Resistance of wire, Resistivity and Conductivity Questions in Hindi

(D) दिए गए $V-I$ ग्राफ से,ढाल तार का प्रतिरोध $R$ दर्शाती है।
$R = \tan(45^{\circ}) = 1 \, \Omega$.
हम जानते हैं कि प्रतिरोध $R = \rho \frac{\ell}{A}$,जहाँ $\ell$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.
यहाँ $\ell = 31.4 \, cm$ और $d = 2.4 \, cm$ दिया गया है।
मान रखने पर: $1 = \rho \frac{31.4}{\frac{\pi \times (2.4)^2}{4}}$.
$\pi = 3.14$ का उपयोग करने पर: $1 = \rho \frac{31.4 \times 4}{3.14 \times 5.76}$.
$1 = \rho \frac{10 \times 4}{5.76} = \rho \frac{40}{5.76}$.
$\rho = \frac{5.76}{40} = 0.144 \, \Omega \cdot cm$.
इसे $x \times 10^{-3} \, \Omega \cdot cm$ के रूप में व्यक्त करने पर,हमें $\rho = 144 \times 10^{-3} \, \Omega \cdot cm$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 144$.

(A) माना कि मूल लंबाई $L_{1}$ और मूल क्षेत्रफल $A_{1}$ है। मूल प्रतिरोध $R_{1} = \rho \frac{L_{1}}{A_{1}}$ है।
जब लंबाई को उसकी मूल लंबाई से दोगुना बढ़ाया जाता है,तो नई लंबाई $L_{2} = L_{1} + 2L_{1} = 3L_{1}$ हो जाती है।
चूंकि तार का आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $A_{1}L_{1} = A_{2}L_{2}$।
अतः,$A_{2} = A_{1} \frac{L_{1}}{L_{2}} = A_{1} \frac{L_{1}}{3L_{1}} = \frac{A_{1}}{3}$।
नया प्रतिरोध $R_{2} = \rho \frac{L_{2}}{A_{2}} = \rho \frac{3L_{1}}{A_{1}/3} = 9 \rho \frac{L_{1}}{A_{1}}$ होगा।
इसलिए,अनुपात $\frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{9 \rho (L_{1}/A_{1})}{\rho (L_{1}/A_{1})} = 9:1$ है।

$(A)$ मानक प्रतिरोध कुंडलियों के लिए ऐसे प्रतिरोध मान की आवश्यकता होती है जो परिवेश के तापमान में परिवर्तन के बावजूद स्थिर रहे।
प्रतिरोध का ताप गुणांक $(\alpha)$ यह निर्धारित करता है कि तापमान के साथ प्रतिरोध कितना बदलता है, जिसका सूत्र $R_t = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ है।
कॉन्स्टेंटन और मैंगनीन जैसी मिश्र धातुओं को विशेष रूप से चुना जाता है क्योंकि उनका प्रतिरोध का ताप गुणांक बहुत कम होता है।
यह गुण सुनिश्चित करता है कि यदि तापमान में उतार-चढ़ाव होता है, तब भी कुंडलियों का प्रतिरोध लगभग स्थिर रहता है।
इसलिए, अभिकथन $A$ सत्य है, कारण $R$ सत्य है, और $R$, $A$ की सही व्याख्या है।

(B) माना तार की कुल लंबाई $L = 1\,m$ है। भाग $X$ की लंबाई $\ell_X$ और भाग $Y$ की लंबाई $\ell_Y$ है। अतः,$\ell_X + \ell_Y = 1$.
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{\ell}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
भाग $X$ के लिए,$R_X = \rho \frac{\ell_X}{A_X}$। भाग $Y$ के लिए,$R_Y = \rho \frac{\ell_Y}{A_Y}$।
जब तार $X$ को $\ell_W = 2\ell_X$ लंबाई तक खींचा जाता है,तो उसका आयतन स्थिर रहता है $(A_X \ell_X = A_W \ell_W)$।
चूंकि $\ell_W = 2\ell_X$,हमें $A_W = \frac{A_X}{2}$ प्राप्त होता है।
तार $W$ का प्रतिरोध $R_W = \rho \frac{\ell_W}{A_W} = \rho \frac{2\ell_X}{A_X/2} = 4 \left( \rho \frac{\ell_X}{A_X} \right) = 4R_X$ है।
दिया गया है कि $R_W = 2R_Y$,इसलिए $4R_X = 2R_Y$,जिसका अर्थ है कि $R_Y = 2R_X$।
चूंकि दोनों भाग $X$ और $Y$ एक ही मूल तार से काटे गए हैं,इसलिए उनका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ और प्रतिरोधकता $\rho$ समान है। अतः,$R \propto \ell$।
इसलिए,$\frac{R_X}{R_Y} = \frac{\ell_X}{\ell_Y}$।
$R_Y = 2R_X$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{R_X}{2R_X} = \frac{\ell_X}{\ell_Y} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक तार की लंबाई $\ell$ है और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है।
तुल्य तार के लिए,कुल लंबाई $2\ell$ है और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है।
तार का प्रतिरोध $R = \frac{\ell}{\sigma A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ चालकता है।
चूंकि तार श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों का योग है:
$R_{eq} = R_{1} + R_{2}$
प्रतिरोध के लिए सूत्र प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2\ell}{\sigma_{eq} A} = \frac{\ell}{\sigma_{1} A} + \frac{\ell}{\sigma_{2} A}$
दोनों पक्षों को $\frac{\ell}{A}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2}{\sigma_{eq}} = \frac{1}{\sigma_{1}} + \frac{1}{\sigma_{2}}$
$\frac{2}{\sigma_{eq}} = \frac{\sigma_{1} + \sigma_{2}}{\sigma_{1} \sigma_{2}}$
अतः,प्रभावी चालकता $\sigma_{eq} = \frac{2 \sigma_{1} \sigma_{2}}{\sigma_{1} + \sigma_{2}}$ है।

(A) छड़ का प्रतिरोध $R = \frac{\rho l}{A}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि आयतन $V_{vol} = Al$ स्थिर रहता है,हम $R = \frac{\rho l^2}{V_{vol}}$ लिख सकते हैं।
जब छड़ को थोड़ी मात्रा $\Delta l$ से खींचा जाता है,तो लंबाई में परिवर्तन $l' = l + \Delta l$ होता है। नया प्रतिरोध $R' = \frac{\rho (l + \Delta l)^2}{V_{vol}} \approx \frac{\rho (l^2 + 2l \Delta l)}{V_{vol}} = R + \frac{2 \rho l \Delta l}{V_{vol}}$ है।
प्रतिरोध में परिवर्तन $\Delta R = R' - R = \frac{2 \rho l \Delta l}{V_{vol}} = \frac{2 \rho l^2}{V_{vol}} \cdot \frac{\Delta l}{l} = 2R \varepsilon$ है,जहाँ $\varepsilon = \frac{\Delta l}{l}$ विकृति है।
छड़ के सिरों पर वोल्टेज $V = iR$ है। वोल्टेज में परिवर्तन $\Delta V = i \Delta R = i(2R \varepsilon) = (2iR) \varepsilon$ है।
चूंकि $i$ और $R$ स्थिर हैं,$\Delta V$ सीधे विकृति $\varepsilon$ के समानुपाती है $(\Delta V \propto \varepsilon)$।
इसलिए,कुल वोल्टेज $V_{total} = V_{initial} + \Delta V = V_{initial} + (2iR) \varepsilon$ है। यह प्रारंभिक वोल्टेज $V_{initial}$ से शुरू होकर धनात्मक ढाल के साथ एक रैखिक संबंध को दर्शाता है।

(C) छड़ का पदार्थ नहीं बदलता है,इसलिए दोनों छड़ों के लिए प्रतिरोधकता $\rho$ समान रहती है।
पिघलाने और नया आकार देने के दौरान पदार्थ का आयतन समान रहता है,इसलिए:
$V_1 = V_2$
$A_1 L_1 = A_2 L_2$
यहाँ $L_1 = L$ और $L_2 = 2L$ दिया गया है,इसलिए:
$A_1 L = A_2 (2L) \Rightarrow A_2 = \frac{A_1}{2}$
अब,प्रतिरोध के सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ का उपयोग करने पर,नया प्रतिरोध $R_2$ होगा:
$R_2 = \rho \frac{L_2}{A_2} = \rho \frac{2L}{A_1 / 2} = 4 \left( \frac{\rho L}{A_1} \right)$
चूंकि $R = \rho \frac{L}{A_1}$,इसलिए:
$R_2 = 4R$

(A) चालक का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ पदार्थ की प्रतिरोधकता है।
सूक्ष्म मापदंडों के संदर्भ में प्रतिरोधकता $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{m}{n e^2 \tau}$ है,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,$n$ इलेक्ट्रॉन घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $\tau$ विश्रांति काल है।
$\rho$ का मान प्रतिरोध के सूत्र में रखने पर:
$R = \left( \frac{m}{n e^2 \tau} \right) \frac{l}{A} = \frac{m l}{n e^2 \tau A}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) एक चालक का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
दिए गए आयाम $2 \,mm \times 2 \,mm \times 5 \,m$ हैं। धारा दो वर्गाकार फलकों के बीच प्रवाहित होती है,इसलिए लंबाई $l = 5 \,m$ है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 2 \,mm \times 2 \,mm = 4 \,mm^2 = 4 \times 10^{-6} \,m^2$ है।
प्रतिरोध $R = 0.02 \,\Omega$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$0.02 = \rho \frac{5}{4 \times 10^{-6}}$
$\rho = \frac{0.02 \times 4 \times 10^{-6}}{5}$
$\rho = \frac{0.08 \times 10^{-6}}{5}$
$\rho = 0.016 \times 10^{-6} \,\Omega \cdot m = 1.6 \times 10^{-8} \,\Omega \cdot m$.

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
जब एक तार को खींचा जाता है,तो उसका आयतन $V = A \times l$ स्थिर रहता है।
मान लीजिए मूल लंबाई $l$ और क्षेत्रफल $A$ है। नई लंबाई $l' = 2l$ है।
चूंकि आयतन स्थिर है,$A \times l = A' \times l' \implies A \times l = A' \times (2l) \implies A' = \frac{A}{2}$।
नया प्रतिरोध $R'$ इस प्रकार है: $R' = \rho \frac{l'}{A'} = \rho \frac{2l}{A/2} = 4 \left( \rho \frac{l}{A} \right) = 4R$।
दिया गया है कि $R' = 20 \ \Omega$ और $R = x$,इसलिए $20 = 4x$।
अतः,$x = \frac{20}{4} = 5 \ \Omega$।

(A) चालक का प्रतिरोध $R = \frac{\rho L}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि रैखिक प्रसार गुणांक $\alpha$ है। अतः,लंबाई $L = L_0(1 + \alpha \Delta T)$ और क्षेत्रफल $A = A_0(1 + 2\alpha \Delta T)$ होगा।
प्रतिरोधकता $\rho = \rho_0(1 + \alpha_\rho \Delta T)$ के अनुसार बदलती है।
इन मानों को प्रतिरोध के सूत्र में रखने पर:
$R = \frac{\rho_0(1 + \alpha_\rho \Delta T) L_0(1 + \alpha \Delta T)}{A_0(1 + 2\alpha \Delta T)}$
$R = R_0(1 + \alpha_\rho \Delta T)(1 + \alpha \Delta T)(1 + 2\alpha \Delta T)^{-1}$
छोटे $\Delta T$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1+x)^n \approx 1+nx$ का उपयोग करने पर:
$R \approx R_0(1 + \alpha_\rho \Delta T)(1 + \alpha \Delta T)(1 - 2\alpha \Delta T)$
$\Delta T$ के उच्च घात वाले पदों को नगण्य मानने पर:
$R \approx R_0(1 + \alpha_\rho \Delta T + \alpha \Delta T - 2\alpha \Delta T)$
$R \approx R_0(1 + (\alpha_\rho - \alpha) \Delta T)$
इसकी तुलना $R = R_0(1 + \alpha_R \Delta T)$ से करने पर,हमें $\alpha_R = \alpha_\rho - \alpha$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि दोनों तारों की लंबाई $l$ है। मान लीजिए कि तार $BC$ की त्रिज्या $r$ है,इसलिए तार $AB$ की त्रिज्या $2r$ है।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
तार $BC$ के लिए,$R_{BC} = \rho \frac{l}{\pi r^2} = R$ (मान लीजिए)।
तार $AB$ के लिए,$R_{AB} = \rho \frac{l}{\pi (2r)^2} = \rho \frac{l}{4\pi r^2} = \frac{R}{4}$।
चूंकि तार श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए दोनों में समान धारा $I$ प्रवाहित होती है।
विभव प्रवणता $x = \frac{V}{l} = \frac{IR}{l}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $I$ और $l$ दोनों तारों के लिए समान हैं,इसलिए विभव प्रवणता प्रतिरोध के समानुपाती होती है: $x \propto R$।
अतः,विभव प्रवणता का अनुपात $\frac{x_{AB}}{x_{BC}} = \frac{R_{AB}}{R_{BC}} = \frac{R/4}{R} = \frac{1}{4}$ है।
इस प्रकार,अनुपात $1: 4$ है।

(A) चालक का प्रतिरोध $R$ ज्ञात करने का सूत्र $R = \rho \frac{\ell}{A}$ है, जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है, $\ell$ लंबाई है, और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
खोखले बेलन के लिए, अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi(R_{outer}^2 - R_{inner}^2)$ होता है।
दिया गया है: $\ell = 3.14 \, m$, $\rho = 2.4 \times 10^{-8} \, \Omega \, m$, बाहरी व्यास $D_{out} = 8 \, mm \implies R_{outer} = 4 \times 10^{-3} \, m$, और आंतरिक व्यास $D_{in} = 4 \, mm \implies R_{inner} = 2 \times 10^{-3} \, m$.
क्षेत्रफल $A = \pi((4 \times 10^{-3})^2 - (2 \times 10^{-3})^2) = \pi(16 - 4) \times 10^{-6} = 12\pi \times 10^{-6} \, m^2$.
प्रतिरोध के सूत्र में मान रखने पर:
$R = \frac{2.4 \times 10^{-8} \times 3.14}{12 \times 3.14 \times 10^{-6}}$
$R = \frac{2.4}{12} \times 10^{-2} = 0.2 \times 10^{-2} = 2 \times 10^{-3} \, \Omega$.
इसे $n \times 10^{-3} \, \Omega$ के साथ तुलना करने पर, $n = 2$ प्राप्त होता है।

(C) तार का प्रतिरोध $R$,$R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार को खींचने पर आयतन $V = A \times L$ स्थिर रहता है,इसलिए हमारे पास $A = \frac{V}{L}$ है।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R = \rho \frac{L^2}{V}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto L^2$ है।
यदि लंबाई में $20 \% $ की वृद्धि होती है,तो नई लंबाई $L' = L + 0.20L = 1.2L$ होगी।
नया प्रतिरोध $R' \propto (1.2L)^2 = 1.44L^2$ होगा।
अतः,$R' = 1.44R$ है।
प्रतिरोध में प्रतिशत वृद्धि $\frac{R' - R}{R} \times 100 = \frac{1.44R - R}{R} \times 100 = 0.44 \times 100 = 44 \%$ है।

(C) प्रारंभिक प्रतिरोध $R_{\text{initial}} = \frac{\rho \ell}{A} = 5 \Omega$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि खींचने के दौरान तार का आयतन स्थिर रहता है:
$V_i = V_f$
$A_i \ell_i = A_f \ell_f$
यहाँ $\ell_f = 5 \ell_i$ दिया गया है,इसलिए $A_i \ell_i = A_f (5 \ell_i)$,जिसका अर्थ है $A_f = \frac{A_i}{5}$।
नया प्रतिरोध $R_f$ इस प्रकार है:
$R_f = \frac{\rho \ell_f}{A_f} = \frac{\rho (5 \ell_i)}{\left(\frac{A_i}{5}\right)}$
$R_f = 25 \left(\frac{\rho \ell_i}{A_i}\right)$
$R_f = 25 \times 5 = 125 \Omega$।

(D) प्रतिरोध के व्युत्क्रम को चालकत्व (conductance) के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से, $\text{Conductance} = \frac{1}{\text{Resistance}}$.
चालकत्व की $SI$ इकाई सीमेंस $(S)$ या $\Omega^{-1}$ होती है।

(D) तार का प्रारंभिक प्रतिरोध $R = \rho \frac{\ell}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$\ell$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
जब लंबाई $20 \%$ बढ़ाई जाती है,तो नई लंबाई $\ell' = \ell + 0.20\ell = 1.2\ell$ हो जाती है।
जब अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $4 \%$ कम किया जाता है,तो नया क्षेत्रफल $A' = A - 0.04A = 0.96A$ हो जाता है।
नया प्रतिरोध $R'$ इस प्रकार है: $R' = \rho \frac{\ell'}{A'} = \rho \frac{1.2\ell}{0.96A}$।
व्यंजक को सरल करने पर: $R' = \left( \frac{1.2}{0.96} \right) \rho \frac{\ell}{A} = 1.25 R$।
प्रतिरोध में प्रतिशत परिवर्तन की गणना $\frac{R' - R}{R} \times 100$ के रूप में की जाती है।
प्रतिशत परिवर्तन $= \frac{1.25R - R}{R} \times 100 = 0.25 \times 100 = 25 \%$।

(C) आयताकार समानांतर षट्फलक के आयाम $1\,cm \times 1\,cm \times 100\,cm$ हैं। विद्युत धारा $1\,cm \times 100\,cm$ आकार के दो विपरीत आयताकार फलकों के बीच प्रवाहित होती है।
अतः,धारा के पथ की लंबाई $\ell = 1\,cm = 10^{-2}\,m$ है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल जिससे धारा प्रवाहित होती है,वह $A = 1\,cm \times 100\,cm = 10^{-2}\,m \times 1\,m = 10^{-2}\,m^2$ है।
विशिष्ट प्रतिरोध (प्रतिरोधकता) $\rho = 3 \times 10^{-7}\,\Omega\,m$ है।
प्रतिरोध $R$ का सूत्र $R = \rho \frac{\ell}{A}$ है।
मान रखने पर: $R = (3 \times 10^{-7}) \times \frac{10^{-2}}{10^{-2}} = 3 \times 10^{-7}\,\Omega$।
अतः,प्रतिरोध $3 \times 10^{-7}\,\Omega$ होगा।

(A) तार को पिघलाकर नया तार बनाने की प्रक्रिया के दौरान तार का आयतन स्थिर रहता है।
$V_1 = V_2 \implies A_1 L_1 = A_2 L_2$
यहाँ $L_2 = \frac{L_1}{4}$ दिया गया है,इसलिए $A_1 L_1 = A_2 (\frac{L_1}{4})$,जिसे सरल करने पर $A_2 = 4 A_1$ प्राप्त होता है।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
अतः,नए प्रतिरोध $R_2$ और मूल प्रतिरोध $R_1$ का अनुपात:
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{\rho L_2 / A_2}{\rho L_1 / A_1} = \frac{L_2}{L_1} \times \frac{A_1}{A_2}$
मान रखने पर: $\frac{R_2}{R_1} = (\frac{1}{4}) \times (\frac{A_1}{4 A_1}) = \frac{1}{16}$.
इस प्रकार,$R_2 = \frac{R_1}{16} = \frac{160}{16} = 10\,\Omega$।

(D) चूंकि चालक समान स्रोत से जुड़ा है,इसलिए वोल्टेज $V$ स्थिर रहता है। अतः,$V = i_0 R_0 = i_{100} R_{100} = i_{50} R_{50}$।
दिया गया है $i_0 = 2\,A$ और $i_{100} = 1.2\,A$।
प्रतिरोध-तापमान संबंध $R_t = R_0(1 + \alpha t)$ का उपयोग करने पर:
$2 R_0 = 1.2 R_0(1 + 100 \alpha)$
$1 + 100 \alpha = \frac{2}{1.2} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$
$100 \alpha = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3} \Rightarrow 50 \alpha = \frac{1}{3}$।
अब,$t = 50^{\circ}C$ के लिए:
$i_{50} = \frac{V}{R_{50}} = \frac{i_0 R_0}{R_0(1 + 50 \alpha)} = \frac{2}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{2}{4/3} = \frac{6}{4} = 1.5\,A$।
$mA$ में बदलने पर: $1.5\,A = 1500\,mA = 15 \times 10^2\,mA$।

(D) तापमान $T$ पर चालक का प्रतिरोध सूत्र $R_T = R_0[1 + \alpha(T - T_0)]$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_T$ तापमान $T$ पर प्रतिरोध है,$R_0$ संदर्भ तापमान $T_0$ पर प्रतिरोध है,और $\alpha$ प्रतिरोध का ताप गुणांक है।
दिया गया है: $R_0 = 2\,\Omega$ तापमान $T_0 = 0^{\circ}C$ पर,और $R_T = 6.8\,\Omega$ तापमान $T = 80^{\circ}C$ पर।
सूत्र में मान रखने पर:
$6.8 = 2[1 + \alpha(80 - 0)]$
$6.8 = 2 + 160\alpha$
$4.8 = 160\alpha$
$\alpha = \frac{4.8}{160} = \frac{48}{1600} = \frac{3}{100} = 0.03\,^{\circ}C^{-1}$.
अतः,$\alpha = 3 \times 10^{-2}\,^{\circ}C^{-1}$.

(C) दिया गया है: कमरे के तापमान पर प्रतिरोध $R_0 = 60 \ \Omega$,$T_0 = 27^{\circ} C$ पर।
वोल्टेज $V = 220 \ V$ और धारा $I = 2.75 \ A$ है।
अंतिम तापमान $T$ पर प्रतिरोध $R_T = \frac{V}{I} = \frac{220}{2.75} = 80 \ \Omega$ होगा।
प्रतिरोध की तापमान निर्भरता का सूत्र $R_T = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ है,जहाँ $\Delta T = T - T_0$ है।
मान रखने पर: $80 = 60[1 + 2 \times 10^{-4}(T - 27)]$.
$80/60 = 1 + 2 \times 10^{-4}(T - 27)$.
$1.333 - 1 = 2 \times 10^{-4}(T - 27)$.
$0.333 = 2 \times 10^{-4}(T - 27)$.
$T - 27 = \frac{0.333}{2 \times 10^{-4}} = 1665$.
$T = 1665 + 27 = 1692^{\circ} C$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,तापमान लगभग $1694^{\circ} C$ है।

(B) मान लीजिए कि $0^{\circ} C$ पर प्रत्येक चालक का प्रतिरोध $R$ है।
श्रेणी संयोजन के लिए:
$R_{eq} = R_1 + R_2$
$2R(1 + \alpha_{eq} \Delta \theta) = R(1 + \alpha_1 \Delta \theta) + R(1 + \alpha_2 \Delta \theta)$
$2 + 2\alpha_{eq} \Delta \theta = 2 + (\alpha_1 + \alpha_2) \Delta \theta$
$\alpha_{eq} = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$
समांतर संयोजन के लिए:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$
$\frac{1}{\frac{R}{2}(1 + \alpha_{eq} \Delta \theta)} = \frac{1}{R(1 + \alpha_1 \Delta \theta)} + \frac{1}{R(1 + \alpha_2 \Delta \theta)}$
$\frac{2}{1 + \alpha_{eq} \Delta \theta} = \frac{1}{1 + \alpha_1 \Delta \theta} + \frac{1}{1 + \alpha_2 \Delta \theta}$
छोटे $\Delta \theta$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1+x)^{-1} \approx 1-x$ का उपयोग करने पर:
$2(1 - \alpha_{eq} \Delta \theta) = (1 - \alpha_1 \Delta \theta) + (1 - \alpha_2 \Delta \theta)$
$2 - 2\alpha_{eq} \Delta \theta = 2 - (\alpha_1 + \alpha_2) \Delta \theta$
$\alpha_{eq} = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$

(D) तार का प्रतिरोध $R = \frac{\rho \ell}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $m = \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = \rho_d \times A \times \ell$ स्थिर है,और पदार्थ समान है (समान घनत्व $\rho_d$),इसलिए आयतन $V = A \ell$ स्थिर रहता है।
अतः,$\ell = \frac{V}{A}$.
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $R = \frac{\rho V}{A^2}$.
चूंकि $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,$R \propto \frac{1}{A^2}$.
चूंकि $A = \pi r^2$,इसलिए $R \propto \frac{1}{r^4}$.
अतः,$\frac{R_A}{R_B} = \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^4$.
दिया गया है कि $r_A = 2.0 \ mm$,$r_B = 4.0 \ mm$,और $R_B = 2 \ \Omega$:
$\frac{R_A}{2} = \left( \frac{4.0}{2.0} \right)^4 = (2)^4 = 16$.
$R_A = 16 \times 2 = 32 \ \Omega$.

(B) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $R \propto \frac{l}{r^2}$।
चूंकि खींचने के दौरान तार का आयतन स्थिर रहता है,$V = A \cdot l = \pi r^2 l = \text{स्थिर}$.
मान लीजिए प्रारंभिक त्रिज्या $r$ और लंबाई $l$ है। खींचने के बाद,नई त्रिज्या $r' = r/2$ और नई लंबाई $l'$ है।
आयतन की तुलना करने पर: $\pi r^2 l = \pi (r/2)^2 l'$.
$\pi r^2 l = \pi (r^2/4) l' \implies l' = 4l$।
नया प्रतिरोध $R'$ इस प्रकार है: $R' = \rho \frac{l'}{\pi (r')^2} = \rho \frac{4l}{\pi (r/2)^2} = \rho \frac{4l}{\pi r^2 / 4} = 16 \left( \rho \frac{l}{\pi r^2} \right) = 16R$।
दिया गया है कि $R' = xR$,इसलिए $x = 16$।

(D) तापमान $T$ पर एक चालक का प्रतिरोध $R = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_0$ $0^{\circ} C$ पर प्रतिरोध है और $\alpha$ प्रतिरोध का तापमान गुणांक है।
प्रथम स्थिति के लिए,$100^{\circ} C$ पर:
$10.2 = 10(1 + \alpha(100 - 0))$
$10.2 = 10 + 1000\alpha$
$0.2 = 1000\alpha \Rightarrow \alpha = \frac{0.2}{1000} = 2 \times 10^{-4} /^{\circ} C$.
द्वितीय स्थिति के लिए,$t^{\circ} C$ पर:
$10.95 = 10(1 + \alpha(t - 0))$
$10.95 = 10 + 10\alpha t$
$0.95 = 10 \times (2 \times 10^{-4}) \times t$
$0.95 = 2 \times 10^{-3} \times t$
$t = \frac{0.95}{0.002} = 475^{\circ} C$.
तापमान को केल्विन पैमाने में बदलने के लिए:
$T(K) = t(^{\circ} C) + 273$
$T(K) = 475 + 273 = 748 \ K$.

(B) तापमान $T$ पर चालक का प्रतिरोध सूत्र $R = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$T_0 = 27^{\circ} C$ पर $R_0 = 50 \Omega$,$R = 62 \Omega$,और $\alpha = 2.4 \times 10^{-4} { }^{\circ} C^{-1}$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$62 = 50(1 + 2.4 \times 10^{-4} \Delta T)$
$1.24 = 1 + 2.4 \times 10^{-4} \Delta T$
$0.24 = 2.4 \times 10^{-4} \Delta T$
$\Delta T = \frac{0.24}{2.4 \times 10^{-4}} = 1000^{\circ} C$.
चूंकि $\Delta T = T - T_0$,इसलिए $T = T_0 + \Delta T = 27^{\circ} C + 1000^{\circ} C = 1027^{\circ} C$।

(C) एक चालक का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ धारा के प्रवाह की दिशा में चालक की लंबाई है,और $A$ धारा के प्रवाह के लंबवत अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इस मामले में,धारा दो विपरीत छायांकित फलकों के बीच बहती है।
इन दो फलकों के बीच की दूरी भुजा की लंबाई $L$ है,इसलिए $l = L$ है।
प्रत्येक छायांकित फलक का क्षेत्रफल $A = L \times t$ है।
इन मानों को प्रतिरोध सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R = \rho \frac{L}{L \times t} = \frac{\rho}{t}$.
चूंकि प्रतिरोध $R = \frac{\rho}{t}$ के व्यंजक में $L$ शामिल नहीं है,इसलिए प्रतिरोध $L$ से स्वतंत्र है।

(A) मानक प्रतिरोधक आमतौर पर मैंगनीन, कॉन्स्टेंटन या नाइक्रोम जैसी मिश्र धातुओं से बनाए जाते हैं।
इन सामग्रियों को इसलिए चुना जाता है क्योंकि इनका प्रतिरोधकता का तापमान गुणांक बहुत कम होता है, जिसका अर्थ है कि तापमान की एक विस्तृत श्रृंखला पर उनकी प्रतिरोधकता $(\rho)$ लगभग स्थिर रहती है।
दिए गए विकल्पों में से, वह ग्राफ जो तापमान के संबंध में लगभग स्थिर प्रतिरोधकता को दर्शाता है, वह है जहाँ रेखा लगभग क्षैतिज (या बहुत कम ढलान वाली) होती है।
हालाँकि, मानक पाठ्यपुस्तक के प्रश्नों के संदर्भ में, वह वक्र जो तापमान पर प्रतिरोधकता की बहुत कमजोर निर्भरता को दर्शाता है, वह लगभग सपाट होता है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए, कोई भी ग्राफ पूरी तरह से स्थिर रेखा नहीं दिखाता है, लेकिन भौतिकी के पाठ्यक्रम में, मानक प्रतिरोधकों के लिए उपयोग की जाने वाली सामग्री (जैसे मैंगनीन) तापमान के साथ प्रतिरोधकता में बहुत छोटे, लगभग नगण्य परिवर्तन द्वारा पहचानी जाती है।
इसलिए, जो ग्राफ सबसे कम परिवर्तन (सबसे क्षैतिज रेखा) दिखाता है, वह सबसे उपयुक्त प्रतिनिधित्व है।

(D) निर्वात में प्रकाश की चाल $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ द्वारा दी जाती है।
साथ ही,मुक्त आकाश की अभिलक्षणिक प्रतिबाधा (characteristic impedance) $Z_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिबाधा का मात्रक $\text{ओम} (\Omega)$ होता है,जो प्रतिरोध के मात्रक के समान है।
अतः,$\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}$ की विमा प्रतिरोध की विमा के समान है।

(A) कमरे के तापमान पर पदार्थों की प्रतिरोधकता $(\rho)$ इस प्रकार है:
$1$. तांबा $(Cu)$ (चालक): $\approx 1.7 \times 10^{-8} \ \Omega \cdot m$
$2$. नाइक्रोम (मिश्र धातु): $\approx 1.0 \times 10^{-6} \ \Omega \cdot m$ (या $100 \times 10^{-8} \ \Omega \cdot m$)
$3$. जर्मेनियम (अर्धचालक): $\approx 0.46 \ \Omega \cdot m$
$4$. सिलिकॉन (अर्धचालक): $\approx 2300 \ \Omega \cdot m$
इन मानों की तुलना करने पर,प्रतिरोधकता का बढ़ता क्रम है: तांबा < नाइक्रोम < जर्मेनियम < सिलिकॉन।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) एक चालक के लिए,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,जाली आयनों (lattice ions) के तापीय कंपन बढ़ जाते हैं,जिससे मुक्त इलेक्ट्रॉनों की टक्कर अधिक बार होती है। इसके परिणामस्वरूप चालक की प्रतिरोधकता (विशिष्ट प्रतिरोध) बढ़ जाती है।
एक अर्धचालक के लिए,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,सहसंयोजक बंधों (covalent bonds) के टूटने के कारण अधिक आवेश वाहक (इलेक्ट्रॉन और होल) उत्पन्न होते हैं। आवेश वाहकों की संख्या घनत्व में यह वृद्धि अर्धचालक की प्रतिरोधकता (विशिष्ट प्रतिरोध) को काफी कम कर देती है।
इसलिए,चालक की विशिष्ट प्रतिरोधकता बढ़ती है और अर्धचालक की विशिष्ट प्रतिरोधकता घटती है।

(B) ओम के नियम के अनुसार,वोल्टेज $(V)$ और धारा $(i)$ का अनुपात प्रतिरोध $(R)$ के बराबर होता है: $\frac{V}{i} = R$।
एक धात्विक तार के लिए,प्रतिरोध तापमान पर इस संबंध के अनुसार निर्भर करता है: $R = R_0(1 + \alpha \Delta T)$,जहाँ $\alpha$ प्रतिरोध का ताप गुणांक है।
धातुओं के लिए,$\alpha$ धनात्मक होता है।
इसलिए,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,धात्विक तार का प्रतिरोध $(R)$ बढ़ता है।
चूंकि $\frac{V}{i} = R$,इसलिए वोल्टेज और धारा का अनुपात भी तापमान बढ़ने के साथ बढ़ता है।

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A = \frac{\pi d^2}{4}$ है।
चूंकि खींचने के दौरान तार का आयतन स्थिर रहता है,$V = A_1 L_1 = A_2 L_2$,जिसका अर्थ है $L_1 d_1^2 = L_2 d_2^2$,या $\frac{L_1}{L_2} = \frac{d_2^2}{d_1^2}$।
प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{L_1}{L_2} \times \frac{A_2}{A_1} = \frac{L_1}{L_2} \times \frac{d_2^2}{d_1^2}$ है।
समीकरण में $\frac{L_1}{L_2} = \frac{d_2^2}{d_1^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{d_2^2}{d_1^2}\right) \times \left(\frac{d_2^2}{d_1^2}\right) = \frac{d_2^4}{d_1^4}$ प्राप्त होता है।

(B) तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि तार का आकार बदला जा रहा है,इसलिए इसका आयतन $V = A \times L$ स्थिर रहता है।
हम क्षेत्रफल $A$ को व्यास $D$ के संदर्भ में $A = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$ के रूप में लिख सकते हैं।
प्रतिरोध के सूत्र में $A$ का मान रखने पर: $R = \rho \frac{L}{\pi D^2 / 4} = \frac{4 \rho L}{\pi D^2}$.
चूंकि आयतन $V = A \times L = \frac{\pi D^2 L}{4}$ स्थिर है,इसलिए $L = \frac{4V}{\pi D^2}$ होगा।
इस मान को प्रतिरोध के सूत्र में रखने पर: $R = \frac{4 \rho}{\pi D^2} \times \left(\frac{4V}{\pi D^2}\right) = \frac{16 \rho V}{\pi^2 D^4}$.
$R$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें $D$ को अधिकतम करना होगा। चूंकि आयतन स्थिर है,$D$ बढ़ाने से $L$ कम हो जाएगा। इसलिए,हमें $L$ घटाना चाहिए और $D$ बढ़ाना चाहिए।

(C) चालक (जैसे कॉपर) की प्रतिरोधकता तापमान के सीधे समानुपाती होती है। जैसे-जैसे तापमान कम होता है,कॉपर की प्रतिरोधकता कम हो जाती है।
इसके विपरीत,अर्धचालक (जैसे सिलिकॉन) की प्रतिरोधकता तापमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है क्योंकि तापमान बढ़ने पर आवेश वाहकों (charge carriers) की संख्या बढ़ती है। जब तापमान कम होता है,तो मुक्त आवेश वाहकों की संख्या कम हो जाती है,जिससे सिलिकॉन की प्रतिरोधकता बढ़ जाती है।
इसलिए,जब $300 \ K$ से $100 \ K$ तक ठंडा किया जाता है,तो कॉपर की प्रतिरोधकता कम हो जाती है और सिलिकॉन की प्रतिरोधकता बढ़ जाती है।

(A) दिया गया है:
$T_0 = 27.5^{\circ} C$ पर प्रतिरोध $R_0 = 2.1 \Omega$ है।
$T = 100^{\circ} C$ पर प्रतिरोध $R = 2.7 \Omega$ है।
प्रतिरोध की ताप निर्भरता का सूत्र है: $R = R_0[1 + \alpha(T - T_0)]$.
मान रखने पर:
$2.7 = 2.1[1 + \alpha(100 - 27.5)]$
$2.7 = 2.1[1 + \alpha(72.5)]$
$\frac{2.7}{2.1} = 1 + \alpha(72.5)$
$\frac{9}{7} = 1 + \alpha(72.5)$
$\frac{9}{7} - 1 = \alpha(72.5)$
$\frac{2}{7} = \alpha(72.5)$
$\alpha = \frac{2}{7 \times 72.5} = \frac{2}{507.5} \approx 0.00394 \approx 3.9 \times 10^{-3} {}^{\circ} C^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) चालक का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ धारा के प्रवाह की दिशा में चालक की लंबाई है,और $A$ धारा के प्रवाह के लंबवत अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
प्रतिरोध $R$ को अधिकतम करने के लिए,हमें अनुपात $\frac{l}{A}$ को अधिकतम करने की आवश्यकता है। इसका मतलब है कि हमें सबसे बड़ी लंबाई $l$ और सबसे छोटा अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ चाहिए।
छड़ के आयाम $10 \ cm$,$1 \ cm$ और $0.5 \ cm$ हैं।
यदि बैटरी को $1 \ cm \times 0.5 \ cm$ फलकों पर जोड़ा जाता है,तो धारा $l = 10 \ cm$ की लंबाई से होकर बहती है। अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 1 \ cm \times 0.5 \ cm = 0.5 \ cm^2$ है।
इस स्थिति में,अनुपात $\frac{l}{A} = \frac{10}{0.5} = 20 \ cm^{-1}$ है।
अन्य विन्यासों के साथ तुलना करने पर,यह विन्यास अनुपात $\frac{l}{A}$ के लिए अधिकतम मान देता है,इसलिए प्रतिरोध अधिकतम है।

(A) प्रतिरोध और तापमान के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $R_\theta = R_0 [1 + \alpha (\theta - \theta_0)]$
दिए गए मान हैं: $R_0 = 100 \ \Omega$,$\theta_0 = 27^\circ \text{C}$,$R_\theta = 137 \ \Omega$,और $\alpha = 1.35 \times 10^{-4} \ ^\circ \text{C}^{-1}$.
समीकरण में मान रखने पर:
$137 = 100 [1 + 1.35 \times 10^{-4} (\theta - 27)]$
$1.37 = 1 + 1.35 \times 10^{-4} (\theta - 27)$
$0.37 = 1.35 \times 10^{-4} (\theta - 27)$
$\theta - 27 = \frac{0.37}{1.35 \times 10^{-4}}$
$\theta - 27 \approx 2740.74$
$\theta \approx 2740.74 + 27 = 2767.74^\circ \text{C}$
निकटतम पूर्णांक में,$\theta \approx 2767^\circ \text{C}$ प्राप्त होता है।

(A) चालकता $(\sigma)$ और प्रतिरोधकता $(\rho)$ का अनुपात $\frac{\sigma}{\rho}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\sigma = \frac{1}{\rho}$, हम अनुपात को $\frac{1/\rho}{\rho} = \frac{1}{\rho^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
एक चालक के लिए, जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, जाली आयनों (lattice ions) के साथ इलेक्ट्रॉनों के टकराव बढ़ने के कारण प्रतिरोधकता $(\rho)$ बढ़ती है।
चूंकि $\rho$ हर (denominator) में है और इसका वर्ग है, इसलिए जैसे-जैसे $\rho$ बढ़ता है, $\frac{1}{\rho^2}$ का मान घटता है।
अतः, चालकता और प्रतिरोधकता का अनुपात घटता है।

(B) जब दो तार श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो कुल प्रतिरोध $R$,व्यक्तिगत प्रतिरोधों $R_1$ और $R_2$ के योग के बराबर होता है।
$R = R_1 + R_2$
सूत्र $R = \frac{\rho L}{A}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है:
$\frac{\rho(2l)}{A} = \frac{\rho_1 l}{A} + \frac{\rho_2 l}{A}$
दोनों पक्षों को $\frac{l}{A}$ से विभाजित करने पर:
$2\rho = \rho_1 + \rho_2$
$\therefore \rho = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2}$

(B) तार का प्रतिरोध $R = \frac{\rho l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आयतन $V = A \times l$,हम $A = \frac{V}{l}$ लिख सकते हैं।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R = \frac{\rho l^2}{V}$ प्राप्त होता है।
चूंकि घनत्व $d = \frac{m}{V}$,इसलिए $V = \frac{m}{d}$ होता है।
अतः,$R = \frac{\rho l^2 d}{m}$।
समान पदार्थ के तारों के लिए,$\rho$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto \frac{l^2}{m}$।
दिए गए अनुपात $m_1:m_2:m_3 = 1:3:5$ और $l_1:l_2:l_3 = 5:3:1$ हैं,इसलिए प्रतिरोधों का अनुपात:
$R_1: R_2: R_3 = \frac{l_1^2}{m_1} : \frac{l_2^2}{m_2} : \frac{l_3^2}{m_3}$
$R_1: R_2: R_3 = \frac{5^2}{1} : \frac{3^2}{3} : \frac{1^2}{5}$
$R_1: R_2: R_3 = 25 : 3 : 0.2$
भिन्न को हटाने के लिए $5$ से गुणा करने पर:
$R_1: R_2: R_3 = 125 : 15 : 1$।

(D) तार का प्रतिरोध $R = \frac{\rho l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि खींचने के दौरान आयतन $V = A \times l$ स्थिर रहता है,हम $A = \frac{V}{l}$ लिख सकते हैं।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $R = \frac{\rho l^2}{V}$।
चूंकि $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto l^2$ है।
लंबाई में परिवर्तन $\frac{\Delta l}{l} = 2\% = 0.02$ दिया गया है।
छोटे परिवर्तनों के लिए अवकलन विधि का उपयोग करने पर: $\frac{\Delta R}{R} = 2 \frac{\Delta l}{l}$।
$\frac{\Delta R}{R} = 2 \times 2\% = 4\%$।
वैकल्पिक रूप से,अनुपात विधि का उपयोग करने पर:
$R_1 \propto l^2$ और $R_2 \propto (1.02l)^2 = 1.0404l^2$।
$\frac{R_2 - R_1}{R_1} \times 100\% = (1.0404 - 1) \times 100\% = 4.04\% \approx 4\%$।

(C) तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \frac{\rho l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
प्रतिरोधकता $\rho$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\rho = \frac{RA}{l}$.
दिए गए मान: $R = 5 \ \Omega$,$l = 15 \ m$,और $A = 6 \times 10^{-7} \ m^2$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\rho = \frac{5 \times 6 \times 10^{-7}}{15}$
$\rho = \frac{30 \times 10^{-7}}{15}$
$\rho = 2 \times 10^{-7} \ \Omega \ m$.

(C) सही विकल्प $C$ है।
सिलिकॉन एक अर्धचालक (semiconductor) है।
अर्धचालकों में,तापमान बढ़ने पर आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या घनत्व में तेजी से वृद्धि होती है।
यद्यपि तापमान के साथ विश्रांति काल (relaxation time) कम हो जाता है,लेकिन आवेश वाहकों की संख्या घनत्व में वृद्धि प्रभावी होती है,जिसके परिणामस्वरूप तापमान बढ़ने पर प्रतिरोधकता कम हो जाती है।
इसके विपरीत,तांबा,एल्युमीनियम जैसी धातुओं और नाइक्रोम जैसी मिश्र धातुओं में तापमान बढ़ने पर प्रतिरोधकता बढ़ती है।

(D) सही विकल्प $D$ है।
चालकता $(\sigma)$ पदार्थ का एक आंतरिक गुण है।
यह केवल पदार्थ की प्रकृति, उसके तापमान और दबाव पर निर्भर करती है।
यह चालक के भौतिक आयामों, जैसे कि उसकी लंबाई $(L)$ या अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $(A)$ पर निर्भर नहीं करती है।
इसलिए, जब तार को खींचा जाता है, तो उसका प्रतिरोध बदल जाता है, लेकिन उसकी चालकता समान रहती है।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_{1} = 100^{\circ} C$,प्रारंभिक प्रतिरोध $R_{1} = 100 \ \Omega$,अंतिम प्रतिरोध $R_{2} = 200 \ \Omega$,और तापमान गुणांक $\alpha = 0.005 \ ^{\circ} C^{-1}$।
प्रतिरोध की तापमान निर्भरता के सूत्र का उपयोग करते हुए: $R_{2} = R_{1}[1 + \alpha(T_{2} - T_{1})]$।
$T_{2}$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $T_{2} - T_{1} = \frac{R_{2} - R_{1}}{\alpha R_{1}}$।
मान रखने पर: $T_{2} - 100 = \frac{200 - 100}{0.005 \times 100}$।
$T_{2} - 100 = \frac{100}{0.5} = 200$।
$T_{2} = 200 + 100 = 300^{\circ} C$।

(A) चालक का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ धारा के प्रवाह की दिशा में चालक की लंबाई है,और $A$ धारा के प्रवाह के लंबवत अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
संबंध $R \propto \frac{L}{A}$ से,हम देख सकते हैं कि पदार्थ के निश्चित आयतन के लिए,प्रतिरोध लंबाई के वर्ग $(L^2)$ के समानुपाती होता है या क्षेत्रफल के वर्ग $(A^2)$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
वैकल्पिक रूप से,एक निश्चित छड़ के लिए,प्रतिरोध तब अधिकतम होता है जब धारा सबसे छोटे अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ से होकर बहती है,जिसके परिणामस्वरूप सबसे लंबी प्रभावी लंबाई $L$ प्राप्त होती है।
तीन संभावित अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल हैं:
$1$. $A_1 = 10 \text{ cm} \times 1 \text{ cm} = 10 \text{ cm}^2$
$2$. $A_2 = 10 \text{ cm} \times 0.5 \text{ cm} = 5 \text{ cm}^2$
$3$. $A_3 = 1 \text{ cm} \times 0.5 \text{ cm} = 0.5 \text{ cm}^2$
प्रतिरोध तब अधिकतम होता है जब अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ न्यूनतम होता है। न्यूनतम क्षेत्रफल $0.5 \text{ cm}^2$ है,जो $1 \text{ cm} \times 0.5 \text{ cm}$ आयाम वाले फलकों के अनुरूप है।

(A) दिए गए ग्राफ में:
$1$. पदार्थ $Z$ के लिए,तापमान $T$ में वृद्धि के साथ प्रतिरोधकता $\rho$ तेजी से घटती है। यह अर्धचालकों का एक विशिष्ट गुण है।
$2$. पदार्थ $Y$ के लिए,तापमान $T$ के साथ प्रतिरोधकता $\rho$ रैखिक रूप से बढ़ती है। यह नाइक्रोम जैसी मिश्र धातुओं का एक विशिष्ट गुण है,जिनका प्रतिरोध का तापमान गुणांक बहुत कम होता है।
$3$. पदार्थ $X$ के लिए,तापमान $T$ के साथ प्रतिरोधकता $\rho$ गैर-रैखिक रूप से बढ़ती है। यह कॉपर जैसी धातुओं का एक विशिष्ट गुण है।
अतः,$X$ कॉपर है,$Y$ नाइक्रोम है,और $Z$ अर्धचालक है।

(C) तार का प्रतिरोध $(R)$ सूत्र $R = \frac{\rho \ell}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$\ell$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि तार बेलनाकार है,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (D/2)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$ होता है।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $R = \frac{\rho \ell}{\pi D^2 / 4} = \frac{4 \rho \ell}{\pi D^2}$।
चूंकि $\rho$,$\ell$ और $\pi$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto \frac{1}{D^2}$ है।
यह संबंध व्युत्क्रम वर्ग नियम को दर्शाता है,जिसका अर्थ है कि जैसे-जैसे $D$ बढ़ता है,$R$ घटता है। दिए गए विकल्पों में से,ग्राफ $C$ इस व्यवहार को दर्शाता है।