Mix Examples-Dual Nature of Radiation and matter Questions in Gujarati

(C) સાપેક્ષ રેખીય વેગમાન $p$ નું સૂત્ર $p = \frac{m_0 v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ છે,જ્યાં $m_0$ એ સ્થિર દળ છે,$v$ એ વેગ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
જ્યારે વેગ $v$ ને બમણો કરીને $2v$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું વેગમાન $p'$ એ $p' = \frac{m_0 (2v)}{\sqrt{1 - (2v)^2/c^2}} = \frac{2 m_0 v}{\sqrt{1 - 4v^2/c^2}}$ બને છે.
$p'$ ની સરખામણી મૂળ વેગમાન $p$ સાથે કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે છેદ $\sqrt{1 - 4v^2/c^2}$ એ $\sqrt{1 - v^2/c^2}$ કરતા નાનો છે.
જેમ છેદ ઘટે છે,તેમ વેગમાનનું મૂલ્ય $2$ કરતા વધારે પરિબળથી વધે છે. આમ,રેખીય વેગમાન બમણા કરતા વધારે હશે.

(C) વિશિષ્ટ સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંત મુજબ, સમય વિસ્તરણનું સૂત્ર $T = \frac{T_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ છે, જ્યાં $T$ એ પૃથ્વી પર અવલોકન કરાયેલ સમય છે, $T_0$ એ અવકાશયાન પરનો યોગ્ય સમય છે, $v$ એ અવકાશયાનનો વેગ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ $(3 \times 10^8 \ m/s)$ છે。
આપેલ છે કે $T_0 = 1 \ \text{દિવસ}$ અને $T = 2 \ \text{દિવસ}$, તેથી:
$2 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$
$1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{4} = 0.25$
$\frac{v^2}{c^2} = 1 - 0.25 = 0.75$
$v = c \sqrt{0.75} = 3 \times 10^8 \times 0.866 = 2.598 \times 10^8 \ m/s \approx 2.6 \times 10^8 \ m/s$.

(C) ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોન (કેથોડ કિરણો) ની ગતિઊર્જા $(KE)$ ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $KE_{max} = h\nu - \Phi$, જ્યાં $h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\Phi$ એ પદાર્થનું વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રવેગક પોટેન્શિયલ $V$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા કેથોડ કિરણોના સંદર્ભમાં, પ્રાપ્ત થતી ગતિઊર્જા $KE = eV$ છે.
આમ, ગતિઊર્જા એ પ્રવેગક વોલ્ટેજ (અથવા આપાત ઊર્જા) અને કેથોડ પદાર્થના વર્ક ફંક્શન બંને પર આધાર રાખે છે.

(D) વિકિરણની દ્વૈત પ્રકૃતિનો અર્થ એ છે કે તે તરંગ અને કણ બંને જેવા ગુણધર્મો દર્શાવે છે.
$1$. $Photoelectric \, effect$ (ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર) વિકિરણની કણ પ્રકૃતિ દર્શાવે છે,જ્યાં પ્રકાશ ફોટોન નામના ઉર્જાના નાના પેકેટો તરીકે વર્તે છે.
$2$. $Diffraction$ (વિવર્તન) એ એક એવી ઘટના છે જે વિકિરણની તરંગ પ્રકૃતિ દર્શાવે છે,કારણ કે તેમાં તરંગો અવરોધોની આસપાસ વળે છે.
તેથી,$Photoelectric \, effect$ અને $Diffraction$ નું સંયોજન વિકિરણની દ્વૈત પ્રકૃતિની પુષ્ટિ કરે છે.

(D) પ્રકાશની કણ પ્રકૃતિ ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં પ્રકાશ ફોટોનના પ્રવાહ તરીકે વર્તે છે. ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિ ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપી દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન બીમ ઉચ્ચ રિઝોલ્યુશન મેળવવા માટે ચોક્કસ તરંગલંબાઇ (ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ) ધરાવતા તરંગ તરીકે વર્તે છે. આમ,આ ઘટનાઓ દ્વારા બંને પ્રકૃતિઓ પ્રદર્શિત થાય છે.

(D) ફોટો સેલ (અથવા ફોટોઈલેક્ટ્રિક સેલ) એવા ઉપકરણો છે જે પ્રકાશ ઉર્જાનું વિદ્યુત ઉર્જામાં રૂપાંતર કરે છે.
તેનો ઉપયોગ સિનેમા ફિલ્મમાંથી અવાજનું પુનઃઉત્પાદન કરવા માટે વ્યાપકપણે થાય છે,જ્યાં ફિલ્મ પરના સાઉન્ડ ટ્રેકમાંથી પસાર થતો પ્રકાશ વિદ્યુત સંકેતોમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેનો ઉપયોગ સ્ટ્રીટ લાઈટના સ્વચાલિત સ્વિચિંગ માટે પણ થાય છે,જ્યાં આસપાસના પ્રકાશની તીવ્રતા સર્કિટને નિયંત્રિત કરે છે.
તેથી,વિકલ્પ $b$ અને $c$ બંને ફોટો સેલના સાચા ઉપયોગો છે.

(B) તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = 2475 \ \mathring{A}$ ને અનુરૂપ ફોટોનની ઉર્જા $E_1 = \frac{12375}{2475} = 5 \ eV$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda_2 = 6000 \ \mathring{A}$ ને અનુરૂપ ફોટોનની ઉર્જા $E_2 = \frac{12375}{6000} = 2.06 \ eV$ છે.
અહીં $E_2 < W_0$ $(4.8 \ eV)$ અને $E_1 > W_0$ હોવાથી,માત્ર $\lambda_1$ સાથે જ ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન શક્ય છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K = E_1 - W_0 = 5 - 4.8 = 0.2 \ eV$ છે.
$K$ ને જુલમાં ફેરવતા: $K = 0.2 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 3.2 \times 10^{-20} \ J$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{\sqrt{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 3.2 \times 10^{-20}}}{1.6 \times 10^{-19} \times 3 \times 10^{-5}}$.
$r = \frac{\sqrt{57.6 \times 10^{-51}}}{4.8 \times 10^{-24}} = \frac{7.59 \times 10^{-25}}{4.8 \times 10^{-24}} \approx 0.05 \ m = 5 \ cm$.

(A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં,શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ એ બે ક્રમિક પ્રકાશિત અથવા અપ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ પરથી,મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકા અને પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકા વચ્ચેનું અંતર $y = 1.0\ mm$ છે. પ્રકાશિત અને તેની પછીની અપ્રકાશિત શલાકા વચ્ચેનું અંતર $\frac{\beta}{2}$ હોવાથી,$y = \frac{\beta}{2}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\beta = 2y = 2.0\ mm = 2.0 \times 10^{-3}\ m$.
શલાકાની પહોળાઈના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\lambda = \frac{\beta d}{D} = \frac{2.0 \times 10^{-3} \times 0.24 \times 10^{-3}}{1.2} = 4 \times 10^{-7}\ m = 4000\ \mathring{A}$.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{12400}{\lambda(\mathring{A})} \approx \frac{12400}{4000} = 3.1\ eV$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$E = W_0 + eV_0$,જ્યાં $W_0 = 2.2\ eV$ એ કાર્ય વિધેય છે.
$eV_0 = E - W_0 = 3.1\ eV - 2.2\ eV = 0.9\ eV$.
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0 = 0.9\ V$ થશે.

(A) થોમસન સ્પેક્ટ્રોગ્રાફમાં,વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોમાં વીજભારિત કણનું વિચલન પરવલયના સમીકરણ $y = kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ કણના વિશિષ્ટ વીજભાર $(q/m)$ પર આધાર રાખે છે.
સમાન વિશિષ્ટ વીજભાર $(q/m)$ ધરાવતા તમામ ધન આયનો તેમના વેગને ધ્યાનમાં લીધા વિના સમાન પરવલયાકાર માર્ગ પર રહેલા હોય છે.
આકૃતિ જોતા,બિંદુઓ $R$ અને $S$ એક જ પરવલય વક્ર પર આવેલા છે.
તેથી,$R$ અને $S$ નો વિશિષ્ટ વીજભાર સમાન હોવો જોઈએ.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) સતત વર્ણપટ ગીચ વાયુઓ અથવા ઘન પદાર્થોમાંથી ઉદ્ભવે છે જે ગરમીનું ઉત્સર્જન કરે છે.
તેઓ તરંગલંબાઇની વિશાળ શ્રેણીમાં વિકિરણોનું ઉત્સર્જન કરે છે,તેથી વર્ણપટ સરળ અને સતત દેખાય છે.
બ્લેકબોડી એ સતત વર્ણપટ ઉત્સર્જિત કરતું ઉત્તમ ઉદાહરણ છે.
કોઈપણ પદાર્થ જે ગરમીના ઉત્સર્જન દ્વારા ચમકે છે,જેમ કે ઇન્કેન્ડેસન્ટ લાઇટ બલ્બ,ઇલેક્ટ્રિક કૂકિંગ સ્ટોવ બર્નર,જ્વાળાઓ વગેરે,સતત વર્ણપટમાં વિકિરણોનું ઉત્સર્જન કરે છે.

(D) ઇલેક્ટ્રિક લેમ્પ અથવા લાલ ગરમ હીટર ઉષ્મીય ઉત્સર્જન (incandescence) ને કારણે પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરે છે.
આવા સ્ત્રોતોમાં,પરમાણુઓ એકબીજાની ખૂબ નજીક હોય છે અને તેમની ઉર્જા સપાટીઓ એકબીજા પર વ્યાપ્ત (overlap) થાય છે,જેના પરિણામે ચોક્કસ શ્રેણીની તમામ તરંગલંબાઇઓનું ઉત્સર્જન થાય છે.
આનાથી સતત વર્ણપટ (continuous spectrum) ઉત્પન્ન થાય છે,જેમાં દ્રશ્ય વર્ણપટના તમામ રંગો કોઈપણ અંતર વગર જોવા મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) પ્રકાશની દ્વૈત પ્રકૃતિનો અર્થ એ છે કે પ્રકાશ તરંગ અને કણ બંને જેવા ગુણધર્મો ધરાવે છે.
વિવર્તન એ એક એવી ઘટના છે જે પ્રકાશની તરંગ પ્રકૃતિ દર્શાવે છે.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર એ એક એવી ઘટના છે જે પ્રકાશની કણ પ્રકૃતિ (ફોટોન) દર્શાવે છે.
તેથી,વિવર્તન અને ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરનું સંયોજન પ્રકાશની દ્વૈત પ્રકૃતિ દર્શાવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda_{ph}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_{ph}$ એ ફોટોનની તરંગલંબાઈ છે.
તેથી,$\lambda_{ph} = \frac{hc}{E}$.
$E$ ગતિઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
હવે,ફોટોનની તરંગલંબાઈ અને ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{ph}}{\lambda_e} = \left( \frac{hc}{E} \right) \times \left( \frac{\sqrt{2mE}}{h} \right)$
$= \frac{c}{E} \times \sqrt{2mE} = c \sqrt{\frac{2mE}{E^2}} = c \sqrt{\frac{2m}{E}}$.

(C) ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ $I$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યાના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે બદલામાં પ્રતિ સેકન્ડ આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યાના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
જો આપાત પ્રકાશનો પાવર $P$ અચળ રાખવામાં આવે,તો $P = n \cdot \frac{hc}{\lambda}$,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા છે.
આમ,$n = \frac{P \lambda}{hc}$.
જેથી $I \propto n$ હોવાથી,$I \propto \lambda$ મળે છે.
જોકે,ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર ત્યારે જ થાય છે જો તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોય (એટલે કે $\lambda \le \lambda_0$).
જેમ $\lambda$ નાની કિંમતથી $\lambda_0$ તરફ વધે છે,તેમ અચળ પાવર $P$ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી ફોટોનની સંખ્યા $n$ વધે છે,અને તેથી ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ $I$ એ $\lambda = \lambda_0$ સુધી $\lambda$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે,ત્યારબાદ પ્રવાહ શૂન્ય થઈ જાય છે. આ વર્તણૂક આલેખ $C$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવી છે.

(D) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્લેટ $p$ માટે: $E_p = \frac{1240}{550} \approx 2.25 \ eV$. સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_p = E_p - \phi_p = 2.25 - 2.0 = 0.25 \ eV$.
પ્લેટ $q$ માટે: $E_q = \frac{1240}{450} \approx 2.75 \ eV$. સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_q = E_q - \phi_q = 2.75 - 2.5 = 0.25 \ eV$.
પ્લેટ $r$ માટે: $E_r = \frac{1240}{350} \approx 3.54 \ eV$. સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_r = E_r - \phi_r = 3.54 - 3.0 = 0.54 \ eV$.
તીવ્રતા સમાન હોવાથી,ત્રણેય પ્લેટો માટે સેચ્યુરેશન કરંટ $I_s$ સમાન રહેશે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલની સરખામણી કરતા: $V_p = V_q = 0.25 \ eV$ અને $V_r = 0.54 \ eV$.
આમ,પ્લેટ $p$ અને $q$ માટે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ સમાન હોવું જોઈએ (ઋણ $V$-અક્ષ પર સમાન છેદ),જ્યારે પ્લેટ $r$ માટે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલનું મૂલ્ય વધારે હોવું જોઈએ (ડાબી બાજુ વધુ દૂર).
આપેલા આલેખો જોતા,આલેખ $D$ માં $p$ અને $q$ ઋણ $V$-અક્ષ પર એક જ બિંદુએ શરૂ થાય છે,અને $r$ ડાબી બાજુએ વધુ દૂર શરૂ થાય છે,જે આપણી ગણતરી સાથે મેળ ખાય છે.

(D) તરંગ-કણ દ્વૈતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રકાશ તરંગ અને કણ બંને ગુણધર્મો ધરાવે છે.
વિધાન $(1)$ સાચું છે કારણ કે વ્યતિકરણ અને વિવર્તન જેવી ઘટનાઓ તરંગ પ્રકૃતિ દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે,જ્યારે ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર અને કોમ્પ્ટન સ્કેટરિંગ જેવી ઘટનાઓ કણ પ્રકૃતિ દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે.
વિધાન $(2)$ પણ સાચું છે કારણ કે કોઈપણ એક પ્રાયોગિક સેટઅપમાં,પ્રકાશ જે પ્રકારનું માપન કરવામાં આવે છે તેના આધારે કાં તો તરંગ તરીકે અથવા કણ તરીકે વર્તે છે. એક જ પ્રયોગમાં બંને પ્રકૃતિઓ એકસાથે અવલોકન કરવી અશક્ય છે.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં, ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ $(I)$ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા પર આધાર રાખે છે, જો આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(\nu > \nu_0)$ કરતા વધારે હોય.
થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(\nu_0)$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $(\lambda_0 = c / \nu_0)$ ને અનુરૂપ છે.
જો આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $(\lambda_0)$ કરતા વધારે હોય, તો ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થતું નથી અને પ્રવાહ $(I)$ શૂન્ય હોય છે.
જો તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $(\lambda_0)$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોય, તો ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થાય છે. જો તરંગલંબાઈ બદલાતી વખતે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા અચળ રહેતી હોય, તો ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ $(I)$ તમામ $\lambda \le \lambda_0$ માટે અચળ રહે છે.
તેથી, ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ $(I)$ વિરુદ્ધ તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ નો આલેખ $\lambda > \lambda_0$ માટે શૂન્ય પ્રવાહ અને $\lambda \le \lambda_0$ માટે અચળ પ્રવાહ દર્શાવે છે. આ વિકલ્પ $(B)$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$eV_0 = h\nu - \Phi$,જ્યાં $V_0$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,$\nu$ એ આવૃત્તિ છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,અને $\Phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા $V_0 = (h/e)\nu - (\Phi/e)$ મળે છે.
થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ એ આવૃત્તિ છે જ્યાં સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ શૂન્ય હોય છે,તેથી $\nu_0 = \Phi/h$,અથવા $\Phi = h\nu_0$.
આલેખ પરથી,આવૃત્તિ અક્ષ પરનો અંતઃખંડ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ દર્શાવે છે.
સપાટી $A$ માટેનો અંતઃખંડ સપાટી $B$ ના અંતઃખંડની ડાબી બાજુએ હોવાથી,આપણને $\nu_{0A} < \nu_{0B}$ મળે છે.
તેથી,કાર્ય વિધેય $\Phi_A = h\nu_{0A}$ એ કાર્ય વિધેય $\Phi_B = h\nu_{0B}$ કરતાં ઓછું છે.

(A) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે.
$\lambda_1 = 550\ nm$ માટે,$E_1 = \frac{1240}{550} \approx 2.25\ eV$.
$\lambda_2 = 450\ nm$ માટે,$E_2 = \frac{1240}{450} \approx 2.75\ eV$.
$\lambda_3 = 350\ nm$ માટે,$E_3 = \frac{1240}{350} \approx 3.54\ eV$.
ધાતુ $r$ $(\phi_r = 3.0\ eV)$ માટે,માત્ર $\lambda_3$ ઉત્સર્જન પ્રેરે છે $(E_3 > \phi_r)$.
ધાતુ $q$ $(\phi_q = 2.5\ eV)$ માટે,$\lambda_2$ અને $\lambda_3$ ઉત્સર્જન પ્રેરે છે $(E_2, E_3 > \phi_q)$.
ધાતુ $p$ $(\phi_p = 2.0\ eV)$ માટે,ત્રણેય $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ ઉત્સર્જન પ્રેરે છે $(E_1, E_2, E_3 > \phi_p)$.
તીવ્રતા સમાન હોવાથી,સંતૃપ્ત પ્રવાહ $I$ એ આપાત ફોટોનની સંખ્યા અને ઉત્સર્જન કરી શકે તેવી તરંગલંબાઈની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે. ધાતુ $p$ ત્રણેય તરંગલંબાઈ માટે ઉત્સર્જન આપે છે,તેથી તેનો સંતૃપ્ત પ્રવાહ મહત્તમ છે,જ્યારે ધાતુ $r$ માત્ર એક માટે આપે છે,તેથી તેનો પ્રવાહ ન્યૂનતમ છે. આમ,$I_p > I_q > I_r$ દર્શાવતો આલેખ સાચો છે.

(A) $EM$ વિકિરણનો કવોન્ટમ સ્વભાવ એવી ઘટનાઓ દ્વારા સમર્થિત છે જેમાં પ્રકાશ ઉર્જાના નાના પેકેટો તરીકે વર્તે છે,જેને ફોટોન કહેવામાં આવે છે.
$(1)$ ફોટો ઇલેક્ટ્રિક અસર દર્શાવે છે કે પ્રકાશ $E = h\nu$ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોનનો બનેલો છે,જે ધાતુની સપાટી પરથી ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢે છે.
$(2)$ કોમ્પ્ટન અસર ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ફોટોનના સ્કેટરિંગ (પ્રકીર્ણન) સાથે સંબંધિત છે,જે સાબિત કરે છે કે ફોટોન $p = h/\lambda$ વેગમાન ધરાવતા કણો તરીકે વર્તે છે.
$(3)$ ડોપ્લર અસર એ તરંગ ઘટના છે જે શાસ્ત્રીય તરંગો અને કવોન્ટમ કણો બંનેને લાગુ પડે છે.
$(4)$ ફિલ્ડ ઇફેક્ટ એ સેમિકન્ડક્ટર ભૌતિકશાસ્ત્ર સાથે સંબંધિત છે અને તે $EM$ વિકિરણના કવોન્ટમ સ્વભાવને ખાસ ટેકો આપતી નથી.
તેથી,ફોટો ઇલેક્ટ્રિક અસર અને કોમ્પ્ટન અસર બંને $EM$ વિકિરણના કવોન્ટમ સ્વભાવ માટે પુરાવા પૂરા પાડે છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સો $(i)$: ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહ્યો છે. ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વીજભારિત હોવાથી,તે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં બળ અનુભવે છે,જે તેના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં છે. આ બળ અવરોધક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v$ ઘટે છે. જેમ $v$ ઘટે છે,તેમ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ વધે છે.
કિસ્સો $(ii)$: ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે ગતિ કરી રહ્યો છે. ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ ઇલેક્ટ્રોનના વેગને લંબ રૂપે કાર્ય કરે છે. વેગને લંબ રૂપે કાર્ય કરતું ચુંબકીય બળ માત્ર ગતિની દિશા બદલે છે,વેગનું મૂલ્ય $v$ બદલતું નથી. તેથી,ઝડપ $v$ અચળ રહેતી હોવાથી,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ સમાન રહે છે.
આમ,કિસ્સા $(i)$ માં તરંગલંબાઈ વધે છે અને કિસ્સા $(ii)$ માં તે સમાન રહે છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $K$ એ ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા છે।
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને $K$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$K = \frac{q^2 B^2 r^2}{2m} = \left( \frac{e}{m} \right) \frac{e B^2 r^2}{2}$
આપેલ છે: $\frac{e}{m} = 1.7 \times 10^{11} \, C/kg$, $B = \frac{1}{\sqrt{17}} \times 10^{-5} \, T$, $r = 1 \, m$, અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$:
$K = \frac{1}{2} \times (1.7 \times 10^{11}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times \left( \frac{1}{\sqrt{17}} \times 10^{-5} \right)^2 \times (1)^2$
$K = 0.5 \times 1.7 \times 1.6 \times 10^{-8} \times \frac{1}{17} \times 10^{-10} = 0.8 \times 10^{-19} \, J = 0.5 \, eV$
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $E = W_0 + K_{max}$
$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12375 \, Å \cdot eV}{2475 \, Å} = 5 \, eV$
$W_0 = E - K_{max} = 5 \, eV - 0.5 \, eV = 4.5 \, eV$

(C) ફોટોઇલેક્ટ્રિક પ્રવાહ $I$ એ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે,જે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના પ્રમાણમાં હોય છે,જો આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે હોય. જો કે,જો એનોડ વોલ્ટેજ નિશ્ચિત હોય અને બધા ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનને એકત્રિત કરવા માટે પૂરતો ન હોય,તો પ્રવાહ ફોટોઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા પર આધાર રાખે છે. જેમ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ઘટે છે,તેમ આપાત ફોટોનની ઊર્જા $(E = hc/\lambda)$ વધે છે. આના પરિણામે ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે. ઉચ્ચ ગતિ ઊર્જા સાથે,વધુ સંખ્યામાં ફોટોઇલેક્ટ્રોન પોટેન્શિયલ બેરિયરને પાર કરીને એનોડ સુધી પહોંચી શકે છે,જેનાથી પ્લેટ પ્રવાહ $I$ વધે છે. તેથી,જેમ $\lambda$ ઘટે છે,તેમ $I$ વધે છે. આ સંબંધ એક વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં જેમ $\lambda$ વધે છે તેમ $I$ ઘટે છે,જે આલેખ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(D) ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર મુજબ,ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda$ વધે છે,તેમ આપાત ફોટોનની ઉર્જા ઘટે છે.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન ત્યારે જ થાય છે જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુની સપાટીના વર્ક ફંક્શન $\phi$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોય.
આનો અર્થ એ છે કે એક મહત્તમ તરંગલંબાઇ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,જેને થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ કહેવામાં આવે છે,જેથી તમામ $\lambda > \lambda_0$ માટે,ફોટોનની ઉર્જા કેથોડમાંથી ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવા માટે અપૂરતી હોય છે.
પરિણામે,તમામ $\lambda > \lambda_0$ માટે ફોટોઇલેક્ટ્રિક પ્રવાહ $I$ શૂન્ય હશે.
જેમ $\lambda$ નાના મૂલ્યથી $\lambda_0$ તરફ વધે છે,તેમ ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા (અને તેથી પ્રવાહ $I$) સામાન્ય રીતે ઘટે છે અથવા તીવ્રતાના આધારે અચળ રહે છે,પરંતુ તે $\lambda = \lambda_0$ પર શૂન્ય થવો જ જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જે આલેખ પ્રવાહ ઘટતો દર્શાવે છે અને અંતે ચોક્કસ તરંગલંબાઇ પર શૂન્ય થાય છે તે વિકલ્પ $(d)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $3 \rightarrow 2$ સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા:
$E = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \times \frac{5}{36} \approx 1.889 \ eV$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ઈલેક્ટ્રોનના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{eB}$ છે,જ્યાં $K$ એ ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા છે.
$K = \frac{r^2 e^2 B^2}{2m}$.
અહીં $r = 10.0 \ mm = 10^{-2} \ m$,$B = 3 \times 10^{-4} \ T$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,અને $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$ છે:
$K = \frac{(10^{-2})^2 \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (3 \times 10^{-4})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31}} \approx 0.79 \ eV \approx 0.8 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ: $E = \Phi + K$,જ્યાં $\Phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
$\Phi = E - K = 1.889 \ eV - 0.8 \ eV = 1.089 \ eV \approx 1.1 \ eV$.

(B) $1$. ફ્રેન્ક-હર્ટ્ઝ પ્રયોગે દર્શાવ્યું કે પરમાણુઓ માત્ર અસતત (discrete) જથ્થામાં જ ઉર્જાનું શોષણ કરી શકે છે,જે પરમાણુઓમાં અસતત ઉર્જા સ્તરોનું અસ્તિત્વ સાબિત કરે છે.
$2$. ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક અસરનો પ્રયોગ પ્રકાશની કણ પ્રકૃતિ માટે પુરાવા પૂરા પાડે છે,જે દર્શાવે છે કે પ્રકાશ ફોટોન નામના ક્વોન્ટાનો બનેલો છે.
$3$. ડેવિસન-ગર્મર પ્રયોગે ઇલેક્ટ્રોનનું વિવર્તન (diffraction) દર્શાવીને ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિની પુષ્ટિ કરી,જે ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પનાને સમર્થન આપે છે.
તેથી,સાચી જોડ $(a)-(ii), (b)-(i), (c)-(iii)$ છે.

(C) . હોલવાક્સ અને લેનાર્ડે ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરનું અવલોકન કર્યું હતું.
$B$. ફ્રેન્ક-હર્ટ્ઝ પ્રયોગે પરમાણુઓમાં ઉર્જા સ્તરોના ક્વોન્ટાઇઝેશન માટે પ્રાયોગિક પુરાવા પૂરા પાડ્યા હતા.
$C$. ક્લાઇસ્ટ્રોન વાલ્વ એ માઇક્રોવેવ ફ્રીક્વન્સી માટે એમ્પ્લીફાયર અથવા ઓસિલેટર તરીકે વપરાતી એક વિશિષ્ટ વેક્યુમ ટ્યુબ છે.
$D$. નિકોલા ટેસ્લા ટ્રાન્સફોર્મર્સ સહિત આધુનિક અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(AC)$ વીજ પુરવઠા પ્રણાલીઓની ડિઝાઇન માટે જાણીતા છે.
તેથી,સાચી જોડ $A \to S, B \to R, C \to Q, D \to P$ છે.

(A) વાહકમાં પ્રવાહ $I = n e A v_d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા, $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર, $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે。
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $I = 10^{20} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.25 \times 1.5$.
$I = 16 \times 0.25 \times 1.5 = 4 \times 1.5 = 6 \ A$.
દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $N_e = I / e = 6 / (1.6 \times 10^{-19}) = 3.75 \times 10^{19} \ \text{ઇલેક્ટ્રોન/સેકન્ડ}$.
આપેલ છે કે $60\%$ ઉત્સર્જિત ફોટોન ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જનમાં પરિણમે છે, ધારો કે $N_p$ એ દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા છે: $0.60 \times N_p = N_e$.
$N_p = N_e / 0.60 = (3.75 \times 10^{19}) / 0.6 = 6.25 \times 10^{19} \ \text{ફોટોન/સેકન્ડ}$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K.E_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $eV_0 = K.E_{max}$ દ્વારા સંબંધિત છે. તેથી,$V_0 = \frac{1}{e}\left[ \frac{hc}{\lambda} - \phi \right]$. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$r$ અંતરે પ્રકાશની તીવ્રતા $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ છે. એક ફોટોનની ઊર્જા $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$ છે. એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ એકમ સમયમાં ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{I}{E_{photon}} = \frac{P \lambda}{4 \pi r^2 hc}$ છે. $A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી સપાટી પર એકમ સમયમાં અથડાતા ફોટોનની સંખ્યા $N = n \times A = \frac{P \lambda A}{4 \pi hc r^2}$ છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
આમ,વિકલ્પ $A$,$B$ અને $C$ ત્રણેય સાચા વિધાનો હોવાથી,ખોટો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ અને આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $(\nu)$ વચ્ચેનો સંબંધ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e V_s = h(\nu - \nu_0)$
જ્યાં $e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને પદાર્થના વર્ક ફંક્શન પર આધાર રાખે છે.
તે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા $(I)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જેમ પ્રકાશની તીવ્રતા વધે છે,તેમ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ અચળ રહે છે.
આ $I$-અક્ષ (x-અક્ષ) ને સમાંતર એક સીધી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આમ,સાચો આલેખ વિકલ્પ $B$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $m$ અચળ હોવાથી,તરંગલંબાઇ ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v$ પર આધાર રાખે છે.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં,ચુંબકીય બળ $F = q(v \times B)$ વેગને લંબરૂપે લાગે છે. આ બળ ગતિની દિશા બદલે છે પરંતુ વેગનું મૂલ્ય (ઝડપ) બદલતું નથી. તેથી,ઝડપ $v$ રહે છે અને તરંગલંબાઇ અચળ રહે છે.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,ઇલેક્ટ્રોન પર વિદ્યુત બળ $F = qE$ લાગે છે. આ બળ ઇલેક્ટ્રોનની ગતિની સાપેક્ષમાં ક્ષેત્રની દિશાના આધારે વેગનું મૂલ્ય બદલી શકે છે.
જો વિદ્યુતક્ષેત્ર ઇલેક્ટ્રોનને પ્રવેગિત કરે,તો ઝડપ વધે છે અને $\lambda$ ઘટે છે. જો તે ઇલેક્ટ્રોનને પ્રતિપ્રવેગિત કરે,તો ઝડપ ઘટે છે અને $\lambda$ વધે છે.
તેથી,${\lambda _1}$ અને ${\lambda _2}$ વચ્ચેનો સંબંધ ઇલેક્ટ્રોનના વેગની સાપેક્ષમાં વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા પર આધાર રાખે છે.

(C) બિંદુવત ઉદગમમાંથી મળતી પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ વ્યસ્ત વર્ગના નિયમનું પાલન કરે છે,$I \propto \frac{1}{r^2}$.
જ્યારે અંતર $r$ બમણું કરવામાં આવે છે ($0.1\, m$ થી $0.2\, m$),ત્યારે તીવ્રતા મૂળ મૂલ્યના $\frac{1}{4}$ ગણી થાય છે.
સંતૃપ્ત પ્રવાહ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,નવો સંતૃપ્ત પ્રવાહ $\frac{24\, mA}{4} = 6\, mA$ થશે.
કટ-ઓફ વોલ્ટેજ (સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ) ફક્ત આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને પદાર્થના વર્ક ફંક્શન પર આધાર રાખે છે,તીવ્રતા પર નહીં. ઉદગમ સમાન હોવાથી,આવૃત્તિ બદલાતી નથી,તેથી કટ-ઓફ વોલ્ટેજ $0.8\, V$ જ રહેશે.

(B) ફોટોન માટે,ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda_{\text{photon}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $\lambda_{\text{photon}} = \frac{hc}{E}$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_{\text{electron}} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_{\text{photon}}}{\lambda_{\text{electron}}} = \frac{hc/E}{h/\sqrt{2mE}} = \frac{hc}{E} \cdot \frac{\sqrt{2mE}}{h} = c \sqrt{2m} \cdot \frac{\sqrt{E}}{E} = c \sqrt{2m} \cdot \frac{1}{\sqrt{E}}$.
તેથી,$\frac{\lambda_{\text{photon}}}{\lambda_{\text{electron}}} \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$.

(A) ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક $(EM)$ વિકિરણનું ક્વોન્ટમ સ્વરૂપ એ સૂચવે છે કે વિકિરણ એ ફોટોન નામના ઉર્જાના નાના પેકેટોનું બનેલું છે,જ્યાં દરેક ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રકાશ (ફોટોન) કોઈ પદાર્થ પર પડે છે અને ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરે છે,જે ફક્ત પ્રકાશના કણ (ક્વોન્ટમ) સ્વરૂપ દ્વારા જ સમજાવી શકાય છે.
$2$. કોમ્પટન અસર એ ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા એક્સ-રેના સ્કેટરિંગની પ્રક્રિયા છે,જે ફોટોનના કણ જેવા વેગમાનને દર્શાવે છે,જે $EM$ વિકિરણના ક્વોન્ટમ સ્વરૂપને વધુ સમર્થન આપે છે.
$3$. ડોપ્લર અસર અને ફિલ્ડ અસર એવી ઘટનાઓ છે જે વિકિરણના તરંગ સ્વરૂપ દ્વારા સમજાવી શકાય છે અને તેના માટે ક્વોન્ટમ (કણ) સિદ્ધાંતની જરૂર પડતી નથી.
તેથી,ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર અને કોમ્પટન અસર બંને $EM$ વિકિરણોના ક્વોન્ટમ સ્વરૂપને સમર્થન આપે છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોનની દ બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_e = \frac{h}{p_e} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\lambda_e = 1\,\mathring{A}$,તેથી ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E = \frac{h^2}{2m\lambda_e^2}$ થાય.
સંબંધ $E = \frac{150}{\lambda_e^2} \text{ eV}$ (જ્યાં $\lambda_e$ એ $\mathring{A}$ માં છે) નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $E = 150 \text{ eV}$ મળે છે.
ફોટોનની ઊર્જા ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા જેટલી હોવાથી,$E_{ph} = 150 \text{ eV}$.
ફોટોનની તરંગલંબાઇ $\lambda_{ph} = \frac{hc}{E_{ph}}$ દ્વારા મળે છે.
$hc \approx 12400 \text{ eV}\cdot\mathring{A}$ લેતા,$\lambda_{ph} = \frac{12400}{150} \mathring{A} \approx 82.67 \mathring{A}$ મળે છે.

(D) સાપેક્ષવાદના સિદ્ધાંત મુજબ,કણનું દળ તેની ઝડપ $v$ સાથે $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ સૂત્ર મુજબ વધે છે.
જોકે,કણનો વિદ્યુતભાર એ અચળ રાશિ છે અને તે તેની ઝડપ સાથે બદલાતો નથી.
તેથી,વિધાન ખોટું છે કારણ કે વિદ્યુતભાર અચળ રહે છે,જ્યારે કારણ સાચું છે કારણ કે તે સાપેક્ષવાદી દળમાં થતા ફેરફારનું સચોટ વર્ણન કરે છે.

(D) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર પ્રકાશની કણ પ્રકૃતિ દર્શાવે છે,તરંગ પ્રકૃતિ નહીં. તેથી,વિધાન ખોટું છે.
દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેની આવૃત્તિના નહીં. તેથી,કારણ પણ ખોટું છે.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને ખોટા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) ધન કિરણોનો વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{e}{m}$ એ વીજભાર અને દળના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. સાપેક્ષવાદના સિદ્ધાંત મુજબ,$v$ વેગથી ગતિ કરતા કણનું દળ $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m_0$ એ સ્થિર દળ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
જેમ કે દળ $m$ એ ઝડપ $v$ પર આધાર રાખે છે,તેથી વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{e}{m}$ પણ ઝડપ સાથે બદલાય છે.
તેથી,ધન કિરણોનો વિશિષ્ટ વીજભાર અચળ નથી કારણ કે આયનોનું દળ ઝડપ સાથે બદલાય છે.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(D) પ્રકાશનો કણવાદ (ન્યૂટનનો કોર્પસ્ક્યુલર સિદ્ધાંત) પ્રકાશના પરાવર્તન અને વક્રીભવન જેવી ઘટનાઓને સફળતાપૂર્વક સમજાવે છે.
ત્યારબાદ,પ્રકાશનો તરંગવાદ (હાઈગેન્સનો સિદ્ધાંત) વિકસાવવામાં આવ્યો હતો જે વ્યતિકરણ,વિવર્તન અને ધ્રુવીભવન જેવી ઘટનાઓને સમજાવે છે,જે કણવાદ સમજાવી શકતો ન હતો.
અંતે,પ્રકાશની ક્વોન્ટમ પ્રકૃતિ (કણ જેવું વર્તન) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર અને કોમ્પ્ટન અસર જેવી ઘટનાઓને સમજાવે છે.
તેથી,સૂચિબદ્ધ તમામ ઘટનાઓ પ્રકાશના કણ અથવા તરંગ સિદ્ધાંતો દ્વારા સમજાવી શકાય છે.

(A) ન્યૂટનના પ્રકાશના કણવાદ મુજબ,પ્રકાશ એ 'કોર્પસકલ્સ' નામના નાના કણોનો બનેલો છે.
ન્યૂટને એવી ધારણા કરી હતી કે ઘટ્ટ માધ્યમ દ્વારા કણો પર લાગતું આકર્ષણ બળ જ્યારે તેઓ માધ્યમમાં પ્રવેશ કરે છે ત્યારે તેમનો વેગ વધારે છે.
તેથી,આ સિદ્ધાંત મુજબ,ઘટ્ટ માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ પાતળા માધ્યમ કરતા વધારે હોય છે.
(નોંધ: આ અનુમાન પાછળથી ફુકોલ્ટના પ્રયોગ દ્વારા ખોટું સાબિત થયું હતું,જે દર્શાવે છે કે ઘટ્ટ માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ વાસ્તવમાં ઓછો હોય છે.)

(N/A) ક્વાર્કસ અપૂર્ણાંક વિદ્યુતભારો ધરાવે છે,પરંતુ તેઓ પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળો દ્વારા પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનની અંદર બંધાયેલા હોય છે. તેમને અલગ કરી શકાતા નથી,તેથી મિલિકનનો પ્રયોગ,જે મુક્ત કણોના વિદ્યુતભારને માપે છે,તે ફક્ત $e$ ના પૂર્ણાંક ગુણાંકને જ શોધી શકે છે.
$(b)$ વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રોમાં,ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ $e$ અને $m$ ને સમાવતા સમીકરણો દ્વારા સંચાલિત થાય છે,જે ફક્ત $e/m$ (વિશિષ્ટ વિદ્યુતભાર) ના ગુણોત્તર તરીકે હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે,$v = \sqrt{2V(e/m)}$ અને $v = Br(e/m)$. આમ,ગતિશાસ્ત્ર આ ગુણોત્તર દ્વારા નક્કી થાય છે.
$(c)$ સામાન્ય દબાણે,વાયુના અણુઓ ગીચ હોય છે,જેના કારણે વારંવાર અથડામણો અને આયનોનું પુનઃસંયોજન થાય છે,જે તેમને ઇલેક્ટ્રોડ સુધી પહોંચતા અટકાવે છે. ઓછા દબાણે,સરેરાશ મુક્ત પથ વધે છે,જે આયનોને ઇલેક્ટ્રોડ સુધી પહોંચવા અને વીજળીનું વહન કરવાની મંજૂરી આપે છે.
$(d)$ વર્ક ફંક્શન એ ધાતુની સપાટી પરથી ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા છે. ધાતુની અંદરના ઇલેક્ટ્રોન વિવિધ ઉર્જા સ્તરો ધરાવે છે. જ્યારે ફોટોન અથડાય છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન બહાર નીકળતા પહેલા અથડામણો દ્વારા ઉર્જા ગુમાવી શકે છે,જેના પરિણામે ગતિજ ઉર્જાનું વિતરણ જોવા મળે છે.
$(e)$ કણની નિરપેક્ષ ઉર્જા એડિટિવ કોન્સ્ટન્ટ સુધી મનસ્વી છે,જે આવૃત્તિ $\nu$ (નિરપેક્ષ ઉર્જા સાથે જોડાયેલ) ને ભૌતિક રીતે બિન-અનન્ય બનાવે છે. જો કે,તરંગલંબાઇ $\lambda$ વેગમાન સાથે સંબંધિત છે,જે માપી શકાય તેવું છે. પરિણામે,ફેઝ સ્પીડ $\nu\lambda$ ભૌતિક રીતે મહત્વપૂર્ણ નથી,જ્યારે ગ્રુપ સ્પીડ $v_g = d\nu/d(1/\lambda) = p/m$ એ કણના વેગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

(N/A) ઇલેક્ટ્રોનના કદની ઉપરની મર્યાદા નક્કી કરવાની એક શક્તિશાળી રીત ઉચ્ચ-ઊર્જા ઇલેક્ટ્રોન સ્કેટરિંગ પ્રયોગોનો ઉપયોગ કરવાની છે. ઇલેક્ટ્રોન પર અન્ય ઉચ્ચ-ઊર્જા કણોનો મારો ચલાવીને અથવા અત્યંત ઉચ્ચ ઊર્જા પર ન્યુક્લિયસમાંથી ઇલેક્ટ્રોનના સ્કેટરિંગનો અભ્યાસ કરીને,ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ ઇલેક્ટ્રોનની રચનાની તપાસ કરી શકે છે. જો ઇલેક્ટ્રોનનું કદ મર્યાદિત હોત,તો સ્કેટરિંગ ક્રોસ-સેક્શન ખૂબ જ ઉચ્ચ મોમેન્ટમ ટ્રાન્સફર પર પોઈન્ટ-પાર્ટિકલ ક્વોન્ટમ ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સ $(QED)$ ની આગાહીઓથી વિચલિત થાત. હાલમાં,પ્રાયોગિક પરિણામો સૂચવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન આશરે $10^{-18} \ m$ ના સ્કેલ સુધી બિંદુવત કણ તરીકે વર્તે છે.

(B) સ્કેનિંગ ટનલિંગ માઇક્રોસ્કોપ $(STM)$ એ પરમાણુ સ્તરે સપાટીઓનું ઇમેજિંગ કરવા માટે વપરાતું એક શક્તિશાળી સાધન છે.
તે ખાસ કરીને નેનોસ્કેલ પર પદાર્થનો અભ્યાસ કરવા અને તેને મેનીપ્યુલેટ કરવા માટે બનાવવામાં આવ્યું છે,જે તેને નેનો ટેકનોલોજીના ક્ષેત્રમાં એક પાયાનું સાધન બનાવે છે.

(N/A) પ્રકાશની પ્રકૃતિ (કણ કે તરંગ) એ કોઈ અંતર્ગત ગુણધર્મ નથી,પરંતુ તે તેના અવલોકન માટે વપરાતા પ્રાયોગિક સેટઅપ પર આધાર રાખે છે.
$1$. તરંગ પ્રકૃતિ: આંખના લેન્સ દ્વારા પ્રકાશને એકત્રિત કરવાની અને કેન્દ્રિત કરવાની પદ્ધતિને પ્રકાશના તરંગ સ્વરૂપ દ્વારા શ્રેષ્ઠ રીતે સમજાવી શકાય છે,કારણ કે તેમાં વક્રીભવન અને વ્યતિકરણ જેવી ઘટનાઓનો સમાવેશ થાય છે.
$2$. કણ પ્રકૃતિ: રેટિના પરના શંકુ (cone) અને સળી (rod) કોષો દ્વારા પ્રકાશનું શોષણ પ્રકાશના ફોટોન (કણ) સ્વરૂપની માંગ કરે છે,જ્યાં પ્રકાશ જૈવિક સંકેતોને ઉત્તેજિત કરવા માટે ઉર્જાના અલગ-અલગ પેકેટો તરીકે કાર્ય કરે છે.

(A) પરમાણુઓ અને અણુઓના દળને માપવા માટે વપરાતા સાધનને $Mass \ spectrometer$ (દળ સ્પેક્ટ્રોમીટર) કહેવામાં આવે છે. માસ સ્પેક્ટ્રોમીટર રાસાયણિક ઘટકોનું આયનીકરણ કરીને અને આયનોને તેમના દળ-થી-ચાર્જ ગુણોત્તર $(m/z)$ ના આધારે અલગ કરીને કાર્ય કરે છે.

(B) $E$ ઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_e = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E$ ઊર્જા ધરાવતા ફોટોનની તરંગલંબાઇ $\lambda_p = \frac{hc}{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઇ અને ફોટોનની તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \times \frac{E}{hc}$ થાય.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{1}{c} \frac{E}{\sqrt{2mE}} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}} = \frac{1}{c} \left(\frac{E}{2m}\right)^{1/2}$ મળે છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $3 \rightarrow 2$ સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $E = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \times \frac{5}{36} \approx 1.89 \, eV$ છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં તેમના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{mv}{qB}$ છે,જ્યાં $p = mv = qBr$.
તેથી,$K.E. = \frac{p^2}{2m} = \frac{(qBr)^2}{2m}$.
આપેલ છે કે $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$B = 5 \times 10^{-4} \, T$,અને $r = 7 \times 10^{-3} \, m$:
$p = (1.6 \times 10^{-19}) \times (7 \times 10^{-3}) \times (5 \times 10^{-4}) = 5.6 \times 10^{-25} \, kg \cdot m/s$.
$K.E. = \frac{(5.6 \times 10^{-25})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31}} = \frac{31.36 \times 10^{-50}}{18.2 \times 10^{-31}} \approx 1.723 \times 10^{-19} \, J$.
$eV$ માં રૂપાંતર કરતા: $K.E. = \frac{1.723 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 1.077 \, eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\Phi = E_{photon} - K.E._{max} = 1.89 \, eV - 1.077 \, eV = 0.813 \, eV \approx 0.82 \, eV$.

(C) આપેલ છે કે દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ સમાન છે: $\lambda_e = \lambda_{ph}$.
$\lambda = \frac{h}{p}$ હોવાથી,$p_e = p_{ph}$ મળે.
ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન $p_e = \sqrt{2mK_e}$ અને ફોટોનનું વેગમાન $p_{ph} = \frac{E_{ph}}{c}$ છે.
વેગમાનને સરખાવતા: $\sqrt{2mK_e} = \frac{E_{ph}}{c}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2mK_e = \frac{E_{ph}^2}{c^2}$.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(K_e)$ અને ફોટોનની ઊર્જા $(E_{ph})$ ના ગુણોત્તર માટે:
$\frac{K_e}{E_{ph}} = \frac{E_{ph}}{2mc^2}$.
$E_{ph} = p_{ph}c$ અને $p_{ph} = p_e = mv$ હોવાથી,$E_{ph} = (mv)c$ મૂકતા:
$\frac{K_e}{E_{ph}} = \frac{mvc}{2mc^2} = \frac{v}{2c}$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
આપેલ છે: $hc = 20 \times 10^{-26} \, J \cdot m$,$\lambda = 500 \times 10^{-9} \, m$,અને $\phi = 1.25 \, eV = 1.25 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 2 \times 10^{-19} \, J$.
$K_{\max} = \frac{20 \times 10^{-26}}{500 \times 10^{-9}} - 2 \times 10^{-19} = 4 \times 10^{-19} - 2 \times 10^{-19} = 2 \times 10^{-19} \, J$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{2 m_e K_{\max}}}{eB}$ છે.
$B$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $B = \frac{\sqrt{2 m_e K_{\max}}}{er}$.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{\sqrt{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 2 \times 10^{-19}}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.3} = \frac{\sqrt{36 \times 10^{-50}}}{0.48 \times 10^{-19}} = \frac{6 \times 10^{-25}}{0.48 \times 10^{-19}} = 12.5 \times 10^{-6} \, T = 125 \times 10^{-7} \, T$.
આમ,$B$ નું મૂલ્ય $125 \times 10^{-7} \, T$ છે.

(D) સિસ્ટમની કોણીય ઝડપ $\omega = 600 \,rev/s = 600 \times 2\pi \,rad/s = 1200\pi \,rad/s$ છે.
અણુને બીજી સ્લિટમાંથી પસાર થવા માટે,અણુને $L = 0.5 \,m$ અંતર કાપવા માટે લાગતા સમય $t$ માં બીજી ડિસ્ક $\pi$ રેડિયનના એકી ગુણાંકમાં (એટલે કે $\pi, 3\pi, 5\pi, \dots$) ફરવી જોઈએ.
લાગતો સમય $t = L/v$ છે.
ડિસ્ક દ્વારા ફરેલો ખૂણો $\theta = \omega t = \omega (L/v)$ છે.
સ્લિટ્સ એક સીધી રેખામાં આવે તે માટે,$\theta = (2n-1)\pi$ જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
તેથી,$\omega (L/v) = (2n-1)\pi$.
$v = \frac{\omega L}{(2n-1)\pi} = \frac{1200\pi \times 0.5}{(2n-1)\pi} = \frac{600}{2n-1}$.
$n=1$ માટે,$v_1 = 600/1 = 600 \,m/s$.
$n=2$ માટે,$v_2 = 600/3 = 200 \,m/s$.
આમ,બે સૌથી મોટી ઝડપ $600 \,m/s$ અને $200 \,m/s$ છે.