Electric Field Lines, Electric Flux and Gauss's Law Questions in Hindi

(A) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_{0}}$ होता है।
एक घन के केंद्र पर $Q$ आवेश रखने पर,सभी छह फलकों से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\Phi_{total} = \frac{Q}{\epsilon_{0}}$ होगा।
चूंकि घन सममित है,इसलिए प्रत्येक फलक से गुजरने वाला फ्लक्स समान होगा।
एक फलक से गुजरने वाला फ्लक्स: $\phi_{one} = \frac{\Phi_{total}}{6} = \frac{Q}{6 \epsilon_{0}}$.
दो विपरीत फलकों से गुजरने वाला फ्लक्स: $\phi_{two} = 2 \times \phi_{one} = 2 \times \frac{Q}{6 \epsilon_{0}} = \frac{Q}{3 \epsilon_{0}}$.
अतः,एक फलक और दो विपरीत फलकों से गुजरने वाला फ्लक्स क्रमशः $\frac{Q}{6 \epsilon_{0}}$ और $\frac{Q}{3 \epsilon_{0}}$ है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश का $\frac{1}{\varepsilon_{0}}$ गुना होता है।
जब एक आवेश $q$ को घन के एक कोने पर रखा जाता है,तो यह $8$ आसन्न घनों द्वारा समान रूप से साझा किया जाता है ताकि एक सममित बंद गॉसियन सतह बन सके।
इसलिए,एक घन से गुजरने वाला फ्लक्स आवेश $q$ द्वारा उत्पन्न कुल फ्लक्स का $\frac{1}{8}$ भाग होता है।
अतः,घन से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q}{8 \varepsilon_{0}}$ है।

(B) किसी बिंदु आवेश का परिमाण उससे निकलने वाली या उस पर समाप्त होने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या के सीधे समानुपाती होता है।
चित्र से,हम प्रत्येक आवेश से जुड़ी विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या गिन सकते हैं:
- आवेश $A$ में $6$ रेखाएं हैं।
- आवेश $B$ में $6$ रेखाएं हैं।
- आवेश $C$ में $12$ रेखाएं हैं।
- आवेश $D$ में $6$ रेखाएं हैं।
चूंकि आवेश $C$ अधिकतम संख्या में विद्युत क्षेत्र रेखाओं से जुड़ा है,इसलिए इसका परिमाण सबसे अधिक होना चाहिए।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = 3 \times 10^3 \hat{k} \text{ N C}^{-1}$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि वर्ग का तल $yz$-तल के समानांतर है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$yz$-तल के लंबवत होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि यह $x$-अक्ष की दिशा में है।
अतः,क्षेत्रफल सदिश $\vec{A} = A \hat{i} = (0.2 \text{ m})^2 \hat{i} = 0.04 \hat{i} \text{ m}^2$ है।
विद्युत फ्लक्स $\phi$ को विद्युत क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है: $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A}$.
मान रखने पर: $\phi = (3 \times 10^3 \hat{k}) \cdot (0.04 \hat{i})$.
चूंकि लंबवत इकाई सदिशों का अदिश गुणनफल $\hat{k} \cdot \hat{i} = 0$ होता है,इसलिए फ्लक्स $\phi = 0 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-1}$ प्राप्त होता है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,घिरा हुआ आवेश $q = 10 \mu C$ है,इसलिए $\phi = \frac{q}{\varepsilon_0} \quad ... (1)$.
जब एक और $10 \mu C$ आवेश को अंदर रखा जाता है,तो कुल घिरा हुआ आवेश $Q = 10 \mu C + 10 \mu C = 20 \mu C = 2q$ हो जाता है।
सतह से गुजरने वाला नया फ्लक्स $\phi' = \frac{Q}{\varepsilon_0} = \frac{2q}{\varepsilon_0}$ है।
समीकरण $(1)$ से मान रखने पर,हमें $\phi' = 2 \phi$ प्राप्त होता है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से जुड़ा विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{enclosed}$ सतह द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश है।
सतह $P$ के लिए:
घिरे हुए आवेश $+q, -q, -q$ हैं।
कुल आवेश $q_{P} = (+q) + (-q) + (-q) = -q$ है।
इसलिए,फ्लक्स $\phi_{P} = \frac{-q}{\varepsilon_0}$ है।
सतह $Q$ के लिए:
घिरे हुए आवेश $+q, -q, +q$ हैं।
कुल आवेश $q_{Q} = (+q) + (-q) + (+q) = +q$ है।
इसलिए,फ्लक्स $\phi_{Q} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ है।
अतः,$P$ और $Q$ से जुड़े फ्लक्स क्रमशः $\frac{-q}{\varepsilon_0}$ और $\frac{q}{\varepsilon_0}$ हैं।

(C) सही उत्तर $C$ है।
गॉस के नियम का उपयोग करके विद्युत क्षेत्र की गणना करने के लिए,हम एक ऐसा गाऊसी पृष्ठ चुनते हैं ताकि पृष्ठ के प्रत्येक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र स्थिर रहे और विद्युत क्षेत्र सदिश तथा क्षेत्रफल सदिश के बीच का कोण स्थिर रहे।
यह आवेश वितरण की समरूपता को दर्शाने वाले एक सममित बंद पृष्ठ का चयन करके प्राप्त किया जाता है,जिससे यह सुनिश्चित होता है कि पूरे पृष्ठ पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण एक समान है।

(D) विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = 1 \hat{j} \ N/C$ के रूप में दिया गया है।
चूंकि वर्ग $XY$-तल में रखा गया है,इसका क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$XY$-तल के लंबवत यानी $Z$-अक्ष की दिशा में होगा।
इसलिए,$\vec{A} = 1 \hat{k} \ m^2$ है।
विद्युत फ्लक्स $\phi$ को विद्युत क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\phi = \vec{E} \cdot \vec{A}$
$\phi = (1 \hat{j}) \cdot (1 \hat{k})$
चूंकि लंबवत इकाई सदिशों का अदिश गुणनफल $\hat{j} \cdot \hat{k} = 0$ होता है,इसलिए फ्लक्स:
$\phi = 0 \ Nm^2/C$ है।

(D) गौस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$q_{enclosed}$ गौसियन सतह द्वारा परिबद्ध आवेश है।
चूंकि गोलीय गौसियन सतह की त्रिज्या चाहे कितनी भी हो,परिबद्ध आवेश $q$ समान रहता है,इसलिए सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स स्थिर रहता है।
अतः,गौसियन सतह की त्रिज्या को $3$ गुना करने पर भी फ्लक्स में कोई परिवर्तन नहीं होगा।
इसलिए,फ्लक्स $-1.0 \times 10^3 \ Nm^2 \ C^{-1}$ ही रहेगा।

(A) गाउस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q$ परिबद्ध आवेश है और $\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता $(8.854 \times 10^{-12} \text{ C}^2 \text{N}^{-1} \text{m}^{-2})$ है।
दिया गया है $\phi = 1.9 \times 10^5 \text{ Nm}^2 \text{C}^{-1}$।
आवेश ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $q = \phi \varepsilon_0$।
मान रखने पर: $q = (1.9 \times 10^5) \times (8.854 \times 10^{-12})$।
$q = 16.8226 \times 10^{-7} \text{ C}$।
$q \approx 1.68 \times 10^{-6} \text{ C} = 1.68 \mu \text{C}$।
दिए गए विकल्पों के निकटतम मान लेने पर,$q \approx 2.0 \mu \text{C}$ प्राप्त होता है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ होता है।
चूंकि घन एक सममित बंद सतह है जिसमें $6$ समान फलक होते हैं,इसलिए फ्लक्स सभी फलकों के बीच समान रूप से वितरित होता है।
अतः,घन की प्रत्येक सतह से संबद्ध फ्लक्स $\phi = \frac{\phi_{total}}{6} = \frac{q}{6 \varepsilon_0}$ होगा।

(B) विद्युत फ्लक्स को सूत्र $\Phi = E \cdot A$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
विद्युत क्षेत्र $(E)$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]$ है।
क्षेत्रफल $(A)$ का विमीय सूत्र $[L^2]$ है।
अतः,विद्युत फ्लक्स का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}] \times [L^2] = [M^1 L^3 T^{-3} A^{-1}]$ है।

(D) गॉस के नियम में,गॉसियन सतह त्रिविमीय अंतरिक्ष में एक काल्पनिक बंद सतह होती है,जिसके माध्यम से एक सदिश क्षेत्र के फ्लक्स की गणना की जाती है।
परिभाषा के अनुसार,गॉसियन सतह पर किसी भी सतह अवयव $d\vec{S}$ को एक सदिश राशि के रूप में माना जाता है,जहाँ परिमाण अवयव का क्षेत्रफल होता है और दिशा सतह के लंबवत होती है।
चूंकि फ्लक्स $\Phi_E = \oint \vec{E} \cdot d\vec{S}$ में विद्युत क्षेत्र सदिश और क्षेत्रफल सदिश का अदिश गुणनफल शामिल होता है,इसलिए सतह अवयव स्वयं मूल रूप से एक सदिश है।
अतः,गणना में प्रयुक्त सतह अवयव की प्रकृति सदिश होती है।

(B) स्थिर वैद्युत संतुलन में चालकों के गुणों के अनुसार,धात्विक चालक के पदार्थ के अंदर विद्युत क्षेत्र हमेशा शून्य होता है।
चूंकि $R$ त्रिज्या वाले धात्विक गोले के अंदर हर जगह विद्युत क्षेत्र $E$ शून्य है,इसलिए इस गोले के पदार्थ के अंदर खींचे गए किसी भी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$,$\phi = \oint E \cdot dA = 0$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,दूसरे गोले पर स्थित बाहरी आवेश $Q$ के कारण $R$ त्रिज्या वाले धात्विक गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर विद्युत फ्लक्स शून्य है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{\text{enclosed}}$ सतह द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश है।
दी गई आकृति में,गोले '$A$' की त्रिज्या ' $R$ ' है और यह द्विध्रुव के मध्य बिंदु पर केंद्रित है। $+q$ और $-q$ आवेशों के बीच की दूरी $2R$ है। इसलिए,केंद्र से प्रत्येक आवेश की दूरी $R$ है।
चूंकि गोले '$A$' की त्रिज्या ' $R$ ' है,यह केवल गोले के केंद्र में स्थित $-q$ आवेश को ही घेरता है।
इस प्रकार,गोले '$A$' द्वारा घिरा हुआ आवेश $q_{\text{enclosed}} = -q$ है।
इसलिए,गोले '$A$' से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_A = \frac{-q}{\varepsilon_0}$ होगा।

(D) गॉस का नियम बताता है कि किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स उस सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश का $\frac{1}{\epsilon_0}$ गुना होता है।
इसलिए,गॉस का नियम किसी भी बंद सतह के लिए मान्य है,चाहे उसका आकार कुछ भी हो या उसके अंदर आवेशों का वितरण कैसा भी हो।
सतह के बाहर स्थित आवेश सतह से गुजरने वाले कुल फ्लक्स में योगदान नहीं करते हैं।
अतः,विकल्प $D$ सही कथन है।

(B) दिया गया है,विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = 3 \times 10^5 \hat{j} \text{ NC}^{-1}$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A = 10 \text{ cm} \times 30 \text{ cm} = 0.1 \text{ m} \times 0.3 \text{ m} = 3 \times 10^{-2} \text{ m}^2$ है।
चूंकि आयत का तल $ZX$-तल के समानांतर है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$Y$-अक्ष की दिशा में ($ZX$-तल के लंबवत) होगा।
अतः,$\vec{A} = 3 \times 10^{-2} \hat{j} \text{ m}^2$ है।
विद्युत फ्लक्स $\phi$,विद्युत क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश का अदिश गुणनफल है:
$\phi = \vec{E} \cdot \vec{A} = (3 \times 10^5 \hat{j}) \cdot (3 \times 10^{-2} \hat{j})$
$\phi = 9 \times 10^3 \text{ Vm}$।

(A) एक विद्युत द्विध्रुव दो समान और विपरीत आवेशों,$+q$ और $-q$,से बना होता है जो एक-दूसरे से थोड़ी दूरी पर स्थित होते हैं।
इसलिए,गोलाकार पृष्ठ द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश $q_{net} = q + (-q) = 0$ होता है।
गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{net}}{\varepsilon_0}$ होता है।
$q_{net}$ का मान रखने पर,हमें $\phi = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0$ प्राप्त होता है।

(D) घन की भुजा की लंबाई $a = 10 \,cm = 0.1 \,m$ है। प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल $A = a^2 = (0.1 \,m)^2 = 0.01 \,m^2$ है।
विद्युत क्षेत्र रेखाएं सतह $ABCD$ से अंदर प्रवेश करती हैं और सतह $EFGH$ से बाहर निकलती हैं।
सतह $ABCD$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_1 = -E_1 A = -(6 \times 10^3 \,NC^{-1}) \times (0.01 \,m^2) = -60 \,Nm^2C^{-1}$ है।
सतह $EFGH$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_2 = E_2 A = (9 \times 10^3 \,NC^{-1}) \times (0.01 \,m^2) = 90 \,Nm^2C^{-1}$ है।
अन्य चार सतहों से गुजरने वाला फ्लक्स शून्य है क्योंकि विद्युत क्षेत्र इन सतहों के समानांतर है।
घन से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi_{net} = \phi_1 + \phi_2 = -60 + 90 = 30 \,Nm^2C^{-1}$ है।
गाउस के नियम के अनुसार, $\phi_{net} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ है।
अतः, $q_{enclosed} = \phi_{net} \times \varepsilon_0 = 30 \,Nm^2C^{-1} \times 9 \times 10^{-12} \,Fm^{-1} = 270 \times 10^{-12} \,C = 0.27 \times 10^{-9} \,C = 0.27 \,nC$।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_{0}}$ होता है।
जब एक आवेश $q$ को एक घन के एक कोने पर रखा जाता है,तो आवेश को पूरी तरह से घेरने के लिए इसे $8$ ऐसे समान घनों द्वारा साझा किया जाता है।
इसलिए,एक घन से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi_{cube} = \frac{q}{8 \varepsilon_{0}}$ है।
एक घन में $6$ फलक होते हैं। आवेश $q$ एक कोने पर स्थित है। इस कोने पर मिलने वाले तीन फलक (इस मामले में,यदि आवेश $A$ पर है तो $ADHE$,$ABFE$ और $ABCD$ फलक) आवेश $q$ को अपने तल में समाहित करते हैं। इन फलकों के लिए,विद्युत क्षेत्र रेखाएं सतह के समानांतर होती हैं,जिसका अर्थ है कि क्षेत्रफल सदिश और विद्युत क्षेत्र के बीच का कोण $90^{\circ}$ है। अतः,इन $3$ फलकों से गुजरने वाला फ्लक्स $0$ है।
समरूपता के कारण शेष $3$ फलक कुल फ्लक्स $\Phi_{cube}$ को समान रूप से साझा करते हैं।
इसलिए,शेष $3$ फलकों में से प्रत्येक से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi_{face} = \frac{\Phi_{cube}}{3} = \frac{q / 8 \varepsilon_{0}}{3} = \frac{q}{24 \varepsilon_{0}}$ है।
अतः,फलक $ABCD$ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\frac{q}{24 \varepsilon_{0}}$ है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स उस सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश और मुक्त स्थान की विद्युतशीलता $( \varepsilon_{0} )$ के अनुपात के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$ \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_{0}} $.
यदि आवेश गॉसियन सतह के बाहर है,तो परिबद्ध कुल आवेश $( q_{\text{enclosed}} )$ $ 0 $ है,इसलिए फ्लक्स $ \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = 0 $ होता है।
यदि आवेश गॉसियन सतह के अंदर है,तो परिबद्ध कुल आवेश $ q $ है,इसलिए फ्लक्स $ \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{q}{\varepsilon_{0}} $ होता है।
यह नियम तब भी सत्य रहता है चाहे ब्रह्मांड में केवल एक ही प्रकार का आवेश हो या दोनों प्रकार के आवेश मौजूद हों।

(D) विकल्प $(A)$ और $(B)$ क्रमशः पृथक धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र रेखाओं को दर्शाते हैं। हालाँकि,प्रकृति में चुंबकीय मोनोपोल मौजूद नहीं होते हैं,इसलिए ये पैटर्न चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के लिए मान्य नहीं हैं।
विकल्प $(C)$ धारावाही चालक के चारों ओर गोलाकार चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को दर्शाता है। विद्युत क्षेत्र रेखाएं बंद लूप नहीं बना सकती हैं,इसलिए यह विद्युत क्षेत्र के लिए मान्य नहीं है।
विकल्प $(D)$ एक द्विध्रुव (dipole) की क्षेत्र रेखाओं को दर्शाता है। यह पैटर्न विद्युत द्विध्रुव (धनात्मक आवेश से उत्पन्न और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाएं) और चुंबकीय द्विध्रुव (चुंबक के बाहर उत्तर से दक्षिण ध्रुव और अंदर दक्षिण से उत्तर ध्रुव तक निरंतर लूप बनाने वाली चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं) दोनों के लिए मान्य है।
अतः,विकल्प $(D)$ विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्रों के लिए मान्य है।

(B) कथन $A$ सही है: बल रेखा पर किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा बताती है।
कथन $B$ गलत है: विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश से शुरू होती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं। चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के विपरीत,वे बंद लूप नहीं बनाती हैं।
कथन $C$ सही है: विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेश $q$ पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है। यदि $q$ ऋणात्मक है,तो बल $F$,$E$ की विपरीत दिशा में होता है।
कथन $D$ सही है: दो विद्युत क्षेत्र रेखाएं कभी एक-दूसरे को नहीं काट सकती हैं,क्योंकि यदि वे काटती हैं,तो प्रतिच्छेदन बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दो दिशाएं होंगी,जो भौतिक रूप से असंभव है।

(D) विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश से उत्पन्न होती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं।
कथन $(i)$ सही है: विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेश $q$ पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है। यदि $q$ ऋणात्मक है,तो बल $F$,$E$ की विपरीत दिशा में होता है।
कथन $(ii)$ सही है: विद्युत क्षेत्र रेखा पर किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा देती है।
कथन $(iii)$ सही है: विद्युत क्षेत्र रेखाएं कभी एक-दूसरे को नहीं काटती हैं क्योंकि यदि वे ऐसा करती हैं,तो प्रतिच्छेदन बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दो दिशाएं होंगी,जो भौतिक रूप से असंभव है।
कथन $(iv)$ गलत है: विद्युत क्षेत्र रेखाएं बंद लूप नहीं बनाती हैं क्योंकि वे धनात्मक आवेशों से उत्पन्न होती हैं और ऋणात्मक आवेशों पर समाप्त होती हैं।
चूंकि प्रश्न में गलत कथन पूछा गया है,इसलिए केवल $(iv)$ गलत है।

(A) एक धनात्मक बिंदु आवेश के लिए विद्युत क्षेत्र रेखाएँ आवेश से उत्पन्न होती हैं और त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर अनंत तक जाती हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक धनात्मक आवेश के चारों ओर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र सदिश हमेशा आवेश से दूर की दिशा में इंगित करता है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_E$ को $\phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या विद्युत फ्लक्स के समानुपाती होती है,इसलिए $+q$ आवेश से निकलने वाली रेखाओं की संख्या सीधे आवेश $q$ के परिमाण के समानुपाती होती है।
अतः,विद्युत रेखाओं की संख्या आवेश के समानुपाती होती है।

(D) सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\Phi$,विद्युत क्षेत्र सदिश $\overrightarrow{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$ के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है।
$\Phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$
दिया गया है,$\overrightarrow{E} = (3 \hat{i} + 5 \hat{j} + 7 \hat{k}) \text{ NC}^{-1}$.
सतह $yz$-तल में है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$,$x$-अक्ष की दिशा में होगा।
अतः,$\overrightarrow{A} = 3 \hat{i} \text{ m}^2$.
अब,अदिश गुणनफल की गणना करें:
$\Phi = (3 \hat{i} + 5 \hat{j} + 7 \hat{k}) \cdot (3 \hat{i})$
$\Phi = (3 \times 3) (\hat{i} \cdot \hat{i}) + (5 \times 0) + (7 \times 0)$
$\Phi = 9 \text{ Nm}^2\text{C}^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) गॉस के प्रमेय के अनुसार,किसी बंद सतह से जुड़ा कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{\text{total}} = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
एक घन के केंद्र पर '$q$' आवेश होने के कारण,इसके सभी छह फलकों से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi_{\text{total}} = \frac{q}{\epsilon_0}$ है।
चूंकि घन सममित है,इसलिए प्रत्येक छह फलक से जुड़ा विद्युत फ्लक्स समान होगा।
अतः,प्रत्येक फलक के लिए फ्लक्स $\phi_{\text{face}} = \frac{\phi_{\text{total}}}{6} = \frac{q}{6 \epsilon_0}$ होगा।

(C) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = 3 \hat{i} + 5 \hat{j} \ N C^{-1}$ है।
चूंकि वर्गाकार क्षेत्रफल $y-z$ तल के समानांतर है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$,$x$-अक्ष की दिशा में होगा।
वर्ग का क्षेत्रफल $A = (2 \ m) \times (2 \ m) = 4 \ m^2$ है।
अतः,क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A} = 4 \hat{i} \ m^2$ होगा।
विद्युत फ्लक्स $\phi$,विद्युत क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश का अदिश गुणनफल है:
$\phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A} = (3 \hat{i} + 5 \hat{j}) \cdot (4 \hat{i})$
$\phi = (3 \times 4) \hat{i} \cdot \hat{i} + (5 \times 4) \hat{j} \cdot \hat{i}$
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ और $\hat{j} \cdot \hat{i} = 0$,इसलिए:
$\phi = 12 \times 1 + 20 \times 0 = 12 \ N C^{-1} \ m^2$.

(C) विद्युत क्षेत्र एकसमान है और $\vec{E} = 3 \times 10^3 \hat{i} \text{ N/C}$ द्वारा दिया गया है।
एकसमान विद्युत क्षेत्र में एक बंद सतह (घन) के लिए,कुल विद्युत फ्लक्स गॉस के नियम द्वारा दिया जाता है: $\phi_{\text{net}} = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A}$।
चूंकि विद्युत क्षेत्र एकसमान है,एक फलक में प्रवेश करने वाला फ्लक्स विपरीत फलक से बाहर निकलने वाले फ्लक्स के बराबर होता है,लेकिन विपरीत चिह्न के साथ।
विशेष रूप से,$x$-अक्ष के लंबवत दो फलकों के लिए,क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}_1 = -A \hat{i}$ और $\vec{A}_2 = A \hat{i}$ हैं।
इन फलकों से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_1 = \vec{E} \cdot \vec{A}_1 = (3 \times 10^3 \hat{i}) \cdot (-A \hat{i}) = -EA$ और $\phi_2 = \vec{E} \cdot \vec{A}_2 = (3 \times 10^3 \hat{i}) \cdot (A \hat{i}) = EA$ है।
अन्य चार फलकों के लिए,क्षेत्रफल सदिश विद्युत क्षेत्र के लंबवत हैं $(\vec{E} \cdot d\vec{A} = 0)$,इसलिए उनसे गुजरने वाला फ्लक्स $0$ है।
कुल फ्लक्स $\phi_{\text{net}} = \phi_1 + \phi_2 + 0 + 0 + 0 + 0 = -EA + EA = 0$ है।

(A) किसी सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$,विद्युत क्षेत्र सदिश $\overrightarrow{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$ के अदिश गुणनफल (dot product) के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया है:
$\overrightarrow{E} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}) \text{ NC}^{-1}$
$\overrightarrow{A} = 10 \hat{i} \text{ m}^2$
सूत्र $\phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$ का उपयोग करने पर:
$\phi = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}) \cdot (10 \hat{i})$
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,और $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$ होता है:
$\phi = (2 \times 10) \text{ Nm}^2 \text{C}^{-1} = 20 \text{ Nm}^2 \text{C}^{-1}$.

(B) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$,सतह के भीतर निहित आवेश $q$ और मुक्त स्थान की विद्युतशीलता $\varepsilon_{0}$ के अनुपात के बराबर होता है।
$\phi = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
दिया गया है कि आवेश एक इकाई धनात्मक आवेश है,इसलिए $q = 1$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\phi = \frac{1}{\varepsilon_{0}} = \left(\varepsilon_{0}\right)^{-1}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) आवेश $x = 0, \pm 1 \text{ cm}, \pm 2 \text{ cm}, \pm 3 \text{ cm}, \dots$ पर रखे गए हैं।
चूंकि गोलीय सतह की त्रिज्या $2.5 \text{ cm}$ है और यह मूलबिंदु पर केंद्रित है,इसलिए यह $x = 0, \pm 1 \text{ cm},$ और $\pm 2 \text{ cm}$ पर स्थित आवेशों को घेरती है।
अतः,घेरे गए आवेशों की कुल संख्या $1$ (मूलबिंदु पर) $+ 2$ ($\pm 1 \text{ cm}$ पर) $+ 2$ ($\pm 2 \text{ cm}$ पर) $= 5$ आवेश है।
इस प्रकार,गोले द्वारा घेरा गया कुल आवेश $Q_{\text{enclosed}} = 5q$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,गोलीय सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ होता है।
इसलिए,$\phi = \frac{5q}{\varepsilon_0}$।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{net}}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{\text{net}}$ पृष्ठ द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है।
पृष्ठ $A$ के लिए,परिबद्ध आवेश $q$,$3q$,$-2q$,और $-5q$ हैं।
अतः,$(q_{\text{net}})_A = q + 3q - 2q - 5q = -3q$.
इस प्रकार,$\phi_A = \frac{-3q}{\varepsilon_0}$.
पृष्ठ $B$ के लिए,परिबद्ध आवेश $3q$,$-q$,और $2q$ हैं।
अतः,$(q_{\text{net}})_B = 3q - q + 2q = 4q$.
इस प्रकार,$\phi_B = \frac{4q}{\varepsilon_0}$.
अब,फ्लक्स का अनुपात:
$\frac{\phi_A}{\phi_B} = \frac{-3q / \varepsilon_0}{4q / \varepsilon_0} = -\frac{3}{4}$.

(A) पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ वाले एक बड़े आवेशित समतल के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\sigma = 4.9 \times 10^{-6} \text{ C m}^{-2}$ दिया गया है।
क्षेत्रफल $A$ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A} = EA \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ विद्युत क्षेत्र सदिश और क्षेत्रफल सदिश (सतह के अभिलंब) के बीच का कोण है।
यहाँ,विद्युत क्षेत्र $z$-अक्ष की दिशा में है। वृत्ताकार समतल का अभिलंब $z$-अक्ष के साथ $\theta = 60^{\circ}$ का कोण बनाता है।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (0.01 \text{ m})^2 = \pi \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$ का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{2 \varepsilon_0} = 18 \pi \times 10^9$ होता है।
अतः,$\phi = \left( \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \right) A \cos 60^{\circ} = (\sigma \times 18 \pi \times 10^9) \times (\pi \times 10^{-4}) \times \frac{1}{2}$.
मान रखने पर: $\phi = (4.9 \times 10^{-6}) \times (18 \pi^2 \times 10^5) \times 0.5 = 43.56 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-1}$.

(A) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से जुड़ा विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
सतह $P_1$ के लिए,परिबद्ध आवेश $Q_{\text{enclosed}, 1} = \frac{Q}{2}$ है।
इसलिए,$P_1$ से जुड़ा फ्लक्स $\phi_1 = \frac{Q/2}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{2\varepsilon_0}$ है।
सतह $P_2$ के लिए,परिबद्ध आवेश $Q_{\text{enclosed}, 2} = \frac{Q}{2} + 4Q = \frac{9Q}{2}$ है।
इसलिए,$P_2$ से जुड़ा फ्लक्स $\phi_2 = \frac{9Q/2}{\varepsilon_0} = \frac{9Q}{2\varepsilon_0}$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\phi_2 = 9 \times \left(\frac{Q}{2\varepsilon_0}\right) = 9\phi_1$ प्राप्त होता है।

(A) स्थिरवैद्युतिकी के गौस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$ इस प्रकार दिया जाता है: $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$।
गौसियन सतह $A$ द्वारा घिरा कुल आवेश $q$ व्यक्तिगत आवेशों का योग है:
$q = q_1 + q_2 + q_3$
$q = (-14 + 78.85 - 56) \text{ nC} = 8.85 \text{ nC} = 8.85 \times 10^{-9} \text{ C}$।
मुक्त आकाश की विद्युतशीलता $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2 \text{ N}^{-1} \text{ m}^{-2}$ है।
इन मानों को विद्युत फ्लक्स के सूत्र में रखने पर:
$\phi = \frac{8.85 \times 10^{-9} \text{ C}}{8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2 \text{ N}^{-1} \text{ m}^{-2}}$
$\phi = 10^3 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-1}$।

(B) दिया गया है: प्लेट की त्रिज्या, $R = 10 \,cm = 0.1 \,m$.
एकसमान विद्युत क्षेत्र, $E = 2 \sqrt{3} \times 10^5 \,NC^{-1}$.
प्लेट और विद्युत क्षेत्र के बीच का कोण $60^{\circ}$ है。
प्लेट के अभिलंब और विद्युत क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है。
वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल $A = \pi R^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01 \pi \,m^2$.
विद्युत फ्लक्स $\phi$ का सूत्र $\phi = EA \cos \theta$ है。
मान रखने पर:
$\phi = (2 \sqrt{3} \times 10^5) \times (0.01 \pi) \times \cos 30^{\circ}$.
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, इसलिए:
$\phi = 2 \sqrt{3} \times 10^5 \times 0.01 \pi \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\phi = 3 \times 10^3 \times \pi = 3 \times 3.14159 \times 10^3 = 9.42477 \times 10^3 \,Nm^2 C^{-1}$.
अतः, $\phi \approx 9.42 \times 10^3 \,Nm^2 C^{-1}$.

(B) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{\text{enclosed}}$ सतह द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश है।
सतह $S_2$ के लिए,घिरे हुए आवेश $+q$ और $-q$ हैं।
इसलिए,कुल घिरा हुआ आवेश $q_{\text{enclosed}} = (+q) + (-q) = 0$ है।
इसे गॉस के नियम में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Phi_E = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,सतह $S_2$ से गुजरने वाला कुल फ्लक्स शून्य है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,कुल परिबद्ध आवेश $q_{enclosed} = (\frac{1}{\pi} + \frac{2}{\pi} + \frac{3}{\pi} + \frac{4}{\pi} - \frac{5}{\pi}) \times 10^{-9} \ C = \frac{5}{\pi} \times 10^{-9} \ C$ है।
गॉस के नियम में यह मान रखने पर:
$\phi = \frac{5 \times 10^{-9}}{\pi \varepsilon_0}$.
हम जानते हैं कि $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$,इसलिए $\frac{1}{\pi \varepsilon_0} = 4 \times 9 \times 10^9 = 36 \times 10^9$ होता है।
अतः,$\phi = 5 \times 10^{-9} \times 36 \times 10^9 = 180 \ Nm^2 C^{-1}$।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q$ सतह द्वारा घिरा कुल आवेश है और $\epsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता (permittivity) है।
दिया गया है,$q = 10^{-7} \text{ C}$ और $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \text{ C}^2 \cdot \text{N}^{-1} \cdot \text{m}^{-2}$.
मान रखने पर:
$\phi = \frac{10^{-7}}{8.854 \times 10^{-12}}$
$\phi = \frac{1}{8.854} \times 10^5$
$\phi \approx 0.1129 \times 10^5 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-1}$
$\phi \approx 1.129 \times 10^4 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-1}$
निकटतम विकल्प के अनुसार,$\phi \approx 1.13 \times 10^4 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-1}$ प्राप्त होता है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\varepsilon_m$ माध्यम की विद्युतशीलता है।
दिया गया आवेश $q = 8 \ C$ है।
माध्यम की विद्युतशीलता $\varepsilon_m = K \varepsilon_0$ होती है,जहाँ $K$ परावैद्युतांक है और $\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है।
यहाँ $K = 4$ दिया गया है,इसलिए $\varepsilon_m = 4 \varepsilon_0$ होगा।
इन मानों को फ्लक्स के सूत्र में रखने पर:
$\phi = \frac{8}{4 \varepsilon_0} = \frac{2}{\varepsilon_0}$।

(A) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = a \hat{i} + b \hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
$y-z$ तल के समानांतर $l$ भुजा वाले वर्ग के लिए क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$,$x$-अक्ष की दिशा में होता है,इसलिए $\overrightarrow{A} = l^2 \hat{i}$।
विद्युत फ्लक्स $\Phi$ को विद्युत क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\Phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$।
मान रखने पर: $\Phi = (a \hat{i} + b \hat{j}) \cdot (l^2 \hat{i})$।
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ और $\hat{j} \cdot \hat{i} = 0$,हमें $\Phi = a l^2 (1) + b l^2 (0) = a l^2$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल फ्लक्स $a l^2$ है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$,$\phi = \oint \vec{E} \cdot \overrightarrow{ds} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $Q = \varepsilon_0 \oint \vec{E} \cdot \overrightarrow{ds}$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $\varepsilon_0 \vec{E} \cdot \overrightarrow{ds}$ के आयाम आवेश $Q$ के आयाम के समान हैं।

(A) गोलीय कोश पर कुल आवेश $Q = \text{पृष्ठ क्षेत्रफल} \times \text{पृष्ठ आवेश घनत्व} = (4 \pi R^2) \sigma$ द्वारा दिया जाता है।
गॉस के नियम के अनुसार,$Q$ आवेश को घेरने वाली किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{\text{total}} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ होता है।
$Q$ का मान रखने पर,हमें $\phi_{\text{total}} = \frac{4 \pi R^2 \sigma}{\varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।
चूंकि घन एक सममित बंद सतह है और गोलीय कोश इसके केंद्र में रखा गया है,इसलिए कुल फ्लक्स घन के $6$ फलकों के बीच समान रूप से वितरित होता है।
अतः,घन के एक फलक से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_{\text{face}} = \frac{\phi_{\text{total}}}{6} = \frac{4 \pi R^2 \sigma}{6 \varepsilon_0} = \frac{2 \pi R^2 \sigma}{3 \varepsilon_0}$ होगा।

(A) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = 24 \hat{i} + 30 \hat{j} + 28 \hat{k} \text{ NC}^{-1}$ दिया गया है।
चूंकि क्षेत्रफल $yz$ समतल पर स्थित है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$x$-अक्ष की दिशा में होगा।
अतः,$\vec{A} = 20 \hat{i} \text{ m}^2$.
विद्युत फ्लक्स $\Phi_E$ को विद्युत क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\Phi_E = \overrightarrow{E} \cdot \vec{A}$.
मान रखने पर: $\Phi_E = (24 \hat{i} + 30 \hat{j} + 28 \hat{k}) \cdot (20 \hat{i})$.
अदिश गुणनफल के गुण $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ और $\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{i} \cdot \hat{k} = 0$ का उपयोग करने पर:
$\Phi_E = 24 \times 20 = 480 \text{ Nm}^2 \text{C}^{-1}$.

(B) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{\text{net}} = \frac{q}{\epsilon_0}$ होता है।
चूंकि आवेश $q = 6 \mu C = 6 \times 10^{-6} \ C$ घन के केंद्र पर स्थित है,इसलिए फ्लक्स सभी $6$ फलकों से समान रूप से वितरित होगा।
अतः,प्रत्येक फलक से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_{\text{face}} = \frac{\phi_{\text{net}}}{6} = \frac{q}{6 \epsilon_0}$ होगा।
दिया गया है $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$,इसलिए $\frac{1}{\epsilon_0} = 36 \pi \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$ होगा।
मान रखने पर: $\phi_{\text{face}} = \frac{6 \times 10^{-6}}{6} \times (36 \pi \times 10^9) = 10^{-6} \times 36 \pi \times 10^9 = 36 \pi \times 10^3 \ Nm^2 / C$।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Q$ सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है और $\varepsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है।
गॉस का नियम बताता है कि एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स सतह के आकार या आकृति पर निर्भर नहीं करता है; यह केवल उसके भीतर परिबद्ध कुल आवेश पर निर्भर करता है।
दिया गया है कि प्रारंभिक फ्लक्स $\phi = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ है।
यदि भुजा की लंबाई बदलकर $\frac{2}{3} l$ कर दी जाती है,तो ज्यामिति में इस परिवर्तन से फ्लक्स प्रभावित नहीं होता है।
यदि परिबद्ध आवेश को दोगुना कर दिया जाता है,तो नया आवेश $Q' = 2Q$ हो जाता है।
नया विद्युत फ्लक्स $\phi'$ इस प्रकार है: $\phi' = \frac{Q'}{\varepsilon_0} = \frac{2Q}{\varepsilon_0} = 2 \left( \frac{Q}{\varepsilon_0} \right) = 2 \phi$।
अतः,नया विद्युत फ्लक्स $2 \phi$ होगा।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{\text{net}}}{\varepsilon_0}$ होता है।
यदि कोई बंद सतह कोई आवेश नहीं घेरती है $(q_{\text{net}} = 0)$,तो सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स शून्य होना चाहिए।
हालाँकि,इसका मतलब यह नहीं है कि सतह पर हर जगह विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ शून्य होना चाहिए।
बाहरी विद्युत क्षेत्र सतह से गुजर सकता है,जो एक बिंदु पर प्रवेश करता है और दूसरे बिंदु पर बाहर निकलता है,जिसके परिणामस्वरूप हर जगह क्षेत्र के शून्य हुए बिना भी कुल फ्लक्स शून्य हो सकता है।
इसलिए,कथन $B$ गलत है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{net enclosed}}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
कोश की त्रिज्या से अधिक त्रिज्या वाली सतह द्वारा घिरा कुल आवेश,कोश पर आवेश $(q_1)$ और ठोस गोले पर आवेश $(q_2)$ का योग है।
$1$. कोश पर आवेश: $q_1 = \sigma \times A_1 = (-10^{-5} \ C/m^2) \times 4 \pi (\sqrt{0.06})^2 = -2.4 \pi \times 10^{-6} \ C$.
$2$. ठोस गोले पर आवेश: $q_2 = \rho \times V_2 = (3 \times 10^{-5} \ C/m^3) \times \frac{4}{3} \pi (\sqrt[3]{0.01})^3 = 0.4 \pi \times 10^{-6} \ C$.
कुल घिरा हुआ आवेश: $q_{\text{net}} = q_1 + q_2 = -2.0 \pi \times 10^{-6} \ C$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही विकल्प $D$ है।