Resistance of wire, Resistivity and Conductivity Questions in Hindi

(D) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि खींचने के दौरान तार का आयतन स्थिर रहता है,$V = A_1 L_1 = A_2 L_2$,जिसका अर्थ है $\pi r_1^2 L_1 = \pi r_2^2 L_2$।
अतः,$\frac{L_2}{L_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$।
प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_2}{R_1} = \frac{\rho L_2 / A_2}{\rho L_1 / A_1} = \left( \frac{L_2}{L_1} \right) \left( \frac{A_1}{A_2} \right) = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^4$ है।
यहाँ $r_1 = r$ और $r_2 = \frac{3r}{4}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{R_2}{R} = \left( \frac{r}{3r/4} \right)^4 = \left( \frac{4}{3} \right)^4 = \frac{256}{81}$।
अतः,$R_2 = \frac{256R}{81}$।

(D) एक चालक का प्रतिरोध $R$,सूत्र $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
$1$. जैसे-जैसे लंबाई $L$ बढ़ती है,प्रतिरोध $R$ बढ़ता है।
$2$. जैसे-जैसे अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ घटता है,प्रतिरोध $R$ बढ़ता है।
$3$. एक चालक के लिए,तापमान में वृद्धि के साथ प्रतिरोधकता $\rho$ बढ़ती है,जिससे प्रतिरोध $R$ में वृद्धि होती है।
अतः,दिए गए सभी कारक प्रतिरोध में वृद्धि का कारण बनते हैं।

(D) विशिष्ट प्रतिरोध,जिसे प्रतिरोधकता $(\rho)$ के रूप में भी जाना जाता है,पदार्थ का एक आंतरिक गुण है।
यह केवल पदार्थ की प्रकृति और तापमान पर निर्भर करता है।
यह चालक के भौतिक आयामों जैसे कि उसकी लंबाई $(L)$ या अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $(A)$ पर निर्भर नहीं करता है।
चूंकि दोनों तार एक ही पदार्थ से बने हैं,इसलिए उनकी विशिष्ट प्रतिरोधकता समान होगी।
अतः,उनके विशिष्ट प्रतिरोध का अनुपात $1:1$ है।

(D) तार का प्रतिरोध $R$,सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
दिया गया है: $\rho = 48 \times 10^{-8} \, \Omega \, m$,$R = 4.2 \, \Omega$,और व्यास $d = 0.4 \, mm = 0.4 \times 10^{-3} \, m$.
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 0.2 \times 10^{-3} \, m$.
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = 3.14 \times (0.2 \times 10^{-3})^2 = 3.14 \times 0.04 \times 10^{-6} = 0.1256 \times 10^{-6} \, m^2$.
लंबाई के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $l = \frac{R \cdot A}{\rho}$.
मान रखने पर: $l = \frac{4.2 \times 3.14 \times (0.2 \times 10^{-3})^2}{48 \times 10^{-8}}$.
$l = \frac{4.2 \times 3.14 \times 0.04 \times 10^{-6}}{48 \times 10^{-8}} = \frac{0.52752 \times 10^{-6}}{48 \times 10^{-8}} = \frac{52.752}{48} = 1.1 \, m$.

(D) तांबा एक धातु (चालक) है। धातुओं के लिए,जैसे-जैसे तापमान कम होता है,प्रतिरोध कम हो जाता है क्योंकि जाली आयनों (lattice ions) के साथ इलेक्ट्रॉनों के टकराने की आवृत्ति कम हो जाती है।
जर्मेनियम एक अर्धचालक है। अर्धचालकों के लिए,जैसे-जैसे तापमान कम होता है,प्रतिरोध बढ़ जाता है क्योंकि तापमान में कमी के साथ आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या तेजी से घटती है।
इसलिए,जब कमरे के तापमान से $80\, K$ तक ठंडा किया जाता है,तो तांबे की पट्टी का प्रतिरोध घटता है और जर्मेनियम की पट्टी का प्रतिरोध बढ़ता है।

$(A)$ मान लीजिए कि प्रारंभिक लंबाई $l_1 = l$ है। चूंकि तार का आयतन स्थिर रहता है, $V = A_1 l_1 = A_2 l_2$ होगा।
यह दिया गया है कि लंबाई में $100 \%$ की वृद्धि हुई है, इसलिए नई लंबाई $l_2 = l_1 + 1.00 l_1 = 2l_1$ होगी।
आयतन संरक्षण से, $A_1 l_1 = A_2 (2l_1) \Rightarrow A_2 = \frac{A_1}{2}$ प्राप्त होता है।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, प्रारंभिक प्रतिरोध $R_1 = \rho \frac{l_1}{A_1}$ और अंतिम प्रतिरोध $R_2 = \rho \frac{l_2}{A_2} = \rho \frac{2l_1}{A_1/2} = 4 \rho \frac{l_1}{A_1} = 4R_1$ होगा।
प्रतिरोध में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta R}{R_1} \times 100 = \frac{R_2 - R_1}{R_1} \times 100 = \frac{4R_1 - R_1}{R_1} \times 100 = 300 \%$ है।

(C) दिया गया है: दोनों तारों का द्रव्यमान $(m)$ और पदार्थ (समान घनत्व $\rho_d$ और प्रतिरोधकता $\rho$) समान है।
चूंकि द्रव्यमान = घनत्व $\times$ आयतन,और घनत्व समान है,इसलिए दोनों तारों का आयतन $(V = A \cdot l)$ समान होना चाहिए।
$V_A = V_B \Rightarrow A_A l_A = A_B l_B \Rightarrow \frac{l_A}{l_B} = \frac{A_B}{A_A}$.
चूंकि $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$,इसलिए $\frac{A_B}{A_A} = \frac{d_B^2}{d_A^2}$ होगा।
दिया गया है $d_A = \frac{d_B}{2}$,इसलिए $\frac{d_B}{d_A} = 2$। अतः,$\frac{A_B}{A_A} = (2)^2 = 4$।
इसलिए,$\frac{l_A}{l_B} = 4$।
प्रतिरोध का सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{R_A}{R_B} = \frac{l_A}{l_B} \times \frac{A_B}{A_A} = 4 \times 4 = 16$।
चूंकि $R_A = 24 \, \Omega$ दिया गया है,तो $R_B = \frac{R_A}{16} = \frac{24}{16} = 1.5 \, \Omega$ होगा।

(B) तार का प्रतिरोध $R$,$R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चालकता $C$,प्रतिरोध का व्युत्क्रम है,इसलिए $C = \frac{1}{R} = \frac{A}{\rho l}$।
इस व्यंजक से स्पष्ट है कि $C \propto \frac{1}{l}$।
यदि लंबाई $l$ को दोगुना कर दिया जाए $(l' = 2l)$,तो नई चालकता $C'$ का मान $C' = \frac{A}{\rho (2l)} = \frac{1}{2} \left( \frac{A}{\rho l} \right) = \frac{1}{2} C$ होगा।
अतः,चालकता आधी हो जाएगी।

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार को खींचने पर उसका आयतन स्थिर रहता है,$V = A_1 L_1 = A_2 L_2$,जिसका अर्थ है $L_1 r_1^2 = L_2 r_2^2$।
इसलिए,$\frac{L_2}{L_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$।
नए प्रतिरोध $R_2$ और मूल प्रतिरोध $R_1$ का अनुपात $\frac{R_2}{R_1} = \frac{\rho L_2 / A_2}{\rho L_1 / A_1} = \left( \frac{L_2}{L_1} \right) \left( \frac{A_1}{A_2} \right) = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^4$ होता है।
यहाँ त्रिज्या को आधा कर दिया गया है,यानी $r_2 = \frac{r_1}{2}$,इसलिए $\frac{r_1}{r_2} = 2$।
इस मान को सूत्र में रखने पर,$\frac{R_2}{R} = (2)^4 = 16$।
अतः,नया प्रतिरोध $R_2 = 16 \, R$ होगा।

(D) जब $R$ प्रतिरोध वाले तार को उसकी मूल लंबाई से $n$ गुना खींचा जाता है,तो उसका आयतन स्थिर रहता है।
चूंकि $V = A \cdot L$ होता है,यदि लंबाई $nL$ हो जाती है,तो आयतन को स्थिर रखने के लिए नया क्षेत्रफल $A'$ को $A/n$ होना चाहिए।
प्रतिरोध का सूत्र $R = \rho \frac{L}{A}$ है।
नया प्रतिरोध $R'$ इस प्रकार दिया जाता है: $R' = \rho \frac{nL}{A/n} = n^2 \rho \frac{L}{A} = n^2 R$।
यहाँ लंबाई को $n = 4$ गुना खींचा गया है,इसलिए नया प्रतिरोध $R' = (4)^2 R = 16R$ होगा।

(A) लीड तारों का उपयोग बिजली के स्रोत को लोड से जोड़ने के लिए किया जाता है। तारों में बिजली की हानि $(P = I^2R)$ और वोल्टेज ड्रॉप $(V = IR)$ को कम करने के लिए, तारों का प्रतिरोध $(R)$ यथासंभव कम होना चाहिए。
चूंकि प्रतिरोध का सूत्र $R = \rho \frac{L}{A}$ है, जहां $\rho$ प्रतिरोधकता है, $L$ लंबाई है, और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A = \pi r^2)$ है, इसलिए प्रतिरोध को कम करने के लिए हमें क्षेत्रफल $(A)$ को बढ़ाना होगा。
क्षेत्रफल बढ़ाने का अर्थ है तार के व्यास को बढ़ाना。
अतः, कम प्रतिरोध सुनिश्चित करने के लिए लीड तारों का व्यास बड़ा होना चाहिए。

(D) मानक प्रतिरोधकों को इस प्रकार डिज़ाइन किया जाता है कि तापमान में परिवर्तन के बावजूद उनका प्रतिरोध मान स्थिर रहे।
कॉन्स्टेंटन और मैंगनीन ऐसी मिश्रधातुएं हैं जो दो प्रमुख गुण प्रदर्शित करती हैं:
$1$. उनकी प्रतिरोधकता उच्च होती है,जो छोटे आकार के प्रतिरोधक बनाने में सहायक होती है।
$2$. उनका प्रतिरोध का ताप गुणांक बहुत कम होता है,जिसका अर्थ है कि तापमान के उतार-चढ़ाव के साथ उनके प्रतिरोध में नगण्य परिवर्तन होता है।
इसलिए,ये दोनों गुण उन्हें मानक प्रतिरोध के लिए आदर्श बनाते हैं।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(A) तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूँकि $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$,इसलिए $R \propto \frac{l}{d^2}$ होता है।
विकल्प $A$ के लिए: $R_A \propto \frac{50}{(0.5)^2} = \frac{50}{0.25} = 200$.
विकल्प $B$ के लिए: $R_B \propto \frac{100}{(1)^2} = 100$.
विकल्प $C$ के लिए: $R_C \propto \frac{200}{(2)^2} = \frac{200}{4} = 50$.
विकल्प $D$ के लिए: $R_D \propto \frac{300}{(3)^2} = \frac{300}{9} \approx 33.3$.
इन मानों की तुलना करने पर,अनुपात $\frac{l}{d^2}$ विकल्प $A$ के लिए अधिकतम है। अतः,विकल्प $A$ वाले तार का विद्युत प्रतिरोध सबसे अधिक है।

(C) जब एक तार को खींचा जाता है,तो उसका आयतन स्थिर रहता है। चूंकि $Volume = Area \times Length$,यदि लंबाई $n$ गुना हो जाती है,तो क्षेत्रफल $1/n$ गुना हो जाता है।
प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ होता है। इसलिए,$R \propto l^2$।
दिया गया है कि लंबाई $2$ गुना हो जाती है $(l_2 = 2l_1)$,तो नया प्रतिरोध $R_2$ होगा:
$R_2 = R_1 \times (2)^2 = 4R_1$।
प्रतिरोध में परिवर्तन $\Delta R = R_2 - R_1 = 4R_1 - R_1 = 3R_1$ है।
प्रतिरोध में परिवर्तन और प्रारंभिक प्रतिरोध का अनुपात $\frac{\Delta R}{R_1} = \frac{3R_1}{R_1} = 3:1$ है।

(C) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि आयतन $V = A \times l$ स्थिर रहता है, इसलिए $A = \frac{V}{l}$ होगा।
इसे प्रतिस्थापित करने पर, हमें $R = \rho \frac{l^2}{V}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $R \propto l^2$ है।
यदि लंबाई में $10\%$ की वृद्धि होती है, तो नई लंबाई $l_2 = l_1 + 0.10 l_1 = 1.1 l_1$ होगी।
प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{l_2}{l_1} \right)^2 = (1.1)^2 = 1.21$ है।
इस प्रकार, $R_2 = 1.21 R_1$ है।
प्रतिरोध में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{R_2 - R_1}{R_1} \times 100 = (1.21 - 1) \times 100 = 21\%$ है।

(C) तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ विशिष्ट प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
दिए गए अनुपात:
$\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{2}{3}$
$\frac{l_1}{l_2} = \frac{3}{4}$
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{5}$
उनके प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2} \times \frac{l_1}{l_2} \times \frac{A_2}{A_1}$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 3 \times 5}{3 \times 4 \times 4} = \frac{30}{48} = \frac{5}{8}$.
अतः,उनके प्रतिरोधों का अनुपात $5:8$ है।

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूँकि व्यास समान हैं,इसलिए दोनों तारों के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है।
अतः प्रतिरोध $R_1 = \frac{\rho_1 l_1}{A}$ और $R_2 = \frac{\rho_2 l_2}{A}$ हैं।
श्रेणीक्रम में जोड़ने पर,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2$ होता है।
तुल्य तार की कुल लंबाई $(l_1 + l_2)$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान रहता है,इसलिए $R_{eq} = \frac{\rho_{eq}(l_1 + l_2)}{A}$ होगा।
समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{\rho_{eq}(l_1 + l_2)}{A} = \frac{\rho_1 l_1}{A} + \frac{\rho_2 l_2}{A}$।
दोनों पक्षों से $A$ को हटाने पर,हमें $\rho_{eq}(l_1 + l_2) = \rho_1 l_1 + \rho_2 l_2$ प्राप्त होता है।
अतः,तुल्य प्रतिरोधकता $\rho_{eq} = \frac{\rho_1 l_1 + \rho_2 l_2}{l_1 + l_2}$ है।

(B) श्रेणीक्रम में जुड़े दो तारों के लिए,कुल प्रतिरोध $R_{eq}$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों का योग होता है: $R_{eq} = R_1 + R_2$.
चूंकि तारों के आयाम (लंबाई $l$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$) समान हैं,इसलिए प्रत्येक तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
इन मानों को श्रेणीक्रम संयोजन के सूत्र में रखने पर: $\rho_{eq} \frac{2l}{A} = \rho_1 \frac{l}{A} + \rho_2 \frac{l}{A}$.
दोनों पक्षों को $\frac{l}{A}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $2\rho_{eq} = \rho_1 + \rho_2$.
अतः,तुल्य प्रतिरोधकता $\rho_{eq} = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2}$ है।

(B) दिया गया है: $R = 150 \; \Omega$,$R_{0} = 100 \; \Omega$,और $\Delta t = 227^{\circ} C - 27^{\circ} C = 200^{\circ} C$.
सूत्र $R = R_{0}(1 + \alpha \Delta t)$ का उपयोग करने पर:
$150 = 100(1 + \alpha \times 200)$
$1.5 = 1 + 200\alpha$
$0.5 = 200\alpha$
$\alpha = 0.5 / 200 = 2.5 \times 10^{-3} /^{\circ} C$.
अतः,कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$ के संबंध में: रैखिक सन्निकटन $R = R_{0}(1 + \alpha \Delta t)$ टेलर विस्तार $R = R_{0} e^{\alpha \Delta t} \approx R_{0}(1 + \alpha \Delta t + \dots)$ से प्राप्त होता है,जो केवल तभी मान्य है जब $\alpha \Delta t << 1$ हो। इस प्रश्न में,$\Delta R = 50 \; \Omega$ है,जो $R_{0}$ का $50\%$ है। इसलिए,कथन-$2$ भी सत्य है और यह कथन-$1$ में उपयोग किए गए सूत्र की सीमाओं के लिए सैद्धांतिक आधार प्रदान करता है।

(C) कॉन्स्टेंटन तांबे और निकल की एक मिश्र धातु है।
इसका उपयोग मानक प्रतिरोध बनाने में व्यापक रूप से किया जाता है क्योंकि इसका प्रतिरोध का ताप गुणांक बहुत कम (नगण्य) होता है।
यह गुण सुनिश्चित करता है कि आसपास के तापमान में परिवर्तन होने पर भी तार का प्रतिरोध मान लगभग स्थिर रहता है,जो इसे सटीक उपकरणों के लिए आदर्श बनाता है।

(A) एक चालक का प्रतिरोध $R$,$R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
एक खोखली नली के लिए,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi (r_2^2 - r_1^2)$ है,जहाँ $r_2$ बाहरी त्रिज्या है और $r_1$ आंतरिक त्रिज्या है।
दिया गया है:
लंबाई $l = 5\,m$
बाहरी व्यास $D_2 = 10\,cm$,इसलिए बाहरी त्रिज्या $r_2 = 5\,cm = 0.05\,m$.
दीवार की मोटाई $t = 5\,mm = 0.5\,cm = 0.005\,m$.
आंतरिक त्रिज्या $r_1 = r_2 - t = 5\,cm - 0.5\,cm = 4.5\,cm = 0.045\,m$.
प्रतिरोधकता $\rho = 1.7 \times 10^{-8} \,\Omega m$.
क्षेत्रफल $A$ की गणना:
$A = \pi [(0.05)^2 - (0.045)^2] = \pi [0.0025 - 0.002025] = \pi [0.000475] \,m^2$.
अब,प्रतिरोध $R$ की गणना:
$R = (1.7 \times 10^{-8}) \times \frac{5}{\pi \times 0.000475} \approx \frac{8.5 \times 10^{-8}}{0.001492} \approx 5.69 \times 10^{-5} \,\Omega$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,प्रतिरोध लगभग $5.6 \times 10^{-5} \,\Omega$ है।

(A) माना $l$ तार की मूल लंबाई है और $A$ इसका मूल अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है। मूल प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ है।
माना तार की $x$ लंबाई को खींचकर नई लंबाई $x' = x + 0.5l$ कर दी जाती है। चूंकि इस भाग का आयतन स्थिर रहता है,$A x = A' x'$,जहाँ $A'$ नया अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है।
अतः,$A' = A \frac{x}{x + 0.5l}$।
नया प्रतिरोध $R'$ बिना खींचे हुए भाग $(l-x)$ और खींचे हुए भाग $(x+0.5l)$ के प्रतिरोध का योग है:
$R' = \rho \frac{l-x}{A} + \rho \frac{x+0.5l}{A'} = \rho \frac{l-x}{A} + \rho \frac{(x+0.5l)^2}{Ax}$।
दिया गया है कि $R' = 4R$,इसलिए $4 \frac{l}{A} = \frac{l-x}{A} + \frac{(x+0.5l)^2}{Ax}$।
$Ax$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है $4lx = x(l-x) + (x+0.5l)^2$।
$4lx = lx - x^2 + x^2 + lx + 0.25l^2$।
$4lx = 2lx + 0.25l^2$।
$2lx = 0.25l^2$।
$x/l = 0.25/2 = 1/8$।

(A) सभी चालकों की लंबाई $(l)$ समान है और वे एक ही पदार्थ (समान प्रतिरोधकता $\rho$) से बने हैं।
चालक $A$ के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_A = (\sqrt{3}a)^2 - (\sqrt{2}a)^2 = 3a^2 - 2a^2 = a^2$ है।
चालक $B$ के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_B = (\sqrt{2}a)^2 - (a)^2 = 2a^2 - a^2 = a^2$ है।
चालक $C$ के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_C = (a)^2 = a^2$ है।
चूंकि प्रतिरोध का सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ है,और सभी चालकों के लिए $\rho$,$l$,और $A$ समान हैं,इसलिए उनके प्रतिरोध समान होंगे:
$R_A = R_B = R_C$.

(D) $I-V$ वक्र का ढाल $\text{slope} = \frac{I}{V} = \frac{1}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रतिरोध $R = \frac{\rho L}{A}$ होता है, इसलिए हमारे पास $\text{slope} = \frac{1}{R} = \frac{A}{\rho L}$ है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि ढाल तार की लंबाई $L$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(\text{slope} \propto \frac{1}{L})$।
इसलिए, यदि तार की लंबाई बढ़ाई जाती है, तो वक्र का ढाल कम हो जाएगा।
अतः, विकल्प $(d)$ सही है।

(B) दिया गया समीकरण ${R_t} = {R_0} + {R_0}\alpha t + {R_0}\beta {t^2}$ है।
यह $y = ax^2 + bx + c$ के रूप का एक द्विघात समीकरण है,जो एक परवलय को दर्शाता है।
ग्राफ से,हम देखते हैं कि प्रतिरोध ${R_t}$ तापमान $t$ के साथ बढ़ता है,और वक्र का ढाल $\frac{dR_t}{dt} = {R_0}\alpha + 2{R_0}\beta t$ धनात्मक है और बढ़ रहा है।
चूंकि वक्र ऊपर की ओर अवतल (concave upwards) है,इसलिए द्वितीय अवकलज $\frac{d^2R_t}{dt^2} = 2{R_0}\beta$ धनात्मक होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\beta > 0$।
साथ ही,$t = 0$ पर,ढाल ${R_0}\alpha$ है। चूंकि वक्र धनात्मक ढाल के साथ शुरू होता है,इसलिए $\alpha$ धनात्मक होना चाहिए।
अतः,$\alpha$ और $\beta$ दोनों धनात्मक हैं। सही विकल्प $(b)$ है।

(B) माना कि बाएं सिरे से $x$ दूरी पर प्रतिरोधकता $\rho = (\rho_0 + ax)$ है,जहां $\rho_0$ $x = 0$ पर प्रतिरोधकता है और $a$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
ओम के नियम के अनुसार,धारा घनत्व $J = \frac{i}{A} = \frac{E}{\rho}$ है,जहां $i$ स्थिर विद्युत धारा है और $A$ समान अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इसलिए,$x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E = \frac{i \rho}{A} = \frac{i(\rho_0 + ax)}{A}$ होगी।
यह समीकरण दर्शाता है कि $E$,$x$ का एक रैखिक फलन है जो $E = mx + c$ के रूप में है,जहां $m = \frac{ia}{A}$ और $c = \frac{i\rho_0}{A}$ है।
चूंकि $\rho_0 > 0$ है,इसलिए अंतःखंड $c$ शून्य नहीं है और ढाल $m$ धनात्मक है।
अतः,$E$ बनाम $x$ का ग्राफ एक सीधी रेखा है जिसकी ढाल धनात्मक है और $y$-अंतःखंड धनात्मक है। यह विकल्प $(B)$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(B) टंगस्टन एक धातु (चालक) है। धातुओं के लिए,तापमान बढ़ने पर प्रतिरोध बढ़ता है क्योंकि इलेक्ट्रॉनों के टकराने की आवृत्ति बढ़ जाती है।
कार्बन एक अधातु (अर्धचालक) है। अर्धचालकों के लिए,तापमान बढ़ने पर प्रतिरोध कम हो जाता है क्योंकि तापमान बढ़ने पर अधिक आवेश वाहक मुक्त होते हैं।
इसलिए,गर्म होने पर,टंगस्टन फिलामेंट का प्रतिरोध बढ़ जाता है और कार्बन फिलामेंट का प्रतिरोध कम हो जाता है।

(A) बल्ब की पावर रेटिंग $P = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ रेटेड वोल्टेज है और $R$ फिलामेंट का प्रतिरोध है।
चूंकि दोनों बल्बों के लिए $V$ समान है,इसलिए $P \propto \frac{1}{R}$ होगा।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल (मोटाई) है।
यह दिया गया है कि लंबाई $L$ समान है और पदार्थ (प्रतिरोधकता $\rho$) भी समान है,इसलिए $R \propto \frac{1}{A}$ होगा।
इसे पावर के संबंध में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P \propto \frac{1}{1/A} \implies P \propto A$ प्राप्त होता है।
अतः,अधिक पावर $(100 \, W)$ वाले बल्ब का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल कम पावर $(60 \, W)$ वाले बल्ब की तुलना में अधिक (फिलामेंट मोटा) होना चाहिए।

(C) बल्ब की शक्ति रेटिंग $P = \frac{V^2}{R}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ रेटेड वोल्टेज है और $R$ बल्ब का प्रतिरोध है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $R = \frac{V^2}{P}$।
चूंकि रेटेड वोल्टेज $V$ सभी बल्बों के लिए समान है,इसलिए प्रतिरोध $R$,शक्ति $P$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(R \propto \frac{1}{P})$।
अतः,जिस बल्ब की शक्ति रेटिंग सबसे अधिक होगी,उसका प्रतिरोध न्यूनतम होगा।
दी गई शक्ति रेटिंग ($40\,W$,$60\,W$ और $100\,W$) की तुलना करने पर,$100\,W$ के बल्ब की शक्ति सबसे अधिक है।
इस प्रकार,$100\,W$ के बल्ब का प्रतिरोध न्यूनतम है।

(A) तापमान बढ़ने के साथ चालक का प्रतिरोध बढ़ता है क्योंकि जाली आयनों (lattice ions) के साथ इलेक्ट्रॉनों की टक्कर बढ़ जाती है।
एक चालक के लिए,संबंध $R_t = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\alpha$ प्रतिरोध का ताप गुणांक है।
चूंकि तापमान में वृद्धि के लिए $R_t > R_0$ होता है,इसलिए $\alpha$ का मान धनात्मक होना चाहिए।
अतः,एक चालक के लिए प्रतिरोध का ताप गुणांक हमेशा धनात्मक होता है।

(D) चालक का प्रतिरोध तापमान बढ़ने के साथ बढ़ता है क्योंकि जाली आयनों (lattice ions) के साथ इलेक्ट्रॉनों के टकराने की आवृत्ति बढ़ जाती है। इस प्रकार,चालकों का प्रतिरोध का तापमान गुणांक धनात्मक होता है।
इसके विपरीत,अर्धचालक का प्रतिरोध तापमान बढ़ने के साथ घटता है क्योंकि तापीय उत्तेजना के कारण अधिक आवेश वाहक (इलेक्ट्रॉन और होल) उत्पन्न होते हैं,जिससे चालकता बढ़ जाती है। इस प्रकार,अर्धचालकों का प्रतिरोध का तापमान गुणांक ऋणात्मक होता है।
चूंकि $P$ का प्रतिरोध तापमान के साथ बढ़ता है,इसलिए $P$ एक चालक है।
चूंकि $Q$ का प्रतिरोध तापमान के साथ घटता है,इसलिए $Q$ एक अर्धचालक है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) धातुओं में,मुक्त आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों) की संख्या तापमान के साथ अनिवार्य रूप से स्थिर रहती है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,जाली कंपन (lattice vibrations) द्वारा इलेक्ट्रॉनों का प्रकीर्णन (scattering) बढ़ जाता है,जिससे प्रतिरोध में वृद्धि होती है।
अर्धचालकों में,संयोजी बैंड (valence band) से चालन बैंड (conduction band) में इलेक्ट्रॉनों के तापीय उत्तेजन के कारण तापमान के साथ आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या तेजी से बढ़ती है। आवेश वाहकों की संख्या में यह वृद्धि प्रकीर्णन प्रभाव पर हावी हो जाती है,जिससे तापमान बढ़ने पर प्रतिरोध कम हो जाता है।
अतः,मूलभूत अंतर तापमान के साथ आवेश वाहकों की संख्या में परिवर्तन के कारण उत्पन्न होता है।

(D) प्रतिरोध का ताप गुणांक $(\alpha)$ तापमान में इकाई परिवर्तन के प्रति प्रतिरोध में होने वाले आंशिक परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
तांबा, एल्युमीनियम और लोहा जैसी धातुओं के लिए, तापमान बढ़ने पर प्रतिरोध बढ़ता है, जिसके परिणामस्वरूप प्रतिरोध का ताप गुणांक धनात्मक होता है।
जर्मेनियम जैसे अर्धचालकों के लिए, तापमान बढ़ने पर आवेश वाहकों की संख्या में काफी वृद्धि होती है, जिससे प्रतिरोध में कमी आती है।
इसलिए, अर्धचालक ऋणात्मक ताप गुणांक प्रदर्शित करते हैं।

(C) किसी पदार्थ की प्रतिरोधकता उसके प्रतिरोध के तापमान गुणांक,जिसे $\alpha$ द्वारा दर्शाया जाता है,पर निर्भर करती है।
चालकों के लिए,$\alpha$ का मान धनात्मक होता है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,जालक (lattice) के साथ इलेक्ट्रॉनों के टकराने की आवृत्ति बढ़ जाती है,जिससे प्रतिरोधकता में वृद्धि होती है।
अर्धचालकों के लिए,$\alpha$ का मान ऋणात्मक होता है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,सहसंयोजक बंधों के टूटने के कारण अधिक आवेश वाहक (इलेक्ट्रॉन और होल) उत्पन्न होते हैं,जिससे चालकता काफी बढ़ जाती है और इसलिए प्रतिरोधकता कम हो जाती है।
अतः,तापमान में वृद्धि के साथ,एक चालक की प्रतिरोधकता बढ़ती है और एक अर्धचालक की प्रतिरोधकता घटती है।

(C) धात्विक चालकों में,आवेश वाहकों (मुक्त इलेक्ट्रॉनों) की संख्या स्थिर रहती है,लेकिन जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,जाली आयनों के कंपन का आयाम बढ़ जाता है,जिससे अधिक बार टक्कर (प्रकीर्णन) होती है,जो प्रतिरोध को बढ़ाती है।
अर्धचालकों में,सहसंयोजक बंधों के टूटने के कारण तापमान के साथ आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या में तेजी से वृद्धि होती है,जिससे प्रतिरोध काफी कम हो जाता है।
इसलिए,तापमान पर निर्भरता में अंतर का मुख्य कारण तापमान के साथ आवेश वाहकों की संख्या में होने वाला परिवर्तन है।

(A) तार का प्रतिरोध $R$,सूत्र $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि तार बेलनाकार है,क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
अतः,$R = \rho \frac{L}{\pi r^2}$.
जब लंबाई $L$ को दोगुना $(L' = 2L)$ और त्रिज्या $r$ को दोगुना $(r' = 2r)$ किया जाता है,तो नया प्रतिरोध $R'$ होगा:
$R' = \rho \frac{2L}{\pi (2r)^2} = \rho \frac{2L}{\pi (4r^2)} = \frac{1}{2} \left( \rho \frac{L}{\pi r^2} \right) = \frac{R}{2}$.
प्रतिरोधकता $(\rho)$ पदार्थ का एक गुण है जो केवल पदार्थ की प्रकृति और तापमान पर निर्भर करता है,तार के आयामों पर नहीं। इसलिए,यह अपरिवर्तित रहती है।
अतः,प्रतिरोध आधा हो जाएगा और प्रतिरोधकता अपरिवर्तित रहेगी।

(C) तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है और $r$ त्रिज्या है।
चूंकि सभी तार एक ही पदार्थ से बने हैं,इसलिए $\rho$ स्थिर है।
विकल्प $A$ के लिए: $R_A \propto \frac{40}{1^2} = 40$.
विकल्प $B$ के लिए: $R_B \propto \frac{40}{2^2} = 10$.
विकल्प $C$ के लिए: $R_C \propto \frac{80}{1^2} = 80$.
विकल्प $D$ के लिए: $R_D \propto \frac{80}{2^2} = 20$.
मानों की तुलना करने पर,$R_C$ सबसे अधिक है। इसलिए,$1 \, mm$ त्रिज्या और $80 \, m$ लंबाई वाले तार का प्रतिरोध सबसे अधिक होगा।

(A) तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \frac{\rho l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आयतन $V = A \times l$ स्थिर है,हम $A = \frac{V}{l}$ लिख सकते हैं।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $R = \frac{\rho l}{(V/l)} = \frac{\rho l^2}{V}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$ (प्रतिरोधकता) और $V$ (आयतन) स्थिर हैं,इसलिए $R \propto l^2$ है।
जब लंबाई $l$ को दोगुना किया जाता है $(l' = 2l)$,तो नया प्रतिरोध $R'$ इस प्रकार होगा: $R' \propto (2l)^2 = 4l^2$।
अतः,$R' = 4R$,जिसका अर्थ है कि प्रतिरोध मूल मान का चार गुना हो जाएगा।

(A) अतिचालक (superconductor) एक ऐसा पदार्थ है जो एक विशिष्ट क्रांतिक तापमान से नीचे ठंडा किए जाने पर शून्य विद्युत प्रतिरोध प्रदर्शित करता है।
चूंकि विद्युत चालकता $(\sigma)$, विद्युत प्रतिरोधकता $(\rho)$ का व्युत्क्रम है, अर्थात $\sigma = 1 / \rho$।
चूंकि एक अतिचालक की प्रतिरोधकता $(\rho)$ शून्य होती है, इसलिए इसकी चालकता $(\sigma)$ $1 / 0$ हो जाती है, जो कि अनंत है।
अतः, एक अतिचालक की चालकता अनंत होती है।

(A) तांबा एक धातु (चालक) है। धातुओं के लिए,जैसे-जैसे तापमान $T$ कम होता है,प्रतिरोधकता $\rho$ कम हो जाती है क्योंकि विश्रांति काल (relaxation time) बढ़ जाता है।
सिलिकॉन एक अर्धचालक है। अर्धचालकों के लिए,जैसे-जैसे तापमान $T$ कम होता है,प्रतिरोधकता $\rho$ बढ़ जाती है क्योंकि मुक्त आवेश वाहकों की संख्या तापमान के साथ घातांकीय रूप से कम हो जाती है।
इसलिए,जब $300 \, K$ से $60 \, K$ तक ठंडा किया जाता है,तो तांबे की प्रतिरोधकता घट जाएगी और सिलिकॉन की प्रतिरोधकता बढ़ जाएगी।

(C) मानक प्रतिरोधकों को इस तरह से डिज़ाइन किया जाता है कि तापमान की एक विस्तृत श्रृंखला में उनका प्रतिरोध मान स्थिर रहे।
किसी पदार्थ को मानक प्रतिरोधक के लिए उपयुक्त होने के लिए, तापमान के साथ उसका प्रतिरोध महत्वपूर्ण रूप से नहीं बदलना चाहिए।
ऐसे पदार्थों के लिए प्रतिरोध का तापमान गुणांक $(\alpha)$ बहुत कम या नगण्य होना चाहिए।
टंगस्टन का उपयोग कई विशिष्ट अनुप्रयोगों में किया जाता है, लेकिन मानक प्रतिरोधकों के लिए मैंगनीन या कॉन्स्टेंटन जैसी मिश्र धातुओं को प्राथमिकता दी जाती है क्योंकि उनका तापमान गुणांक बहुत कम होता है।
हालाँकि, इस विशिष्ट प्रश्न के संदर्भ में, वह गुण जो किसी पदार्थ को मानक प्रतिरोधक के लिए उपयुक्त बनाता है, वह यह है कि उसका प्रतिरोध स्थिर रहता है, जिसका अर्थ है कि प्रतिरोध का तापमान गुणांक नगण्य है।

(A) तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ है,हम लिख सकते हैं $R = \rho \frac{4L}{\pi d^2}$।
मान लीजिए पहले तार की लंबाई $L_1 = L$ और व्यास $d_1 = d$ है। इसका प्रतिरोध $R_1 = \rho \frac{4L}{\pi d^2}$ है।
दूसरे तार के लिए,$L_2 = 2L$ और $d_2 = 2d$ है। इसका प्रतिरोध $R_2 = \rho \frac{4(2L)}{\pi (2d)^2} = \rho \frac{8L}{4\pi d^2} = \rho \frac{2L}{\pi d^2}$ है।
$R_1$ और $R_2$ की तुलना करने पर: $R_1 = 2 \times (\rho \frac{2L}{\pi d^2}) = 2 R_2$।
अतः,पहले तार का प्रतिरोध दूसरे तार के प्रतिरोध से दोगुना है।

(D) विशिष्ट प्रतिरोध, जिसे प्रतिरोधकता $(\rho)$ के रूप में भी जाना जाता है, तार के पदार्थ का एक आंतरिक गुण है।
यह केवल पदार्थ की प्रकृति और चालक के तापमान पर निर्भर करता है।
यह तार के भौतिक आयामों जैसे कि उसकी लंबाई $(l)$ या अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $(A)$ पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए, यदि तार की लंबाई दोगुनी कर दी जाती है, तो प्रतिरोधकता अपरिवर्तित रहती है।

(D) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार को खींचने पर उसका आयतन $V = lA$ स्थिर रहता है,इसलिए $A = \frac{V}{l}$ होता है।
इस मान को प्रतिरोध के सूत्र में रखने पर,हमें $R = \rho \frac{l^2}{V}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto l^2$ होता है।
छोटे परिवर्तनों के लिए,प्रतिरोध में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta R}{R} \times 100 \approx 2 \times (\frac{\Delta l}{l} \times 100)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ लंबाई में $0.1 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 0.1 \%$ है।
अतः,प्रतिरोध में प्रतिशत परिवर्तन $2 \times 0.1 \% = 0.2 \%$ होगा।
चूंकि लंबाई बढ़ रही है,इसलिए प्रतिरोध में $0.2 \%$ की वृद्धि होगी।

(B) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{\ell}{A}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
जब तार को खींचा जाता है,तो उसका आयतन $V = A \ell$ स्थिर रहता है,इसलिए $A = \frac{V}{\ell}$ होता है।
इस मान को प्रतिरोध के सूत्र में रखने पर,$R = \rho \frac{\ell^2}{V}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto \ell^2$ होता है।
छोटे परिवर्तनों के लिए अवकलन का उपयोग करने पर: $\frac{\Delta R}{R} \approx 2 \frac{\Delta \ell}{\ell}$।
यहाँ $\frac{\Delta \ell}{\ell} = 0.1\%$ दिया गया है,इसलिए प्रतिरोध में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 2 \times 0.1\% = 0.2\%$ होगा।

(A) हीटर की शक्ति $P = \frac{V^2}{R}$ सूत्र द्वारा दी जाती है। यदि वोल्टेज $V$ स्थिर रहता है,तो $P \propto \frac{1}{R}$ होता है।
$T$ तापमान पर प्रतिरोध $R_T = R_0(1 + \alpha T)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{P_{200}}{P_{800}} = \frac{R_{800}}{R_{200}} = \frac{R_0(1 + \alpha \times 800)}{R_0(1 + \alpha \times 200)}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\alpha = 4 \times 10^{-4} \ ^oC^{-1}$,$P_{800} = 500 \ W$.
$\frac{P_{200}}{500} = \frac{1 + (4 \times 10^{-4} \times 800)}{1 + (4 \times 10^{-4} \times 200)} = \frac{1 + 0.32}{1 + 0.08} = \frac{1.32}{1.08}$.
$P_{200} = 500 \times \frac{1.32}{1.08} \approx 611.11 \ W$.
निकटतम पूर्णांक में,शक्ति $611 \ W$ होगी।

(B) विशिष्ट प्रतिरोध, जिसे प्रतिरोधकता $(\rho)$ के रूप में भी जाना जाता है, पदार्थ का एक आंतरिक गुण है।
यह पदार्थ की प्रकृति और तापमान पर निर्भर करता है।
धात्विक चालकों के लिए, तापमान बढ़ने पर जाली आयनों (lattice ions) के कंपन के कारण इलेक्ट्रॉनों का प्रकीर्णन बढ़ जाता है, जिससे प्रतिरोधकता बढ़ जाती है।
प्रतिरोधकता चालक के भौतिक आयामों, जैसे कि उसकी लंबाई या अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल पर निर्भर नहीं करती है।

(D) माना कि प्रारंभिक लंबाई $\ell$ है और प्रारंभिक प्रतिरोध $R = \rho \frac{\ell}{A}$ है।
लंबाई में $100\,\%$ की वृद्धि होने पर,नई लंबाई $\ell' = \ell + 1.00\ell = 2\ell$ होगी।
चूंकि आयतन $V = A \times \ell$ स्थिर रहता है,इसलिए $A' \ell' = A \ell \implies A' (2\ell) = A \ell \implies A' = \frac{A}{2}$ प्राप्त होता है।
नया प्रतिरोध $R' = \rho \frac{\ell'}{A'} = \rho \frac{2\ell}{A/2} = 4 \left( \rho \frac{\ell}{A} \right) = 4R$ होगा।
प्रतिरोध में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{R' - R}{R} \times 100\,\% = \frac{4R - R}{R} \times 100\,\% = 3 \times 100\,\% = 300\,\%$ है।

(A) किसी पदार्थ का विशिष्ट प्रतिरोध या प्रतिरोधकता $\rho$ तापमान पर निर्भर करती है।
कॉपर जैसी धातुओं के लिए,तापमान घटने पर प्रतिरोधकता कम हो जाती है क्योंकि जाली कंपन (lattice vibrations) द्वारा इलेक्ट्रॉनों का प्रकीर्णन कम हो जाता है।
सिलिकॉन जैसे अर्धचालकों के लिए,तापमान घटने पर प्रतिरोधकता बढ़ जाती है क्योंकि आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या में काफी कमी आ जाती है।
इसलिए,जब $300 \ K$ से $60 \ K$ तक ठंडा किया जाता है,तो कॉपर का विशिष्ट प्रतिरोध घट जाता है,जबकि सिलिकॉन का विशिष्ट प्रतिरोध बढ़ जाता है।

(C) $t$ तापमान पर प्रतिरोध $R_t$ का सूत्र है: $R_t = R_0(1 + \alpha t)$।
यहाँ $R_t = 3R_0$ और $\alpha = 4 \times 10^{-3} {}^{\circ} C^{-1}$ दिया गया है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$3R_0 = R_0(1 + 4 \times 10^{-3} \times t)$
$3 = 1 + 4 \times 10^{-3} \times t$
$2 = 4 \times 10^{-3} \times t$
$t = \frac{2}{4 \times 10^{-3}} = \frac{2000}{4} = 500 ^{\circ} C$।
अतः, तापमान $500 ^{\circ} C$ होगा।