Particle Nature of Light : Photon Questions in Gujarati

(A) પ્લાન્ક અચળાંક એ એક મૂળભૂત ભૌતિક અચળાંક છે જેને $h$ સંજ્ઞા વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
તે ફોટોનની ઉર્જા અને તેની આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે,જે સમીકરણ $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્લાન્ક અચળાંકનું સ્વીકૃત મૂલ્ય આશરે $6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ છે.
આને બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) વિશિષ્ટ સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સાપેક્ષ ગતિએ ગતિ કરતી વસ્તુની લંબાઈ ગતિની દિશામાં સંકોચાય છે.
લંબાઈ સંકોચન માટેનું સૂત્ર $l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$ છે,જ્યાં $l_0$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$v$ એ વસ્તુનો વેગ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
આપેલ છે: $l_0 = 1 \, m$,$v = 2.7 \times 10^8 \, m/s$,અને $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$l = 1 \times \sqrt{1 - \left( \frac{2.7 \times 10^8}{3 \times 10^8} \right)^2}$
$l = \sqrt{1 - (0.9)^2}$
$l = \sqrt{1 - 0.81}$
$l = \sqrt{0.19}$
$l \approx 0.4358 \, m \approx 0.44 \, m$.
આમ,લાકડીની આભાસી લંબાઈ $0.44 \, m$ છે.

(A) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
$m$ દળ અને $E$ ગતિ ઉર્જા ધરાવતા કણ માટે,વેગમાન $p = \sqrt{2mE}$ છે. તેથી,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
ઉર્જા માટે સૂત્ર બનાવતા,$E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ મળે છે.
અહીં તરંગલંબાઈ $\lambda$ બધા માટે સમાન હોવાથી,ઉર્જા $E$ એ દળ $m$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(E \propto \frac{1}{m})$.
ફોટોન માટે,ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે. દળ ધરાવતા કણો સાથે સરખામણી કરતા,ફોટોન આ સંદર્ભમાં સૌથી ઓછું અસરકારક દળ ધરાવે છે,જેના કારણે સમાન તરંગલંબાઈ માટે તેની ઉર્જા સૌથી વધુ હોય છે.
તેથી,ફોટોનની ઉર્જા સૌથી વધુ હશે.

(A) સાપેક્ષવાદના સિદ્ધાંત મુજબ,કણની ઊર્જા $E$ અને વેગમાન $p$ તેના સ્થિર દળ $m_0$ સાથે $E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે.
શૂન્ય સ્થિર દળ $(m_0 = 0)$ ધરાવતા કણ માટે,સમીકરણ $E = pc$ માં પરિણમે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $p = mv$ અને $E = mc^2$ (જ્યાં $m$ એ સાપેક્ષ દળ છે),તેથી $mc^2 = mvc$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $v = c$.
તેથી,શૂન્ય સ્થિર દળ ધરાવતો કોઈપણ કણ,જેમ કે ફોટોન,શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c$ થી ગતિ કરવો જોઈએ.

(D) ફોટોનનું વેગમાન $p$ અને તેની આવૃત્તિ $\nu$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $p = \frac{h\nu}{c}$.
આવૃત્તિ $\nu$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\nu = \frac{pc}{h}$.
આપેલ છે: $p = 3.3 \times 10^{-29} \ kg \ m/s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$.
કિંમતો મૂકતા: $\nu = \frac{3.3 \times 10^{-29} \times 3 \times 10^8}{6.6 \times 10^{-34}}$.
$\nu = \frac{9.9 \times 10^{-21}}{6.6 \times 10^{-34}} = 1.5 \times 10^{13} \ Hz$.

(D) ફોટોનની ઊર્જા તેની આવૃત્તિના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જ્યાં સમપ્રમાણતાનો અચળાંક પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ છે.
ઊર્જા $E$,આવૃત્તિ $\nu$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = h\nu$ છે.
પ્રકાશની ઝડપ $c$ એ આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ સાથે $c = \nu\lambda$ દ્વારા સંબંધિત હોવાથી,આપણે આવૃત્તિને $\nu = c/\lambda$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $E = h(c/\lambda) = hc/\lambda$ મળે છે.

(C) ફોટોનની ઉર્જા $E$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = p \times c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
આપેલ વેગમાન $p = 2 \times 10^{-16} \text{ g} \cdot \text{cm/s}$ છે.
પ્રકાશની ગતિ $c = 3 \times 10^{10} \text{ cm/s}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = (2 \times 10^{-16} \text{ g} \cdot \text{cm/s}) \times (3 \times 10^{10} \text{ cm/s})$
$E = 6 \times 10^{-6} \text{ g} \cdot \text{cm}^2/\text{s}^2$
કારણ કે $1 \text{ erg} = 1 \text{ g} \cdot \text{cm}^2/\text{s}^2$,તેથી ઉર્જા $6 \times 10^{-6} \text{ erg}$ થશે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રકાશ ઉર્જાના પેકેટોના સ્વરૂપમાં પ્રસરણ પામે છે,જેને ફોટોન કહેવામાં આવે છે.
ફોટોનનું સ્થિર દળ શૂન્ય હોય છે. આ સાપેક્ષવાદના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવી શકાય છે.
સાપેક્ષવાદના દળના સમીકરણ મુજબ,કણનું દળ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$
સ્થિર દળ $(m_{0})$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$m_{0} = m \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$
ફોટોન હંમેશા પ્રકાશની ઝડપે $(v = c)$ ગતિ કરતો હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $v = c$ મૂકીએ છીએ:
$m_{0} = m \sqrt{1 - \frac{c^{2}}{c^{2}}} = m \sqrt{1 - 1} = 0$
તેથી,ફોટોનનું સ્થિર દળ $0$ છે.

(A) ફોટોનનું વેગમાન $p$ એ ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $p = \frac{h}{\lambda}$.
આપેલ છે:
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.6 \times 10^{-34}\,J\cdot s$
તરંગલંબાઈ $\lambda = 5000\,\mathring{A} = 5000 \times 10^{-10}\,m = 5 \times 10^{-7}\,m$.
કિંમતો મૂકતા:
$p = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{5 \times 10^{-7}}$
$p = 1.32 \times 10^{-27}\,kg\cdot m/s$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સંબંધ મુજબ,ફોટોનની ઊર્જા $E = mc^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વળી,ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu$ દ્વારા પણ દર્શાવી શકાય છે.
આ બંનેને સરખાવતા,આપણને $mc^2 = h\nu$ મળે છે.
વેગમાન $p$ એ $p = mc$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,આપણે ઊર્જાના સમીકરણને $p \cdot c = h\nu$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,ફોટોનનું વેગમાન $p = \frac{h\nu}{c}$ થાય.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ફોટોનની ઊર્જા $E$ એ $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વળી,દળ-ઊર્જા સંબંધ મુજબ,$E = mc^2$,જ્યાં $m$ એ ફોટોનનું સાપેક્ષ દળ છે.
ઊર્જા માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$mc^2 = h\nu$
તેથી,ગતિમાં રહેલા ફોટોનનું દળ $m = \frac{h\nu}{c^2}$ થાય છે.

(B) ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
ફોટોન માટે ઉર્જા અને વેગમાન વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$E = pc$,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
ઉર્જા માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $h\nu = pc$.
તેથી,આવૃત્તિ $\nu = \frac{pc}{h}$ થાય.

(B) ટ્રાન્સમીટરનો પાવર $P$ એ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા દ્વારા આપવામાં આવે છે,$P = \frac{E}{t}$.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$ હોવાથી,$t$ સમયમાં $n$ ફોટોન દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા $E = n \times \frac{hc}{\lambda}$ થાય.
તેથી,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $\frac{n}{t} = \frac{P \lambda}{hc}$ છે.
આપેલ છે: $P = 10 \ kW = 10^4 \ W$,$\lambda = 300 \ m$,$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{n}{t} = \frac{10^4 \times 300}{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$
$\frac{n}{t} = \frac{3 \times 10^6}{19.8 \times 10^{-26}}$
$\frac{n}{t} = \frac{3}{19.8} \times 10^{32} \approx 1.5 \times 10^{31}$ ફોટોન પ્રતિ સેકન્ડ.

(A) ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને વેગમાન $p = \frac{h}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફોટોનનો વેગ $c = \nu \lambda$ હોવાથી,આપણે ઉર્જાને $E = h \left( \frac{c}{\lambda} \right) = \frac{hc}{\lambda}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
વેગમાનના સમીકરણ $p = \frac{h}{\lambda}$ ને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $E = pc$ મળે છે.
આ સમીકરણને વેગ $c$ માટે ગોઠવતા,આપણને $c = \frac{E}{p}$ મળે છે.
આમ,ફોટોનનો વેગ $E/p$ છે.

(B) ફોટોનની ઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
જ્યારે ઊર્જા $eV$ માં અને તરંગલંબાઈ $\mathring A$ માં હોય,ત્યારે સંબંધ આશરે $E(eV) = \frac{12400}{\lambda(\mathring A)}$ થાય છે.
અહીં $E = 2.48 \,eV$ આપેલ છે,તેથી $2.48 = \frac{12400}{\lambda}$.
$\lambda = \frac{12400}{2.48} \, \mathring A$.
$\lambda = 5000 \, \mathring A$.
આમ,આશરે તરંગલંબાઈ $5000 \, \mathring A$ છે.

(B) ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$h = 6.62 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$
$\lambda = 21 \ cm = 0.21 \ m$
ઊર્જાને જૂલમાંથી ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે $1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ.
$E = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{0.21 \times 1.6 \times 10^{-19}} \ eV$
$E = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{0.336 \times 10^{-19}} \ eV$
$E \approx 5.91 \times 10^{-6} \ eV$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ફોટોનનું વેગમાન $p$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $p = \frac{h}{\lambda}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
આપેલ છે: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$ અને $\lambda = 10^{-10} \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$p = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{10^{-10}}$
$p = 6.6 \times 10^{-24} \ kg \ m/s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ક્વોન્ટમ (ફોટોન) ની ઊર્જા $E$ એ સૂત્ર $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે:
આવૃત્તિ $\nu = 10^{15} \ Hz$
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$E = (6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (10^{15} \ Hz)$
$E = 6.6 \times 10^{-34+15} \ J$
$E = 6.6 \times 10^{-19} \ J$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$E = mc^2$,જ્યાં $m$ એ સાપેક્ષ દળ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
બંને ઊર્જાના સમીકરણોને સરખાવતા: $mc^2 = h\nu$.
ફોટોનનું વેગમાન $p = mc$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોવાથી,આપણે $m = \frac{p}{c}$ ને સમીકરણમાં મૂકી શકીએ: $p = \frac{h\nu}{c}$.
$\nu = \frac{c}{\lambda}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\nu$ ની કિંમત મૂકીએ: $p = \frac{h(c/\lambda)}{c} = \frac{h}{\lambda}$.
તેથી,ફોટોનનું વેગમાન $\frac{h}{\lambda}$ છે.

(B) ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ આવૃત્તિ છે.
આપેલ ઉર્જા $E = 1 \;MeV = 1 \times 10^6 \;eV = 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \;J = 1.6 \times 10^{-13} \;J$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h \approx 6.63 \times 10^{-34} \;J \cdot s$.
સૂત્ર $\nu = \frac{E}{h}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\nu = \frac{1.6 \times 10^{-13} \;J}{6.63 \times 10^{-34} \;J \cdot s} \approx 0.241 \times 10^{21} \;Hz = 2.41 \times 10^{20} \;Hz$.
આમ,આવૃત્તિ આશરે $2.4 \times 10^{20} \;Hz$ છે.

(A) ફોટોનનું વેગમાન $p$ એ સૂત્ર $p = \frac{E}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E = h\nu$ એ ફોટોનની ઉર્જા છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $p = \frac{h\nu}{c}$.
આપેલ છે: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$,$\nu = 1.5 \times 10^{13} \ Hz$,અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
$p = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 1.5 \times 10^{13}}{3 \times 10^8}$.
$p = \frac{9.9 \times 10^{-21}}{3 \times 10^8} = 3.3 \times 10^{-29} \ kg \ m/s$.

(A) ફોટોનની ઊર્જા $E$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
આપેલ છે:
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.62 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$
તરંગલંબાઈ $\lambda = 450 \ nm = 450 \times 10^{-9} \ m$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{450 \times 10^{-9}}$
$E = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{450 \times 10^{-9}}$
$E = 0.04413 \times 10^{-17} \ J = 4.413 \times 10^{-19} \ J$
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$E \approx 4.4 \times 10^{-19} \ J$ મળે છે.

(C) ફોટોનની ઉર્જા સંબંધ $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
આપેલ ઉર્જા $E = 66 \ eV = 66 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h \approx 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\nu = \frac{E}{h}$.
$\nu = \frac{66 \times 1.6 \times 10^{-19}}{6.6 \times 10^{-34}}$.
$\nu = 10 \times 1.6 \times 10^{15} \ Hz$.
$\nu = 16 \times 10^{15} \ Hz$.

(C) ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E$ ને $eV$ માં અને $\lambda$ ને $\mathring{A}$ માં દર્શાવવા માટે,આપણે ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$E(eV) = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}) \times (3 \times 10^8 \text{ m/s})}{(1.602 \times 10^{-19} \text{ J/eV}) \times (\lambda \times 10^{-10} \text{ m})}$
$E(eV) \approx \frac{12400}{\lambda(\mathring{A})}$.
આને $KeV$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે $1000$ વડે ભાગીએ છીએ:
$E(KeV) = \frac{12400}{1000 \times \lambda(\mathring{A})} = \frac{12.4}{\lambda(\mathring{A})}$.
આમ,સાચો સંબંધ $E = 12.4/\lambda$ છે.

(B) ફોટોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E = h\nu$ છે,જ્યાં $E$ એ ઉર્જા છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
સૌ પ્રથમ,ઉર્જાને ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માંથી જૂલ $(J)$ માં રૂપાંતરિત કરો:
$E = 100 \ eV = 100 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 1.6 \times 10^{-17} \ J$.
હવે,કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો:
$1.6 \times 10^{-17} = 6.6 \times 10^{-34} \times \nu$.
$\nu$ માટે ઉકેલતા:
$\nu = \frac{1.6 \times 10^{-17}}{6.6 \times 10^{-34}} \approx 0.2424 \times 10^{17} \ Hz = 2.42 \times 10^{16} \ Hz$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ફોટોનનું વેગમાન $p$ એ સૂત્ર $p = \frac{h}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h = 6.6 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ અને $\lambda = 4400 \times 10^{-10} \, m$ આપેલ છે.
$p = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4400 \times 10^{-10}} = 1.5 \times 10^{-27} \, kg \cdot m/s$.
ફોટોનનું અસરકારક દળ $m$ એ $m = \frac{p}{c}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ છે.
$m = \frac{1.5 \times 10^{-27}}{3 \times 10^8} = 5 \times 10^{-36} \, kg$.
આમ,અસરકારક દળ $5 \times 10^{-36} \, kg$ અને વેગમાન $1.5 \times 10^{-27} \, kg \cdot m/s$ છે.

(A) ફોટોન એ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનું ક્વોન્ટમ છે. ફોટોનની ઉર્જા $E$ એ $E = h\nu$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ વિકિરણની આવૃત્તિ છે.
આવૃત્તિ $\nu = \frac{c}{\lambda}$ હોવાથી,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,આપણે આને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકી શકીએ છીએ.
તેથી,$E = \frac{hc}{\lambda}$.
આ ફોટોનની ઉર્જા માટેનું સાચું સમીકરણ છે.

(C) ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
વધુમાં,પ્રકાશની ઝડપ $c$,આવૃત્તિ $\nu$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $c = \nu \lambda$ છે.
આ સૂત્રને તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે ગોઠવતા,આપણને $\lambda = \frac{c}{\nu}$ મળે છે.

(D) ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આવૃત્તિ $\nu = 10^{12} \text{ MHz} = 10^{12} \times 10^6 \text{ Hz} = 10^{18} \text{ Hz}$ છે.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h \approx 4.14 \times 10^{-15} \text{ eV} \cdot \text{s}$ છે.
તેથી,$E = (4.14 \times 10^{-15} \text{ eV} \cdot \text{s}) \times (10^{18} \text{ Hz}) = 4.14 \times 10^3 \text{ eV}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) $\nu$ આવૃત્તિ ધરાવતા $n$ ફોટોન ધરાવતા પ્રકાશના કિરણપુંજની ઊર્જા $E = n h \nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
બંને કિરણપુંજો સમાન ઊર્જા ધરાવતા હોવાથી,$E_1 = E_2$ થાય.
તેથી,$n_1 h \nu_1 = n_2 h \nu_2$.
બંને બાજુને $h$ વડે ભાગતા,આપણને $n_1 \nu_1 = n_2 \nu_2$ મળે છે.
ગુણોત્તર $\frac{n_1}{n_2}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{n_1}{n_2} = \frac{\nu_2}{\nu_1}$ મળે છે.

(B) ફોટોનની ઊર્જા $E$ એ સૂત્ર $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક $(h \approx 6.62 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$ છે અને $\nu$ એ વિકિરણની આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે: $\nu = 1.0 \times 10^{14} \ Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $E = (6.62 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (1.0 \times 10^{14} \ Hz)$.
$E = 6.62 \times 10^{-34 + 14} \ J$.
$E = 6.62 \times 10^{-20} \ J$.

(A) ટ્રાન્સમીટરનો પાવર $P$ એ દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતી ઉર્જા છે. એક ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h = 6.6 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
જો $n$ એ દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતા ફોટોનની સંખ્યા હોય,તો કુલ પાવર $P = n \times E = n \times h\nu$ થાય.
તેથી,$n = \frac{P}{h\nu}$.
આપેલ છે: $P = 10 \, kW = 10^4 \, W$ અને $\nu = 880 \, kHz = 880 \times 10^3 \, Hz$.
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{10^4}{(6.6 \times 10^{-34}) \times (880 \times 10^3)}$
$n = \frac{10^4}{5808 \times 10^{-31}}$
$n = \frac{10^4}{5.808 \times 10^{-28}}$
$n \approx 1.72 \times 10^{31}$ ફોટોન પ્રતિ સેકન્ડ.

(C) લેમ્પ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P$ એ $t$ સમયમાં ઉત્સર્જિત $n$ ફોટોનની ઊર્જા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{n}{t} \frac{hc}{\lambda}$.
પ્રતિ સેકન્ડ ફોટોનની સંખ્યા માટે સૂત્ર: $\frac{n}{t} = \frac{P \lambda}{hc}$.
આપેલ છે: $P = 100 \ W$,$\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \ m$,$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{n}{t} = \frac{100 \times 5000 \times 10^{-10}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$\frac{n}{t} = \frac{5 \times 10^{-5}}{19.89 \times 10^{-26}} \approx 2.51 \times 10^{20}$.
આમ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા આશરે $2.5 \times 10^{20}$ છે.

(C) જ્યારે ફોટોન ઇલેક્ટ્રોન સાથે અથડાય છે (કોમ્પ્ટન સ્કેટરિંગ),ત્યારે તે તેની ઉર્જા અને વેગમાનનો અમુક ભાગ ઇલેક્ટ્રોનને આપે છે.
ઉર્જા અને વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પછી ફોટોનની ઉર્જા $(E = h\nu)$ અને વેગમાન $(p = h/\lambda)$ ઘટે છે.
જોકે,શૂન્યાવકાશમાં ફોટોનની ઝડપ એ સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,જે આંતરક્રિયાને ધ્યાનમાં લીધા વગર અચળ રહે છે.
તેથી,માત્ર ફોટોનની ઝડપ બદલાતી નથી.

(C) ટ્રાન્સમીટર દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \frac{E}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $E$ એ $t$ સમયમાં ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા છે.
કારણ કે $E = n \times E_{\text{photon}} = n \times \frac{hc}{\lambda}$, જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા છે, તેથી $P = \frac{nhc}{\lambda}$.
આપેલ છે: $P = 1 \text{ kW} = 10^3 \text{ W}$, $\lambda = 198.6 \text{ m}$, $h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}$, અને $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
કિંમતો મૂકતા: $10^3 = \frac{n \times 6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{198.6}$.
$n = \frac{10^3 \times 198.6}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} \approx \frac{198600}{19.89} \times 10^{26} \approx 10^{30}$.
આમ, પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $10^{30}$ છે.

(C) બલ્બનો પાવર $P$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા છે,જે $P = \frac{nE}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા છે અને $E = \frac{hc}{\lambda}$ એ એક ફોટોનની ઉર્જા છે.
આપેલ છે: $P = 100 \ W$,$\lambda = 540 \ nm = 540 \times 10^{-9} \ m$,$h = 6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
સૂત્ર $P = \frac{nhc}{\lambda}$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$100 = \frac{n \times (6 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{540 \times 10^{-9}}$
$100 = \frac{n \times 18 \times 10^{-26}}{540 \times 10^{-9}}$
$100 = n \times \frac{18}{540} \times 10^{-17}$
$100 = n \times \frac{1}{30} \times 10^{-17}$
$n = 100 \times 30 \times 10^{17} = 3000 \times 10^{17} = 3 \times 10^{20}$
આમ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $3 \times 10^{20}$ છે.

(C) ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h$ અને $c$ અચળ હોવાથી,$E \propto \frac{1}{\lambda}$ થાય.
તેથી,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$.
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 6000 \ \mathring A$,$E_1 = 3.32 \times 10^{-19} \ J$,અને $\lambda_2 = 4000 \ \mathring A$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3.32 \times 10^{-19}}{E_2} = \frac{4000}{6000} = \frac{2}{3}$.
$E_2 = \frac{3}{2} \times 3.32 \times 10^{-19} \ J = 4.98 \times 10^{-19} \ J$.
ઊર્જાને જુલમાંથી $eV$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ વડે ભાગાકાર કરીશું:
$E_2 = \frac{4.98 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 3.11 \ eV$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) શૂન્યાવકાશમાં ફોટોનનો વેગ એક અચળ મૂલ્ય છે,જેને $c$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જે આશરે $3 \times 10^8 \ m/s$ છે.
પ્રકાશનો વેગ $(c)$ એ ફોટોનની આવૃત્તિ $(\nu)$ અને તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,તેને $\nu^0$ ના પ્રમાણમાં દર્શાવી શકાય છે (એટલે કે,$c \propto \nu^0 = 1$).
તેથી,ફોટોનનો વેગ આવૃત્તિ સાથે બદલાતો નથી.

(C) ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફોટોનનું વેગમાન $p = \frac{h}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને $E = pc$ મળે છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
ચુંકે $c$ અચળ છે,તેથી વેગમાન $p$ એ ઊર્જા $E$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(p \propto E)$.
જો ઊર્જા $E$ ને $4$ ના ગુણાંકમાં વધારવામાં આવે,તો વેગમાન $p$ પણ $4$ ના ગુણાંકમાં વધશે.

(A) ફોટોનની ઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
અહીં $h$ અને $c$ અચળ હોવાથી,ઊર્જા $E$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto \frac{1}{\lambda}$.
ધારો કે $\lambda_1 = 150\,nm$ ધરાવતા ફોટોનની ઊર્જા $E_1$ છે અને $\lambda_2 = 300\,nm$ ધરાવતા ફોટોનની ઊર્જા $E_2$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{300\,nm}{150\,nm} = 2$.
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(D) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરને પ્રકાશના શાસ્ત્રીય તરંગવાદ દ્વારા સમજાવી શકાતી નથી કારણ કે તરંગવાદ મુજબ ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની ઉર્જા પ્રકાશની તીવ્રતા પર આધાર રાખવી જોઈએ,જ્યારે પ્રયોગો દર્શાવે છે કે તે આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે. આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈને ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરને સમજાવવા માટે પ્રસ્તાવ મૂક્યો કે પ્રકાશ એ ઉર્જાના નાના પેકેટોનો બનેલો છે જેને ફોટોન કહેવામાં આવે છે,જ્યાં દરેક ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રકાશની આ ક્વોન્ટમ પ્રકૃતિ સફળતાપૂર્વક સમજાવે છે કે શા માટે ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે.

(A) ફોટોનની ઉર્જા $E$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
ટૂંકી રીત મુજબ $E(\text{eV}) = \frac{12375}{\lambda(\mathring A)}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\lambda = 5000 \mathring A$ છે:
$E = \frac{12375}{5000} \text{ eV}$.
$E = 2.475 \text{ eV}$.
આમ,નજીકના વિકલ્પ મુજબ $E \approx 2.5 \text{ eV}$ મળે છે.

(A) ફોટોન માટે,તેની ઉર્જા $E$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = pc$ છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
આ સમીકરણની બંને બાજુનો વર્ગ કરતા,આપણને $E^2 = (pc)^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $E^2 = p^2c^2$ થાય છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $E^2 = p^2c^2$ છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોન-પોઝિટ્રોન જોડીના ઉત્પાદન માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા $1.02 \ MeV$ છે.
આપેલ ફોટોનની ઉર્જા $E = 1.7 \times 10^{-13} \ J$ છે.
આ ઉર્જાને $MeV$ માં ફેરવવા માટે,આપણે તેને ઇલેક્ટ્રોનના વિદ્યુતભાર $(1.6 \times 10^{-19} \ C)$ વડે ભાગીશું:
$E = \frac{1.7 \times 10^{-13}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 1.0625 \times 10^6 \ eV = 1.0625 \ MeV$.
ફોટોનની ઉર્જા $(1.0625 \ MeV)$ એ જોડી ઉત્પાદન માટે જરૂરી થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા $(1.02 \ MeV)$ કરતા વધારે હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન-પોઝિટ્રોન જોડી ઉત્પન્ન થશે.

(B) આપેલ છે: સ્થિર દળ ઉર્જા $E_0 = m_0c^2 = 0.51 \ MeV$ અને વેગ $v = 0.8 \ c$.
સાપેક્ષવાદ મુજબ ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = mc^2 - m_0c^2$ છે.
સાપેક્ષ દળ $m$ નું સૂત્ર $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ છે.
$v = 0.8 \ c$ મૂકતા:
$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - (0.8)^2}} = \frac{m_0}{\sqrt{1 - 0.64}} = \frac{m_0}{\sqrt{0.36}} = \frac{m_0}{0.6}$.
હવે,કુલ ઉર્જા $E = mc^2 = \frac{m_0c^2}{0.6} = \frac{0.51 \ MeV}{0.6} = 0.85 \ MeV$.
તેથી,$K.E. = E - E_0 = 0.85 \ MeV - 0.51 \ MeV = 0.34 \ MeV$.

(C) તીવ્રતા $I$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પાવર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $I = \frac{P}{A}$.
આપેલ છે કે $I = 10^{-10} \ W/m^2$ અને $A = 10^{-6} \ m^2$,તેથી આંખમાં પ્રવેશતો પાવર $P = I \times A = 10^{-10} \times 10^{-6} = 10^{-16} \ W$.
પ્રતિ સેકન્ડ $n$ ફોટોન્સના કિરણપુંજનો પાવર $P = \frac{n \cdot h \cdot c}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ફોટોન્સની સંખ્યા માટે સૂત્ર: $\frac{n}{t} = \frac{P \cdot \lambda}{h \cdot c}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{n}{t} = \frac{10^{-16} \times 5.6 \times 10^{-7}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$\frac{n}{t} = \frac{5.6 \times 10^{-23}}{19.89 \times 10^{-26}} \approx 281.5 \approx 300$ ફોટોન્સ પ્રતિ સેકન્ડ.

(A) લીલા પ્રકાશના એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$hc \approx 12400 \ \text{eV} \ \mathring{A}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $E = \frac{12400}{5000} \ \text{eV} = 2.48 \ \text{eV}$ મળે છે.
આને જુલમાં ફેરવતા: $E = 2.48 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J \approx 3.97 \times 10^{-19} \ J \approx 4 \times 10^{-19} \ J$.
આંખ દ્વારા શોધી શકાતી લઘુત્તમ તીવ્રતા $(I_{Eye})$ એ ફોટોન ફ્લક્સ અને પ્રતિ ફોટોન ઉર્જાનો ગુણાકાર છે:
$I_{Eye} = (5 \times 10^4 \ \text{photons}/m^2s) \times (4 \times 10^{-19} \ J) = 2 \times 10^{-14} \ W/m^2$.
ડિટેક્ટરની સંવેદનશીલતા તે શોધી શકે તેવી લઘુત્તમ તીવ્રતાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી, સંવેદનશીલતાનો ગુણોત્તર $\frac{S_{Eye}}{S_{Ear}} = \frac{I_{Ear}}{I_{Eye}} = \frac{10^{-13}}{2 \times 10^{-14}} = \frac{10}{2} = 5$.
આમ, આંખ કાન કરતા $5$ ગણી વધુ સંવેદનશીલ છે.

(A) શૂન્યાવકાશમાં,ફોટોનનો વેગ (એટલે કે પ્રકાશનો વેગ) તેની આવૃત્તિ કે તરંગલંબાઈ પર આધાર રાખ્યા વિના અચળ મૂલ્ય $c \approx 3 \times 10^8 \ m/s$ ધરાવે છે. વેગ આવૃત્તિ પર આધારિત ન હોવાથી,વેગ વિરુદ્ધ આવૃત્તિનો આલેખ આવૃત્તિ અક્ષને સમાંતર એક સીધી રેખા મળે છે. આલેખ નીચે મુજબ છે:
ફોટોનનો વેગ $(c)$ વિરુદ્ધ આવૃત્તિ $(\nu)$: $y = c$ પર એક આડી રેખા.

(B) $Photon$ એ એક પ્રાથમિક કણ છે,જે વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનું ક્વોન્ટમ છે. તેને કણ ભૌતિકવિજ્ઞાનના સ્ટાન્ડર્ડ મોડેલમાં એક મૂળભૂત કણ માનવામાં આવે છે અને તે અવિભાજ્ય છે. તેનાથી વિપરીત,$Atom$ (પરમાણુ) ન્યુક્લિયસ અને ઇલેક્ટ્રોનનો બનેલો છે,$Nucleus$ (ન્યુક્લિયસ) પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનનો બનેલો છે,અને $Proton$ એ ક્વાર્કસથી બનેલો સંયુક્ત કણ છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.