एक विद्युत द्विध्रुव के कारण उसके केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित एक सामान्य बिंदु $P$ पर विद्युत विभव के लिए व्यंजक व्युत्पन्न कीजिए।

(N/A) मान लीजिए कि एक विद्युत द्विध्रुव में $+q$ और $-q$ आवेश हैं जो $2a$ की दूरी पर स्थित हैं। मान लीजिए $O$ द्विध्रुव का मध्य बिंदु है। हमें $O$ से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विद्युत विभव ज्ञात करना है,जहाँ रेखा $OP$ द्विध्रुव अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
मान लीजिए $r_1$ बिंदु $P$ की आवेश $+q$ से दूरी है और $r_2$ बिंदु $P$ की आवेश $-q$ से दूरी है।
द्विध्रुव के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग है:
$V = V_1 + V_2 = \frac{kq}{r_1} - \frac{kq}{r_2} = kq \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$
द्विध्रुव और बिंदु $P$ द्वारा निर्मित त्रिभुजों में कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$r_1^2 = r^2 + a^2 - 2ar \cos \theta$
$r_2^2 = r^2 + a^2 + 2ar \cos \theta$
जब $r \gg a$ हो,तो द्विपद विस्तार का उपयोग करके $r_1$ और $r_2$ का अनुमानित मान प्राप्त किया जा सकता है:
$r_1 \approx r - a \cos \theta$
$r_2 \approx r + a \cos \theta$
इन मानों को विभव के व्यंजक में रखने पर:
$V = kq \left( \frac{1}{r - a \cos \theta} - \frac{1}{r + a \cos \theta} \right) = kq \left( \frac{r + a \cos \theta - (r - a \cos \theta)}{r^2 - a^2 \cos^2 \theta} \right)$
$V = \frac{kq(2a \cos \theta)}{r^2} = \frac{kp \cos \theta}{r^2}$,जहाँ $p = 2aq$ द्विध्रुव आघूर्ण है।