Matter Waves and de Broglie Wavelength Questions in Gujarati

(D) $V$ વોલ્ટેજથી પ્રવેગિત થતા ઈલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring{A}$ છે.
અહીં $\lambda = 1.0 \ \mathring{A}$ આપેલ છે.
કિંમત મૂકતા: $1.0 = \frac{12.27}{\sqrt{V}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1 = \frac{150.55}{V}$.
તેથી,$V \approx 150 \ V$.

(A) સ્ફટિક લેટીસમાંથી રચનાત્મક વ્યતિકરણ (વિવર્તન) માટેની શરત બ્રેગના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $2d \sin \theta = n\lambda$.
અહીં,આંતર-સમતલ અંતર $d = b$ આપેલ છે.
સીધા પરાવર્તન (બેકસ્કેટરિંગ) માટે,પરમાણ્વિય સમતલ સાથેનો આપાતકોણ $\theta = 90^\circ$ હોય છે.
બ્રેગના નિયમમાં $\theta = 90^\circ$ મૂકતા: $2b \sin(90^\circ) = n\lambda$.
કારણ કે $\sin(90^\circ) = 1$,તેથી આપણને $2b = n\lambda$ મળે છે.
આમ,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{2b}{n}$ થશે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 200 \ g = 0.2 \ kg$.
ઝડપ $v = 5 \ m/hr = \frac{5}{3600} \ m/s$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
દ-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર:
$\lambda = \frac{h}{mv}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{0.2 \times (5/3600)}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3600}{0.2 \times 5}$
$\lambda = \frac{23853.6 \times 10^{-34}}{1}$
$\lambda \approx 2.385 \times 10^{-30} \ m$.
આમ,તરંગલંબાઈનો ક્રમ $10^{-30} \ m$ છે.

(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગ લંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ છે.
અહીં,
હાઈડ્રોજનનું તાપમાન $(T_H)$ = $27^{\circ}C = 300 \ K$.
હિલિયમનું તાપમાન $(T_{He})$ = $127^{\circ}C = 400 \ K$.
હાઈડ્રોજનનું દળ $(m_H)$ = $m$.
હિલિયમનું દળ $(m_{He})$ = $4m$.
તરંગ લંબાઈનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_H}{\lambda_{He}} = \sqrt{\frac{m_{He}}{m_H} \times \frac{T_{He}}{T_H}} = \sqrt{\frac{4m}{m} \times \frac{400}{300}} = \sqrt{4 \times \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{16}{3}}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) દ બ્રોગ્લી તરંગ લંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ વેગમાન છે.
આપેલ છે કે $\lambda_e = \lambda_p$,જેનો અર્થ છે કે ઈલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોનનું વેગમાન સમાન હોવું જોઈએ: $p_e = p_p = p$.
ગતિ ઊર્જા $(K)$ અને વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
ઈલેક્ટ્રોન માટે: $K_e = \frac{p^2}{2m_e}$.
પ્રોટોન માટે: $K_p = \frac{p^2}{2m_p}$.
પ્રોટોનનું દળ $(m_p)$ એ ઈલેક્ટ્રોનના દળ $(m_e)$ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી,એટલે કે $m_p > m_e$,તેથી $\frac{1}{m_e} > \frac{1}{m_p}$ થાય.
આથી,$K_e > K_p$. એટલે કે ઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા પ્રોટોનની ગતિ ઊર્જા કરતાં વધારે હશે.

(C) ઈલેક્ટ્રોન જે સ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ પ્રવેગિત થાય છે તે $\Delta V = V_B - V_A = 40 \ V - 20 \ V = 20 \ V$ છે.
ઈલેક્ટ્રોન દ્વારા પ્રાપ્ત ગતિઊર્જા $K = e \Delta V = 20 \ eV$ છે.
દ બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$,અને $K = 20 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 20 \times 1.6 \times 10^{-19}}} \approx 2.75 \times 10^{-10} \ m$.
તેથી,$\lambda \approx 2.75 \ \mathring A$.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને ગતિઊર્જા $K$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
જો ગતિઊર્જા $K$ ને $4$ ગણી કરવામાં આવે,તો નવી ગતિઊર્જા $K' = 4K$ થાય.
નવી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ એ $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(4K)}} = \frac{h}{2\sqrt{2mK}} = \frac{1}{2} \lambda$ થશે.
તેથી,તરંગલંબાઈ તેના મૂળ મૂલ્ય કરતા અડધી થઈ જશે.

(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE_k}}$ છે.
વાયુના અણુ માટે,સરેરાશ ગતિઊર્જા $E_k = \frac{3}{2}kT$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
તેથી,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{3}{2}kT)}} = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$.
આ સૂચવે છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mT}}$.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે,મોલર દળ $M_O = 32 \ g/mol$ અને તાપમાન $T_O = 21 + 273 = 294 \ K$.
તેથી,$m_O T_O = 32 \times 294 = 9408$.
નાઈટ્રોજન $(N_2)$ માટે,મોલર દળ $M_N = 28 \ g/mol$ અને તાપમાન $T_N = 63 + 273 = 336 \ K$.
તેથી,$m_N T_N = 28 \times 336 = 9408$.
બંને માટે $mT$ નો ગુણાકાર સમાન હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_O}{\lambda_N} = \sqrt{\frac{m_N T_N}{m_O T_O}} = \sqrt{\frac{9408}{9408}} = 1$.
તેથી,ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(B) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ છે.
આથી,વેગમાન $p = \frac{h}{\lambda}$ થાય.
ગતિ ઊર્જા $K$ અને વેગમાન વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
$p = \frac{h}{\lambda}$ કિંમત મૂકતા,$K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ મળે.
આપેલ કિંમતો: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 1.675 \times 10^{-27} \ kg$,અને $\lambda = 1.40 \times 10^{-10} \ m$.
$K = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times (1.675 \times 10^{-27}) \times (1.40 \times 10^{-10})^2}$.
$K = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 1.96 \times 10^{-20}}$.
$K = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{6.566 \times 10^{-47}}$.
$K \approx 6.634 \times 10^{-21} \ J$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$K \approx 6.69 \times 10^{-21} \ J$ મળે છે.

(C) $m$ દળ અને $p$ વેગમાન ધરાવતા કણની ગતિ ઊર્જા $E = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,વેગમાન $p = \sqrt{2mE}$ થાય.
દ બ્રોગ્લી તરંગ લંબાઈ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{h}{p}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
$p$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ મળે છે.
આને $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2}} m^{-1/2} E^{-1/2}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
તેથી,$\lambda$ એ $m^{-1/2} E^{-1/2}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ દળ છે અને $E$ ગતિ ઊર્જા છે.
ઈલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને માટે ગતિ ઊર્જા $E$ સમાન હોવાથી:
$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2m_eE}}$ અને $\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_pE}}$
તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{\sqrt{2m_pE}}{\sqrt{2m_eE}} = \sqrt{\frac{m_p}{m_e}}$
આપેલ છે કે પ્રોટોનનું દળ $m_p \approx 1836 \times m_e$,આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \sqrt{\frac{1836 \times m_e}{m_e}} = \sqrt{1836}$
આમ,ગુણોત્તર $\lambda_e : \lambda_p = \sqrt{1836} : 1$ થાય.

(C) દ-બ્રોગલી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv_{rms}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાપમાન $T$ પર વાયુ માટે,$rms$ વેગ $\frac{1}{2}mv_{rms}^2 = \frac{3}{2}kT$ છે,જેનો અર્થ છે કે $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ મળે છે.
બંને વાયુઓ સમાન તાપમાન $T$ પર હોવાથી,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_H}{\lambda_{He}} = \sqrt{\frac{m_{He}}{m_H}}$ થાય છે.
હિલીયમ પરમાણુનું દળ $4 \text{ amu}$ અને હાઈડ્રોજન પરમાણુનું દળ $1.5 \text{ amu}$ (સરેરાશ) લેતા,ગુણોત્તર $\sqrt{4/1.5} = \sqrt{8/3}$ મળે છે.

(C) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mk_BT}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ હીલિયમ પરમાણુનું દળ છે.
$m = \frac{4 \times 10^{-3} \text{ kg}}{6.023 \times 10^{23}} \approx 0.664 \times 10^{-26} \text{ kg}$ અને $T = 273 + 27 = 300 \text{ K}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{3(0.664 \times 10^{-26})(1.38 \times 10^{-23})(300)}} \approx 7.3 \times 10^{-11} \text{ m}$.
જો $r$ એ પરમાણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર હોય,તો $r \approx (V/N)^{1/3}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = N k_B T$ પરથી,$V/N = k_B T / P$.
તેથી,$r = (k_B T / P)^{1/3} = \left( \frac{1.38 \times 10^{-23} \times 300}{1.01 \times 10^5} \right)^{1/3} \approx 3.4 \times 10^{-9} \text{ m}$.
બંનેની સરખામણી કરતા: $\frac{r}{\lambda} = \frac{3.4 \times 10^{-9}}{7.3 \times 10^{-11}} \approx 46.5 \approx 50$.
તેથી,$r \approx 50 \lambda$.

(C) દ બ્રોગલી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
વિકલન કરતા,આપણને મળે છે $d\lambda = -\frac{h}{p^2} dp$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{d\lambda}{\lambda} = -\frac{dp}{p}$.
નાના ફેરફારો માટે,આપણે લખી શકીએ $\left| \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \right| = \left| \frac{\Delta p}{p} \right|$.
અહીં $\left| \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \right| = 0.25 \% = \frac{0.25}{100} = \frac{1}{400}$ અને $\Delta p = p_0$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{p_0}{p} = \frac{1}{400}$ મળે છે.
તેથી,પ્રોટોનનું મૂળ વેગમાન $p = 400 \, p_0$ થાય.

(B) $e$ વીજભાર ધરાવતા કણને $V$ જેટલા વીજસ્થિતિમાનના તફાવતથી પ્રવેગિત કરવામાં આવે ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $K = eV = \frac{p^2}{2m}$ થાય છે.
આથી,વેગમાન $p = \sqrt{2meV}$ મળે છે.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h$,$e$ અને $V$ બંને કણો માટે અચળ હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ થાય.
$m$ દળ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,$\lambda_e = \lambda = \frac{k}{\sqrt{m}}$ (જ્યાં $k = \frac{h}{\sqrt{2eV}}$).
$M$ દળ ધરાવતા પ્રોટોન માટે,$\lambda_p = \frac{k}{\sqrt{M}}$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{M}} = \sqrt{\frac{m}{M}}$.
તેથી,$\lambda_p = \lambda \sqrt{\frac{m}{M}}$.

(C) ઈલેક્ટ્રોન માઈક્રોસ્કોપ ઈલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે. ડી-બ્રોગ્લીના અધિતર્ક મુજબ,ગતિમાન ઈલેક્ટ્રોન સાથે તરંગ સંકળાયેલું હોય છે,અને આ ઈલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઈ દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઈ કરતા ઘણી નાની હોય છે. આના કારણે ઓપ્ટિકલ માઈક્રોસ્કોપની સરખામણીમાં ઘણી વધારે રિઝોલ્યુશન ક્ષમતા મળે છે.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ દળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન બંને સમાન વેગ $v$ થી ગતિ કરતા હોવાથી,તેમની તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_P}{\lambda_N} = \frac{h / (m_P v)}{h / (m_N v)} = \frac{m_N}{m_P}$ થશે.
ન્યુટ્રોનનું દળ $(m_N \approx 1.6749 \times 10^{-27} \text{ kg})$ એ પ્રોટોનના દળ $(m_P \approx 1.6726 \times 10^{-27} \text{ kg})$ કરતા સહેજ વધારે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{m_N}{m_P} \approx 1.001$ થાય,જે આશરે $1$ છે.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
અહીં બંને કણો માટે ઊર્જા $E$ સમાન હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ મળે.
તેથી,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{m_\alpha}{m_p}}$ થશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha$-કણનું દળ પ્રોટોનના દળ કરતા આશરે $4$ ગણું હોય છે $(m_\alpha = 4m_p)$,તેથી:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{4m_p}{m_p}} = \sqrt{4} = \frac{2}{1}$.
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.

(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
આના પરથી,ગતિઊર્જાને $E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
અહીં $h$ અને $\lambda$ બંને કણો માટે અચળ હોવાથી,ગતિઊર્જા $E$ એ દળ $m$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $E \propto \frac{1}{m}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઈલેક્ટ્રોનનું દળ $(m_e)$ એ પ્રોટોનના દળ $(m_p)$ કરતા ઘણું ઓછું છે,એટલે કે $m_e < m_p$.
તેથી,$E$ એ $m$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,$E_e > E_p$ થાય.
આમ,ઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા એ પ્રોટોનની ગતિઊર્જા કરતાં વધારે છે.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ છે.
અહીં વેગ $v = \frac{c}{20}$ આપેલ છે, જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
પ્રોટોનનું દળ $m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1.67 \times 10^{-27} \times (3 \times 10^8 / 20)}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 20}{1.67 \times 10^{-27} \times 3 \times 10^8}$
$\lambda = \frac{132.6 \times 10^{-34}}{5.01 \times 10^{-19}}$
$\lambda \approx 26.46 \times 10^{-15} \text{ m} = 2.646 \times 10^{-14} \text{ m}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે ફોટોનની તરંગલંબાઈ $\lambda_p$ અને કણની તરંગલંબાઈ $\lambda_m$ છે. આપેલ છે કે $\lambda_p = \lambda_m = \lambda$.
ફોટોનની ઊર્જા $E_p = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
કણની ગતિ ઊર્જા $K_m = \frac{p^2}{2m}$ છે. કારણ કે $p = \frac{h}{\lambda}$,તેથી $K_m = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ થાય.
બંને ઊર્જાઓની સરખામણી કરતા,ગુણોત્તર $\frac{E_p}{K_m} = \frac{hc/\lambda}{h^2/(2m\lambda^2)} = \frac{2mc\lambda}{h}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $p = \frac{h}{\lambda} = mv$,તેથી $\lambda = \frac{h}{mv}$. આ કિંમત મૂકતા,$\frac{E_p}{K_m} = \frac{2mc(h/mv)}{h} = \frac{2c}{v}$ મળે.
પ્રકાશની ઝડપ $c$ એ કોઈપણ કણની ઝડપ $v$ કરતા ઘણી વધારે હોવાથી $(c > v)$,ગુણોત્તર $\frac{2c}{v} > 1$ થાય.
તેથી,$E_p > K_m$. એટલે કે ફોટોનની ઊર્જા કણની ગતિ ઊર્જા કરતા વધારે હોય છે.

(A) $V$ સ્થિતિમાનના તફાવતથી પ્રવેગિત $m$ દળ અને $q$ વીજભાર ધરાવતા કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બંને કણો સમાન સ્થિતિમાન $V$ થી પ્રવેગિત થાય છે અને બંનેનો વીજભાર $q = e$ સમાન છે,તેથી તરંગલંબાઈ તેના દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
ધારો કે પ્રોટોનનું દળ $m_p$ છે અને ડ્યુટ્રોનનું દળ $m_d$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $m_d \approx 2m_p$.
તેથી,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_d}{\lambda_p} = \sqrt{\frac{m_p}{m_d}} = \sqrt{\frac{m_p}{2m_p}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.

(C) દ બ્રોગ્લી સમીકરણ,જે $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તે તરંગલંબાઈ $\lambda$ (તરંગ ગુણધર્મ) ને વેગમાન $p$ (કણ ગુણધર્મ) સાથે જોડે છે. તેથી,તે દ્રવ્યનો દ્વૈત સ્વભાવ દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે ઈલેક્ટ્રોન જેવા કણો કણ અને તરંગ બંને પ્રકારના લાક્ષણિકતાઓ ધરાવે છે.

(B) $V$ વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણની દ-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $h$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mq}}$ થાય.
પ્રોટોન માટે,$m_p = m$ અને $q_p = e$ છે. તેથી,$\lambda_0 \propto \frac{1}{\sqrt{m_p e}}$.
આલ્ફા કણ માટે,$m_{\alpha} = 4m_p$ અને $q_{\alpha} = 2e$ છે.
ધારો કે આલ્ફા કણની તરંગલંબાઈ $\lambda_{\alpha}$ છે. તેથી $\lambda_{\alpha} \propto \frac{1}{\sqrt{m_{\alpha} q_{\alpha}}} = \frac{1}{\sqrt{(4m_p)(2e)}} = \frac{1}{\sqrt{8m_p e}}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_0} = \sqrt{\frac{m_p e}{8m_p e}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
તેથી,$\lambda_{\alpha} = \frac{\lambda_0}{2\sqrt{2}}$.

(D) તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન લગભગ શૂન્ય છે કારણ કે ન્યુક્લિયસ ધીમેથી ગતિ કરે છે અને ન્યુટ્રોનનું શોષણ થાય છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બે ઉત્પન્ન થયેલા ન્યુક્લિયસનું કુલ વેગમાન સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ.
ધારો કે $p_1$ અને $p_2$ એ બે ન્યુક્લિયસના વેગમાનના મૂલ્યો છે.
કુલ વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,$p_1 = p_2 = p$ થાય.
દ બ્રોગ્લી તરંગ લંબાઈ $\lambda = h/p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ન્યુક્લિયસનું વેગમાન સમાન હોવાથી,તેમની દ બ્રોગ્લી તરંગ લંબાઈ પણ સમાન હશે.
તેથી,બીજા ન્યુક્લિયસની દ બ્રોગ્લી તરંગ લંબાઈ પણ $\lambda$ હશે.

(B) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
આપેલ છે: $V_1 = 150 \ V$ પર $\lambda_1 = 10^{-10} \ m = 1 \ \mathring A$.
આપણે $V_2 = 600 \ V$ પર $\lambda_2$ શોધવાની છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{600}{150}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$\lambda_2 = \frac{1}{2} = 0.5 \ \mathring A$.

(C) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h = 6.63 \times 10^{-34} \ \text{J} \cdot \text{s}$.
આપેલ છે $\lambda = 1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ \text{m}$.
વેગમાન $p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{10^{-10}} = 6.63 \times 10^{-24} \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$.
ન્યુટ્રોનની ગતિ ઊર્જા $E = \frac{p^2}{2m_n}$ છે,જ્યાં $m_n \approx 1.675 \times 10^{-27} \ \text{kg}$.
$E = \frac{(6.63 \times 10^{-24})^2}{2 \times 1.675 \times 10^{-27}} \ \text{J} \approx \frac{43.96 \times 10^{-48}}{3.35 \times 10^{-27}} \ \text{J} \approx 1.312 \times 10^{-20} \ \text{J}$.
આને ઈલેક્ટ્રોન વોલ્ટ $(\text{eV})$ માં ફેરવવા માટે,$1.6 \times 10^{-19} \ \text{J/eV}$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{1.312 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \ \text{eV} \approx 0.082 \ \text{eV} = 8.2 \times 10^{-2} \ \text{eV}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $8.13 \times 10^{-2} \ \text{eV}$ છે.

(B) દ બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
શરૂઆતમાં, ધારો કે વેગ $v$ છે, તેથી $\lambda_1 = \frac{h}{mv}$.
જ્યારે વેગ ઘટાડીને અડધો કરવામાં આવે છે, ત્યારે નવો વેગ $v' = \frac{v}{2}$ થાય છે.
નવી તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{h}{m(v/2)} = 2 \left( \frac{h}{mv} \right) = 2\lambda_1$ મળે છે.
તરંગલંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \lambda = \lambda_2 - \lambda_1 = 2\lambda_1 - \lambda_1 = \lambda_1$ છે.
પ્રતિશત ફેરફાર $\frac{\Delta \lambda}{\lambda_1} \times 100 = \frac{\lambda_1}{\lambda_1} \times 100 = 100\%$.
તરંગલંબાઈમાં વધારો થતો હોવાથી, આ $100\%$ વધારો છે.

(D) દ બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p$ એ ઈલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે.
પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 10^{-10} \ m$,તેથી $p_1 = \frac{h}{\lambda_1}$.
અંતિમ તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = 0.5 \times 10^{-10} \ m$,તેથી $p_2 = \frac{h}{\lambda_2} = \frac{h}{0.5 \times 10^{-10}} = 2 \times \frac{h}{10^{-10}} = 2p_1$.
ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = \frac{p_1^2}{2m}$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{p_2^2}{2m} = \frac{(2p_1)^2}{2m} = 4 \times \frac{p_1^2}{2m} = 4K_1$.
ઉમેરવામાં આવેલી ઊર્જા $\Delta K = K_2 - K_1 = 4K_1 - K_1 = 3K_1$.
આમ,ઉમેરવામાં આવેલી ઊર્જા પ્રારંભિક ઊર્જા કરતાં ત્રણ ગણી છે.

(D) દ-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,$p$ વેગમાન ધરાવતા કણ સાથે સંકળાયેલ તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{h}{p}$.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે $\lambda$ એ $p$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે (એટલે કે,$\lambda \propto \frac{1}{p}$).
ગાણિતિક રીતે,આ $\lambda$ વિરુદ્ધ $p$ ના આલેખમાં એક લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે.
જેમ $p$ વધે છે,તેમ $\lambda$ ઘટે છે,અને જેમ $p$ શૂન્યની નજીક જાય છે,તેમ $\lambda$ અનંતની નજીક જાય છે.
તેથી,આ સંબંધને યોગ્ય રીતે દર્શાવતો આલેખ લંબચોરસ અતિવલય છે,જે આલેખ $D$ ને અનુરૂપ છે.

(B) દ-બ્રોગ્લી તરંગ લંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
ગતિ ઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mK}$ મળે.
આ કિંમત તરંગ લંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
અહીં $h$ અને $K$ બધા કણો માટે સમાન હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ થાય.
કણોના દળનો ક્રમ $m_e < m_p < m_n < m_\alpha$ છે.
તેથી,તરંગ લંબાઈનો ક્રમ $\lambda_e > \lambda_p > \lambda_n > \lambda_\alpha$ થાય.
આમ,વધતા ક્રમમાં ગોઠવતા: $\lambda_\alpha < \lambda_n < \lambda_p < \lambda_e$ મળે.

(A) ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ઓપ્ટિકલ સાધનની વિભેદન શક્તિ તરંગલંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\text{Resolving Power} \propto \frac{1}{\lambda}$.
$\lambda$ માટેના સંબંધને મૂકતા,આપણને $\text{Resolving Power} \propto \sqrt{V}$ મળે છે.
તેથી,જો આપણે પ્રવેગક વોલ્ટેજ $(V)$ વધારીએ,તો તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ઘટે છે,જેના પરિણામે વિભેદન શક્તિ વધે છે.

(B) ઈલેક્ટ્રોન માટે $V$ જેટલા સ્થિતિમાનના તફાવતથી પ્રવેગિત થતી દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring{A}$ છે.
અહીં $V = 50,000 \ V$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{50,000}} \ \mathring{A}$
$\lambda = \frac{12.27}{223.6} \ \mathring{A}$
$\lambda \approx 0.05487 \ \mathring{A} \approx 0.055 \ \mathring{A}$.

(C) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને ગતિ ઊર્જા $K$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $K_1 = K$ છે અને અંતિમ ગતિ ઊર્જા $K_2 = 2K$ છે.
પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે.
અંતિમ તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{h}{\sqrt{2m(2K)}} = \frac{h}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2mK}}$ થશે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $\lambda_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \lambda_1$ મળે છે.
તેથી,તરંગલંબાઈ $1/\sqrt{2}$ ના ગુણાંકથી બદલાય છે.

(D) દ-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,દરેક ગતિ કરતો કણ,પછી તે સૂક્ષ્મ હોય (જેમ કે ઈલેક્ટ્રોન,પ્રોટોન અથવા આયનો) કે સ્થૂળ હોય (જેમ કે ક્રિકેટ બોલ),તેની સાથે એક તરંગ સંકળાયેલું હોય છે જેને દ્રવ્ય તરંગ અથવા દ-બ્રોગ્લી તરંગ કહેવામાં આવે છે.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ કણનું દળ છે અને $v$ એ તેનો વેગ છે.
ઈલેક્ટ્રોન,આયનો $(He^+, Li^{2+})$ અને ક્રિકેટ બોલ જેવી સ્થૂળ વસ્તુઓ બધા જ દળ ધરાવે છે અને ગતિ કરી શકે છે,તેથી તે બધા તરંગ જેવી લાક્ષણિકતાઓ દર્શાવે છે. તેથી,આપેલા તમામ વિકલ્પો સાચા છે.

(B) દ બ્રોગ્લી તરંગ લંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p$ એ કણનું વેગમાન છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિ ઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $p = \sqrt{2mK}$.
આ કિંમત તરંગ લંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ મળે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $K_1$ છે અને અંતિમ ગતિ ઊર્જા $K_2 = 4K_1$ છે.
પ્રારંભિક તરંગ લંબાઈ $\lambda_1 = \frac{h}{\sqrt{2mK_1}}$ અને અંતિમ તરંગ લંબાઈ $\lambda_2 = \frac{h}{\sqrt{2mK_2}}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}} = \sqrt{\frac{K_1}{4K_1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,નવી દ બ્રોગ્લી તરંગ લંબાઈ $\lambda_2$ એ પ્રારંભિક તરંગ લંબાઈ $\lambda_1$ કરતા અડધી થશે.

(C) દ બ્રોગ્લી તરંગ લંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ દળ છે અને $K$ ગતિ ઊર્જા છે.
આપેલ છે: $K_p : K_\alpha = 16 : 1$. $\alpha$-કણનું દળ $(m_\alpha)$ એ પ્રોટોનના દળ $(m_p)$ કરતા આશરે $4$ ગણું છે,તેથી $m_\alpha = 4m_p$.
તરંગ લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \frac{\sqrt{2m_\alpha K_\alpha}}{\sqrt{2m_p K_p}} = \sqrt{\frac{m_\alpha}{m_p} \cdot \frac{K_\alpha}{K_p}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{4m_p}{m_p} \cdot \frac{1}{16}} = \sqrt{4 \cdot \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$.
જો ગતિઊર્જા $E$ બમણી કરવામાં આવે (એટલે કે $E' = 2E$),તો નવી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ એ $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(2E)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{h}{\sqrt{2mE}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \lambda$ થશે.
તેથી,દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ મૂળ તરંગલંબાઈના $1/\sqrt{2}$ ગણી થાય.

(C) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ પ્રવેગિત $m$ દળ અને $q$ વીજભાર ધરાવતા કણ માટે દ બ્રોગ્લી તરંગ લંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડ્યુટ્રોન માટે, દળ $m_d \approx 2m_p$ (જ્યાં $m_p$ પ્રોટોનનું દળ છે) અને વીજભાર $q_d = e$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $m_d = 2 \times 1.67 \times 10^{-27} \ \text{kg} = 3.34 \times 10^{-27} \ \text{kg}$ અને $q_d = 1.6 \times 10^{-19} \ \text{C}$.
સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_d e V}}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 3.34 \times 10^{-27} \times 1.6 \times 10^{-19} \times V}}$.
અચળાંકની ગણતરી કરતા: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{10.688 \times 10^{-46} \times V}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{3.27 \times 10^{-23} \sqrt{V}} \approx \frac{2.02 \times 10^{-11}}{\sqrt{V}} \ \text{m}$.
એંગસ્ટ્રોમમાં રૂપાંતર કરતા $(1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ \text{m})$: $\lambda = \frac{0.202}{\sqrt{V}} \ \mathring{A}$.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
બંને કણો માટે દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ સમાન હોવાથી,$\sqrt{2m_d q_d V_d} = \sqrt{2m_{He} q_{He} V_{He}}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$m_d q_d V_d = m_{He} q_{He} V_{He}$ મળે.
ડ્યુટેરોન માટે,દળ $m_d = 2m_p$ અને વિદ્યુતભાર $q_d = e$ છે. આપેલ છે કે $V_d = 500 \ V$.
સિંગલી આયોનાઇઝ્ડ હિલીયમ આયન $(He^+)$ માટે,દળ $m_{He} = 4m_p$ અને વિદ્યુતભાર $q_{He} = e$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $(2m_p)(e)(500) = (4m_p)(e)(V_{He})$.
$1000 m_p e = 4 m_p e V_{He}$.
$V_{He} = \frac{1000}{4} = 250 \ V$.

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 6.6 \times 10^{-3} \ m$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.625 \ T$,પ્રોટોનનો વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે,ચુંબકીય બળ એ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $\frac{mv^2}{r} = qvB$.
તેથી,વેગમાન $p = mv = qBr$.
કિંમતો મૂકતા: $p = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (0.625 \ T) \times (6.6 \times 10^{-3} \ m) = 6.6 \times 10^{-22} \ kg \cdot m/s$.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા મળે છે.
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{6.6 \times 10^{-22}} = 10^{-12} \ m$.
કારણ કે $1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$,તેથી $10^{-12} \ m = 0.01 \ \mathring{A}$.

(A) $V$ વોલ્ટના સ્થિતિમાન તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઈલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring{A}$ છે.
અહીં ગતિઊર્જા $K = 40 \ keV = 40,000 \ eV$ આપેલ છે,તેથી પ્રવેગક સ્થિતિમાન $V = 40,000 \ V$ થશે.
સૂત્રમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{40,000}} \ \mathring{A}$
$\lambda = \frac{12.27}{200} \ \mathring{A}$
$\lambda = 0.06135 \ \mathring{A} \approx 0.061 \ \mathring{A}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mk_BT}}$.
અહીં,$m$ એ હીલિયમ પરમાણુનું દળ છે.
$m = \frac{4 \times 10^{-3} \ kg}{6.023 \times 10^{23}} \approx 0.664 \times 10^{-26} \ kg$.
તાપમાન $T = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{3 \times (0.664 \times 10^{-26}) \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 300}} \ m$.
છેદની ગણતરી કરતા:
$\sqrt{3 \times 0.664 \times 1.38 \times 300 \times 10^{-49}} = \sqrt{824.112 \times 10^{-49}} \approx 9.08 \times 10^{-24}$.
$\lambda \approx \frac{6.63 \times 10^{-34}}{9.08 \times 10^{-24}} \approx 0.73 \times 10^{-10} \ m = 7.3 \times 10^{-11} \ m$.

(D) દ બ્રોગ્લી તરંગ લંબાઈ $\lambda$ અને રેખીય વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે પ્રોટોન $(p_p)$ અને ઈલેક્ટ્રોન $(p_e)$ નું રેખીય વેગમાન સમાન છે,એટલે કે $p_p = p_e$.
સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ મુજબ,જો બંને કણો માટે $p$ સમાન હોય,તો તેમની દ બ્રોગ્લી તરંગ લંબાઈ પણ સમાન જ હોય.
તેથી,$\lambda_p = \lambda_e$.
ગતિ ઊર્જા $K$ માટેનું સૂત્ર $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
અહીં $p$ અચળ હોવાથી,$K \propto \frac{1}{m}$ થાય.
પ્રોટોનનું દળ $(m_p)$ એ ઈલેક્ટ્રોનના દળ $(m_e)$ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી,પ્રોટોનની ગતિ ઊર્જા ઈલેક્ટ્રોન કરતા ઓછી હશે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) $V$ સ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઈલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V = 10 \ kV = 10^4 \ V$ આપેલ છે,તેથી $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{10^4}} = \frac{12.27}{100} = 0.1227 \ \mathring A$.
બ્રેગના વિવર્તનના નિયમ મુજબ,$2d \sin \theta = n\lambda$.
વિવર્તનનો મહત્તમ ક્રમ $n_{max}$ ત્યારે મળે જ્યારે $\sin \theta$ મહત્તમ હોય,એટલે કે $\sin \theta = 1$.
તેથી,$n_{max} = \frac{2d}{\lambda}$.
અહીં $d = 1.227 \ \mathring A$ આપેલ છે,તેથી $n_{max} = \frac{2 \times 1.227}{0.1227} = 20$.
જો વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,જો સૂત્ર $d \sin \theta = n\lambda$ લેવામાં આવે તો $n = 10$ મળે છે,જે વિકલ્પ $B$ સાથે સુસંગત છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K = qV$ એ કણ દ્વારા મેળવેલી ગતિઊર્જા છે.
$\alpha$-કણ માટે,વિદ્યુતભાર $q = 2e$ અને દળ $m = 4m_p \approx 4 \times 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2(4m_p)(2eV)}} = \frac{h}{\sqrt{16m_p eV}} = \frac{h}{4\sqrt{m_p eV}}$.
અચળાંકો $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}$,$m_p = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}$,અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \sqrt{1.67 \times 10^{-27} \times 1.6 \times 10^{-19} \times V}} \text{ m}$.
$\mathring{A}$ માં રૂપાંતર કરતા $(1 \text{ m} = 10^{10} \mathring{A})$:
$\lambda \approx \frac{0.101}{\sqrt{V}} \mathring{A}$.

(C) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
$T$ તાપમાને ન્યુટ્રોન માટે ગતિઊર્જા $E = \frac{p^2}{2m_n} = kT$ લેતા,
$p = \sqrt{2m_n kT}$ મળે.
અહીં $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J\cdot s$,$m_n = 1.675 \times 10^{-27} \ kg$,અને $k = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 1.38 \times 10^{-23} \times T}}$.
ગણતરી કરતા: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{4.623 \times 10^{-50} \times T}} = \frac{30.8}{\sqrt{T}} \ \mathring{A}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $\frac{30.7}{\sqrt{T}} \ \mathring{A}$ છે.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
વેગ $v$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$v = \frac{h}{m_e \lambda}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m_e = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$,અને $\lambda = 10^{-10} \ m$.
$v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-10}} = \frac{6.63}{9.11} \times 10^7 \approx 0.727 \times 10^7 \ m/s = 7.27 \times 10^6 \ m/s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $7.25 \times 10^6 \ m/s$ છે.

(B) ફોટોન માટે,તેની ઊર્જા $E$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda_2}$ છે.
તેથી,$\lambda_2 = \frac{hc}{E}$ --- $(i)$
$E$ ગતિઊર્જા ધરાવતા પ્રોટોન માટે,દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ એ $\lambda_1 = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે --- $(ii)$
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h / \sqrt{2mE}}{hc / E} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \times \frac{E}{hc} = \frac{E^{1/2}}{c\sqrt{2m}}$
અહીં $c$,$m$ અને $h$ અચળાંકો હોવાથી,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \propto E^{1/2}$ થાય.

(D) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતથી પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન માટે દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring A$ છે.
આપેલ કિંમત $V = 80 \ V$ મૂકતા:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{80}} \ \mathring A$.
અહીં $\sqrt{80} \approx 8.944$ હોવાથી:
$\lambda = \frac{12.27}{8.944} \approx 1.371 \ \mathring A$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\lambda \approx 1.4 \ \mathring A$ મળે છે.