Effect of Dielectric Inside Capacitor Questions in Gujarati

(D) કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે $d/2$ જાડાઈ ધરાવતી બે ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ પ્લેટો વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે આ ગોઠવણી શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર તરીકે વર્તે છે,જેમાં દરેકનું પ્લેટ અંતર $d/2$ છે.
પ્રથમ સ્લેબનું કેપેસીટન્સ $C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_1 \varepsilon_0 A}{d} = 2 K_1 C_0$ છે.
બીજી સ્લેબનું કેપેસીટન્સ $C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_2 \varepsilon_0 A}{d} = 2 K_2 C_0$ છે.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{2 K_1 C_0} + \frac{1}{2 K_2 C_0} = \frac{1}{2 C_0} \left( \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} \right) = \frac{1}{2 C_0} \left( \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2} \right)$.
તેથી,$C_{eq} = 2 C_0 \left( \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2} \right)$.

(B) કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
કેપેસીટર સ્ત્રોતથી અલગ હોવાથી,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
જ્યારે $K$ અચળાંક ધરાવતું ડાયલેક્ટ્રિક દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
નવી સંગ્રહિત ઉર્જા $U_f = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2KC} = \frac{U_i}{K}$ છે.
આપેલ છે કે ઉર્જામાં $25 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી અંતિમ ઉર્જા $U_f = U_i - 0.25 U_i = 0.75 U_i = \frac{3}{4} U_i$ છે.
$U_f$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{U_i}{K} = \frac{3}{4} U_i$.
$K$ માટે ઉકેલતા,આપણને $K = 4/3$ મળે છે.

(A) $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબવાળા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$.
આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 0.4 \pi \,m^2$
અંતર $d = 0.5 \,mm = 0.5 \times 10^{-3} \,m$
સ્લેબની જાડાઈ $t = 0.5 \,mm = d$
ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = 4.5$
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\epsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \,F/m$.
કારણ કે સ્લેબ પ્લેટો વચ્ચેની સંપૂર્ણ જગ્યા ભરે છે $(t = d)$, સૂત્ર $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ બને છે.
કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{4.5 \times (1 / (36 \pi \times 10^9)) \times 0.4 \pi}{0.5 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{4.5 \times 0.4 \pi}{36 \pi \times 10^9 \times 0.5 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{1.8}{18 \times 10^6} = 0.1 \times 10^{-6} \,F = 100 \,nF$.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈની ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d' - t(1 - 1/K)}$ થાય છે,જ્યાં $d'$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું નવું અંતર છે.
આપેલ છે કે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહે છે અને ચાર્જ $Q$ અચળ છે (કારણ કે બેટરી દૂર કરવામાં આવી છે),તેથી કેપેસિટન્સ સમાન રહેવું જોઈએ,એટલે કે $C = C'$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{\varepsilon_0 A}{(d + 1.6 \ mm) - 2 \ mm(1 - 1/K)}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $d = d + 1.6 - 2(1 - 1/K)$.
$0 = 1.6 - 2 + 2/K$.
$0 = -0.4 + 2/K$.
$0.4 = 2/K$.
$K = 2 / 0.4 = 5$.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C_1 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર અડધું કરવામાં આવે $(d' = d/2)$ અને $K = 10$ સાપેક્ષ પરમિટિવિટી ધરાવતું ડાયલેક્ટ્રિક દાખલ કરવામાં આવે,ત્યારે અંતિમ કેપેસીટન્સ $C_2 = \frac{K \varepsilon_0 A}{d'}$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $C_2 = \frac{10 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{20 \varepsilon_0 A}{d}$.
તેથી,અંતિમ અને પ્રારંભિક કેપેસીટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{C_2}{C_1} = \frac{20 \varepsilon_0 A / d}{\varepsilon_0 A / d} = 20$ થાય છે.

(C) જ્યારે કેપેસિટરને $x$ ઊંડાઈ સુધી ઓઇલમાં ડૂબાડવામાં આવે છે, ત્યારે તેનું કેપેસિટન્સ $C$ એ હવાવાળા ભાગ અને ઓઇલવાળા ભાગના કેપેસિટન્સના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$C = \frac{\epsilon_0 (A - Ax)}{d} + \frac{K \epsilon_0 Ax}{d} = \frac{\epsilon_0 A}{d} [1 + (K - 1)x/L]$
અહીં બાજુ $L = 1 \,m$ છે, તેથી $A = L^2 = 1 \,m^2$. ઊંડાઈ $x$ સમય $t$ સાથે $x = vt$ મુજબ વધે છે, જ્યાં $v = 0.001 \,m/s$.
$C(t) = \frac{\epsilon_0}{d} [1 + (K - 1)vt]$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dC}{dt} = \frac{\epsilon_0}{d} (K - 1) v$
કિંમતો મૂકતા: $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \,F/m$, $d = 0.01 \,m$, $K = 11$, $v = 0.001 \,m/s$:
$\frac{dC}{dt} = \frac{8.85 \times 10^{-12}}{0.01} \times (11 - 1) \times 0.001 = 8.85 \times 10^{-12} \times 10 \times 0.1 = 8.85 \times 10^{-12} \,F/s$
બેટરીમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I = V \frac{dC}{dt}$:
$I = 500 \times 8.85 \times 10^{-12} = 4.425 \times 10^{-9} \,A$.

(B) આપેલ છે: માઈકાની જાડાઈ $d_1 = 1 \times 10^{-3} \,m$, ફાઈબરની જાડાઈ $d_2 = 0.5 \times 10^{-3} \,m$. ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K_1 = 8$ (માઈકા) અને $K_2 = 2.5$ (ફાઈબર). ફાઈબરનું બ્રેકડાઉન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = 6.4 \times 10^6 \,V/m$.
કેપેસિટરની પ્લેટો શ્રેણીમાં હોવાથી, વિદ્યુત સ્થાનાંતર ક્ષેત્ર $D = \epsilon_0 K E$ સમાન રહે છે, તેથી $K_1 E_1 = K_2 E_2$.
આમ, $E_1 = E_2 (K_2 / K_1) = (6.4 \times 10^6) \times (2.5 / 8) = 2.0 \times 10^6 \,V/m$.
મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_{max} = E_1 d_1 + E_2 d_2$.
$V_{max} = (2.0 \times 10^6 \times 1 \times 10^{-3}) + (6.4 \times 10^6 \times 0.5 \times 10^{-3})$.
$V_{max} = 2000 + 3200 = 5200 \,V$.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{K A \varepsilon_0}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,હવા માટે $K_1 = 1$ અને $d_1 = d$ છે,તેથી $C_1 = \frac{A \varepsilon_0}{d} = 12 \mu F$.
જ્યારે અંતર બમણું કરવામાં આવે છે,ત્યારે $d_2 = 2d$ અને ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K_2 = 4$ થાય છે.
નવું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K_2 A \varepsilon_0}{d_2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $C_2 = \frac{4 A \varepsilon_0}{2d} = 2 \left( \frac{A \varepsilon_0}{d} \right) = 2 \times C_1$ મળે છે.
તેથી,$C_2 = 2 \times 12 \mu F = 24 \mu F$.

(B) પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = 60 \ \mu F$. પ્રારંભિક પોટેન્શિયલ $V = 250 \ V$. વીજભાર $q = CV = 60 \ \mu F \times 250 \ V = 15000 \ \mu C$.
જ્યારે $t = 3 \ mm$ જાડાઈ અને $K = 5$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી સ્લેબને $d = 6 \ mm$ અંતરે રહેલી પ્લેટો વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$,તેથી $C' = C \left[ \frac{d}{d - t + \frac{t}{K}} \right] = 60 \ \mu F \left[ \frac{6}{6 - 3 + \frac{3}{5}} \right] = 60 \ \mu F \left[ \frac{6}{3.6} \right] = 100 \ \mu F$.
ચાર્જિંગ સ્ત્રોત દૂર કરવામાં આવ્યો હોવાથી,વીજભાર $q$ અચળ રહે છે. તેથી,$q = C'V' \Rightarrow 15000 \ \mu C = 100 \ \mu F \times V' \Rightarrow V' = 150 \ V$.
પોટેન્શિયલ તફાવતમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V - V' = 250 \ V - 150 \ V = 100 \ V$ છે.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{Q}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
જ્યારે કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું દ્રવ્ય મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે (જો કેપેસિટર અલગ કરેલું હોય).
નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V^{\prime}$ એ મૂળ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ સાથે $V^{\prime} = \frac{V}{K}$ સંબંધ ધરાવે છે.
આપેલ છે કે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત મૂળ મૂલ્યના $1/8$ જેટલો ઘટે છે,તેથી $V^{\prime} = \frac{V}{8}$.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{V}{K} = \frac{V}{8}$ મળે છે.
તેથી,ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = 8$ થાય છે.

(D) મુખ્ય વિચાર: સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \varepsilon_r \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\varepsilon_r$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે,$A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે: $d_1 = x$,$\varepsilon_{r1} = 3k$,$d_2 = 2x$,અને $\varepsilon_{r2} = 5k$.
બે ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્તરો શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર $C_1$ અને $C_2$ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$C_1 = \frac{(3k) \varepsilon_0 A}{x}$ અને $C_2 = \frac{(5k) \varepsilon_0 A}{2x}$.
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પર સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન હોય છે.
દરેક સ્તર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{Q}{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{Qx}{3k \varepsilon_0 A}$ અને $V_2 = \frac{Q}{C_2} = \frac{Q(2x)}{5k \varepsilon_0 A}$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતોનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{Qx / (3k \varepsilon_0 A)}{2Qx / (5k \varepsilon_0 A)} = \frac{1/3}{2/5} = \frac{1}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{6}$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) ધારો કે પ્લેટો વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d$ છે અને પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ છે। પ્રારંભિક વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{\sigma d}{\varepsilon_0} = 100 \,V$ છે।
જ્યારે $t = 2 \,mm$ જાડાઈ અને $k$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું ઇન્સ્યુલેટર મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V' = E_{insulator} \cdot t + E_{air} \cdot (d - t) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 k} \cdot 2 + \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (d - 2) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \left( \frac{2}{k} + d - 2 \right)$.
સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ જાળવી રાખવા માટે, અંતર $\Delta d = 1.6 \,mm$ જેટલું વધારવામાં આવે છે। નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 k} \cdot 2 + \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (d + 1.6 - 2) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \left( \frac{2}{k} + d - 0.4 \right)$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $100 \,V$ રહેતો હોવાથી, આપણે પ્રારંભિક અને અંતિમ સમીકરણોને સરખાવીએ:
$\frac{\sigma d}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \left( \frac{2}{k} + d - 0.4 \right)$.
$d = \frac{2}{k} + d - 0.4$.
$0.4 = \frac{2}{k}$.
$k = \frac{2}{0.4} = 5$.

(C) ધારો કે ડાયલેક્ટ્રિક વગર દરેક પ્લેટની જોડીનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
પ્લેટો દ્વારા ત્રણ કેપેસીટર બને છે: $A$ અને $B$ વચ્ચે $C_1$,$B$ અને $C$ વચ્ચે $C_2$,અને $C$ અને $D$ વચ્ચે $C_3$.
$C_1 = C$ ($A$ અને $B$ વચ્ચે હવા છે).
$C_2 = K C = 2C$ ($B$ અને $C$ વચ્ચે ડાયલેક્ટ્રિક $K=2$ છે).
$C_3 = K C = 2C$ ($C$ અને $D$ વચ્ચે ડાયલેક્ટ્રિક $K=2$ છે).
પ્લેટો $B$ અને $D$ ને એકબીજા સાથે જોડવામાં આવી છે. તેથી,$C_2$ અને $C_3$ એ $B$ અને $C$ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે. આ સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{23} = C_2 + C_3 = 2C + 2C = 4C$ થાય.
હવે,$C_1$ એ $A$ અને $C$ બિંદુઓ વચ્ચે $C_{23}$ ના સંયોજન સાથે શ્રેણીમાં છે. તેથી,$A$ અને $C$ વચ્ચેનું અસરકારક કેપેસીટન્સ $C_1$ અને $C_{23}$ નું શ્રેણી જોડાણ છે.
$C_{eq} = \frac{C_1 \times C_{23}}{C_1 + C_{23}} = \frac{C \times 4C}{C + 4C} = \frac{4C^2}{5C} = \frac{4}{5} C$.

(A) હવા સાથેનું પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C = 80 \times 10^{-6} \,F$ છે.
જ્યારે $k = 20$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતો સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે, ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C' = kC = 20 \times 80 \times 10^{-6} = 1600 \times 10^{-6} \,F$ થાય છે.
કેપેસિટરને $V = 30 \,V$ ની બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે, તેથી કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q' = C'V = (1600 \times 10^{-6}) \times 30 = 48000 \times 10^{-6} \,C = 48 \times 10^{-3} \,C$ થાય છે.
જ્યારે ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે કેપેસીટન્સ પાછું $C = 80 \times 10^{-6} \,F$ થઈ જાય છે. કેપેસિટર પરનો નવો વિદ્યુતભાર $q = CV = (80 \times 10^{-6}) \times 30 = 2400 \times 10^{-6} \,C = 2.4 \times 10^{-3} \,C$ થાય છે.
વાયરમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતભાર $\Delta q = q' - q = 48 \times 10^{-3} - 2.4 \times 10^{-3} = 45.6 \times 10^{-3} \,C$ છે.

(D) હવા સાથેનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ,$C_{\text{air}} = 80 \times 10^{-6} \ F = 80 \ \mu F$.
ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ સાથેનું કેપેસિટન્સ,$C_d = K \times C_{\text{air}} = 20 \times 80 \ \mu F = 1600 \ \mu F$.
જ્યારે $30 \ V$ ની બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ડાયલેક્ટ્રિક સાથે સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $q_d = C_d \times V = 1600 \times 10^{-6} \times 30 = 48000 \ \mu C = 48 \times 10^{-3} \ C$ છે.
જ્યારે ડાયલેક્ટ્રિક દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C_{\text{air}} = 80 \ \mu F$ થાય છે.
નવો સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $q_{\text{air}} = C_{\text{air}} \times V = 80 \times 10^{-6} \times 30 = 2400 \ \mu C = 2.4 \times 10^{-3} \ C$ છે.
વાયર દ્વારા વહેતો વિદ્યુતભાર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ વિદ્યુતભાર વચ્ચેનો તફાવત છે: $\Delta q = q_d - q_{\text{air}} = 48 \times 10^{-3} \ C - 2.4 \times 10^{-3} \ C = 45.6 \times 10^{-3} \ C$.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = 0.025 \mu F$ છે.
જ્યારે $t = d/3$ જાડાઈની ધાતુની પ્લેટ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t} = \frac{\varepsilon_0 A}{d - d/3} = \frac{3}{2} \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{3}{2} C$ થાય છે.
કેપેસિટર $100 \ V$ ના સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ હોવાથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 100 \ V$ અચળ રહે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
ધાતુની પ્લેટ સાથે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} C' V^2 = \frac{1}{2} (\frac{3}{2} C) V^2 = \frac{3}{4} C V^2$ છે.
પ્લેટને દૂર કરવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = U_i - U_f$ છે.
$W = \frac{1}{2} C V^2 - \frac{3}{4} C V^2 = -\frac{1}{4} C V^2$.
બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યનું મૂલ્ય $|W| = \frac{1}{4} C V^2$ છે.
$|W| = \frac{1}{4} \times (0.025 \times 10^{-6} \ F) \times (100 \ V)^2 = 62.5 \mu J$.

(D) કિસ્સો $1$: બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે. વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
$Q = Q_0 = C_0 V_0$
નવું અંતર $d' = 2d$. નવું કેપેસીટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d'} = \frac{\epsilon_0 A}{2d} = \frac{C_0}{2}$ થાય.
સંગ્રહિત ઉર્જા $E_1 = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(C_0 V_0)^2}{2(C_0/2)} = C_0 V_0^2$ મળે.
કિસ્સો $2$: બેટરી જોડેલી રહે છે. સ્થિતિમાન $V$ અચળ રહે છે.
$V = V_0$
નવું કેપેસીટન્સ $C' = \frac{C_0}{2}$ થાય.
સંગ્રહિત ઉર્જા $E_2 = \frac{1}{2} C' V^2 = \frac{1}{2} \times (\frac{C_0}{2}) \times V_0^2 = \frac{1}{4} C_0 V_0^2$ મળે.
ગુણોત્તર: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{\frac{1}{4} C_0 V_0^2}{C_0 V_0^2} = 0.25$.

(C) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે અને બેટરીનો વોલ્ટેજ $V$ છે.
શરૂઆતમાં,જ્યારે સ્વીચ $S$ બંધ હોય છે,ત્યારે બંને કેપેસિટર્સ બેટરી $V$ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય છે.
શરૂઆતમાં સંગ્રહિત કુલ સ્થિત વિદ્યુત ઉર્જા $U_1 = \frac{1}{2} CV^2 + \frac{1}{2} CV^2 = CV^2$ છે.
હવે,સ્વીચ $S$ ખોલવામાં આવે છે. કેપેસિટર $A$ બેટરી સાથે જોડાયેલું રહે છે,તેથી તેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ રહે છે. કેપેસિટર $B$ અલગ થઈ જાય છે,તેથી તેનો વિદ્યુતભાર $Q = CV$ અચળ રહે છે.
બંને કેપેસિટર્સમાં $K = 3$ અચળાંક ધરાવતું ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કર્યા પછી:
કેપેસિટર $A$ માટે,નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC = 3C$ છે. સંગ્રહિત ઉર્જા $U_A = \frac{1}{2} C' V^2 = \frac{1}{2} (3C) V^2 = \frac{3}{2} CV^2$ છે.
કેપેસિટર $B$ માટે,નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC = 3C$ છે. વિદ્યુતભાર $Q = CV$ અચળ હોવાથી,સંગ્રહિત ઉર્જા $U_B = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(CV)^2}{2(3C)} = \frac{CV^2}{6}$ છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કર્યા પછી કુલ ઉર્જા $U_2 = U_A + U_B = \frac{3}{2} CV^2 + \frac{1}{6} CV^2 = \left( \frac{9+1}{6} \right) CV^2 = \frac{10}{6} CV^2 = \frac{5}{3} CV^2$ છે.
પહેલા અને પછીની કુલ સ્થિત વિદ્યુત ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U_1}{U_2} = \frac{CV^2}{\frac{5}{3} CV^2} = \frac{3}{5}$ છે.

(A) જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ હોય,ત્યારે બંને કેપેસિટર $V$ વોલ્ટેજની બેટરી સાથે સમાંતરમાં હોય છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + C = 2C$ છે. સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U_1 = \frac{1}{2} C_{eq} V^2 = \frac{1}{2} (2C) V^2 = CV^2$ છે.
જ્યારે સ્વિચ $S$ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે બેટરી દૂર થાય છે. દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = CV$ રહે છે. હવે,બંને કેપેસિટરને $K = 3$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા ડાયઇલેક્ટ્રિક વડે ભરવામાં આવે છે. દરેક કેપેસિટરનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC = 3C$ થાય છે.
તંત્રની કુલ ઉર્જા $U_2 = \frac{Q^2}{2C'} + \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{C'} = \frac{(CV)^2}{3C} = \frac{C^2 V^2}{3C} = \frac{CV^2}{3}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{U_1}{U_2} = \frac{CV^2}{CV^2 / 3} = 3: 1$ થાય છે.

(A) વિદ્યુત સ્થાનાંતર સદિશ $D$ ને $D = \epsilon E$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\epsilon$ એ માધ્યમની પરમિટિવિટી છે અને $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે.
આપેલ છે કે ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = 3$,તેથી માધ્યમની પરમિટિવિટી $\epsilon = K \epsilon_0$ છે,જ્યાં $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \ F m^{-1}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 1.5 \times 10^{-9} \pi \ N C^{-1}$ છે.
સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$D = K \epsilon_0 E$
$D = 3 \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (1.5 \times 10^{-9} \pi)$
ગણતરીની સરળતા માટે $\epsilon_0 \approx \frac{1}{36\pi} \times 10^{-9} \ F m^{-1}$ લેતા:
$D = 3 \times (\frac{1}{36\pi} \times 10^{-9}) \times (1.5 \times 10^{-9} \pi)$
$D = 3 \times \frac{1}{36} \times 1.5 \times 10^{-18}$
$D = \frac{4.5}{36} \times 10^{-18} = 0.125 \times 10^{-18} \ C m^{-2} = 125 \times 10^{-21} \ C m^{-2}$.

(A) હવામાં $r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું પ્રારંભિક બળ $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} = 98 \ N$ છે.
જ્યારે ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અસરકારક અંતર $r_{eff}$ બદલાય છે. અસરકારક અંતર $r_{eff} = (r - t_1 - t_2) + t_1\sqrt{K_1} + t_2\sqrt{K_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$r = 9 \ cm$,$t_1 = 6 \ cm$,$K_1 = 4$,$t_2 = 3 \ cm$,$K_2 = 9$.
$r_{eff} = (9 - 6 - 3) + 6\sqrt{4} + 3\sqrt{9} = 0 + 6(2) + 3(3) = 12 + 9 = 21 \ cm$.
નવું બળ $F'$ એ $F' = F \left( \frac{r}{r_{eff}} \right)^2$ દ્વારા મળે છે.
$F' = 98 \times \left( \frac{9}{21} \right)^2 = 98 \times \left( \frac{3}{7} \right)^2 = 98 \times \frac{9}{49} = 2 \times 9 = 18 \ N$.

(D) $r$ અંતરે રહેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચે $t$ જાડાઈની ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ મૂકવામાં આવે ત્યારે અસરકારક બળ $F$ નીચે મુજબ મળે છે:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(r - t + t \sqrt{K})^2}$
કિસ્સો $1$: $t = r/2$ અને $K = 4$.
$F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(r - r/2 + (r/2) \sqrt{4})^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(r/2 + r)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(3r/2)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{4 q_1 q_2}{9 r^2} = \frac{q_1 q_2}{9 \pi \varepsilon_0 r^2}$.
કિસ્સો $2$: $t = r/3$ અને $K = 9$.
$F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(r - r/3 + (r/3) \sqrt{9})^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(2r/3 + r)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(5r/3)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{9 q_1 q_2}{25 r^2}$.
ગુણોત્તર $F_1/F_2$:
$\frac{F_1}{F_2} = \left( \frac{q_1 q_2}{9 \pi \varepsilon_0 r^2} \right) / \left( \frac{9 q_1 q_2}{100 \pi \varepsilon_0 r^2} \right) = \frac{1}{9} \times \frac{100}{9} = \frac{100}{81}$.

(B) ચોરસ પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ,$A = L^2$ છે.
ઉપરથી $x$ અંતરે $dx$ જાડાઈ ધરાવતા એક સૂક્ષ્મ કેપેસિટરનો વિચાર કરો. આ સૂક્ષ્મ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ નીચે મુજબ છે:
$dC = \frac{k \varepsilon_0 dA}{d} = \frac{k \varepsilon_0 (L \cdot dx)}{d}$
આવા તમામ સૂક્ષ્મ કેપેસિટરો સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_d$ એ આ તમામ સૂક્ષ્મ કેપેસીટન્સનો સરવાળો (સંકલન) થશે:
$C_d = \int_0^L \frac{\varepsilon_0 L}{d} \left[1 + \left(\frac{x}{L}\right)^\alpha\right] dx$
$C_d = \frac{\varepsilon_0 L}{d} \left[ x + \frac{x^{\alpha+1}}{L^\alpha (\alpha+1)} \right]_0^L$
$C_d = \frac{\varepsilon_0 L}{d} \left[ L + \frac{L^{\alpha+1}}{L^\alpha (\alpha+1)} \right] = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d} \left( 1 + \frac{1}{\alpha+1} \right) = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d} \left( \frac{\alpha+2}{\alpha+1} \right)$
હવાની હાજરીમાં કેપેસીટન્સ $C_a = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{C_d}{C_a} = \frac{7}{6}$ છે:
$\frac{\frac{\varepsilon_0 L^2}{d} \left( \frac{\alpha+2}{\alpha+1} \right)}{\frac{\varepsilon_0 L^2}{d}} = \frac{7}{6}$
$\frac{\alpha+2}{\alpha+1} = \frac{7}{6}$
$6(\alpha+2) = 7(\alpha+1)$
$6\alpha + 12 = 7\alpha + 7$
$\alpha = 5$

(B) $1$. પ્રારંભિક સ્થિતિ: કેપેસિટર પાસે $d/2$ જાડાઈ અને $K$ અચળાંક ધરાવતું ડાયલેક્ટ્રિક છે. કેપેસિટન્સ $C_i$ એ બે કેપેસિટરના શ્રેણી જોડાણ દ્વારા મળે છે: એક ડાયલેક્ટ્રિક સાથે $(C_1 = \frac{2K\epsilon_0 A}{d})$ અને એક હવા સાથે $(C_2 = \frac{2\epsilon_0 A}{d})$.
$C_i = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{\frac{2K\epsilon_0 A}{d} \cdot \frac{2\epsilon_0 A}{d}}{\frac{2\epsilon_0 A}{d}(K+1)} = \frac{2K\epsilon_0 A}{d(K+1)}$.
$2$. કેપેસિટર પરનો વીજભાર: $Q = C_i V = \frac{2K\epsilon_0 A V}{d(K+1)}$.
$3$. બેટરીને દૂર કર્યા પછી,વીજભાર $Q$ અચળ રહે છે.
$4$. અંતિમ સ્થિતિ: ડાયલેક્ટ્રિક દૂર કરવામાં આવે છે,તેથી કેપેસિટર હવા ભરેલું સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર બને છે જેનું કેપેસિટન્સ $C_f = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
$5$. અંતિમ સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_f = \frac{Q}{C_f} = \frac{2K\epsilon_0 A V}{d(K+1)} \cdot \frac{d}{\epsilon_0 A} = V \left( \frac{2K}{K+1} \right)$.

(C) $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ સાથેના સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$t = \frac{d}{2}$ અને $K = 4$:
$C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{d}{2} + \frac{d/2}{4}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{d}{2} + \frac{d}{8}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{5d}{8}} = \frac{8 \epsilon_0 A}{5d}$.
બીજા કિસ્સા માટે,$t = \frac{d}{3}$ અને $K = 4$:
$C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{d}{3} + \frac{d/3}{4}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{2d}{3} + \frac{d}{12}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{9d}{12}} = \frac{12 \epsilon_0 A}{9d} = \frac{4 \epsilon_0 A}{3d}$.
ગુણોત્તર $C_1 : C_2$ લેતા:
$\frac{C_1}{C_2} = \frac{8 \epsilon_0 A}{5d} \times \frac{3d}{4 \epsilon_0 A} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5}$.
આમ,$C_1 : C_2 = 6: 5$.

(C) પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{\varepsilon_0 \times 10 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-3}} = \frac{\varepsilon_0}{3} \text{ F}$.
પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = CV = \frac{\varepsilon_0}{3} \times 12 = 4 \varepsilon_0 \text{ C}$.
પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{Q^2}{2C} = \frac{(4 \varepsilon_0)^2}{2(\varepsilon_0/3)} = \frac{16 \varepsilon_0^2}{2 \varepsilon_0 / 3} = 24 \varepsilon_0 \text{ J}$.
ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કર્યા પછી,નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC = 3 \times \frac{\varepsilon_0}{3} = \varepsilon_0 \text{ F}$.
બેટરી દૂર કરેલી હોવાથી,વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(4 \varepsilon_0)^2}{2 \varepsilon_0} = \frac{16 \varepsilon_0^2}{2 \varepsilon_0} = 8 \varepsilon_0 \text{ J}$.
થયેલ કાર્ય $W = U_f - U_i = 8 \varepsilon_0 - 24 \varepsilon_0 = -16 \varepsilon_0 \text{ J}$.
સિસ્ટમ પર થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય $16 \varepsilon_0$ છે. તેથી,$\alpha = 16$.

(C) $2 \,mm$ જાડાઈની ધાતુની પ્લેટને $6 \,mm$ પ્લેટ અંતર ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં દાખલ કરવામાં આવે ત્યારે,ધાતુની પ્લેટની બંને બાજુએ હવાની જગ્યા $d_1 = 3 \,mm$ અને $d_2 = d - d_1 - t = 6 - 3 - 2 = 1 \,mm$ થાય છે.
આ ગોઠવણી એ શ્રેણીમાં જોડેલા બે કેપેસિટર જેવી છે,જેમાં દરેકનું ક્ષેત્રફળ $A = 36 \pi \,cm^2 = 36 \pi \times 10^{-4} \,m^2$ છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{\text{eq}}$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{d_1}{\varepsilon_0 A} + \frac{d_2}{\varepsilon_0 A} = \frac{d_1 + d_2}{\varepsilon_0 A}$.
કિંમતો મૂકતા: $d_1 + d_2 = 3 \,mm + 1 \,mm = 4 \,mm = 4 \times 10^{-3} \,m$.
$C_{\text{eq}} = \frac{\varepsilon_0 A}{d_1 + d_2} = \frac{1}{4 \pi \times 9 \times 10^9} \times \frac{36 \pi \times 10^{-4}}{4 \times 10^{-3}}$.
$C_{\text{eq}} = \frac{1}{36 \times 10^9} \times \frac{36 \times 10^{-4}}{4 \times 10^{-3}} = \frac{10^{-4}}{4 \times 10^{-3} \times 10^9} = \frac{1}{4} \times 10^{-10} \,F = 0.25 \times 10^{-10} \,F = 25 \times 10^{-12} \,F = 25 \,pF$.

(B) હવા ડાયલેક્ટ્રિક તરીકે હોય ત્યારે સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્લેટોની વચ્ચે $t = \frac{d}{2}$ જાડાઈની ધાતુની પ્લેટ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અસરકારક અંતર $d_{eff} = d - t = d - \frac{d}{2} = \frac{d}{2}$ થાય છે.
નવું કેપેસિટન્સ $C^{\prime}$ એ $C^{\prime} = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t} = \frac{\varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા મળે છે.
$C$ માટેના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $C^{\prime} = 2C$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{C^{\prime}}{C} = 2$ થાય છે.

(A) હવા સાથેનું પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C = 80 \times 10^{-6} \ F$ છે.
જ્યારે $K = 20$ અચળાંક ધરાવતો ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C' = K \times C = 20 \times 80 \times 10^{-6} = 1600 \times 10^{-6} \ F$ થાય છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક સાથે કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = C' V = (1600 \times 10^{-6}) \times 30 = 48000 \times 10^{-6} \ C = 48 \times 10^{-3} \ C$ છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક દૂર કર્યા પછી,કેપેસીટન્સ પાછું $C = 80 \times 10^{-6} \ F$ થઈ જાય છે.
કેપેસિટર પરનો નવો વિદ્યુતભાર $q_2 = C V = (80 \times 10^{-6}) \times 30 = 2400 \times 10^{-6} \ C = 2.4 \times 10^{-3} \ C$ છે.
વાયરમાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $\Delta q = q_1 - q_2 = 48 \times 10^{-3} - 2.4 \times 10^{-3} = 45.6 \times 10^{-3} \ C$ છે.

(A) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ છે.
કેપેસિટર $M$ માટે,જગ્યા $K = 8$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમથી ભરેલી છે. નવું કેપેસિટન્સ $C_M = K C = 8C$ થશે.
કેપેસિટર $N$ માટે,$t = d/2$ જાડાઈની તાંબાની પ્લેટ દાખલ કરવામાં આવે છે. $t$ જાડાઈની ધાતુની પ્લેટ ધરાવતા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_N = \frac{A \varepsilon_0}{d - t}$ થાય.
$t = d/2$ મૂકતા,આપણને $C_N = \frac{A \varepsilon_0}{d - d/2} = \frac{A \varepsilon_0}{d/2} = 2 \left( \frac{A \varepsilon_0}{d} \right) = 2C$ મળે છે.
કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,બંને પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન રહેશે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = Q/C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $V \propto 1/C$.
તેથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનો ગુણોત્તર $V_M : V_N = \frac{1}{C_M} : \frac{1}{C_N} = \frac{1}{8C} : \frac{1}{2C} = \frac{1}{8} : \frac{1}{2} = 2 : 8 = 1 : 4$ થશે.

(C) હવામાં રહેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ થાય છે.
કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રાખવામાં આવે છે અને ચાર્જ $Q$ અચળ રહે છે,તેથી કેપેસિટન્સ સમાન રહેવું જોઈએ: $C = C'$.
તેથી,$\frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{\varepsilon_0 A}{d' - t + \frac{t}{K}}$,જ્યાં $d'$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું નવું અંતર છે.
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા $d = d' - t + \frac{t}{K}$ અથવા $d' - d = t(1 - \frac{1}{K})$ મળે છે.
અહીં $d' - d = 3.2 \ mm$ અને $t = 4 \ mm$ આપેલ છે,તેથી:
$3.2 = 4(1 - \frac{1}{K})$
$\frac{3.2}{4} = 1 - \frac{1}{K}$
$0.8 = 1 - \frac{1}{K}$
$\frac{1}{K} = 1 - 0.8 = 0.2$
$K = \frac{1}{0.2} = 5$.

(C) જ્યારે કેપેસિટરને સંપૂર્ણ ચાર્જ કરવામાં આવે છે અને પછી બેટરીથી ડિસ્કનેક્ટ કરવામાં આવે છે, ત્યારે પ્લેટો પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે કારણ કે વિદ્યુતભારના વહન માટે કોઈ માર્ગ હોતો નથી.
જ્યારે પ્લેટોની વચ્ચે ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કરવામાં આવે છે, ત્યારે કેપેસિટરની અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર ડાયઇલેક્ટ્રિકના ધ્રુવીભવનનું કારણ બને છે.
આ ધ્રુવીભવનને કારણે ડાયઇલેક્ટ્રિકની સપાટી પર પ્રેરિત વિદ્યુતભારો $(q')$ ઉત્પન્ન થાય છે. જેમ ડાયઇલેક્ટ્રિક પદાર્થ દાખલ કરવામાં આવે છે, તેમ આ પ્રેરિત વિદ્યુતભારો દેખાય છે, જેનો અર્થ છે કે ડાયઇલેક્ટ્રિકની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર શૂન્યથી વધે છે.
કેપેસિટર અલગ હોવાથી, ધાતુની પ્લેટોની બહારની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર અચળ રહે છે $(Q = \text{અચળ})$।
તેથી, ડાયઇલેક્ટ્રિકની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર વધે છે અને પ્લેટોની બહારની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર અપરિવર્તિત રહે છે.

(D) હવા સાથેનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_0 = 4 \mu F$ છે.
ડાયલેક્ટ્રિક $(K = 5)$ ભર્યા પછી,નવું કેપેસિટન્સ $C = K C_0 = 5 \times 4 \mu F = 20 \mu F$ થાય છે.
કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $Q = C V = 20 \mu F \times 100 \ V = 2000 \mu C = 2 \times 10^{-3} \ C$ છે.
કેપેસિટર બેટરીથી ડિસ્કનેક્ટ થયેલ હોવાથી,ચાર્જ $Q$ અચળ રહે છે.
ડાયલેક્ટ્રિક સાથે સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા: $U_i = \frac{Q^2}{2C} = \frac{(2 \times 10^{-3})^2}{2 \times 20 \times 10^{-6}} = \frac{4 \times 10^{-6}}{40 \times 10^{-6}} = 0.1 \ J$.
ડાયલેક્ટ્રિક દૂર કર્યા પછીનું અંતિમ કેપેસિટન્સ: $C_f = C_0 = 4 \mu F$.
સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા: $U_f = \frac{Q^2}{2C_f} = \frac{(2 \times 10^{-3})^2}{2 \times 4 \times 10^{-6}} = \frac{4 \times 10^{-6}}{8 \times 10^{-6}} = 0.5 \ J$.
બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = U_f - U_i = 0.5 \ J - 0.1 \ J = 0.4 \ J$.

(C) ધારો કે બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. હવામાં બળ $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ છે.
જ્યારે $t = 0.3d$ જાડાઈ અને $K$ ડાય-ઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું માધ્યમ મૂકવામાં આવે,ત્યારે અસરકારક અંતર $d_{eff} = (d - t) + t\sqrt{K} = (0.7d) + 0.3d\sqrt{K} = d(0.7 + 0.3\sqrt{K})$ થાય છે.
નવું બળ $F' = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d_{eff}^2} = \frac{F}{2.56}$ છે.
તેથી,$d_{eff}^2 = 2.56 d^2$,જેનો અર્થ છે કે $d_{eff} = 1.6d$.
સમીકરણોને સરખાવતા: $0.7 + 0.3\sqrt{K} = 1.6$.
$0.3\sqrt{K} = 0.9$.
$\sqrt{K} = 3$.
$K = 9$.

(B, C, D) કેપેસિટરને સમાંતરમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર તરીકે જોઈ શકાય છે,જે દરેકનું ક્ષેત્રફળ $A/2$ અને પ્લેટ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિકથી ભરેલા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{K \varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{K C_0}{2}$ અને હવાવાળા ભાગનું $C_2 = \frac{\varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{C_0}{2}$ છે,જ્યાં $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = \frac{C_0}{2}(K+1)$ છે. આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.
કેપેસિટર સમાંતરમાં હોવાથી,બંને પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન છે. વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_1 V$ અને $Q_2 = C_2 V$ છે.
વિદ્યુતભારનો ગુણોત્તર $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{C_1}{C_2} = K$ છે. $Q_1 + Q_2 = Q$ હોવાથી,$Q_2 = \frac{Q}{K+1}$ અને $Q_1 = \frac{KQ}{K+1}$ મળે છે. આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.
વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma_1 = Q_1 / (A/2)$ અને $\sigma_2 = Q_2 / (A/2)$ છે. $Q_1 \neq Q_2$ હોવાથી,વિદ્યુતભાર ઘનતા અસમાન છે. આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{\sigma_1}{K \varepsilon_0}$ અને $E_2 = \frac{\sigma_2}{\varepsilon_0}$ છે. $\sigma_1 = K \sigma_2$ મૂકતા,$E_1 = \frac{K \sigma_2}{K \varepsilon_0} = \frac{\sigma_2}{\varepsilon_0} = E_2$ મળે છે. ક્ષેત્રો સમાન છે,તેથી $(a)$ ખોટું છે.

(B) કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d} = \frac{\epsilon_0 A}{5 \times 10^{-3}}$ છે.
પ્રારંભિક ચાર્જ $Q_1 = CV$.
જ્યારે $t = 2 \text{ mm}$ જાડાઈની માઈકાની શીટ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર શ્રેણીમાં બે કેપેસિટર તરીકે વર્તે છે: એક $(d-t) = 3 \text{ mm}$ જાડાઈની હવા સાથે અને એક $t = 2 \text{ mm}$ જાડાઈના માઈકા સાથે.
$C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d-t} = \frac{\epsilon_0 A}{3 \times 10^{-3}}$ અને $C_2 = \frac{K \epsilon_0 A}{t} = \frac{K \epsilon_0 A}{2 \times 10^{-3}}$.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{(\frac{\epsilon_0 A}{3 \times 10^{-3}}) (\frac{K \epsilon_0 A}{2 \times 10^{-3}})}{\frac{\epsilon_0 A}{3 \times 10^{-3}} + \frac{K \epsilon_0 A}{2 \times 10^{-3}}} = \frac{K \epsilon_0 A}{2 \times 10^{-3} + 3 \times 10^{-3} K} = \frac{K \epsilon_0 A}{10^{-3}(2 + 3K)}$.
બેટરી જોડાયેલી રહેતી હોવાથી,નવો ચાર્જ $Q_2 = C_{eq} V$ છે. આપેલ છે કે $Q_2 = 1.25 Q_1$,તેથી $C_{eq} = 1.25 C$.
$\frac{K \epsilon_0 A}{10^{-3}(2 + 3K)} = 1.25 \frac{\epsilon_0 A}{5 \times 10^{-3}}$.
$\frac{K}{2 + 3K} = \frac{1.25}{5} = 0.25 = \frac{1}{4}$.
$4K = 2 + 3K \Rightarrow K = 2$.

(D) ધારો કે $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$.
કેપેસિટર $A$ માટે:
ઉપરના અડધા ભાગમાં ડાયઇલેક્ટ્રિક $k_1$ છે અને નીચેનો અડધો ભાગ $k_1$ અને $k_2$ ડાયઇલેક્ટ્રિક્સ સાથે બે સમાંતર ભાગોમાં વહેંચાયેલ છે. સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_A = \left( \frac{1}{C_{k1}} + \frac{1}{C_{parallel}} \right)^{-1} = \left( \frac{1}{2k_1 C_0} + \frac{1}{k_1 C_0/2 + k_2 C_0/2} \right)^{-1} = \frac{2k_1(k_1+k_2)C_0}{3k_1+k_2}$ છે.
કેપેસિટર $B$ માટે:
ઉપરના અડધા ભાગમાં ડાયઇલેક્ટ્રિક $k_2$ છે અને નીચેનો અડધો ભાગ $k_1$ અને $k_2$ ડાયઇલેક્ટ્રિક્સ સાથે બે સમાંતર ભાગોમાં વહેંચાયેલ છે. તેવી જ રીતે,$C_B = \frac{2k_2(k_1+k_2)C_0}{k_1+3k_2}$ છે.
કેપેસિટર $C$ માટે:
તે બે સમાંતર શાખાઓ ધરાવે છે,જેમાં દરેક શાખામાં બે ડાયઇલેક્ટ્રિક્સ શ્રેણીમાં છે. $C_C = \frac{k_1 k_2}{k_1+k_2} C_0 + \frac{k_2 k_1}{k_2+k_1} C_0 = \frac{2k_1 k_2}{k_1+k_2} C_0$ છે.
આપેલ છે કે $k_1 > k_2$,આ પદોની સરખામણી કરતા $C_A > C_C > C_B$ મળે છે.

\(C _1=\frac{5 \in_0 A / 2}{d / 2}=\frac{5 \in_0 A}{ d }=5 C\)
\(C _2=\frac{2 \in_0 A / 2}{d / 2}=\frac{2 \in_0 A}{ d }=2 C\)
\(C _1 \& C _2\) શ્રેણીમાં છે.
\(C^{\prime}=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}=\frac{(5 C)(2 C)}{7 C}=\frac{10}{7} C\)
\(C _3=\frac{3 \in_0 A / 2}{d / 2}=3 C\)
\(C _4=\frac{2 \epsilon_0 A / 2}{d / 2}=2 C\)
\(C _4 \& C _3\) શ્રેણીમાં છે; \(C ^{\prime \prime}=\frac{(2 C )(3 C )}{5 C }=\frac{6}{5} C\)
\(C ^{\prime} \& C ^{\prime \prime}\) સમાંતરમાં છે;
તેથી, \(C _{ eq }= C \left(\frac{6}{5}+\frac{10}{7}\right)= C \left(\frac{42+50}{35}\right)=\left(\frac{92}{35}\right) C\)
\(\frac{92}{35} C =\frac{ nC }{3}\)
\(n =\frac{92 \times 3}{35}=7.9 \Rightarrow n \simeq 8\)

(A) શૂન્યાવકાશ ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે $t = d/3$ જાડાઈ અને $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે આ તંત્રને શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર તરીકે ગણી શકાય: એક હવાવાળો ભાગ જેની જાડાઈ $d - t = 2d/3$ છે અને બીજો ડાયલેક્ટ્રિક વાળો ભાગ જેની જાડાઈ $t = d/3$ છે.
હવાવાળા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{2d/3} = \frac{3}{2} \frac{\epsilon_0 A}{d} = \frac{3}{2} C$ થાય.
ડાયલેક્ટ્રિક ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K \epsilon_0 A}{d/3} = 3K \frac{\epsilon_0 A}{d} = 3KC$ થાય.
આ બંને કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{(\frac{3}{2} C) (3KC)}{\frac{3}{2} C + 3KC} = \frac{\frac{9}{2} KC^2}{\frac{3}{2} C (1 + 2K)} = \frac{3KC}{2K + 1}$.

(D) હવા ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 1.0 \text{ pF}$ છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર બમણું કરવામાં આવે $(d' = 2d)$ અને જગ્યાને $K$ અચળાંક ધરાવતા ડાયઇલેક્ટ્રિકથી ભરવામાં આવે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d'}$ થાય છે.
સમીકરણમાં $d' = 2d$ મૂકતા,આપણને $C = \frac{K \epsilon_0 A}{2d} = \frac{K}{2} \times C_0$ મળે છે.
આપેલ છે કે $C = 2.0 \text{ pF}$ અને $C_0 = 1.0 \text{ pF}$,તેથી $2.0 = \frac{K}{2} \times 1.0$.
$K$ માટે ઉકેલતા,આપણને $K = 2.0 \times 2 = 4.0$ મળે છે.

(B) એર કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ એ $K=5$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા પદાર્થથી અડધું ભરવામાં આવે છે,ત્યારે તે શ્રેણીમાં જોડેલા બે કેપેસિટર તરીકે વર્તે છે.
પ્રથમ કેપેસિટર (હવા) માટે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d/2$ છે,તેથી $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2\epsilon_0 A}{d} = 2C$.
બીજા કેપેસિટર (ડાયઇલેક્ટ્રિક) માટે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d/2$ છે,તેથી $C_2 = \frac{K\epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2K\epsilon_0 A}{d} = 2KC = 2(5)C = 10C$.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,નવું કેપેસિટન્સ $C_{new}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_{new} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{(2C)(10C)}{2C + 10C} = \frac{20C^2}{12C} = \frac{5}{3}C$.
કેપેસિટન્સમાં થતો વધારો $\Delta C = C_{new} - C = \frac{5}{3}C - C = \frac{2}{3}C$ છે.
ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta C}{C} \times 100 = \frac{2/3 C}{C} \times 100 = \frac{2}{3} \times 100 \approx 66.67\%$ છે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
ડાયલેક્ટ્રિક પદાર્થનો અવરોધ $R = \frac{\rho d}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આ બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા, આપણને $RC = \left( \frac{K \epsilon_0 A}{d} \right) \left( \frac{\rho d}{A} \right) = K \epsilon_0 \rho$ મળે છે।
આપેલ કિંમતો $R = 17.7 \times 10^{14}$ $\Omega$, $C = 1 \times 10^{-6}$ $F$, $\rho = 10^{13}$ $\Omega$m, અને $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$ $F$/m છે।
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $(17.7 \times 10^{14}) \times (1 \times 10^{-6}) = K \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (10^{13})$.
$17.7 \times 10^8 = K \times 8.85 \times 10^1$.
$17.7 \times 10^8 = 88.5 K$.
$K = \frac{17.7 \times 10^8}{88.5} = 0.2 \times 10^8 = 2 \times 10^7$.
આપેલ છે કે સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $K = \alpha \times 10^7$, તેથી $\alpha = 2$ મળે છે।