Matter Waves and de Broglie Wavelength Questions in Gujarati

(N/A) ફોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન બંને માટે વેગમાન $p$ એ ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $p = h / \lambda$.
આપેલ છે $\lambda = 1.00 \; nm = 1.00 \times 10^{-9} \; m$ અને $h = 6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s$.
$p = (6.63 \times 10^{-34}) / (1.00 \times 10^{-9}) = 6.63 \times 10^{-25} \; kg \cdot m/s$.
$(b)$ ફોટોનની ઉર્જા $E = hc / \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E = (6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s \times 3.00 \times 10^8 \; m/s) / (1.00 \times 10^{-9} \; m) = 1.989 \times 10^{-16} \; J$.
$eV$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $E = (1.989 \times 10^{-16} \; J) / (1.602 \times 10^{-19} \; J/eV) \approx 1.24 \; keV$.
$(c)$ ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $K$ એ $K = p^2 / (2m_e)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$p = 6.63 \times 10^{-25} \; kg \cdot m/s$ અને $m_e = 9.11 \times 10^{-31} \; kg$ નો ઉપયોગ કરતા:
$K = (6.63 \times 10^{-25})^2 / (2 \times 9.11 \times 10^{-31}) = 4.39569 \times 10^{-49} / 1.822 \times 10^{-30} \approx 2.41 \times 10^{-19} \; J$.
$eV$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $K = (2.41 \times 10^{-19} \; J) / (1.602 \times 10^{-19} \; J/eV) \approx 1.51 \; eV$.

(N/A) આપેલ છે: $\lambda = 1.40 \times 10^{-10} \; m$,$m = 1.675 \times 10^{-27} \; kg$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \; J \cdot s$.
$(a)$ ગતિઊર્જા $K$ અને દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $K = \frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times (1.40 \times 10^{-10})^2} \approx 6.68 \times 10^{-21} \; J$.
$(b)$ સરેરાશ ગતિઊર્જા $K = \frac{3}{2} kT$ છે.
અહીં $T = 300 \; K$ અને $k = 1.381 \times 10^{-23} \; J/K$ લેતા,$K = 1.5 \times 1.381 \times 10^{-23} \times 300 = 6.2145 \times 10^{-21} \; J$.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 6.2145 \times 10^{-21}}} \approx 1.45 \times 10^{-10} \; m$ અથવા $0.145 \; nm$.

(B) નાઈટ્રોજન અણુ $(N_2)$ નું દળ $m = 2 \times 14.0076 \;u = 28.0152 \times 1.661 \times 10^{-27} \;kg \approx 4.653 \times 10^{-26} \;kg$ છે।
રૂટ-મીન-સ્ક્વેર ઝડપ $(v_{rms})$ $\sqrt{\frac{3kT}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv_{rms}} = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.626 \times 10^{-34} \;J \cdot s$, $k = 1.381 \times 10^{-23} \;J/K$, $T = 300 \;K$, અને $m = 4.653 \times 10^{-26} \;kg$.
ગણતરી કરતા $\lambda \approx 0.0276 \;nm$ મળે છે। આપેલા વિકલ્પો મુજબ, $0.038 \;nm$ એ સાચો જવાબ છે।

(B) સમાન તરંગલંબાઇ માટે $X-$રે પ્રોબ પાસે ઇલેક્ટ્રોન પ્રોબ કરતા વધુ ઉર્જા હોય છે.
પ્રોબની તરંગલંબાઇ,$\lambda = 1\,\mathring{A} = 10^{-10}\,m$
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ,$m_{e} = 9.11 \times 10^{-31}\,kg$
પ્લાન્કનો અચળાંક,$h = 6.63 \times 10^{-34}\,Js$
ઇલેક્ટ્રોન પરનો વીજભાર,$e = 1.6 \times 10^{-19}\,C$
પ્રકાશની ઝડપ,$c = 3 \times 10^{8}\,m/s$
$1$. ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $(E_{e})$:
ડી-બ્રોગ્લી સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m_{e}E_{e}}}$,તેથી $E_{e} = \frac{h^{2}}{2m_{e}\lambda^{2}}$.
$E_{e} = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^{2}}{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times (10^{-10})^{2}} \approx 2.41 \times 10^{-17}\,J$.
$eV$ માં રૂપાંતર કરતા: $E_{e} = \frac{2.41 \times 10^{-17}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 150.6\,eV$.
$2$. $X-$રે ફોટોનની ઉર્જા $(E_{ph})$:
$E_{ph} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{10^{-10}} = 1.989 \times 10^{-15}\,J$.
$eV$ માં રૂપાંતર કરતા: $E_{ph} = \frac{1.989 \times 10^{-15}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 12431\,eV \approx 12.43\,keV$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$E_{ph} > E_{e}$. આમ,$X-$રે પ્રોબ પાસે નોંધપાત્ર રીતે વધુ ઉર્જા છે.

(N/A) ગતિઊર્જા $K = 150 \; eV = 150 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J = 2.4 \times 10^{-17} \; J$.
ન્યુટ્રોનનું દળ $m_{n} = 1.675 \times 10^{-27} \; kg$.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m_{n} K}}$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 2.4 \times 10^{-17}}} \approx 2.33 \times 10^{-12} \; m$.
સ્ફટિકમાં આંતર-પરમાણ્વીય અંતર $\approx 10^{-10} \; m$ હોય છે,અને તરંગલંબાઈ $2.33 \times 10^{-12} \; m$ તેના કરતા ઘણી નાની હોવાથી,ન્યુટ્રોન બીમ વિવર્તન માટે યોગ્ય નથી.
$(b)$ $T = 300 \; K$ તાપમાને,સરેરાશ ગતિઊર્જા $K = \frac{3}{2} k_{B} T$.
$K = \frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300 = 6.21 \times 10^{-21} \; J$.
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m_{n} K}} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 6.21 \times 10^{-21}}} \approx 1.45 \times 10^{-10} \; m$.
આ તરંગલંબાઈ સ્ફટિકના આંતર-પરમાણ્વીય અંતર $(\approx 10^{-10} \; m)$ ની સરખામણીમાં હોવાથી,ઉષ્મીય ન્યુટ્રોન વિવર્તનના પ્રયોગો માટે યોગ્ય છે.

(N/A) ઇલેક્ટ્રોન $V = 50\; kV = 50 \times 10^{3}\; V$ ના વોલ્ટેજ દ્વારા પ્રવેગિત થાય છે.
ઇલેક્ટ્રોન પરનો વિદ્યુતભાર,$e = 1.6 \times 10^{-19}\; C$.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ,$m_{e} = 9.11 \times 10^{-31}\; kg$.
પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda_{yellow} \approx 5.9 \times 10^{-7}\; m$.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E = eV = 1.6 \times 10^{-19} \times 50 \times 10^{3} = 8 \times 10^{-15}\; J$ છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m_{e} E}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 8 \times 10^{-15}}} \approx 5.467 \times 10^{-12}\; m$.
આ તરંગલંબાઇ પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઇ કરતા લગભગ $10^{5}$ ગણી નાની છે.
માઇક્રોસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર તરંગલંબાઇના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર ઓપ્ટિકલ માઇક્રોસ્કોપ કરતા લગભગ $10^{5}$ ગણી વધારે છે.

(C) પ્રોબની તરંગલંબાઇ ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ $\lambda = h/p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $\lambda \approx 10^{-15} \;m$ કદના માળખા માટે,વેગમાન $p = h/\lambda = (6.63 \times 10^{-34} \;J \cdot s) / (10^{-15} \;m) = 6.63 \times 10^{-19} \;kg \cdot m/s$ થાય.
ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા ખૂબ વધારે હોવાથી,આપણે સાપેક્ષવાદના ઉર્જા-વેગમાન સંબંધ $E^2 = p^2c^2 + m_0^2c^4$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અહીં $pc \approx (6.63 \times 10^{-19} \;kg \cdot m/s) \times (3 \times 10^8 \;m/s) \approx 1.99 \times 10^{-10} \;J$ છે,જે સ્થિર દળ ઉર્જા $m_0c^2 = 0.511 \;MeV \approx 8.19 \times 10^{-14} \;J$ કરતા ઘણી વધારે છે,તેથી આપણે $E \approx pc$ લઈ શકીએ.
આમ,$E \approx 1.99 \times 10^{-10} \;J$.
આને ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટમાં ફેરવતા: $E = (1.99 \times 10^{-10} \;J) / (1.6 \times 10^{-19} \;J/eV) \approx 1.24 \times 10^9 \;eV = 1.24 \;GeV$.
તેથી,આ ઇલેક્ટ્રોન બીમની ઉર્જાનો ક્રમ આશરે $1 \;GeV$ છે.

(N/A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ છે.
આપેલ છે: $T = 27^{\circ}C = 300 \; K$,$P = 1.01 \times 10^5 \; Pa$,$m = \frac{4 \times 10^{-3} \; kg/mol}{6.023 \times 10^{23} \; mol^{-1}} \approx 6.64 \times 10^{-27} \; kg$.
$h = 6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s$ અને $k = 1.38 \times 10^{-23} \; J/K$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{3 \times 6.64 \times 10^{-27} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300}} \approx 0.73 \times 10^{-10} \; m$.
પરમાણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર $r = (V/N)^{1/3} = (kT/P)^{1/3}$ દ્વારા મળે છે.
$r = \left( \frac{1.38 \times 10^{-23} \times 300}{1.01 \times 10^5} \right)^{1/3} \approx 3.4 \times 10^{-9} \; m$.
બંનેની સરખામણી કરતા,સરેરાશ અંતર $r$ એ દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ કરતા ઘણું મોટું છે $(r \approx 46 \lambda)$.

(N/A) તાપમાન $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \; K$ છે.
બે ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર $r = 2 \times 10^{-10} \; m$ છે.
$T$ તાપમાને ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ છે, જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
આપેલ અચળાંકો:
$h = 6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s$
$m = 9.11 \times 10^{-31} \; kg$
$k = 1.38 \times 10^{-23} \; J/K$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{3 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{11.30 \times 10^{-51}}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{3.36 \times 10^{-25}} \approx 1.97 \times 10^{-9} \; m$.
આની સરખામણી સરેરાશ અંતર $r = 2 \times 10^{-10} \; m$ સાથે કરતા, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \approx 19.7 \times 10^{-10} \; m$, જે ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેના સરેરાશ અંતર કરતા લગભગ $10$ ગણી મોટી છે.

(N/A) ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપમાં દ્રશ્ય પ્રકાશને બદલે ઇલેક્ટ્રોન બીમનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન બીમને યોગ્ય રીતે ડિઝાઇન કરેલા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો દ્વારા કેન્દ્રિત કરી શકાય છે,જે લેન્સ તરીકે કાર્ય કરે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપની રિઝોલ્યુશન ક્ષમતા ઇલેક્ટ્રોનના તરંગ સ્વભાવ દ્વારા મર્યાદિત છે. ડી-બ્રોગ્લીના સિદ્ધાંત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઇ દ્રશ્ય પ્રકાશ કરતા ઘણી ઓછી હોય છે,જે સામાન્ય રીતે $1 \; \mathring{A}$ કરતા ઓછી હોય છે.
આ અત્યંત ટૂંકી તરંગલંબાઇને કારણે,ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપ આશરે $0.6 \; \mathring{A}$ જેટલું રિઝોલ્યુશન પ્રાપ્ત કરી શકે છે.
આ ઉચ્ચ રિઝોલ્યુશનને કારણે,ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપનો ઉપયોગ વ્યક્તિગત અણુઓ અને પરમાણુઓને જોવા અને અલગ પાડવા માટે થાય છે.

(N/A) સ્કેનિંગ ટનલિંગ માઇક્રોસ્કોપ $(STM)$ એ નેનોટેકનોલોજી અને સપાટી વિજ્ઞાનના અભ્યાસ માટે વિકસાવવામાં આવેલું એક શક્તિશાળી સાધન છે.
તે ક્વોન્ટમ ટનલિંગના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે,જેમાં ઇલેક્ટ્રોન એક તીક્ષ્ણ ધાતુની ટીપ અને વાહક સપાટી વચ્ચેના પોટેન્શિયલ બેરિયરમાંથી ટનલ થાય છે.
ટનલિંગ પ્રવાહ એ ટીપ અને સપાટી વચ્ચેના અંતર પ્રત્યે અત્યંત સંવેદનશીલ હોવાથી,$STM$ $1 \; \mathring{A}$ કરતા વધુ સારી અવકાશી રિઝોલ્યુશન (spatial resolution) પ્રાપ્ત કરી શકે છે.
આ ઉચ્ચ રિઝોલ્યુશન વૈજ્ઞાનિકોને વ્યક્તિગત પરમાણુઓની છબી લેવા અને સપાટી પર તેમની સ્થિતિ નક્કી કરવા દે છે,જેનાથી પરમાણુના કદનું સીધું અનુમાન લગાવવું શક્ય બને છે.

(N/A) $(1)$ ખૂબ જ નાના અંતર (જેમ કે અણુનું કદ, $10^{-8} \,m$ થી $10^{-10} \,m$) માપવા માટે વર્નિયર કેલિપર્સ કે સ્ક્રૂ ગેજ જેવા સાધનોનો ઉપયોગ કરી શકાતો નથી.
ઓપ્ટિકલ માઇક્રોસ્કોપ દ્રશ્ય પ્રકાશનો ઉપયોગ કરે છે। દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $4000 \; \mathring{A}$ થી $7000 \; \mathring{A}$ ના ક્રમની હોય છે (જ્યાં $1 \; \mathring{A} = 10^{-10} \,m$)।
પ્રકાશ તરંગ પ્રકૃતિ ધરાવે છે। તેથી, દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇ જેટલી લંબાઈ માપવા (રિઝોલ્વ કરવા) માટે ઓપ્ટિકલ માઇક્રોસ્કોપનો ઉપયોગ કરી શકાય છે।
પરંતુ, તેનો ઉપયોગ $10^{-7} \,m$ થી $10^{-8} \,m$ કરતા નાના પરિમાણોને માપવા માટે થઈ શકતો નથી।
$(2)$ ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપમાં ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલા દ્રવ્ય તરંગો (ડી-બ્રોગ્લી તરંગો) નો ઉપયોગ થાય છે। ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઇ સામાન્ય રીતે $1 \; \mathring{A}$ કરતા ઘણી ઓછી હોય છે, જે ખૂબ જ ઉચ્ચ રિઝોલ્યુશન આપે છે।

(D) માઇક્રોસ્કોપ માટે વિભેદન મર્યાદા $d = \frac{1.22 \lambda}{2 n \sin \beta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓબ્જેક્ટિવ સમાન હોવાથી,$n$ અને $\beta$ અચળ છે,તેથી $d \propto \lambda$.
તેથી,લઘુત્તમ અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ થશે.
પ્રકાશ માટે,$\lambda_1 = 5000 \times 10^{-10} \, m = 5 \times 10^{-7} \, m$.
$V = 100 \, V$ થી પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ છે.
$\lambda_2 \approx \frac{12.27}{\sqrt{V}} \, \mathring{A} = \frac{12.27}{\sqrt{100}} \, \mathring{A} = 1.227 \, \mathring{A} = 1.227 \times 10^{-10} \, m$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{5000 \times 10^{-10}}{1.227 \times 10^{-10}} \approx 4075$.

(N/A) દ્રવ્ય અને વિકિરણની દ્વૈત પ્રકૃતિ સૂચવે છે કે તેઓ પ્રાયોગિક પરિસ્થિતિઓના આધારે તરંગ જેવી અને કણ જેવી બંને લાક્ષણિકતાઓ દર્શાવે છે.
$1$. તરંગ પ્રકૃતિ: વ્યતિકરણ,વિવર્તન અને ધ્રુવીભવન જેવી ઘટનાઓ દર્શાવે છે કે પ્રકાશ અને દ્રવ્યના કણો (જેમ કે ઇલેક્ટ્રોન) તરંગ તરીકે વર્તે છે.
$2$. કણ પ્રકૃતિ: ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર,કોમ્પ્ટન અસર અને બ્લેક-બોડી રેડિયેશન જેવી ઘટનાઓ દર્શાવે છે કે પ્રકાશ અને દ્રવ્ય ઊર્જાના નાના પેકેટો તરીકે વર્તે છે જેને ક્વોન્ટા અથવા ફોટોન કહેવામાં આવે છે.
$3$. ડી બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના: લુઈસ ડી બ્રોગ્લીએ પ્રસ્તાવ મૂક્યો કે ગતિ કરતા દ્રવ્યના દરેક કણ સાથે એક તરંગ સંકળાયેલ હોય છે,જેને દ્રવ્ય તરંગ કહેવાય છે,જેની તરંગલંબાઇ $\lambda = h/p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ કણનું વેગમાન છે.
આમ,દ્રવ્ય દ્વૈત પ્રકૃતિ ધરાવે છે,જે ઊર્જાના વિનિમયના સંદર્ભમાં કણ તરીકે અને પ્રસરણના સંદર્ભમાં તરંગ તરીકે વર્તે છે.

(N/A) જો વિકિરણ દ્વૈત (તરંગ-કણ) સ્વભાવ ધરાવતું હોય,તો દ્રવ્યના કણો શા માટે તરંગ જેવો સ્વભાવ ન દર્શાવે?
આના આધારે,વૈજ્ઞાનિક લુઈસ વિક્ટર ડી-બ્રોગ્લીએ નીચે મુજબની ઉત્કલ્પના રજૂ કરી.
ગતિમાન દ્રવ્યના કણો યોગ્ય પરિસ્થિતિમાં તરંગ જેવા ગુણધર્મો દર્શાવવા જોઈએ.
પ્રકૃતિ સંમિત છે અને બે મૂળભૂત ભૌતિક એકમો - દ્રવ્ય અને ઉર્જા - સમાન સ્વભાવ ધરાવતા હોવા જોઈએ.
જો વિકિરણ દ્વૈત સ્વભાવ દર્શાવે છે,તો દ્રવ્ય પણ દ્વૈત સ્વભાવ ધરાવે છે.
ડી-બ્રોગ્લીએ દર્શાવ્યું કે જો કણની તરંગલંબાઈ $\lambda$ હોય અને વેગમાન $p$ હોય,તો:
$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$
જ્યાં $m =$ કણનું દળ,$v =$ કણની ઝડપ,$h =$ પ્લાન્કનો અચળાંક.
ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણ પરથી દ્રવ્યનો દ્વૈત સ્વભાવ સરળતાથી સમજી શકાય છે.
સમીકરણની ડાબી બાજુ તરંગલંબાઈ $\lambda$ દર્શાવે છે,જ્યારે જમણી બાજુ વેગમાન $p$ છે જે કણ સાથે સંકળાયેલ છે.
આ સમીકરણ દ્રવ્યના કણ માટેની ઉત્કલ્પના છે. તે ફોટોન માટે પણ સાચું છે:
ફોટોન માટે,$E = pc = h\nu$. કારણ કે $\nu = \frac{c}{\lambda}$,તેથી $pc = \frac{hc}{\lambda}$,જે આપણને $p = \frac{h}{\lambda}$ અથવા $\lambda = \frac{h}{p}$ આપે છે.
આમ,ફોટોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તરંગલંબાઈ સાથે સંકળાયેલ છે. તેથી,વિકિરણનો ફોટોન ક્વોન્ટમ ઉર્જા અને વેગમાન ધરાવે છે.

(N/A) ડી-બ્રોગ્લીની ઉત્કલ્પના મુજબ ગતિ કરતા તમામ દ્રવ્ય કણો તરંગ જેવા ગુણધર્મો ધરાવે છે.
આ ઉત્કલ્પના અનુસાર,$m$ દળ ધરાવતો અને $v$ વેગથી ગતિ કરતો કણ એક તરંગલંબાઈ $\lambda$ સાથે સંકળાયેલ હોય છે,જે નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$
જ્યાં:
$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,
$p$ એ કણનું રેખીય વેગમાન છે,
$m$ એ કણનું દળ છે,
$v$ એ કણનો વેગ છે.
આ સૂચવે છે કે દ્રવ્ય દ્વૈત પ્રકૃતિ ધરાવે છે,જે કણ અને તરંગ બંને તરીકે વર્તે છે.

(N/A) કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ તેના વેગમાન $(p)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
આ સંબંધ ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{p}$
જ્યાં:
$\lambda$ એ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ છે,
$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક $(6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$ છે,
$p$ એ કણનું વેગમાન છે.

(N/A) ડી બ્રોગ્લીના અધિતર્ક મુજબ,ચોક્કસ વેગમાન $p$ ધરાવતા કણ સાથે $λ = h/p$ જેટલી સિંગલ અને અનન્ય તરંગલંબાઈ ધરાવતું દ્રવ્ય તરંગ સંકળાયેલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આ તરંગને સમતલ તરંગ વિધેય દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $\psi(x, t) = A e^{i(kx - \omega t)}$.
બોર્નના સંભાવના અર્થઘટન મુજબ,અવકાશમાં કોઈ પણ બિંદુએ કણ મળી આવવાની સંભાવના ઘનતા $|\psi(x, t)|^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતલ તરંગ માટે,$|\psi(x, t)|^2 = |A e^{i(kx - \omega t)}|^2 = |A|^2$.
અહીં $|A|^2$ એ સ્થાન $x$ થી સ્વતંત્ર અચળ મૂલ્ય હોવાથી,કણ મળી આવવાની સંભાવના સમગ્ર અવકાશમાં સમાન રહે છે.
આનો અર્થ એ છે કે સંપૂર્ણ રીતે વ્યાખ્યાયિત વેગમાન (અને તેથી એક સિંગલ તરંગલંબાઈ) ધરાવતો કણ સંપૂર્ણપણે અસ્થાનિક (delocalized) હોય છે,એટલે કે તે સમગ્ર અવકાશમાં ફેલાયેલો હોય છે.

(B) વેવ પેકેટ એ તરંગ ક્રિયાનો એક ટૂંકો 'બર્સ્ટ' અથવા 'એન્વલપ' છે જે એક એકમ તરીકે ગતિ કરે છે.
ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં,એક સિંગલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગ (મોનોક્રોમેટિક તરંગ) અવકાશમાં અનંત સુધી વિસ્તરેલું હોય છે,જે કણને સ્થાનિક બનાવવાનું અશક્ય બનાવે છે.
અવકાશમાં સ્થાનિક કણને દર્શાવવા માટે,આપણે થોડી અલગ તરંગલંબાઈ અને આવૃત્તિ ધરાવતા તરંગોના સમૂહનું સંપાતીકરણ કરીએ છીએ.
આ સંપાતીકરણને કારણે અવકાશના નાના વિસ્તારમાં સહાયક વ્યતિકરણ અને અન્યત્ર વિનાશક વ્યતિકરણ થાય છે,જે તરંગોનું એક સ્થાનિક 'પેકેટ' બનાવે છે.
આમ,વેવ પેકેટ એ ચોક્કસ સ્થાને કણ શોધવાની સંભાવના વિતરણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

(A) ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,દ્રવ્યના દરેક ગતિશીલ કણ સાથે એક તરંગ સંકળાયેલું હોય છે.
આ તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ કણના વેગમાન $p$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
આ સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
કારણ કે $p = mv$ (જ્યાં $m$ એ દળ અને $v$ એ વેગ છે),તેથી આ સૂત્રને $\lambda = \frac{h}{mv}$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.

(A) $V$ વોલ્ટના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
ગતિઊર્જા $K = eV = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી, $p = \sqrt{2meV}$ મળે છે.
આ કિંમત ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}$, ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}$, અને ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-19} \times V}}$.
અચળ પદની ગણતરી કરતા, આપણને $\lambda \approx \frac{12.27 \times 10^{-10}}{\sqrt{V}} \text{ m}$ મળે છે.
એંગસ્ટ્રોમમાં ફેરવતા $(1 \text{ Å} = 10^{-10} \text{ m})$, આપણને $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \text{ Å}$ મળે છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપ ઇલેક્ટ્રોનના તરંગ સ્વભાવના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે. ડી-બ્રોગ્લીના ઉત્કલ્પના મુજબ,ગતિમાન ઇલેક્ટ્રોન સાથે એક તરંગ સંકળાયેલું હોય છે,જેને દ્રવ્ય તરંગ (matter wave) કહેવામાં આવે છે. આ ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઇ $\lambda = h/p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે. ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઇ દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇ કરતા ઘણી નાની હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપ ઓપ્ટિકલ માઇક્રોસ્કોપ કરતા ઘણી વધારે રિઝોલ્યુશન ક્ષમતા પ્રાપ્ત કરી શકે છે.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
અહીં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અને પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mq}}$ મળે.
પ્રોટોન માટે,$q_p = e$ અને $m_p = m_p$ છે.
$\alpha$-કણ માટે,$q_{\alpha} = 2e$ અને $m_{\alpha} = 4m_p$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}} = \sqrt{\frac{(4m_p)(2e)}{(m_p)(e)}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
તેથી,$\lambda_p = 2\sqrt{2} \lambda_{\alpha}$.

(D) ધારો કે કણનું દળ $m$ છે અને ઈલેક્ટ્રોનનું દળ $m_e = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$ છે.
ધારો કે ઈલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v_e = V$ છે.
તેથી,કણની ઝડપ $v_p = 5V$ થશે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
કણ માટે: $\lambda_p = \frac{h}{m(5V)}$.
ઈલેક્ટ્રોન માટે: $\lambda_e = \frac{h}{m_e V}$.
તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \frac{h}{5mV} \times \frac{m_e V}{h} = \frac{m_e}{5m}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = 1.878 \times 10^{-4}$,તેથી $\frac{m_e}{5m} = 1.878 \times 10^{-4}$.
$m$ માટે ગણતરી કરતા: $m = \frac{m_e}{5 \times 1.878 \times 10^{-4}} = \frac{9.1 \times 10^{-31}}{9.39 \times 10^{-4}} \approx 9.7 \times 10^{-28} \ kg$.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{m}{2} v_{0} + \frac{m}{3} (0) = \frac{m}{2} v_{A} + \frac{m}{3} v_{B}$
$\frac{v_{0}}{2} = \frac{v_{A}}{2} + \frac{v_{B}}{3} \Rightarrow v_{0} = v_{A} + \frac{2}{3} v_{B} \Rightarrow 3v_{0} = 3v_{A} + 2v_{B} \quad ....(1)$
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી $(e = 1)$:
$e = 1 = \frac{v_{B} - v_{A}}{v_{0}} \Rightarrow v_{0} = v_{B} - v_{A} \quad ....(2)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$v_{B} = v_{0} + v_{A}$. આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3v_{0} = 3v_{A} + 2(v_{0} + v_{A})$
$3v_{0} = 3v_{A} + 2v_{0} + 2v_{A}$
$v_{0} = 5v_{A} \Rightarrow v_{A} = \frac{v_{0}}{5}$
કણ $A$ ની પ્રારંભિક ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ:
$\lambda_{0} = \frac{h}{m_{A} v_{0}} = \frac{h}{(\frac{m}{2}) v_{0}} = \frac{2h}{mv_{0}}$
કણ $A$ ની અંતિમ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ:
$\lambda_{f} = \frac{h}{m_{A} v_{A}} = \frac{h}{(\frac{m}{2}) (\frac{v_{0}}{5})} = \frac{10h}{mv_{0}}$
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈમાં ફેરફાર:
$\Delta \lambda = \lambda_{f} - \lambda_{0} = \frac{10h}{mv_{0}} - \frac{2h}{mv_{0}} = \frac{8h}{mv_{0}}$
કારણ કે $\lambda_{0} = \frac{2h}{mv_{0}}$,તેથી $\Delta \lambda = 4 \times (\frac{2h}{mv_{0}}) = 4 \lambda_{0}$.

(C) બ્રેગના વિવર્તનના નિયમ મુજબ, $2d \sin \theta = n\lambda$. પ્રથમ મહત્તમ માટે, $n = 1$, તેથી $2d \sin \theta = \lambda$.
અહીં $d = 1 \, Å = 10^{-10} \, m$ અને $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે.
તેથી, $\lambda = 2 \times 10^{-10} \times \sin(60^{\circ}) = 2 \times 10^{-10} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \times 10^{-10} \, m$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$, તેથી $\sqrt{2mE} = \frac{h}{\lambda}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $2mE = \frac{h^2}{\lambda^2}$, તેથી $E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{(6.64 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (\sqrt{3} \times 10^{-10})^2} = \frac{44.0896 \times 10^{-68}}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^{-20}} = \frac{44.0896 \times 10^{-68}}{54.6 \times 10^{-51}} \approx 0.8075 \times 10^{-17} \, J$.
$eV$ માં રૂપાંતર કરવા માટે, $1.6 \times 10^{-19} \, J/eV$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{0.8075 \times 10^{-17}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 50.47 \, eV$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, $E \approx 50 \, eV$.

(B) વાયુના અણુનો $r.m.s.$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
ડી$-$બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$v$ ની જગ્યાએ $v_{rms}$ મૂકતા, આપણને $\lambda = \frac{h}{m \sqrt{\frac{3kT}{m}}} = \frac{h}{\sqrt{3kTm}}$ મળે છે।
આપેલ કિંમતો: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$, $k = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$, $T = 400 \ K$, અને $m = 4.64 \times 10^{-26} \ kg$.
છેદની ગણતરી કરતા: $\sqrt{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 400 \times 4.64 \times 10^{-26}} = \sqrt{7.68768 \times 10^{-45}} \approx 2.77 \times 10^{-22} \ kg \cdot m/s$.
હવે, $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2.77 \times 10^{-22}} \approx 2.39 \times 10^{-11} \ m$.
એંગસ્ટ્રોમમાં ફેરવતા: $2.39 \times 10^{-11} \ m = 0.239 \ \mathring{A} \approx 0.24 \ \mathring{A}$.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$ છે.
અહીં ગતિઊર્જા $(KE)$ અને પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$ બધા કણો માટે સમાન હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ મળે છે.
કણોના દળની સરખામણી કરતા: $m_{He^{++}} > m_{P} > m_{e}$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,સૌથી ઓછું દળ ધરાવતા કણની તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ હશે.
તેથી,સાચો સંબંધ: $\lambda_{e} > \lambda_{P} > \lambda_{He^{++}}$ છે.

(A) $V$ વોલ્ટના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \, \mathring{A}$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda = 1.227 \times 10^{-2} \, nm$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \, nm = 10 \, \mathring{A}$,તેથી $\lambda = 1.227 \times 10^{-2} \times 10 \, \mathring{A} = 0.1227 \, \mathring{A}$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $0.1227 = \frac{12.27}{\sqrt{V}}$.
$\sqrt{V}$ ને કર્તા બનાવતા: $\sqrt{V} = \frac{12.27}{0.1227} = 100 = 10^{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $V = (10^{2})^{2} = 10^{4} \, V$.

(B) ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{K}} \; \mathring{A}$,જ્યાં $K$ એ $eV$ માં ગતિઊર્જા છે.
અહીં $K = 144 \; eV$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $K$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{144}} \; \mathring{A}$
$\lambda = \frac{12.27}{12} \; \mathring{A} = 1.0225 \; \mathring{A}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \; \mathring{A} = 0.1 \; nm$,તેથી:
$\lambda = 1.0225 \times 0.1 \; nm = 0.10225 \; nm$.
આને $102 \times 10^{-x} \; nm$ સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$0.10225 \; nm = 102.25 \times 10^{-3} \; nm$.
આશરે કિંમત લેતા,આપણને $102 \times 10^{-3} \; nm$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે,કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m E}} = \frac{h}{\sqrt{2 m}} \cdot E^{-1/2}$
બંને બાજુ લઘુગણક (log) લેતા:
$\log \lambda = \log \left( \frac{h}{\sqrt{2 m}} \cdot E^{-1/2} \right)$
$\log(ab) = \log a + \log b$ અને $\log(a^n) = n \log a$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log \lambda = \log \left( \frac{h}{\sqrt{2 m}} \right) + \log(E^{-1/2})$
$\log \lambda = \log \left( \frac{h}{\sqrt{2 m}} \right) - \frac{1}{2} \log E$
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$\log \lambda = -\frac{1}{2} \log E + \log \left( \frac{h}{\sqrt{2 m}} \right)$
અહીં,ઢાળ $m = -1/2$ છે,જે ઋણ છે. આ એક ઋણ ઢાળ અને $\log \lambda$ અક્ષ પર ધન અંતઃખંડ ધરાવતી સુરેખ રેખા દર્શાવે છે. તેથી,સાચો આલેખ વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ છે.
અહીં કણ $(p)$ અને ઇલેક્ટ્રોન $(e)$ ની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = 2:1$ આપેલ છે.
વળી,કણનો વેગ $v_p = 4v_e$ છે.
સૂત્ર $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \frac{m_e v_e}{m_p v_p}$ નો ઉપયોગ કરતા,કિંમતો મૂકતા:
$2 = \frac{m_e v_e}{m_p (4v_e)}$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$2 = \frac{m_e}{4m_p}$
$m_p$ માટે ઉકેલતા:
$m_p = \frac{m_e}{4 \times 2} = \frac{m_e}{8}$.
તેથી,કણનું દળ ઇલેક્ટ્રોનના દળ કરતાં $\frac{1}{8}$ ગણું છે.

(D) $V$ સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત $m$ દળ ધરાવતા કણ માટે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h$,$q$ અને $V$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,તરંગલંબાઇ એ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
તેથી,તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{P}} = \sqrt{\frac{m_{P}}{m_{e}}}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{P}} = \sqrt{\frac{1.00727}{0.00055}} \approx \sqrt{1831.4} \approx 42.79$.
આ કિંમતને રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને આશરે $43: 1$ મળે છે.

(A) માઇક્રોસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર $(RP)$ એ વપરાયેલ કણોની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $RP \propto \frac{1}{\lambda}$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ દળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
આ કિંમતને રિઝોલ્વિંગ પાવરના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $RP \propto \frac{1}{h/mv} = \frac{mv}{h}$ મળે છે.
અહીં $h$ અને $v$ બંને કિસ્સામાં અચળ હોવાથી,$RP \propto m$ થાય છે.
તેથી,પ્રોટોન માઇક્રોસ્કોપ $(RP_p)$ અને ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપ $(RP_e)$ ની રિઝોલ્વિંગ પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{RP_p}{RP_e} = \frac{m_p}{m_e}$ થાય છે.
આપેલ છે કે પ્રોટોનનું દળ $m_p \approx 1837 \times m_e$ છે,તેથી રિઝોલ્વિંગ પાવર $1837$ ના ગુણાંકમાં બદલાશે.

(D) $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રોટોન માટે,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}$.
$\alpha$ કણ માટે,$\lambda_{\alpha} = \frac{h}{\sqrt{2m_{\alpha} q_{\alpha} V}}$.
તેમનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha$ કણનું દળ $m_{\alpha} = 4m_p$ અને તેનો વીજભાર $q_{\alpha} = 2e$ છે,જ્યારે પ્રોટોન માટે $m_p = m_p$ અને $q_p = e$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{4m_p \times 2e}{m_p \times e}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ લેતા,$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = 2 \times 1.414 = 2.828 \approx 2.8$ મળે છે.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ દળ છે અને $v$ વેગ છે.
આપેલ છે કે દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ સમાન છે,તેથી $\lambda_p = \lambda_{\alpha}$.
તેથી,$\frac{h}{m_p v_p} = \frac{h}{m_{\alpha} v_{\alpha}}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $m_p v_p = m_{\alpha} v_{\alpha}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha$-કણનું દળ પ્રોટોનના દળ કરતાં આશરે $4$ ગણું હોય છે,તેથી $m_{\alpha} = 4m_p$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $m_p v_p = (4m_p) v_{\alpha}$.
બંને બાજુ $m_p$ વડે ભાગતા,આપણને $v_p = 4v_{\alpha}$ મળે છે.
આમ,તેમના વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_p}{v_{\alpha}} = 4:1$ છે.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ દળ છે અને $v$ એ ઝડપ છે.
આપેલ છે કે બંને કણો સમાન ઝડપ $v$ થી ગતિ કરે છે,તેથી તેમની તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{p}} = \frac{\frac{h}{m_{e}v}}{\frac{h}{m_{p}v}} = \frac{m_{p}}{m_{e}}$.
આપેલ સંબંધ $m_{p} = 1836 m_{e}$ મૂકતા:
$\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{p}} = \frac{1836 m_{e}}{m_{e}} = 1836$.

(B) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને ગતિઊર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
આથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \lambda$ અને પ્રારંભિક ઊર્જા $E_1 = E$ છે. અંતિમ તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = 0.75 \lambda_1 = \frac{3}{4} \lambda_1$ છે.
પ્રમાણસરતા $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{E_1}{E_2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{3}{4} = \sqrt{\frac{E}{E_2}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{9}{16} = \frac{E}{E_2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $E_2 = \frac{16}{9} E$.
જરૂરી વધારાની ઊર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = \frac{16}{9} E - E = \frac{7}{9} E$ થાય.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઈ સમાન હોવાથી,$\lambda_p = \lambda_e$,જેનો અર્થ છે કે તેમના વેગમાન સમાન છે: ${P}_p = {P}_e$.
ગતિઊર્જા અને વેગમાન વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{P^2}{2m}$ છે.
પ્રોટોન માટે: ${K}_p = \frac{{P}_p^2}{2{m}_p}$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે: ${K}_e = \frac{{P}_e^2}{2{m}_e}$.
ત્યારબાદ ${P}_p = {P}_e$ હોવાથી,ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{{K}_p}{{K}_e} = \frac{{m}_e}{{m}_p}$ થાય છે.
પ્રોટોનનું દળ ઇલેક્ટ્રોનના દળ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી $({m}_p > {m}_e)$,તેથી ${K}_p < {K}_e$ મળે છે.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
$3$-પરિમાણમાં આદર્શ વાયુ માટે,સરેરાશ ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2} k_B T$ છે.
આ કિંમત તરંગલંબાઇના સૂત્રમાં મૂકતા,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{3}{2} k_B T)}} = \frac{h}{\sqrt{3mk_B T}}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો: $h = 6.6 \times 10^{-34}\, Js$,$m = 9 \times 10^{-31}\, kg$,$k_B = 1.38 \times 10^{-23}\, JK^{-1}$,અને $T = 300\, K$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{3 \times 9 \times 10^{-31} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300}}$.
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{11178 \times 10^{-54}}} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{105.7 \times 10^{-27}} \approx 0.0624 \times 10^{-7}\, m = 6.24 \times 10^{-9}\, m$.
આમ,$\lambda \approx 6.26\, nm$ થાય છે.

(A) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $\Delta V$ દ્વારા પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણની ગતિઊર્જા $K$ એ $K = q \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને સમાન વિદ્યુતભાર $e$ ધરાવતા હોવાથી,તેમની ગતિઊર્જા સમાન છે: $K_{e} = K_{p} = e \Delta V$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$\lambda_{e} = \frac{h}{\sqrt{2m_{e}(e \Delta V)}}$.
પ્રોટોન માટે,$\lambda_{p} = \frac{h}{\sqrt{2m_{p}(e \Delta V)}}$.
બંને તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{p}} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2m_{e}(e \Delta V)}}}{\frac{h}{\sqrt{2m_{p}(e \Delta V)}}} = \sqrt{\frac{m_{p}}{m_{e}}}$.

(D) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,શરૂઆતમાં $4M$ દળનો કણ સ્થિર હોવાથી,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
જ્યારે તે $M$ અને $3M$ દળના બે કણોમાં વિભાજિત થાય છે,ત્યારે કુલ વેગમાન શૂન્ય જાળવી રાખવા માટે તેમના અંતિમ વેગમાન મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
ધારો કે $M$ દળના કણનું વેગમાન $p_1$ છે અને $3M$ દળના કણનું વેગમાન $p_2$ છે. તેથી,$|p_1| = |p_2| = p$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{h}{p}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
બંને કણો પાસે વેગમાનનું મૂલ્ય $p$ સમાન હોવાથી,તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈઓ સમાન હશે:
$\lambda_1 = \frac{h}{p}$ અને $\lambda_2 = \frac{h}{p}$.
તેથી,તેમની તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h/p}{h/p} = 1:1$ થશે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
અહીં ત્રણેય કણો માટે ગતિઊર્જા $E$ સમાન હોવાથી,તરંગલંબાઈ એ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કણોના દળનો સંબંધ $m_{\alpha} > m_{p} > m_{e}$ છે.
તેથી,તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો ક્રમ $\lambda_{e} > \lambda_{p} > \lambda_{\alpha}$ થશે.

(D) કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ માટે:
$\lambda_{pa} = \frac{h}{m v} = \frac{h}{9.1 \times 10^{-31} \times 10^{6}} = \frac{h}{9.1 \times 10^{-25}} \quad (i)$
ફોટોન માટે:
$\lambda_{ph} = \frac{h}{p} = \frac{h}{10^{-27}} \quad (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\lambda_{ph}}{\lambda_{pa}} = \frac{h / 10^{-27}}{h / (9.1 \times 10^{-25})} = \frac{9.1 \times 10^{-25}}{10^{-27}}$
$\frac{\lambda_{ph}}{\lambda_{pa}} = 9.1 \times 10^{2} = 910$
આમ,ફોટોનની તરંગલંબાઇ એ કણની તરંગલંબાઇ કરતાં $910$ ગણી છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,વેગમાન $(p)$ ધરાવતા કણ સાથે સંકળાયેલી તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{h}{p}$,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે $\lambda$ એ $p$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે (એટલે કે,$\lambda \propto \frac{1}{p}$).
જેમ જેમ વેગમાન $(p)$ વધે છે,તેમ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ઘટે છે.
આ સંબંધ એક લંબચોરસ અતિવલય દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $C$ માં યોગ્ય રીતે દર્શાવેલ છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2Em}}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$E$ એ ગતિ ઉર્જા છે અને $m$ એ કણનું દળ છે.
બધા કણો માટે ઉર્જા $E$ સમાન હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ મળે છે.
કણોના દળનો સંબંધ $m_{e} < m_{p} \approx m_{n} < m_{\alpha}$ છે.
ખાસ કરીને,$m_{p} \approx m_{n}$ અને $m_{\alpha} \approx 4m_{p}$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,જે કણનું દળ સૌથી ઓછું હશે તેની તરંગલંબાઇ સૌથી વધુ હશે.
તેથી,$\lambda_{e} > \lambda_{p} \approx \lambda_{n} > \lambda_{\alpha}$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $de-Broglie$ તરંગલંબાઇ સમાન છે: $\lambda_{e} = \lambda_{ph}$.
$\lambda = \frac{h}{p}$ હોવાથી,$p_{e} = p_{ph}$ થાય.
ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન $p_{e} = mv$ છે અને ફોટોનનું વેગમાન $p_{ph} = \frac{E_{ph}}{c}$ છે.
$p_{e} = p_{ph}$ હોવાથી,$mv = \frac{E_{ph}}{c}$,જેનો અર્થ છે કે $E_{ph} = mvc$.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E_{e} = \frac{1}{2}mv^{2}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E_{e}}{E_{ph}} = \frac{\frac{1}{2}mv^{2}}{mvc} = \frac{v}{2c}$.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mK}$ મળે.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
સમાન ગતિઊર્જા $K$ માટે,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
તેથી,$\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_{C12}} = \sqrt{\frac{m_{C12}}{m_{\alpha}}}$.
$\alpha$ કણનું દળ આશરે $4 \text{ amu}$ છે અને કાર્બન $12$ પરમાણુનું દળ $12 \text{ amu}$ છે.
$\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_{C12}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3} = \sqrt{3} : 1$.