Matter Waves and de Broglie Wavelength Questions in Gujarati

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ કણનું દળ છે અને $E$ એ ગતિઊર્જા છે.
અહીં ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને માટે ગતિઊર્જા $E$ સમાન હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રોટોનનું દળ $(m_p)$ એ ઇલેક્ટ્રોનના દળ $(m_e)$ કરતા ઘણું વધારે છે,એટલે કે $m_p > m_e$.
તેથી,$\sqrt{m_p} > \sqrt{m_e}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\sqrt{m_p}} < \frac{1}{\sqrt{m_e}}$.
આમ,પ્રોટોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ ઇલેક્ટ્રોન કરતા ઓછી હોય છે,એટલે કે $\lambda_p < \lambda_e$.

(B) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ કણનું દળ છે અને $E$ ગતિઊર્જા છે.
અહીં બંને કણો માટે ગતિઊર્જા $E$ સમાન હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ થાય.
તેથી,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{m_\alpha}{m_p}}$ થશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha$-કણનું દળ $(m_\alpha)$ એ પ્રોટોનના દળ $(m_p)$ કરતા આશરે $4$ ગણું હોય છે,એટલે કે $m_\alpha = 4m_p$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{4m_p}{m_p}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ મળે છે.

(B) $V$ સ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન માટે દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
તેથી,તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$ થાય.
અહીં $\lambda_1 = 10^{-10} \ m = 1 \ \mathring{A}$,$V_1 = 150 \ V$,અને $V_2 = 600 \ V$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1 \ \mathring{A}}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{600}{150}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$\lambda_2 = \frac{1}{2} \ \mathring{A} = 0.5 \ \mathring{A}$ મળે છે.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p = mv$ એ કણનું વેગમાન છે.
આપેલ છે: દળ $m = 1 \ kg$,વેગ $v = 1 \ m/s$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{h}{1 \times 1} = h$.
તેથી,દડાની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $h$ થાય છે.

(C) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ વેગમાન છે.
વિકલન લેતા,આપણને મળે છે $\frac{d\lambda}{dp} = -\frac{h}{p^2} = -\frac{\lambda}{p}$.
નાના ફેરફારો માટે,આપણે લખી શકીએ $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = -\frac{\Delta p}{p}$.
તેનું મૂલ્ય લેતા,આપણને મળે છે $\left| \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \right| = \left| \frac{\Delta p}{p} \right|$.
આપેલ છે કે વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p = P_o$ અને તરંગલંબાઈમાં ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = 0.25\% = \frac{0.25}{100} = \frac{1}{400}$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{P_o}{p} = \frac{1}{400}$.
તેથી,શરૂઆતનું વેગમાન $p = 400\ P_o$ થાય.

(B) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક $(6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$ છે,$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(9.1 \times 10^{-31} \ kg)$ છે અને $v$ એ વેગ છે.
વેગ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $v = \frac{h}{m\lambda}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 5200 \times 10^{-10}}$.
છેદની ગણતરી કરતા: $9.1 \times 5200 \times 10^{-41} \approx 4.732 \times 10^{-37}$.
આમ,$v = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4.732 \times 10^{-37}} \approx 1.394 \times 10^3 \ m/s$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$v \approx 1.4 \times 10^3 \ m/s$.

(A) $T$ તાપમાને વાયુના અણુની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$.
અહીં $T_1 = 27^oC = (27 + 273) K = 300 K$ અને $T_2 = 927^oC = (927 + 273) K = 1200 K$ આપેલ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{1200}{300}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{2}$.

(B) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
અહીં વેગ $v$ બમણો $(2v)$ થાય છે અને ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ પણ બમણી $(2E)$ થાય છે તેમ આપેલ છે.
જો આપણે દળ $m$ ને અચળ માનીએ અને વેગ $v$ બમણો કરીએ,તો નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{h}{m(2v)} = \frac{\lambda}{2}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $\frac{\lambda}{2}$ છે.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,શરૂઆતમાં પદાર્થ $M$ સ્થિર હોવાથી તેનું કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
તેથી,બંને ટુકડાઓ સમાન મૂલ્યના પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં વેગમાન ધરાવતા હોવા જોઈએ,એટલે કે $p_1 = p_2 = p$.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
બંને ટુકડાઓનું વેગમાન સમાન હોવાથી,તેમની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \frac{h}{p}$ અને $\lambda_2 = \frac{h}{p}$ થશે.
આમ,તેમની તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h/p}{h/p} = 1$ મળે છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
બંનેની તરંગલંબાઈ સમાન હોવાથી,$\frac{h}{m_p v_p} = \frac{h}{m_e v_e}$ થાય.
તેથી,$m_p v_p = m_e v_e$ મળે.
આપેલ છે: કણનું દળ $m_p = 1 \, mg = 10^{-6} \, kg$,ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m_e = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$,અને ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_e = 3 \times 10^6 \, m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $10^{-6} \, kg \times v_p = 9.1 \times 10^{-31} \, kg \times 3 \times 10^6 \, m/s$.
$v_p = \frac{27.3 \times 10^{-25}}{10^{-6}} \, m/s = 27.3 \times 10^{-19} \, m/s = 2.73 \times 10^{-18} \, m/s$.
આમ,કણનો વેગ $2.7 \times 10^{-18} \, m/s$ છે.

(B) $V$ પોટેન્શિયલ દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{1.227}{\sqrt{V}} \; nm$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે $V_1 = 25 \; kV$ પર પ્રારંભિક તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ છે અને $V_2 = 100 \; kV$ પર અંતિમ તરંગલંબાઇ $\lambda_2$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,આપણને મળે છે $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}} = \sqrt{\frac{100 \; kV}{25 \; kV}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $2$ ગણી ઘટશે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{Bq}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $mv = RBq$.
આપેલ કિંમતો:
$R = 0.83\, cm = 0.83 \times 10^{-2}\, m$
$B = 0.25\, Wb/m^2$
$q = 2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19}\, C$
વેગમાન $p = mv$ ની ગણતરી:
$mv = (0.83 \times 10^{-2}) \times (0.25) \times (2 \times 1.6 \times 10^{-19})$
$mv = 0.664 \times 10^{-21}\, kg\cdot m/s$
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $h = 6.6 \times 10^{-34}\, J\cdot s$:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.664 \times 10^{-21}} \approx 0.01 \times 10^{-10}\, m = 0.01\, \mathring{A}$.

(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{P}$ છે.
લઘુગણકીય વિકલન લેતા,આપણને $\frac{d\lambda}{\lambda} = -\frac{dP}{P}$ મળે છે.
નાના ફેરફારો માટે,આપણે $\frac{|\Delta \lambda|}{\lambda} = \frac{\Delta P}{P}$ લખી શકીએ.
આપેલ છે કે તરંગલંબાઈમાં $0.5\%$ નો ફેરફાર થાય છે,તેથી $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = 0.5\% = \frac{0.5}{100} = \frac{1}{200}$.
આ કિંમત સંબંધમાં મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta P}{P} = \frac{1}{200}$ મળે છે.
તેથી,પ્રારંભિક વેગમાન $P = 200\,\Delta P$ થશે.

(A) $E$ જેટલી ગતિઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ:
$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2 m_e E}}$ .... $(i)$
$E$ જેટલી ઊર્જા ધરાવતા ફોટોનની તરંગલંબાઈ:
$\lambda_p = \frac{hc}{E}$ અથવા $E = \frac{hc}{\lambda_p}$ .... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ નો બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\lambda_e^2 = \frac{h^2}{2 m_e E}$ અથવા $E = \frac{h^2}{2 m_e \lambda_e^2}$ .... $(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ માંથી $E$ ને સરખાવતા:
$\frac{hc}{\lambda_p} = \frac{h^2}{2 m_e \lambda_e^2}$
$\lambda_p$ ને કર્તા બનાવતા:
$\lambda_p = \left( \frac{2 m_e c}{h} \right) \lambda_e^2$
અહીં $\frac{2 m_e c}{h}$ એ અચળાંક હોવાથી:
$\lambda_p \propto \lambda_e^2$

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ ...... $(i)$
જ્યાં $m$ એ કણનું દળ છે અને $K$ એ કણની ગતિઊર્જા છે.
જ્યારે કણની ગતિઊર્જા તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા $16$ ગણી કરવામાં આવે,ત્યારે નવી ગતિઊર્જા $K' = 16K$ થાય છે.
નવી ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda'$ નીચે મુજબ મળે:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(16K)}} = \frac{h}{4\sqrt{2mK}} = \frac{\lambda}{4}$ (સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા).
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર:
$\text{ટકાવારી ફેરફાર} = \frac{\lambda - \lambda'}{\lambda} \times 100$
$= \left(1 - \frac{\lambda'}{\lambda}\right) \times 100$
$= \left(1 - \frac{1}{4}\right) \times 100 = \frac{3}{4} \times 100 = 75\%$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે: $\lambda = 500\, nm$,$hc = 1240\, eV\, nm$,અને $\phi_0 = 2.28\, eV$.
$K_{\max} = \frac{1240\, eV\, nm}{500\, nm} - 2.28\, eV = 2.48\, eV - 2.28\, eV = 0.2\, eV$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e$ અને ગતિઊર્જા $K$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે. કારણ કે $K \le K_{\max}$,ન્યૂનતમ તરંગલંબાઈ મહત્તમ ગતિઊર્જાને અનુરૂપ છે: $\lambda_{\min} = \frac{h}{\sqrt{2mK_{\max}}}$.
$h = 6.6 \times 10^{-34}\, J\, s$,$m = 9.1 \times 10^{-31}\, kg$,અને $K_{\max} = 0.2 \times 1.6 \times 10^{-19}\, J$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_{\min} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 0.32 \times 10^{-19}}} \approx 2.8 \times 10^{-9}\, m$.
કારણ કે $K \le K_{\max}$,તેથી $\lambda_e \ge \lambda_{\min}$. આમ,$\lambda_e \ge 2.8 \times 10^{-9}\, m$.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ કણના વેગમાન $p$ સાથે સમીકરણ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા સંબંધિત છે, જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
આ સમીકરણને $p \lambda = h$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
જેহেতু $h$ અચળ છે, તેથી $p$ અને $\lambda$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે $(p \lambda = \text{constant})$.
આ સંબંધ $p-\lambda$ સમતલમાં લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે, જેમાં જેમ $\lambda$ વધે છે તેમ $p$ ઘટે છે.
તેથી, આકૃતિ $D$ માં દર્શાવેલ આલેખ આ વ્યસ્ત સંબંધને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(D) $E$ ઉર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_{e} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
$E$ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોન માટે,સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda_{p}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_{p} = \frac{hc}{E}$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{p}} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \times \frac{E}{hc} = \frac{1}{c} \times \frac{E^{1}}{\sqrt{E}} \times \frac{1}{\sqrt{2m}} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}} = \frac{1}{C}(\frac{E}{2m})^{1/2}$.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
ગતિ ઉર્જા $E = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mE}$ મળે.
તેથી,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
આપેલ છે: $m = 1.7 \times 10^{-27} \; kg$,$E = 3 \; eV = 3 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J$,અને $h = 6.6 \times 10^{-34} \; J \cdot s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.7 \times 10^{-27} \times 3 \times 1.6 \times 10^{-19}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{16.32 \times 10^{-46}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4.04 \times 10^{-23}}$
$\lambda \approx 1.633 \times 10^{-11} \; m$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$\lambda = 1.65 \times 10^{-11} \; m$ મળે છે.

(C) $T$ તાપમાને ઉષ્મીય સંતુલનમાં રહેલા ન્યુટ્રોનની ગતિઊર્જા $K$ એ વિભાજનના પ્રમેય મુજબ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K = \frac{3}{2} k_B T$ ..... $(i)$
વેગમાન $p$ અને ગતિઊર્જા $K$ વચ્ચેનો સંબંધ $p = \sqrt{2mK}$ છે.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $K$ ની કિંમત મૂકતા:
$p = \sqrt{2m \cdot \frac{3}{2} k_B T} = \sqrt{3mk_B T}$
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{3mk_B T}}$

(A) વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\vec{F} = q\vec{E} = (-e)(-E_0 \hat{i}) = eE_0 \hat{i}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{eE_0}{m} \hat{i}$ છે.
$t$ સમયે ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $\vec{v}_t = \vec{v} + \vec{a}t = \left(V_0 + \frac{eE_0}{m}t\right) \hat{i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગનું મૂલ્ય $v_t = V_0 + \frac{eE_0}{m}t = V_0 \left(1 + \frac{eE_0}{mV_0}t\right)$ છે.
$t$ સમયે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_t = \frac{h}{mv_t}$ છે.
$v_t$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\lambda_t = \frac{h}{m V_0 \left(1 + \frac{eE_0}{mV_0}t\right)}$ મળે છે.
પ્રારંભિક ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_0 = \frac{h}{mV_0}$ હોવાથી,$\lambda_t = \frac{\lambda_0}{\left(1 + \frac{eE_0}{mV_0}t\right)}$ થાય છે.

(C) $m$ દળ ધરાવતા કણ માટે $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $e$ એ મૂળભૂત વિદ્યુતભાર છે.
અહીં $h$,$e$ અને $V$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m_e)$ એ પ્રોટોનના દળ $(m_p)$ કરતા ઘણું ઓછું છે,એટલે કે $m_e < m_p$.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{m_e}} > \frac{1}{\sqrt{m_p}}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_e > \lambda_p$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $v$ તેની ઝડપ છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તેના પર વિદ્યુત બળ $F = qE$ લાગે છે,જે ક્ષેત્રની દિશાના આધારે ઇલેક્ટ્રોનને પ્રવેગિત અથવા પ્રતિપ્રવેગિત કરી શકે છે. આમ,ઝડપ $v_1$ બદલાય છે,જેના કારણે $\lambda_1$ બદલાય છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય બળ $F = q(v \times B)$ વેગને લંબરૂપે લાગે છે. આ બળ ગતિની દિશા બદલે છે પરંતુ ઝડપનું મૂલ્ય બદલતું નથી. આમ,ઝડપ $v_2$ અચળ રહે છે અને $\lambda_2$ અચળ રહે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઝડપ $v_1$ પ્રારંભિક ઝડપની સાપેક્ષમાં વધી અથવા ઘટી શકે છે,તેથી $\lambda_1$ એ $\lambda_2$ કરતા નાની અથવા મોટી હોઈ શકે છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોનની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = 100 \, eV$ છે.
જ્યારે તેને $V = 50 \, V$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન $K' = eV = 50 \, eV$ જેટલી વધારાની ગતિઊર્જા મેળવે છે.
ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ગતિઊર્જા $K_f = K_i + K' = 100 \, eV + 50 \, eV = 150 \, eV$ થાય છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે.
ટૂંકી રીતનું સૂત્ર $\lambda (\text{in } \mathring{A}) = \sqrt{\frac{150}{K (\text{in } eV)}}$ વાપરતા:
$\lambda = \sqrt{\frac{150}{150}} = \sqrt{1} = 1 \, \mathring{A}$.

(B) આપેલ છે: $A$ નું દળ $= m$,$B$ નું દળ $= \frac{m}{2}$. $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $= v$,$B$ નો પ્રારંભિક વેગ $= 0$.
ધારો કે અથડામણ પછી $A$ અને $B$ ના અંતિમ વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv = mv_1 + (\frac{m}{2})v_2 \implies v = v_1 + \frac{v_2}{2} \implies 2v = 2v_1 + v_2$ ... $(i)$.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,પુનઃસ્થાપન ગુણાંક $e = 1$,તેથી $v_2 - v_1 = v - 0 \implies v_2 = v + v_1$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $2v = 2v_1 + (v + v_1) \implies v = 3v_1 \implies v_1 = \frac{v}{3}$.
તેથી $v_2 = v + \frac{v}{3} = \frac{4v}{3}$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{p_B}{p_A} = \frac{m_B v_2}{m_A v_1} = \frac{(\frac{m}{2}) \times (\frac{4v}{3})}{m \times (\frac{v}{3})} = \frac{\frac{2mv}{3}}{\frac{mv}{3}} = 2$.

(C) પ્રારંભિક ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = \frac{h}{m_0v_0}$ છે.
જ્યારે તરંગલંબાઈ અડધી થાય,ત્યારે $\lambda = \frac{\lambda_0}{2} = \frac{h}{2m_0v_0}$ થાય.
$\lambda = \frac{h}{p}$ હોવાથી,અંતિમ વેગમાન $p = 2m_0v_0$ થવું જોઈએ.
ધારો કે $t$ સમયે વેગ $v$ છે. તેથી $mv = 2m_0v_0$,એટલે કે $v = 2v_0$.
વેગના ઘટકો $v_y = v_0$ (અચળ) અને $v_x = a_x t = \frac{q_0E_0}{m_0}t$ છે.
વેગનું મૂલ્ય $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v^2 = v_x^2 + v_y^2 \Rightarrow (2v_0)^2 = v_x^2 + v_0^2$.
$4v_0^2 = v_x^2 + v_0^2 \Rightarrow v_x^2 = 3v_0^2 \Rightarrow v_x = \sqrt{3}v_0$.
$v_x = \frac{q_0E_0}{m_0}t$ મૂકતા,આપણને $\frac{q_0E_0}{m_0}t = \sqrt{3}v_0$ મળે છે.
તેથી,$t = \sqrt{3} \frac{m_0v_0}{q_0E_0}$.

(B) $V$ સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ ધરાવતા હાઇડ્રોજન જેવા આયન માટે લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખાની તરંગલંબાઈ $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
$He^+$ માટે,$Z = 2$. લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 1$ અને $n_2 = 2$.
$\frac{1}{\lambda} = R (2)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 4R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = 4R \left( \frac{3}{4} \right) = 3R$.
બંને તરંગલંબાઈને સરખાવતા: $\frac{h}{\sqrt{2meV}} = \frac{1}{3R}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{h^2}{2meV} = \frac{1}{9R^2}$.
$V$ માટે ઉકેલતા: $V = \frac{9R^2 h^2}{2me}$.

(A) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતથી પ્રવેગિત થતા ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{k}{\sqrt{V}}$ છે અને નવી તરંગલંબાઈ $\lambda^{\prime} = \frac{k}{\sqrt{4V}}$ છે,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા,$\frac{\lambda^{\prime}}{\lambda} = \frac{\sqrt{V}}{\sqrt{4V}} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\lambda^{\prime} = \frac{\lambda}{2}$.
આને આપેલ સમીકરણ $\lambda^{\prime} = \frac{\lambda}{n}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 2$ મળે છે.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
કિસ્સો $(i)$: ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે. ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વીજભારિત હોવાથી, તે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં બળ અનુભવે છે, જે તેને પ્રવેગિત કરે છે. જેમ વેગ $v$ વધે છે, તેમ દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ ઘટે છે。
કિસ્સો $(ii)$: ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ગતિ કરે છે. ચુંબકીય બળ વેગને લંબ રૂપે કાર્ય કરે છે, જે ગતિની દિશા બદલે છે પરંતુ વેગ $v$ નું મૂલ્ય બદલતું નથી. ઝડપ $v$ અચળ રહેતી હોવાથી, દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ સમાન રહે છે。

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે તરંગલંબાઇમાં $0.50\%$ નો ફેરફાર થાય છે,તેથી નવી તરંગલંબાઇ $\lambda' = \lambda - \frac{0.5}{100} \lambda = 0.995 \lambda = \frac{199}{200} \lambda$ થાય.
કારણ કે $\lambda = \frac{h}{p},$ નવું વેગમાન $p' = p + \Delta p$ થશે.
આમ,$\lambda' = \frac{h}{p + \Delta p}.$
$\lambda'$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{h}{p + \Delta p} = \frac{199}{200} \left( \frac{h}{p} \right).$
$\Rightarrow \frac{1}{p + \Delta p} = \frac{199}{200p}.$
$\Rightarrow 200p = 199(p + \Delta p).$
$\Rightarrow 200p = 199p + 199 \Delta p.$
$\Rightarrow p = 199 \Delta p.$

(B) ધારો કે બે કણોના દળ $m$ છે અને તેમની ઝડપ $v$ છે. દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $mv = \frac{h}{\lambda}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ ફ્રેમમાં,કણ $1$ નો વેગ $\vec{v}_{1cm} = \vec{v}_1 - \vec{v}_{cm}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\vec{v}_{cm} = \frac{m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2}{2m} = \frac{\vec{v}_1 + \vec{v}_2}{2}$ છે.
આમ,$\vec{v}_{1cm} = \vec{v}_1 - \frac{\vec{v}_1 + \vec{v}_2}{2} = \frac{\vec{v}_1 - \vec{v}_2}{2}$.
સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}_{1cm}| = \frac{1}{2} |\vec{v}_1 - \vec{v}_2|$ છે.
$60^o$ ના ખૂણે સમાન મૂલ્ય $v$ ધરાવતા બે સદિશોની બાદબાકી માટે કોસાઇનનો નિયમ વાપરતા:
$|\vec{v}_1 - \vec{v}_2| = \sqrt{v^2 + v^2 - 2v^2 \cos(60^o)} = \sqrt{2v^2 - 2v^2(0.5)} = \sqrt{v^2} = v$.
તેથી,$|\vec{v}_{1cm}| = \frac{v}{2}$.
નવી દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{h}{m|\vec{v}_{1cm}|} = \frac{h}{m(v/2)} = 2 \frac{h}{mv} = 2\lambda$ થાય.

(D) ન્યુટ્રોન ધીમેથી ગતિ કરતું હોવાથી તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન $P_i \approx 0$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું અંતિમ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ $(P_f = 0)$.
ધારો કે બે ઉત્પન્ન થયેલા ન્યુક્લિયસના વેગમાન $P_1$ અને $P_2$ છે. કુલ વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,$P_1 + P_2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $P_1 = -P_2$.
મૂલ્યની દ્રષ્ટિએ,$|P_1| = |P_2| = P$.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ વેગમાન છે.
બંને ન્યુક્લિયસનું વેગમાન સમાન મૂલ્ય $P$ ધરાવતું હોવાથી,તેમની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = \frac{h}{P}$ અને $\lambda_2 = \frac{h}{P}$ થશે.
તેથી,$\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$.

(C) ઇલેક્ટ્રોનની પ્રારંભિક દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = \frac{h}{mv_0}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\vec{F} = -e\vec{E} = -eE_0 \hat{j}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = -\frac{eE_0}{m} \hat{j}$ છે.
પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_0 = v_0 \hat{i}$ છે.
$t$ સમયે વેગ $\vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{a}t = v_0 \hat{i} - \frac{eE_0 t}{m} \hat{j}$ થાય.
$t$ સમયે વેગનું મૂલ્ય $v = \sqrt{v_0^2 + (\frac{eE_0 t}{m})^2} = v_0 \sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}$ છે.
$t$ સમયે દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{m v_0 \sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}}$ થાય.
$\lambda_0 = \frac{h}{mv_0}$ મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{\lambda_0}{\sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}}$ મળે છે.

(D) કણની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = E$ છે.
પ્રારંભિક ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK_i}} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કણ $V$ સ્થિતિઊર્જા ધરાવતા વિસ્તારમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તેની કુલ ઊર્જા સંરક્ષિત રહે છે. નવી ગતિઊર્જા $K_f = E - V$ થાય છે.
નવી ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2mK_f}} = \frac{h}{\sqrt{2m(E - V)}}$ છે.
આને આપણે $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2mE(1 - \frac{V}{E})}} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{V}{E}}}$ તરીકે લખી શકીએ.
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ મૂકતા,આપણને $\lambda' = \lambda \left( 1 - \frac{V}{E} \right)^{-\frac{1}{2}}$ મળે છે.

(A) ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
$L$ લંબાઈના બોક્સમાં સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કરતા કણ માટે,સ્થિર તરંગની શરત મુજબ લંબાઈ $L$ એ અડધી તરંગલંબાઈના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હોવી જોઈએ: $L = \frac{n\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
$\lambda$ ને કર્તા બનાવતા,$\lambda = \frac{2L}{n}$ મળે છે.
આ કિંમતને ડી-બ્રોગ્લી સંબંધમાં મૂકતા: $p = \frac{h}{\lambda} = \frac{h}{(2L/n)} = \frac{nh}{2L}$.

(B) નિકલના કણોમાં વિવર્તન (diffraction) થવા માટેની શરત $2d \sin \theta = n \lambda$ છે.
$\sin \theta \le 1$ હોવાથી,વિવર્તન પામી શકતી મહત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda_{\max} = 2d$ ($n=1$ માટે) છે.
જે ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઇ $\lambda > 2d$ હોય,તેઓ નિકલના કણો દ્વારા વિવર્તિત થશે નહીં અને પાઇપમાંથી સીધા પસાર થશે.
ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\lambda > 2d$ શરતનો અર્થ છે કે $\frac{h}{p} > 2d$,અથવા $p < \frac{h}{2d}$.
આ ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E = \frac{p^2}{2m}$ છે.
$p$ માટેની અસમતા મૂકતા,આપણને $E < \frac{(\frac{h}{2d})^2}{2m} = \frac{h^2}{8md^2}$ મળે છે.
આમ,પાઇપમાંથી પસાર થતા ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $\frac{h^2}{8md^2}$ કરતા ઓછી હોય છે.

(B) આપેલ છે કે કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ એ ફોટોનની તરંગલંબાઈ જેટલી છે: $\lambda_p = \lambda_{ph} = \lambda$.
ફોટોન માટે,ઊર્જા $E_{ph} = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
કણ માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $h = \lambda mv$.
કણની ગતિઊર્જા $K_p = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ફોટોનની ઊર્જાના સમીકરણમાં $h$ ની કિંમત મૂકતા: $E_{ph} = \frac{(\lambda mv)c}{\lambda} = mvc$.
કણની ગતિઊર્જા અને ફોટોનની ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_p}{E_{ph}} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{mvc} = \frac{v}{2c}$.
અહીં $v = 2.25 \times 10^8\, m/s$ અને $c = 3 \times 10^8\, m/s$ આપેલ છે:
ગુણોત્તર $= \frac{2.25 \times 10^8}{2 \times 3 \times 10^8} = \frac{2.25}{6} = \frac{225}{600} = \frac{3}{8}$.

(B) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
અહીં $V_1 = 150 \ V$ માટે $\lambda_1 = 10^{-10} \ m = 1 \ \mathring{A}$ આપેલ છે.
આપણે $V_2 = 600 \ V$ માટે $\lambda_2$ શોધવાની છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{600}{150}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$\lambda_2 = \frac{1}{2} = 0.5 \ \mathring{A}$.

(C) $V_0$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થતા વીજભારિત કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV_0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h$ અને $V_0$ બંને કણો માટે અચળ હોવાથી,તરંગલંબાઇ એ દળ અને વીજભારના ગુણાકારના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mq}}$.
પ્રોટોન માટે,$m_p = m$ અને $q_p = e$. $\alpha$-કણ માટે,$m_{\alpha} = 4m$ અને $q_{\alpha} = 2e$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha}q_{\alpha}}{m_pq_p}} = \sqrt{\frac{4m \times 2e}{m \times e}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $2\sqrt{2} : 1$ મળે છે.

(C) સર્વોચ્ચ બિંદુએ,$M$ દળ ધરાવતા બોમ્બનો વેગ સમક્ષિતિજ દિશામાં $v = u \cos \theta$ છે. વેગમાન $P = M u \cos \theta$ છે.
વિસ્ફોટ પછી,બોમ્બ $m = M/2$ દળના બે ટુકડાઓમાં વિભાજિત થાય છે. ધારો કે પ્રથમ ટુકડાનો વેગ (જે પ્રક્ષેપણ બિંદુ પર પાછો ફરે છે) $v_1$ છે અને બીજા ટુકડાનો વેગ $v_2$ છે.
પ્રથમ ટુકડો પ્રક્ષેપણ બિંદુ પર પાછો ફરતો હોવાથી,તેનો સમક્ષિતિજ વેગ $-u \cos \theta$ હોવો જોઈએ (કારણ કે તે સમાન સમયમાં પાછું તેટલું જ સમક્ષિતિજ અંતર કાપે છે).
સમક્ષિતિજ દિશામાં રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$M u \cos \theta = (M/2)(-u \cos \theta) + (M/2) v_2$
$u \cos \theta = -0.5 u \cos \theta + 0.5 v_2$
$1.5 u \cos \theta = 0.5 v_2 \implies v_2 = 3 u \cos \theta$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિસ્ફોટ પહેલાં બોમ્બ માટે: $\lambda_{bomb} = \frac{h}{M u \cos \theta}$.
વિસ્ફોટ પછી તરત જ બીજા ટુકડા માટે: $\lambda_2 = \frac{h}{(M/2) v_2} = \frac{h}{(M/2) (3 u \cos \theta)} = \frac{2h}{3 M u \cos \theta}$.
બીજા ટુકડાની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ અને બોમ્બની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_{bomb}} = \frac{\frac{2h}{3 M u \cos \theta}}{\frac{h}{M u \cos \theta}} = \frac{2}{3}$.

(C) $K$ ગતિઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $K = 1.5 \ eV = 1.5 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$ આપેલ છે.
સૂત્ર $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring{A}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટમાં પ્રવેગક સ્થિતિમાન છે. $K = eV$ હોવાથી,$V = 1.5 \ V$ થાય.
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{1.5}} \ \mathring{A} \approx \frac{12.27}{1.225} \ \mathring{A} \approx 10 \ \mathring{A}$.
મીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $\lambda = 10 \times 10^{-10} \ m = 10^{-9} \ m$.

(A) $V$ વોલ્ટ ઉર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \sqrt{\frac{150}{V}} \, \mathring{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ઉર્જા $E = 10 \, KeV = 10^4 \, eV$ છે,તેથી $V = 10^4 \, V$.
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{10^4}} \, \mathring{A} = \frac{12.27}{100} \, \mathring{A} = 0.1227 \, \mathring{A}$.
બ્રેગના વિવર્તનના નિયમ મુજબ,$n \lambda = d \sin \phi$,જ્યાં $d = 0.2454 \, \mathring{A}$ અને પ્રથમ ક્રમ માટે $n = 1$ લેતા.
$0.1227 = 0.2454 \sin \phi$.
$\sin \phi = \frac{0.1227}{0.2454} = 0.5$.
$\phi = \arcsin(0.5) = 30^{\circ}$.

(B) પ્રોટોન માટે,દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફોટોન માટે,ઉર્જા $E = pc$ છે,તેથી વેગમાન $p = \frac{E}{c}$ થાય. દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_2 = \frac{h}{p} = \frac{hc}{E}$ થાય.
બંને તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h / \sqrt{2mE}}{hc / E} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \times \frac{E}{hc} = \frac{1}{c\sqrt{2m}} \times \frac{E}{E^{1/2}} = \frac{1}{c\sqrt{2m}} \times E^{1/2}$.
આમ,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \propto E^{1/2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = K$ છે અને પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે.
જો ગતિઊર્જા બમણી થાય,તો નવી ગતિઊર્જા $K_2 = 2K$ થશે.
નવી તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{h}{\sqrt{2m(2K)}} = \frac{h}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2mK}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \lambda_1$ થશે.
તેથી,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈમાં $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ગણો ફેરફાર થાય છે.

(B) કણની કુલ ઊર્જા $E = 2E_0$ આપેલ છે.
વિસ્તાર $0 \le x \le 1$ માટે,સ્થિતિઊર્જા $U(x) = E_0$ છે. ગતિઊર્જા $K_1 = E - U = 2E_0 - E_0 = E_0$ થશે.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \frac{h}{\sqrt{2mK_1}} = \frac{h}{\sqrt{2mE_0}}$ મળે.
વિસ્તાર $x > 1$ માટે,સ્થિતિઊર્જા $U(x) = 0$ છે. ગતિઊર્જા $K_2 = E - U = 2E_0 - 0 = 2E_0$ થશે.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{h}{\sqrt{2mK_2}} = \frac{h}{\sqrt{2m(2E_0)}} = \frac{h}{\sqrt{4mE_0}}$ મળે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2mE_0}}}{\frac{h}{\sqrt{4mE_0}}} = \sqrt{\frac{4mE_0}{2mE_0}} = \sqrt{2}$.
તેથી,$(\lambda_1/\lambda_2)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.