Davisson-Germer Experiment and Heisenberg Uncertainty Principle Questions in Gujarati

(D) ડેવિસન અને જર્મરના પ્રયોગે દ્રવ્યની,ખાસ કરીને ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિ માટેનો પ્રથમ પ્રાયોગિક પુરાવો પૂરો પાડ્યો હતો. નિકલના સ્ફટિક પરથી ઇલેક્ટ્રોનના વિવર્તનને અવલોકન કરીને,તેમણે ડી-બ્રોગ્લીની પૂર્વધારણાની પુષ્ટિ કરી હતી,જે જણાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન જેવા કણો તરંગ જેવી લાક્ષણિકતાઓ દર્શાવે છે. તેથી,સાચો જવાબ $(d)$ છે.

(C) ડેવિસન-ગર્મરનો પ્રયોગ એ દ્રવ્યની તરંગ પ્રકૃતિ માટે પ્રાયોગિક પુરાવો પૂરો પાડનાર પ્રથમ પ્રયોગ હતો,જે ડી-બ્રોગ્લી દ્વારા સૂચવવામાં આવ્યો હતો.
આ પ્રયોગમાં,ઈલેક્ટ્રોનના કિરણપુંજને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે અને નિકલ $(Ni)$ ના સ્ફટિક પર આપાત કરવામાં આવે છે.
ઈલેક્ટ્રોન સ્ફટિક લેટીસ પરથી પ્રકીર્ણન પામે છે,અને પ્રકીર્ણન પામેલા ઈલેક્ટ્રોનની તીવ્રતા અલગ-અલગ ખૂણે માપવામાં આવે છે.
અવલોકન કરાયેલ વિવર્તન ભાત એ સાબિત કરે છે કે ઈલેક્ટ્રોન તરંગ તરીકે વર્તે છે,જે પ્રકાશ અથવા $X$-કિરણોની જેમ વ્યતિકરણ અને વિવર્તનની ઘટનાઓ દર્શાવે છે.
તેથી,આ પ્રયોગમાં જે તરંગોનું વિવર્તન થાય છે તે ઈલેક્ટ્રોન તરંગો છે.

(A) વિવર્તન માટે બ્રેગના નિયમ મુજબ,પ્રથમ મહત્તમ માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે.
પ્રથમ મહત્તમ માટે,$n = 1$ લેતા,$d \sin \theta = \lambda$ મળે.
આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 1.5 \ \mathring{A}$ અને પરમાણ્વીય અંતર $d = 3 \ \mathring{A}$.
કિંમતો મૂકતા: $3 \sin \theta = 1.5$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{1.5}{3} = 0.5$.
આમ,$\theta = \arcsin(0.5) = 30^{\circ}$.

(B) ડેવિસન-ગર્મરના પ્રયોગમાં,ઇલેક્ટ્રોન બીમને નિકલના સ્ફટિક પર આપાત કરવામાં આવે છે. સ્ફટિક લેટિસમાં રહેલા પરમાણુઓ પ્રકીર્ણન કેન્દ્રો તરીકે કાર્ય કરે છે અને સ્ફટિકની રચના આપાત ઇલેક્ટ્રોન તરંગો માટે ત્રિ-પરિમાણીય વિવર્તક ગ્રેટિંગ તરીકે વર્તે છે,જે દ્રવ્યની તરંગ પ્રકૃતિની પુષ્ટિ કરે છે.

(B) $60 \ eV$ ઊર્જા ધરાવતા ઈલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{E}} \mathring A = \frac{12.27}{\sqrt{60}} \approx 1.58 \mathring A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડેવિસન-ગર્મરના પ્રયોગમાં,પ્રકીર્ણન કોણ $\phi$ એ આપાત અને પ્રકીર્ણિત પુંજ વચ્ચેનો ખૂણો છે. ગ્લેન્સિંગ કોણ $\theta$ એ $\phi$ સાથે $\theta = 90^\circ - \frac{\phi}{2}$ સંબંધ ધરાવે છે.
અહીં $\phi = 50^\circ$ આપેલ છે,તેથી $\theta = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$ મળે.
વિવર્તન માટે બ્રેગના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$2d \sin \theta = n\lambda$. પ્રથમ ક્રમ $(n=1)$ માટે,$d = \frac{\lambda}{2 \sin \theta}$.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{1.58}{2 \sin 65^\circ} = \frac{1.58}{2 \times 0.906} \approx 0.87 \mathring A$.
નોંધ: આ પ્રયોગ માટેના પ્રમાણિત પાઠ્યપુસ્તકના મૂલ્યો મુજબ જ્યાં $\phi = 50^\circ$ અને $E = 54 \ eV$ હોય,ત્યારે અંતર $d$ આશરે $0.91 \mathring A$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી $0.9 \mathring A$ સાચો વિકલ્પ છે.

(B) વિવર્તન માટે બ્રેગનો નિયમ $2d \sin \theta = n\lambda$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ગ્લેન્સિંગ એંગલ (સપાટી સાથેનો ખૂણો) છે.
આપેલ ભૂમિતિ મુજબ,આપાતકોણ $i$ એ સ્ફટિકના સમતલના લંબ સાથે માપવામાં આવે છે. તેથી,ગ્લેન્સિંગ એંગલ $\theta = 90^\circ - i = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ થાય.
પ્રથમ ક્રમના વિવર્તન $(n = 1)$ માટે,$2d \sin(60^\circ) = \lambda$ મળે.
$d = 1 \ \mathring{A}$ મૂકતા,$\lambda = 2 \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \ \mathring{A} \approx 1.732 \ \mathring{A}$ મળે.
$V$ વિદ્યુત સ્થિતિમાનથી પ્રવેગિત ઈલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \sqrt{\frac{150}{V}} \ \mathring{A}$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $\sqrt{3} = \sqrt{\frac{150}{V}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $3 = \frac{150}{V}$.
તેથી,$V = \frac{150}{3} = 50 \ V$.

(B) વિવર્તન માટે બ્રેગનો નિયમ $2d\sin\theta = n\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ગ્લેન્સિંગ એંગલ (આપાત કિરણ અને સ્ફટિક સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો) છે.
આપેલ આકૃતિ પરથી,આપાતકોણ $i$ એ સ્ફટિક સમતલના લંબ સાથે માપવામાં આવે છે.
તેથી,ગ્લેન્સિંગ એંગલ $\theta$ અને આપાતકોણ $i$ વચ્ચેનો સંબંધ $\theta = 90^\circ - i$ છે.
આ કિંમત બ્રેગના નિયમમાં મૂકતા:
$2d\sin(90^\circ - i) = n\lambda$
કારણ કે $\sin(90^\circ - i) = \cos i$,તેથી સમીકરણ:
$2d\cos i = n\lambda$ બને છે.

(D) ડેવિસન-ગર્મરનો પ્રયોગ ઈલેક્ટ્રોનના વિવર્તનના આધારે તેમની તરંગ પ્રકૃતિ દર્શાવે છે,વ્યતિકરણના આધારે નહીં.
$1$. નિકલનો સ્ફટિક ઈલેક્ટ્રોન માટે ત્રિ-પરિમાણીય વિવર્તક ગ્રેટીંગ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$2$. નિકલના સ્ફટિકમાં આંતર-પરમાણ્વીય અંતર એ વપરાયેલા ઈલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના ક્રમનું હોય છે.
$3$. ઈલેક્ટ્રોન ગન ચોક્કસ અને અચળ ઊર્જા ધરાવતા ઈલેક્ટ્રોનનો બીમ ઉત્પન્ન કરે છે.
$4$. આ પ્રયોગ વિવર્તનના સિદ્ધાંત પર આધારિત હોવાથી,વિકલ્પ $D$ ખોટું વિધાન છે.

(A) ડેવીસન-ગર્મર પ્રયોગે ઈલેક્ટ્રોનના વિવર્તનને અવલોકીને ઈલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિ સાબિત કરી હતી.
આ પ્રયોગમાં,ઈલેક્ટ્રોનનો એક કિરણપુંજ નિકલના સ્ફટિક પર આપાત કરવામાં આવ્યો હતો.
પ્રકિર્ણન પામતાં ઈલેક્ટ્રોનની તીવ્રતાને પ્રકિર્ણન કોણ $(\phi)$ ના વિધેય તરીકે માપવામાં આવી હતી.
તેવું અવલોકન કરવામાં આવ્યું હતું કે $54 \ V$ ના પ્રવેગક વોલ્ટેજ માટે,પ્રકિર્ણન પામતાં ઈલેક્ટ્રોનની તીવ્રતા $50^{\circ}$ ના પ્રકિર્ણન કોણ પર સ્પષ્ટ મહત્તમ (પીક) દર્શાવે છે.
આ પીક સ્ફટિકના પરમાણ્વીય સમતલોમાંથી પ્રકિર્ણન પામતા ઈલેક્ટ્રોન તરંગોના સહાયક વ્યતિકરણને અનુરૂપ છે.
તેથી,સાચો વક્ર તે છે જે $50^{\circ}$ પર પીક દર્શાવે છે.

(D) ડેવિસન-ગર્મરના પ્રયોગે ઈલેક્ટ્રોનનું વિવર્તન દર્શાવીને ઈલેક્ટ્રોનના તરંગ સ્વભાવ માટેનો પ્રથમ પ્રાયોગિક પુરાવો પૂરો પાડ્યો હતો,જેણે ડી-બ્રોગ્લીની ઉત્કલ્પનાને સમર્થન આપ્યું હતું.
વ્યતિકરણ અને વિવર્તન એ તરંગોના લાક્ષણિક ગુણધર્મો છે.
ઈલેક્ટ્રોન તરંગ જેવું વર્તન દર્શાવતા હોવાથી,તેઓ ખરેખર વ્યતિકરણ અને વિવર્તન પામી શકે છે.
તેથી,વિધાન $1$ સાચું છે અને વિધાન $2$ સાચું છે,અને વિધાન $2$ એ ભૌતિક આધાર (તરંગોનો ગુણધર્મ) પૂરો પાડે છે જે સમજાવે છે કે શા માટે ડેવિસન-ગર્મરનો પ્રયોગ ઈલેક્ટ્રોનનો તરંગ સ્વભાવ દર્શાવવામાં સફળ રહ્યો હતો.

(D) ઈલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિ ડેવિસન-ગર્મરના પ્રયોગ દ્વારા પ્રાયોગિક રીતે સાબિત થઈ હતી. આ પ્રયોગમાં,ઈલેક્ટ્રોનના કિરણપુંજને નિકલના સ્ફટિક પર આપાત કરવામાં આવ્યો હતો. પરિણામી વિવર્તિત ભાત (diffraction pattern) દર્શાવે છે કે ઈલેક્ટ્રોન પ્રકાશના તરંગોની જેમ જ વ્યતિકરણ અને વિવર્તન જેવા તરંગ ગુણધર્મો ધરાવે છે. તેથી,સાચું કારણ એ છે કે ઈલેક્ટ્રોન સ્ફટિક વડે વિવર્તિત થાય છે.

(A) ડેવિસન અને જર્મરના પ્રયોગમાં,ઇલેક્ટ્રોન ગન $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઉપયોગ કરીને ઇલેક્ટ્રોનને પ્રવેગિત કરે છે.
$e$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ગતિઊર્જા $K$ એ $K = eV = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ મળે છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વેગ $v$ એ પ્રવેગક વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,એનોડ અને ફિલામેન્ટ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત વધારીને ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ વધારી શકાય છે.

(D) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉર્જાની અનિશ્ચિતતા $\Delta E$ અને સમયની અનિશ્ચિતતા $\Delta t$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{h}{4\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરના સિદ્ધાંતમાં,કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનના ઉર્જા સ્તરોને સંપૂર્ણપણે ચોક્કસ માનવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે ઉર્જામાં અનિશ્ચિતતા $\Delta E = 0$ છે.
અનિશ્ચિતતાના સંબંધમાં $\Delta E = 0$ મૂકતા: $0 \cdot \Delta t \geq \frac{h}{4\pi}$,જે સૂચવે છે કે $\Delta t \rightarrow \infty$.
તેથી,બોહરના મોડેલના સંદર્ભમાં ઉત્તેજિત અવસ્થાનો આયુષ્યકાળ અનંત છે.

(C) ડેવિસન-ગર્મર પ્રયોગે ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના માટે પ્રાયોગિક પુરાવા પૂરા પાડ્યા,જે જણાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન જેવા કણો તરંગ જેવી લાક્ષણિકતાઓ દર્શાવે છે.
આ પ્રયોગમાં,ઇલેક્ટ્રોનનું નિકલ સ્ફટિક દ્વારા પ્રકીર્ણન કરવામાં આવ્યું હતું,અને પરિણામી વિવર્તન ભાત (diffraction pattern) એ પુષ્ટિ કરી હતી કે ઇલેક્ટ્રોન તરંગ તરીકે વર્તે છે.
વ્યતિકરણ અને વિવર્તન એ તરંગોના લાક્ષણિક ગુણધર્મો હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિનો અર્થ એ છે કે તેઓએ આ ઘટનાઓ દર્શાવવી જોઈએ.
તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે,વિધાન-$2$ સાચું છે,અને વિધાન-$2$ એ સૈદ્ધાંતિક આધાર (તરંગ પ્રકૃતિનું ભૌતિક પરિણામ) પૂરો પાડે છે જે સમજાવે છે કે શા માટે આ પ્રયોગ ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિ દર્શાવવામાં સફળ રહ્યો હતો.

(A) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring{A}$.
અહીં પ્રવેગક સ્થિતિમાન $V = 54 \ V$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{54}} \ \mathring{A}$.
$\lambda = \frac{12.27}{7.348} \ \mathring{A}$.
$\lambda \approx 1.67 \ \mathring{A}$.
આમ,ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઇ $1.67 \ \mathring{A}$ છે.

(B) $E$ ઉર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{E}} \mathring{A}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$E = 75 \ eV$ માટે,$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{75}} \approx 1.414 \mathring{A} = \sqrt{2} \mathring{A}$.
ડેવિસન-ગર્મર પ્રયોગમાં,જો આપાત બીમ સાથેનો ખૂણો $45^o$ હોય,તો બ્રેગના નિયમ $d \sin \theta = n \lambda$ મુજબ,જ્યાં $\theta$ એ સ્ફટિક સમતલ સાથેનો ખૂણો છે,અહીં $\theta = 45^o$ લેતા,
$d \sin(45^o) = 1 \times \sqrt{2}$
$d \times (1/\sqrt{2}) = \sqrt{2}$
$d = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \mathring{A}$.

(C) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$y-$ દિશામાં ઇલેક્ટ્રોનના સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta y \simeq d$ છે.
$y-$ દિશામાં વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta P_y \simeq |P_y|$ છે.
અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત પરથી,આપણી પાસે $\Delta y \cdot \Delta P_y \simeq h$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $d \cdot |P_y| \simeq h$ મળે છે.
મોટાભાગના ઇલેક્ટ્રોન માટે,મેળવેલ વેગમાન એ અનિશ્ચિતતાના ક્રમનું હોય છે,તેથી $|P_y|d \simeq h$.

(B) $(1)$ ડેવિસન અને જર્મર પ્રયોગે ઇલેક્ટ્રોન ડિફ્રેક્શન દ્વારા ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિ દર્શાવી હતી.
$(2)$ મિલિકનનો ઓઈલ ડ્રોપ પ્રયોગ ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રાથમિક વીજભાર નક્કી કરવા માટે વપરાયો હતો.
$(3)$ રધરફોર્ડનો આલ્ફા-કણ સ્કેટરિંગ પ્રયોગ પરમાણુના કેન્દ્રમાં નાના, ઘન, ધન વીજભારિત ન્યુક્લિયસના અસ્તિત્વ માટે પુરાવા પૂરા પાડે છે.
$(4)$ ફ્રેન્ક-હર્ટ્ઝ પ્રયોગે પરમાણુઓમાં ઉર્જા સ્તરોના ક્વોન્ટાઈઝેશન માટે પ્રાયોગિક પુરાવા પૂરા પાડ્યા હતા.
તેથી, સાચી જોડ $(1)-(i), (2)-(ii), (3)-(iv), (4)-(iii)$ છે.

(B) દ્રવ્યની તરંગ પ્રકૃતિનો સિદ્ધાંત ડી બ્રોગ્લી દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો.
ડેવિસન અને જર્મરે દ્રવ્યની તરંગ પ્રકૃતિને પ્રાયોગિક રીતે ચકાસવા માટે એક પ્રયોગ કર્યો હતો.
આ પ્રયોગે દર્શાવ્યું હતું કે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને સ્ફટિક લેટીસ દ્વારા પ્રકીર્ણન કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ પ્રકાશના તરંગોની જેમ જ વિવર્તનની ભાત દર્શાવે છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન વિવર્તન એ એવી ઘટના છે જે દ્રવ્ય તરંગ પ્રકૃતિ ધરાવે છે તે સિદ્ધાંતને શ્રેષ્ઠ રીતે સમર્થન આપે છે.

(A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉર્જામાં અનિશ્ચિતતા $\Delta E$ અને સમયમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta t$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta E \cdot \Delta t \approx \frac{h}{2\pi}$ છે.
અહીં,ઉત્તેજિત અવસ્થાનો સરેરાશ સમયગાળો $\Delta t = 10^{-8} \, s$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta E = \frac{h}{2\pi \cdot \Delta t}$ મળે છે.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ લેતા,$\Delta E = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14159 \times 10^{-8}} \approx 1.054 \times 10^{-26} \, J$.
આ ઉર્જાને ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવવા માટે,તેને ઇલેક્ટ્રોનના ચાર્જ $(1.6 \times 10^{-19} \, C)$ વડે ભાગતા:
$\Delta E = \frac{1.054 \times 10^{-26}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 6.59 \times 10^{-8} \, eV$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ઉર્જામાં અનિશ્ચિતતા $6.56 \times 10^{-8} \, eV$ છે.

(B) ડેવિસન-ગર્મર પ્રયોગે સ્ફટિક લેટીસ દ્વારા ઇલેક્ટ્રોનના વિવર્તનને દર્શાવ્યું હતું.
વિવર્તન એ તરંગોનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ હોવાથી,આ પ્રયોગે ડી બ્રોગ્લીની પરિકલ્પના મુજબ ઇલેક્ટ્રોનના તરંગ સ્વભાવ માટે સીધો પ્રાયોગિક પુરાવો પૂરો પાડ્યો હતો.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સ્ફટિક વિવર્તનમાં સહાયક વ્યતિકરણ માટેની શરત (બ્રેગનો નિયમ) $2d \sin \theta = n \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\theta$ એ ગ્લેન્સિંગ એંગલ છે.
આકૃતિ પરથી, આપાતકોણ $i$ એ લંબ સાથે માપવામાં આવે છે. ગ્લેન્સિંગ એંગલ $\theta$ એ આપાત કિરણ અને સ્ફટિક સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો છે, તેથી $\theta = 90^{\circ} - i$.
આપેલ છે $i = 30^{\circ}$, તેથી $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
પ્રથમ ક્રમના વિવર્તન માટે, $n = 1$. કિંમતો મૂકતા:
$2 \times (1 \times 10^{-10}\; m) \times \sin(60^{\circ}) = 1 \times \lambda$
$\lambda = 2 \times 10^{-10} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \times 10^{-10}\; m \approx 1.732 \times 10^{-10}\; m$.
$V$ સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\lambda^2 = \frac{h^2}{2meV} \Rightarrow V = \frac{h^2}{2me\lambda^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-19} \times (\sqrt{3} \times 10^{-10})^2}$
$V = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{29.12 \times 10^{-50} \times 3} = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{87.36 \times 10^{-50}} \approx 49.86\; V$.
આમ, $V$ આશરે $50\; V$ હોવું જોઈએ.

(D) સહાયક વ્યતિકરણ માટે,ક્રમિક પરમાણુ સમતલો પરથી પરાવર્તિત થતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત એ તરંગલંબાઇનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ,જે બ્રેગના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $2d \sin \theta = n \lambda_{dB}$,જ્યાં $\theta$ એ ગ્લેન્સિંગ એંગલ (આપાત કિરણ અને સ્ફટિક સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો) છે.
આપેલી આકૃતિ પરથી,ખૂણો $i$ એ આપાત કિરણ અને સ્ફટિક સમતલના લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે. તેથી,ગ્લેન્સિંગ એંગલ $\theta$ એ $\theta = 90^{\circ} - i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતને બ્રેગના નિયમમાં મૂકતા:
$2d \sin(90^{\circ} - i) = n \lambda_{dB}$
કારણ કે $\sin(90^{\circ} - i) = \cos i$,તેથી આપણને મળે છે:
$2d \cos i = n \lambda_{dB}$

(N/A) હાઇઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે કોઈ પણ સૂક્ષ્મ કણનું ચોક્કસ સ્થાન $(\Delta x)$ અને ચોક્કસ વેગમાન $(\Delta p)$ એકસાથે માપવું અશક્ય છે.
આ સિદ્ધાંત માટેનું ગાણિતિક સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$
જ્યાં:
- $\Delta x$ એ સ્થાનમાં રહેલી અનિશ્ચિતતા છે.
- $\Delta p$ એ વેગમાનમાં રહેલી અનિશ્ચિતતા છે.
- $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
મુખ્ય અસરો:
$1$. જો કણનું સ્થાન ચોકસાઈથી માપવામાં આવે $(\Delta x \rightarrow 0)$,તો તેના વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા અનંત થઈ જાય છે $(\Delta p \rightarrow \infty)$.
$2$. તેનાથી ઉલટું,જો વેગમાન ચોકસાઈથી માપવામાં આવે $(\Delta p \rightarrow 0)$,તો તેના સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા અનંત થઈ જાય છે $(\Delta x \rightarrow \infty)$.
$3$. આ સિદ્ધાંત સૂચવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન જેવા સૂક્ષ્મ કણો માટે આપણે ચોક્કસ ગતિપથ વ્યાખ્યાયિત કરી શકતા નથી,કારણ કે એક જ સમયે સ્થાન અને વેગમાન બંને જાણવા અશક્ય છે.
$4$. ચોક્કસ વેગમાન $p$ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p}$ છે. એક નિશ્ચિત તરંગલંબાઇ ધરાવતું તરંગ સમગ્ર અવકાશમાં વિસ્તરેલું હોય છે,જેનો અર્થ છે કે ઇલેક્ટ્રોન કોઈ મર્યાદિત વિસ્તારમાં સ્થાનિક નથી,જે $\Delta x \rightarrow \infty$ સાથે સુસંગત છે.

(N/A) જુદી જુદી તરંગલંબાઈ ધરાવતા તરંગોના સંપાતીકરણથી મળતા પરિણામી તરંગને તરંગ પેકેટ કહે છે.
ઈલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ દ્રવ્ય તરંગ અનંત અવકાશમાં વિસ્તરેલું હોતું નથી. તે એક મધ્યમાન તરંગલંબાઈની આસપાસ વિસ્તરેલું તરંગ પેકેટ છે.
આ સ્થિતિમાં $\Delta x$ અનંત હોતું નથી,પરંતુ તેનું કોઈ ચોક્કસ મૂલ્ય હોય છે જે તરંગ પેકેટના વિસ્તાર પર આધાર રાખે છે.
વળી,તરંગ પેકેટની તરંગલંબાઈ નિશ્ચિત હોતી નથી,પરંતુ તે મધ્યમાન તરંગલંબાઈની આસપાસની ઘણી બધી તરંગલંબાઈઓનું બનેલું હોય છે.
ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ અને બોર્નના સંભાવના અર્થઘટનનો ઉપયોગ કરીને તરંગ પેકેટના વર્ણન દ્વારા હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંતને ચોક્કસપણે તારવી શકાય છે.
આકૃતિ $(a)$ માં તરંગ પેકેટની યોજનાબદ્ધ આકૃતિ દર્શાવેલ છે અને આકૃતિ $(b)$ માં નિશ્ચિત તરંગલંબાઈ ધરાવતું વિસ્તૃત તરંગ દર્શાવેલ છે.

(N/A) હાઇઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે ગતિશીલ સૂક્ષ્મ કણ (જેમ કે ઇલેક્ટ્રોન) માટે તેનું ચોક્કસ સ્થાન અને ચોક્કસ વેગમાન એકસાથે નક્કી કરવું અશક્ય છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$
જ્યાં:
$\Delta x$ એ સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા છે,
$\Delta p$ એ વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા છે,
$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.

(N/A) ઇલેક્ટ્રોનનો તરંગ સ્વભાવ સૌપ્રથમ $1927$ માં $C.J. Davisson$ અને $L.H. Germer$ દ્વારા અને $1928$ માં $G.P. Thomson$ દ્વારા પ્રાયોગિક રીતે ચકાસવામાં આવ્યો હતો.
ડેવિસન અને થોમસનને સ્ફટિકો દ્વારા ઇલેક્ટ્રોનના વિવર્તનની તેમની પ્રાયોગિક શોધ માટે $1937$ માં નોબેલ પુરસ્કાર મળ્યો હતો.
પ્રાયોગિક ગોઠવણી: આકૃતિ ડેવિસન અને જર્મરના પ્રયોગની યોજનાકીય ગોઠવણી દર્શાવે છે.
તેમાં એક ઇલેક્ટ્રોન ગન હોય છે જેમાં ટંગસ્ટન ફિલામેન્ટ $F$ હોય છે,જે બેરિયમ ઓક્સાઇડથી કોટેડ હોય છે અને લો વોલ્ટેજ પાવર સપ્લાય ($L.T.$ બેટરી) દ્વારા ગરમ કરવામાં આવે છે. $L.T.$ બેટરી દ્વારા પ્રવાહ પસાર કરીને ફિલામેન્ટને ગરમ કરવામાં આવે છે.
જ્યારે ફિલામેન્ટ ગરમ થાય છે,ત્યારે થર્મોનિક ઉત્સર્જનને કારણે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થાય છે,જેમને $H.T.$ બેટરી દ્વારા ઇચ્છિત વેગ સુધી પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે.
આ ઇલેક્ટ્રોનને તેની ધરી પર ઝીણા છિદ્રો ધરાવતા નળાકારમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે,જેનાથી એક ઝીણો સમાંતર કિરણપુંજ (collimated beam) ઉત્પન્ન થાય છે. આ કિરણપુંજને નિકલ સ્ફટિકની સપાટી પર આપાત કરવામાં આવે છે.
સ્ફટિકના પરમાણુઓ દ્વારા ઇલેક્ટ્રોન બધી દિશામાં પ્રકીર્ણન પામે છે.
ચોક્કસ દિશામાં પ્રકીર્ણન પામેલા ઇલેક્ટ્રોન કિરણપુંજની તીવ્રતા ઇલેક્ટ્રોન ડિટેક્ટર (કલેક્ટર) દ્વારા માપવામાં આવે છે.
ડિટેક્ટરને વર્તુળાકાર સ્કેલ પર ફેરવી શકાય છે અને તે સંવેદનશીલ ગેલ્વેનોમીટર સાથે જોડાયેલ હોય છે જે પ્રવાહ નોંધે છે.
ગેલ્વેનોમીટરનું આવર્તન કલેક્ટરમાં પ્રવેશતા ઇલેક્ટ્રોન કિરણપુંજની તીવ્રતાના પ્રમાણમાં હોય છે.
આ સમગ્ર સાધન એક શૂન્યાવકાશિત ચેમ્બરમાં રાખવામાં આવે છે.

(N/A) ડેવિસન અને જર્મરના પ્રયોગમાં,ઇલેક્ટ્રોનના પ્રકીર્ણનની તીવ્રતા માપવા માટે ડિટેક્ટરને વર્તુળાકાર સ્કેલ પર અલગ-અલગ સ્થાને ફેરવવામાં આવે છે.
આપાત કિરણ અને પ્રકીર્ણિત કિરણ વચ્ચેના ખૂણાને પ્રકીર્ણન કોણ $(\theta)$ કહેવામાં આવે છે.
જુદા જુદા પ્રવેગક વોલ્ટેજ $(V)$ અને જુદા જુદા પ્રકીર્ણન કોણ $(\theta)$ માટે પ્રકીર્ણિત ઇલેક્ટ્રોન બીમની તીવ્રતા માપવામાં આવે છે.
આ પ્રયોગ $44 \ V$ થી $68 \ V$ સુધીના પ્રવેગક વોલ્ટેજ બદલીને કરવામાં આવ્યો હતો.
તે નોંધવામાં આવ્યું હતું કે $54 \ V$ ના પ્રવેગક વોલ્ટેજ અને $\theta = 50^{\circ}$ ના પ્રકીર્ણન કોણ પર પ્રકીર્ણિત ઇલેક્ટ્રોનની તીવ્રતા $(I)$ માં એક મજબૂત પીક (મહત્તમ મૂલ્ય) જોવા મળે છે. આ સૂચવે છે કે પ્રકીર્ણિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા આ બિંદુએ મહત્તમ છે.
ધારો કે સ્થિર ઇલેક્ટ્રોનને $V$ વોલ્ટેજ દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે. તેની ગતિઊર્જા,
$K = eV$
$\therefore \frac{1}{2}mv^2 = eV$
$\therefore \frac{1}{2} \frac{m^2v^2}{m} = eV$
$\therefore \frac{p^2}{2m} = eV$ (જ્યાં $p = mv$ એ વેગમાન છે)
$\therefore p = \sqrt{2meV}$
દ્રવ્ય તરંગ (ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ) ની તરંગલંબાઇ:
$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$
પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$,દળ $(m)$ અને વિદ્યુતભાર $(e)$ ના મૂલ્યો મૂકતા,
$\lambda = \frac{1.227}{\sqrt{V}} \text{ nm}$

(A) ઇલેક્ટ્રોનના તરંગ સ્વભાવનું સૂચન લુઈસ ડી બ્રોગ્લી દ્વારા $1924$ માં કરવામાં આવ્યું હતું.
જોકે,આ તરંગ સ્વભાવની પ્રાયોગિક ચકાસણી સૌપ્રથમ $1927$ માં ક્લિન્ટન ડેવિસન અને લેસ્ટર જર્મર દ્વારા તેમના ઇલેક્ટ્રોન વિવર્તનના પ્રયોગ દ્વારા કરવામાં આવી હતી.
તેમણે અવલોકન કર્યું કે નિકલના સ્ફટિક દ્વારા વિખેરાયેલા ઇલેક્ટ્રોન ક્ષ-કિરણો ($X$-rays) જેવી જ વિવર્તન ભાત દર્શાવે છે,જે ઇલેક્ટ્રોનના તરંગ સ્વભાવની પુષ્ટિ કરે છે.

(A) ડેવિસન-ગર્મર પ્રયોગમાં,ગેલ્વેનોમીટરનો ઉપયોગ વિવિધ ખૂણાઓ પર પ્રકીર્ણન પામેલા ઇલેક્ટ્રોન બીમની તીવ્રતા માપવા માટે થાય છે.
ગેલ્વેનોમીટરની સોયનું વિચલન એ એકમ સમયમાં ડિટેક્ટર સુધી પહોંચતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,જે પ્રકીર્ણન પામેલા ઇલેક્ટ્રોનની તીવ્રતા દર્શાવે છે.
તેથી,વિચલન એ પ્રકીર્ણન પામેલા ઇલેક્ટ્રોનની તીવ્રતાના પ્રમાણમાં હોય છે.

(B) ડેવિસન-ગર્મર પ્રયોગે ઇલેક્ટ્રોનના વિવર્તનને દર્શાવીને ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિ માટે પ્રાયોગિક પુરાવા પૂરા પાડ્યા હતા.
આ પ્રયોગમાં,ઇલેક્ટ્રોન ગનમાંથી ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનને $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે.
ત્યારબાદ આ ઇલેક્ટ્રોનને નિકલના સ્ફટિક પર આપાત કરવામાં આવે છે.
પ્રકીર્ણન પામેલા ઇલેક્ટ્રોન બીમની તીવ્રતાને પ્રકીર્ણન કોણના વિધેય તરીકે માપવામાં આવે છે.
એવું અવલોકન કરવામાં આવ્યું હતું કે $54 \ V$ ના પ્રવેગક વોલ્ટેજ માટે,$50^\circ$ ના પ્રકીર્ણન કોણ પર પ્રકીર્ણન પામેલા ઇલેક્ટ્રોન બીમની તીવ્રતા મહત્તમ હતી.
આ પરિણામે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇની ધારણાની પુષ્ટિ કરી,કારણ કે ગણતરી કરેલી તરંગલંબાઇ પ્રાયોગિક મૂલ્ય સાથે મેળ ખાતી હતી.

(N/A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$(\Delta x)(\Delta p) \approx \frac{h}{4\pi}$.
મર્યાદિત કણ માટે $(\Delta x)(\Delta p) \approx \frac{h}{2\pi}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta p = \frac{h}{2\pi \Delta x} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2 \times 3.1416 \times 10^{-9}} \approx 1.055 \times 10^{-25} \, kg \cdot m/s$.
આપેલ છે કે $\Delta p = p$,તેથી વેગમાન $p = 1.055 \times 10^{-25} \, kg \cdot m/s$.
ગતિ ઉર્જા $E = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા મળે છે.
$E = \frac{(1.055 \times 10^{-25})^2}{2 \times 9.11 \times 10^{-31}} = \frac{1.113 \times 10^{-50}}{1.822 \times 10^{-30}} \approx 6.109 \times 10^{-21} \, J$.
$eV$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,$1.602 \times 10^{-19} \, J/eV$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{6.109 \times 10^{-21}}{1.602 \times 10^{-19}} \approx 0.0381 \, eV$.

(A) ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિનું સૂચન $1924$ માં લુઈસ ડી બ્રોગ્લી દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું.
જોકે,ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિની પ્રથમ પ્રાયોગિક ચકાસણી $1927$ માં ક્લિન્ટન ડેવિસન અને લેસ્ટર જર્મર દ્વારા તેમના ઇલેક્ટ્રોન વિવર્તનના પ્રયોગ દ્વારા કરવામાં આવી હતી.
તેથી,ડેવિસન અને જર્મર આ ગુણધર્મને ચકાસનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા.

(A) ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિનું પ્રાયોગિક સમર્થન $1927$ માં ડેવિસન-જર્મર પ્રયોગ દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું.
આ પ્રયોગે ઇલેક્ટ્રોન વિવર્તનની ઘટના દર્શાવી હતી,જે લુઈસ ડી બ્રોગ્લી દ્વારા સૂચવવામાં આવેલી ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ જેવી વર્તણૂક માટે સીધો પુરાવો પૂરો પાડે છે.

(C) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
કારણ કે $\Delta p = m \Delta v$,તેથી $\Delta x \propto \frac{1}{m \Delta v}$.
આદર્શ વાયુ માટે,સરેરાશ વર્ગમૂળ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ છે,તેથી $\Delta v \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
આ કિંમત અનિશ્ચિતતાના સંબંધમાં મૂકતા: $\Delta x \propto \frac{1}{m \cdot (1/\sqrt{m})} = \frac{1}{\sqrt{m}}$.
તેથી,સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતાનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta x_e}{\Delta x_p} = \frac{1/\sqrt{m_e}}{1/\sqrt{m_p}} = \sqrt{\frac{m_p}{m_e}}$ થાય છે.

(A) ડેવિસન-ગર્મર પ્રયોગે નિકલ સ્ફટિકમાંથી ઇલેક્ટ્રોન વિવર્તનની ભાતનું અવલોકન કરીને ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિ માટેનો પ્રથમ પ્રાયોગિક પુરાવો પૂરો પાડ્યો હતો.
ઇલેક્ટ્રોન તરંગ જેવી લાક્ષણિકતાઓ ધરાવતા હોવાથી,તેઓએ તરંગ મિકેનિક્સના સિદ્ધાંતોનું પાલન કરવું જોઈએ,જેમાં વ્યતિકરણ અને વિવર્તનનો સમાવેશ થાય છે.
તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે કારણ કે પ્રયોગ ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિની પુષ્ટિ કરે છે.
વિધાન $II$ પણ સાચું છે કારણ કે વિવર્તન અને વ્યતિકરણ એ તરંગોના લાક્ષણિક ગુણધર્મો છે,અને ઇલેક્ટ્રોન તેમની તરંગ પ્રકૃતિને કારણે આ વર્તણૂક દર્શાવે છે.
આમ,બંને વિધાનો સાચા છે.

(B) હાઇઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$. $\Delta x$ જેટલા વિસ્તારમાં બંધાયેલા કણની લઘુત્તમ ઉર્જા $\frac{1}{m(\Delta x)^2}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
$(IV)$ નેનોટ્યુબમાં રહેલ $H_{2}$ અણુ પ્રમાણમાં મોટા વિસ્તારમાં (નેનોમીટર સ્કેલ) બંધાયેલ છે અને તેનું દળ વધારે છે,તેથી તેની ઉર્જા સૌથી ઓછી છે.
$(II)$ $H_{2}$ અણુમાં રહેલ હાઇડ્રોજન પરમાણુ આંતર-પરમાણ્વીય બળો દ્વારા બંધાયેલ છે,જે નેનોટ્યુબ કરતા નાનો વિસ્તાર ધરાવે છે,તેથી તેની ઉર્જા $(IV)$ કરતા વધારે છે.
$(I)$ $H_{2}$ અણુમાં રહેલ ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુ કરતા ઘણો હલકો છે,અને મોલેક્યુલર ઓર્બિટલમાં તેની મર્યાદિત સ્થિતિને કારણે તેની ગતિજ ઉર્જા પરમાણુ કરતા વધારે હોય છે.
$(III)$ કાર્બન ન્યુક્લિયસમાં રહેલ પ્રોટોન પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળો દ્વારા અત્યંત નાના વિસ્તારમાં (ફેમટોમીટર સ્કેલ) બંધાયેલ છે,તેથી અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ તેની ઉર્જા સૌથી વધુ છે.
તેથી,લઘુત્તમ ઉર્જાનો સાચો વધતો ક્રમ $IV < II < I < III$ છે.

(D) $1$. વિધાન $A$ જણાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોનનો બીમ તરંગ પ્રકૃતિ દર્શાવે છે,જેમાં વ્યતિકરણ અને વિવર્તનનો સમાવેશ થાય છે. આ ડી બ્રોગ્લી દ્વારા સૂચિત દ્રવ્ય તરંગોનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે.
$2$. કારણ $R$ જણાવે છે કે ડેવિસન-ગર્મર પ્રયોગે ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિને પ્રાયોગિક રીતે ચકાસી હતી. આ એક ઐતિહાસિક તથ્ય છે.
$3$. ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિ (વિધાન $A$) ડેવિસન-ગર્મર પ્રયોગમાં જોવા મળતા વિવર્તન ભાત દ્વારા પુષ્ટિ પામે છે (કારણ $R$). તેથી,પ્રાયોગિક ચકાસણી એ ભૌતિક પુરાવો પૂરો પાડે છે જે સમજાવે છે કે શા માટે આપણે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ કે ઇલેક્ટ્રોન વ્યતિકરણ અને વિવર્તન જેવા તરંગ જેવા ગુણધર્મો દર્શાવે છે.
$4$. આમ,બંને વિધાનો સાચા છે,અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) $G$ $P$ Thomson એ દર્શાવ્યું હતું કે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન બીમ સ્ફટિકોની નિયમિત પરમાણુ ગોઠવણી દ્વારા પ્રકીર્ણન પામે છે,ત્યારે તેઓ વિવર્તન અનુભવે છે. આ પ્રયોગ દ્વારા તેમણે દ્રવ્ય તરંગો (ડી-બ્રોગ્લીની પૂર્વધારણા) ના અસ્તિત્વની પ્રાયોગિક પુષ્ટિ કરી હતી. આ પ્રયોગ દ્રવ્યના તરંગ સ્વભાવ માટે સીધો પુરાવો પૂરો પાડે છે.