pE (1 - 0) = pE$.

(A) विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -p E \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,द्विध्रुव क्षेत्र के साथ संरेखित हैं,इसलिए $\theta_1 = 0^{\circ}$ है।
क्षेत्र की दिशा $60^{\circ}$ बदलने के बाद,नया कोण $\theta_2 = 60^{\circ}$ है।
एक अणु पर क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W_{molecule} = -\Delta U = -(U_2 - U_1) = -(-p E \cos 60^{\circ} - (-p E \cos 0^{\circ}))$ है।
$W_{molecule} = p E (\cos 60^{\circ} - \cos 0^{\circ}) = p E (\frac{1}{2} - 1) = -\frac{1}{2} p E$।
हालाँकि,क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन का ऋणात्मक मान है। $N$ अणुओं वाले एक मोल पदार्थ के लिए,कुल कार्य $W = N \times |\Delta U| = N p E (\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = N p E (1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} N p E$ होगा।

(D) आवेशों के निकाय की स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए घन में,$8$ आवेश शीर्षों पर और $1$ आवेश $q$ केंद्र पर है।
मान लीजिए घन की भुजा की लंबाई $a$ है।
$1$. शीर्ष आवेशों के बीच अन्योन्यक्रिया: यहाँ $a$ लंबाई के $12$ किनारे,$\sqrt{2}a$ लंबाई के $12$ फलक विकर्ण और $\sqrt{3}a$ लंबाई के $4$ मुख्य विकर्ण हैं।
$2$. केंद्र पर स्थित आवेश $q$ और $8$ शीर्ष आवेशों के बीच अन्योन्यक्रिया: प्रत्येक शीर्ष आवेश केंद्र से $\frac{\sqrt{3}a}{2}$ की दूरी पर है।
शीर्षों पर आवेशों की व्यवस्था ($4$ आवेश $+Q$ और $4$ आवेश $-Q$) को देखते हुए,कुल स्थितिज ऊर्जा की गणना में सभी युग्मों की अन्योन्यक्रिया का योग किया जाता है।
चूंकि शीर्षों पर कुल आवेश $4Q - 4Q = 0$ है और व्यवस्था की समरूपता के कारण,अंतिम व्यंजक $q$ के मान पर निर्भर करता है। अतः,निकाय की कुल स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $q$ के चिह्न और मान पर निर्भर करती है।

(C) बाहरी विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $ U = -\vec{p} \cdot \vec{E} $ द्वारा दी जाती है।
द्विध्रुव को धीरे-धीरे घुमाने में बाहरी एजेंट द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $ W = U_f - U_i $.
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $ U_i = -\vec{p}_i \cdot \vec{E} = -[(3\hat{i} + 4\hat{j}) \times 10^{-30}] \cdot [4000 \hat{i}] = -(3 \times 4000) \times 10^{-30} \, \text{J} = -12 \times 10^{-27} \, \text{J} $.
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $ U_f = -\vec{p}_f \cdot \vec{E} = -[(-4\hat{i} + 3\hat{j}) \times 10^{-30}] \cdot [4000 \hat{i}] = -(-4 \times 4000) \times 10^{-30} \, \text{J} = 16 \times 10^{-27} \, \text{J} $.
किया गया कार्य $ W = U_f - U_i = (16 \times 10^{-27}) - (-12 \times 10^{-27}) = 28 \times 10^{-27} \, \text{J} = 2.8 \times 10^{-26} \, \text{J} $.

(A) एक अनावेशित चालक गोले के लिए,कुल आवेश शून्य होता है। जब इसे बाहरी विद्युत क्षेत्र (द्विध्रुव के कारण) में रखा जाता है,तो सतह पर प्रेरित आवेश इस प्रकार पुनर्वितरित होते हैं कि चालक की सतह पर प्रत्येक बिंदु पर विभव समान रहता है और यह गोले के केंद्र पर विभव के बराबर होता है।
द्विध्रुव के कारण गोले के केंद्र पर विभव $V_{\text{center}} = \frac{kp \cos \theta}{d^2}$ होता है,जहाँ $d$ द्विध्रुव से केंद्र की दूरी है और $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण और केंद्र के स्थिति सदिश के बीच का कोण है।
चित्र में दी गई ज्यामिति के अनुसार,बिंदु $A$ पर विभव,द्विध्रुव के कारण विभव और गोले पर प्रेरित आवेशों के कारण विभव का योग है। चूंकि गोला अनावेशित और पृथक है,केंद्र पर प्रेरित आवेशों के कारण कुल विभव शून्य होता है। अतः,सतह पर विभव गोले के केंद्र पर द्विध्रुव के कारण विभव के बराबर होता है। दी गई ज्यामिति के अनुसार,जहाँ द्विध्रुव से बिंदु $A$ की दूरी $r$ है,विभव $V = \frac{kp \cos \phi}{r^2}$ होगा।

(D) बाह्य कारक द्वारा किया गया कार्य $W_{ext} = U_f - U_i$ द्वारा दिया जाता है।
चित्र $(1)$ में,आवेश $a$ भुजा वाले वर्ग के कोनों पर हैं। स्थितिज ऊर्जा $U_i$ सभी युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं का योग है:
$U_i = 4 \times \frac{kq^2}{a} + 2 \times \frac{kq^2}{a\sqrt{2}} = \frac{kq^2}{a}(4 + \sqrt{2})$.
चित्र $(2)$ में,आवेश $a$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित वर्ग के कोनों पर हैं। निकटवर्ती आवेशों के बीच की दूरी $a\sqrt{2}$ है और विपरीत आवेशों के बीच की दूरी $2a$ है। स्थितिज ऊर्जा $U_f$ है:
$U_f = 4 \times \frac{kq^2}{a\sqrt{2}} + 2 \times \frac{kq^2}{2a} = \frac{kq^2}{a}(2\sqrt{2} + 1)$.
अब,किए गए कार्य की गणना करें:
$W_{ext} = U_f - U_i = \frac{kq^2}{a} [(2\sqrt{2} + 1) - (4 + \sqrt{2})]$
$W_{ext} = \frac{kq^2}{a} (\sqrt{2} - 3) = -\frac{kq^2}{a} (3 - \sqrt{2})$.

(A) अनंत लंबाई के रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ वाले तार से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = -2k\lambda \ln(r) + C$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ है।
तीन रैखिक आवेशों $\lambda_1 = \lambda$,$\lambda_2 = \lambda$ और $\lambda_3 = -2\lambda$ के लिए,किसी बिंदु पर कुल विभव $V$ व्यक्तिगत विभवों का योग है:
$V = -2k\lambda \ln(r_1) - 2k\lambda \ln(r_2) - 2k(-2\lambda) \ln(r_3) + C'$
$V = -2k\lambda [\ln(r_1) + \ln(r_2) - 2\ln(r_3)] + C'$
$V = -2k\lambda [\ln(r_1 r_2) - \ln(r_3^2)] + C'$
$V = -2k\lambda \ln\left(\frac{r_1 r_2}{r_3^2}\right) + C'$
समविभव बिंदुओं के लिए,$V$ स्थिर होना चाहिए। इसलिए,$\ln\left(\frac{r_1 r_2}{r_3^2}\right)$ स्थिर होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $\frac{r_1 r_2}{r_3^2} = \text{स्थिरांक}$।

(C) निकाय में केंद्र पर बिंदु आवेश $q$,कोश की आंतरिक सतह (त्रिज्या $a$) पर प्रेरित आवेश $-q$ और बाहरी सतह (त्रिज्या $b$) पर प्रेरित आवेश $+q$ शामिल हैं।
कुल स्थितिज ऊर्जा $U$ आवेशों की स्व-ऊर्जा और उनकी अन्योन्य क्रिया ऊर्जा का योग है।
$U = U_{\text{self}} + U_{\text{interaction}}$
$U = \left( \frac{kq^2}{2a} + \frac{kq^2}{2b} \right) + \left( \frac{k(q)(-q)}{a} + \frac{k(q)(q)}{b} + \frac{k(-q)(q)}{b} \right)$
$U = \frac{kq^2}{2a} + \frac{kq^2}{2b} - \frac{kq^2}{a} + \frac{kq^2}{b} - \frac{kq^2}{b}$
$U = \frac{kq^2}{2b} - \frac{kq^2}{2a}$

(A) द्विध्रुव के कारण किसी बिंदु $(r, \theta)$ पर विद्युत विभव $V = \frac{kp \cos \theta}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ है।
बिंदु $P$ के लिए: $r_P = 1 \times 10^{-2} \, m$,$\theta_P = 45^{\circ}$ है।
$V_P = \frac{kp \cos 45^{\circ}}{r_P^2} = \frac{(9 \times 10^9)(2 \times 10^{-6})(\frac{1}{\sqrt{2}})}{(10^{-2})^2} = \frac{18 \times 10^7}{\sqrt{2}} \, V$ है।
बिंदु $S$ के लिए: $r_S = 2 \times 10^{-2} \, m$,$\theta_S = 135^{\circ}$ है।
$V_S = \frac{kp \cos 135^{\circ}}{r_S^2} = \frac{(9 \times 10^9)(2 \times 10^{-6})(-\frac{1}{\sqrt{2}})}{(2 \times 10^{-2})^2} = \frac{-18 \times 10^7}{4\sqrt{2}} \, V$ है।
विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W = -q(V_S - V_P) = q(V_P - V_S)$ है।
$W = (\frac{4\sqrt{2}}{27} \times 10^{-6}) \left[ \frac{18 \times 10^7}{\sqrt{2}} - (-\frac{18 \times 10^7}{4\sqrt{2}}) \right] = \frac{100}{3} \, J$ है।

(A) विद्युत द्विध्रुव के कारण उसकी अक्ष पर किसी बिंदु पर विभव $V = \frac{kp \cos \theta}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि बिंदु दोनों द्विध्रुवों की अक्ष पर स्थित है,इसलिए $\theta = 0^\circ$ या $180^\circ$ होगा।
माना बिंदु द्विध्रुव $A$ से $x$ दूरी पर है। तब द्विध्रुव $B$ से इसकी दूरी $(R - x)$ होगी।
इस बिंदु पर द्विध्रुव $A$ के कारण विभव $V_A = \frac{k(4qa)}{x^2}$ (परिमाण लेने पर)।
इस बिंदु पर द्विध्रुव $B$ के कारण विभव $V_B = \frac{k(2qa)}{(R - x)^2}$।
विभवों को बराबर करने पर:
$\frac{k(4qa)}{x^2} = \frac{k(2qa)}{(R - x)^2}$
$\frac{2}{x^2} = \frac{1}{(R - x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{\sqrt{2}}{x} = \frac{1}{R - x}$
$\sqrt{2}(R - x) = x$
$\sqrt{2}R - \sqrt{2}x = x$
$\sqrt{2}R = x(1 + \sqrt{2})$
$x = \frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{2} + 1}$

(C) आवेशों के निकाय की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए विन्यास के लिए,आवेशों के बीच की दूरियाँ $a, a$ और $a\sqrt{2}$ हैं।
कुल स्थितिज ऊर्जा $U_{\text{total}}$:
$U_{\text{total}} = \frac{kQq}{a} + \frac{kQq}{a\sqrt{2}} + \frac{kq^2}{a\sqrt{2}} = 0$
$\frac{kq}{a} [Q + \frac{Q}{\sqrt{2}} + \frac{q}{\sqrt{2}}] = 0$
$Q(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{q}{\sqrt{2}}$
$Q(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}) = -\frac{q}{\sqrt{2}}$
$Q = \frac{-q}{\sqrt{2}+1}$

(B) $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $Q_1$ और $Q_2$ के निकाय की विद्युत स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r}$ है।
$1$. समान आवेशों के लिए (जैसे,दो प्रोटॉन या दो इलेक्ट्रॉन),$Q_1 Q_2 > 0$ होता है। जैसे-जैसे दूरी $r$ घटती है,हर (denominator) कम होने से स्थितिज ऊर्जा $U$ बढ़ती है।
$2$. असमान आवेशों के लिए (जैसे,एक प्रोटॉन और एक इलेक्ट्रॉन),$Q_1 Q_2 < 0$ होता है। जैसे-जैसे दूरी $r$ घटती है,ऋणात्मक स्थितिज ऊर्जा का परिमाण बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि स्थितिज ऊर्जा $U$ कम हो जाती है।
$3$. इसके विपरीत,असमान आवेशों के लिए,यदि दूरी $r$ बढ़ाई जाती है,तो स्थितिज ऊर्जा $U$ बढ़ती है (कम ऋणात्मक हो जाती है)।
विकल्पों का मूल्यांकन:
- विकल्प $A$: समान आवेश,$r$ घटता है $\rightarrow$ $U$ बढ़ता है। (सही कथन)
- विकल्प $B$: असमान आवेश,$r$ घटता है $\rightarrow$ $U$ घटता है। (गलत कथन)
- विकल्प $C$: असमान आवेश,$r$ बढ़ता है $\rightarrow$ $U$ बढ़ता है। (सही कथन)
- विकल्प $D$: समान आवेश,$r$ घटता है $\rightarrow$ $U$ बढ़ता है। (सही कथन)
अतः,गलत कथन $B$ है।

(B) आवेशों के निकाय को एक साथ रखने के लिए आवश्यक कार्य निकाय की स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ के बराबर होता है।
स्थितिज ऊर्जा आवेशों के सभी युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग द्वारा दी जाती है:
$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{i < j} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$
दिए गए वर्गाकार विन्यास के लिए, जहाँ कोनों $1$, $2$, $3$ और $4$ पर क्रमशः $q_1 = +q$, $q_2 = -q$, $q_3 = +q$, और $q_4 = -q$ आवेश हैं:
- $a$ लंबाई की चार भुजाएँ: युग्म $(1,2), (2,3), (3,4), (4,1)$।
- $a\sqrt{2}$ लंबाई के दो विकर्ण: युग्म $(1,3), (2,4)$।
ऊर्जा की गणना:
$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{(+q)(-q)}{a} + \frac{(-q)(+q)}{a} + \frac{(+q)(-q)}{a} + \frac{(-q)(+q)}{a} + \frac{(+q)(+q)}{a\sqrt{2}} + \frac{(-q)(-q)}{a\sqrt{2}} \right]$
$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ -\frac{q^2}{a} - \frac{q^2}{a} - \frac{q^2}{a} - \frac{q^2}{a} + \frac{q^2}{a\sqrt{2}} + \frac{q^2}{a\sqrt{2}} \right]$
$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ -\frac{4q^2}{a} + \frac{2q^2}{a\sqrt{2}} \right]$
$U = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 a} [ -4 + \sqrt{2} ]$
चूँकि $\sqrt{2} \approx 1.414$, मान $-4 + 1.414 = -2.586 \approx -2.6$ है।
अतः, $U = -\frac{2.6}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{a}$।

(B) दिया गया है,एक अणु का द्विध्रुव आघूर्ण,$p_{molecule} = 10^{-29} \; C \; m$.
$1$ मोल में अणुओं की संख्या $N = 6 \times 10^{23}$ है।
नमूने का कुल द्विध्रुव आघूर्ण,$p = N \times p_{molecule} = 6 \times 10^{23} \times 10^{-29} = 6 \times 10^{-6} \; C \; m$.
विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -p E \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
$\theta = 0^{\circ}$ पर प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $(U_i)$:
$U_i = -p E \cos 0^{\circ} = -(6 \times 10^{-6}) \times 10^{6} \times 1 = -6 \; J$.
$\theta = 60^{\circ}$ पर अंतिम स्थितिज ऊर्जा $(U_f)$:
$U_f = -p E \cos 60^{\circ} = -(6 \times 10^{-6}) \times 10^{6} \times 0.5 = -3 \; J$.
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_f - U_i = -3 \; J - (-6 \; J) = 3 \; J$.
चूंकि निकाय नई दिशा में संरेखित होने के लिए ऊर्जा मुक्त करता है,इसलिए मुक्त की गई ऊष्मा स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी के बराबर है,जो $3 \; J$ है।

(A) यह निकाय दो प्रोटॉन $(q_1 = q_2 = +e)$ और एक इलेक्ट्रॉन $(q_3 = -e)$ से बना है।
बिंदु आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $V$ सभी युग्मों की स्थितिज ऊर्जा के योग द्वारा दी जाती है:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1 q_2}{d_1} + \frac{q_1 q_3}{d_2} + \frac{q_2 q_3}{d_3} \right)$
दिया गया है:
$q_1 = q_2 = 1.6 \times 10^{-19} \; C$
$q_3 = -1.6 \times 10^{-19} \; C$
$d_1 = 1.5 \times 10^{-10} \; m$
$d_2 = d_3 = 1.0 \times 10^{-10} \; m$
मान रखने पर:
$V = (9 \times 10^9) \left[ \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2}{1.5 \times 10^{-10}} - \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2}{1.0 \times 10^{-10}} - \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2}{1.0 \times 10^{-10}} \right]$
$V = (9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-19})^2 \left[ \frac{1}{1.5} - 1 - 1 \right] \; J$
$V = (9 \times 10^9) \times (2.56 \times 10^{-38}) \left[ \frac{1 - 3}{1.5} \right] \; J$
$V = 23.04 \times 10^{-29} \times \left( -\frac{2}{1.5} \right) \; J$
$V = -30.72 \times 10^{-19} \; J$
$eV$ में बदलने के लिए, $1.6 \times 10^{-19} \; J/eV$ से विभाजित करने पर:
$V = \frac{-30.72 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \; eV = -19.2 \; eV.$
स्थितिज ऊर्जा का शून्य अनंत पर चुना गया है।

(A) $(0,0, z)$ बिंदु के लिए,विभव $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left( \frac{q}{z-a} - \frac{q}{z+a} \right) = \frac{2qa}{4 \pi \epsilon_{0}(z^2 - a^2)} = \frac{p}{4 \pi \epsilon_{0}(z^2 - a^2)}$ है। $(x, y, 0)$ बिंदु के लिए,दोनों आवेशों से दूरी समान है,इसलिए $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} (\frac{q}{r_1} - \frac{q}{r_1}) = 0$ है।
$(b)$ $r >> a$ के लिए,द्विध्रुव का विभव $V = \frac{p \cos \theta}{4 \pi \epsilon_{0} r^2}$ है। अतः,$V \propto \frac{1}{r^2}$ है।
$(c)$ किया गया कार्य $W = q_0(V_f - V_i)$ है। चूंकि दोनों बिंदु $(5,0,0)$ और $(-7,0,0)$ निरक्षीय तल पर स्थित हैं,इसलिए दोनों बिंदुओं पर विभव $0$ है। अतः,$W = q_0(0 - 0) = 0$ है। स्थिर वैद्युत बल संरक्षी होने के कारण किया गया कार्य पथ पर निर्भर नहीं करता है।

(N/A) स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा का $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है।
स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा ऊर्जा का एक रूप है, और ऊर्जा का विमीय सूत्र किए गए कार्य से प्राप्त होता है, जो $\text{बल } \times \text{विस्थापन}$ है।
बल का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}]$ है और विस्थापन का $[L^1]$ है।
अतः, ऊर्जा का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}] \times [L^1] = [M^1 L^2 T^{-2}]$ है।

(N/A) मान लीजिए कि एक विद्युत द्विध्रुव में $+q$ और $-q$ आवेश हैं जो $2a$ की दूरी पर स्थित हैं। मान लीजिए $O$ द्विध्रुव का मध्य बिंदु है। हमें $O$ से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विद्युत विभव ज्ञात करना है,जहाँ रेखा $OP$ द्विध्रुव अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
मान लीजिए $r_1$ बिंदु $P$ की आवेश $+q$ से दूरी है और $r_2$ बिंदु $P$ की आवेश $-q$ से दूरी है।
द्विध्रुव के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग है:
$V = V_1 + V_2 = \frac{kq}{r_1} - \frac{kq}{r_2} = kq \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$
द्विध्रुव और बिंदु $P$ द्वारा निर्मित त्रिभुजों में कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$r_1^2 = r^2 + a^2 - 2ar \cos \theta$
$r_2^2 = r^2 + a^2 + 2ar \cos \theta$
जब $r \gg a$ हो,तो द्विपद विस्तार का उपयोग करके $r_1$ और $r_2$ का अनुमानित मान प्राप्त किया जा सकता है:
$r_1 \approx r - a \cos \theta$
$r_2 \approx r + a \cos \theta$
इन मानों को विभव के व्यंजक में रखने पर:
$V = kq \left( \frac{1}{r - a \cos \theta} - \frac{1}{r + a \cos \theta} \right) = kq \left( \frac{r + a \cos \theta - (r - a \cos \theta)}{r^2 - a^2 \cos^2 \theta} \right)$
$V = \frac{kq(2a \cos \theta)}{r^2} = \frac{kp \cos \theta}{r^2}$,जहाँ $p = 2aq$ द्विध्रुव आघूर्ण है।

(N/A) एक विद्युत द्विध्रुव के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ का समीकरण है: $V = k \left( \frac{\vec{p} \cdot \hat{r}}{r^2} \right) = \frac{k p \cos \theta}{r^2}$,जहाँ $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$,$\vec{p}$ द्विध्रुव आघूर्ण है,और $\theta$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ तथा द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ के बीच का कोण है।
महत्वपूर्ण विशेषताएँ:
$(i)$ विद्युत द्विध्रुव के कारण विभव,बिंदु के स्थिति सदिश $\vec{r}$ और द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ के बीच के कोण $\theta$ पर निर्भर करता है।
$(ii)$ विद्युत द्विध्रुव विभव दूरी के साथ $\frac{1}{r^2}$ के रूप में घटता है,जबकि बिंदु आवेश का विभव $\frac{1}{r}$ के रूप में घटता है।
विशेष मामले:
$(1)$ अक्षीय रेखा पर स्थित बिंदु के लिए: $\theta = 0^\circ$ या $180^\circ$,अतः $V_a = \pm \frac{k p}{r^2}$.
$(2)$ निरक्षीय तल (equatorial plane) पर स्थित बिंदु के लिए: $\theta = 90^\circ$,अतः $V_e = 0$.

(N/A) एक विद्युत द्विध्रुव के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विद्युत विभव $V$,जहाँ बिंदु का स्थिति सदिश द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\vec{p}$ के साथ $\theta$ कोण बनाता है,इस प्रकार दिया जाता है:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p \cos\theta}{r^2}$
जहाँ:
$p$ विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण का परिमाण है।
$r$ द्विध्रुव के केंद्र से बिंदु $P$ तक की दूरी है।
$\theta$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ और द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\vec{p}$ के बीच का कोण है।
$\epsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता (permittivity) है।

(N/A) मान लीजिए कि एक विद्युत द्विध्रुव है जिसमें $+q$ और $-q$ आवेश $2a$ की दूरी पर स्थित हैं। द्विध्रुव के केंद्र $O$ से $r$ दूरी पर उसकी अक्ष पर एक बिंदु $P$ है।
बिंदु $P$ की $+q$ आवेश से दूरी $(r - a)$ है और $-q$ आवेश से दूरी $(r + a)$ है।
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत विभव $V$ दोनों आवेशों के कारण उत्पन्न विभव का बीजगणितीय योग है:
$V = V_{+q} + V_{-q}$
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{q}{r-a} - \frac{q}{r+a} \right)$
$V = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{r+a - (r-a)}{r^2 - a^2} \right)$
$V = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{2a}{r^2 - a^2} \right)$
चूंकि द्विध्रुव आघूर्ण $p = q \times 2a$ है,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r^2 - a^2}$
एक छोटे द्विध्रुव के लिए जहाँ $r \gg a$ है,समीकरण सरल होकर निम्न हो जाता है:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r^2}$

(N/A) मान लीजिए दो बिंदु आवेश $q_{1}$ और $q_{2}$ प्रारंभ में अनंत पर हैं।
सबसे पहले,आवेश $q_{1}$ को अनंत से बिंदु $P_{1}$ पर लाया जाता है। चूंकि कोई बाहरी विद्युत क्षेत्र नहीं है,इसलिए किया गया कार्य $W_{1}$ शून्य है।
$W_{1} = 0$ ... $(1)$
यह आवेश $q_{1}$ अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु $P$ पर विद्युत विभव $V_{1} = \frac{k q_{1}}{r_{1p}}$ उत्पन्न करता है,जहाँ $r_{1p}$ आवेश $q_{1}$ से बिंदु $P$ की दूरी है।
अब,आवेश $q_{2}$ को अनंत से बिंदु $P_{2}$ पर लाया जाता है,जो $q_{1}$ से $r_{12}$ दूरी पर है। $q_{1}$ के विद्युत क्षेत्र के विरुद्ध किया गया कार्य $W_{2}$ है:
$W_{2} = q_{2} V_{1} = q_{2} \left( \frac{k q_{1}}{r_{12}} \right) = \frac{k q_{1} q_{2}}{r_{12}}$ ... $(2)$
चूंकि स्थिर-विद्युत बल संरक्षी होता है,इसलिए कुल किया गया कार्य निकाय की विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ के रूप में संचित हो जाता है:
$U = W_{1} + W_{2} = 0 + \frac{k q_{1} q_{2}}{r_{12}}$
$\therefore U = \frac{k q_{1} q_{2}}{r_{12}}$
यह व्यंजक इस बात से स्वतंत्र है कि आवेशों को किस क्रम में उनकी स्थिति पर लाया जाता है। तीन आवेशों के निकाय के लिए,स्थितिज ऊर्जा सभी युग्मों की अन्योन्य ऊर्जा का योग होती है:
$U = k \left[ \frac{q_{1} q_{2}}{r_{12}} + \frac{q_{1} q_{3}}{r_{13}} + \frac{q_{2} q_{3}}{r_{23}} \right]$
यदि $q_{1} q_{2} > 0$ है,तो स्थितिज ऊर्जा धनात्मक (प्रतिकर्षी) होती है। यदि $q_{1} q_{2} < 0$ है,तो स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक (आकर्षक) होती है।

(N/A) मान लीजिए कि $-q$ और $+q$ आवेशों वाला एक विद्युत द्विध्रुव,जिनके बीच की दूरी $2a$ है,एकसमान विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ में रखा गया है।
आवेशों पर कार्य करने वाले बल $+q\overrightarrow{E}$ और $-q\overrightarrow{E}$ समान और विपरीत हैं,जो एक बल-युग्म बनाते हैं और एक टॉर्क $\tau = pE \sin \theta$ उत्पन्न करते हैं,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ और $\overrightarrow{E}$ के बीच का कोण है।
इस टॉर्क के विरुद्ध द्विध्रुव को सूक्ष्म कोण $d\theta$ से घुमाने के लिए किया गया बाह्य कार्य $dW = \tau_{ext} d\theta = pE \sin \theta d\theta$ है।
स्थितिज ऊर्जा $U$ को द्विध्रुव को प्रारंभिक कोण $\theta_0$ से अंतिम कोण $\theta$ तक घुमाने में किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$U = \int_{\theta_0}^{\theta} pE \sin \theta' d\theta' = pE [-\cos \theta']_{\theta_0}^{\theta} = pE(\cos \theta_0 - \cos \theta)$.
यदि संदर्भ स्थिति $\theta_0 = 90^\circ$ ली जाए (जहाँ $\cos 90^\circ = 0$),तो स्थितिज ऊर्जा:
$U(\theta) = -pE \cos \theta = -\vec{p} \cdot \overrightarrow{E}$ प्राप्त होती है।

(N/A) बाह्य क्षेत्र $\vec{E}$ में $\vec{r}_1$ और $\vec{r}_2$ स्थितियों पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के निकाय की स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$U = q_1 V(\vec{r}_1) + q_2 V(\vec{r}_2) + \frac{k q_1 q_2}{r_{12}}$
विद्युत द्विध्रुव के लिए,$q_1 = +q$ और $q_2 = -q$ है। मान लीजिए उनके बीच की दूरी $\vec{d} = 2\vec{a}$ है। स्थितिज ऊर्जा होगी:
$U = q V(\vec{r}_1) - q V(\vec{r}_2) - \frac{k q^2}{2a}$
पद $q[V(\vec{r}_1) - V(\vec{r}_2)]$ बाह्य क्षेत्र में द्विध्रुव को स्थानांतरित करने में किए गए कार्य को दर्शाता है। चूंकि $V(\vec{r}_1) - V(\vec{r}_2) = -\vec{E} \cdot \vec{d} = -E(2a \cos \theta)$,
$q[V(\vec{r}_1) - V(\vec{r}_2)] = -q(2a)E \cos \theta = -pE \cos \theta = -\vec{p} \cdot \vec{E}$
अतः,स्थितिज ऊर्जा है:
$U(\theta) = -\vec{p} \cdot \vec{E} - \frac{k q^2}{2a}$
पद $-\frac{k q^2}{2a}$ द्विध्रुव की स्व-ऊर्जा है,जो स्थिर है। $\theta = \frac{\pi}{2}$ पर स्थितिज ऊर्जा को शून्य मानने पर,हमें मानक समीकरण प्राप्त होता है:
$U = -\vec{p} \cdot \vec{E}$

(A) मान लीजिए कि $+q$ आवेश को मध्य बिंदु $O$ से $x$ की छोटी दूरी पर एक $-q$ आवेश की ओर विस्थापित किया जाता है।
$-q$ आवेशों के कारण $+q$ की स्थितिज ऊर्जा $U$ इस प्रकार है:
$U = k \left[ \frac{(-q)(q)}{d-x} + \frac{(-q)(q)}{d+x} \right] = -kq^2 \left[ \frac{1}{d-x} + \frac{1}{d+x} \right]$
$U = -kq^2 \left[ \frac{d+x+d-x}{d^2-x^2} \right] = -\frac{2kq^2d}{d^2-x^2}$
बल ज्ञात करने के लिए,हम $U$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$F = -\frac{dU}{dx} = -\frac{d}{dx} \left( -2kq^2d (d^2-x^2)^{-1} \right) = -2kq^2d \left( (d^2-x^2)^{-2} \cdot 2x \right) = -\frac{4kq^2dx}{(d^2-x^2)^2}$
संतुलन के लिए,$F = 0$,जिसका अर्थ है $x = 0$.
स्थिरता की जांच करने के लिए,हम $x=0$ पर $U$ का द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^2U}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{4kq^2dx}{(d^2-x^2)^2} \right) = 4kq^2d \left[ \frac{(d^2-x^2)^2 - x \cdot 2(d^2-x^2)(-2x)}{(d^2-x^2)^4} \right]$
$x=0$ पर,$\frac{d^2U}{dx^2} = 4kq^2d \left[ \frac{d^4}{d^8} \right] = \frac{4kq^2}{d^3} > 0$.
चूंकि स्थितिज ऊर्जा का द्वितीय अवकलज $x=0$ पर धनात्मक है,यह अक्ष पर स्थिर संतुलन दर्शाता है,लेकिन अक्ष के लंबवत दिशा में यह अस्थिर है (अर्नशॉ के प्रमेय के अनुसार)।