Electric Field Lines, Electric Flux and Gauss's Law Questions in Hindi

(B) समीकरण $A$ है $\oint E \cdot dA = \frac{Q}{\varepsilon_0}$,जो स्थिर विद्युत के लिए गॉस का नियम है। यह बताता है कि किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स,सतह के भीतर निहित आवेश और मुक्त स्थान की पारगम्यता के अनुपात के बराबर होता है।
समीकरण $B$ है $\oint B \cdot dA = 0$,जो चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम है। इसका अर्थ है कि चुंबकीय मोनोपोल (एकल ध्रुव) का अस्तित्व नहीं होता है,जिसका अर्थ है कि किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स हमेशा शून्य होता है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$,सतह के अंदर मौजूद कुल आवेश $Q_{\text{enclosed}}$ और मुक्त स्थान की विद्युतशीलता $\epsilon_0$ के अनुपात के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$।
चूंकि आवेश $Q$ घन के केंद्र में रखा गया है,इसलिए पूरा आवेश घन के भीतर परिबद्ध है।
अतः,घन की छह सतहों से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi = \frac{Q}{\epsilon_0}$ होगा।

(A, B, D) $1$. गॉस का नियम कूलम्ब के नियम और अध्यारोपण के सिद्धांत से व्युत्पन्न होता है। इसलिए,यह स्वाभाविक रूप से स्थिरवैद्युतिकी के इन दोनों मूलभूत सिद्धांतों को समाहित करता है।
$2$. क्षेत्रफल अवयव $d\vec{s}$ (या $d\vec{A}$) को सतह के लंबवत,बाहर की ओर इंगित करने वाले सदिश के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि इसे दो विस्थापन सदिशों के क्रॉस उत्पाद (जैसे,$d\vec{l}_1 \times d\vec{l}_2$) के रूप में परिभाषित किया गया है,यह एक छद्म-सदिश (या अक्षीय सदिश) के रूप में व्यवहार करता है क्योंकि इसकी दिशा सतह की निर्देशांक प्रणाली पर निर्भर करती है,न कि केवल स्थिति पर।

(A, C) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{\text{total}}$ शून्य होता है यदि उसके भीतर कोई आवेश न हो,अर्थात $\phi_{\text{total}} = 0$।
अर्धगोले के लिए,$\phi_{\text{total}} = \phi_{\text{curved}} + \phi_{\text{flat}} = 0$।
सपाट वृत्ताकार सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_{\text{flat}} = -E \cdot A = -E(\pi R^2)$ है (क्योंकि क्षेत्र रेखाएं सतह में प्रवेश करती हैं)।
इसलिए,$\phi_{\text{curved}} = -\phi_{\text{flat}} = E \pi R^2$।
अतः,कथन $(A)$ सही है और $(C)$ सही है।
किए गए कार्य के संबंध में,एक समान विद्युत क्षेत्र के लिए,विभवांतर $\Delta V = -\vec{E} \cdot \Delta \vec{r}$ होता है।
चूंकि बिंदु $A$ और $B$ विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ के लंबवत एक ही समविभव तल पर स्थित हैं,इसलिए $A$ और $B$ के बीच विभवांतर $\Delta V = 0$ है।
इसलिए,किया गया कार्य $W = q \Delta V = 0$ है,जो पथ और त्रिज्या $R$ से स्वतंत्र है।

(C) $1$. केंद्र $O$ पर स्थित $+Q$ आवेश पूरे घन से $\frac{Q}{\varepsilon_{0}}$ का कुल फ्लक्स उत्पन्न करता है। समरूपता के अनुसार,प्रत्येक $6$ फलक से गुजरने वाला फ्लक्स $\frac{Q}{6\varepsilon_{0}}$ है।
$2$. बिंदु $P$ पर स्थित $+Q$ आवेश सतह $ABCD$ के केंद्र से $a/2$ दूरी पर है। इस आवेश के कारण सतह $ABCD$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\frac{Q}{2\varepsilon_{0}}$ है (चूंकि आवेश सतह के केंद्र से $a/2$ दूरी पर है,यह सतह पर $2\pi$ स्टेरेडियन का ठोस कोण बनाता है)।
$3$. दोनों आवेशों के कारण सतह $ABCD$ से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi_{ABCD} = \phi_{O, ABCD} + \phi_{P, ABCD} = \frac{Q}{6\varepsilon_{0}} - \frac{Q}{2\varepsilon_{0}} = -\frac{Q}{3\varepsilon_{0}}$ है (चूंकि $P$ से आने वाला फ्लक्स घन में प्रवेश करता है,इसलिए यह ऋणात्मक है)।
$4$. दोनों आवेशों के कारण घन से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_{0}} = \frac{Q}{\varepsilon_{0}}$ है।
$5$. शेष $5$ फलकों से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_{5} = \phi_{total} - \phi_{ABCD} = \frac{Q}{\varepsilon_{0}} - (-\frac{Q}{3\varepsilon_{0}}) = \frac{4Q}{3\varepsilon_{0}} = \frac{8Q}{6\varepsilon_{0}}$।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{Q}{\varepsilon_{0}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Q$ सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है।
चूंकि आवेश $Q$ घन के केंद्र में स्थित है,इसलिए विद्युत फ्लक्स घन के सभी $6$ फलकों से समान रूप से वितरित होता है।
अतः,घन के किसी भी एक फलक से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_{face} = \frac{\phi_{total}}{6} = \frac{Q}{6 \varepsilon_{0}}$ होगा।

(D) दिया गया है,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E = (2i + 3j + k) \ NC^{-1}$ है।
क्षेत्रफल सदिश $S = 10i \ m^2$ है।
किसी सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$,विद्युत क्षेत्र सदिश और क्षेत्रफल सदिश के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा परिभाषित होता है:
$\phi = E \cdot S$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\phi = (2i + 3j + k) \cdot (10i)$
चूंकि $i \cdot i = 1$,$j \cdot i = 0$,और $k \cdot i = 0$ होता है:
$\phi = (2 \times 10) + (3 \times 0) + (1 \times 0)$
$\phi = 20 \ Nm^2 C^{-1}$।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$,सतह द्वारा घेरे गए कुल आवेश और मुक्त स्थान की विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ के अनुपात के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$।
इस प्रश्न में,बिंदु आवेश $+q$ को घन के केंद्र में रखा गया है,जो एक बंद सतह है।
इसलिए,घन से निकलने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$ होगा।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0}$ होता है,जहाँ $Q_{\text{in}}$ सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है।
$1$. आवेश $2q$ को शीर्ष $A$ पर रखा गया है। एक घन का शीर्ष $8$ निकटवर्ती घनों द्वारा साझा किया जाता है। इसलिए,घन के अंदर परिबद्ध आवेश का अंश $\frac{2q}{8} = \frac{q}{4}$ होगा।
$2$. आवेश $q$ को फलक $CDEF$ के केंद्र पर रखा गया है। एक घन का फलक $2$ निकटवर्ती घनों द्वारा साझा किया जाता है। इसलिए,घन के अंदर परिबद्ध आवेश का अंश $\frac{q}{2}$ होगा।
$3$. कुल परिबद्ध आवेश $Q_{\text{in}}$ इन दोनों का योग है: $Q_{\text{in}} = \frac{q}{4} + \frac{q}{2} = \frac{q + 2q}{4} = \frac{3q}{4}$.
$4$. अतः,घन से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0} = \frac{3q}{4\varepsilon_0}$ होगा।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ होता है।
जब एक आवेश $q$ को घन के एक शीर्ष पर रखा जाता है,तो वह घन आवेश के चारों ओर के कुल स्थान का केवल $\frac{1}{8}$ भाग घेरता है,क्योंकि आवेश को पूरी तरह से घेरने के लिए $8$ समान घनों की आवश्यकता होती है।
इसलिए,घन से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\Phi = \frac{1}{8} \times \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{q}{8\varepsilon_0}$ होगा।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
$3 \text{ cm}$ त्रिज्या वाले पहले गोले के लिए,केवल $x = 2 \text{ cm}$ पर स्थित आवेश $(q_1 = 8 \mu \text{C})$ गोले के अंदर परिबद्ध है।
इसलिए,पहले गोले से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_1 = \frac{8 \mu \text{C}}{\epsilon_0}$ है।
$5 \text{ cm}$ त्रिज्या वाले दूसरे गोले के लिए,$x = 2 \text{ cm}$ $(8 \mu \text{C})$ और $x = 4 \text{ cm}$ $(-2 \mu \text{C})$ दोनों आवेश गोले के अंदर परिबद्ध हैं।
इसलिए,कुल परिबद्ध आवेश $q_{\text{total}} = 8 \mu \text{C} - 2 \mu \text{C} = 6 \mu \text{C}$ है।
दूसरे गोले से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_2 = \frac{6 \mu \text{C}}{\epsilon_0}$ है।
विद्युत फ्लक्स का अनुपात $\frac{\phi_1}{\phi_2} = \frac{8 \mu \text{C} / \epsilon_0}{6 \mu \text{C} / \epsilon_0} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ है।