Matter Waves and de Broglie Wavelength Questions in Gujarati

(C) $K$ ગતિઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$\lambda_e \approx \frac{12.27}{\sqrt{K}} \, \mathring{A}$,જ્યાં $K$ એ $eV$ માં છે.
આપેલ છે કે $K = 1.5 \, eV$,તેથી $\lambda_e = \frac{12.27}{\sqrt{1.5}} \, \mathring{A}$.
ફોટોનની તરંગલંબાઈ $\lambda_p = \frac{hc}{E_p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\lambda_p = \lambda_e$,તેથી $\frac{hc}{E_p} = \frac{12.27}{\sqrt{1.5}} \, \mathring{A}$.
$hc \approx 12400 \, eV \cdot \mathring{A}$ નો ઉપયોગ કરતા,$E_p = \frac{12400 \cdot \sqrt{1.5}}{12.27} \, eV$.
$E_p \approx \frac{12400 \cdot 1.2247}{12.27} \approx 1237.5 \, eV \approx 1.24 \, keV$.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ કણનું દળ છે અને $K$ ગતિઊર્જા છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = K$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2 = 16K$ છે.
તેથી,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}} = \sqrt{\frac{K}{16K}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4} = 0.25$ થાય.
આમ,$\lambda_2 = 0.25 \lambda_1$.
તરંગલંબાઈમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{\lambda_1} \times 100\%$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{\lambda_1 - 0.25 \lambda_1}{\lambda_1} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\%$ મળે છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે, જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $m$ કણનું દળ છે અને $K$ ગતિઊર્જા છે.
આ સંબંધ પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = K$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2 = 16K$ છે.
તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}} = \sqrt{\frac{K}{16K}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4} = 0.25$ થાય.
આમ, $\lambda_2 = 0.25\lambda_1$.
તરંગલંબાઈમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{\lambda_1} \times 100\%$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $\frac{\lambda_1 - 0.25\lambda_1}{\lambda_1} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\%$ મળે છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોન $200 \, eV$ ની પ્રારંભિક ગતિજ ઉર્જા સાથે પ્લેટો વચ્ચેના વિસ્તારમાં પ્રવેશ કરે છે.
પ્લેટો $100 \, V$ ના પાવર સપ્લાય સાથે જોડાયેલી હોવાથી, તેમની વચ્ચે વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થાય છે. આકૃતિ મુજબ, ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં (ધન પ્લેટથી ઋણ પ્લેટ તરફ) ગતિ કરે છે, જે અવરોધક સ્થિતિમાન તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી, જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન બીજી પ્લેટમાંથી બહાર આવે છે ત્યારે તેની અંતિમ ગતિજ ઉર્જા $K_f = 200 \, eV - 100 \, eV = 100 \, eV$ થાય છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \, \mathring{A}$ છે, જ્યાં $V$ એ $eV$ માં ગતિજ ઉર્જા છે.
$V = 100 \, eV$ મૂકતા:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{100}} = \frac{12.27}{10} = 1.227 \, \mathring{A} \approx 1.22 \, \mathring{A}$.

(D) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને ગતિ ઉર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
આના પરથી કહી શકાય કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$,તેથી $\frac{\lambda'}{\lambda} = \sqrt{\frac{E}{E'}}$.
અહીં $\lambda = 1 \, nm$ અને $\lambda' = 0.5 \, nm$ આપેલ છે,તેથી $\frac{0.5}{1} = \sqrt{\frac{E}{E'}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{4} = \frac{E}{E'}$,જેનો અર્થ છે કે $E' = 4E$.
ઉમેરવી પડતી ઉર્જા $\Delta E = E' - E = 4E - E = 3E$ થાય.
આમ,ઉમેરવી પડતી ઉર્જા પ્રારંભિક ઉર્જા કરતા ત્રણ ગણી છે.

(C) ધારો કે બે ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન $\vec{p}_1 = \frac{h}{\lambda_1} \hat{i}$ અને $\vec{p}_2 = \frac{h}{\lambda_2} \hat{j}$ છે.
બંને ઇલેક્ટ્રોન હોવાથી,તેમનું દળ $m$ સમાન છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\vec{V}_{CM} = \frac{\vec{p}_1 + \vec{p}_2}{2m} = \frac{h}{2m\lambda_1} \hat{i} + \frac{h}{2m\lambda_2} \hat{j}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં પ્રથમ ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $\vec{v}_{1,CM} = \vec{v}_1 - \vec{V}_{CM} = \frac{\vec{p}_1 - \vec{p}_2}{2m} = \frac{h}{2m\lambda_1} \hat{i} - \frac{h}{2m\lambda_2} \hat{j}$ છે.
$CM$ ફ્રેમમાં ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન $\vec{p}_{CM} = m \vec{v}_{1,CM} = \frac{h}{2\lambda_1} \hat{i} - \frac{h}{2\lambda_2} \hat{j}$ છે.
આ વેગમાનનું મૂલ્ય $p_{CM} = \sqrt{(\frac{h}{2\lambda_1})^2 + (-\frac{h}{2\lambda_2})^2} = \frac{h}{2} \frac{\sqrt{\lambda_1^2 + \lambda_2^2}}{\lambda_1 \lambda_2}$ છે.
$CM$ ફ્રેમમાં ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_{CM} = \frac{h}{p_{CM}} = \frac{2\lambda_1\lambda_2}{\sqrt{\lambda_1^2 + \lambda_2^2}}$ થાય.

(C) ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ દળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
આપેલ છે કે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ સમાન છે,તેથી $\lambda_p = \lambda_{\alpha}$.
તેથી,$\frac{h}{m_p v_p} = \frac{h}{m_{\alpha} v_{\alpha}}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $m_p v_p = m_{\alpha} v_{\alpha}$,અથવા $\frac{v_p}{v_{\alpha}} = \frac{m_{\alpha}}{m_p}$ મળે છે.
$\alpha$-કણનું દળ પ્રોટોનના દળ કરતા આશરે $4$ ગણું હોવાથી $(m_{\alpha} = 4m_p)$,આપણે આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકીએ:
$\frac{v_p}{v_{\alpha}} = \frac{4m_p}{m_p} = \frac{4}{1}$.
આમ,પ્રોટોન અને $\alpha$-કણના વેગનો ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(C) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન માટે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}}\,\mathring{A}$ છે.
અહીં $V = 50\,V$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{50}}\,\mathring{A}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{50} \approx 7.071$.
તેથી,$\lambda = \frac{12.27}{7.071} \approx 1.735\,\mathring{A}$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\lambda \approx 1.7\,\mathring{A}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ કણ તરંગ જેવી લાક્ષણિકતાઓ દર્શાવે તે માટે,તેની તરંગલંબાઈ $\lambda$ પ્રાયોગિક રીતે શોધી શકાય તેટલી મોટી હોવી જોઈએ.
જેમ કે $\lambda$ એ કણના દળ $m$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી ખૂબ મોટા દળ ધરાવતા કણોની તરંગલંબાઈ અત્યંત નાની હોય છે,જેને વર્તમાન ટેકનોલોજી દ્વારા માપવી અશક્ય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,ધૂળના કણનું દળ સૌથી વધુ છે ($m$ ખૂબ વધારે છે).
તેથી,ધૂળના કણ માટે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ અત્યંત નાની હોય છે,જેના કારણે તેને પ્રાયોગિક રીતે ચકાસવું સૌથી મુશ્કેલ છે.

(C) આપેલ શરત મુજબ,કક્ષાનો પરિઘ એ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે:
$2 \pi r = n \lambda$
કારણ કે $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$,તેથી:
$2 \pi r = \frac{nh}{mv} \implies mvr = \frac{nh}{2 \pi}$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે,ચુંબકીય લોરેન્ટ્ઝ બળ એ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$qvB = \frac{mv^2}{r} \implies mv = qBr$
$mv = qBr$ ને ક્વોન્ટાઈઝેશન શરતમાં મૂકતા:
$(qBr)r = \frac{nh}{2 \pi} \implies qBr^2 = \frac{nh}{2 \pi}$
$r^2$ માટે ઉકેલતા:
$r^2 = \frac{nh}{2 \pi qB}$
આમ,$r = \sqrt{\frac{nh}{2 \pi qB}}$,જે દર્શાવે છે કે $r \propto n^{1/2}$.

(D) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણની ગતિઊર્જા $E = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$E_e = eV$.
પ્રોટોન માટે,$E_p = e(4V) = 4eV$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આથી,$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV}}$ અને $\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_p (4eV)}} = \frac{h}{2\sqrt{2m_p eV}}$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_e}{\lambda_p}$ લેતા:
$\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV}} \times \frac{2\sqrt{2m_p eV}}{h} = 2\sqrt{\frac{m_p}{m_e}}$.

(D) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
ઇલેક્ટ્રોન માટે ઉર્જા $E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times (7.5 \times 10^{-12})^2} \ J$.
ગણતરી કરતા, $E \approx 4.3 \times 10^{-15} \ J$ મળે છે।
આ ઉર્જાને $eV$ માં ફેરવતા: $E = \frac{4.3 \times 10^{-15}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 26875 \ eV = 26.8 \ keV$.
તેથી, નજીકનો વિકલ્પ $25 \ keV$ છે।

(D) ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફોટોનની તરંગલંબાઈ $\lambda_p = \frac{c}{\nu}$ છે,જ્યાં $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\lambda_e = 10^{-3} \times \lambda_p$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{h}{mv} = 10^{-3} \times \frac{c}{\nu}$.
ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $(v)$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $v = \frac{h \nu}{m c \times 10^{-3}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 6 \times 10^{14}}{9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^8 \times 10^{-3}}$.
$v = \frac{39.78 \times 10^{-20}}{27.3 \times 10^{-26}} = 1.457 \times 10^6 \, m/s \approx 1.45 \times 10^6 \, m/s$.

(C) $m$ દળ અને $q$ વીજભાર ધરાવતા કણ માટે $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતથી પ્રવેગિત થતી ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ $A$ માટે: $\lambda_A = \frac{h}{\sqrt{2mq(50)}}$.
કણ $B$ માટે: $\lambda_B = \frac{h}{\sqrt{2(4m)q(2500)}} = \frac{h}{\sqrt{8mq(2500)}} = \frac{h}{\sqrt{20000mq}}$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{\sqrt{2(4m)q(2500)}}{\sqrt{2mq(50)}} = \sqrt{\frac{8m \cdot q \cdot 2500}{2m \cdot q \cdot 50}} = \sqrt{\frac{20000}{100}} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ હોવાથી,ગુણોત્તર $10 \times 1.414 = 14.14$ થાય છે.

(D) ધારો કે બે કણોના વેગમાન $\vec{P}_1$ અને $\vec{P}_2$ છે. તેઓ કાટખૂણે ગતિ કરતા હોવાથી,આપણે તેમને $\vec{P}_1 = \frac{h}{\lambda_1} \hat{i}$ અને $\vec{P}_2 = \frac{h}{\lambda_2} \hat{j}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંતિમ કણનું વેગમાન $\vec{P}$ એ પ્રારંભિક વેગમાનનો સદિશ સરવાળો છે:
$\vec{P} = \vec{P}_1 + \vec{P}_2 = \frac{h}{\lambda_1} \hat{i} + \frac{h}{\lambda_2} \hat{j}$.
અંતિમ વેગમાનનું મૂલ્ય:
$|\vec{P}| = \sqrt{\left(\frac{h}{\lambda_1}\right)^2 + \left(\frac{h}{\lambda_2}\right)^2}$.
અંતિમ કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{|\vec{P}|}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{h}{\lambda} = \sqrt{\left(\frac{h}{\lambda_1}\right)^2 + \left(\frac{h}{\lambda_2}\right)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને $h^2$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda_1^2} + \frac{1}{\lambda_2^2}$.

(D) ધારો કે ન્યુક્લિયસ $A$ નું દળ $2m$ છે,તેથી દરેક ન્યુક્લિયસ $B$ અને $C$ નું દળ $m$ છે. ધારો કે $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $v_0$ છે. પ્રારંભિક વેગમાન $P_A = (2m)v_0$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ વેગમાન પ્રારંભિક વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ. ધારો કે $B$ નો વેગ $v$ છે. તો $C$ નો વેગ વિરુદ્ધ દિશામાં $v/2$ છે.
$P_f = m v - m(v/2) = m v / 2$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા: $2m v_0 = m v / 2$,જે આપણને $v = 4v_0$ આપે છે.
હવે,$B$ અને $C$ ના વેગમાનની ગણતરી કરીએ:
$P_B = m v = m(4v_0) = 4m v_0$.
$P_C = m(v/2) = m(2v_0) = 2m v_0$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = h/P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\lambda_A = h / (2m v_0)$.
$\lambda_B = h / P_B = h / (4m v_0) = \frac{1}{2} \times \frac{h}{2m v_0} = \frac{\lambda_A}{2}$.
$\lambda_C = h / P_C = h / (2m v_0) = \lambda_A$.
આમ,તરંગલંબાઈ $\lambda_B = \frac{\lambda_A}{2}$ અને $\lambda_C = \lambda_A$ છે.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સંઘાત પહેલાનું કુલ વેગમાન એ સંઘાત પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે કણ $x$ અને $y$ ના વેગમાન અનુક્રમે $\vec{p}_x$ અને $\vec{p}_y$ છે.
તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,આપણે એક દિશાને ધન અને બીજી દિશાને ઋણ લઈએ છીએ.
વેગમાનનું મૂલ્ય ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ સાથે $p = \frac{h}{\lambda}$ સંબંધ ધરાવે છે.
ધારો કે $p_x = \frac{h}{\lambda_x}$ અને $p_y = \frac{h}{\lambda_y}$.
કણ $P$ નું અંતિમ વેગમાન $p_f = |p_x - p_y|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$p_f = |\frac{h}{\lambda_x} - \frac{h}{\lambda_y}| = h |\frac{1}{\lambda_x} - \frac{1}{\lambda_y}|$.
કારણ કે $p_f = \frac{h}{\lambda}$,તેથી $\frac{h}{\lambda} = h |\frac{\lambda_y - \lambda_x}{\lambda_x \lambda_y}|$.
આમ,$\lambda = \frac{\lambda_x \lambda_y}{|\lambda_x - \lambda_y|}$.

(A) આપેલ છે કે ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e$ એ ફોટોનની તરંગલંબાઈ $\lambda_p$ જેટલી છે,તેથી $\lambda_e = \lambda_p = \lambda$.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_e = \frac{1}{2} m_e v_e^2$ છે.
ફોટોનની ઊર્જા $E_p = \frac{hc}{\lambda_p}$ છે.
ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ મુજબ,$\lambda_e = \frac{h}{m_e v_e}$,જેનો અર્થ છે કે $m_e = \frac{h}{\lambda_e v_e}$.
$m_e$ ની કિંમત ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા: $K_e = \frac{1}{2} \left( \frac{h}{\lambda_e v_e} \right) v_e^2 = \frac{h v_e}{2 \lambda_e}$.
હવે,ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા અને ફોટોનની ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_e}{E_p} = \frac{h v_e / 2 \lambda_e}{hc / \lambda_p} = \frac{v_e}{2c}$.
અહીં $v_e = 1.5 \times 10^8 \, m/s$ અને $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ આપેલ છે:
$\frac{K_e}{E_p} = \frac{1.5 \times 10^8}{2 \times 3 \times 10^8} = \frac{1.5}{6} = \frac{1}{4}$.

(D) તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન $P_{i} = 0$ છે કારણ કે ન્યુટ્રોન ધીમેથી ગતિ કરે છે (વેગમાન $\approx 0$) અને $M$ દળનું ન્યુક્લિયસ સ્થિર છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ વેગમાન $P_{f}$ પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે $m_{1}$ દળ ધરાવતા ન્યુક્લિયસનું વેગમાન $P_{1}$ છે અને $5m_{1}$ દળ ધરાવતા ન્યુક્લિયસનું વેગમાન $P_{2}$ છે.
આમ,$P_{1} + P_{2} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $P_{1} = -P_{2}$.
તેનું મૂલ્ય લેતા,$|P_{1}| = |P_{2}| = P$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ન્યુક્લિયસ માટે,$\lambda_{1} = \frac{h}{P_{1}} = \lambda$.
બીજા ન્યુક્લિયસ માટે,$\lambda_{2} = \frac{h}{P_{2}} = \frac{h}{P_{1}} = \lambda$.
તેથી,બીજા ન્યુક્લિયસની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ પણ $\lambda$ હશે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને ગતિ ઉર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}}$.
અહીં $\lambda_1 = 10^{-10} \ m$ અને $\lambda_2 = 0.5 \times 10^{-10} \ m$ આપેલ છે,તેથી $\frac{10^{-10}}{0.5 \times 10^{-10}} = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $2 = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}}$ મળે છે,તેથી $\frac{E_2}{E_1} = 4$,એટલે કે $E_2 = 4E_1$.
ઉમેરવી પડતી ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = 4E_1 - E_1 = 3E_1$ થાય.
આમ,ઉમેરવી પડતી ઉર્જા એ પ્રારંભિક ઉર્જા કરતા ત્રણ ગણી હશે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ વેગમાન છે.
વિકલન લેતા,આપણને $d\lambda = -\frac{h}{p^2} dp$ મળે છે.
$\lambda$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{d\lambda}{\lambda} = -\frac{dp}{p}$ મળે છે.
મૂલ્ય લેતા,$\left| \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \right| = \left| \frac{\Delta p}{p} \right|$.
આપેલ છે કે તરંગલંબાઈમાં ફેરફાર $0.25\%$ છે,તેથી $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{0.25}{100} = \frac{1}{400}$.
વેગમાનમાં આપેલ ફેરફાર $\Delta p = p_0$ મૂકતા,આપણને $\frac{p_0}{p} = \frac{1}{400}$ મળે છે.
તેથી,મૂળ વેગમાન $p = 400\,p_0$ થાય.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
અહીં ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને માટે ગતિઊર્જા $E = 10^{-32} \ J$ સમાન છે,તેથી $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રોટોનનું દળ $(m_p)$ એ ઇલેક્ટ્રોનના દળ $(m_e)$ કરતા ઘણું વધારે છે,એટલે કે $m_p > m_e$.
તેથી,$\sqrt{m_p} > \sqrt{m_e}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\sqrt{m_p}} < \frac{1}{\sqrt{m_e}}$.
આમ,પ્રોટોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ ઇલેક્ટ્રોન કરતા ઓછી છે,એટલે કે $\lambda_p < \lambda_e$.

(C) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ (વિદ્યુતભાર $q$,દળ $m$) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં લંબરૂપે દાખલ થાય છે,ત્યારે તેના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ નીચે મુજબ મળે છે:
$r = \frac{mv}{qB} \Rightarrow mv = qBr$
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર:
$\lambda = \frac{h}{mv}$
તરંગલંબાઇના સૂત્રમાં $mv = qBr$ મૂકતા:
$\lambda = \frac{h}{qBr}$
અહીં બંને કણો માટે ત્રિજ્યા $r$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન છે:
$\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_{p}} = \frac{q_{p}}{q_{\alpha}}$
$\alpha$-કણ માટે $q_{\alpha} = 2e$ અને પ્રોટોન માટે $q_{p} = e$ હોવાથી:
$\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_{p}} = \frac{e}{2e} = \frac{1}{2}$

(C) $m$ દળ ધરાવતા કણ માટે $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાન હેઠળની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $e$ એ કણનો વિદ્યુતભાર છે.
અહીં પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન બંને સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત થાય છે અને બંનેનો વિદ્યુતભાર $e$ સમાન છે,તેથી તરંગલંબાઇ એ કણના દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે:
$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m_e)$ એ પ્રોટોનના દળ $(m_p)$ કરતા ઘણું ઓછું છે,એટલે કે $m_e < m_p$.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{m_e}} > \frac{1}{\sqrt{m_p}}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_e > \lambda_p$.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
કણ અને ઇલેક્ટ્રોન બંનેની તરંગલંબાઈ સમાન હોવાથી,તેમનું વેગમાન પણ સમાન હશે.
$m_p v_p = m_e v_e$
અહીં,$m_p = 1\, mg = 10^{-6}\, kg$,$m_e = 9.1 \times 10^{-31}\, kg$,અને $v_e = 3 \times 10^6\, m\,s^{-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$v_p = \frac{m_e v_e}{m_p} = \frac{9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^6}{10^{-6}}$
$v_p = 27.3 \times 10^{-25} \times 10^6 = 27.3 \times 10^{-19} = 2.73 \times 10^{-18}\, m\,s^{-1}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,કણનો વેગ $2.7 \times 10^{-18}\, m\,s^{-1}$ છે.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ કણનું દળ છે અને $E$ એ ગતિ ઉર્જા છે.
બંને કણો માટે ઉર્જા $E$ સમાન હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ મળે.
તેથી,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{m_\alpha}{m_p}}$ થશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha$-કણનું દળ પ્રોટોનના દળ કરતા આશરે $4$ ગણું હોય છે $(m_\alpha \approx 4m_p)$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{4m_p}{m_p}} = \sqrt{4} = \frac{2}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(C) $m$ દળ ધરાવતા અને $v$ વેગથી ગતિ કરતા કણની ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $2m$ વડે ગુણતા,આપણને $2mE = m^2v^2$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,વેગમાન $p = mv = \sqrt{2mE}$ મળે છે.
ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
$p$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ મળે છે.

(D) $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે ત્યારે મળતી ગતિઊર્જા $K = qV$ છે.
ગતિઊર્જા $K = p^2 / 2m$ હોવાથી,જ્યાં $p$ વેગમાન છે અને $m$ દળ છે,તેથી $p = \sqrt{2mqV}$ મળે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$q_e = e$ અને દળ $m_e$ છે. તેથી,$p_e = \sqrt{2m_e eV}$.
આલ્ફા કણ માટે,$q_\alpha = 2e$ અને દળ $m_\alpha$ છે. તેથી,$p_\alpha = \sqrt{2m_\alpha (2e) V} = \sqrt{4m_\alpha eV}$.
વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{p_e}{p_\alpha} = \frac{\sqrt{2m_e eV}}{\sqrt{4m_\alpha eV}} = \sqrt{\frac{2m_e}{4m_\alpha}} = \sqrt{\frac{m_e}{2m_\alpha}}$ થાય.

(D) ઇલેક્ટ્રોન $200 \, eV$ ની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા સાથે પ્લેટો વચ્ચેના વિસ્તારમાં પ્રવેશે છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર ધન પ્લેટથી ઋણ પ્લેટ તરફ હોય છે. ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વીજભારિત હોવાથી,તે વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં બળ અનુભવે છે,એટલે કે તે મંદન અનુભવે છે.
પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 100 \, V$ છે,તેથી જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન પ્રથમ પ્લેટથી બીજી પ્લેટ તરફ જાય છે ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $W = qV = 100 \, eV$ છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન બીજી પ્લેટમાંથી બહાર આવે છે ત્યારે તેની અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_f = K_i - W = 200 \, eV - 100 \, eV = 100 \, eV$ છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \, \mathring{A}$ છે,જ્યાં $V$ એ ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ગતિ ઉર્જા છે.
$V = 100 \, eV$ મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{100}} = \frac{12.27}{10} = 1.227 \, \mathring{A}$ મળે છે.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$\lambda \approx 1.23 \, \mathring{A}$ મળે છે.
આમ,$1.23 \, \mathring{A}$ આપેલા વિકલ્પોમાં નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
$\alpha$-કણ માટે,દળ $m_{\alpha} = 4u$ અને વેગ $v_{\alpha} = v$ છે. તેથી,$\lambda_{\alpha} = \frac{h}{4v}$.
ડ્યુટેરોન માટે,દળ $m_{D} = 2u$ અને વેગ $v_{D} = 2v$ છે. તેથી,$\lambda_{D} = \frac{h}{2 \times 2v} = \frac{h}{4v}$.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_{D}} = \frac{h/4v}{h/4v} = 1:1$.

(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાપમાન $T$ પર વાયુના અણુ માટે,સરેરાશ વર્ગમૂળ ઝડપ $v = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $m$ એ અણુનું દળ છે.
તરંગલંબાઇના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{m\sqrt{\frac{3kT}{m}}} = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$.
હાઇડ્રોજન $(H_2)$ માટે $T_1 = 27\,^oC = 300\,K$ અને હિલિયમ $(He)$ માટે $T_2 = 127\,^oC = 400\,K$,દળ $m_H = 2\,amu$ અને $m_{He} = 4\,amu$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_H}{\lambda_{He}} = \sqrt{\frac{m_{He} T_{He}}{m_H T_H}} = \sqrt{\frac{4 \times 400}{2 \times 300}} = \sqrt{\frac{1600}{600}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$ થાય.

(C) $V$ સ્થિતિમાન તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$
અહીં પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન બંને સમાન સ્થિતિમાન $V$ માંથી પસાર થાય છે અને બંનેનો વિદ્યુતભાર $q = e$ સમાન છે,તેથી:
$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$
આથી,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \sqrt{\frac{m_p}{m_e}}$

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ દળ છે અને $K$ એ ગતિઊર્જા છે.
પ્રોટોન માટે,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_p K}}$.
$\alpha$-કણ માટે,તેનું દળ $m_{\alpha} = 4m_p$ છે. આપેલી ગતિઊર્જા સમાન હોવાથી $(K_p = K_{\alpha} = K)$,આપણને મળે છે $\lambda_{\alpha} = \frac{h}{\sqrt{2(4m_p)K}} = \frac{h}{2\sqrt{2m_p K}}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$\lambda_{\alpha} = \frac{\lambda_p}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_p = 2\lambda_{\alpha}$.

(C) માઇક્રોસ્કોપની વિભેદન શક્તિ વપરાતા વિકિરણની તરંગલંબાઇના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે સંબંધ $RP \propto \frac{1}{\lambda}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $4000 \, \mathring{A}$ થી $7000 \, \mathring{A}$ ની રેન્જમાં હોય છે.
ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતથી પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન માટે,તરંગલંબાઇ આશરે $\lambda \approx \frac{12.27}{\sqrt{V}} \, \mathring{A}$ થાય છે.
નાના પ્રવેગક વોલ્ટેજ માટે પણ,ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઇ દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇ કરતા ઘણી ઓછી હોય છે.
આમ,$\lambda_{\text{electron}} < \lambda_{\text{light}}$ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપની વિભેદન શક્તિ ઓપ્ટિકલ માઇક્રોસ્કોપ કરતા ઘણી વધારે હોય છે.

(B) વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{mv_{rms}} = \frac{h}{m} \sqrt{\frac{m}{3kT}} = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ છે.
હાઇડ્રોજન $(H_2)$ માટે,$m_H = 2$ એકમ અને $T_H = 27 + 273 = 300\text{ K}$.
હિલિયમ $(He)$ માટે,$m_{He} = 4$ એકમ અને $T_{He} = 127 + 273 = 400\text{ K}$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_H}{\lambda_{He}} = \sqrt{\frac{m_{He} T_{He}}{m_H T_H}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_H}{\lambda_{He}} = \sqrt{\frac{4 \times 400}{2 \times 300}} = \sqrt{\frac{1600}{600}} = \sqrt{\frac{16}{6}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$.

(B) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન માટે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \; \mathring{A}$ છે.
અહીં $V = 10,000 \; V = 10^4 \; V$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{10^4}} \; \mathring{A} = \frac{12.27}{100} \; \mathring{A} = 0.1227 \; \mathring{A}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \; \mathring{A} = 10^{-10} \; m$,તેથી $\lambda = 0.1227 \times 10^{-10} \; m = 12.27 \times 10^{-12} \; m$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,આ કિંમત આશરે $12.2 \times 10^{-12} \; m$ થાય છે.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_k}}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ કણનું દળ છે અને $E_k$ એ ગતિઊર્જા છે.
બંને કણો માટે ગતિઊર્જા $E_k$ સમાન હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ થાય.
તેથી,$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha}}{m_p}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha$-કણનું દળ પ્રોટોનના દળ કરતાં આશરે $4$ ગણું હોય છે,એટલે કે $m_{\alpha} = 4m_p$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{4m_p}{m_p}} = \sqrt{4} = 2$ મળે છે.
આમ,$\lambda_p : \lambda_{\alpha}$ નો ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(B) ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda_{\text{photon}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_{\text{photon}} = \frac{hc}{E}$.
$E$ ઉર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_{\text{electron}} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
બંને તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_{\text{electron}}}{\lambda_{\text{photon}}} = \frac{h / \sqrt{2mE}}{hc / E} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \times \frac{E}{hc}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{\lambda_{\text{electron}}}{\lambda_{\text{photon}}} = \frac{1}{c} \times \frac{E}{\sqrt{2mE}} = \frac{1}{c} \times \sqrt{\frac{E^2}{2mE}} = \frac{1}{c} \left(\frac{E}{2m}\right)^{1/2}$.

(C) પ્રારંભિક વેગ $\overrightarrow{v} = v_{0} \hat{i} + v_{0} \hat{j}$ છે. પ્રારંભિક ઝડપ $v = \sqrt{v_{0}^{2} + v_{0}^{2}} = v_{0} \sqrt{2}$ છે.
પ્રારંભિક ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_{0} = \frac{h}{m v_{0} \sqrt{2}} \implies h = \lambda_{0} m v_{0} \sqrt{2}$ થાય.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = -E_{0} \hat{k}$ છે. ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\overrightarrow{F} = -e \overrightarrow{E} = e E_{0} \hat{k}$ છે.
પ્રવેગ $\overrightarrow{a} = \frac{e E_{0}}{m} \hat{k}$ છે.
સમય $t$ પર,વેગ $\overrightarrow{v}(t) = v_{0} \hat{i} + v_{0} \hat{j} + \frac{e E_{0} t}{m} \hat{k}$ છે.
સમય $t$ પર ઝડપ $v(t) = \sqrt{v_{0}^{2} + v_{0}^{2} + \left(\frac{e E_{0} t}{m}\right)^{2}} = \sqrt{2 v_{0}^{2} + \frac{e^{2} E_{0}^{2} t^{2}}{m^{2}}}$ છે.
સમય $t$ પર ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{m v(t)} = \frac{\lambda_{0} m v_{0} \sqrt{2}}{m \sqrt{2 v_{0}^{2} + \frac{e^{2} E_{0}^{2} t^{2}}{m^{2}}}} = \frac{\lambda_{0} v_{0} \sqrt{2}}{\sqrt{2 v_{0}^{2} + \frac{e^{2} E_{0}^{2} t^{2}}{m^{2}}}} = \frac{\lambda_{0}}{\sqrt{1 + \frac{e^{2} E_{0}^{2} t^{2}}{2 m^{2} v_{0}^{2}}}}$ થાય.

(A) ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $a = \frac{|e|E}{m}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે $(u = 0)$,તેથી $t$ સમયે તેનો વેગ $v = at = \frac{|e|E}{m}t$ થશે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{m(\frac{|e|E}{m}t)} = \frac{h}{|e|Et}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગલંબાઈમાં થતા ફેરફારનો દર શોધવા માટે,આપણે $\lambda$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$\frac{d\lambda}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{h}{|e|Et}) = \frac{h}{|e|E} \cdot \frac{d}{dt}(t^{-1}) = \frac{h}{|e|E} (-t^{-2}) = -\frac{h}{|e|Et^2}$.

(C) $E$ ગતિઊર્જા ધરાવતા કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઊર્જામાં $\Delta E$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવી ગતિઊર્જા $E' = E + \Delta E$ થાય છે અને નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{\lambda}{2}$ થાય છે.
નવી તરંગલંબાઈ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(E + \Delta E)}}$.
$\lambda' = \frac{\lambda}{2}$ હોવાથી,$\frac{h}{\sqrt{2m(E + \Delta E)}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{2m(E + \Delta E)} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2mE}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{E + \Delta E} = \frac{1}{4E}$.
તેથી,$4E = E + \Delta E$,જે દર્શાવે છે કે $\Delta E = 3E$.

(N/A) દ્રવ્ય તરંગો,જેમને ડી-બ્રોગ્લી તરંગો તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે ગતિશીલ દ્રવ્યના કણો (જેમ કે ઇલેક્ટ્રોન,પ્રોટોન અથવા ન્યુટ્રોન) સાથે સંકળાયેલા તરંગો છે. ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,$p$ વેગમાન ધરાવતા કોઈપણ ગતિશીલ કણ સાથે $\lambda = h/p$ જેટલી તરંગલંબાઈ સંકળાયેલી હોય છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
દ્રવ્ય તરંગોનો ઉપયોગ કરતા સાધનો નીચે મુજબ છે:
$1$. ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપ: તે ઓપ્ટિકલ માઇક્રોસ્કોપ કરતા ઘણી વધારે રિઝોલ્યુશન મેળવવા માટે ઇલેક્ટ્રોનના તરંગ સ્વભાવનો ઉપયોગ કરે છે.
$2$. ઇલેક્ટ્રોન ડિફ્રેક્શન એપરેટસ: ઇલેક્ટ્રોનના વિવર્તન ભાત (diffraction patterns) નું અવલોકન કરીને પદાર્થોની સ્ફટિક રચનાનો અભ્યાસ કરવા માટે વપરાય છે.

(N/A) ઇલેક્ટ્રોન માટે:
દળ $m = 9.11 \times 10^{-31} \; kg$,ઝડપ $v = 5.4 \times 10^{6} \; m/s$.
વેગમાન $p = mv = (9.11 \times 10^{-31} \; kg) \times (5.4 \times 10^{6} \; m/s) = 4.92 \times 10^{-24} \; kg \cdot m/s$.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s}{4.92 \times 10^{-24} \; kg \cdot m/s} \approx 1.35 \times 10^{-10} \; m = 0.135 \; nm$.
$(b)$ દડા માટે:
દળ $m' = 0.150 \; kg$,ઝડપ $v' = 30.0 \; m/s$.
વેગમાન $p' = m'v' = (0.150 \; kg) \times (30.0 \; m/s) = 4.50 \; kg \cdot m/s$.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{h}{p'} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s}{4.50 \; kg \cdot m/s} \approx 1.47 \times 10^{-34} \; m$.
ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $X$-કિરણોની તરંગલંબાઈ સાથે સરખાવી શકાય તેવી છે,જ્યારે દડા માટે તે અત્યંત નાની (પ્રોટોનના કદ કરતાં લગભગ $10^{-19}$ ગણી) છે,જે પ્રાયોગિક માપન માટે અશક્ય છે.

(C) કણની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = h / p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K = p^2 / (2m)$ હોવાથી,વેગમાન $p = \sqrt{2mK}$ લખી શકાય.
આ કિંમત તરંગલંબાઇના સૂત્રમાં મૂકતા,$\lambda = h / \sqrt{2mK}$ મળે છે.
સમાન ગતિઊર્જા $K$ માટે,તરંગલંબાઇ તેના દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\lambda \propto 1 / \sqrt{m}$.
દળની સરખામણી કરતા: $m_{\alpha} > m_p > m_e$.
$\alpha$-કણનું દળ ત્રણેયમાં સૌથી વધુ હોવાથી,તેની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ સૌથી ટૂંકી હશે.

(N/A) $m$ દળ અને $v$ વેગ ધરાવતા કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,તરંગલંબાઇ $\lambda_e = \frac{h}{m_e v_e}$ છે.
આપેલ છે કે કણનો વેગ $v = 3v_e$ અને તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda}{\lambda_e} = 1.813 \times 10^{-4}$ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\lambda}{\lambda_e} = \frac{h/mv}{h/m_e v_e} = \frac{m_e v_e}{mv} = 1.813 \times 10^{-4}$.
કણના દળ $m$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $m = m_e \left( \frac{v_e}{v} \right) \left( \frac{\lambda_e}{\lambda} \right)$.
કિંમતો મૂકતા $m_e = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$,$\frac{v_e}{v} = \frac{1}{3}$,અને $\frac{\lambda_e}{\lambda} = \frac{1}{1.813 \times 10^{-4}}$:
$m = (9.11 \times 10^{-31} \ kg) \times \left( \frac{1}{3} \right) \times \left( \frac{1}{1.813 \times 10^{-4}} \right) \approx 1.675 \times 10^{-27} \ kg$.
આ દળ પ્રોટોન અથવા ન્યુટ્રોનના દળને અનુરૂપ છે.

(C) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
આપેલ છે:
$h = 6.6 \times 10^{-34}\; Js$
$m = 9.1 \times 10^{-31}\; kg$
$E = 100\; eV = 100 \times 1.6 \times 10^{-19}\; J = 1.6 \times 10^{-17}\; J$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-17}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{29.12 \times 10^{-48}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{5.396 \times 10^{-24}}$
$\lambda \approx 1.22 \times 10^{-10}\; m$.
કારણ કે $1\; \mathring{A} = 10^{-10}\; m$,તેથી તરંગલંબાઈ આશરે $1.2\; \mathring{A}$ મળે છે.

(N/A) $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થતા ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન $p$ સૂત્ર $p = \sqrt{2meV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $m = 9.11 \times 10^{-31} \; kg$,$e = 1.602 \times 10^{-19} \; C$,અને $V = 56 \; V$.
$p = \sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-19} \times 56} \approx 4.04 \times 10^{-24} \; kg \cdot m/s$.
$(b)$ દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $\lambda = h/p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \; J \cdot s$ અને $p = 4.04 \times 10^{-24} \; kg \cdot m/s$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda = (6.626 \times 10^{-34}) / (4.04 \times 10^{-24}) \approx 1.64 \times 10^{-10} \; m = 0.164 \; nm$.

$(a)$ વેગમાન $p$ એ $p = \sqrt{2mK}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $K = 120 \ eV = 120 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 1.92 \times 10^{-17} \ J$ અને $m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$. તેથી,$p = \sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.92 \times 10^{-17}} \approx 5.91 \times 10^{-24} \ kg \ m/s$.
$(b)$ ઝડપ $v$ એ $K = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.92 \times 10^{-17}}{9.11 \times 10^{-31}}} \approx 6.5 \times 10^6 \ m/s$.
$(c)$ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{5.91 \times 10^{-24}} \approx 1.12 \times 10^{-10} \ m = 0.112 \ nm$ છે.

(N/A) આપેલ છે,તરંગલંબાઈ $\lambda = 589 \; nm = 589 \times 10^{-9} \; m$.
આ તરંગલંબાઈ સાથે સંકળાયેલ વેગમાન $p = \frac{h}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $h = 6.626 \times 10^{-34} \; J \cdot s$.
$p = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{589 \times 10^{-9}} \approx 1.125 \times 10^{-27} \; kg \cdot m/s$.
$(a)$ ઇલેક્ટ્રોન માટે,દળ $m_e = 9.11 \times 10^{-31} \; kg$. ગતિઊર્જા $K_e = \frac{p^2}{2m_e}$.
$K_e = \frac{(1.125 \times 10^{-27})^2}{2 \times 9.11 \times 10^{-31}} \approx 6.95 \times 10^{-25} \; J$.
$(b)$ ન્યુટ્રોન માટે,દળ $m_n = 1.675 \times 10^{-27} \; kg$. ગતિઊર્જા $K_n = \frac{p^2}{2m_n}$.
$K_n = \frac{(1.125 \times 10^{-27})^2}{2 \times 1.675 \times 10^{-27}} \approx 3.78 \times 10^{-28} \; J$.

(N/A) દ બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે,જ્યાં $h = 6.626 \times 10^{-34} \; J \cdot s$ છે.
$(a)$ આપેલ છે $m = 0.040 \; kg$,$v = 1.0 \; km/s = 1000 \; m/s$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{0.040 \times 1000} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{40} \approx 1.66 \times 10^{-35} \; m$.
$(b)$ આપેલ છે $m = 0.060 \; kg$,$v = 1.0 \; m/s$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{0.060 \times 1.0} \approx 1.10 \times 10^{-32} \; m$.
$(c)$ આપેલ છે $m = 1.0 \times 10^{-9} \; kg$,$v = 2.2 \; m/s$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.0 \times 10^{-9} \times 2.2} \approx 3.01 \times 10^{-25} \; m$.