Electric potential and Potential Energy of dipole Questions in Hindi

(C) एक लघु विद्युत द्विध्रुव के कारण बिंदु $(r, \theta)$ पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र है:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{p \cos \theta}{r^{2}}$
दिए गए मान:
द्विध्रुव आघूर्ण $p = 16 \times 10^{-9} \, Cm$
दूरी $r = 0.6 \, m$
कोण $\theta = 60^{\circ}$
नियतांक $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \, Nm^{2}/C^{2}$
सूत्र में मान रखने पर:
$V = \frac{9 \times 10^{9} \times 16 \times 10^{-9} \times \cos(60^{\circ})}{(0.6)^{2}}$
चूंकि $\cos(60^{\circ}) = 0.5$:
$V = \frac{9 \times 16 \times 0.5}{0.36}$
$V = \frac{72}{0.36}$
$V = 200 \, V$

(B) दूरी पर स्थित $Q$ और $Q$ परिमाण के दो आवेशों के निकाय की प्रारंभिक स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$E = \frac{k Q^2}{d} \quad \dots(i)$
जब एक तीसरा आवेश $q_3 = -Q/2$ को मध्य-बिंदु पर रखा जाता है,तो प्रत्येक युग्म के बीच की नई दूरी $d/2$ हो जाती है।
निकाय की कुल स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $E^{\prime}$ सभी युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं का योग है:
$E^{\prime} = \frac{k Q_1 Q_2}{r_{12}} + \frac{k Q_2 Q_3}{r_{23}} + \frac{k Q_1 Q_3}{r_{13}}$
मान $Q_1 = Q$,$Q_2 = Q$,$Q_3 = -Q/2$,$r_{12} = d$,$r_{23} = d/2$,और $r_{13} = d/2$ रखने पर:
$E^{\prime} = \frac{k Q^2}{d} + \frac{k Q (-Q/2)}{d/2} + \frac{k Q (-Q/2)}{d/2}$
$E^{\prime} = \frac{k Q^2}{d} - \frac{k Q^2}{d} - \frac{k Q^2}{d}$
$E^{\prime} = -\frac{k Q^2}{d}$
समीकरण $(i)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $E^{\prime} = -E$ प्राप्त होता है।

(B) एक छोटे विद्युत द्विध्रुव के कारण उसकी अक्ष पर $r$ दूरी पर स्थित बिंदु पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{p}{r^2}$
दिया गया है:
द्विध्रुव आघूर्ण $p = 4 \times 10^{-12} \, C \cdot m$
दूरी $r = 3 \, m$
स्थिरांक $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$
मान रखने पर:
$V = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-12}}{3^2}$
$V = \frac{36 \times 10^{-3}}{9}$
$V = 4 \times 10^{-3} \, V$
चूंकि $1 \, V = 1000 \, mV$,इसलिए:
$V = 4 \, mV$.

(B) एक विद्युत द्विध्रुव के कारण किसी बिंदु $(r, \theta)$ पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p \cos \theta}{r^2}$ होता है।
दिए गए मान हैं:
द्विध्रुव आघूर्ण $p = 2 \times 10^{-8} \, C \cdot m$
दूरी $r = 3 \, m$
कोण $\theta = 60^{\circ}$
स्थिरांक $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = (9 \times 10^9) \times \frac{(2 \times 10^{-8}) \times \cos(60^{\circ})}{3^2}$
$V = (9 \times 10^9) \times \frac{2 \times 10^{-8} \times 0.5}{9}$
$V = 10^9 \times 10^{-8} = 10 \, V$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ द्वारा दी जाती है।
चित्र में दिखाए अनुसार $x$ दूरी पर रखे गए तीन आवेशों $-q, Q, -q$ के लिए,युग्म $(-q, Q)$ दूरी $x$ पर,$(Q, -q)$ दूरी $x$ पर,और $(-q, -q)$ दूरी $2x$ पर हैं।
कुल स्थितिज ऊर्जा:
$U = \frac{k(-q)(Q)}{x} + \frac{k(Q)(-q)}{x} + \frac{k(-q)(-q)}{2x} = 0$
$-\frac{kqQ}{x} - \frac{kqQ}{x} + \frac{kq^2}{2x} = 0$
$-\frac{2kqQ}{x} + \frac{kq^2}{2x} = 0$
$\frac{kq^2}{2x} = \frac{2kqQ}{x}$
$q^2 = 4qQ$
$q = 4Q$
अतः,अनुपात $Q: q = 1: 4$ है।

(A) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U$ को $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
दिए गए निकाय के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U$ है:
$U = \frac{k(q)(q)}{L} + \frac{k(q)(-2q)}{L} + \frac{k(q)(-2q)}{L}$
$U = \frac{k q^2}{L} - \frac{2k q^2}{L} - \frac{2k q^2}{L} = -\frac{3k q^2}{L}$
जहाँ $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ है।
जब आवेशों को बहुत दूर (अनंत पर) ले जाया जाता है,तो अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_{\infty} = 0$ होती है।
बाह्य बल द्वारा किया गया कार्य $W_{\text{ext}} = U_{\text{final}} - U_{\text{initial}} = U_{\infty} - U$ द्वारा दिया जाता है।
$W_{\text{ext}} = 0 - \left(-\frac{3k q^2}{L}\right) = \frac{3k q^2}{L} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{3q^2}{L}$.

(B) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U$ सभी आवेशों के युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$।
यहाँ,हमारे पास तीन आवेश हैं:
$q_1 = q$,$x = -a$ पर
$q_2 = -q$,$x = 0$ पर
$q_3 = q$,$x = a$ पर
युग्म $(q_1, q_2)$,$(q_2, q_3)$,और $(q_1, q_3)$ हैं।
उनके बीच की दूरियाँ हैं:
$r_{12} = a$
$r_{23} = a$
$r_{13} = 2a$
स्थितिज ऊर्जा की गणना:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{(q)(-q)}{a} + \frac{(-q)(q)}{a} + \frac{(q)(q)}{2a} \right]$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{q^2}{a} - \frac{q^2}{a} + \frac{q^2}{2a} \right]$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{2q^2}{a} + \frac{q^2}{2a} \right]$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{-4q^2 + q^2}{2a} \right]$
$U = -\left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\right) \frac{3 q^2}{2 a}$

(A) आवेशों के निकाय को व्यवस्थित करने में किया गया कार्य $W$,विन्यास की स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ के बराबर होता है।
$a$ भुजा वाले वर्ग के लिए,$a$ दूरी पर (भुजाओं के अनुदिश) $4$ आवेशों के जोड़े और $a\sqrt{2}$ दूरी पर (विकर्णों के अनुदिश) $2$ आवेशों के जोड़े हैं।
कुल स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$
$U = 4 \left( \frac{k q^2}{a} \right) + 2 \left( \frac{k q^2}{a\sqrt{2}} \right)$
$U = \frac{4 k q^2}{a} + \frac{\sqrt{2} k q^2}{a}$
$U = \frac{k q^2}{a} (4 + \sqrt{2})$
अतः,आवश्यक कार्य $W = (4+\sqrt{2}) \frac{k q^2}{a}$ है।

(B) एकसमान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta U = U_f - U_i$.
द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -pE \cos \theta$ होती है।
प्रारंभ में,द्विध्रुव विद्युत क्षेत्र की दिशा में है,इसलिए $\theta_i = 0^{\circ}$। अतः,$U_i = -pE \cos(0^{\circ}) = -pE$।
अंत में,द्विध्रुव को $180^{\circ}$ घुमाया जाता है,इसलिए $\theta_f = 180^{\circ}$। अतः,$U_f = -pE \cos(180^{\circ}) = pE$।
किया गया कार्य $W = pE - (-pE) = 2pE$ है।
यहाँ $p = 6.0 \times 10^{-6} \, Cm$ और $E = 1.5 \times 10^3 \, NC^{-1}$ दिया गया है।
$W = 2 \times (6.0 \times 10^{-6}) \times (1.5 \times 10^3) = 18 \times 10^{-3} \, J = 18 \, mJ$।

(B) एक विद्युत द्विध्रुव के कारण किसी बिंदु पर स्थिर विद्युत विभव $V$ का सूत्र इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p \cos \theta}{r^2}$
यहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण (dipole moment) है,$\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण सदिश और स्थिति सदिश के बीच का कोण है,और $r$ द्विध्रुव के केंद्र से दूरी है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि विभव $V$,दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
अतः,$V \propto \frac{1}{r^2}$।

(B) द्विध्रुव के कारण स्थिति सदिश $\vec{r}$ द्वारा परिभाषित बिंदु पर विद्युत विभव $V = \frac{k \vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक द्विध्रुव के लिए,द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}_1 = q(4 \hat{j}) \text{ mm} = 4q \hat{j} \text{ mm}$ है।
बिंदु $P$ का स्थिति सदिश $\vec{r} = 100 \hat{i} + 100 \hat{j} \text{ mm}$ है।
अतः,$V_0 = \frac{k (4q \hat{j}) \cdot (100 \hat{i} + 100 \hat{j})}{r^3} = \frac{k (400q)}{r^3}$।
नए द्विध्रुव के लिए,आवेश $(-1, 2)$ और $(1, -2)$ पर हैं। द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\vec{p}_2$,$-q$ से $+q$ की दिशा में है:
$\vec{p}_2 = q [(-1 - 1) \hat{i} + (2 - (-2)) \hat{j}] = q (-2 \hat{i} + 4 \hat{j}) \text{ mm}$।
नए द्विध्रुव के कारण $P$ पर विभव $V = \frac{k \vec{p}_2 \cdot \vec{r}}{r^3}$ है।
$V = \frac{k [q (-2 \hat{i} + 4 \hat{j})] \cdot (100 \hat{i} + 100 \hat{j})}{r^3} = \frac{k q (-200 + 400)}{r^3} = \frac{k (200q)}{r^3}$।
$V$ और $V_0$ की तुलना करने पर:
$V = \frac{k (200q)}{r^3} = \frac{1}{2} \left( \frac{k (400q)}{r^3} \right) = \frac{V_0}{2}$।

(D) $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के निकाय की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र है:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$
दिया गया है:
$q_1 = 7 \ \mu C = 7 \times 10^{-6} \ C$
$q_2 = -4 \ \mu C = -4 \times 10^{-6} \ C$
निर्देशांक $(-7 \ cm, 0, 0)$ और $(7 \ cm, 0, 0)$ हैं।
आवेशों के बीच की दूरी $r$:
$r = \sqrt{(7 - (-7))^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2} \ cm = 14 \ cm = 0.14 \ m$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \approx 9 \times 10^9 \ N \ m^2 \ C^{-2}$ का उपयोग करने पर:
$U = \frac{9 \times 10^9 \times (7 \times 10^{-6}) \times (-4 \times 10^{-6})}{0.14}$
$U = \frac{9 \times 10^9 \times (-28 \times 10^{-12})}{0.14}$
$U = \frac{-252 \times 10^{-3}}{0.14} = \frac{-0.252}{0.14} = -1.8 \ J$

(D) विन्यास $(1)$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U_1$ सभी आवेश युग्मों की अन्योन्य क्रिया ऊर्जा का योग है। $a$ दूरी पर $4$ युग्म और $a\sqrt{2}$ दूरी पर $2$ युग्म हैं।
$U_1 = 4 \left( \frac{Kq_0^2}{a} \right) + 2 \left( \frac{Kq_0^2}{a\sqrt{2}} \right) = \frac{Kq_0^2}{a} (4 + \sqrt{2})$.
विन्यास $(2)$ के लिए,आवेश मध्य बिंदुओं पर हैं। युग्मों के बीच की दूरियां हैं: $a/\sqrt{2}$ दूरी पर $4$ युग्म (आसन्न भुजाएं),और $a$ दूरी पर $2$ युग्म (विपरीत भुजाएं)।
$U_2 = 4 \left( \frac{Kq_0^2}{a/\sqrt{2}} \right) + 2 \left( \frac{Kq_0^2}{a} \right) = \frac{Kq_0^2}{a} (4\sqrt{2} + 2)$.
अंतर $\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{Kq_0^2}{a} (4\sqrt{2} + 2 - 4 - \sqrt{2}) = \frac{Kq_0^2}{a} (3\sqrt{2} - 2)$.

(B) दिया गया है: द्विध्रुव आघूर्ण $p = 6 \times 10^{-6} \ Cm$,विद्युत क्षेत्र $E = 10^6 \ V/m$।
एकसमान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W = U_f - U_i = -pE \cos \theta_f - (-pE \cos \theta_i) = pE(\cos \theta_i - \cos \theta_f)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,द्विध्रुव क्षेत्र के समानांतर है,इसलिए $\theta_i = 0^\circ$।
अंत में,द्विध्रुव क्षेत्र के विपरीत है,इसलिए $\theta_f = 180^\circ$।
मान रखने पर: $W = pE(\cos 0^\circ - \cos 180^\circ) = pE(1 - (-1)) = 2pE$।
$W = 2 \times (6 \times 10^{-6}) \times 10^6 = 12 \ J$।

(B) इलेक्ट्रॉन पर ऋणात्मक आवेश होता है। जब एक इलेक्ट्रॉन दूसरे इलेक्ट्रॉन के करीब आता है,तो समान आवेश के कारण उनके बीच प्रतिकर्षण बल उत्पन्न होता है।
उन्हें करीब लाने के लिए,इस प्रतिकर्षण बल के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है।
यह कार्य निकाय में स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।
अतः,निकाय की स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा बढ़ जाती है।
वैकल्पिक रूप से,दो इलेक्ट्रॉनों के निकाय की स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ इस प्रकार है:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(-e)(-e)}{r} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r}$
जैसे-जैसे दूरी $r$ घटती है,स्थितिज ऊर्जा $U$ बढ़ती है।

(D) विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W = pE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,द्विध्रुव क्षेत्र के समानांतर है,इसलिए $\theta_1 = 0^{\circ}$।
पहले मामले में,$180^{\circ}$ घुमाने पर $\theta_2 = 180^{\circ}$ होता है।
$w = pE(\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ}) = pE(1 - (-1)) = 2pE$।
इसलिए,$pE = \frac{w}{2}$।
दूसरे मामले में,$60^{\circ}$ घुमाने पर $\theta_2 = 60^{\circ}$ होता है।
$W' = pE(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = pE(1 - \frac{1}{2}) = pE(\frac{1}{2})$।
समीकरण में $pE = \frac{w}{2}$ का मान रखने पर:
$W' = (\frac{w}{2}) \times (\frac{1}{2}) = \frac{w}{4}$।

(A) बाह्य विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = -\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{E} = -pE \cos \theta$ है।
प्रारंभ में,द्विध्रुव विद्युत क्षेत्र के अनुदिश है,इसलिए $\theta_1 = 0^{\circ}$।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_1 = -pE \cos 0^{\circ} = -pE(1) = -pE$।
अंत में,द्विध्रुव को $90^{\circ}$ घुमाया जाता है,इसलिए $\theta_2 = 90^{\circ}$।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_2 = -pE \cos 90^{\circ} = -pE(0) = 0$।
किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_2 - U_1$।
$W = 0 - (-pE) = pE$।

(D) $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $q$ के कारण विद्युत विभव $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए द्विध्रुव के लिए,बिंदु $P$ की $-q$ आवेश से दूरी $(x+a)$ है और $+q$ आवेश से दूरी $(x-a)$ है।
$-q$ के कारण विभव $V_{-q} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(-q)}{(x+a)}$ है।
$+q$ के कारण विभव $V_{+q} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(+q)}{(x-a)}$ है।
बिंदु $P$ पर कुल विभव $V_P$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभवों का बीजगणितीय योग है:
$V_P = V_{-q} + V_{+q} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{1}{x-a} - \frac{1}{x+a} \right]$.
$V_P = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{(x+a) - (x-a)}{(x-a)(x+a)} \right] = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{2a}{x^2-a^2} \right]$.
$V_P = \frac{2aq}{4 \pi \epsilon_0(x^2-a^2)} = \frac{aq}{2 \pi \epsilon_0(x^2-a^2)}$.

(C) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U = \sum \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$ द्वारा दी जाती है।
$r$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर रखे गए तीन समान आवेशों $q$ के लिए,कुल स्थितिज ऊर्जा $U = 3 \times \left( \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q^2}{r} \right)$ होती है।
दिया गया है: $q = 3 \mu C = 3 \times 10^{-6} \ C$,$r = 6 \ cm = 0.06 \ m$,और $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
मान रखने पर:
$U = 3 \times \left( 9 \times 10^9 \times \frac{(3 \times 10^{-6})^2}{0.06} \right)$
$U = 3 \times \left( 9 \times 10^9 \times \frac{9 \times 10^{-12}}{0.06} \right)$
$U = 3 \times \left( \frac{81 \times 10^{-3}}{0.06} \right)$
$U = 3 \times 1.35 = 4.05 \ J$.
निकटतम मान लेने पर,हमें $4.1 \ J$ प्राप्त होता है।

(C) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए निकाय के लिए,आवेश $q_1 = Q$,$q_2 = -2q$,और $q_3 = -2q$ हैं। उनके बीच की दूरियाँ $r_{12} = l$,$r_{13} = l$,और $r_{23} = \sqrt{l^2 + l^2} = l\sqrt{2}$ हैं।
कुल स्थितिज ऊर्जा:
$U = \frac{k Q(-2q)}{l} + \frac{k Q(-2q)}{l} + \frac{k (-2q)(-2q)}{l\sqrt{2}} = 0$
$k$ से विभाजित करने और सरल करने पर:
$-\frac{2Qq}{l} - \frac{2Qq}{l} + \frac{4q^2}{l\sqrt{2}} = 0$
$-\frac{4Qq}{l} + \frac{4q^2}{l\sqrt{2}} = 0$
$\frac{4Qq}{l} = \frac{4q^2}{l\sqrt{2}}$
$Q = \frac{q}{\sqrt{2}}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ आवेशों के सभी युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग द्वारा दी जाती है: $U = \sum \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$.
'$a$' भुजा की लंबाई वाले समबाहु त्रिभुज के लिए जिसके शीर्षों पर '$q$','$q$',और '$Q$' आवेश हैं,कुल स्थितिज ऊर्जा है:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q \cdot q}{a} + \frac{q \cdot Q}{a} + \frac{Q \cdot q}{a} \right)$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 a} (q^2 + qQ + Qq) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 a} (q^2 + 2qQ)$
निकाय की स्थितिज ऊर्जा शून्य होने के लिए,हम $U = 0$ रखते हैं:
$q^2 + 2qQ = 0$
$q(q + 2Q) = 0$
चूंकि $q \neq 0$,इसलिए $q + 2Q = 0$,जिससे $Q = -\frac{q}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दो बिंदु आवेशों के निकाय की स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{k q_1 q_2}{r}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभिक दूरी $r_i = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{k q_1 q_2}{r_i}$ है।
जब $q_2$ को $q_1$ की ओर $2 \ cm$ खिसकाया जाता है,तो नई दूरी $r_f = 10 \ cm - 2 \ cm = 8 \ cm = 0.08 \ m$ हो जाती है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{k q_1 q_2}{r_f}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_f - U_i = k q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i} \right)$ है।
मान रखने पर:
$k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$,$q_1 = 6 \times 10^{-6} \ C$,$q_2 = 4 \times 10^{-6} \ C$.
$\Delta U = (9 \times 10^9) \times (6 \times 10^{-6}) \times (4 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{0.08} - \frac{1}{0.1} \right)$.
$\Delta U = 216 \times 10^{-3} \times \left( 12.5 - 10 \right)$.
$\Delta U = 0.216 \times 2.5 = 0.54 \ J$.

(A) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U$, आवेशों के सभी युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
$r$ भुजा लंबाई वाले समबाहु त्रिभुज के लिए, निकाय की स्थितिज ऊर्जा:
$U = \frac{k(q)(2q)}{r} + \frac{k(q)(Q)}{r} + \frac{k(2q)(Q)}{r} = 0$
$\frac{k}{r}$ से विभाजित करने पर:
$2q^2 + qQ + 2qQ = 0$
$2q^2 + 3qQ = 0$
$3qQ = -2q^2$
$Q = -\frac{2q}{3}$

(D) $n$ बिंदु आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \sum_{\text{सभी युग्म}} \frac{q_j q_k}{r_{jk}}$
यहाँ तीन आवेश $q_1 = q$,$q_2 = -2q$,और $q_3 = q$ क्रमशः $x = 0$,$x = r$,और $x = 2r$ पर स्थित हैं:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} \right]$
मान रखने पर:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{(q)(-2q)}{r} + \frac{(-2q)(q)}{r} + \frac{(q)(q)}{2r} \right]$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{2q^2}{r} - \frac{2q^2}{r} + \frac{q^2}{2r} \right]$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{4q^2}{r} + \frac{q^2}{2r} \right] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{-8q^2 + q^2}{2r} \right]$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( -\frac{7q^2}{2r} \right) = -\frac{7q^2}{8 \pi \varepsilon_0 r}$

(A) बिंदु आवेशों के एक निकाय की कुल स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$,आवेशों के सभी युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
दिए गए विन्यास के लिए,आवेश $+Q$,$+2q$ और $+q$ हैं। उनके बीच की दूरियाँ $a$,$a$ और $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ हैं।
कुल स्थितिज ऊर्जा:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q(2q)}{a} + \frac{Q(q)}{a} + \frac{(2q)(q)}{a\sqrt{2}} \right) = 0$
चूँकि $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \neq 0$,इसलिए:
$\frac{2Qq}{a} + \frac{Qq}{a} + \frac{2q^2}{a\sqrt{2}} = 0$
$\frac{3Qq}{a} + \frac{\sqrt{2}q^2}{a} = 0$
$3Qq + \sqrt{2}q^2 = 0$
$3Q = -\sqrt{2}q$
$Q = -\frac{\sqrt{2}}{3} q$

(D) बिंदु आवेशों के निकाय की कुल स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ सभी आवेशों के अलग-अलग युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं का योग होती है।
दिए गए विन्यास के लिए,युग्म $(Q, +q)$,$(+q, +q)$ और $(Q, +q)$ हैं,जिनकी दूरियाँ क्रमशः $l$,$l$ और $\sqrt{2}l$ हैं।
कुल स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$U = \frac{kQq}{l} + \frac{kq^2}{l} + \frac{kQq}{\sqrt{2}l} = 0$
$k/l$ से भाग देने पर ($k \neq 0$ और $l \neq 0$ मानते हुए):
$Qq + q^2 + \frac{Qq}{\sqrt{2}} = 0$
$Qq(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = -q^2$
$Qq(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}) = -q^2$
$Q = -q^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{q(\sqrt{2}+1)}$
$Q = -\frac{\sqrt{2}q}{\sqrt{2}+1}$

(C) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U$ आवेशों के सभी युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग द्वारा दी जाती है: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
चूंकि आवेश $-q, Q, -q$ को $x$ दूरी पर रखा गया है,युग्म इस प्रकार हैं: $(-q, Q)$ दूरी $x$ पर,$(Q, -q)$ दूरी $x$ पर,और $(-q, -q)$ दूरी $2x$ पर।
कुल स्थितिज ऊर्जा है:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{(-q)(Q)}{x} + \frac{(Q)(-q)}{x} + \frac{(-q)(-q)}{2x} \right) = 0$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 x}$ से विभाजित करने पर (मान लें $x \neq 0$):
$-qQ - qQ + \frac{q^2}{2} = 0$
$-2qQ + \frac{q^2}{2} = 0$
$2qQ = \frac{q^2}{2}$
दोनों पक्षों को $2q$ से विभाजित करने पर (मान लें $q \neq 0$):
$Q = \frac{q}{4}$
अतः,अनुपात $\frac{Q}{q} = \frac{1}{4}$ है।

(C) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ सभी आवेशों के अलग-अलग युग्मों की स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है: $U = \sum \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{i} q_{j}}{r_{ij}}$.
$10 \mu C = 10 \times 10^{-6} \ C$ के तीन समान आवेशों और $r = 10 \ cm = 0.1 \ m$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,तीन समान युग्म बनते हैं।
$U_{\text{system}} = 3 \times \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^{2}}{r} \right)$.
मान रखने पर:
$U_{\text{system}} = 3 \times (9 \times 10^{9}) \times \frac{(10 \times 10^{-6})^{2}}{0.1}$.
$U_{\text{system}} = 27 \times 10^{9} \times \frac{100 \times 10^{-12}}{0.1}$.
$U_{\text{system}} = 27 \times 10^{9} \times 1000 \times 10^{-12}$.
$U_{\text{system}} = 27 \times 10^{12} \times 10^{-12} = 27 \ J$.

(C) $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के निकाय की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{k q_1 q_2}{r}$ है।
यहाँ,आवेश $q_1 = +q$ और $q_2 = -q$ हैं। अतः,स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{k(q)(-q)}{r} = -\frac{k q^2}{r}$ होगी।
जैसे-जैसे धनात्मक आवेश ऋणात्मक आवेश के करीब आता है,उनके बीच की दूरी $r$ कम होती जाती है।
चूंकि $r$ हर (denominator) में है और स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक है,इसलिए जैसे-जैसे $r$ घटता है,ऋणात्मक मान का परिमाण बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि $U$ का मान और अधिक ऋणात्मक हो जाता है।
अतः,निकाय की स्थितिज ऊर्जा घट जाएगी।

(B) $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के निकाय की स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{k q_1 q_2}{r}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ कूलम्ब नियतांक है।
एक प्रोटॉन $(+e)$ और एक इलेक्ट्रॉन $(-e)$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{k(e)(-e)}{r} = -\frac{k e^2}{r}$ होती है।
जैसे-जैसे प्रोटॉन इलेक्ट्रॉन से दूर जाता है,उनके बीच की दूरी $r$ बढ़ती है।
चूँकि $r$ हर (denominator) में है और स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक है,इसलिए जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,$-\frac{k e^2}{r}$ का मान कम ऋणात्मक होता जाता है (अर्थात यह ऋणात्मक दिशा से शून्य की ओर बढ़ता है)।
अतः,निकाय की स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है।

(B) $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = \frac{k q_1 q_2}{r}$.
दिया गया है:
$q_1 = q_2 = -2 \mu C = -2 \times 10^{-6} \text{ C}$
$r = 1 \text{ m}$
$k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{(9 \times 10^9) \times (-2 \times 10^{-6}) \times (-2 \times 10^{-6})}{1}$
$U = 9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-12}$
$U = 36 \times 10^{-3} \text{ J}$
$U = 3.6 \times 10^{-2} \text{ J}$.

(A) $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के निकाय की विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$ द्वारा दी जाती है।
स्थिति $1$: यदि आवेश समान प्रकार के हैं (दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक),तो $q_1 q_2 > 0$ होता है। जैसे-जैसे दूरी $r$ बढ़ती है,$U$ का मान घटता है।
स्थिति $2$: यदि आवेश विपरीत प्रकार के हैं (एक धनात्मक और एक ऋणात्मक),तो $q_1 q_2 < 0$ होता है। जैसे-जैसे दूरी $r$ बढ़ती है,$|U|$ का परिमाण घटता है,लेकिन चूंकि $U$ ऋणात्मक है,इसलिए $U$ का मान बढ़ता है (यह शून्य के करीब पहुंचता है)।
अतः,आवेशों की प्रकृति के आधार पर स्थितिज ऊर्जा बढ़ या घट सकती है।

(A) तीन आवेशों $q_1, q_2, q_3$ वाले निकाय की स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$,जो $r_{12}, r_{23}, r_{31}$ दूरियों पर स्थित हैं,का सूत्र $U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_1q_2}{r_{12}} + \frac{q_2q_3}{r_{23}} + \frac{q_3q_1}{r_{31}}]$ है।
यहाँ,आवेश $q_1 = +q$,$q_2 = +q$ और $q_3 = Q$ हैं। प्रत्येक युग्म के बीच की दूरी $a$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$U = \frac{K}{a} [q \cdot q + q \cdot Q + Q \cdot q] = 0$
चूँकि $K/a \neq 0$,इसलिए कोष्ठक के अंदर का पद शून्य होना चाहिए:
$q^2 + 2qQ = 0$
$2qQ = -q^2$
$Q = -\frac{q^2}{2q} = -\frac{q}{2}$

(D) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U$ आवेशों के सभी युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है:
$U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_3 q_1}{r_{31}} \right)$
यहाँ $q_1 = 3 \times 10^{-9} \text{ C}$,$q_2 = 6 \times 10^{-9} \text{ C}$,$q_3 = 9 \times 10^{-9} \text{ C}$ और $r = 0.1 \text{ m}$ है।
$U = \frac{9 \times 10^9}{0.1} \left( (3 \times 6) + (6 \times 9) + (9 \times 3) \right) \times 10^{-18} \text{ J}$
$U = 9 \times 10^{11} \times (18 + 54 + 27) \times 10^{-18} \text{ J}$
$U = 9 \times 10^{11} \times 99 \times 10^{-18} \text{ J}$
$U = 891 \times 10^{-7} \text{ J} = 8.91 \times 10^{-6} \text{ J}$

(B) बाह्य विद्युत क्षेत्र $E$ में एक विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ और विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ के बीच का कोण है।
चित्र से,$A$ पर द्विध्रुव $+x$-दिशा $(\theta_A = 0^{\circ})$ के अनुदिश है और $B$ पर द्विध्रुव $+y$-दिशा $(\theta_B = 90^{\circ})$ के अनुदिश है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा: $U_i = (-pE \cos 0^{\circ}) + (-pE \cos 90^{\circ}) = -pE + 0 = -pE$.
दोनों द्विध्रुवों को दक्षिणावर्त दिशा में $90^{\circ}$ घुमाने के बाद:
$A$ पर द्विध्रुव (प्रारंभ में $0^{\circ}$ पर) $-90^{\circ}$ (या $270^{\circ}$) पर घूम जाता है।
$B$ पर द्विध्रुव (प्रारंभ में $90^{\circ}$ पर) $0^{\circ}$ पर घूम जाता है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा: $U_f = (-pE \cos(-90^{\circ})) + (-pE \cos 0^{\circ}) = 0 - pE = -pE$.
किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है: $W = U_f - U_i = (-pE) - (-pE) = 0$.

(D) दिया गया है: आवेश $q = 4 \times 10^{-8} \text{ C}$,दूरी $2a = 2 \times 10^{-2} \text{ cm} = 2 \times 10^{-4} \text{ m}$,और विद्युत क्षेत्र $E = 4 \times 10^8 \text{ NC}^{-1}$।
विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $p = q \times 2a = (4 \times 10^{-8} \text{ C}) \times (2 \times 10^{-4} \text{ m}) = 8 \times 10^{-12} \text{ Cm}$।
अधिकतम टॉर्क $\tau_{\max}$ तब होता है जब द्विध्रुव विद्युत क्षेत्र के लंबवत हो $(\theta = 90^{\circ})$:
$\tau_{\max} = pE \sin 90^{\circ} = pE = (8 \times 10^{-12} \text{ Cm}) \times (4 \times 10^8 \text{ NC}^{-1}) = 32 \times 10^{-4} \text{ Nm}$।
द्विध्रुव को $\theta_1 = 0^{\circ}$ से $\theta_2 = 180^{\circ}$ तक घुमाने में किया गया कार्य $W$:
$W = pE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2) = pE(\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ}) = pE(1 - (-1)) = 2pE$।
$W = 2 \times (8 \times 10^{-12} \text{ Cm}) \times (4 \times 10^8 \text{ NC}^{-1}) = 64 \times 10^{-4} \text{ J}$।
अतः,अधिकतम टॉर्क $32 \times 10^{-4} \text{ Nm}$ है और किया गया कार्य $64 \times 10^{-4} \text{ J}$ है।

(C) निकाय की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [\frac{(-q)(q)}{a} + \frac{(q)(-q)}{a} + \frac{(-q)(-q)}{2a}] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [-\frac{q^2}{a} - \frac{q^2}{a} + \frac{q^2}{2a}] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [-\frac{3q^2}{2a}] = -\frac{3q^2}{8 \pi \varepsilon_0 a}$ द्वारा दी जाती है।
केंद्रीय $+q$ आवेश को एक $-q$ आवेश के साथ बदलने के बाद,नई व्यवस्था $-q, -q, +q$ है,जिसमें निकटवर्ती आवेशों के बीच की दूरी $a$ और बाहरी आवेशों के बीच की दूरी $2a$ है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [\frac{(-q)(-q)}{a} + \frac{(-q)(q)}{a} + \frac{(-q)(q)}{2a}] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [\frac{q^2}{a} - \frac{q^2}{a} - \frac{q^2}{2a}] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [-\frac{q^2}{2a}] = -\frac{q^2}{8 \pi \varepsilon_0 a}$ है।
आवश्यक ऊर्जा $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{q^2}{8 \pi \varepsilon_0 a} - (-\frac{3q^2}{8 \pi \varepsilon_0 a}) = \frac{2q^2}{8 \pi \varepsilon_0 a} = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a}$ है।

(B) दिया गया है:
$q_1 = 5 \text{ nC} = 5 \times 10^{-9} \text{ C}$
$q_2 = -2 \text{ nC} = -2 \times 10^{-9} \text{ C}$
आवेशों के बीच की दूरी $r = (23 - 5) \text{ cm} = 18 \text{ cm} = 18 \times 10^{-2} \text{ m}$ है।
दो बिंदु आवेशों के निकाय की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ इस प्रकार दी जाती है:
$U = \frac{k q_1 q_2}{r}$
मान रखने पर:
$U = \frac{(9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2) \times (5 \times 10^{-9} \text{ C}) \times (-2 \times 10^{-9} \text{ C})}{18 \times 10^{-2} \text{ m}}$
$U = \frac{9 \times 5 \times (-2) \times 10^{9-9-9}}{18 \times 10^{-2}} \text{ J}$
$U = \frac{-90 \times 10^{-9}}{18 \times 10^{-2}} \text{ J}$
$U = -5 \times 10^{-7} \text{ J}$

(C) दिया गया है:
स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = 1.8 \mu \text{ J} = 1.8 \times 10^{-6} \text{ J}$
दूरी $r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$
आवेश $Q_1 = 4 \text{ nC} = 4 \times 10^{-9} \text{ C}$
कूलम्ब नियतांक $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$
दो आवेशों के निकाय के लिए स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा का सूत्र:
$U = \frac{k Q_1 Q}{r}$
मान रखने पर:
$1.8 \times 10^{-6} = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-9} \times Q}{0.1}$
$1.8 \times 10^{-6} = \frac{36 \times Q}{0.1}$
$1.8 \times 10^{-6} = 360 \times Q$
$Q = \frac{1.8 \times 10^{-6}}{360}$
$Q = 0.005 \times 10^{-6} \text{ C}$
$Q = 5 \times 10^{-9} \text{ C} = 5 \text{ nC}$

(C) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = k \sum \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$ है।
$r_1 = 1 \text{ m}$ भुजा वाले त्रिभुज के लिए प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i$:
$U_i = k \left[ \frac{1 \times 2}{1} + \frac{2 \times 3}{1} + \frac{3 \times 1}{1} \right] = k [2 + 6 + 3] = 11k$.
$r_2 = 0.5 \text{ m}$ भुजा वाले त्रिभुज के लिए अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f$:
$U_f = k \left[ \frac{1 \times 2}{0.5} + \frac{2 \times 3}{0.5} + \frac{3 \times 1}{0.5} \right] = k [4 + 12 + 6] = 22k$.
किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = U_f - U_i = 22k - 11k = 11k$.
यहाँ $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$ रखने पर,
$W = 11 \times 9 \times 10^9 = 99 \times 10^9 \text{ J}$.

(A) स्थिर विद्युत क्षेत्र में किसी आवेश को स्थानांतरित करने के लिए किया गया कार्य $W$,स्थिर विद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ के बराबर होता है।
$W = U_f - U_i = k q_1 q_2 (\frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i})$
दिया गया है: $q_1 = 10 \times 10^{-6} \ C$,$q_2 = 12 \times 10^{-6} \ C$,$k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$.
प्रारंभिक दूरी $r_i = 10 \ cm = 0.1 \ m$.
अंतिम दूरी $r_f = 10 \ cm - 6 \ cm = 4 \ cm = 0.04 \ m$.
$W = (9 \times 10^9) \times (10 \times 10^{-6}) \times (12 \times 10^{-6}) \times (\frac{1}{0.04} - \frac{1}{0.1})$
$W = 1.08 \times (25 - 10) = 1.08 \times 15 = 16.2 \ J$.
नोट: गणना किया गया परिणाम $16.2 \ J$ है। दिए गए विकल्पों में से कोई भी इस परिणाम से मेल नहीं खाता है।

(C) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ आवेशों के सभी युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
दिए गए निकाय के लिए,जिसमें $-q$,$+q$,और $Q$ आवेश एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों पर स्थित हैं,जिसकी भुजाएँ $x, x$ और कर्ण $\sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2}x$ है,कुल स्थितिज ऊर्जा:
$U = k \left[ \frac{(-q)(q)}{x} + \frac{(q)(Q)}{x} + \frac{(-q)(Q)}{\sqrt{2}x} \right]$
निकाय की स्थितिज ऊर्जा शून्य होने के लिए,$U = 0$ रखने पर:
$0 = k \left[ -\frac{q^2}{x} + \frac{qQ}{x} - \frac{qQ}{\sqrt{2}x} \right]$
$\frac{kq}{x}$ से भाग देने पर:
$0 = -q + Q - \frac{Q}{\sqrt{2}}$
$q = Q \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$Q = \frac{\sqrt{2} q}{\sqrt{2} - 1}$
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $\frac{2q}{2-\sqrt{2}} = \frac{2q(2+\sqrt{2})}{4-2} = (2+\sqrt{2})q$. अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) माना आवेश $q_1 = 4 \mu C$ ($A$ पर),$q_2 = 3 \mu C$ ($B$ पर),और $q_3 = 5 \mu C$ ($C$ पर) हैं।
प्रारंभिक समकोण त्रिभुज $ABC$ में,भुजाएँ $AB = 4 \text{ cm}$ और $BC = 3 \text{ cm}$ हैं।
कर्ण $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \text{ cm} = 5 \times 10^{-2} \text{ m}$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i$ इस प्रकार है:
$U_i = k \left( \frac{q_1 q_2}{AB} + \frac{q_2 q_3}{BC} + \frac{q_1 q_3}{AC} \right)$
$U_i = 9 \times 10^9 \left( \frac{4 \times 3 \times 10^{-12}}{4 \times 10^{-2}} + \frac{3 \times 5 \times 10^{-12}}{3 \times 10^{-2}} + \frac{4 \times 5 \times 10^{-12}}{5 \times 10^{-2}} \right)$
$U_i = 9 \times 10^9 \times 10^{-10} (3 + 5 + 4) = 9 \times 10^{-1} \times 12 = 10.8 \text{ J}$।
अंतिम विन्यास में,आवेश $a = 3 \text{ cm} = 3 \times 10^{-2} \text{ m}$ भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का निर्माण करते हैं।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f$ है:
$U_f = \frac{k}{a} (q_1 q_2 + q_2 q_3 + q_1 q_3)$
$U_f = \frac{9 \times 10^9}{3 \times 10^{-2}} (4 \times 3 + 3 \times 5 + 4 \times 5) \times 10^{-12}$
$U_f = 3 \times 10^{11} \times (12 + 15 + 20) \times 10^{-12} = 3 \times 10^{-1} \times 47 = 14.1 \text{ J}$।
किया गया कार्य $W = U_f - U_i = 14.1 \text{ J} - 10.8 \text{ J} = 3.3 \text{ J}$।

(C) $r = 0.5 \ m$ और $q = 2 \times 10^{-3} \ C$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर स्थित तीन आवेशों के निकाय की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा:
$U = 3 \times \frac{k q^2}{r} = 3 \times \frac{9 \times 10^9 \times (2 \times 10^{-3})^2}{0.5} = 3 \times \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6}}{0.5} = 216 \times 10^3 \ J$
जब एक आवेश को अन्य दो आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के मध्य बिंदु पर ले जाया जाता है,तो नई दूरियाँ इस प्रकार हैं: दो आवेश स्थानांतरित आवेश से $0.25 \ m$ की दूरी पर हैं,और दो स्थिर आवेश एक-दूसरे से $0.5 \ m$ की दूरी पर हैं।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U'$:
$U' = \frac{k q^2}{0.25} + \frac{k q^2}{0.25} + \frac{k q^2}{0.5} = k q^2 \left( 4 + 4 + 2 \right) = 10 k q^2 = 10 \times 9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6} = 360 \times 10^3 \ J$
किया गया कार्य (आवश्यक ऊर्जा) $\Delta U = U' - U = (360 - 216) \times 10^3 = 144 \times 10^3 \ J$
दिया गया पावर $P = 2 \ kW = 2000 \ W$ के लिए,लगा समय $t$:
$t = \frac{\Delta U}{P} = \frac{144 \times 10^3}{2 \times 10^3} = 72 \ s$

(A) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए निकाय के लिए,आवेश $Q, +q, +q$ हैं और उनके बीच की दूरियाँ $a, a$ और $\sqrt{2}a$ हैं।
कुल स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{Q \cdot q}{a} + \frac{Q \cdot q}{a} + \frac{q \cdot q}{\sqrt{2}a} \right]$ है।
यह दिया गया है कि कुल स्थितिज ऊर्जा $U = 0$ है,इसलिए:
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{2Qq}{a} + \frac{q^2}{\sqrt{2}a} \right] = 0$.
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0 a}$ से विभाजित करने पर,हमें $2Qq + \frac{q^2}{\sqrt{2}} = 0$ प्राप्त होता है।
$2Qq = -\frac{q^2}{\sqrt{2}}$.
$Q = -\frac{q}{2\sqrt{2}}$.

(D) विद्युत द्विध्रुव के कारण किसी बिंदु $(r, \theta)$ पर विद्युत विभव $V = \frac{p \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $A(a, 0, 0)$ द्विध्रुव के निरक्षीय तल पर स्थित है (जो $z$-अक्ष पर है),इसलिए कोण $\theta_A = 90^{\circ}$ है। अतः,$A$ पर विभव $V_A = \frac{p \cos 90^{\circ}}{4 \pi \varepsilon_0 a^2} = 0$ है।
बिंदु $B(0, 0, a)$ द्विध्रुव की अक्षीय रेखा पर स्थित है,इसलिए कोण $\theta_B = 0^{\circ}$ है। अतः,$B$ पर विभव $V_B = \frac{p \cos 0^{\circ}}{4 \pi \varepsilon_0 a^2} = \frac{p}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}$ है।
$A$ से $B$ तक $q$ आवेश को ले जाने के लिए किया गया कार्य $W = q(V_B - V_A)$ है।
मान रखने पर,$W = q \left( \frac{p}{4 \pi \varepsilon_0 a^2} - 0 \right) = \frac{p q}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}$ प्राप्त होता है।