અ Gujarati
Matter Waves and de Broglie Wavelength Questions in Gujarati
Class 12 Physics · Dual Nature of Radiation and matter · Matter Waves and de Broglie Wavelength
437+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 437 questions in Gujarati
251
DifficultMCQ
ઇલેક્ટ્રોન અને ફોટોન માટે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ અનુક્રમે $\lambda_{e}$ અને $\lambda_{p}$ છે. ઇલેક્ટ્રોન અને ફોટોનની સમાન ગતિઊર્જા $K$ માટે,નીચેનામાંથી કયો સંબંધ બંનેની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ વચ્ચેનો સાચો સંબંધ દર્શાવે છે?
A
$\lambda_{p} \propto \lambda_{e}^{2}$
B
$\lambda_{p} \propto \lambda_{e}$
C
$\lambda_{p} \propto \sqrt{\lambda_{e}}$
D
$\lambda_{p} \propto \lambda_{e}^{-1}$
Solution
(A) $K$ ગતિઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_{e} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે ગતિઊર્જાને $K = \frac{h^{2}}{2m\lambda_{e}^{2}}$ તરીકે લખી શકીએ.
ફોટોન માટે,ઊર્જા $E = K = \frac{hc}{\lambda_{p}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન અને ફોટોનની ગતિઊર્જાને સરખાવતા: $\frac{h^{2}}{2m\lambda_{e}^{2}} = \frac{hc}{\lambda_{p}}$.
$\lambda_{p}$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,આપણને $\lambda_{p} = \frac{2mc}{h} \lambda_{e}^{2}$ મળે છે.
અહીં $2, m, c,$ અને $h$ અચળાંકો હોવાથી,$\lambda_{p} \propto \lambda_{e}^{2}$ થાય છે.
આના પરથી,આપણે ગતિઊર્જાને $K = \frac{h^{2}}{2m\lambda_{e}^{2}}$ તરીકે લખી શકીએ.
ફોટોન માટે,ઊર્જા $E = K = \frac{hc}{\lambda_{p}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન અને ફોટોનની ગતિઊર્જાને સરખાવતા: $\frac{h^{2}}{2m\lambda_{e}^{2}} = \frac{hc}{\lambda_{p}}$.
$\lambda_{p}$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,આપણને $\lambda_{p} = \frac{2mc}{h} \lambda_{e}^{2}$ મળે છે.
અહીં $2, m, c,$ અને $h$ અચળાંકો હોવાથી,$\lambda_{p} \propto \lambda_{e}^{2}$ થાય છે.
0 likes
View Solution252
MediumMCQ
$V_{p}$ અને $V_{d}$ સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત પ્રોટોન અને ડ્યુટેરોનની તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $1 : \sqrt{2}$ છે. તો $V_{p}$ અને $V_{d}$ નો ગુણોત્તર કેટલો થશે?
A
$1 : 1$
B
$\sqrt{2} : 1$
C
$2 : 1$
D
$4 : 1$
Solution
(D) $V$ સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત વીજભારિત કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{d}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ આપેલ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{d}} = \sqrt{\frac{m_{d} q_{d} V_{d}}{m_{p} q_{p} V_{p}}}$ મળે.
પ્રોટોન માટે,$m_{p} = m$ અને $q_{p} = e$. ડ્યુટેરોન માટે,$m_{d} = 2m$ અને $q_{d} = e$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{(2m)(e)V_{d}}{(m)(e)V_{p}}} = \sqrt{\frac{2V_{d}}{V_{p}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{2} = \frac{2V_{d}}{V_{p}}$.
તેથી,$\frac{V_{p}}{V_{d}} = 4$,એટલે કે $4 : 1$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{d}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ આપેલ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{d}} = \sqrt{\frac{m_{d} q_{d} V_{d}}{m_{p} q_{p} V_{p}}}$ મળે.
પ્રોટોન માટે,$m_{p} = m$ અને $q_{p} = e$. ડ્યુટેરોન માટે,$m_{d} = 2m$ અને $q_{d} = e$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{(2m)(e)V_{d}}{(m)(e)V_{p}}} = \sqrt{\frac{2V_{d}}{V_{p}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{2} = \frac{2V_{d}}{V_{p}}$.
તેથી,$\frac{V_{p}}{V_{d}} = 4$,એટલે કે $4 : 1$.
0 likes
View Solution253
EasyMCQ
$M$ દળ ધરાવતું એક ન્યુક્લિયસ સ્થિર સ્થિતિમાં છે,જે $\frac{M'}{3}$ અને $\frac{2M'}{3}$ (જ્યાં $M' < M$) દળ ધરાવતા બે ભાગોમાં વિભાજિત થાય છે. આ બે ભાગોની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર કેટલો થશે?
A
$1:2$
B
$2:1$
C
$1:1$
D
$2:3$
Solution
(C) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,શરૂઆતમાં ન્યુક્લિયસ સ્થિર હોવાથી,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે.
તેથી,બંને ભાગોના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ:
$|\vec{P}_1| = |\vec{P}_2| = P$
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{P}$
અહીં બંને ભાગોના વેગમાનનું મૂલ્ય $P$ સમાન હોવાથી,તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ પણ સમાન હશે.
તેથી,તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\lambda_1 : \lambda_2 = 1 : 1$ થશે.
તેથી,બંને ભાગોના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ:
$|\vec{P}_1| = |\vec{P}_2| = P$
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{P}$
અહીં બંને ભાગોના વેગમાનનું મૂલ્ય $P$ સમાન હોવાથી,તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ પણ સમાન હશે.
તેથી,તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\lambda_1 : \lambda_2 = 1 : 1$ થશે.
0 likes
View Solution254
DifficultMCQ
એક ઇલેક્ટ્રોન (દળ $m$) જેનો પ્રારંભિક વેગ $\overrightarrow{v} = v_{0} \hat{i} \left(v_{0} > 0\right)$ છે,તે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = -E_{0} \hat{i} \left(E_{0} > 0\right)$ માં ગતિ કરે છે,જ્યાં $E_{0}$ અચળ છે. જો $t = 0$ સમયે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_{0} = \frac{h}{mv_{0}}$ હોય,તો $t$ સમય પછી તેની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ કેટલી થશે?
A
$\lambda_{0}$
B
$\lambda_{0} \left(1 + \frac{e E_{0} t}{mv_{0}}\right)$
C
$\lambda_{0} t$
D
$\frac{\lambda_{0}}{\left(1 + \frac{e E_{0} t}{mv_{0}}\right)}$
Solution
(D) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E} = (-e)(-E_{0} \hat{i}) = eE_{0} \hat{i}$ છે.
બળ પ્રારંભિક વેગની દિશામાં હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{eE_{0}}{m}$ થશે.
$t$ સમય પછી ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v(t) = v_{0} + at = v_{0} + \frac{eE_{0}t}{m}$ થશે.
$t$ સમય પછી ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv(t)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v(t)$ નું પદ મૂકતા,આપણને મળે છે $\lambda = \frac{h}{m(v_{0} + \frac{eE_{0}t}{m})} = \frac{h}{mv_{0} + eE_{0}t}$.
છેદમાંથી $mv_{0}$ સામાન્ય લેતા,$\lambda = \frac{h}{mv_{0}(1 + \frac{eE_{0}t}{mv_{0}})}$ મળે છે.
કારણ કે $\lambda_{0} = \frac{h}{mv_{0}}$,તેથી $\lambda = \frac{\lambda_{0}}{1 + \frac{eE_{0}t}{mv_{0}}}$ થશે.
બળ પ્રારંભિક વેગની દિશામાં હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{eE_{0}}{m}$ થશે.
$t$ સમય પછી ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v(t) = v_{0} + at = v_{0} + \frac{eE_{0}t}{m}$ થશે.
$t$ સમય પછી ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv(t)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v(t)$ નું પદ મૂકતા,આપણને મળે છે $\lambda = \frac{h}{m(v_{0} + \frac{eE_{0}t}{m})} = \frac{h}{mv_{0} + eE_{0}t}$.
છેદમાંથી $mv_{0}$ સામાન્ય લેતા,$\lambda = \frac{h}{mv_{0}(1 + \frac{eE_{0}t}{mv_{0}})}$ મળે છે.
કારણ કે $\lambda_{0} = \frac{h}{mv_{0}}$,તેથી $\lambda = \frac{\lambda_{0}}{1 + \frac{eE_{0}t}{mv_{0}}}$ થશે.
0 likes
View Solution255
EasyMCQ
ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ શોધવા માટે $\lambda = \frac{1.227}{x} \text{ nm}$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. આ સમીકરણમાં $x$ શું દર્શાવે છે?
A
$\sqrt{mK}$
B
$\sqrt{P}$
C
$\sqrt{K}$
D
$\sqrt{V}$
Solution
(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mK}$ મળે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને $V$ સ્થિતિમાન હેઠળ પ્રવેગિત કરવામાં આવે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $K = eV$ થાય,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે.
તેથી,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}$,ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}$,અને વીજભાર $e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-19} \times V}} \text{ m}$.
આની ગણતરી કરતા $\lambda \approx \frac{1.227 \times 10^{-9}}{\sqrt{V}} \text{ m} = \frac{1.227}{\sqrt{V}} \text{ nm}$ મળે છે.
આ સમીકરણને $\lambda = \frac{1.227}{x} \text{ nm}$ સાથે સરખાવતા,$x = \sqrt{V}$ મળે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mK}$ મળે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને $V$ સ્થિતિમાન હેઠળ પ્રવેગિત કરવામાં આવે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $K = eV$ થાય,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે.
તેથી,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}$,ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}$,અને વીજભાર $e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-19} \times V}} \text{ m}$.
આની ગણતરી કરતા $\lambda \approx \frac{1.227 \times 10^{-9}}{\sqrt{V}} \text{ m} = \frac{1.227}{\sqrt{V}} \text{ nm}$ મળે છે.
આ સમીકરણને $\lambda = \frac{1.227}{x} \text{ nm}$ સાથે સરખાવતા,$x = \sqrt{V}$ મળે છે.
0 likes
View Solution256
DifficultMCQ
$q$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતો એક કણ $E_{0} \hat{j}$ ના લંબ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં $v_{0} \hat{i}$ ના પ્રારંભિક વેગ સાથે પ્રવેશ કરે છે. કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_{0}$ થી બદલાઈને $\lambda_{0} / 3$ થવા માટે લાગતો સમય કોના સમપ્રમાણમાં છે?
A
$q/m$
B
$m/q$
C
$\sqrt{q/m}$
D
$\sqrt{m/q}$
Solution
(B) પ્રારંભિક ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_{0} = h / (m v_{0})$ છે.
જ્યારે તરંગલંબાઈ $\lambda_{0} / 3$ થાય,ત્યારે અંતિમ વેગમાન $p_f = 3 p_0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે અંતિમ ઝડપ $v_f = 3 v_{0}$ થાય.
કણ $y$-દિશામાં $a = (q E_{0} / m) \hat{j}$ જેટલો અચળ પ્રવેગ અનુભવે છે.
$t$ સમયે વેગ $\vec{v} = v_{0} \hat{i} + (q E_{0} t / m) \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગનું મૂલ્ય $v = \sqrt{v_{0}^{2} + (q E_{0} t / m)^{2}}$ છે.
$v = 3 v_{0}$ લેતા,આપણને $9 v_{0}^{2} = v_{0}^{2} + (q E_{0} t / m)^{2}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $8 v_{0}^{2} = (q E_{0} t / m)^{2}$ મળે છે.
$t$ માટે ઉકેલતા,$t = \frac{2 \sqrt{2} v_{0}}{E_{0}} \cdot \frac{m}{q}$ મળે છે.
તેથી,$t \propto m/q$.
જ્યારે તરંગલંબાઈ $\lambda_{0} / 3$ થાય,ત્યારે અંતિમ વેગમાન $p_f = 3 p_0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે અંતિમ ઝડપ $v_f = 3 v_{0}$ થાય.
કણ $y$-દિશામાં $a = (q E_{0} / m) \hat{j}$ જેટલો અચળ પ્રવેગ અનુભવે છે.
$t$ સમયે વેગ $\vec{v} = v_{0} \hat{i} + (q E_{0} t / m) \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગનું મૂલ્ય $v = \sqrt{v_{0}^{2} + (q E_{0} t / m)^{2}}$ છે.
$v = 3 v_{0}$ લેતા,આપણને $9 v_{0}^{2} = v_{0}^{2} + (q E_{0} t / m)^{2}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $8 v_{0}^{2} = (q E_{0} t / m)^{2}$ મળે છે.
$t$ માટે ઉકેલતા,$t = \frac{2 \sqrt{2} v_{0}}{E_{0}} \cdot \frac{m}{q}$ મળે છે.
તેથી,$t \propto m/q$.
0 likes
View Solution257
DifficultMCQ
ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપમાં $v_{0} \hat{i}$ જેટલા પ્રારંભિક વેગ ધરાવતો એક ઇલેક્ટ્રોન $E_{0} \hat{j}$ જેટલા ટ્રાન્સવર્સ વિદ્યુતક્ષેત્રના વિસ્તારમાં પ્રવેશે છે. તેની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ થી ઘટીને $\lambda / 3$ થવા માટે લાગતો સમય કોના પ્રમાણમાં છે?
A
$E_{0}$
B
$\frac{1}{E_{0}}$
C
$\frac{1}{\sqrt{E_{0}}}$
D
$\sqrt{E_{0}}$
Solution
(B) ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$\lambda = \frac{h}{mv_{0}}$.
અંતે,તરંગલંબાઇ $\lambda' = \frac{\lambda}{3} = \frac{h}{mv'}$ થાય છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,$\frac{\lambda}{\lambda/3} = \frac{h/mv_{0}}{h/mv'} \implies 3 = \frac{v'}{v_{0}}$,તેથી અંતિમ વેગનું મૂલ્ય $v' = 3v_{0}$ મળે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે ઇલેક્ટ્રોન $y$-દિશામાં $a = \frac{eE_{0}}{m}$ જેટલો પ્રવેગ અનુભવે છે.
$t$ સમય પછી વેગ સદિશ $\vec{v}' = v_{0}\hat{i} + \frac{eE_{0}t}{m}\hat{j}$ થાય છે.
અંતિમ વેગનું મૂલ્ય $|v'| = \sqrt{v_{0}^{2} + (\frac{eE_{0}t}{m})^{2}}$ છે.
$|v'| = 3v_{0}$ લેતા,$9v_{0}^{2} = v_{0}^{2} + (\frac{eE_{0}t}{m})^{2}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $8v_{0}^{2} = (\frac{eE_{0}t}{m})^{2}$,જે દર્શાવે છે કે $t = \frac{m}{eE_{0}} \sqrt{8v_{0}^{2}}$.
આમ,$t \propto \frac{1}{E_{0}}$.
શરૂઆતમાં,$\lambda = \frac{h}{mv_{0}}$.
અંતે,તરંગલંબાઇ $\lambda' = \frac{\lambda}{3} = \frac{h}{mv'}$ થાય છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,$\frac{\lambda}{\lambda/3} = \frac{h/mv_{0}}{h/mv'} \implies 3 = \frac{v'}{v_{0}}$,તેથી અંતિમ વેગનું મૂલ્ય $v' = 3v_{0}$ મળે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે ઇલેક્ટ્રોન $y$-દિશામાં $a = \frac{eE_{0}}{m}$ જેટલો પ્રવેગ અનુભવે છે.
$t$ સમય પછી વેગ સદિશ $\vec{v}' = v_{0}\hat{i} + \frac{eE_{0}t}{m}\hat{j}$ થાય છે.
અંતિમ વેગનું મૂલ્ય $|v'| = \sqrt{v_{0}^{2} + (\frac{eE_{0}t}{m})^{2}}$ છે.
$|v'| = 3v_{0}$ લેતા,$9v_{0}^{2} = v_{0}^{2} + (\frac{eE_{0}t}{m})^{2}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $8v_{0}^{2} = (\frac{eE_{0}t}{m})^{2}$,જે દર્શાવે છે કે $t = \frac{m}{eE_{0}} \sqrt{8v_{0}^{2}}$.
આમ,$t \propto \frac{1}{E_{0}}$.
0 likes
View Solution258
EasyMCQ
ડી-બ્રોગ્લી તરંગો વિશે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું નથી?
A
ગતિમાં રહેલા તમામ પરમાણુ કણો સાથે ચોક્કસ તરંગલંબાઇના તરંગો સંકળાયેલા હોય છે.
B
વેગમાન જેટલું વધારે,તેટલી તરંગલંબાઇ લાંબી હોય છે.
C
કણ જેટલો ઝડપી,તેટલી તરંગલંબાઇ ટૂંકી હોય છે.
D
સમાન વેગ માટે,ભારે કણની તરંગલંબાઇ ટૂંકી હોય છે.
Solution
(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ કણનું વેગમાન છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\lambda$ એ વેગમાન $p$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(\lambda \propto \frac{1}{p})$.
તેથી,જેમ વેગમાન $p$ વધે છે,તેમ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ઘટે છે.
વિધાન $B$ દાવો કરે છે કે ઉચ્ચ વેગમાન લાંબી તરંગલંબાઇ તરફ દોરી જાય છે,જે વ્યસ્ત સંબંધનો વિરોધાભાસ કરે છે.
આમ,વિધાન $B$ સાચું નથી.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\lambda$ એ વેગમાન $p$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(\lambda \propto \frac{1}{p})$.
તેથી,જેમ વેગમાન $p$ વધે છે,તેમ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ઘટે છે.
વિધાન $B$ દાવો કરે છે કે ઉચ્ચ વેગમાન લાંબી તરંગલંબાઇ તરફ દોરી જાય છે,જે વ્યસ્ત સંબંધનો વિરોધાભાસ કરે છે.
આમ,વિધાન $B$ સાચું નથી.
0 likes
View Solution259
EasyMCQ
નીચેનામાંથી એકમાત્ર સાચું વિધાન પસંદ કરો:
A
માત્ર ગતિમાં રહેલા વિદ્યુતભારિત કણ સાથે જ દ્રવ્ય તરંગો સંકળાયેલા હોય છે.
B
માત્ર ગતિમાં રહેલા અણુપરમાણ્વીય કણો સાથે જ દ્રવ્ય તરંગો સંકળાયેલા હોય છે.
C
ગતિમાં રહેલો કોઈપણ કણ, પછી તે વિદ્યુતભારિત હોય કે વિદ્યુતભારરહિત, દ્રવ્ય તરંગો સાથે સંકળાયેલો હોય છે.
D
કોઈપણ કણ, પછી તે સ્થિર હોય કે ગતિમાં, ક્યારેય દ્રવ્ય તરંગો સાથે સંકળાયેલો હોતો નથી.
Solution
(C) ડી બ્રોગ્લીના અધિતર્ક મુજબ, દરેક ગતિમાન કણ, પછી તે વિદ્યુતભારિત હોય (જેમ કે ઇલેક્ટ્રોન) કે વિદ્યુતભારરહિત હોય (જેમ કે ન્યુટ્રોન), તેની સાથે એક તરંગ સંકળાયેલું હોય છે જેને દ્રવ્ય તરંગ અથવા ડી બ્રોગ્લી તરંગ કહેવામાં આવે છે。
આ તરંગની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ કણનું વેગમાન છે。
તેથી, સાચું વિધાન એ છે કે ગતિમાં રહેલો કોઈપણ કણ, પછી તે વિદ્યુતભારિત હોય કે વિદ્યુતભારરહિત, દ્રવ્ય તરંગો સાથે સંકળાયેલો હોય છે.
આ તરંગની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ કણનું વેગમાન છે。
તેથી, સાચું વિધાન એ છે કે ગતિમાં રહેલો કોઈપણ કણ, પછી તે વિદ્યુતભારિત હોય કે વિદ્યુતભારરહિત, દ્રવ્ય તરંગો સાથે સંકળાયેલો હોય છે.
0 likes
View Solution260
EasyMCQ
વેગ સાથે દળમાં થતા ફેરફારને અવગણતા,$E$ ગતિઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલી તરંગલંબાઈ કોના પ્રમાણમાં હોય છે?
A
$E^{\frac{1}{2}}$
B
$E$
C
$E^{-\frac{1}{2}}$
D
$E^{-2}$
Solution
(C) કણની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{h}{p}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ કણનું વેગમાન છે.
$m$ દળ ધરાવતા કણની ગતિઊર્જા $E$ અને તેના વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{p^2}{2m}$ છે,જેનો અર્થ થાય છે કે $p = \sqrt{2mE}$.
$p$ માટેના આ સમીકરણને દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ મળે છે.
અહીં $h$ અને $m$ અચળાંક હોવાથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$,જેને $\lambda \propto E^{-1/2}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
$m$ દળ ધરાવતા કણની ગતિઊર્જા $E$ અને તેના વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{p^2}{2m}$ છે,જેનો અર્થ થાય છે કે $p = \sqrt{2mE}$.
$p$ માટેના આ સમીકરણને દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ મળે છે.
અહીં $h$ અને $m$ અચળાંક હોવાથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$,જેને $\lambda \propto E^{-1/2}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
0 likes
View Solution261
EasyMCQ
સમાન ગતિઊર્જા ધરાવતા નીચેનામાંથી કયા કણની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ છે?
A
આલ્ફા કણ
B
ન્યુટ્રોન
C
પ્રોટોન
D
ઇલેક્ટ્રોન
Solution
(D) ગતિઊર્જા $E$ અને દળ $m$ ધરાવતા કણની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
અહીં ગતિઊર્જા $E$ અને પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ બધા કણો માટે સમાન હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ સંબંધ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે જે કણનું દળ $m$ સૌથી ઓછું હશે,તેની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ સૌથી વધુ હશે.
આપેલા કણોના દળની સરખામણી કરતા: $m_{\text{electron}} < m_{\text{proton}} < m_{\text{neutron}} < m_{\text{alpha particle}}$.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ સૌથી ઓછું હોવાથી,તેની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ હશે.
અહીં ગતિઊર્જા $E$ અને પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ બધા કણો માટે સમાન હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ સંબંધ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે જે કણનું દળ $m$ સૌથી ઓછું હશે,તેની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ સૌથી વધુ હશે.
આપેલા કણોના દળની સરખામણી કરતા: $m_{\text{electron}} < m_{\text{proton}} < m_{\text{neutron}} < m_{\text{alpha particle}}$.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ સૌથી ઓછું હોવાથી,તેની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ હશે.
0 likes
View Solution262
MediumMCQ
જો પ્રોટોનનું વેગમાન $p_0$ જેટલું ઘટાડવામાં આવે,તો તેની સાથે સંકળાયેલી ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માં $25 \%$ નો વધારો થાય છે. તો તેનું પ્રારંભિક વેગમાન કેટલું હશે?
A
$4 p_0$
B
$\frac{p_0}{4}$
C
$5 p_0$
D
$\frac{p_0}{5}$
Solution
(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
આપેલ છે કે તરંગલંબાઈમાં $25 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવી તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \lambda_1 + 0.25 \lambda_1 = 1.25 \lambda_1 = \frac{5}{4} \lambda_1$ થાય.
$\lambda \propto \frac{1}{p}$ હોવાથી,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{p_1}{p_2} = \frac{5}{4}$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $p_2 = \frac{4}{5} p_1$.
આપણને આપેલ છે કે વેગમાન $p_0$ જેટલું ઘટે છે,તેથી $p_2 = p_1 - p_0$.
$p_2$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{4}{5} p_1 = p_1 - p_0$.
પદોને ગોઠવતા: $p_0 = p_1 - \frac{4}{5} p_1 = \frac{1}{5} p_1$.
તેથી,પ્રારંભિક વેગમાન $p_1 = 5 p_0$ થાય.
આપેલ છે કે તરંગલંબાઈમાં $25 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવી તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \lambda_1 + 0.25 \lambda_1 = 1.25 \lambda_1 = \frac{5}{4} \lambda_1$ થાય.
$\lambda \propto \frac{1}{p}$ હોવાથી,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{p_1}{p_2} = \frac{5}{4}$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $p_2 = \frac{4}{5} p_1$.
આપણને આપેલ છે કે વેગમાન $p_0$ જેટલું ઘટે છે,તેથી $p_2 = p_1 - p_0$.
$p_2$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{4}{5} p_1 = p_1 - p_0$.
પદોને ગોઠવતા: $p_0 = p_1 - \frac{4}{5} p_1 = \frac{1}{5} p_1$.
તેથી,પ્રારંભિક વેગમાન $p_1 = 5 p_0$ થાય.
0 likes
View Solution263
EasyMCQ
એક પ્રોટોનને $225 \,V$ દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે. તેની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ ........ $nm$ છે.
A
$0.1$
B
$0.2$
C
$0.3$
D
$0.4$
Solution
(B) સ્થિતિમાન તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
પ્રોટોન માટે,દળ $m \approx 1.67 \times 10^{-27} \,kg$ અને વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ છે.
પ્રોટોન માટે સરળ સૂત્ર: $\lambda \approx \frac{0.286}{\sqrt{V}} \,nm$.
અહીં $V = 225 \,V$ આપેલ છે,તેથી $\sqrt{V} = \sqrt{225} = 15$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{0.286}{15} \,nm \approx 0.019 \,nm$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,નજીકની કિંમત $0.2 \,nm$ છે.
પ્રોટોન માટે,દળ $m \approx 1.67 \times 10^{-27} \,kg$ અને વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ છે.
પ્રોટોન માટે સરળ સૂત્ર: $\lambda \approx \frac{0.286}{\sqrt{V}} \,nm$.
અહીં $V = 225 \,V$ આપેલ છે,તેથી $\sqrt{V} = \sqrt{225} = 15$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{0.286}{15} \,nm \approx 0.019 \,nm$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,નજીકની કિંમત $0.2 \,nm$ છે.
0 likes
View Solution264
EasyMCQ
આકૃતિ ચાર પરિસ્થિતિઓ દર્શાવે છે જેમાં એક ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુત અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરી રહ્યો છે. કયા કિસ્સામાં ઇલેક્ટ્રોનની ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ વધી રહી છે?
A
B
C
D
Solution
(A) ઇલેક્ટ્રોનની ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ દળ છે અને $v$ ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ છે.
$\lambda$ વધવા માટે,ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v$ ઘટવો જોઈએ.
કિસ્સા $(A)$ માં,ઇલેક્ટ્રોન (વીજભાર $-e$) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ ની દિશામાં ગતિ કરે છે. ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\vec{F} = -e\vec{E}$ છે,જે તેની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે,જેના કારણે ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ ઘટે છે.
કિસ્સા $(B)$ માં,ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે. બળ $\vec{F} = -e\vec{E}$ ગતિની દિશામાં કાર્ય કરે છે,જેના કારણે ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ વધે છે.
કિસ્સા $(C)$ અને $(D)$ માં,ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ એ વેગને લંબરૂપ હોય છે,તેથી ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ અચળ રહે છે.
તેથી,માત્ર કિસ્સા $(A)$ માં વેગ ઘટે છે,જેના પરિણામે ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇમાં વધારો થાય છે.
$\lambda$ વધવા માટે,ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v$ ઘટવો જોઈએ.
કિસ્સા $(A)$ માં,ઇલેક્ટ્રોન (વીજભાર $-e$) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ ની દિશામાં ગતિ કરે છે. ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\vec{F} = -e\vec{E}$ છે,જે તેની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે,જેના કારણે ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ ઘટે છે.
કિસ્સા $(B)$ માં,ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે. બળ $\vec{F} = -e\vec{E}$ ગતિની દિશામાં કાર્ય કરે છે,જેના કારણે ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ વધે છે.
કિસ્સા $(C)$ અને $(D)$ માં,ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ એ વેગને લંબરૂપ હોય છે,તેથી ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ અચળ રહે છે.
તેથી,માત્ર કિસ્સા $(A)$ માં વેગ ઘટે છે,જેના પરિણામે ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇમાં વધારો થાય છે.
0 likes
View Solution265
EasyMCQ
ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપ માટે,નીચેનામાંથી કયું વિધાન ખોટું છે?
A
તે ઇલેક્ટ્રોન બીમને કેન્દ્રિત કરવા માટે ચુંબકીય લેન્સનો ઉપયોગ કરે છે
B
તેની રિઝોલ્વિંગ પાવર ઇલેક્ટ્રોનના પ્રવેગક પોટેન્શિયલના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે
C
તેની રિઝોલ્વિંગ પાવર ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઇના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે
D
તેની મદદથી મેળવેલ મેગ્નિફિકેશન $10^6$ ના ક્રમનું હોય છે
Solution
(B) માઇક્રોસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર $(RP)$ $RP \propto \frac{1}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ વપરાયેલ કણની તરંગલંબાઇ છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ છે,જ્યાં $V$ એ પ્રવેગક પોટેન્શિયલ છે.
આમ,$RP \propto \frac{1}{\lambda} \propto \sqrt{V}$.
તેથી,રિઝોલ્વિંગ પાવર એ પ્રવેગક પોટેન્શિયલના વર્ગમૂળના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,પોટેન્શિયલના સીધા પ્રમાણમાં નહીં.
વિકલ્પ $(b)$ ખોટો છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ છે,જ્યાં $V$ એ પ્રવેગક પોટેન્શિયલ છે.
આમ,$RP \propto \frac{1}{\lambda} \propto \sqrt{V}$.
તેથી,રિઝોલ્વિંગ પાવર એ પ્રવેગક પોટેન્શિયલના વર્ગમૂળના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,પોટેન્શિયલના સીધા પ્રમાણમાં નહીં.
વિકલ્પ $(b)$ ખોટો છે.
0 likes
View Solution266
MediumMCQ
વિધાન $(A):$ $M$ દળનો સ્થિર કણ $m_1$ અને $m_2$ દળના બે કણોમાં વિભાજિત થાય છે,જેમના વેગ શૂન્ય નથી. તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર એકમ (unity) છે.
કારણ $(R):$ અહીં,આપણે રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરી શકતા નથી.
કારણ $(R):$ અહીં,આપણે રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરી શકતા નથી.
A
જો વિધાન અને કારણ બંને સાચા હોય અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી હોય.
B
જો વિધાન અને કારણ બંને સાચા હોય પરંતુ કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી ન હોય.
C
જો વિધાન સાચું હોય પરંતુ કારણ ખોટું હોય.
D
જો વિધાન અને કારણ બંને ખોટા હોય.
Solution
(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$M$ દળનો પ્રારંભિક કણ સ્થિર હોવાથી,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
તેથી,પરિણામી બે કણો સમાન અને વિરુદ્ધ વેગમાન ધરાવતા હોવા જોઈએ: $|p_1| = |p_2| = p$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને કણો સમાન મૂલ્યનું વેગમાન $p$ ધરાવતા હોવાથી,તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \frac{h}{p}$ અને $\lambda_2 = \frac{h}{p}$ થશે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = 1$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે ગુણોત્તર એકમ છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
જોકે,કારણ $(R)$ જણાવે છે કે આપણે રેખીય વેગમાન સંરક્ષણ લાગુ કરી શકતા નથી,જે ખોટું છે કારણ કે બાહ્ય બળની ગેરહાજરીમાં રેખીય વેગમાન સંરક્ષણ હંમેશા લાગુ પડે છે. તેથી,કારણ ખોટું છે.
તેથી,પરિણામી બે કણો સમાન અને વિરુદ્ધ વેગમાન ધરાવતા હોવા જોઈએ: $|p_1| = |p_2| = p$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને કણો સમાન મૂલ્યનું વેગમાન $p$ ધરાવતા હોવાથી,તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \frac{h}{p}$ અને $\lambda_2 = \frac{h}{p}$ થશે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = 1$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે ગુણોત્તર એકમ છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
જોકે,કારણ $(R)$ જણાવે છે કે આપણે રેખીય વેગમાન સંરક્ષણ લાગુ કરી શકતા નથી,જે ખોટું છે કારણ કે બાહ્ય બળની ગેરહાજરીમાં રેખીય વેગમાન સંરક્ષણ હંમેશા લાગુ પડે છે. તેથી,કારણ ખોટું છે.
0 likes
View Solution267
MediumMCQ
$1\,MeV$ જેટલી સમાન ઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન $(e)$,પ્રોટોન $(p)$,ન્યુટ્રોન $(n)$ અને $\alpha-$ કણ $(\alpha)$ ની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ના મૂલ્યોનો ચડતો ક્રમ નીચેનામાંથી કયો છે?
A
$\lambda_{ e }, \lambda_{ p }, \lambda_{ n }, \lambda_\alpha$
B
$\lambda_{ e }, \lambda_{ n }, \lambda_{ p }, \lambda_\alpha$
C
$\lambda_\alpha, \lambda_{ n }, \lambda_{ p }, \lambda_{ e }$
D
$\lambda_{ p }, \lambda_{ e }, \lambda_\alpha, \lambda_{ n }$
Solution
(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
ગતિ ઊર્જા $E = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mE}$ મળે.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
અહીં તમામ કણો માટે ઊર્જા $E$ સમાન છે,તેથી $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
દળની સરખામણી કરતા: $m_e < m_p \approx m_n < m_\alpha$.
તરંગલંબાઈ એ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,તરંગલંબાઈનો ક્રમ $\lambda_\alpha < \lambda_n \approx \lambda_p < \lambda_e$ થશે.
આમ,ચડતો ક્રમ $\lambda_\alpha, \lambda_n, \lambda_p, \lambda_e$ છે.
ગતિ ઊર્જા $E = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mE}$ મળે.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
અહીં તમામ કણો માટે ઊર્જા $E$ સમાન છે,તેથી $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
દળની સરખામણી કરતા: $m_e < m_p \approx m_n < m_\alpha$.
તરંગલંબાઈ એ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,તરંગલંબાઈનો ક્રમ $\lambda_\alpha < \lambda_n \approx \lambda_p < \lambda_e$ થશે.
આમ,ચડતો ક્રમ $\lambda_\alpha, \lambda_n, \lambda_p, \lambda_e$ છે.
0 likes
View Solution268
MediumMCQ
એક $\alpha$-કણ,પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન સમાન ગતિઊર્જા ધરાવે છે. તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના કિસ્સામાં નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
A
$\lambda_{\alpha} > \lambda_{p} > \lambda_{e}$
B
$\lambda_{\alpha} < \lambda_{p} < \lambda_{e}$
C
$\lambda_{\alpha} = \lambda_{p} = \lambda_{e}$
D
$\lambda_{\alpha} > \lambda_{p} < \lambda_{e}$
Solution
(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mK}$ મળે.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ મળે છે.
અહીં આપેલી ત્રણેય કણો માટે ગતિઊર્જા $K$ સમાન છે,તેથી $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કણોના દળનો સંબંધ $m_{\alpha} > m_{p} > m_{e}$ છે.
તેથી,તેમની તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda_{\alpha} < \lambda_{p} < \lambda_{e}$ થશે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mK}$ મળે.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ મળે છે.
અહીં આપેલી ત્રણેય કણો માટે ગતિઊર્જા $K$ સમાન છે,તેથી $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કણોના દળનો સંબંધ $m_{\alpha} > m_{p} > m_{e}$ છે.
તેથી,તેમની તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda_{\alpha} < \lambda_{p} < \lambda_{e}$ થશે.
0 likes
View Solution269
MediumMCQ
ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપમાં વપરાતા ઇલેક્ટ્રોન બીમ જ્યારે $20\,kV$ ના વોલ્ટેજ દ્વારા પ્રવેગિત થાય છે,ત્યારે તેની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ છે. જો વોલ્ટેજ વધારીને $40\,kV$ કરવામાં આવે,તો ઇલેક્ટ્રોન બીમ સાથે સંકળાયેલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ કેટલી થશે?
A
$3 \lambda_0$
B
$9 \lambda_0$
C
$\frac{\lambda_0}{2}$
D
$\frac{\lambda_0}{\sqrt{2}}$
Solution
(D) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થતા ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
અહીં પ્રારંભિક વોલ્ટેજ $V_1 = 20\,kV$ અને પ્રારંભિક તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = \lambda_0$ છે.
નવો વોલ્ટેજ $V_2 = 40\,kV$ છે.
પ્રમાણસરતા $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_0} = \sqrt{\frac{20}{40}}$
$\frac{\lambda_2}{\lambda_0} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,નવી તરંગલંબાઇ $\lambda_2 = \frac{\lambda_0}{\sqrt{2}}$ થશે.
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
અહીં પ્રારંભિક વોલ્ટેજ $V_1 = 20\,kV$ અને પ્રારંભિક તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = \lambda_0$ છે.
નવો વોલ્ટેજ $V_2 = 40\,kV$ છે.
પ્રમાણસરતા $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_0} = \sqrt{\frac{20}{40}}$
$\frac{\lambda_2}{\lambda_0} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,નવી તરંગલંબાઇ $\lambda_2 = \frac{\lambda_0}{\sqrt{2}}$ થશે.
0 likes
View Solution270
EasyMCQ
સ્થિર સ્થિતિમાંથી સમાન સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત થતા $\alpha$-કણ અને પ્રોટોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{1}{\sqrt{m}}$ છે. $m$ નું મૂલ્ય $........$ છે.
A
$4$
B
$16$
C
$8$
D
$2$
Solution
(C) $V$ સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત $M$ દળ અને $q$ વીજભાર ધરાવતા કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2MqV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\alpha$-કણ માટે,$M_{\alpha} = 4M_p$ અને $q_{\alpha} = 2e$. પ્રોટોન માટે,$M_p = M_p$ અને $q_p = e$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_p} = \sqrt{\frac{M_p q_p}{M_{\alpha} q_{\alpha}}} = \sqrt{\frac{M_p \cdot e}{4M_p \cdot 2e}} = \sqrt{\frac{1}{8}}$.
આને $\frac{1}{\sqrt{m}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = 8$ મળે છે.
$\alpha$-કણ માટે,$M_{\alpha} = 4M_p$ અને $q_{\alpha} = 2e$. પ્રોટોન માટે,$M_p = M_p$ અને $q_p = e$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_p} = \sqrt{\frac{M_p q_p}{M_{\alpha} q_{\alpha}}} = \sqrt{\frac{M_p \cdot e}{4M_p \cdot 2e}} = \sqrt{\frac{1}{8}}$.
આને $\frac{1}{\sqrt{m}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = 8$ મળે છે.
0 likes
View Solution271
MediumMCQ
$V_1$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ છે. જ્યારે વિદ્યુતસ્થિતિમાન બદલીને $V_2$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈમાં $50 \%$ નો વધારો થાય છે. $\left(\frac{V_1}{V_2}\right)$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?
A
$3$
B
$\frac{9}{4}$
C
$\frac{3}{2}$
D
$4$
Solution
(B) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$,અથવા $V \propto \frac{1}{\lambda^2}$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$V_1 \propto \frac{1}{\lambda^2}$.
બીજા કિસ્સામાં,તરંગલંબાઈમાં $50 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \lambda + 0.5\lambda = 1.5\lambda = \frac{3}{2}\lambda$.
આમ,$V_2 \propto \frac{1}{(\frac{3}{2}\lambda)^2} = \frac{1}{\frac{9}{4}\lambda^2}$.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1/\lambda^2}{1/(\frac{9}{4}\lambda^2)} = \frac{9}{4}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$,અથવા $V \propto \frac{1}{\lambda^2}$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$V_1 \propto \frac{1}{\lambda^2}$.
બીજા કિસ્સામાં,તરંગલંબાઈમાં $50 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \lambda + 0.5\lambda = 1.5\lambda = \frac{3}{2}\lambda$.
આમ,$V_2 \propto \frac{1}{(\frac{3}{2}\lambda)^2} = \frac{1}{\frac{9}{4}\lambda^2}$.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1/\lambda^2}{1/(\frac{9}{4}\lambda^2)} = \frac{9}{4}$.
0 likes
View Solution272
MediumMCQ
પ્રકાશના વેગના દસમા ભાગના વેગથી ગતિ કરતા પ્રોટોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ છે. એક આલ્ફા કણ કે જેની પાસે ચોક્કસ ગતિઊર્જા છે,તેની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ પણ $\lambda$ છે. પ્રોટોન અને આલ્ફા કણની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?
A
$2: 1$
B
$4: 1$
C
$1: 2$
D
$1: 4$
Solution
(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
$p = \frac{h}{\lambda}$ મૂકતા,આપણને $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ મળે છે.
બંને કણોની તરંગલંબાઈ $\lambda$ સમાન હોવાથી,ગતિઊર્જા એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $K \propto \frac{1}{m}$.
તેથી,પ્રોટોનની ગતિઊર્જા $(K_p)$ અને આલ્ફા કણની ગતિઊર્જા $(K_\alpha)$ નો ગુણોત્તર $\frac{K_p}{K_\alpha} = \frac{m_\alpha}{m_p}$ થાય.
આલ્ફા કણનું દળ પ્રોટોનના દળ કરતાં આશરે $4$ ગણું હોવાથી $(m_\alpha \approx 4m_p)$,આપણને $\frac{K_p}{K_\alpha} = \frac{4m_p}{m_p} = 4:1$ મળે છે.
ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
$p = \frac{h}{\lambda}$ મૂકતા,આપણને $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ મળે છે.
બંને કણોની તરંગલંબાઈ $\lambda$ સમાન હોવાથી,ગતિઊર્જા એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $K \propto \frac{1}{m}$.
તેથી,પ્રોટોનની ગતિઊર્જા $(K_p)$ અને આલ્ફા કણની ગતિઊર્જા $(K_\alpha)$ નો ગુણોત્તર $\frac{K_p}{K_\alpha} = \frac{m_\alpha}{m_p}$ થાય.
આલ્ફા કણનું દળ પ્રોટોનના દળ કરતાં આશરે $4$ ગણું હોવાથી $(m_\alpha \approx 4m_p)$,આપણને $\frac{K_p}{K_\alpha} = \frac{4m_p}{m_p} = 4:1$ મળે છે.
0 likes
View Solution273
MediumMCQ
એક ઇલેક્ટ્રોન,$\alpha$-કણ અને પ્રોટોનની ગતિઊર્જા અનુક્રમે $4K, 2K$ અને $K$ છે. ઇલેક્ટ્રોન $(\lambda_e)$,$\alpha$-કણ $(\lambda_\alpha)$ અને પ્રોટોન $(\lambda_p)$ સાથે સંકળાયેલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇઓ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
A
$\lambda_\alpha = \lambda_p < \lambda_e$
B
$\lambda_\alpha > \lambda_p > \lambda_e$
C
$\lambda_\alpha < \lambda_p < \lambda_e$
D
$\lambda_\alpha = \lambda_p > \lambda_e$
Solution
(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે: $m_e \approx \frac{m_p}{1840}$,$K_e = 4K$. તેથી,$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2(m_p/1840)(4K)}} = \frac{h}{\sqrt{2m_pK/230}}$.
પ્રોટોન માટે: $m_p = m$,$K_p = K$. તેથી,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
$\alpha$-કણ માટે: $m_\alpha = 4m_p$,$K_\alpha = 2K$. તેથી,$\lambda_\alpha = \frac{h}{\sqrt{2(4m_p)(2K)}} = \frac{h}{\sqrt{16m_pK}} = \frac{h}{4\sqrt{m_pK}}$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$\lambda_e = \sqrt{230} \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}} \approx 15.16 \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}}$
$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_pK}}$
$\lambda_\alpha = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}} \approx 0.35 \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}}$
તેથી,$\lambda_\alpha < \lambda_p < \lambda_e$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે: $m_e \approx \frac{m_p}{1840}$,$K_e = 4K$. તેથી,$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2(m_p/1840)(4K)}} = \frac{h}{\sqrt{2m_pK/230}}$.
પ્રોટોન માટે: $m_p = m$,$K_p = K$. તેથી,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
$\alpha$-કણ માટે: $m_\alpha = 4m_p$,$K_\alpha = 2K$. તેથી,$\lambda_\alpha = \frac{h}{\sqrt{2(4m_p)(2K)}} = \frac{h}{\sqrt{16m_pK}} = \frac{h}{4\sqrt{m_pK}}$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$\lambda_e = \sqrt{230} \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}} \approx 15.16 \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}}$
$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_pK}}$
$\lambda_\alpha = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}} \approx 0.35 \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}}$
તેથી,$\lambda_\alpha < \lambda_p < \lambda_e$.
0 likes
View Solution274
EasyMCQ
પ્રોટોન $(P)$ અને ઇલેક્ટ્રોન $(e)$ ની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ સમાન હોય ત્યારે તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર કેટલો હશે? (ધારો કે,$m_{p} = 1849 \, m_{e}$)
A
$1: 43$
B
$43: 1$
C
$1: 1849$
D
$1: 1$
Solution
(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ કણનું વેગમાન છે.
અહીં આપેલ છે કે પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ સમાન છે,તેથી $\lambda_{p} = \lambda_{e}$.
તરંગલંબાઈનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $\frac{h}{p_{p}} = \frac{h}{p_{e}}$ મળે છે.
આના પરથી $p_{p} = p_{e}$ સાબિત થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $p_{p} : p_{e} = 1: 1$ છે.
અહીં આપેલ છે કે પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ સમાન છે,તેથી $\lambda_{p} = \lambda_{e}$.
તરંગલંબાઈનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $\frac{h}{p_{p}} = \frac{h}{p_{e}}$ મળે છે.
આના પરથી $p_{p} = p_{e}$ સાબિત થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $p_{p} : p_{e} = 1: 1$ છે.
0 likes
View Solution275
MediumMCQ
ઓરડાના તાપમાને $(300 \ K)$ વાયુના અણુની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ છે. જો વાયુનું તાપમાન વધારીને $600 \ K$ કરવામાં આવે,તો તે જ વાયુના અણુની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $..............$ થશે.
A
$\frac{1}{\sqrt{2}} \lambda_1$
B
$2 \lambda_1$
C
$\frac{1}{2} \lambda_1$
D
$\sqrt{2} \lambda_1$
Solution
(A) વાયુના ગતિવાદ ($K$.$T$.$G$.) મુજબ,વાયુના અણુનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ $v_{RMS} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $v_{RMS} \propto \sqrt{T}$.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v_{RMS}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $v_{RMS} \propto \sqrt{T}$,તેથી $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$.
તેથી,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ થશે.
અહીં $T_1 = 300 \ K$ અને $T_2 = 600 \ K$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{300}{600}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,નવી તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{\sqrt{2}}$ થશે.
આનો અર્થ એ છે કે $v_{RMS} \propto \sqrt{T}$.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v_{RMS}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $v_{RMS} \propto \sqrt{T}$,તેથી $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$.
તેથી,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ થશે.
અહીં $T_1 = 300 \ K$ અને $T_2 = 600 \ K$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{300}{600}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,નવી તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{\sqrt{2}}$ થશે.
0 likes
View Solution276
MediumMCQ
સમાન ગતિઊર્જા ધરાવતા પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર કેટલો થાય? (ધારો કે $m_p = 1849 \times m_e$)
A
$1: 43$
B
$1: 30$
C
$1: 62$
D
$2: 43$
Solution
(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mK}$ મળે.
આ કિંમત તરંગલંબાઇના સૂત્રમાં મૂકતા,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ મળે.
સમાન ગતિઊર્જા $K$ ધરાવતા પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન માટે,તેમની તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2m_p K}}}{\frac{h}{\sqrt{2m_e K}}} = \sqrt{\frac{m_e}{m_p}}$ થાય.
આપેલ છે કે $m_p = 1849 \times m_e$,તેથી $\frac{m_e}{m_p} = \frac{1}{1849}$.
તેથી,$\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \sqrt{\frac{1}{1849}} = \frac{1}{43}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 43$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mK}$ મળે.
આ કિંમત તરંગલંબાઇના સૂત્રમાં મૂકતા,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ મળે.
સમાન ગતિઊર્જા $K$ ધરાવતા પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન માટે,તેમની તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2m_p K}}}{\frac{h}{\sqrt{2m_e K}}} = \sqrt{\frac{m_e}{m_p}}$ થાય.
આપેલ છે કે $m_p = 1849 \times m_e$,તેથી $\frac{m_e}{m_p} = \frac{1}{1849}$.
તેથી,$\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \sqrt{\frac{1}{1849}} = \frac{1}{43}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 43$ છે.
0 likes
View Solution277
MediumMCQ
એક પ્રોટોન અને $\alpha$-કણને અનુક્રમે $2\,V$ અને $4\,V$ ના સ્થિતિમાન દ્વારા સ્થિર સ્થિતિમાંથી પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે. તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર કેટલો થાય ($:1$ માં)?
A
$4$
B
$2$
C
$8$
D
$16$
Solution
(A) સ્થિતિમાન તફાવત $\Delta V$ દ્વારા પ્રવેગિત થતા વીજભારિત કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mq\Delta V}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રોટોન $(p)$ અને $\alpha$-કણ $(\alpha)$ માટે:
પ્રોટોનનું દળ $m_p = m$, વીજભાર $q_p = e$.
$\alpha$-કણનું દળ $m_\alpha = 4m$, વીજભાર $q_\alpha = 2e$.
આપેલ સ્થિતિમાન: $V_p = 2\,V$ અને $V_\alpha = 4\,V$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{m_\alpha q_\alpha V_\alpha}{m_p q_p V_p}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{4m \times 2e \times 4V}{m \times e \times 2V}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$.
આમ, ગુણોત્તર $\lambda_p : \lambda_\alpha = 4:1$ થાય.
પ્રોટોન $(p)$ અને $\alpha$-કણ $(\alpha)$ માટે:
પ્રોટોનનું દળ $m_p = m$, વીજભાર $q_p = e$.
$\alpha$-કણનું દળ $m_\alpha = 4m$, વીજભાર $q_\alpha = 2e$.
આપેલ સ્થિતિમાન: $V_p = 2\,V$ અને $V_\alpha = 4\,V$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{m_\alpha q_\alpha V_\alpha}{m_p q_p V_p}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{4m \times 2e \times 4V}{m \times e \times 2V}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$.
આમ, ગુણોત્તર $\lambda_p : \lambda_\alpha = 4:1$ થાય.
0 likes
View Solution278
EasyMCQ
$E$ જેટલી ગતિઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ છે. જો ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $\frac{E}{4}$ થાય,તો તેની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ કેટલી થશે?
A
$\frac{\lambda}{\sqrt{2}}$
B
$\frac{\lambda}{2}$
C
$2 \lambda$
D
$\sqrt{2} \lambda$
Solution
(C) $E$ ગતિઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
જ્યારે ગતિઊર્જા $E' = \frac{E}{4}$ થાય,ત્યારે નવી દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ નીચે મુજબ મળે:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2mE'}} = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{E}{4})}}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{\frac{2mE}{4}}} = \frac{h}{\frac{1}{2}\sqrt{2mE}} = 2 \left( \frac{h}{\sqrt{2mE}} \right)$.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda' = 2\lambda$.
જ્યારે ગતિઊર્જા $E' = \frac{E}{4}$ થાય,ત્યારે નવી દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ નીચે મુજબ મળે:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2mE'}} = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{E}{4})}}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{\frac{2mE}{4}}} = \frac{h}{\frac{1}{2}\sqrt{2mE}} = 2 \left( \frac{h}{\sqrt{2mE}} \right)$.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda' = 2\lambda$.
0 likes
View Solution279
DifficultMCQ
પ્રોટોન અને $\alpha$ કણની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ અનુક્રમે $\lambda$ અને $2\lambda$ છે. પ્રોટોન અને $\alpha$ કણના વેગનો ગુણોત્તર કેટલો થશે?
A
$1: 8$
B
$1: 2$
C
$4: 1$
D
$8: 1$
Solution
(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ દળ છે અને $v$ વેગ છે.
આના પરથી,વેગ $v = \frac{h}{m\lambda}$ થાય.
પ્રોટોન માટે,$m_p = m$ અને $\lambda_p = \lambda$. $\alpha$ કણ માટે,$m_\alpha = 4m$ અને $\lambda_\alpha = 2\lambda$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_p}{v_\alpha} = \frac{h / (m_p \lambda_p)}{h / (m_\alpha \lambda_\alpha)} = \frac{m_\alpha}{m_p} \times \frac{\lambda_\alpha}{\lambda_p}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_p}{v_\alpha} = \frac{4m}{m} \times \frac{2\lambda}{\lambda} = 4 \times 2 = 8$.
તેથી,ગુણોત્તર $8: 1$ છે.
આના પરથી,વેગ $v = \frac{h}{m\lambda}$ થાય.
પ્રોટોન માટે,$m_p = m$ અને $\lambda_p = \lambda$. $\alpha$ કણ માટે,$m_\alpha = 4m$ અને $\lambda_\alpha = 2\lambda$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_p}{v_\alpha} = \frac{h / (m_p \lambda_p)}{h / (m_\alpha \lambda_\alpha)} = \frac{m_\alpha}{m_p} \times \frac{\lambda_\alpha}{\lambda_p}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_p}{v_\alpha} = \frac{4m}{m} \times \frac{2\lambda}{\lambda} = 4 \times 2 = 8$.
તેથી,ગુણોત્તર $8: 1$ છે.
0 likes
View Solution280
DifficultMCQ
એક પ્રોટોન અને એક ઇલેક્ટ્રોન સમાન ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ સાથે સંકળાયેલા છે. તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?
(ધારો કે $h=6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$,$m_{e}=9.0 \times 10^{-31} \ kg$ અને $m_{p}=1836 \times m_{e}$)
(ધારો કે $h=6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$,$m_{e}=9.0 \times 10^{-31} \ kg$ અને $m_{p}=1836 \times m_{e}$)
A
$1: 1836$
B
$1836: 1$
C
$1: \sqrt{1836}$
D
$\sqrt{1836}: 1$
Solution
(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
બંને કણો માટે $\lambda$ સમાન હોવાથી,તેમનું વેગમાન $p$ પણ સમાન હશે.
ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
અહીં $p$ અચળ હોવાથી,$K \propto \frac{1}{m}$ થાય.
તેથી,પ્રોટોનની ગતિઊર્જા $(K_p)$ અને ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(K_e)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{K_p}{K_e} = \frac{m_e}{m_p}$ થશે.
આપેલ છે કે $m_p = 1836 \ m_e$,તેથી કિંમત મૂકતા:
$\frac{K_p}{K_e} = \frac{m_e}{1836 \ m_e} = \frac{1}{1836}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 1836$ છે.
બંને કણો માટે $\lambda$ સમાન હોવાથી,તેમનું વેગમાન $p$ પણ સમાન હશે.
ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
અહીં $p$ અચળ હોવાથી,$K \propto \frac{1}{m}$ થાય.
તેથી,પ્રોટોનની ગતિઊર્જા $(K_p)$ અને ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(K_e)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{K_p}{K_e} = \frac{m_e}{m_p}$ થશે.
આપેલ છે કે $m_p = 1836 \ m_e$,તેથી કિંમત મૂકતા:
$\frac{K_p}{K_e} = \frac{m_e}{1836 \ m_e} = \frac{1}{1836}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 1836$ છે.
0 likes
View Solution281
DifficultMCQ
એક પ્રોટોન અને એક ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ સમાન છે. જો $K_p$ અને $K_e$ અનુક્રમે પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા હોય,તો સાચો સંબંધ પસંદ કરો:
A
$K_{p} > K_{e}$
B
$K_{p} = K_{e}$
C
$K_{p} = K_{e}^2$
D
$K_{p} < K_{e}$
Solution
(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ વેગમાન છે.
પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ સમાન હોવાથી,તેમનું વેગમાન સમાન હોવું જોઈએ: $p_p = p_e = p$.
કણની ગતિઊર્જા $K$ અને તેના વેગમાન $p$ તથા દળ $m$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન માટે,આપણી પાસે $K_p = \frac{p^2}{2m_p}$ અને $K_e = \frac{p^2}{2m_e}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m_e$ એ પ્રોટોનના દળ $m_p$ કરતા ઘણું ઓછું હોવાથી $(m_e < m_p)$,તેથી $\frac{1}{2m_e} > \frac{1}{2m_p}$ થાય.
આથી,$K_e > K_p$,અથવા $K_p < K_e$ મળે છે.
પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ સમાન હોવાથી,તેમનું વેગમાન સમાન હોવું જોઈએ: $p_p = p_e = p$.
કણની ગતિઊર્જા $K$ અને તેના વેગમાન $p$ તથા દળ $m$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન માટે,આપણી પાસે $K_p = \frac{p^2}{2m_p}$ અને $K_e = \frac{p^2}{2m_e}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m_e$ એ પ્રોટોનના દળ $m_p$ કરતા ઘણું ઓછું હોવાથી $(m_e < m_p)$,તેથી $\frac{1}{2m_e} > \frac{1}{2m_p}$ થાય.
આથી,$K_e > K_p$,અથવા $K_p < K_e$ મળે છે.
0 likes
View Solution282
DifficultMCQ
એક પ્રોટોન,એક ઇલેક્ટ્રોન અને એક આલ્ફા કણ સમાન ગતિઊર્જા ધરાવે છે. તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈની સરખામણી કેવી રીતે થશે?
A
$\lambda_{e} > \lambda_{p} > \lambda_{\alpha}$
B
$\lambda_{\alpha} < \lambda_{p} < \lambda_{e}$
C
$\lambda_{p} < \lambda_{e} < \lambda_{\alpha}$
D
$\lambda_{p} > \lambda_{e} > \lambda_{\alpha}$
Solution
(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ દળ છે અને $K$ ગતિઊર્જા છે.
તમામ કણો માટે ગતિઊર્જા $(K)$ સમાન હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે કણોના દળનો ક્રમ $m_{e} < m_{p} < m_{\alpha}$ છે.
તરંગલંબાઈ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,તરંગલંબાઈનો ક્રમ $\lambda_{e} > \lambda_{p} > \lambda_{\alpha}$ થશે.
તમામ કણો માટે ગતિઊર્જા $(K)$ સમાન હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે કણોના દળનો ક્રમ $m_{e} < m_{p} < m_{\alpha}$ છે.
તરંગલંબાઈ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,તરંગલંબાઈનો ક્રમ $\lambda_{e} > \lambda_{p} > \lambda_{\alpha}$ થશે.
0 likes
View Solution283
MediumMCQ
જે આલેખ $\left(\frac{1}{\lambda^2}\right)$ અને તેની ગતિઊર્જા $E$ વચ્ચેનો ફેરફાર દર્શાવે છે તે કયો છે? (જ્યાં $\lambda$ એ મુક્ત કણની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ છે):
A
B
C
D
Solution
(C) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ કણનું દળ છે અને $E$ એ તેની ગતિઊર્જા છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\lambda^2 = \frac{h^2}{2mE}$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{1}{\lambda^2} = \left(\frac{2m}{h^2}\right) E$ મળે છે.
આ સમીકરણ $y = mx$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \frac{1}{\lambda^2}$,$x = E$,અને ઢાળ $m = \frac{2m}{h^2}$ એ અચળ છે.
તેથી,$\frac{1}{\lambda^2}$ વિરુદ્ધ $E$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\lambda^2 = \frac{h^2}{2mE}$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{1}{\lambda^2} = \left(\frac{2m}{h^2}\right) E$ મળે છે.
આ સમીકરણ $y = mx$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \frac{1}{\lambda^2}$,$x = E$,અને ઢાળ $m = \frac{2m}{h^2}$ એ અચળ છે.
તેથી,$\frac{1}{\lambda^2}$ વિરુદ્ધ $E$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા છે.
0 likes
View Solution284
AdvancedMCQ
de-Broglie તરંગલંબાઈ $\lambda$ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન $X$-ray ટ્યુબમાં લક્ષ્ય (target) પર આપાત થાય છે. ઉત્સર્જિત $X$-rays ની કટ-ઓફ તરંગલંબાઈ કેટલી હશે?
A
$\lambda_0 = \frac{2 mc \lambda^2}{h}$
B
$\lambda_0 = \frac{2h}{mc}$
C
$\lambda_0 = \frac{2 m^2 c^2 \lambda^3}{h^2}$
D
$\lambda_0 = \lambda$
Solution
(A) ગતિઊર્જા $E$ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની de-Broglie તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\lambda^2 = \frac{h^2}{2mE}$ મળે છે.
ગતિઊર્જા $E$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ મળે છે.
ઉત્સર્જિત $X$-rays ની કટ-ઓફ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ એ ફોટોનની મહત્તમ ઊર્જાને અનુરૂપ છે,જે આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા જેટલી હોય છે: $E = \frac{hc}{\lambda_0}$.
$E$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ મળે છે.
$\lambda_0$ ને કર્તા બનાવતા,$\lambda_0 = \frac{2mc\lambda^2}{h}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\lambda^2 = \frac{h^2}{2mE}$ મળે છે.
ગતિઊર્જા $E$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ મળે છે.
ઉત્સર્જિત $X$-rays ની કટ-ઓફ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ એ ફોટોનની મહત્તમ ઊર્જાને અનુરૂપ છે,જે આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા જેટલી હોય છે: $E = \frac{hc}{\lambda_0}$.
$E$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ મળે છે.
$\lambda_0$ ને કર્તા બનાવતા,$\lambda_0 = \frac{2mc\lambda^2}{h}$ મળે છે.
0 likes
View Solution285
DifficultMCQ
જ્યારે કોઈ કણ $x$-અક્ષ પર $x=0$ અને $x=a$ ની વચ્ચે ગતિ કરવા માટે મર્યાદિત હોય,જ્યાં $a$ નેનોમીટર પરિમાણ ધરાવે છે,ત્યારે તેની ઉર્જા માત્ર અમુક ચોક્કસ મૂલ્યો જ ધારણ કરી શકે છે. આવા મર્યાદિત વિસ્તારમાં ગતિ કરતા કણની અનુમતિપાત્ર ઉર્જાઓ તેના છેડાઓ $x=0$ અને $x=a$ પર નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) ધરાવતા સ્થિત તરંગોના નિર્માણ સાથે સંબંધિત છે. આ સ્થિત તરંગની તરંગલંબાઈ ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ મુજબ કણના રેખીય વેગમાન $p$ સાથે સંબંધિત છે. $m$ દળ ધરાવતા કણની ઉર્જા તેના રેખીય વેગમાન સાથે $E = \frac{p^2}{2m}$ તરીકે સંબંધિત છે. આમ,કણની ઉર્જાને ક્વોન્ટમ નંબર $n$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે જે $1, 2, 3, \ldots$ મૂલ્યો લે છે ($n=1$,જેને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ કહેવાય છે) જે સ્થિત તરંગમાં લૂપ્સની સંખ્યાને અનુરૂપ છે.
ઉપર વર્ણવેલ મોડેલનો ઉપયોગ કરીને $x=0$ થી $x=a$ રેખામાં ગતિ કરતા કણ માટે નીચેના ત્રણ પ્રશ્નોના જવાબ આપો. $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$ અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ લો.
$1.$ $n$ ના ચોક્કસ મૂલ્ય માટે કણની અનુમતિપાત્ર ઉર્જા કોના પ્રમાણમાં છે?
$(A) \ a^{-2} \ (B) \ a^{-3/2} \ (C) \ a^{-1} \ (D) \ a^2$
$2.$ જો કણનું દળ $m = 1.0 \times 10^{-30} \ kg$ અને $a = 6.6 \ \text{nm}$ હોય,તો ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં કણની ઉર્જા કોની નજીક હશે?
$(A) \ 0.8 \ \text{meV} \ (B) \ 8 \ \text{meV} \ (C) \ 80 \ \text{meV} \ (D) \ 800 \ \text{meV}$
$3.$ કણની ઝડપ,જે અલગ-અલગ મૂલ્યો લઈ શકે છે,તે કોના પ્રમાણમાં છે?
$(A) \ n^{-3/2} \ (B) \ n^{-1} \ (C) \ n^{1/2} \ (D) \ n$
ઉપર વર્ણવેલ મોડેલનો ઉપયોગ કરીને $x=0$ થી $x=a$ રેખામાં ગતિ કરતા કણ માટે નીચેના ત્રણ પ્રશ્નોના જવાબ આપો. $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$ અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ લો.
$1.$ $n$ ના ચોક્કસ મૂલ્ય માટે કણની અનુમતિપાત્ર ઉર્જા કોના પ્રમાણમાં છે?
$(A) \ a^{-2} \ (B) \ a^{-3/2} \ (C) \ a^{-1} \ (D) \ a^2$
$2.$ જો કણનું દળ $m = 1.0 \times 10^{-30} \ kg$ અને $a = 6.6 \ \text{nm}$ હોય,તો ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં કણની ઉર્જા કોની નજીક હશે?
$(A) \ 0.8 \ \text{meV} \ (B) \ 8 \ \text{meV} \ (C) \ 80 \ \text{meV} \ (D) \ 800 \ \text{meV}$
$3.$ કણની ઝડપ,જે અલગ-અલગ મૂલ્યો લઈ શકે છે,તે કોના પ્રમાણમાં છે?
$(A) \ n^{-3/2} \ (B) \ n^{-1} \ (C) \ n^{1/2} \ (D) \ n$
A
$(D, B, C)$
B
$(A, B, D)$
C
$(B, B, D)$
D
$(A, D, C)$
Solution
(B) $1.$ $x=0$ અને $x=a$ પર નિસ્પંદ બિંદુઓ ધરાવતા સ્થિત તરંગ માટે,લંબાઈ $a$ એ અડધી તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ: $a = \frac{n\lambda}{2} \Rightarrow \lambda = \frac{2a}{n}$.
ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{2a}{n} = \frac{h}{p} \Rightarrow p = \frac{nh}{2a}$.
ઉર્જા $E = \frac{p^2}{2m} = \frac{n^2h^2}{8ma^2}$ છે. આમ,$E \propto a^{-2}$. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.
$2.$ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ માટે,$n=1$. $E_1 = \frac{h^2}{8ma^2}$.
આપેલ છે $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$,$m = 1.0 \times 10^{-30} \ kg$,અને $a = 6.6 \times 10^{-9} \ m$.
$E_1 = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{8 \times (1.0 \times 10^{-30}) \times (6.6 \times 10^{-9})^2} = \frac{6.6^2 \times 10^{-68}}{8 \times 10^{-30} \times 6.6^2 \times 10^{-18}} = \frac{10^{-68}}{8 \times 10^{-48}} = 0.125 \times 10^{-20} \ J$.
$\text{eV}$ માં રૂપાંતર કરતા: $E_1 = \frac{0.125 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 0.0078 \ \text{eV} = 7.8 \ \text{meV} \approx 8 \ \text{meV}$. સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.
$3.$ કારણ કે $p = mv = \frac{nh}{2a}$,તેથી $v = \frac{nh}{2ma}$. કારણ કે $h, m, a$ અચળાંકો છે,તેથી $v \propto n$. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{2a}{n} = \frac{h}{p} \Rightarrow p = \frac{nh}{2a}$.
ઉર્જા $E = \frac{p^2}{2m} = \frac{n^2h^2}{8ma^2}$ છે. આમ,$E \propto a^{-2}$. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.
$2.$ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ માટે,$n=1$. $E_1 = \frac{h^2}{8ma^2}$.
આપેલ છે $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$,$m = 1.0 \times 10^{-30} \ kg$,અને $a = 6.6 \times 10^{-9} \ m$.
$E_1 = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{8 \times (1.0 \times 10^{-30}) \times (6.6 \times 10^{-9})^2} = \frac{6.6^2 \times 10^{-68}}{8 \times 10^{-30} \times 6.6^2 \times 10^{-18}} = \frac{10^{-68}}{8 \times 10^{-48}} = 0.125 \times 10^{-20} \ J$.
$\text{eV}$ માં રૂપાંતર કરતા: $E_1 = \frac{0.125 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 0.0078 \ \text{eV} = 7.8 \ \text{meV} \approx 8 \ \text{meV}$. સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.
$3.$ કારણ કે $p = mv = \frac{nh}{2a}$,તેથી $v = \frac{nh}{2ma}$. કારણ કે $h, m, a$ અચળાંકો છે,તેથી $v \propto n$. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
0 likes
View Solution286
EasyMCQ
એક $\alpha$-કણ અને પ્રોટોનને $100 \ V$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા સ્થિર સ્થિતિમાંથી પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે. ત્યારબાદ,તેમની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ અનુક્રમે $\lambda_\alpha$ અને $\lambda_{p}$ છે. ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_\alpha}$ નું નજીકનું પૂર્ણાંક મૂલ્ય કેટલું થાય?
A
$2$
B
$6$
C
$8$
D
$3$
Solution
(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
પ્રોટોન માટે,$m_p = m$ અને $q_p = e$. તેથી,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
$\alpha$-કણ માટે,$m_\alpha = 4m$ અને $q_\alpha = 2e$. તેથી,$\lambda_\alpha = \frac{h}{\sqrt{2(4m)(2e)V}} = \frac{h}{\sqrt{16meV}} = \frac{1}{4} \frac{h}{\sqrt{meV}}$.
હવે ગુણોત્તર લેતા,$\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \frac{h / \sqrt{2meV}}{h / \sqrt{16meV}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{2}} = \sqrt{8} \approx 2.828$.
$2.828$ ની નજીકનો પૂર્ણાંક $3$ છે.
પ્રોટોન માટે,$m_p = m$ અને $q_p = e$. તેથી,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
$\alpha$-કણ માટે,$m_\alpha = 4m$ અને $q_\alpha = 2e$. તેથી,$\lambda_\alpha = \frac{h}{\sqrt{2(4m)(2e)V}} = \frac{h}{\sqrt{16meV}} = \frac{1}{4} \frac{h}{\sqrt{meV}}$.
હવે ગુણોત્તર લેતા,$\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \frac{h / \sqrt{2meV}}{h / \sqrt{16meV}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{2}} = \sqrt{8} \approx 2.828$.
$2.828$ ની નજીકનો પૂર્ણાંક $3$ છે.
0 likes
View Solution287
MediumMCQ
$10^{-30} \ kg$ દળ ધરાવતો એક સબ-એટોમિક કણ $2.21 \times 10^6 \ m/s$ ના વેગથી ગતિ કરે છે. દ્રવ્ય તરંગના વિચારણા હેઠળ,આ કણ . . . . . . જેવું વર્તન કરશે. $(h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$
A
ઇન્ફ્રારેડ રેડિયેશન
B
$X$-કિરણો
C
ગામા કિરણો
D
દ્રશ્યમાન વિકિરણ
Solution
(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{(10^{-30} \ kg) \times (2.21 \times 10^6 \ m/s)}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2.21 \times 10^{-24}} \ m$
$\lambda = 3 \times 10^{-10} \ m = 3 \ \mathring{A}$.
$X$-કિરણોની તરંગલંબાઈનો વિસ્તાર આશરે $0.01 \ \mathring{A}$ થી $100 \ \mathring{A}$ હોય છે.
તેથી,$3 \ \mathring{A}$ એ $X$-કિરણોના વર્ણપટમાં આવતું હોવાથી,આ કણ $X$-કિરણો જેવું વર્તન કરશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{(10^{-30} \ kg) \times (2.21 \times 10^6 \ m/s)}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2.21 \times 10^{-24}} \ m$
$\lambda = 3 \times 10^{-10} \ m = 3 \ \mathring{A}$.
$X$-કિરણોની તરંગલંબાઈનો વિસ્તાર આશરે $0.01 \ \mathring{A}$ થી $100 \ \mathring{A}$ હોય છે.
તેથી,$3 \ \mathring{A}$ એ $X$-કિરણોના વર્ણપટમાં આવતું હોવાથી,આ કણ $X$-કિરણો જેવું વર્તન કરશે.
0 likes
View Solution288
MediumMCQ
$m$ દળ ધરાવતો એક ઇલેક્ટ્રોન જેનો પ્રારંભિક વેગ $\overrightarrow{v}=v_0 \hat{i}$ $(v_0>0)$ છે,તે $\overrightarrow{E}=-E_0 \hat{k}$ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં પ્રવેશ કરે છે. જો તેની પ્રારંભિક ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ હોય,તો $t$ સમય પછી તેનું મૂલ્ય કેટલું હશે $:-$
A
$\frac{\lambda_0}{\sqrt{1+\frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}}$
B
$\frac{\lambda_0}{\sqrt{1-\frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}}$
C
$\lambda_0$
D
$\lambda_0 \sqrt{1+\frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}$
Solution
(A) ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રારંભિક વેગ $\overrightarrow{v}_i = v_0 \hat{i}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = -E_0 \hat{k}$ માં ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E} = -e(-E_0 \hat{k}) = e E_0 \hat{k}$ છે.
પ્રવેગ $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{e E_0}{m} \hat{k}$ છે.
$t$ સમયે વેગ $\overrightarrow{v}(t) = \overrightarrow{v}_i + \overrightarrow{a}t = v_0 \hat{i} + \frac{e E_0 t}{m} \hat{k}$ થાય.
વેગનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{v}(t)| = \sqrt{v_0^2 + \left(\frac{e E_0 t}{m}\right)^2} = v_0 \sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}$ છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m|\overrightarrow{v}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = \frac{h}{m v_0}$ છે.
$t$ સમયે તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{h}{m v_0 \sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}} = \frac{\lambda_0}{\sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}}$ થાય.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = -E_0 \hat{k}$ માં ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E} = -e(-E_0 \hat{k}) = e E_0 \hat{k}$ છે.
પ્રવેગ $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{e E_0}{m} \hat{k}$ છે.
$t$ સમયે વેગ $\overrightarrow{v}(t) = \overrightarrow{v}_i + \overrightarrow{a}t = v_0 \hat{i} + \frac{e E_0 t}{m} \hat{k}$ થાય.
વેગનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{v}(t)| = \sqrt{v_0^2 + \left(\frac{e E_0 t}{m}\right)^2} = v_0 \sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}$ છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m|\overrightarrow{v}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = \frac{h}{m v_0}$ છે.
$t$ સમયે તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{h}{m v_0 \sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}} = \frac{\lambda_0}{\sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}}$ થાય.
0 likes
View Solution289
MediumMCQ
$m_p$ દળ ધરાવતા પ્રોટોનની ઊર્જા $\lambda$ તરંગલંબાઈ ધરાવતા ફોટોન જેટલી જ છે. જો પ્રોટોન અ-સાપેક્ષવાદી ઝડપે ગતિ કરતો હોય,તો તેની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ અને ફોટોનની તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?
A
$\frac{1}{c} \sqrt{\frac{2 E}{m_p}}$
B
$\frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{m_p}}$
C
$\frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2 m_p}}$
D
$\frac{1}{2 c} \sqrt{\frac{E}{m_p}}$
Solution
(C) ધારો કે પ્રોટોન અને ફોટોન બંનેની ઊર્જા $E$ છે.
ફોટોન માટે,ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda_{photon}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $\lambda_{photon} = \frac{hc}{E}$.
પ્રોટોન માટે,ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2} m_p v^2$ છે. પ્રોટોનનું વેગમાન $p = \sqrt{2 m_p E}$ છે.
પ્રોટોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_{proton} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2 m_p E}}$ છે.
પ્રોટોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ અને ફોટોનની તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{proton}}{\lambda_{photon}} = \frac{h / \sqrt{2 m_p E}}{hc / E} = \frac{h}{\sqrt{2 m_p E}} \times \frac{E}{hc} = \frac{E}{c \sqrt{2 m_p E}} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2 m_p}}$.
ફોટોન માટે,ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda_{photon}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $\lambda_{photon} = \frac{hc}{E}$.
પ્રોટોન માટે,ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2} m_p v^2$ છે. પ્રોટોનનું વેગમાન $p = \sqrt{2 m_p E}$ છે.
પ્રોટોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_{proton} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2 m_p E}}$ છે.
પ્રોટોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ અને ફોટોનની તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{proton}}{\lambda_{photon}} = \frac{h / \sqrt{2 m_p E}}{hc / E} = \frac{h}{\sqrt{2 m_p E}} \times \frac{E}{hc} = \frac{E}{c \sqrt{2 m_p E}} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2 m_p}}$.
0 likes
View Solution290
MediumMCQ
જો $\lambda$ અને $K$ એ અચળ દળ ધરાવતા કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ અને ગતિઊર્જા હોય,તો તે કણ માટે સાચું આલેખકીય નિરૂપણ કયું હશે?
A
B
C
D
Solution
(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને $m$ દળ ધરાવતા કણની ગતિઊર્જા $K$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $\lambda^2 = \frac{h^2}{2mK}$.
આ સમીકરણને $\frac{1}{K}$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $\frac{1}{K} = \left( \frac{2m}{h^2} \right) \lambda^2$.
આ સમીકરણ $y = cx^2$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \frac{1}{K}$,$x = \lambda$,અને $c = \frac{2m}{h^2}$ એ અચળાંક છે.
આ આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય દર્શાવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $\lambda^2 = \frac{h^2}{2mK}$.
આ સમીકરણને $\frac{1}{K}$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $\frac{1}{K} = \left( \frac{2m}{h^2} \right) \lambda^2$.
આ સમીકરણ $y = cx^2$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \frac{1}{K}$,$x = \lambda$,અને $c = \frac{2m}{h^2}$ એ અચળાંક છે.
આ આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય દર્શાવે છે.
0 likes
View Solution291
MediumMCQ
$m$ દળ ધરાવતો એક ઇલેક્ટ્રોન જેનો પ્રારંભિક વેગ $(t=0)$ $\vec{v} = v_0 \hat{i}$ $(v_0 > 0)$ છે,તે $\vec{B} = B_0 \hat{j}$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશ કરે છે. જો $t=0$ સમયે તેની પ્રારંભિક દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ હોય,તો $t$ સમય પછી તેનું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A
$\frac{\lambda_0}{\sqrt{1-\frac{e^2 B_0^2 t^2}{m^2}}}$
B
$\frac{\lambda_0}{\sqrt{1+\frac{e^2 B_0^2 t^2}{m^2}}}$
C
$\lambda_0 \sqrt{1+\frac{e^2 B_0^2 t^2}{m^2}}$
D
$\lambda_0$
Solution
(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ હંમેશા વેગ $\vec{v}$ ને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઇલેક્ટ્રોન પર કોઈ કાર્ય કરતું નથી.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ અચળ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v$ અચળ રહે છે.
જેમ ઝડપ $v$ અચળ રહે છે,તેમ વેગમાન $p = mv$ પણ અચળ રહે છે.
તેથી,દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p}$ સમય સાથે અચળ રહે છે.
આમ,$t$ સમયે તરંગલંબાઇ પ્રારંભિક તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ જેટલી જ રહેશે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ હંમેશા વેગ $\vec{v}$ ને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઇલેક્ટ્રોન પર કોઈ કાર્ય કરતું નથી.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ અચળ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v$ અચળ રહે છે.
જેમ ઝડપ $v$ અચળ રહે છે,તેમ વેગમાન $p = mv$ પણ અચળ રહે છે.
તેથી,દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p}$ સમય સાથે અચળ રહે છે.
આમ,$t$ સમયે તરંગલંબાઇ પ્રારંભિક તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ જેટલી જ રહેશે.
0 likes
View Solution292
DifficultMCQ
એક ઇલેક્ટ્રોનને $-\sigma$ સમાન પૃષ્ઠ ઘનતા ધરાવતી અનંત અવાહક શીટની નજીક સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇમાં થતો ફેરફારનો દર સમયના $n^{\text{th}}$ ઘાત સાથે વ્યસ્ત પ્રમાણમાં બદલાય છે. $n$ નું આંકડાકીય મૂલ્ય . . . . . . છે.
A
$2$
B
$3$
C
$7$
D
$9$
Solution
(A) અનંત અવાહક શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત થતો હોવાથી,તેના પર લાગતું બળ $F = eE = \frac{e\sigma}{2\varepsilon_0}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{e\sigma}{2m\varepsilon_0}$ છે,જે અચળ છે.
સમય $t$ પર ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v = at = \left(\frac{e\sigma}{2m\varepsilon_0}\right)t$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન $p = mv = m(at) = \left(\frac{e\sigma}{2\varepsilon_0}\right)t$ છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{(e\sigma / 2\varepsilon_0)t}$ છે.
તરંગલંબાઇમાં ફેરફારનો દર $\frac{d\lambda}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ \frac{2h\varepsilon_0}{e\sigma t} \right] = -\frac{2h\varepsilon_0}{e\sigma} \cdot \frac{1}{t^2}$ છે.
આમ,તરંગલંબાઇમાં ફેરફારના દરનું મૂલ્ય $t^2$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી $n = 2$.
ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત થતો હોવાથી,તેના પર લાગતું બળ $F = eE = \frac{e\sigma}{2\varepsilon_0}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{e\sigma}{2m\varepsilon_0}$ છે,જે અચળ છે.
સમય $t$ પર ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v = at = \left(\frac{e\sigma}{2m\varepsilon_0}\right)t$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન $p = mv = m(at) = \left(\frac{e\sigma}{2\varepsilon_0}\right)t$ છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{(e\sigma / 2\varepsilon_0)t}$ છે.
તરંગલંબાઇમાં ફેરફારનો દર $\frac{d\lambda}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ \frac{2h\varepsilon_0}{e\sigma t} \right] = -\frac{2h\varepsilon_0}{e\sigma} \cdot \frac{1}{t^2}$ છે.
આમ,તરંગલંબાઇમાં ફેરફારના દરનું મૂલ્ય $t^2$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી $n = 2$.
0 likes
View Solution293
MediumMCQ
એક ફોટોન અને એક ઇલેક્ટ્રોન (દળ $m$) સમાન ઉર્જા $E$ ધરાવે છે. તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\left(\frac{\lambda_{\text{photon}}}{\lambda_{\text{electron}}}\right)$ કેટલો થાય? ($c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે)
A
$\sqrt{E / 2m}$
B
$c \sqrt{2mE}$
C
$c \sqrt{\frac{2m}{E}}$
D
$\frac{1}{c} \sqrt{E / 2m}$
Solution
(C) ફોટોન માટે,ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda_{\text{photon}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $\lambda_{\text{photon}} = \frac{hc}{E}$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_{\text{electron}} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_{\text{photon}}}{\lambda_{\text{electron}}} = \frac{hc/E}{h/\sqrt{2mE}} = \frac{hc}{E} \times \frac{\sqrt{2mE}}{h} = c \frac{\sqrt{2mE}}{E} = c \sqrt{\frac{2mE}{E^2}} = c \sqrt{\frac{2m}{E}}$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_{\text{electron}} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_{\text{photon}}}{\lambda_{\text{electron}}} = \frac{hc/E}{h/\sqrt{2mE}} = \frac{hc}{E} \times \frac{\sqrt{2mE}}{h} = c \frac{\sqrt{2mE}}{E} = c \sqrt{\frac{2mE}{E^2}} = c \sqrt{\frac{2m}{E}}$.
0 likes
View Solution294
MediumMCQ
$m_0$ સ્થિર દળ ધરાવતો એક પદાર્થ પ્રકાશના વેગ $C$ થી ગતિ કરે છે. તો તેની સાથે સંકળાયેલ ડી$-$બ્રોગ્લી તરંગની તરંગલંબાઈ કેટલી હશે?
A
$\frac{h}{m_0 C}$
B
શૂન્ય
C
$\infty$
D
$\frac{m_0 C}{h}$
Solution
(B) $v$ વેગથી ગતિ કરતા કણનું સાપેક્ષવાદી દળ $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{C^2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કણ પ્રકાશના વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે $v = C$ થાય.
આ કિંમત દળના સૂત્રમાં મૂકતા: $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{C^2}{C^2}}} = \frac{m_0}{\sqrt{1 - 1}} = \frac{m_0}{0} = \infty$.
ડી$-$બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\lambda = \frac{h}{\infty \cdot C} = 0$.
તેથી,કણ સાથે સંકળાયેલ ડી$-$બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $0$ છે.
જ્યારે કણ પ્રકાશના વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે $v = C$ થાય.
આ કિંમત દળના સૂત્રમાં મૂકતા: $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{C^2}{C^2}}} = \frac{m_0}{\sqrt{1 - 1}} = \frac{m_0}{0} = \infty$.
ડી$-$બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\lambda = \frac{h}{\infty \cdot C} = 0$.
તેથી,કણ સાથે સંકળાયેલ ડી$-$બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $0$ છે.
0 likes
View Solution295
MediumMCQ
એક પ્રોટોનને $100 \ V$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે. સમાન દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ મેળવવા માટે,બે વાર આયનીકૃત $_4^8 Be$ ન્યુક્લિયસ પર કેટલો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત લાગુ પાડવો જોઈએ ($V$ માં)?
A
$1.25$
B
$12.5$
C
$0.625$
D
$6.25$
Solution
(D) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત કણની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રોટોન માટે,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V_p}}$.
બે વાર આયનીકૃત $^8_4 Be$ ન્યુક્લિયસ માટે,દળ $m_{Be} = 8m_p$ અને વિદ્યુતભાર $q_{Be} = 2q_p$ છે. તેથી,$\lambda_{Be} = \frac{h}{\sqrt{2(8m_p)(2q_p)V_{Be}}}$.
આપેલ છે કે $\lambda_p = \lambda_{Be}$,તેથી છેદને સરખાવતા:
$2m_p q_p V_p = 2(8m_p)(2q_p)V_{Be}$.
$m_p q_p V_p = 16 m_p q_p V_{Be}$.
$V_p = 16 V_{Be}$.
$V_p = 100 \ V$ આપેલ હોવાથી,$100 = 16 V_{Be}$.
$V_{Be} = \frac{100}{16} = 6.25 \ V$.
પ્રોટોન માટે,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V_p}}$.
બે વાર આયનીકૃત $^8_4 Be$ ન્યુક્લિયસ માટે,દળ $m_{Be} = 8m_p$ અને વિદ્યુતભાર $q_{Be} = 2q_p$ છે. તેથી,$\lambda_{Be} = \frac{h}{\sqrt{2(8m_p)(2q_p)V_{Be}}}$.
આપેલ છે કે $\lambda_p = \lambda_{Be}$,તેથી છેદને સરખાવતા:
$2m_p q_p V_p = 2(8m_p)(2q_p)V_{Be}$.
$m_p q_p V_p = 16 m_p q_p V_{Be}$.
$V_p = 16 V_{Be}$.
$V_p = 100 \ V$ આપેલ હોવાથી,$100 = 16 V_{Be}$.
$V_{Be} = \frac{100}{16} = 6.25 \ V$.
0 likes
View Solution296
DifficultMCQ
એક પ્રોટોન અને એક $\alpha-$કણને $100 \ V$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે. પ્રોટોન સાથે સંકળાયેલ તરંગલંબાઇ અને $\alpha-$કણ સાથે સંકળાયેલ તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?
A
$\sqrt{2}: 1$
B
$2: 1$
C
$2 \sqrt{2}: 1$
D
$\frac{1}{2 \sqrt{2}}: 1$
Solution
(C) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mQV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h$ અને $V$ બંને કણો માટે અચળ હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mQ}}$ મળે.
પ્રોટોન માટે,$m_p = m$ અને $Q_p = e$. $\alpha-$કણ માટે,$m_\alpha = 4m$ અને $Q_\alpha = 2e$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{m_\alpha Q_\alpha}{m_p Q_p}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{4m \times 2e}{m \times e}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $2\sqrt{2} : 1$ છે.
અહીં $h$ અને $V$ બંને કણો માટે અચળ હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mQ}}$ મળે.
પ્રોટોન માટે,$m_p = m$ અને $Q_p = e$. $\alpha-$કણ માટે,$m_\alpha = 4m$ અને $Q_\alpha = 2e$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{m_\alpha Q_\alpha}{m_p Q_p}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{4m \times 2e}{m \times e}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $2\sqrt{2} : 1$ છે.
0 likes
View Solution297
DifficultMCQ
$10,000 \ V$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા એક ઇલેક્ટ્રોનને પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે. તેની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ આશરે કેટલી હશે? $(m_{e} = 9 \times 10^{-31} \ kg)$
A
$12.2 \times 10^{-13} \ m$
B
$12.2 \times 10^{-12} \ m$
C
$12.2 \times 10^{-14} \ m$
D
$12.2 \ nm$
Solution
(B) $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring{A}$.
અહીં $V = 10,000 \ V$ આપેલ છે,તેથી $\sqrt{V} = \sqrt{10,000} = 100$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{12.27}{100} \ \mathring{A} = 0.1227 \ \mathring{A}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$,તેથી $\lambda = 0.1227 \times 10^{-10} \ m = 1.227 \times 10^{-11} \ m$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $12.2 \times 10^{-12} \ m$ મળે છે.
અહીં $V = 10,000 \ V$ આપેલ છે,તેથી $\sqrt{V} = \sqrt{10,000} = 100$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{12.27}{100} \ \mathring{A} = 0.1227 \ \mathring{A}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$,તેથી $\lambda = 0.1227 \times 10^{-10} \ m = 1.227 \times 10^{-11} \ m$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $12.2 \times 10^{-12} \ m$ મળે છે.
0 likes
View Solution298
MediumMCQ
$200 \ eV$ ગતિઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈની ગણતરી કરો. [ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $= 1 \times 10^{-30} \ kg$,ઇલેક્ટ્રોન પરનો વીજભાર $= 1.6 \times 10^{-19} \ C$,પ્લાન્કનો અચળાંક $(h) = 6.6 \times 10^{-34} \ Js$].
A
$9.60 \times 10^{-11} \ m$
B
$8.25 \times 10^{-11} \ m$
C
$6.25 \times 10^{-11} \ m$
D
$5.00 \times 10^{-11} \ m$
Solution
(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે.
આપેલ:
ગતિઊર્જા $K = 200 \ eV = 200 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 3.2 \times 10^{-17} \ J$.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 1 \times 10^{-30} \ kg$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.6 \times 10^{-34} \ Js$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times (1 \times 10^{-30}) \times (3.2 \times 10^{-17})}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{6.4 \times 10^{-47}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{64 \times 10^{-48}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{8 \times 10^{-24}}$
$\lambda = 0.825 \times 10^{-10} \ m = 8.25 \times 10^{-11} \ m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
આપેલ:
ગતિઊર્જા $K = 200 \ eV = 200 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 3.2 \times 10^{-17} \ J$.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 1 \times 10^{-30} \ kg$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.6 \times 10^{-34} \ Js$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times (1 \times 10^{-30}) \times (3.2 \times 10^{-17})}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{6.4 \times 10^{-47}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{64 \times 10^{-48}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{8 \times 10^{-24}}$
$\lambda = 0.825 \times 10^{-10} \ m = 8.25 \times 10^{-11} \ m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
0 likes
View Solution299
EasyMCQ
ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપમાં વપરાતા ઇલેક્ટ્રોનને $25 \ kV$ ના વોલ્ટેજ દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે. જો વોલ્ટેજ વધારીને $100 \ kV$ કરવામાં આવે,તો ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ કેટલી થશે?
A
$2$ ગણી થશે
B
$\frac{1}{2}$ ગણી થશે
C
$4$ ગણી થશે
D
$\frac{1}{4}$ ગણી થશે
Solution
(B) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \mathring{A}$ છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
અહીં પ્રારંભિક વોલ્ટેજ $V_1 = 25 \ kV$ અને અંતિમ વોલ્ટેજ $V_2 = 100 \ kV$ છે.
ધારો કે $\lambda_1$ એ પ્રારંભિક તરંગલંબાઇ છે અને $\lambda_2$ એ અંતિમ તરંગલંબાઇ છે.
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \sqrt{\frac{25}{100}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,નવી તરંગલંબાઇ $\lambda_2 = \frac{1}{2} \lambda_1$ થશે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
અહીં પ્રારંભિક વોલ્ટેજ $V_1 = 25 \ kV$ અને અંતિમ વોલ્ટેજ $V_2 = 100 \ kV$ છે.
ધારો કે $\lambda_1$ એ પ્રારંભિક તરંગલંબાઇ છે અને $\lambda_2$ એ અંતિમ તરંગલંબાઇ છે.
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \sqrt{\frac{25}{100}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,નવી તરંગલંબાઇ $\lambda_2 = \frac{1}{2} \lambda_1$ થશે.
0 likes
View Solution300
DifficultMCQ
$27^{\circ} C$ તાપમાને ન્યુટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ છે. $927^{\circ} C$ તાપમાને તેની તરંગલંબાઈ કેટલી હશે?
A
$\lambda / 2$
B
$\lambda / 3$
C
$\lambda / 4$
D
$\lambda / 9$
Solution
(A) $T$ તાપમાને $m$ દળ ધરાવતા કણની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h$,$m$ અને $k$ અચળાંકો હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$ થાય.
આપેલ છે કે $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ અને $T_2 = 927^{\circ} C = 927 + 273 = 1200 \ K$.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$,તેથી $\frac{\lambda_2}{\lambda} = \sqrt{\frac{300}{1200}}$.
$\frac{\lambda_2}{\lambda} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{2}$.
અહીં $h$,$m$ અને $k$ અચળાંકો હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$ થાય.
આપેલ છે કે $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ અને $T_2 = 927^{\circ} C = 927 + 273 = 1200 \ K$.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$,તેથી $\frac{\lambda_2}{\lambda} = \sqrt{\frac{300}{1200}}$.
$\frac{\lambda_2}{\lambda} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{2}$.
0 likes
View SolutionDual Nature of Radiation and matter — Matter Waves and de Broglie Wavelength · Frequently Asked Questions
1Are these Dual Nature of Radiation and matter questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Dual Nature of Radiation and matter Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.