Resistance of wire, Resistivity and Conductivity Questions in Hindi

(D) विद्युत चालकता $(\sigma)$,विद्युत प्रतिरोधकता $(\rho)$ का व्युत्क्रम होती है,अर्थात $\sigma = 1/\rho$।
धातुओं के लिए,प्रतिरोधकता $(\rho)$ बहुत कम होती है,जो आमतौर पर $10^{-8} \Omega \text{ m}$ से $10^{-6} \Omega \text{ m}$ की सीमा में होती है।
परिणामस्वरूप,विद्युत चालकता $(\sigma)$ बहुत अधिक होती है,जो आमतौर पर $10^6 \text{ S m}^{-1}$ से $10^8 \text{ S m}^{-1}$ की सीमा में होती है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $D$ इन सीमाओं को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) $I-V$ ग्राफ से,ढाल $1/R$ को दर्शाता है।
तापमान $t_1 = 100^{\circ} C$ के लिए,कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $1/R_1 = \tan 45^{\circ} = 1$,जिससे $R_1 = 1 \Omega$ प्राप्त होता है।
तापमान $t_2 = 400^{\circ} C$ के लिए,कोण $30^{\circ}$ है,इसलिए $1/R_2 = \tan 30^{\circ} = 1/\sqrt{3}$,जिससे $R_2 = \sqrt{3} \Omega \approx 1.732 \Omega$ प्राप्त होता है।
प्रतिरोध का तापमान गुणांक $\alpha$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\alpha = \frac{R_2 - R_1}{R_1 t_2 - R_2 t_1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 \times 400 - \sqrt{3} \times 100} = \frac{0.732}{400 - 173.2} = \frac{0.732}{226.8} \approx 3.22 \times 10^{-3} /^{\circ} C$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान लगभग $3 \times 10^{-3} /^{\circ} C$ है।

(B) माना तार की प्रारंभिक लंबाई $l$ है। खींचने के बाद,नई लंबाई $l^{\prime} = l + 10\% \text{ of } l = l + 0.1l = 1.1l$ होगी।
चूंकि तार का आयतन स्थिर रहता है,$A \cdot l = A^{\prime} \cdot l^{\prime}$,जिसका अर्थ है $A^{\prime} = A / 1.1$।
नया प्रतिरोध $R^{\prime} = \rho \frac{l^{\prime}}{A^{\prime}} = \rho \frac{1.1l}{A/1.1} = (1.1)^2 \rho \frac{l}{A} = 1.21R$ होगा।
अतः,प्रतिरोध मूल प्रतिरोध का $1.21$ गुना हो जाता है।
विशिष्ट प्रतिरोध (प्रतिरोधकता) $\rho$ पदार्थ का एक आंतरिक गुण है और यह केवल पदार्थ की प्रकृति और तापमान पर निर्भर करता है,तार के आयामों पर नहीं। इसलिए,विशिष्ट प्रतिरोध समान रहेगा।

(D) दिया गया है,प्रारंभिक प्रतिरोध,$R_{1} = 3 \Omega$ है।
मान लीजिए तार की मूल लंबाई $l$ है। जब तार को उसकी लंबाई से दोगुना खींचा जाता है,तो नई लंबाई $l^{\prime} = 2l$ हो जाती है।
चूंकि खींचने के दौरान तार का आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $V = A \times l = A^{\prime} \times l^{\prime}$।
अतः,$A^{\prime} = \frac{A \times l}{l^{\prime}} = \frac{A \times l}{2l} = \frac{A}{2}$।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
नया प्रतिरोध $R_{2} = \rho \frac{l^{\prime}}{A^{\prime}} = \rho \frac{2l}{A/2} = 4 \left( \rho \frac{l}{A} \right) = 4 R_{1}$ होगा।
$R_{1}$ का मान रखने पर,हमें $R_{2} = 4 \times 3 \Omega = 12 \Omega$ प्राप्त होता है।

(C) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि $A = \frac{V}{l} = \frac{m}{l \cdot d}$ (जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $d$ घनत्व है),हम लिख सकते हैं:
$R = \rho \frac{l^2 \cdot d}{m}$
तांबे के तारों के लिए $\rho$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto \frac{l^2}{m}$।
दिए गए अनुपात: $m_1:m_2:m_3 = 1:3:5$ और $l_1:l_2:l_3 = 5:3:1$।
प्रतिरोधों का अनुपात ज्ञात करने पर:
$R_1:R_2:R_3 = \frac{l_1^2}{m_1} : \frac{l_2^2}{m_2} : \frac{l_3^2}{m_3}$
$R_1:R_2:R_3 = \frac{5^2}{1} : \frac{3^2}{3} : \frac{1^2}{5}$
$R_1:R_2:R_3 = 25 : 3 : \frac{1}{5}$
भिन्न को हटाने के लिए $5$ से गुणा करने पर:
$R_1:R_2:R_3 = 125 : 15 : 1$.

(D) तापमान $T$ पर चालक का प्रतिरोध $R$ निम्नलिखित रैखिक संबंध द्वारा दिया जाता है:
$R = R_{0} [1 + \alpha(T - T_{0})]$
$R = R_{0} + R_{0}\alpha(T - T_{0})$
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = R$ और $x = (T - T_{0})$ है:
ग्राफ का ढाल $m = R_{0}\alpha$ है।
अतः,तापमान गुणांक $(\alpha)$ होगा:
$\alpha = \frac{m}{R_{0}}$

(D) दिया गया है कि द्रव्यमान का अनुपात $m_{1}: m_{2}: m_{3} = 1: 3: 5$ है और लंबाई का अनुपात $l_{1}: l_{2}: l_{3} = 5: 3: 1$ है।
हम जानते हैं कि विद्युत प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि घनत्व $d = \frac{m}{V} = \frac{m}{Al}$ है,इसलिए $A = \frac{m}{dl}$ होगा।
प्रतिरोध के सूत्र में $A$ का मान रखने पर,$R = \rho \frac{l}{(m/dl)} = \rho d \frac{l^{2}}{m}$ प्राप्त होता है।
तांबे के तारों के लिए $\rho$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto \frac{l^{2}}{m}$ होगा।
अतः,प्रतिरोधों का अनुपात $R_{1}: R_{2}: R_{3} = \frac{l_{1}^{2}}{m_{1}}: \frac{l_{2}^{2}}{m_{2}}: \frac{l_{3}^{2}}{m_{3}}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $R_{1}: R_{2}: R_{3} = \frac{5^{2}}{1}: \frac{3^{2}}{3}: \frac{1^{2}}{5} = \frac{25}{1}: \frac{9}{3}: \frac{1}{5} = 25: 3: 0.2$ प्राप्त होता है।
अनुपात को सरल बनाने के लिए $5$ से गुणा करने पर: $125: 15: 1$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: $T_1 = 300 \, K$ पर $R_{T_1} = 0.3 \, \Omega$ है।
तापमान $T_2$ पर प्रतिरोध $R_{T_2} = 0.6 \, \Omega$ है।
प्रतिरोध का ताप गुणांक $\alpha = 1.5 \times 10^{-3} \, K^{-1}$ है।
तापमान के साथ प्रतिरोध में परिवर्तन का सूत्र $R_T = R_{T_0} [1 + \alpha(T - T_0)]$ है।
दिए गए मानों का उपयोग करने पर: $0.6 = 0.3 [1 + 1.5 \times 10^{-3} (T_2 - 300)]$.
दोनों पक्षों को $0.3$ से विभाजित करने पर: $2 = 1 + 1.5 \times 10^{-3} (T_2 - 300)$.
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर: $1 = 1.5 \times 10^{-3} (T_2 - 300)$.
$(T_2 - 300)$ के लिए हल करने पर: $T_2 - 300 = \frac{1}{1.5 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{1.5} \approx 666.67 \, K$.
अतः, $T_2 = 300 + 666.67 = 966.67 \, K$। विकल्पों को देखते हुए, $993 \, K$ सबसे निकटतम सैद्धांतिक उत्तर है।

(D) तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि तांबे के टुकड़े का आयतन $V$ स्थिर रहता है,इसलिए $V = A \times L$।
प्रतिरोध सूत्र में $A = \frac{V}{L}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R = \rho \frac{L}{V/L} = \rho \frac{L^2}{V}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto L^2$।
साथ ही,$A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$।
इसे प्रतिरोध सूत्र में रखने पर,$R = \rho \frac{L}{\pi d^2 / 4} = \frac{4 \rho L}{\pi d^2}$।
प्रतिरोध को अधिकतम करने के लिए,हमें लंबाई $L$ को बढ़ाना होगा और व्यास $d$ को कम करना होगा।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$2L$ और $d/2$ का विन्यास अधिकतम प्रतिरोध प्रदान करता है क्योंकि $R \propto \frac{L}{d^2}$।
$L' = 2L$ और $d' = d/2$ रखने पर,हमें $R' \propto \frac{2L}{(d/2)^2} = \frac{2L}{d^2/4} = 8 \frac{L}{d^2}$ प्राप्त होता है,जो विकल्पों में सबसे अधिक मान है।

(C) तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
दिया गया है:
प्रतिरोधकता $\rho = 1.7 \times 10^{-8} \ \Omega \ m$
लंबाई $L = 30 \ m$
क्षेत्रफल $A = 6 \times 10^{-7} \ m^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$R = (1.7 \times 10^{-8} \ \Omega \ m) \times \frac{30 \ m}{6 \times 10^{-7} \ m^2}$
$R = 1.7 \times 10^{-8} \times 5 \times 10^7 \ \Omega$
$R = 8.5 \times 10^{-1} \ \Omega$
$R = 0.85 \ \Omega$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) एक चालक का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि $R \propto \frac{l}{A}$,$R$ को अधिकतम करने के लिए,हमें अधिकतम लंबाई $l$ और न्यूनतम क्षेत्रफल $A$ की आवश्यकता है।
दिए गए आयामों $1 \ cm, 2 \ cm, 3 \ cm$ के लिए:
अधिकतम प्रतिरोध $R_{\max} = \rho \frac{3 \ cm}{(1 \ cm \times 2 \ cm)} = \rho \frac{3}{2} \ cm^{-1}$.
$R$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें न्यूनतम लंबाई $l$ और अधिकतम क्षेत्रफल $A$ की आवश्यकता है।
न्यूनतम प्रतिरोध $R_{\min} = \rho \frac{1 \ cm}{(2 \ cm \times 3 \ cm)} = \rho \frac{1}{6} \ cm^{-1}$.
अनुपात $\frac{R_{\max}}{R_{\min}} = \frac{\rho \times 1.5}{\rho \times (1/6)} = 1.5 \times 6 = 9$.
अतः,अनुपात $9: 1$ है।

(B) दिया गया है,प्रारंभिक प्रतिरोध $R_1 = 8 \Omega$ है।
अनुदैर्ध्य विकृति $\varepsilon = \frac{\Delta l}{l_1} = 400 \% = 4$ है।
अंतिम लंबाई $l_2 = l_1 + \Delta l = l_1 + 4l_1 = 5l_1$ होगी।
चूंकि तार को खींचने के दौरान उसका आयतन स्थिर रहता है,इसलिए प्रतिरोध $R$ लंबाई के वर्ग के समानुपाती होता है: $R \propto l^2$।
अतः,$\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2$।
मान रखने पर: $\frac{R_2}{8} = \left(\frac{5l_1}{l_1}\right)^2 = 5^2 = 25$।
इस प्रकार,$R_2 = 25 \times 8 = 200 \Omega$।

(C) दिया गया है: धारा $I = 2 \, A$, विभवांतर $\Delta V = 3.4 \, V$, द्रव्यमान $m = 8.92 \times 10^{-3} \, kg$, घनत्व $d = 8.92 \times 10^3 \, kg/m^3$, प्रतिरोधकता $\rho = 1.7 \times 10^{-8} \, \Omega m$.
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, प्रतिरोध $R$:
$R = \frac{\Delta V}{I} = \frac{3.4}{2} = 1.7 \, \Omega$.
तार का आयतन $V_{ol}$:
$V_{ol} = \frac{m}{d} = \frac{8.92 \times 10^{-3}}{8.92 \times 10^3} = 10^{-6} \, m^3$.
हम जानते हैं कि प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ होता है। चूंकि $V_{ol} = A \times L$, इसलिए $A = \frac{V_{ol}}{L}$.
प्रतिरोध के सूत्र में $A$ का मान रखने पर:
$R = \rho \frac{L}{(V_{ol}/L)} = \frac{\rho L^2}{V_{ol}}$.
$L^2$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$L^2 = \frac{R \times V_{ol}}{\rho} = \frac{1.7 \times 10^{-6}}{1.7 \times 10^{-8}} = 10^2$.
अतः, तार की लंबाई $L = 10 \, m$ है।

(B) तार का प्रतिरोध $R = \frac{L}{\sigma A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $\sigma$ चालकता है।
दो तारों को श्रेणीक्रम में जोड़ने पर,कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2$ होता है।
संयुक्त तार की कुल लंबाई $2L$ है और क्षेत्रफल $A$ समान रहता है।
प्रतिरोध के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2L}{\sigma_{eq} A} = \frac{L}{\sigma_1 A} + \frac{L}{\sigma_2 A}$.
दोनों पक्षों से $L$ और $A$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{2}{\sigma_{eq}} = \frac{1}{\sigma_1} + \frac{1}{\sigma_2}$.
दाहिनी ओर को सरल करने पर: $\frac{2}{\sigma_{eq}} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{\sigma_1 \sigma_2}$.
अतः,प्रभावी चालकता $\sigma_{eq} = \frac{2 \sigma_1 \sigma_2}{\sigma_1 + \sigma_2}$ है।

(C) माना प्लेट $A$ की भुजा की लंबाई $L$ है। तो प्लेट $B$ की भुजा की लंबाई $2L$ होगी।
चूंकि दोनों $t$ मोटाई की वर्गाकार प्लेटें हैं, इसलिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_{cs} = \text{भुजा} \times t$ द्वारा दिया जाता है।
प्लेट $A$ के लिए: $L_A = L$ (धारा की दिशा में लंबाई), $A_{cs,A} = L \times t$।
प्लेट $B$ के लिए: $L_B = 2L$ (धारा की दिशा में लंबाई), $A_{cs,B} = 2L \times t$।
प्रतिरोध के सूत्र $R = \frac{\rho L}{A_{cs}}$ का उपयोग करने पर:
$R_A = \frac{\rho L}{Lt} = \frac{\rho}{t}$
$R_B = \frac{\rho (2L)}{(2L)t} = \frac{\rho}{t}$
अतः, $\frac{R_A}{R_B} = \frac{\rho/t}{\rho/t} = 1$।

(B) मान लीजिए तार की मूल लंबाई $L$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है। मूल प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ है।
मान लीजिए लंबाई का $x$ भाग $n = 1.5$ के गुणक से खींचा जाता है।
कुल लंबाई $L_{total} = (1-x)L + xLn = L(1 - x + 1.5x) = L(1 + 0.5x)$ है।
दिया गया है $L_{total} = 1.5L$,इसलिए $1 + 0.5x = 1.5 \implies x = 1$ है।
प्रतिरोध के लिए: $R_{total} = R_s + R_u = n^2(xR) + (1-x)R = 2.25xR + (1-x)R = R(1 + 1.25x)$ है।
$R_{total} = 4R$ के लिए,$1 + 1.25x = 4 \implies 1.25x = 3 \implies x = 2.4$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\frac{1}{8}$ है।

(B) दिया गया है: $0^{\circ} C$ पर प्रतिरोध $R_0 = 20 \Omega$ है।
प्रतिरोध का ताप गुणांक $\alpha = 5 \times 10^{-3} {}^{\circ} C^{-1}$ है।
हमें वह तापमान $t$ ज्ञात करना है जिस पर प्रतिरोध $R_t$ प्रारंभिक प्रतिरोध का दोगुना हो जाए,अतः $R_t = 2 R_0 = 2 \times 20 = 40 \Omega$ है।
तापमान $t$ पर प्रतिरोध का सूत्र $R_t = R_0(1 + \alpha t)$ है।
मान रखने पर: $40 = 20(1 + 5 \times 10^{-3} t)$।
दोनों पक्षों को $20$ से विभाजित करने पर: $2 = 1 + 5 \times 10^{-3} t$।
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर: $1 = 5 \times 10^{-3} t$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{1}{5 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{5} = 200^{\circ} C$।

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $r$ त्रिज्या है।
पहले तार के लिए: $l_1 = 1 \text{ cm}$,$r_1 = 1 \text{ mm}$,$R_1 = 3 \times 10^{-3} \Omega$.
समान पदार्थ के दो तारों के प्रतिरोध का अनुपात $\frac{R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1} \times \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $l_1 = 1 \text{ cm}$,$l_2 = 3 \text{ cm}$,$r_1 = 1 \text{ mm}$,$r_2 = 0.5 \text{ mm}$.
$\frac{R_2}{3 \times 10^{-3}} = \left(\frac{3}{1}\right) \times \left(\frac{1}{0.5}\right)^2$.
$\frac{R_2}{3 \times 10^{-3}} = 3 \times (2)^2 = 3 \times 4 = 12$.
$R_2 = 12 \times 3 \times 10^{-3} = 36 \times 10^{-3} \Omega = 0.036 \Omega$.

(A) धातुओं में,चालकता मुक्त इलेक्ट्रॉनों की गति के कारण होती है। जब तापमान बढ़ता है,तो जालक (lattice) में धातु के आयनों (परमाणुओं) का कंपन बढ़ जाता है। इसके परिणामस्वरूप गतिमान इलेक्ट्रॉनों और कंपन करते हुए आयनों के बीच अधिक बार टक्कर होती है। फलस्वरूप,धातु का प्रतिरोध बढ़ जाता है,जिसके कारण चालकता में कमी आती है।

(C) दिया गया है: घन की भुजा की लंबाई,$l = 60 \text{ cm} = 0.6 \text{ m} = 60 \times 10^{-2} \text{ m}$.
पदार्थ की प्रतिरोधकता,$\rho = 60 \times 10^{-8} \Omega \text{ m}$.
घन के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = l^2 = (60 \times 10^{-2} \text{ m})^2$ है।
प्रतिरोध का सूत्र $R = \frac{\rho l}{A}$ है।
मान रखने पर:
$R = \frac{60 \times 10^{-8} \times (60 \times 10^{-2})}{(60 \times 10^{-2})^2}$
$R = \frac{60 \times 10^{-8}}{60 \times 10^{-2}}$
$R = 1 \times 10^{-6} \Omega$.

(C) $t$ तापमान पर तार का प्रतिरोध $R_t = R_0(1 + \alpha t)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_0$ $0^{\circ} C$ पर प्रतिरोध है और $\alpha$ प्रतिरोध का तापमान गुणांक है।
दिया गया है: $R_{150} = 133 \Omega$ और $\alpha = 0.0045^{\circ} C^{-1}$।
$t = 150^{\circ} C$ के लिए:
$133 = R_0(1 + 150 \times 0.0045) = R_0(1 + 0.675) = 1.675 R_0$
$R_0 = \frac{133}{1.675} \approx 79.403 \Omega$
अब,$t = 500^{\circ} C$ के लिए:
$R_{500} = R_0(1 + 500 \times 0.0045) = R_0(1 + 2.25) = 3.25 R_0$
$R_0$ का मान रखने पर:
$R_{500} = 3.25 \times \frac{133}{1.675} = \frac{432.25}{1.675} \approx 258.06 \Omega$
अतः,$500^{\circ} C$ पर प्रतिरोध लगभग $258 \Omega$ है।

(A) दिया गया है: लंबाई, $l = 5 \, m$.
बाहरी व्यास, $d_1 = 0.1 \, m$.
बाहरी त्रिज्या, $r_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{0.1}{2} = 0.05 \, m$.
मोटाई, $t = 0.005 \, m$.
आंतरिक त्रिज्या, $r_2 = r_1 - t = 0.05 - 0.005 = 0.045 \, m$.
खोखली नली के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल, $A = \pi(r_1^2 - r_2^2)$.
$A = 3.14 \times [(0.05)^2 - (0.045)^2] = 3.14 \times (0.0025 - 0.002025) = 3.14 \times 0.000475 = 1.4915 \times 10^{-3} \, m^2$.
प्रतिरोध, $R = \rho \cdot \frac{l}{A} = 1.7 \times 10^{-8} \times \frac{5}{1.4915 \times 10^{-3}}$.
$R \approx 5.7 \times 10^{-5} \, \Omega$.

(A) तार का प्रतिरोध $R = \frac{S l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $S$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि तार श्रेणी क्रम में जुड़े हैं,कुल प्रतिरोध $R$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों का योग है: $R = R_1 + R_2$.
प्रतिरोध के सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{S(l_1 + l_2)}{A} = \frac{S_1 l_1}{A} + \frac{S_2 l_2}{A}$.
चूंकि व्यास समान हैं,इसलिए दोनों तारों के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान रहेगा।
दोनों पक्षों से $A$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $S(l_1 + l_2) = S_1 l_1 + S_2 l_2$.
अतः,तुल्य प्रतिरोधकता $S$ का मान है: $S = \frac{S_1 l_1 + S_2 l_2}{l_1 + l_2}$।

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि सभी तारों के आयाम समान हैं ($L$ और $A$ स्थिर हैं),प्रतिरोध $R$ प्रतिरोधकता $\rho$ के सीधे आनुपातिक है।
जब $n$ तार श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 + . . . + R_n$ होता है।
$R = \rho \frac{L}{A}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\rho_{eq} \frac{L}{A} = \rho_1 \frac{L}{A} + \rho_2 \frac{L}{A} + . . . + \rho_n \frac{L}{A}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $\frac{L}{A}$ को हटाने पर,$\rho_{eq} = \rho_1 + \rho_2 + . . . + \rho_n$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\rho_1 = 1, \rho_2 = 2, . . . , \rho_n = n$ दिया गया है,इसलिए तुल्य प्रतिरोधकता $\rho_{eq} = 1 + 2 + 3 + . . . + n$ है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करने पर,$\rho_{eq} = \frac{n(n+1)}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) प्रतिरोध के ताप गुणांक $\alpha$ का सूत्र $\alpha = \frac{R_2 - R_1}{R_1(T_2 - T_1)}$ है।
यह दिया गया है कि प्रतिरोध $10 \%$ बढ़ जाता है,इसलिए $R_2 = R_1 + 0.10 R_1 = 1.1 R_1$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 356 \ K - 303 \ K = 53 \ K$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\alpha = \frac{1.1 R_1 - R_1}{R_1(53)} = \frac{0.1 R_1}{53 R_1} = \frac{0.1}{53}$।
$\alpha \approx 0.001886 \ K^{-1} \approx 1.886 \times 10^{-3} \ K^{-1}$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,$\alpha \approx 2 \times 10^{-3} \ K^{-1}$ प्राप्त होता है।

(A) प्रतिरोध की ताप पर निर्भरता का सूत्र $R_T = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ होता है।
यहाँ $R_1 = 2.5 \ \Omega$ तापमान $T_1 = 373 \ K$ पर है,$\alpha = 3.6 \times 10^{-3} \ K^{-1}$ और $T_2 = 273 \ K$ है।
तापमान का अंतर $\Delta T = 373 - 273 = 100 \ K$ है।
सूत्र $R_2 = R_1 / (1 + \alpha \Delta T)$ का उपयोग करने पर:
$R_2 = 2.5 / (1 + 3.6 \times 10^{-3} \times 100)$
$R_2 = 2.5 / (1 + 0.36) = 2.5 / 1.36$
$R_2 \approx 1.838 \ \Omega \approx 1.84 \ \Omega$.

(B) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता (विशिष्ट प्रतिरोध) है,$L$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होने के कारण,प्रारंभिक प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ है।
जब लंबाई को दोगुना $(L' = 2L)$ और त्रिज्या को दोगुना $(r' = 2r)$ किया जाता है,तो नया प्रतिरोध $R'$ इस प्रकार होगा:
$R' = \rho \frac{L'}{\pi (r')^2} = \rho \frac{2L}{\pi (2r)^2} = \rho \frac{2L}{4 \pi r^2} = \frac{1}{2} \left( \rho \frac{L}{\pi r^2} \right) = \frac{R}{2}$.
चूंकि प्रतिरोधकता $(\rho)$ पदार्थ का एक गुण है और यह तार के आयामों पर निर्भर नहीं करती है,इसलिए यह अपरिवर्तित रहती है।
अतः,प्रतिरोध आधा हो जाता है और विशिष्ट प्रतिरोध अपरिवर्तित रहता है।

(D) तार का प्रतिरोध $R$,$R = \frac{\rho L}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आयतन $V = A \times L$ है,हम $A = \frac{V}{L}$ लिख सकते हैं।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R = \frac{\rho L^2}{V}$ प्राप्त होता है।
चूंकि घनत्व $d = \frac{m}{V}$ है,इसलिए $V = \frac{m}{d}$ होता है।
अतः,$R = \frac{\rho L^2 d}{m}$।
चूंकि पदार्थ समान है,$\rho$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto \frac{L^2}{m}$।
दिए गए अनुपात $m_1 : m_2 : m_3 = 1 : 2 : 3$ और $L_1 : L_2 : L_3 = 3 : 2 : 1$ हैं,इसलिए प्रतिरोधों का अनुपात:
$R_1 : R_2 : R_3 = \frac{L_1^2}{m_1} : \frac{L_2^2}{m_2} : \frac{L_3^2}{m_3}$
$R_1 : R_2 : R_3 = \frac{3^2}{1} : \frac{2^2}{2} : \frac{1^2}{3}$
$R_1 : R_2 : R_3 = 9 : 2 : \frac{1}{3}$
भिन्न को हटाने के लिए $3$ से गुणा करने पर,हमें $27 : 6 : 1$ प्राप्त होता है।

(A) तार का प्रारंभिक प्रतिरोध,$R_1 = 2 R$ है। मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $L_1$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_1$ है।
जब तार को खींचकर उसकी लंबाई दोगुनी की जाती है,तो नई लंबाई $L_2 = 2 L_1$ हो जाती है। चूंकि तार का आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $A_1 L_1 = A_2 L_2$ होगा।
$L_2 = 2 L_1$ प्रतिस्थापित करने पर,$A_1 L_1 = A_2 (2 L_1)$,जिसका अर्थ है कि $A_2 = A_1 / 2$ है।
नया प्रतिरोध $R_2 = \rho \frac{L_2}{A_2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$R_2 = \rho \frac{2 L_1}{A_1 / 2} = 4 \left( \rho \frac{L_1}{A_1} \right) = 4 R_1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $R_1 = 2 R$ है,इसलिए नया प्रतिरोध $R_2 = 4 \times (2 R) = 8 R$ होगा।
प्रतिरोध में हुई वृद्धि $\Delta R = R_2 - R_1 = 8 R - 2 R = 6 R$ है।

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूँकि अनुप्रस्थ काट वृत्ताकार है,$A = \pi r^2$ होगा।
पहले तार के लिए: $R = \rho \frac{L}{\pi r^2} \quad (1)$
दूसरे तार के लिए: $L_2 = 2L$ और $r_2 = 3r$ है।
नया प्रतिरोध $R_2 = \rho \frac{2L}{\pi (3r)^2} = \rho \frac{2L}{9 \pi r^2} \quad (2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{R_2}{R} = \frac{\rho \frac{2L}{9 \pi r^2}}{\rho \frac{L}{\pi r^2}} = \frac{2}{9}$
अतः,$R_2 = \frac{2}{9} R$।

(C) एक समान तार का प्रतिरोध $R = \frac{\rho L}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि खींचने के दौरान आयतन $V = AL$ स्थिर रहता है,इसलिए हमारे पास $A = \frac{V}{L}$ है।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R = \frac{\rho L}{(V/L)} = \left(\frac{\rho}{V}\right) L^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto L^2$ है।
छोटे प्रतिशत परिवर्तनों के लिए,हम संबंध $\frac{\Delta R}{R} = 2 \frac{\Delta L}{L}$ का उपयोग कर सकते हैं।
दिया गया है कि $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 6\%$,इसे समीकरण में रखने पर:
$6\% = 2 \times \left(\frac{\Delta L}{L} \times 100\right)$.
अतः,लंबाई में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = \frac{6\%}{2} = 3\%$ है।

(B) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि खिंचाव के दौरान आयतन $V = A \times L$ स्थिर रहता है,हम $A = \frac{V}{L}$ लिख सकते हैं।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R = \rho \frac{L}{V/L} = \rho \frac{L^2}{V}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto L^2$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक प्रतिरोध $R_1 = 5 \Omega$ और प्रारंभिक लंबाई $L_1 = L$ है।
नई लंबाई $L_2 = 3L$ है।
इसलिए,नया प्रतिरोध $R_2$ इस प्रकार होगा:
$\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{L_2}{L_1} \right)^2 = \left( \frac{3L}{L} \right)^2 = 3^2 = 9$.
$R_2 = 9 \times R_1 = 9 \times 5 \Omega = 45 \Omega$.

(B) तार का प्रतिरोध सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है। चूँकि $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$,हम लिख सकते हैं $R = \frac{4 \rho l}{\pi d^2}$.
तार $P$ के लिए: $R_P = 10 \ \Omega$,लंबाई $= l$,व्यास $= d$.
तार $Q$ के लिए: लंबाई $l_Q = l/2$,व्यास $d_Q = d/2$.
चूँकि पदार्थ समान है,$\rho_P = \rho_Q = \rho$.
अनुपात की गणना करने पर: $\frac{R_Q}{R_P} = \frac{l_Q}{l_P} \times \left(\frac{d_P}{d_Q}\right)^2 = \left(\frac{l/2}{l}\right) \times \left(\frac{d}{d/2}\right)^2 = \frac{1}{2} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.
अतः,$R_Q = 2 \times R_P = 2 \times 10 \ \Omega = 20 \ \Omega$.

(D) प्रारंभिक प्रतिरोध,$R_1 = 20 \Omega \Rightarrow \frac{\rho l_1}{A_1} = 20 \quad \dots (i)$
अब,लंबाई $l_2 = 3 l_1$ हो जाती है।
चूंकि खींचने के दौरान तार का आयतन स्थिर रहता है:
$V_1 = V_2 \Rightarrow A_1 l_1 = A_2 l_2$
$A_1 l_1 = A_2 \times 3 l_1 \Rightarrow A_2 = \frac{A_1}{3}$
अतः,अंतिम प्रतिरोध $R_2$ इस प्रकार होगा:
$R_2 = \frac{\rho l_2}{A_2} = \frac{\rho \times 3 l_1}{(A_1 / 3)} = 9 \times \frac{\rho l_1}{A_1}$
समीकरण $(i)$ से मान रखने पर:
$R_2 = 9 \times 20 \Omega = 180 \Omega$

(C) जब किसी धातु का तापमान बढ़ाया जाता है,तो उसमें मौजूद परमाणु अधिक तीव्रता से कंपन करने लगते हैं। इससे इलेक्ट्रॉनों और जाली आयनों के बीच टक्करों की संख्या में वृद्धि होती है। इस प्रकार,क्रमिक टक्करों के बीच का औसत समय,जिसे विश्रांति काल (relaxation time) ' $\tau$ ' कहा जाता है,कम हो जाता है। धातु की प्रतिरोधकता ' $\rho$ ' को सूत्र $\rho = \frac{m}{n e^2 \tau}$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,$n$ मुक्त इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,और $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है। चूँकि $\rho \propto \frac{1}{\tau}$,इसलिए जैसे-जैसे तापमान बढ़ने के साथ विश्रांति काल ' $\tau$ ' घटता है,प्रतिरोधकता ' $\rho$ ' बढ़ जाती है।

(B) मान लीजिए $t_2$ फिलामेंट का तापमान है जब बल्ब चालू है और $t_1$ परिवेश का तापमान है जब बल्ब बंद है।
दिया गया है:
$R_{t_2} = 250 \ \Omega$
$R_{t_1} = 25 \ \Omega$
$t_1 = 25^{\circ} C$
$\alpha = 4.5 \times 10^{-3} /^{\circ} C$
प्रतिरोध की तापमान निर्भरता के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$R_{t_2} = R_{t_1} [1 + \alpha(t_2 - t_1)]$
$250 = 25 [1 + 4.5 \times 10^{-3} (t_2 - 25)]$
दोनों पक्षों को $25$ से विभाजित करने पर:
$10 = 1 + 4.5 \times 10^{-3} (t_2 - 25)$
$9 = 4.5 \times 10^{-3} (t_2 - 25)$
$t_2 - 25 = \frac{9}{4.5 \times 10^{-3}}$
$t_2 - 25 = 2 \times 10^3$
$t_2 - 25 = 2000$
$t_2 = 2025^{\circ} C$
अतः,जब बल्ब चालू होता है तो फिलामेंट का तापमान $2025^{\circ} C$ होता है।

(D) $L$ लंबाई,$\rho$ प्रतिरोधकता और $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले चालक का प्रतिरोध $R = \frac{\rho L}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
टेपरिंग छड़ (शंकु के छिन्नक) के लिए,प्रभावी अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ दोनों सिरों के क्षेत्रफलों का ज्यामितीय माध्य होता है।
सिरों का क्षेत्रफल $A_1 = \frac{\pi}{4} D_1^2$ और $A_2 = \frac{\pi}{4} D_2^2$ है।
प्रभावी क्षेत्रफल $A = \sqrt{A_1 A_2} = \sqrt{\left(\frac{\pi}{4} D_1^2\right) \left(\frac{\pi}{4} D_2^2\right)} = \frac{\pi}{4} D_1 D_2$ है।
इस मान को प्रतिरोध के सूत्र में रखने पर:
$R = \frac{\rho L}{\frac{\pi}{4} D_1 D_2} = \frac{4 \rho L}{\pi D_1 D_2}$.

(C) प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $\frac{dR}{dx} = \rho_0 \left(\frac{x}{L}\right)^\alpha$ द्वारा दिया जाता है।
$x=0$ से $x=L$ तक समाकलन करने पर कुल प्रतिरोध $R$ प्राप्त होता है:
$R = \int_0^L \frac{\rho_0}{L^\alpha} x^\alpha dx = \frac{\rho_0}{L^\alpha} \left[ \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \right]_0^L = \frac{\rho_0 L^{\alpha+1}}{L^\alpha(\alpha+1)} = \frac{\rho_0 L}{\alpha+1}$.
दी गई शक्ति $P = 20 \ W$ और वोल्टेज $V = 5 \ V$ के लिए,$P = \frac{V^2}{R}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$20 = \frac{5^2}{R} \Rightarrow R = \frac{25}{20} = 1.25 \ \Omega$.
$R = \frac{\rho_0 L}{\alpha+1}$ और $\rho_0 L = 10 \ \Omega$ का मान रखने पर:
$1.25 = \frac{10}{\alpha+1} \Rightarrow \alpha+1 = \frac{10}{1.25} = 8 \Rightarrow \alpha = 7$.

(A) दिया गया है:
$t_1 = 30^{\circ} C$,$R_1 = 3.1 \Omega$
$t_2 = 100^{\circ} C$,$R_2 = 4.5 \Omega$
प्रतिरोध का ताप गुणांक $\alpha$ ज्ञात करने का सूत्र:
$\alpha = \frac{R_2 - R_1}{R_1 t_2 - R_2 t_1}$
$\alpha = \frac{4.5 - 3.1}{(3.1 \times 100) - (4.5 \times 30)}$
$\alpha = \frac{1.4}{310 - 135}$
$\alpha = \frac{1.4}{175} = 0.008^{\circ} C^{-1}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) एल्युमीनियम एक धातु (चालक) है। धातुओं के लिए, जैसे-जैसे तापमान घटता है, प्रतिरोध कम हो जाता है क्योंकि जाली कंपन (फोनोन) कम हो जाते हैं, जिससे इलेक्ट्रॉनों का प्रकीर्णन कम होता है।
जर्मेनियम एक अर्धचालक है। अर्धचालकों के लिए, जैसे-जैसे तापमान घटता है, प्रतिरोध बढ़ जाता है क्योंकि आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या तापमान के साथ तेजी से घटती है।
इसलिए, जब $77 \,K$ तक ठंडा किया जाता है, तो एल्युमीनियम के तार का प्रतिरोध घट जाता है और जर्मेनियम के तार का प्रतिरोध बढ़ जाता है।

(A) दिया गया है: $\rho_B = 2 \rho_A$ और $R_A = R_B = R$।
मान लीजिए तार $A$ की त्रिज्या $r_A = r$ है। चूंकि $B$ का व्यास $A$ से दोगुना है,इसलिए तार $B$ की त्रिज्या $r_B = 2r$ होगी।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $R_A = R_B$,इसलिए:
$\rho_A \frac{l_A}{\pi r_A^2} = \rho_B \frac{l_B}{\pi r_B^2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\rho_A \frac{l_A}{\pi r^2} = (2 \rho_A) \frac{l_B}{\pi (2r)^2}$
$\rho_A \frac{l_A}{r^2} = 2 \rho_A \frac{l_B}{4r^2}$
$l_A = \frac{2}{4} l_B$
$l_A = \frac{1}{2} l_B$
अतः,$\frac{l_B}{l_A} = 2$।

(C) तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है, $l$ लंबाई है, और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है。
दिया गया है: $R = 4 \Omega$, $\rho = 2.2 \times 10^{-8} \Omega \cdot m$, और व्यास $d = 1.4 \text{ mm} = 1.4 \times 10^{-3} \text{ m}$.
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 0.7 \times 10^{-3} \text{ m}$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (0.7 \times 10^{-3})^2 \text{ m}^2$.
लंबाई $l$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $l = \frac{R A}{\rho}$.
मान रखने पर: $l = \frac{4 \times \pi \times (0.7 \times 10^{-3})^2}{2.2 \times 10^{-8}}$.
$l = \frac{4 \times 3.14159 \times 0.49 \times 10^{-6}}{2.2 \times 10^{-8}} = \frac{6.1575 \times 10^{-6}}{2.2 \times 10^{-8}} \approx 280 \text{ m}$.

(A) दिया गया है: लंबाई $l = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$,क्षेत्रफल $A = 1 \text{ mm}^2 = 1 \times 10^{-6} \text{ m}^2$,धारा $i = 4 \text{ A}$,वोल्टेज $V = 2 \text{ V}$।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,प्रतिरोध $R = \frac{V}{i} = \frac{2}{4} = 0.5 \text{ } \Omega$ है।
प्रतिरोधकता $\rho$ का सूत्र $\rho = R \frac{A}{l}$ है।
मान रखने पर: $\rho = 0.5 \times \frac{1 \times 10^{-6}}{0.5} = 1 \times 10^{-6} \text{ } \Omega \cdot \text{m}$।

(D) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि खींचने के दौरान आयतन $V = A \times l$ स्थिर रहता है,हम $A = \frac{V}{l}$ लिख सकते हैं।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $R = \rho \frac{l}{V/l} = \rho \frac{l^2}{V}$.
चूंकि $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto l^2$ है।
छोटे परिवर्तनों के लिए अवकलन का उपयोग करने पर: $\frac{\Delta R}{R} \approx 2 \frac{\Delta l}{l}$.
दिया गया है कि $\frac{\Delta R}{R} = 4 \%$,इसलिए $4 \% = 2 \times \frac{\Delta l}{l} \times 100 \%$.
अतः,$\frac{\Delta l}{l} \times 100 \% = \frac{4 \%}{2} = 2 \%$.