Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Gujarati

(C) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ ${E_k = h\nu - \phi}$ છે.
આ સમીકરણમાં,${h\nu}$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને ${\phi}$ એ ધાતુની સપાટીનું વર્ક ફંક્શન (કાર્ય વિધેય) છે.
જ્યારે ફોટોન ધાતુની સપાટી પર અથડાય છે,ત્યારે તે પોતાની ઊર્જા ઈલેક્ટ્રોનને આપે છે.
થોડી ઊર્જા વર્ક ફંક્શન $({\phi})$ ને દૂર કરવા માટે વપરાય છે,અને બાકીની ઊર્જા ઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઈલેક્ટ્રોન ધાતુની અંદર અલગ-અલગ ઊંડાઈએથી ઉત્સર્જિત થઈ શકે છે,તેથી બહાર નીકળતા પહેલા અથડામણને કારણે તેઓ અલગ-અલગ માત્રામાં ઊર્જા ગુમાવે છે.
તેથી,જે ઈલેક્ટ્રોન સપાટી પરથી સૌથી ઓછી ઊર્જા ગુમાવીને બહાર નીકળે છે,તેમની પાસે મહત્તમ ગતિઊર્જા હોય છે.
આમ,${E_k}$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા દર્શાવે છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = h\nu - \phi$,જ્યાં $K_{max}$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા માત્ર આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $(\nu)$ અને ધાતુના કાર્ય વિધેય $(\phi)$ પર આધાર રાખે છે.
તે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાથી સંપૂર્ણપણે સ્વતંત્ર છે,જે માત્ર એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યાને અસર કરે છે.

(D) ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થવા માટે, આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ એ પદાર્થની થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $(\lambda_0)$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
આપેલ છે: $\lambda_0 = 5200 \, \mathring{A}$.
જો $\lambda \le 5200 \, \mathring{A}$ હોય તો ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થાય છે.
અલ્ટ્રાવાયોલેટ $(UV)$ વિકિરણની તરંગલંબાઈ સામાન્ય રીતે $100 \, \mathring{A}$ થી $4000 \, \mathring{A}$ ની વચ્ચે હોય છે, જે $5200 \, \mathring{A}$ કરતા ઓછી છે.
ઇન્ફ્રારેડ $(IR)$ વિકિરણની તરંગલંબાઈ $7000 \, \mathring{A}$ કરતા વધારે હોય છે, જે $5200 \, \mathring{A}$ કરતા વધારે છે.
તેથી, $1 \, \text{W}$ અલ્ટ્રાવાયોલેટ લેમ્પ અને $50 \, \text{W}$ અલ્ટ્રાવાયોલેટ લેમ્પ બંને ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન કરશે, કારણ કે તેમની તરંગલંબાઈ $UV$ રેન્જમાં છે.

(C) આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈનને $1921$ માં ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરના નિયમની શોધ માટે નોબેલ પુરસ્કાર આપવામાં આવ્યો હતો. જોકે તેઓ સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંત પરના તેમના કાર્ય માટે પ્રખ્યાત છે,પરંતુ નોબેલ સમિતિએ ખાસ કરીને સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં તેમના યોગદાન અને ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરના નિયમની તેમની શોધનો ઉલ્લેખ કર્યો હતો.

(C) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$hc \approx 1240 eV \cdot nm$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $E = \frac{1240 eV \cdot nm}{332 nm} \approx 3.735 eV$ મળે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$E = W_0 + K_{max}$,જ્યાં $W_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $K_{max}$ એ મહત્તમ ગતિ ઉર્જા છે.
$K_{max} = E - W_0 = 3.735 eV - 1.07 eV = 2.665 eV$.
ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનને અટકાવવા માટે જરૂરી રિટાર્ડિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ $K_{max} = eV_0$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$V_0 = 2.665 V \approx 2.66 V$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $(K_{\max})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K_{\max} = h\nu - W_0$
જ્યાં:
$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,
$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે,
$W_0$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય (work function) છે.
આપેલ ધાતુ માટે $h$ અને $W_0$ અચળ હોવાથી,$K_{\max}$ સીધી રીતે આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $(\nu)$ પર આધાર રાખે છે.

(C) કાર્ય વિધેય $W_0$ અને થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$
અહીં $hc \approx 12375 \ eV \cdot \mathring A$ લેતા:
$\lambda_0 = \frac{12375}{W_0} \mathring A$
આપેલ છે કે $W_0 = 4.2 \ eV$:
$\lambda_0 = \frac{12375}{4.2} \approx 2955 \mathring A$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $E = W_0 + K_{\max}$.
પ્રથમ,આપાત ફોટોનની ઉર્જાની ગણતરી કરો: $E = \frac{hc}{\lambda} \approx \frac{12400 \; eV \cdot \mathring{A}}{3000 \; \mathring{A}} \approx 4.13 \; eV$.
આપેલ વર્ક ફંક્શન $W_0 = 1 \; eV$ છે,તેથી મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{\max} = E - W_0 = 4.13 \; eV - 1 \; eV = 3.13 \; eV$ થાય.
$K_{\max}$ ને જ્યુલમાં ફેરવો: $K_{\max} = 3.13 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J \approx 5 \times 10^{-19} \; J$.
$K_{\max} = \frac{1}{2} m v^2$ નો ઉપયોગ કરીને,જ્યાં $m = 9.1 \times 10^{-31} \; kg$ છે:
$v = \sqrt{\frac{2 K_{\max}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 5 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}} \approx \sqrt{1.1 \times 10^{12}} \approx 1.05 \times 10^6 \; m/s$.
આમ,વેગ આશરે $1 \times 10^6 \; m/s$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
રિટાર્ડિંગ પોટેન્શિયલ (સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ) $V_0$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $eV_0 = K_{max}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $eV_0 = h\nu - \phi_0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $V_0 = \frac{h}{e}\nu - \frac{\phi_0}{e}$ થાય છે.
અહીં $h$,$e$,અને $\phi_0$ અચળાંકો હોવાથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ આવૃત્તિ $\nu$ નું સુરેખ વિધેય છે. તેથી,જેમ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ વધે છે,તેમ રિટાર્ડિંગ પોટેન્શિયલ સમાન રીતે વધે છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - W_0$
આપેલ છે:
કાર્ય વિધેય $W_0 = 1.6 \times 10^{-19} \, J$
તરંગલંબાઇ $\lambda = 6400 \, \mathring{A} = 6400 \times 10^{-10} \, m$
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.4 \times 10^{-34} \, Js$
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \, m/s$
આપાત ફોટોનની ઊર્જાની ગણતરી:
$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.4 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{6400 \times 10^{-10}}$
$E = \frac{19.2 \times 10^{-26}}{6.4 \times 10^{-7}} = 3 \times 10^{-19} \, J$
હવે,$K_{\max}$ ની ગણતરી:
$K_{\max} = 3 \times 10^{-19} - 1.6 \times 10^{-19} = 1.4 \times 10^{-19} \, J$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $K_{\max}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K_{\max} = E - W_0$
જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $W_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે: $E = 6.2 \, eV$ અને $W_0 = 4.2 \, eV$.
$K_{\max} = 6.2 \, eV - 4.2 \, eV = 2.0 \, eV$.
આ ઊર્જાને જૂલમાં ફેરવવા માટે,આપણે તેને ઇલેક્ટ્રોનના વીજભાર $(1.6 \times 10^{-19} \, C)$ વડે ગુણીએ છીએ:
$K_{\max} = 2.0 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 3.2 \times 10^{-19} \, J$.

(C) વર્ક ફંક્શન $W_0$ અને થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$.
અહીં $h$ અને $c$ અચળાંક હોવાથી, વર્ક ફંક્શન એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $W_0 \propto \frac{1}{\lambda_0}$.
તેથી, આપણે ગુણોત્તર લખી શકીએ: $\frac{(W_0)_T}{(W_0)_{Na}} = \frac{(\lambda_0)_{Na}}{(\lambda_0)_T}$.
ટંગસ્ટન માટે થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $(\lambda_0)_T$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $(\lambda_0)_T = \frac{(\lambda_0)_{Na} \times (W_0)_{Na}}{(W_0)_T}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(\lambda_0)_T = \frac{5460 \times 2.3}{4.5}$.
પરિણામની ગણતરી કરતા: $(\lambda_0)_T \approx 2791 \text{ \AA}$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(K_{max})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K_{max} = E - \Phi$
જ્યાં:
$E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા = $3.4 \ eV$ છે
$\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન = $2 \ eV$ છે
આપેલ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$K_{max} = 3.4 \ eV - 2 \ eV$
$K_{max} = 1.4 \ eV$
તેથી,ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $1.4 \ eV$ છે.

(B) વર્ક ફંક્શન $W_0$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$.
અહીં,થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = 6600 \, \mathring{A}$ છે.
સંબંધ $W_0 (eV \text{ માં}) = \frac{12375}{\lambda_0 (\mathring{A} \text{ માં})}$ નો ઉપયોગ કરતા.
કિંમત મૂકતા: $W_0 = \frac{12375}{6600} \, eV$.
$W_0 = 1.875 \, eV \approx 1.87 \, eV$.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે.
આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈને $1905$ માં ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરને સફળતાપૂર્વક સમજાવી હતી.
તેમણે પ્રસ્તાવ મૂક્યો કે પ્રકાશ એ ઉર્જાના નાના પેકેટોનો બનેલો છે જેને ફોટોન કહેવામાં આવે છે,જ્યાં દરેક ફોટોનની ઉર્જા $E = h
u$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જોકે મેક્સ પ્લાન્કે બ્લેકબોડી રેડિયેશન માટે ઉર્જા ક્વોન્ટાઈઝેશનનો ખ્યાલ રજૂ કર્યો હતો,પરંતુ આઈન્સ્ટાઈને આ ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર સમજાવી હતી,જે દર્શાવે છે કે આ ઘટનામાં પ્રકાશ કણ તરીકે વર્તે છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - W_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ ગતિઊર્જા સાથે $K_{\max} = eV_0$ દ્વારા સંબંધિત હોવાથી,આપણને $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - W_0$ મળે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,$V_0 = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{W_0}{e}$ મળે છે.
અહીં,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે,$e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$\lambda$ એ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $W_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
જેમ તરંગલંબાઈ $\lambda$ $4000 \, \mathring{A}$ થી ઘટીને $3000 \, \mathring{A}$ થાય છે,તેમ $\frac{hc}{e\lambda}$ પદ વધે છે.
આપેલ ધાતુ માટે $W_0$ અચળ હોવાથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ વધશે.
તેથી,ઈલેક્ટ્રોનના ઉત્સર્જનને અટકાવવા માટે જરૂરી પોટેન્શિયલ $2 \, V$ કરતા વધારે હશે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $K_{\max}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K_{\max} = h\nu - W_0$
જ્યાં:
$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ (પ્લાન્કનો અચળાંક)
$\nu = 8 \times 10^{14} \ Hz$ (આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ)
$W_0 = 3.2 \times 10^{-19} \ J$ (ધાતુનું વર્ક ફંક્શન)
કિંમતો મૂકતા:
$K_{\max} = (6.63 \times 10^{-34} \times 8 \times 10^{14}) - 3.2 \times 10^{-19}$
$K_{\max} = (53.04 \times 10^{-20}) - 3.2 \times 10^{-19}$
$K_{\max} = 5.304 \times 10^{-19} - 3.2 \times 10^{-19}$
$K_{\max} = 2.104 \times 10^{-19} \ J$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $K_{max} = h\nu - \Phi_0$, જ્યાં $K_{max} = eV_s$.
અહીં, $V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે, $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\Phi_0$ એ મટીરીયલનું વર્ક ફંક્શન છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $eV_s = h\nu - \Phi_0$, જે આપે છે $V_s = \frac{h}{e}\nu - \frac{\Phi_0}{e}$.
આ દર્શાવે છે કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $\nu$ અને વર્ક ફંક્શન $\Phi_0$ પર આધાર રાખે છે, જે કેથોડ મટીરીયલનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
તેથી, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને કેથોડ મટીરીયલના પ્રકાર બંને પર આધાર રાખે છે.

(B) થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = 200 \ nm = 2000 \ \mathring{A}$ છે.
આપાત તરંગલંબાઈ $\lambda = 100 \ nm = 1000 \ \mathring{A}$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
ટૂંકી રીતનું સૂત્ર $K_{\max} \ (eV) \approx 12400 \ \left[ \frac{1}{\lambda \ (\mathring{A})} - \frac{1}{\lambda_0 \ (\mathring{A})} \right]$ વાપરતા:
$K_{\max} = 12400 \ \left[ \frac{1}{1000} - \frac{1}{2000} \right]$
$K_{\max} = 12400 \ \left[ \frac{2-1}{2000} \right] = \frac{12400}{2000} = 6.2 \ eV$.

(B) સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને ધાતુની સપાટીના વર્ક ફંક્શન પર આધાર રાખે છે,જે આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $K_{max} = h\nu - \phi = eV_s$.
પ્રકાશના સ્ત્રોત અને ફોટોસેલ વચ્ચેનું અંતર બદલવાથી પ્રકાશની તીવ્રતા બદલાય છે,જે પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા (ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ) ને અસર કરે છે,પરંતુ તે વ્યક્તિગત ફોટોનની ઉર્જા અથવા ધાતુના વર્ક ફંક્શનને બદલતું નથી.
આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અચળ રહેતી હોવાથી,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા સમાન રહે છે.
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ પ્રકાશના સ્ત્રોતના અંતરથી સ્વતંત્ર રહે છે.
આમ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $0.6 \ V$ જ રહેશે.

(A) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h = 6.6 \times 10^{-34} \,Js$,$c = 3 \times 10^8 \,m/s$,અને $\lambda = 4000 \times 10^{-10} \,m$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4000 \times 10^{-10}} \,J = 4.95 \times 10^{-19} \,J$.
તેને $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ વડે ભાગીને $eV$ માં રૂપાંતરિત કરતા:
$E = \frac{4.95 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 3.09 \,eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$E = W_0 + K_{max}$,જ્યાં $W_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $K_{max}$ એ મહત્તમ ગતિ ઉર્જા છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 2 \,V$ આપેલ હોવાથી,મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = e \times V_s = 2 \,eV$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $3.09 \,eV = W_0 + 2 \,eV$.
તેથી,$W_0 = 3.09 - 2 = 1.09 \,eV$,જે આશરે $1.1 \,eV$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\frac{hc}{\lambda} = W_0 + \frac{1}{2}mv_{\max}^2$.
જો કાર્ય વિધેય $W_0$ ને આપાત ફોટોન ઉર્જા $\frac{hc}{\lambda}$ ની સરખામણીમાં અવગણવામાં આવે,તો $\frac{1}{2}mv_{\max}^2 \approx \frac{hc}{\lambda}$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $v_{\max}^2 \propto \frac{1}{\lambda}$,અથવા $v_{\max} \propto \frac{1}{\sqrt{\lambda}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \lambda$ છે અને અંતિમ તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = 4\lambda$ છે.
મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{\max, 2}}{v_{\max, 1}} = \sqrt{\frac{\lambda_1}{\lambda_2}} = \sqrt{\frac{\lambda}{4\lambda}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ થાય.
આમ,મહત્તમ વેગ તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા અડધો થઈ જાય છે.

(D) કાર્ય વિધેય $W_0$ એ સંબંધ $W_0 = h\nu_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે: $W_0 = 2.51 eV = 2.51 \times 1.6 \times 10^{-19} J$ અને $h = 6.63 \times 10^{-34} J \cdot s$.
થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\nu_0 = \frac{W_0}{h}$.
કિંમતો મૂકતા: $\nu_0 = \frac{2.51 \times 1.6 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}}$.
$\nu_0 \approx 0.60588 \times 10^{15} Hz = 6.06 \times 10^{14} Hz$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $6.08 \times 10^{14} \text{ cycle/sec}$ મળે છે.

(A) કટ-ઓફ વોલ્ટેજ (જેને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ પણ કહેવાય છે) ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા પર આધાર રાખે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = h\nu - \Phi$,જ્યાં $h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ $eV_s = K_{max}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રકાશના સ્ત્રોતનું અંતર બદલવાથી ફોટોસેલ પર આપાત થતા પ્રકાશની તીવ્રતા બદલાય છે,જે ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા (ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ) ને અસર કરે છે,પરંતુ તે આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિને બદલતું નથી.
આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અચળ રહેતી હોવાથી,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા બદલાતી નથી.
તેથી,સ્ત્રોતનું અંતર ગમે તે હોય,કટ-ઓફ વોલ્ટેજ $V$ જ રહેશે.

(D) વર્ક ફંક્શન $W_0$ નું સૂત્ર $W_0 = h \nu_0$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે $W_0 = 3.3 \text{ eV} = 3.3 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h \approx 6.6 \times 10^{-34} \text{ J s}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\nu_0 = \frac{W_0}{h} = \frac{3.3 \times 1.6 \times 10^{-19}}{6.6 \times 10^{-34}}$
$\nu_0 = \frac{5.28 \times 10^{-19}}{6.6 \times 10^{-34}} = 0.8 \times 10^{15} \text{ Hz} = 8 \times 10^{14} \text{ Hz}$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ પ્રકાશની આવૃત્તિ છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રોનના ઉત્સર્જન માટે,આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના કાર્ય વિધેય $\phi$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા કાર્ય વિધેય કરતા ઓછી હોય $(h\nu < \phi)$,તો કોઈ ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થશે નહીં.
તેથી,ઉત્સર્જન ન થવા માટેની શરત $\nu < \frac{\phi}{h}$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ગતિઊર્જા $E$ નીચે મુજબ મળે છે: $E = \frac{hc}{\lambda} - W_0$,જ્યાં $W_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
$2E$ ગતિઊર્જા માટે,નવી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ માટે: $2E = \frac{hc}{\lambda'} - W_0$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\frac{hc}{\lambda} = E + W_0$,અને બીજા પરથી,$\frac{hc}{\lambda'} = 2E + W_0$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{E + W_0}{2E + W_0}$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\lambda' = \lambda \left( \frac{1 + W_0/E}{2 + W_0/E} \right)$.
કારણ કે $W_0 > 0$,પદ $\frac{1 + W_0/E}{2 + W_0/E}$ હંમેશા $\frac{1}{2}$ કરતા મોટું અને $1$ કરતા નાનું હોય છે.
તેથી,$\frac{\lambda}{2} < \lambda' < \lambda$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ ગતિઊર્જા સાથે $K_{max} = eV_0$ સંબંધ ધરાવે છે,તેથી $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જેનું સાદું રૂપ $V_0 = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{\phi}{e}$ થાય છે.
જેમ આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઈ $\lambda$ $6000 \, \mathring{A}$ થી ઘટીને $4000 \, \mathring{A}$ થાય છે,તેમ પદ $\frac{hc}{e\lambda}$ વધે છે.
વર્ક ફંક્શન $\phi$ એ ધાતુનો અચળ ગુણધર્મ હોવાથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ વધશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) વર્ક ફંક્શન $\Phi_0$ અને થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\Phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$.
$hc \approx 12375 \ eV \cdot \mathring{A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_0 = \frac{12375}{\Phi_0 \ (eV)} \ \mathring{A}$.
અહીં $\Phi_0 = 4.125 \ eV$ આપેલ છે,તેથી:
$\lambda_0 = \frac{12375}{4.125} \ \mathring{A} = 3000 \ \mathring{A}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$hc \approx 12400 \; eV \cdot \mathring A$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $E = \frac{12400}{5000} = 2.48 \; eV$ મળે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$E = W_0 + K_{\max}$,જ્યાં $W_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $K_{\max}$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા છે.
કિંમતો મૂકતા: $2.48 = 1.9 + K_{\max}$.
તેથી,$K_{\max} = 2.48 - 1.9 = 0.58 \; eV$.

(C) પદાર્થનું કાર્ય વિધેય $W_0 = 4.0 \,eV$ આપેલ છે.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ એ ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટે જરૂરી સૌથી લાંબી તરંગલંબાઈ છે.
તેનું સૂત્ર: $\lambda_0 = \frac{hc}{W_0}$ છે.
અંદાજિત મૂલ્ય $hc \approx 12400 \,eV \cdot \mathring{A}$ લેતા:
$\lambda_0 = \frac{12400 \,eV \cdot \mathring{A}}{4.0 \,eV} = 3100 \,\mathring{A}$.
$1 \,nm = 10 \,\mathring{A}$ હોવાથી,$\lambda_0 = 310 \,nm$ મળે છે.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(K_{\max})$ અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $K_{\max} = e V_s$.
અહીં આપેલ છે કે મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{\max} = 4 eV$ છે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $4 eV = e V_s$.
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 4 V$ મળે છે.

(D) થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ સૂત્ર $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આશરે ગણતરી કરતા, $\lambda_0 \approx \frac{12400 \text{ eV Å}}{\phi \text{ (eV માં)}}$, તેથી $\lambda_0 = \frac{12400}{2.1} \approx 5904.76 \text{ Å}$.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થવા માટે, આપાત તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ (એટલે કે, $\lambda \le \lambda_0$).
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા, માત્ર $4000 \text{ Å}$ એ $5904.76 \text{ Å}$ કરતા ઓછી છે.
તેથી, માત્ર $4000 \text{ Å}$ ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત કરી શકે છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{\max} = h\nu - W_0$,જ્યાં $K_{\max}$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $W_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $\nu$ છે. પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = h\nu - W_0$ છે.
જ્યારે આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $2\nu$ થાય છે. નવી ગતિઊર્જા $K_2 = h(2\nu) - W_0 = 2h\nu - W_0$ થાય છે.
$K_2$ ની સરખામણી $2K_1$ સાથે કરતા:
$2K_1 = 2(h\nu - W_0) = 2h\nu - 2W_0$.
કારણ કે $W_0 > 0$ છે,તેથી $2h\nu - W_0 > 2h\nu - 2W_0$ થાય.
તેથી,$K_2 > 2K_1$. આમ,ગતિઊર્જા બમણા કરતા વધારે થાય છે.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જકનું વર્ક ફંક્શન $W_0$ સૂત્ર $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે,અને $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
ધારો કે આપેલી તરંગલંબાઈઓ સંબંધિત ઉત્સર્જકો માટે થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે,તો આપણી પાસે $\lambda_{01} = 300 \; nm$ અને $\lambda_{02} = 600 \; nm$ છે.
વર્ક ફંક્શનનો ગુણોત્તર $\frac{W_{01}}{W_{02}} = \frac{hc / \lambda_{01}}{hc / \lambda_{02}} = \frac{\lambda_{02}}{\lambda_{01}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{W_{01}}{W_{02}} = \frac{600 \; nm}{300 \; nm} = \frac{2}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(C) વર્ક ફંક્શન $W_0$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ છે.
અહીં,$h = 6.625 \times 10^{-34}\;J\cdot s$,$c = 3 \times 10^8\;m/s$,અને $\lambda_0 = 5000\;\mathring{A} = 5000 \times 10^{-10}\;m$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$W_0 = \frac{6.625 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{5000 \times 10^{-10}}$
$W_0 = \frac{19.875 \times 10^{-26}}{5 \times 10^{-7}}$
$W_0 \approx 3.975 \times 10^{-19}\;J \approx 4 \times 10^{-19}\;J$.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(N)$ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા $(L)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જો આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે હોય.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$E = \frac{hc}{\lambda} - W_0$,જ્યાં $E$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે અને $W_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $E$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે જેથી $E \propto \frac{1}{\lambda}$ (ધારી લઈએ કે $W_0$ અચળ છે).
તેથી,$N \propto L$ અને $E \propto \frac{1}{\lambda}$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - W_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,આપાત પ્રકાશની ઊર્જા $E = 2 \ eV$ અને ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $W_0 = 0.6 \ eV$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $K_{max} = 2 \ eV - 0.6 \ eV = 1.4 \ eV$ મળે છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $K_{max} = e V_0$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી,$V_0 = \frac{K_{max}}{e} = \frac{1.4 \ eV}{e} = 1.4 \ V$.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટેની શરત એ છે કે આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન કરતા વધારે હોવી જોઈએ, અથવા સમાન રીતે, આપાત તરંગલંબાઇ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ $(\lambda < \lambda_0)$.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ એ $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi} \approx \frac{12400 \ \text{eV} \cdot \mathring{A}}{\phi \text{ (in eV)}} \ \mathring{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સોડિયમ $(Na)$ માટે: $\phi_{Na} = 2 \ eV$. તેથી, $\lambda_{0,Na} = \frac{12400}{2} = 6200 \ \mathring{A}$.
આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda = 4000 \ \mathring{A}$ એ $6200 \ \mathring{A}$ કરતા ઓછી હોવાથી, સોડિયમ યોગ્ય છે.
કોપર $(Cu)$ માટે: $\phi_{Cu} = 4 \ eV$. તેથી, $\lambda_{0,Cu} = \frac{12400}{4} = 3100 \ \mathring{A}$.
આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda = 4000 \ \mathring{A}$ એ $3100 \ \mathring{A}$ કરતા વધારે હોવાથી, કોપર યોગ્ય નથી.
આમ, સોડિયમ સાચો વિકલ્પ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે $K_{\max}$ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને પદાર્થના પ્રકાર (વર્ક ફંક્શન) પર આધાર રાખે છે.
પ્રકાશની તીવ્રતા એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યાને અસર કરે છે,જે બદલામાં ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા (ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ) ને અસર કરે છે,પરંતુ તે વ્યક્તિગત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જાને અસર કરતું નથી.
તેથી,જો પ્રકાશની તીવ્રતા બમણી કરવામાં આવે,તો ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જામાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.

(B) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $hc \approx 12375 \text{ eV} \cdot \mathring{A}$ નો ઉપયોગ કરતા,$E = \frac{12375}{4558} \approx 2.71 \text{ eV}$ મળે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$E = \phi + K_{\max}$,જ્યાં $K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2.71 \text{ eV} = 2.5 \text{ eV} + K_{\max} \Rightarrow K_{\max} = 0.21 \text{ eV}$.
$K_{\max}$ ને જુલમાં ફેરવતા: $K_{\max} = 0.21 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 0.336 \times 10^{-19} \text{ J}$.
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2K_{\max}}{m}}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $m = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}$ છે:
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2 \times 0.336 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}} \approx \sqrt{0.0738 \times 10^{12}} \approx 2.71 \times 10^5 \text{ m/s}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ઝડપ આશરે $2.65 \times 10^5 \text{ m/s}$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈને પ્લાન્કના સિદ્ધાંતના આધારે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરની ઘટના સમજાવી હતી.
આ મુજબ,ધાતુની સપાટી પરથી ઉત્સર્જિત ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $E_k$ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E_k = h\nu - \phi$ -- $(i)$
જ્યાં $h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય (work function) છે.
કોઈ ચોક્કસ ધાતુ માટે,થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ એ ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ આવૃત્તિ છે. આ માટે જરૂરી ઊર્જા એ કાર્ય વિધેય છે:
$\phi = h\nu_0$ -- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$E_k = h\nu - h\nu_0$
$E_k = h(\nu - \nu_0)$

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = h\nu - \Phi_0$,જ્યાં $K_{max} = eV_0$ છે.
આમ,$eV_0 = h\nu - \Phi_0$,જે દર્શાવે છે કે $V_0 = \frac{h\nu}{e} - \frac{\Phi_0}{e}$.
અહીં,$V_0$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $(\nu)$ અને પદાર્થના વર્ક ફંક્શન $(\Phi_0)$ પર આધાર રાખે છે.
તે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા પર આધાર રાખતું નથી,કારણ કે તીવ્રતા માત્ર દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યાને અસર કરે છે,તેમની મહત્તમ ગતિઊર્જાને નહીં.
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.

(A) થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ અને કાર્ય વિધેય $W_0$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\lambda_0 = \frac{hc}{W_0}$.
ટૂંકી રીત મુજબ $\lambda_0 (\mathring{A} \text{ માં}) = \frac{12375}{W_0 (eV \text{ માં})}$,અહીં $W_0 = 3 \ eV$ મૂકતા.
$\lambda_0 = \frac{12375}{3} = 4125 \ \mathring{A}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $K_{max} = h\nu - \Phi_0 = \frac{hc}{\lambda} - \Phi_0$.
જેમ આપાત ફોટોનની તરંગલંબાઈ $\lambda$ ઘટે છે, તેમ આપાત ફોટોનની ઉર્જા $(E = \frac{hc}{\lambda})$ વધે છે.
ધાતુની સપાટીનું કાર્ય વિધેય $\Phi_0$ અચળ રહેતું હોવાથી, ઉત્સર્જિત ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max}$ વધે છે.
કારણ કે $K_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$, તેથી $K_{max}$ માં વધારો થવાથી ઉત્સર્જિત ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનનો મહત્તમ વેગ $v_{max}$ વધે છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\frac{hc}{\lambda} = W_0 + K_{max}$,જ્યાં $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$.
$\lambda_1 = 400\; nm = 400 \times 10^{-9}\; m$ માટે,વેગ $v$ છે: $\frac{hc}{400 \times 10^{-9}} = W_0 + \frac{1}{2}mv^2$ ... $(i)$
$\lambda_2 = 250\; nm = 250 \times 10^{-9}\; m$ માટે,વેગ $2v$ છે: $\frac{hc}{250 \times 10^{-9}} = W_0 + \frac{1}{2}m(2v)^2 = W_0 + 2mv^2$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{400 \times 10^{-9}} - W_0$. આ કિંમતને $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{hc}{250 \times 10^{-9}} = W_0 + 4(\frac{hc}{400 \times 10^{-9}} - W_0)$
$\frac{hc}{250 \times 10^{-9}} = W_0 + \frac{hc}{100 \times 10^{-9}} - 4W_0$
$3W_0 = hc(\frac{1}{100 \times 10^{-9}} - \frac{1}{250 \times 10^{-9}}) = hc(\frac{2.5 - 1}{250 \times 10^{-9}}) = hc(\frac{1.5}{250 \times 10^{-9}})$
$3W_0 = hc(0.006 \times 10^9) = hc(6 \times 10^6)$
$W_0 = 2hc \times 10^6\; J$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઉર્જા $(E)$ એ વર્ક ફંક્શન $(W_0)$ અને ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(K_{max})$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$E = W_0 + K_{max}$
આપેલ છે કે $K_{max} = eV_0$,જ્યાં $V_0$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$E = W_0 + eV_0$
આપેલ કિંમતો ($E = 4 \ eV$ અને $W_0 = 2 \ eV$) મૂકતા:
$4 \ eV = 2 \ eV + eV_0$
$eV_0 = 4 \ eV - 2 \ eV$
$eV_0 = 2 \ eV$
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0 = 2 \ V$ મળે છે.

(B) કાર્ય વિધેય $(\Phi_0)$ એ ધાતુની સપાટી પરથી ઇલેક્ટ્રોનને ઉત્સર્જિત કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા છે.
થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(v_0)$ એ લઘુત્તમ આવૃત્તિ છે જેના પર ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન શક્ય બને છે.
કાર્ય વિધેયનું સૂત્ર $\Phi_0 = hv_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.