Resistance of wire, Resistivity and Conductivity Questions in Hindi

(C) तार का प्रतिरोध $R$,$R = \frac{\rho \ell}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आयतन $V = A \ell$ स्थिर रहता है,हम $A = \frac{V}{\ell}$ लिख सकते हैं।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $R = \frac{\rho \ell^2}{V}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto \ell^2$ है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{\Delta R}{R} = 2 \frac{\Delta \ell}{\ell}$ प्राप्त होता है।
लंबाई में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta \ell}{\ell} \times 100 = 0.5\%$ दिया गया है।
अतः,प्रतिरोध में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 2 \times 0.5\% = 1\%$ है।

(D) आलेख $\ln R(T)$ और $1/T^2$ के बीच ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा दर्शाता है।
सीधी रेखा का समीकरण $y = mx + c$ होता है।
यहाँ,$y = \ln R(T)$ और $x = 1/T^2$ है।
अतः,$\ln R(T) = m(1/T^2) + c$,जहाँ $m$ ऋणात्मक ढाल है और $c$ अंतःखंड है।
मान लीजिए कि $1/T^2 = 0$ पर अंतःखंड $\ln R_0$ है। तब $\ln R(T) = -k(1/T^2) + \ln R_0$,जहाँ $k$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
इसे $\ln R(T) = \ln R_0 - k/T^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का चरघातांकी (exponential) लेने पर,हमें $R(T) = R_0 e^{-k/T^2}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,यदि हम $k = T_0^2$ रखें,तो हमें $R(T) = R_0 e^{-T_0^2/T^2}$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों और ऋणात्मक ढाल को देखते हुए,विकल्प $D$ गणितीय रूप से सबसे निकटतम रूप है।

(D) दो गोलों के बीच $x$ त्रिज्या और $dx$ मोटाई वाले एक गोलीय कवच पर विचार करें।
इस कवच का क्षेत्रफल $A = 4\pi x^2$ है।
इस पतले कवच का प्रतिरोध $dR = \rho \frac{dx}{A} = \rho \frac{dx}{4\pi x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
गोलों के बीच कुल प्रतिरोध $R$ ज्ञात करने के लिए,हम $r = a$ से $r = b$ तक समाकलन करते हैं:
$R = \int_a^b \frac{\rho}{4\pi x^2} dx$.
$R = \frac{\rho}{4\pi} \int_a^b x^{-2} dx$.
$R = \frac{\rho}{4\pi} \left[ -\frac{1}{x} \right]_a^b$.
$R = \frac{\rho}{4\pi} \left( -\frac{1}{b} - (-\frac{1}{a}) \right) = \frac{\rho}{4\pi} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$.

(D) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $m = A \cdot l \cdot d$ है (जहाँ $d$ घनत्व है),इसलिए $A = \frac{m}{l \cdot d}$ होता है।
प्रतिरोध के सूत्र में $A$ का मान रखने पर: $R = \rho \frac{l^2 \cdot d}{m}$।
तांबे के लिए $\rho$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto \frac{l^2}{m}$।
दिए गए अनुपात $m_1 : m_2 : m_3 = 1 : 3 : 5$ और $l_1 : l_2 : l_3 = 5 : 3 : 1$ का उपयोग करके,प्रतिरोधों का अनुपात:
$R_1 : R_2 : R_3 = \frac{5^2}{1} : \frac{3^2}{3} : \frac{1^2}{5} = 25 : 3 : 0.2$।
इसे पूर्णांक में बदलने के लिए $5$ से गुणा करने पर:
$R_1 : R_2 : R_3 = 125 : 15 : 1$।

(C) किसी चालक का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A_{cross}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ धारा की दिशा में लंबाई है,और $A_{cross}$ धारा की दिशा के लंबवत अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
प्लेट $A$ के लिए,लंबाई $L_A = \ell$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_A = \ell \times t$ है। अतः,$R_A = \rho \frac{\ell}{\ell \times t} = \frac{\rho}{t}$।
प्लेट $B$ के लिए,लंबाई $L_B = 2\ell$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_B = 2\ell \times t$ है। अतः,$R_B = \rho \frac{2\ell}{2\ell \times t} = \frac{\rho}{t}$।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $R_A = R_B$ प्राप्त होता है।
इसलिए,अनुपात $(R_A/R_B) = 1/1$ है।

(D) मान लीजिए कि $0\,^{\circ}C$ पर दोनों चालकों का प्रतिरोध $R_0$ है।
$t_1\,^{\circ}C$ पर पहले चालक का प्रतिरोध $R_1 = R_0(1 + \alpha_1 t_1)$ द्वारा दिया जाता है।
$t_2\,^{\circ}C$ पर दूसरे चालक का प्रतिरोध $R_2 = R_0(1 + \alpha_2 t_2)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $R_1 = R_2,$ इसलिए:
$R_0(1 + \alpha_1 t_1) = R_0(1 + \alpha_2 t_2)$
दोनों पक्षों को $R_0$ से विभाजित करने पर:
$1 + \alpha_1 t_1 = 1 + \alpha_2 t_2$
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$\alpha_1 t_1 = \alpha_2 t_2$
अतः,तापमान गुणांकों का अनुपात है:
$\frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{t_2}{t_1}$

(B) $T$ तापमान पर चालक का प्रतिरोध $R_T = R_0(1 + \alpha T)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_0$ $0\,^{\circ}\text{C}$ पर प्रतिरोध है।
दिया गया है $\alpha = 0.00125\,^{\circ}\text{C}^{-1}$.
$T_1 = 25\,^{\circ}\text{C}$ पर,$R_1 = 1\,\Omega$. अतः,$1 = R_0(1 + 0.00125 \times 25) = R_0(1 + 0.03125) = R_0(1.03125)$.
इस प्रकार,$R_0 = \frac{1}{1.03125} \approx 0.9697\,\Omega$.
हमें $T_2$ ज्ञात करना है जहाँ $R_2 = 1.2\,\Omega$.
$R_2 = R_0(1 + \alpha T_2)$ का उपयोग करते हुए,$1.2 = R_0(1 + 0.00125 T_2)$.
$R_0$ का मान रखने पर: $1.2 = \frac{1}{1.03125} (1 + 0.00125 T_2)$.
$1.2 \times 1.03125 = 1 + 0.00125 T_2$.
$1.2375 = 1 + 0.00125 T_2$.
$0.2375 = 0.00125 T_2$.
$T_2 = \frac{0.2375}{0.00125} = 190\,^{\circ}\text{C}$.

(C) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{\ell}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार को खींचने पर उसका आयतन $V = A \ell$ स्थिर रहता है,इसलिए $A = \frac{V}{\ell}$ होगा।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R = \rho \frac{\ell^2}{V}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $R \propto \ell^2$ है।
दिया गया है कि लंबाई में $10\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए नई लंबाई $\ell_2 = 1.1 \ell_1$ होगी।
अतः,नए प्रतिरोध और मूल प्रतिरोध का अनुपात $\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{\ell_2}{\ell_1}\right)^2 = (1.1)^2 = 1.21$ होगा।
इसका अर्थ है कि $R_2 = 1.21 R_1$ है।
प्रतिरोध में प्रतिशत वृद्धि $\Delta R \% = \frac{R_2 - R_1}{R_1} \times 100\% = (1.21 - 1) \times 100\% = 21\%$ होगी।

(C) तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
तीनों तारों के लिए प्रतिरोध इस प्रकार हैं:
$R_1 = \rho \frac{l}{A}$
$R_2 = \rho \frac{2l}{A/2} = 4 \rho \frac{l}{A} = 4R_1$
$R_3 = \rho \frac{l/2}{2A} = \frac{1}{4} \rho \frac{l}{A} = 0.25R_1$
प्रतिरोधों की तुलना करने पर,$R_3 < R_1 < R_2$ प्राप्त होता है।
अतः,$l/2$ लंबाई और $2A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले तार के लिए प्रतिरोध न्यूनतम है।

(B) तार का प्रतिरोध सूत्र $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ पदार्थ की प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
प्रतिरोधकता $\rho$ पदार्थ का एक आंतरिक गुण है और यह तार की ज्यामिति या आकार पर निर्भर नहीं करती है।
जब तार को मोड़ा जाता है,तो उसकी लंबाई $L$,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ और प्रतिरोधकता $\rho$ अपरिवर्तित रहते हैं।
इसलिए,विद्युत प्रतिरोध $R$ समान रहता है।
यद्यपि कारण का कथन एक सत्य भौतिक तथ्य है (प्रतिरोध,प्रतिरोधकता के समानुपाती होता है),यह यह नहीं समझाता है कि तार को मोड़ने से प्रतिरोध क्यों नहीं बदलता है (जो ज्यामितीय मापदंडों के स्थिर रहने के कारण होता है)। अतः,दोनों सही हैं,लेकिन कारण,कथन की सही व्याख्या नहीं है।

(C) दिया गया है:
कमरे का तापमान,$T = 27.0^{\circ} C$
कमरे के तापमान पर प्रतिरोध,$R = 100\; \Omega$
अंतिम प्रतिरोध,$R_1 = 117\; \Omega$
तापमान गुणांक,$\alpha = 1.70 \times 10^{-4}\; ^{\circ} C^{-1}$
प्रतिरोध की तापमान निर्भरता का सूत्र है:
$R_1 = R[1 + \alpha(T_1 - T)]$
अंतिम तापमान $T_1$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$T_1 - T = \frac{R_1 - R}{R \alpha}$
मान रखने पर:
$T_1 - 27 = \frac{117 - 100}{100 \times 1.70 \times 10^{-4}}$
$T_1 - 27 = \frac{17}{1.70 \times 10^{-2}}$
$T_1 - 27 = \frac{17}{0.017} = 1000$
$T_1 = 1000 + 27 = 1027^{\circ} C$
अतः,तत्व का तापमान $1027^{\circ} C$ है।

(D) दिया गया है:
तार की लंबाई,$l = 15 \; m$
तार के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल,$A = 6.0 \times 10^{-7} \; m^{2}$
तार का प्रतिरोध,$R = 5.0 \; \Omega$
प्रतिरोध का सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है।
प्रतिरोधकता के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\rho = \frac{R \times A}{l}$
मान रखने पर: $\rho = \frac{5.0 \times 6.0 \times 10^{-7}}{15}$
$\rho = \frac{30 \times 10^{-7}}{15} = 2 \times 10^{-7} \; \Omega \, m$
अतः,पदार्थ की प्रतिरोधकता $2 \times 10^{-7} \; \Omega \, m$ है।

(A) दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान,$T_{1} = 27.5^{\circ} C$
$T_{1}$ पर प्रतिरोध,$R_{1} = 2.1\; \Omega$
अंतिम तापमान,$T_{2} = 100^{\circ} C$
$T_{2}$ पर प्रतिरोध,$R_{2} = 2.7\; \Omega$
प्रतिरोधकता का ताप गुणांक $\alpha$ ज्ञात करने का सूत्र:
$\alpha = \frac{R_{2} - R_{1}}{R_{1}(T_{2} - T_{1})}$
मान रखने पर:
$\alpha = \frac{2.7 - 2.1}{2.1(100 - 27.5)}$
$\alpha = \frac{0.6}{2.1 \times 72.5}$
$\alpha = \frac{0.6}{152.25}$
$\alpha \approx 0.0039^{\circ} C^{-1}$

(B) आपूर्ति वोल्टेज,$V = 230 \; V$.
प्रारंभिक धारा,$I_1 = 3.2 \; A$.
प्रारंभिक प्रतिरोध $R_1 = \frac{V}{I_1} = \frac{230}{3.2} = 71.875 \; \Omega$.
स्थिर अवस्था में धारा,$I_2 = 2.8 \; A$.
स्थिर अवस्था में प्रतिरोध $R_2 = \frac{V}{I_2} = \frac{230}{2.8} \approx 82.143 \; \Omega$.
प्रतिरोध का तापमान गुणांक,$\alpha = 1.70 \times 10^{-4} \; ^{\circ}C^{-1}$.
प्रारंभिक तापमान,$T_1 = 27.0^{\circ} C$.
सूत्र $R_2 = R_1[1 + \alpha(T_2 - T_1)]$ का उपयोग करने पर:
$T_2 - T_1 = \frac{R_2 - R_1}{\alpha R_1}$.
$T_2 - 27 = \frac{82.143 - 71.875}{1.70 \times 10^{-4} \times 71.875}$.
$T_2 - 27 = \frac{10.268}{0.01221875} \approx 840.35$.
$T_2 = 840.35 + 27 = 867.35^{\circ} C \approx 867.5^{\circ} C$।

(A) माना एल्युमिनियम तार की प्रतिरोधकता,लंबाई,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल,घनत्व और द्रव्यमान क्रमशः $\rho_1, l_1, A_1, d_1, m_1$ हैं और तांबे के तार के लिए $\rho_2, l_2, A_2, d_2, m_2$ हैं।
दिया गया है: $l_1 = l_2 = l$ और $R_1 = R_2 = R$.
चूंकि $R = \rho \frac{l}{A}$,इसलिए $\rho_1 \frac{l}{A_1} = \rho_2 \frac{l}{A_2}$,जिसका अर्थ है $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{2.63 \times 10^{-8}}{1.72 \times 10^{-8}} \approx 1.529$.
तार का द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = A \cdot l \cdot d$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव्यमान का अनुपात लेने पर: $\frac{m_1}{m_2} = \frac{A_1 l d_1}{A_2 l d_2} = \left( \frac{A_1}{A_2} \right) \left( \frac{d_1}{d_2} \right)$.
मान रखने पर: $\frac{m_1}{m_2} = \left( \frac{2.63}{1.72} \right) \times \left( \frac{2.7}{8.9} \right) \approx 1.529 \times 0.303 \approx 0.463$.
चूंकि $\frac{m_1}{m_2} < 1$,इसलिए $m_1 < m_2$,जिसका अर्थ है कि एल्युमिनियम का तार हल्का है।
एल्युमिनियम को ओवरहेड पावर केबल के लिए प्राथमिकता दी जाती है क्योंकि समान प्रतिरोध के लिए यह तांबे की तुलना में बहुत हल्का होता है,जिससे सपोर्टिंग टावरों पर यांत्रिक तनाव कम हो जाता है।

(A) धातुओं की मिश्रधातुओं की प्रतिरोधकता आमतौर पर उनके घटक धातुओं की तुलना में अधिक होती है क्योंकि मिश्रधातु की अव्यवस्थित संरचना इलेक्ट्रॉन प्रकीर्णन को बढ़ाती है।
$(b)$ मिश्रधातुओं का प्रतिरोध का ताप गुणांक शुद्ध धातुओं की तुलना में आमतौर पर बहुत कम होता है,जो उन्हें मानक प्रतिरोधक बनाने के लिए उपयोगी बनाता है।
$(c)$ मिश्रधातु मैंगनीन की प्रतिरोधकता तापमान में वृद्धि के साथ लगभग स्वतंत्र रहती है,यही कारण है कि इसका उपयोग मानक प्रतिरोधक बनाने के लिए किया जाता है।
$(d)$ एक सामान्य कुचालक की प्रतिरोधकता धातु की तुलना में $10^{22}$ के क्रम के कारक से अधिक होती है।

(N/A) चालक में विद्युत आवेश के प्रवाह का विरोध करने के गुण को विद्युत प्रतिरोध कहते हैं।
ओम के नियम से,$R = \frac{V}{I}$। इसका $SI$ मात्रक $\frac{\text{Volt}}{\text{Ampere}} = \text{ohm} (\Omega)$ है। इसका विमीय सूत्र $[M^1 L^2 T^{-3} A^{-2}]$ है।
प्रतिरोध निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
$1$. चालक की लंबाई $(l)$: $R \propto l$
$2$. चालक का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A)$: $R \propto \frac{1}{A}$
$3$. पदार्थ की प्रकृति (विशिष्ट प्रतिरोध,$\rho$)
$4$. चालक का तापमान
चित्र $(a)$ में दिखाए गए अनुसार $l$ लंबाई और $A$ क्षेत्रफल वाले एक चालक पर विचार करें।
ऐसे दो समान आयताकार ब्लॉक चित्र $(b)$ में दिखाए गए हैं। यहाँ,संयोजन की कुल लंबाई $2l$ होगी।
ब्लॉकों के संयोजन से बहने वाली विद्युत धारा प्रत्येक ब्लॉक से बहने वाली धारा के बराबर होगी। इसलिए,प्रत्येक ब्लॉक के सिरों के बीच विभवांतर $V$ होगा। अतः,संयोजन के सिरों के बीच कुल विभवांतर $2V$ होगा। मान लीजिए कि ब्लॉकों के संयोजन का प्रतिरोध $R_C$ है,तो ओम के नियम से:
$R_C = \frac{2V}{I} = 2R$
चूंकि $\frac{V}{I} = R$ प्रत्येक ब्लॉक का प्रतिरोध है,हम देखते हैं कि चालक का प्रतिरोध उसकी लंबाई के समानुपाती होता है $(R \propto l)$।

(N/A) किसी चालक का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ पदार्थ की प्रतिरोधकता है,$L$ चालक की लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
$1$. लंबाई $(L)$ पर निर्भरता: प्रतिरोध $R$ चालक की लंबाई $L$ के सीधे समानुपाती होता है $(R \propto L)$। इसका अर्थ है कि यदि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल स्थिर रखते हुए चालक की लंबाई बढ़ाई जाती है,तो प्रतिरोध बढ़ जाता है।
$2$. क्षेत्रफल $(A)$ पर निर्भरता: प्रतिरोध $R$ चालक के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(R \propto \frac{1}{A})$। इसका अर्थ है कि यदि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल बढ़ाया जाता है (उदाहरण के लिए,तार की मोटाई बढ़ाकर),तो प्रतिरोध कम हो जाता है।

(N/A) कंडक्टेंस (चालकता) को किसी चालक के विद्युत प्रतिरोध के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह उस सुगमता को दर्शाता है जिसके साथ विद्युत धारा किसी पदार्थ से होकर प्रवाहित होती है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार दिया जाता है: $G = \frac{1}{R}$
जहाँ $G$ कंडक्टेंस है और $R$ प्रतिरोध है।
कंडक्टेंस का $SI$ मात्रक सीमेंस $(S)$ है,जो $\Omega^{-1}$ (ओम इनवर्स) या म्हो (mho) के बराबर भी होता है।

(N/A) किसी दिए गए तापमान पर,पदार्थ का प्रतिरोध $R$ इस प्रकार दिया जाता है:
$R = \rho \frac{l}{A}$
अतः,प्रतिरोधकता $\rho$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$\rho = \frac{RA}{l}$
परिभाषा: इकाई लंबाई और इकाई अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल वाले चालक के प्रतिरोध को प्रतिरोधकता या विशिष्ट प्रतिरोध कहा जाता है।
प्रतिरोधकता को प्रभावित करने वाले कारक: प्रतिरोधकता का मान चालक के पदार्थ की प्रकृति,तापमान और दबाव पर निर्भर करता है।
नोट: यह चालक के आयामों (लंबाई या क्षेत्रफल) पर निर्भर नहीं करता है।
मात्रक: इसका $SI$ मात्रक $\Omega \cdot m$ (ओम-मीटर) है।
विमीय सूत्र: $[M^{1} L^{3} T^{-3} A^{-2}]$.

(N/A) प्रतिरोधकता के व्युत्क्रम को चालकता कहा जाता है। इसे $\sigma$ प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है।
$\sigma = \frac{1}{\rho} = \frac{l}{RA}$
चालकता का $SI$ मात्रक $\Omega^{-1} m^{-1}$ या $S m^{-1}$ (सीमेंस प्रति मीटर) है।
चालकता का विमीय सूत्र $[M^{-1} L^{-3} T^{3} A^{2}]$ है।
चालकता का मान पदार्थ की प्रकृति,तापमान और दबाव पर निर्भर करता है।
यह चालक के भौतिक आयामों (लंबाई या अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल) पर निर्भर नहीं करता है।

(N/A) विद्युत प्रतिरोध किसी चालक का वह गुण है जिसके कारण वह अपने से होकर प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा का विरोध करता है। इसे चालक के सिरों पर लगाए गए विभवांतर $(V)$ और उसमें प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा $(I)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे $R = V/I$ द्वारा दिया जाता है। प्रतिरोध का $SI$ मात्रक ओम $(\Omega)$ है।
किसी चालक का प्रतिरोध निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
$1$. चालक की लंबाई $(l)$: प्रतिरोध लंबाई के सीधे समानुपाती होता है $(R \propto l)$।
$2$. अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A)$: प्रतिरोध अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(R \propto 1/A)$।
$3$. पदार्थ की प्रकृति: प्रतिरोध पदार्थ की प्रतिरोधकता $(\rho)$ पर निर्भर करता है।
$4$. तापमान: अधिकांश चालकों के लिए, तापमान बढ़ने पर प्रतिरोध बढ़ता है।

(N/A) धातुओं की चालकता का सूत्र: $\sigma = \frac{n e^{2} \tau}{m}$ है।
यहाँ,$n$ (आवेश वाहक घनत्व),$e$ (इलेक्ट्रॉन का आवेश),और $m$ (इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान) एक दी गई धातु के लिए स्थिर हैं।
इसलिए,$\sigma \propto \tau$,जहाँ $\tau$ विश्रांति काल (relaxation time) है।
तापमान में वृद्धि के साथ,जाली (lattice) आयनों के तापीय कंपन बढ़ जाते हैं,जिससे इलेक्ट्रॉनों की आयनों के साथ टक्कर अधिक बार होती है। इसके कारण विश्रांति काल $(\tau)$ कम हो जाता है।
चूंकि $\sigma \propto \tau$,इसलिए $\tau$ में कमी आने से चालकता $(\sigma)$ कम हो जाती है।
प्रतिरोधकता को $\rho = \frac{1}{\sigma}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। चूंकि $\rho \propto \frac{1}{\tau}$,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है और $\tau$ घटता है,धातु की प्रतिरोधकता $(\rho)$ बढ़ जाती है।

(A) एक आदर्श चालक वह पदार्थ है जो विद्युत धारा को बिना किसी प्रतिरोध के प्रवाहित होने देता है।
प्रतिरोध $R$ और प्रतिरोधकता $\rho$ के बीच संबंध $R = \rho \frac{L}{A}$ है,जहाँ $L$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
एक आदर्श चालक के लिए,प्रतिरोध $R = 0$ होता है।
इसलिए,किसी भी निश्चित लंबाई और क्षेत्रफल के लिए प्रतिरोधकता $\rho$ का मान $0$ होना चाहिए।

(B) पदार्थ की प्रतिरोधकता तापमान पर निर्भर करती है।
चालकों के लिए,तापमान में वृद्धि के साथ इलेक्ट्रॉन-फोनोन प्रकीर्णन (scattering) बढ़ने के कारण प्रतिरोधकता बढ़ती है।
अर्धचालकों और कुचालकों के लिए,तापमान के साथ आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉन और होल) की संख्या तेजी से बढ़ती है,जो बढ़े हुए प्रकीर्णन के प्रभाव से अधिक प्रभावी होती है।
इसलिए,तापमान बढ़ने पर अर्धचालकों और कुचालकों की प्रतिरोधकता घटती है।

(N/A) पदार्थ की प्रतिरोधकता उसके तापमान पर निर्भर करती है। विभिन्न पदार्थों की तापमान पर निर्भरता अलग-अलग होती है।
धातुओं के लिए,तापमान बढ़ने के साथ प्रतिरोधकता बढ़ती है।
अर्धचालकों के लिए,तापमान बढ़ने के साथ प्रतिरोधकता घटती है।
तापमान की एक सीमित सीमा के लिए जो बहुत अधिक नहीं है,धात्विक चालक की प्रतिरोधकता लगभग निम्नलिखित अनुभवजन्य सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\rho_{T} = \rho_{0} [1 + \alpha (T - T_{0})]$
जहाँ:
$\rho_{T} =$ तापमान $T$ पर प्रतिरोधकता
$\rho_{0} =$ संदर्भ तापमान $T_{0}$ पर प्रतिरोधकता
$\alpha =$ प्रतिरोधकता का तापमान गुणांक
$\alpha$ की इकाई $(^{\circ}C)^{-1}$ या $(K)^{-1}$ है।
धातुओं के लिए $\alpha$ का मान धनात्मक होता है,जबकि अर्धचालकों के लिए $\alpha$ ऋणात्मक होता है।

(N/A) $1$. धातुओं के लिए: तापमान $T$ पर प्रतिरोधकता $\rho_T$ को $\rho_T = \rho_0 [1 + \alpha(T - T_0)]$ द्वारा दिया जाता है। तापमान की एक सीमित सीमा के लिए, यह ग्राफ एक सीधी रेखा है। बहुत कम तापमान पर, ग्राफ रैखिकता से विचलित हो जाता है और तांबे के लिए दी गई आकृति में दिखाए अनुसार गैर-रैखिक व्यवहार प्रदर्शित करता है।
$2$. मिश्र धातुओं के लिए: निक्रोम, मैंगनीन और कॉन्स्टेंटन जैसी मिश्र धातुओं में शुद्ध धातुओं की तुलना में बहुत अधिक प्रतिरोधकता होती है। उनकी प्रतिरोधकता तापमान पर बहुत कम निर्भर करती है, जिसके परिणामस्वरूप लगभग सपाट, थोड़ी बढ़ती हुई सीधी रेखा का ग्राफ प्राप्त होता है।
$3$. अर्धचालकों के लिए: अर्धचालकों की प्रतिरोधकता तापमान में वृद्धि के साथ तेजी से (घातांकीय रूप से) घटती है। यह संबंध $\rho_T = \rho_0 e^{E_g / k_B T}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $E_g$ बैंड गैप ऊर्जा है। इसका ग्राफ नीचे की ओर झुकता हुआ वक्र होता है।

(N/A) पदार्थ की चालकता $\sigma = \frac{n e^{2} \tau}{m}$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिरोधकता $\rho$,चालकता का व्युत्क्रम है,इसलिए $\rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{m}{n e^{2} \tau}$।
चूंकि $m$ (इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान) और $e$ (इलेक्ट्रॉन का आवेश) स्थिरांक हैं,इसलिए $\rho \propto \frac{1}{n}$ और $\rho \propto \frac{1}{\tau}$।
इस प्रकार,प्रतिरोधकता संख्या घनत्व $(n)$ और विश्रांति काल $(\tau)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
धातुओं में,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,इलेक्ट्रॉनों की औसत गति बढ़ती है,जिससे टक्करें अधिक बार होती हैं और विश्रांति काल $(\tau)$ कम हो जाता है। धातुओं में $n$ तापमान पर निर्भर नहीं करता है,इसलिए $\tau$ में कमी के कारण प्रतिरोधकता $(\rho)$ बढ़ जाती है।
अर्धचालकों और कुचालकों में,आवेश वाहकों के तापीय उत्तेजन के कारण तापमान बढ़ने पर संख्या घनत्व $(n)$ काफी बढ़ जाता है। $n$ में यह वृद्धि $\tau$ में होने वाले परिवर्तन पर हावी हो जाती है,जिसके कारण तापमान बढ़ने पर प्रतिरोधकता $(\rho)$ कम हो जाती है।

(N/A) धातुओं के लिए,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,जाली आयनों (lattice ions) के तापीय कंपन बढ़ जाते हैं। इससे मुक्त इलेक्ट्रॉनों और आयनों के बीच टकराव अधिक बार होता है,जिससे प्रतिरोध बढ़ जाता है। यह संबंध $R_T = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\alpha$ धनात्मक होता है।
अर्धचालकों के लिए,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अधिक आवेश वाहक (इलेक्ट्रॉन और होल) संयोजी बैंड (valence band) से चालन बैंड (conduction band) में तापीय रूप से उत्तेजित हो जाते हैं। आवेश वाहकों की संख्या में यह वृद्धि प्रकीर्णन (scattering) के प्रभाव पर हावी हो जाती है,जिससे प्रतिरोध में कमी आती है। इस प्रकार,अर्धचालकों का प्रतिरोध का तापमान गुणांक ऋणात्मक होता है।

(N/A) तापमान $T$ पर एक धात्विक चालक की प्रतिरोधकता $\rho_T$ और संदर्भ तापमान $T_0$ पर उसकी प्रतिरोधकता $\rho_0$ के बीच का संबंध निम्नलिखित रैखिक समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$\rho_T = \rho_0 [1 + \alpha(T - T_0)]$
जहाँ:
- $\rho_T$ तापमान $T$ पर प्रतिरोधकता है।
- $\rho_0$ संदर्भ तापमान $T_0$ पर प्रतिरोधकता है।
- $\alpha$ प्रतिरोधकता का तापमान गुणांक है।
- $(T - T_0)$ तापमान में परिवर्तन है।

(A) धातु की प्रतिरोधकता संबंध $\rho_T = \rho_0 [1 + \alpha(T - T_0)]$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\rho_T$ तापमान $T$ पर प्रतिरोधकता है,$\rho_0$ संदर्भ तापमान $T_0$ पर प्रतिरोधकता है,और $\alpha$ प्रतिरोधकता का ताप गुणांक है।
धातुओं में,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,जाली आयनों (lattice ions) के तापीय कंपन बढ़ते हैं,जिससे आयनों के साथ इलेक्ट्रॉनों की टक्कर अधिक बार होती है।
इसके परिणामस्वरूप तापमान बढ़ने पर धातु का प्रतिरोध और प्रतिरोधकता बढ़ जाती है।
चूंकि $T > T_0$ के लिए $\rho_T > \rho_0$ है,इसलिए $\alpha$ का मान धनात्मक होना चाहिए।
अतः,धातुओं के लिए प्रतिरोधकता का ताप गुणांक धनात्मक होता है।

(N/A) धातु की प्रतिरोधकता का सूत्र $\rho = \frac{m}{ne^2\tau}$ है,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,$n$ मुक्त इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $\tau$ औसत विश्रांति काल (relaxation time) है।
धातुओं में,मुक्त इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व $(n)$ तापमान पर निर्भर नहीं करता है।
जब धातु का तापमान बढ़ता है,तो जालक (lattice) में धनात्मक आयनों के ऊष्मीय कंपन बढ़ जाते हैं।
इन बढ़े हुए कंपनों के कारण,मुक्त इलेक्ट्रॉनों और धनात्मक आयनों के बीच टक्करों की आवृत्ति बढ़ जाती है।
इससे औसत विश्रांति काल $(\tau)$ में कमी आती है।
चूँकि $\rho \propto \frac{1}{\tau}$ है,इसलिए $\tau$ में कमी आने से धातु की प्रतिरोधकता $(\rho)$ बढ़ जाती है।

(N/A) घरेलू वायरिंग में $Cu$ (तांबा) या $Al$ (एल्युमीनियम) के तारों का उपयोग लागत,चालकता और वजन के मानदंडों के आधार पर किया जाता है।
$1$. लागत: तांबा एल्युमीनियम की तुलना में काफी महंगा होता है।
$2$. चालकता: दोनों ही बिजली के उत्कृष्ट सुचालक हैं,हालांकि तांबे की चालकता थोड़ी अधिक होती है।
$3$. वजन: एक निश्चित लंबाई और प्रतिरोध के लिए,एल्युमीनियम का तार तांबे के तार की तुलना में बहुत हल्का होता है।
$4$. व्यावहारिकता: चांदी एक बेहतर सुचालक है,लेकिन यह अत्यधिक महंगी है। लोहा सस्ता है लेकिन इसमें जंग लगने की संभावना रहती है और इसका प्रतिरोध भी अधिक होता है,जो इसे लंबे समय तक घरेलू उपयोग के लिए अनुपयुक्त बनाता है।
इसलिए,लागत-प्रभावशीलता और चालकता के संतुलन के कारण एल्युमीनियम को अक्सर प्राथमिकता दी जाती है।

(N/A) मानक प्रतिरोध कुंडलियाँ बनाने के लिए मैंगनीन या कॉन्सटेंटन जैसी मिश्र धातुओं का उपयोग किया जाता है क्योंकि इनका प्रतिरोधकता का ताप गुणांक बहुत कम होता है।
इसका अर्थ यह है कि तापमान में परिवर्तन के साथ इन मिश्र धातुओं की विद्युत प्रतिरोधकता में बहुत कम परिवर्तन होता है।
चूंकि एक चालक का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,इसलिए लगभग स्थिर $\rho$ यह सुनिश्चित करता है कि यदि परिवेश का तापमान बदलता है तो भी प्रतिरोध $R$ स्थिर रहता है।
इसलिए,मानक प्रतिरोधकों में सटीक प्रतिरोध मान बनाए रखने के लिए ये आदर्श हैं।

(N/A) $emf$ $E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ वाले सेल से जुड़े बाहरी प्रतिरोध $R$ पर विभवांतर $(V)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V = I R = \left( \frac{E}{R + r} \right) R = \frac{E}{1 + \frac{r}{R}}$
संबंध का विश्लेषण:
$1$. जब $R = 0$ होता है,तो $V = 0$ होता है।
$2$. जैसे-जैसे $R$ बढ़ता है,$V$ बढ़ता है।
$3$. जैसे-जैसे $R \to \infty$ होता है,$V \to E$ होता है।
ग्राफ में $y$-अक्ष पर $V$ और $x$-अक्ष पर $R$ दर्शाया गया है। वक्र मूल बिंदु $(0,0)$ से शुरू होता है और जैसे-जैसे $R$ बढ़ता है,यह $E$ मान के करीब पहुंचता है।

(C) चालक का प्रतिरोध $R = \frac{\rho l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चालक $A$ के लिए ($1 \ mm$ व्यास का ठोस तार):
त्रिज्या $r_A = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m$.
क्षेत्रफल $A_A = \pi r_A^2 = \pi (0.5 \times 10^{-3})^2 = 0.25 \pi \times 10^{-6} \ m^2$.
$R_A = \frac{\rho l}{0.25 \pi \times 10^{-6}} = \frac{4 \rho l}{\pi \times 10^{-6}}$....$(1)$
चालक $B$ के लिए ($2 \ mm$ बाहरी व्यास और $1 \ mm$ आंतरिक व्यास वाली खोखली नली):
बाहरी त्रिज्या $R_{out} = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$,आंतरिक त्रिज्या $r_{in} = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m$.
क्षेत्रफल $A_B = \pi (R_{out}^2 - r_{in}^2) = \pi ((10^{-3})^2 - (0.5 \times 10^{-3})^2) = \pi (1 - 0.25) \times 10^{-6} = 0.75 \pi \times 10^{-6} \ m^2$.
$R_B = \frac{\rho l}{0.75 \pi \times 10^{-6}} = \frac{4 \rho l}{3 \pi \times 10^{-6}}$....$(2)$
अनुपात $\frac{R_A}{R_B}$ लेने पर:
$\frac{R_A}{R_B} = \frac{4 \rho l}{\pi \times 10^{-6}} \times \frac{3 \pi \times 10^{-6}}{4 \rho l} = \frac{3}{1}$.
अतः,$R_A : R_B = 3 : 1$.

(D) कमरे के तापमान $(20^{\circ}C)$ पर दिए गए पदार्थों के लिए प्रतिरोधकता के मान लगभग इस प्रकार हैं:
तांबा $(\rho_{C})$: $1.72 \times 10^{-8} \ \Omega \cdot m$
एल्युमीनियम $(\rho_{A})$: $2.82 \times 10^{-8} \ \Omega \cdot m$
टंगस्टन $(\rho_{T})$: $5.60 \times 10^{-8} \ \Omega \cdot m$
पारा $(\rho_{M})$: $98.0 \times 10^{-8} \ \Omega \cdot m$
इन मानों की तुलना करने पर,हमें $\rho_{M} > \rho_{T} > \rho_{A} > \rho_{C}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों में से,सही संबंध $\rho_{M} > \rho_{A} > \rho_{C}$ है।

(A) प्रतिरोध का ताप गुणांक $(\alpha)$ संबंध $R_t = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ द्वारा परिभाषित होता है।
धातुओं के लिए, तापमान बढ़ने पर प्रतिरोध बढ़ता है, इसलिए $\alpha$ धनात्मक होता है।
कुचालकों और अर्धचालकों के लिए, तापमान में वृद्धि के साथ आवेश वाहकों की संख्या में काफी वृद्धि होती है, जिससे प्रतिरोध में कमी आती है।
अतः, कुचालक और अर्धचालक प्रतिरोध का ऋणात्मक ताप गुणांक प्रदर्शित करते हैं।

(D) तांबे जैसी धातुओं के लिए,तापमान $(T)$ बढ़ने के साथ प्रतिरोधकता ( $\rho$ ) बढ़ती है।
संबंध $\rho_T = \rho_0 [1 + \alpha(T - T_0)]$ के अनुसार,तापमान की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए प्रतिरोधकता तापमान के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है।
बहुत कम तापमान पर,वक्र गैर-रैखिक (non-linear) हो जाता है और जैसे-जैसे $T$,$0 \ K$ के करीब पहुंचता है,यह एक निश्चित मान की ओर जाता है।
दिए गए विकल्पों में से,ग्राफ $D$ तांबे जैसी धातु के लिए प्रतिरोधकता बनाम तापमान के इस विशिष्ट व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) चालक का प्रतिरोध $R$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$R = \rho \frac{l}{A}$
जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
यह दिया गया है कि दोनों चालक समान पदार्थ से बने हैं,इसलिए उनकी प्रतिरोधकता समान है: $\rho_{1} = \rho_{2} = \rho$.
यह दिया गया है कि उनकी लंबाई समान है: $l_{1} = l_{2} = l$.
यह दिया गया है कि उनका प्रतिरोध समान है: $R_{1} = R_{2} = R$.
सूत्र से,हम क्षेत्रफल को $A = \frac{\rho l}{R}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $\rho$,$l$,और $R$ दोनों चालकों के लिए समान हैं,इसलिए अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल भी समान होने चाहिए:
$A_{1} = \frac{\rho l}{R}$ और $A_{2} = \frac{\rho l}{R}$
अतः,$\frac{A_{1}}{A_{2}} = 1$.

(B) दिया गया है,प्रारंभिक प्रतिरोध $R_{1} = 35 \,\Omega$ और अंतिम लंबाई $l_{2} = 2l_{1}$ है।
चूंकि तार को खींचने के दौरान उसका आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $V_{1} = V_{2}$ होगा।
$A_{1}l_{1} = A_{2}l_{2} \implies A_{2} = A_{1} \left(\frac{l_{1}}{l_{2}}\right) = A_{1} \left(\frac{l_{1}}{2l_{1}}\right) = \frac{A_{1}}{2}$।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,नया प्रतिरोध $R_{2} = \rho \frac{l_{2}}{A_{2}} = \rho \frac{2l_{1}}{A_{1}/2} = 4 \left(\rho \frac{l_{1}}{A_{1}}\right) = 4R_{1}$ होगा।
$R_{1}$ का मान रखने पर,हमें $R_{2} = 4 \times 35 = 140 \,\Omega$ प्राप्त होता है।

(A) तार का प्रारंभिक प्रतिरोध $R = \frac{\rho l}{A}$ है।
प्रश्न के अनुसार,नई लंबाई $l' = 2l$ और नया अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A' = \frac{A}{2}$ है।
नया प्रतिरोध $R'$ इस प्रकार है:
$R' = \rho \frac{l'}{A'} = \rho \frac{2l}{A/2} = \frac{4 \rho l}{A} = 4R$.
ओम के नियम के अनुसार नई धारा $I'$ है:
$I' = \frac{V}{R'} = \frac{V}{4R} = \frac{V}{4(\rho l / A)} = \frac{1}{4} \frac{VA}{\rho l}$.

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक तार की लंबाई $\ell$ है और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है। तार का प्रतिरोध $R = \rho_{res} \frac{\ell}{A}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\rho_{res}$ प्रतिरोधकता है।
समानांतर क्रम में जुड़े दो तारों के लिए, व्यक्तिगत प्रतिरोध $R_1 = \rho_1 \frac{\ell}{A} = 6 \frac{\ell}{A}$ और $R_2 = \rho_2 \frac{\ell}{A} = 3 \frac{\ell}{A}$ हैं।
समानांतर क्रम में जुड़े दो प्रतिरोधों के लिए तुल्य प्रतिरोध $R_{net} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ द्वारा दिया जाता है।
समानांतर में जुड़े दो तारों का संयुक्त अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $2A$ है और लंबाई $\ell$ रहती है। इसलिए, $R_{net} = \rho \frac{\ell}{2A}$।
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\rho \frac{\ell}{2A} = \frac{(6 \frac{\ell}{A}) (3 \frac{\ell}{A})}{6 \frac{\ell}{A} + 3 \frac{\ell}{A}}$
$\frac{\rho}{2} = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2$
$\rho = 4 \, \Omega \, cm$।

(A) प्रारंभिक प्रतिरोध $R_{0} = 1\, \Omega$ और प्रारंभिक लंबाई $\ell_{0} = 1\, m$ है।
जब तार को खींचा जाता है,तो उसका आयतन स्थिर रहता है। मान लीजिए नई लंबाई $\ell_{1}$ है।
दिया गया है कि लंबाई $25\, \%$ बढ़ जाती है,इसलिए $\ell_{1} = \ell_{0} + 0.25\ell_{0} = 1.25\ell_{0} = 1.25\, m$।
चूंकि आयतन $V = A \ell$ स्थिर है,$A_{0}\ell_{0} = A_{1}\ell_{1}$,जिसका अर्थ है $A_{1} = A_{0}(\ell_{0} / \ell_{1})$।
प्रतिरोध $R$ का सूत्र $R = \rho \frac{\ell}{A}$ है।
इसलिए,नया प्रतिरोध $R_{1} = \rho \frac{\ell_{1}}{A_{1}} = \rho \frac{\ell_{1}}{A_{0}(\ell_{0} / \ell_{1})} = \rho \frac{\ell_{1}^{2}}{A_{0}\ell_{0}} = R_{0} \left( \frac{\ell_{1}}{\ell_{0}} \right)^{2}$।
मान रखने पर: $R_{1} = 1 \times (1.25)^{2} = 1.5625\, \Omega$।
प्रतिरोध में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{R_{1} - R_{0}}{R_{0}} \times 100\, \% = \frac{1.5625 - 1}{1} \times 100\, \% = 56.25\, \%$ है।
निकटतम पूर्णांक में,प्रतिशत परिवर्तन $56\, \%$ है।

(D) तापमान के साथ प्रतिरोध में परिवर्तन का सूत्र है: $R_T = R_0(1 + \alpha \Delta T)$,जहाँ $R_0$ $0^{\circ}C$ पर प्रतिरोध है,$\alpha$ प्रतिरोध का ताप गुणांक है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
दिया गया है:
$R_1 = 16\, \Omega$ तापमान $T_1 = 15^{\circ}C$ पर
$R_2 = 20\, \Omega$ तापमान $T_2 = 100^{\circ}C$ पर
संबंध $R_T = R_0(1 + \alpha T)$ का उपयोग करते हुए:
$16 = R_0(1 + 15\alpha)$ --- (समीकरण $1$)
$20 = R_0(1 + 100\alpha)$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ से विभाजित करने पर:
$\frac{20}{16} = \frac{1 + 100\alpha}{1 + 15\alpha}$
$1.25(1 + 15\alpha) = 1 + 100\alpha$
$1.25 + 18.75\alpha = 1 + 100\alpha$
$0.25 = 81.25\alpha$
$\alpha = \frac{0.25}{81.25} \approx 0.00307\, ^{\circ}C^{-1}$
निकटतम मान लेने पर,$\alpha \approx 0.003\, ^{\circ}C^{-1}$ प्राप्त होता है।

(B) चालकों के लिए,प्रतिरोध का तापमान गुणांक $\alpha$ धनात्मक होता है,जिसका अर्थ है कि तापमान के साथ प्रतिरोध बढ़ता है।
अर्धचालकों के लिए,प्रतिरोध का तापमान गुणांक $\alpha$ ऋणात्मक होता है,जिसका अर्थ है कि तापमान बढ़ने पर आवेश वाहकों की संख्या में वृद्धि के कारण प्रतिरोध घटता है।

(B) चूंकि तार को खींचने के दौरान उसका आयतन $V$ स्थिर रहता है,इसलिए हमारे पास $V = A \ell = A^{\prime} \ell^{\prime}$ है।
यह दिया गया है कि नई लंबाई $\ell^{\prime} = 2\ell$ है,इसे आयतन समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $A \ell = A^{\prime} (2\ell)$,जिससे $A^{\prime} = \frac{A}{2}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक प्रतिरोध $R = \rho \frac{\ell}{A}$ है।
नया प्रतिरोध $R^{\prime} = \rho \frac{\ell^{\prime}}{A^{\prime}} = \rho \frac{2\ell}{A/2} = 4 \rho \frac{\ell}{A} = 4R$ है।
प्रतिरोध में प्रतिशत वृद्धि $\frac{R^{\prime} - R}{R} \times 100\%$ द्वारा दी जाती है।
$R^{\prime} = 4R$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{4R - R}{R} \times 100\% = 3 \times 100\% = 300\%$ प्राप्त होता है।

(C) तार का प्रतिरोध $R = \frac{\rho \ell}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि खींचने के दौरान आयतन $V = \ell A$ स्थिर रहता है,इसलिए हमारे पास $A = \frac{V}{\ell}$ है।
इस मान को प्रतिरोध के सूत्र में रखने पर,हमें $R = \frac{\rho \ell^2}{V}$ प्राप्त होता है।
छोटे परिवर्तनों के लिए,प्रतिरोध में सापेक्ष परिवर्तन $\frac{\Delta R}{R} = 2 \frac{\Delta \ell}{\ell}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि लंबाई में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta \ell}{\ell} \times 100 = 0.4 \%$ है।
अतः,प्रतिरोध में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 2 \times 0.4 \% = 0.8 \%$ है।

(A) तापमान $T$ पर प्रतिरोध $R$ का सूत्र $R = R_{T_0}[1 + \alpha(T - T_0)]$ है,जहाँ $R_{T_0}$ संदर्भ तापमान $T_0$ पर प्रतिरोध है और $\alpha$ प्रतिरोध का ताप गुणांक है।
दिया गया है:
$R_1 = 2\,\Omega$ तापमान $T_1 = 10^{\circ}C$ पर
$R_2 = 3\,\Omega$ तापमान $T_2 = 30^{\circ}C$ पर
संबंध $R_T = R_0(1 + \alpha T)$ का उपयोग करने पर:
$2 = R_0(1 + 10\alpha)$ --- (समीकरण $1$)
$3 = R_0(1 + 30\alpha)$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ से विभाजित करने पर:
$\frac{3}{2} = \frac{1 + 30\alpha}{1 + 10\alpha}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$3(1 + 10\alpha) = 2(1 + 30\alpha)$
$3 + 30\alpha = 2 + 60\alpha$
$3 - 2 = 60\alpha - 30\alpha$
$1 = 30\alpha$
$\alpha = \frac{1}{30} \approx 0.033\,^{\circ}C^{-1}$.