Resistance of wire, Resistivity and Conductivity Questions in Hindi

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि खींचने के दौरान आयतन $V = l \times A$ स्थिर रहता है,इसलिए $A = \frac{V}{l}$ होता है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R = \rho \frac{l^2}{V}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $R \propto l^2$ है।
यदि लंबाई में $10\%$ की वृद्धि होती है,तो नई लंबाई $l' = l + 0.1l = 1.1l$ होगी।
नया प्रतिरोध $R' = R \times (\frac{l'}{l})^2$ द्वारा दिया जाता है।
$R' = 10 \times (1.1)^2 = 10 \times 1.21 = 12.1\, \Omega$.
नोट: छोटे परिवर्तनों के लिए,सन्निकटन $\Delta R/R \approx 2 \Delta l/l$ के अनुसार $20\%$ की वृद्धि मिलती है,लेकिन सटीक गणना से उत्तर $12.1\, \Omega$ आता है।

(D) चूंकि दोनों तार तांबे से बने हैं,इसलिए उनकी प्रतिरोधकता समान है,अर्थात $\rho_A = \rho_B = \rho$.
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
तार $A$ के लिए: $R_A = \rho \frac{3}{A}$.
तार $B$ के लिए: $R_B = \rho \frac{5}{A}$.
दोनों की तुलना करने पर,चूंकि $3 < 5$ है और पदार्थ तथा व्यास (और इसलिए क्षेत्रफल $A$) समान हैं,इसलिए $R_A < R_B$ प्राप्त होता है।
अतः,सही संबंध $R_A < R_B$ और $\rho_A = \rho_B$ है।

(C) तापमान $T$ पर चालक के प्रतिरोध का सूत्र $R_T = R_0 (1 + \alpha \Delta T)$ है।
यहाँ,$R_T = 3R_0$,$\alpha = 4 \times 10^{-3} / ^oC$,और $\Delta T = T - 0 = T$ है।
मान रखने पर: $3R_0 = R_0 (1 + 4 \times 10^{-3} \times T)$.
दोनों पक्षों को $R_0$ से विभाजित करने पर: $3 = 1 + 0.004T$.
$2 = 0.004T$.
$T = 2 / 0.004 = 2000 / 4 = 500 ^oC$.
अतः,तापमान $500 ^oC$ है।

(C) किसी तापमान $t$ पर चालक का प्रतिरोध $R_t = R_0(1 + \alpha t)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ $R_0$ तापमान $0^{\circ}C$ पर प्रतिरोध है और $\alpha$ प्रतिरोध का तापमान गुणांक है।
$t = 50^{\circ}C$ के लिए, $R_{50} = R_0(1 + 50\alpha) = 5$ --- $(1)$
$t = 100^{\circ}C$ के लिए, $R_{100} = R_0(1 + 100\alpha) = 6$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{R_0(1 + 100\alpha)}{R_0(1 + 50\alpha)} = \frac{6}{5}$
$5(1 + 100\alpha) = 6(1 + 50\alpha)$
$5 + 500\alpha = 6 + 300\alpha$
$200\alpha = 1$
$\alpha = \frac{1}{200} = 0.005^{\circ}C^{-1}$
अब $\alpha$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$5 = R_0(1 + 50 \times 0.005)$
$5 = R_0(1 + 0.25)$
$5 = R_0(1.25)$
$R_0 = \frac{5}{1.25} = 4\, \Omega$.

(D) यहाँ दिया गया है कि दोनों तारों का प्रतिरोध समान है,अर्थात $R_A = R_B$।
प्रतिरोध के सूत्र $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ का उपयोग करने पर:
$\rho_A \frac{l_A}{\pi r_A^2} = \rho_B \frac{l_B}{\pi r_B^2}$
दिया गया है कि $\rho_B = 2\rho_A$ और $d_B = 2d_A$ (जिसका अर्थ है $r_B = 2r_A$):
$\rho_A \frac{l_A}{r_A^2} = (2\rho_A) \frac{l_B}{(2r_A)^2}$
$\rho_A \frac{l_A}{r_A^2} = 2\rho_A \frac{l_B}{4r_A^2}$
$l_A = \frac{1}{2} l_B$
अतः,$\frac{l_B}{l_A} = 2$।

(D) मान लीजिए कि $0\,^{\circ}C$ तापमान पर दोनों चालकों का प्रतिरोध $R_0$ है।
पहले चालक के लिए $t_1\,^{\circ}C$ तापमान पर प्रतिरोध $R_1 = R_0(1 + \alpha_1 t_1)$ है।
दूसरे चालक के लिए $t_2\,^{\circ}C$ तापमान पर प्रतिरोध $R_2 = R_0(1 + \alpha_2 t_2)$ है।
दिया गया है कि $R_1 = R_2$,इसलिए:
$R_0(1 + \alpha_1 t_1) = R_0(1 + \alpha_2 t_2)$
$1 + \alpha_1 t_1 = 1 + \alpha_2 t_2$
$\alpha_1 t_1 = \alpha_2 t_2$
अतः,अनुपात $\alpha_1 / \alpha_2 = t_2 / t_1$ प्राप्त होता है।

(D) बल्ब की शक्ति रेटिंग $P = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ रेटेड वोल्टेज है और $R$ ऑपरेटिंग तापमान पर प्रतिरोध है।
चूंकि तापमान बढ़ने पर प्रतिरोध बढ़ता है,इसलिए कमरे के तापमान पर प्रतिरोध भी ऑपरेटिंग तापमान के प्रतिरोध के समान संबंध का पालन करता है।
निश्चित वोल्टेज $V$ के लिए,$R = \frac{V^2}{P}$।
अतः,$R_{100} = \frac{V^2}{100}$,$R_{60} = \frac{V^2}{60}$,और $R_{40} = \frac{V^2}{40}$।
इन मानों की तुलना करने पर,हमें $R_{40} > R_{60} > R_{100}$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,हमें $\frac{1}{R_{100}} > \frac{1}{R_{60}} > \frac{1}{R_{40}}$ प्राप्त होता है।

(B) तापमान $T$ पर प्रतिरोध का सूत्र $R_T = R_0[1 + \alpha(T - T_0)]$ है।
दिया गया है: $\alpha = 0.00125\,^{\circ}C^{-1}$,$T_1 = 300\,K$ $(27\,^{\circ}C)$ पर $R_1 = 1\,\Omega$,और $T_2 = ?$ पर $R_2 = 2\,\Omega$ है।
संबंध $R_2 = R_1[1 + \alpha(t_2 - t_1)]$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $t_1 = 27\,^{\circ}C$:
$2 = 1[1 + 0.00125(t_2 - 27)]$
$2 - 1 = 0.00125(t_2 - 27)$
$1 = 0.00125(t_2 - 27)$
$t_2 - 27 = \frac{1}{0.00125} = 800$
$t_2 = 800 + 27 = 827\,^{\circ}C$ है।
केल्विन में बदलने पर: $T_2 = 827 + 273 = 1100\,K$।

(D) तापमान $\theta$ पर प्रतिरोध $R$ का सूत्र है: $R = R_0(1 + \alpha \theta)$।
दिया गया है:
$R_0 = 5\,\Omega$ ($0\,^oC$ पर)
$R_{100} = 5.75\,\Omega$ ($100\,^oC$ पर)
$R_{\theta} = 5.15\,\Omega$ (अज्ञात तापमान $\theta$ पर)
सबसे पहले,प्रतिरोध का तापमान गुणांक $\alpha$ ज्ञात करें:
$R_{100} = R_0(1 + \alpha \times 100)$
$5.75 = 5(1 + 100\alpha)$
$1.15 = 1 + 100\alpha$
$0.15 = 100\alpha$
$\alpha = 0.0015\,\,^oC^{-1} = 1.5 \times 10^{-3}\,\,^oC^{-1}$।
अब,$R_{\theta} = 5.15\,\Omega$ के लिए अज्ञात तापमान $\theta$ ज्ञात करें:
$R_{\theta} = R_0(1 + \alpha \theta)$
$5.15 = 5(1 + 0.0015 \times \theta)$
$1.03 = 1 + 0.0015 \times \theta$
$0.03 = 0.0015 \times \theta$
$\theta = \frac{0.03}{0.0015} = 20\,^oC$।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 30^{\circ}C$,प्रारंभिक प्रतिरोध $R_1 = 10\, \Omega$,प्रतिरोध ताप गुणांक $\alpha = 0.002\, ^{\circ}C^{-1}$।
हमें प्रतिरोध में $10\%$ की वृद्धि करनी है,इसलिए नया प्रतिरोध $R_2 = R_1 + 0.10 R_1 = 1.10 R_1 = 11\, \Omega$ होगा।
तापमान $T$ पर प्रतिरोध का सूत्र $R = R_0(1 + \alpha T)$ है।
$T_1 = 30^{\circ}C$ के लिए: $R_1 = R_0(1 + 30\alpha) = 10\, \Omega$।
$T_2$ के लिए: $R_2 = R_0(1 + \alpha T_2) = 11\, \Omega$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{R_2}{R_1} = \frac{1 + \alpha T_2}{1 + 30\alpha} = \frac{11}{10} = 1.1$।
$1 + \alpha T_2 = 1.1(1 + 30\alpha) = 1.1 + 33\alpha$।
$\alpha T_2 = 0.1 + 33\alpha$।
$T_2 = \frac{0.1}{\alpha} + 33$।
$\alpha = 0.002$ का मान रखने पर: $T_2 = \frac{0.1}{0.002} + 33 = 50 + 33 = 83^{\circ}C$।

(D) तापमान $\theta$ पर प्रतिरोध का सूत्र $R_{\theta} = R_0(1 + \alpha\theta)$ है,जहाँ $R_0$,$0\,^{\circ}\text{C}$ पर प्रतिरोध है।
$50\,^{\circ}\text{C}$ पर,$5 = R_0(1 + 50\alpha)$ ... $(1)$
$100\,^{\circ}\text{C}$ पर,$6 = R_0(1 + 100\alpha)$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5}{6} = \frac{1 + 50\alpha}{1 + 100\alpha}$
$5(1 + 100\alpha) = 6(1 + 50\alpha)$
$5 + 500\alpha = 6 + 300\alpha$
$200\alpha = 1 \implies \alpha = \frac{1}{200}$
अब $\alpha$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$5 = R_0(1 + 50 \times \frac{1}{200})$
$5 = R_0(1 + \frac{1}{4})$
$5 = R_0(\frac{5}{4})$
$R_0 = 4\,\Omega$.

(A) दिया है: आयाम $l_1 = 50 \ cm = 0.5 \ m$,$A_1 = 1 \ cm \times 1 \ cm = 10^{-4} \ m^2$. प्रतिरोधकता $\rho = 3.5 \times 10^{-5} \ \Omega \cdot m$.
स्थिति $1$: वर्गाकार सिरों के बीच प्रतिरोध $(l = 0.5 \ m, A = 10^{-4} \ m^2)$:
$R_1 = \rho \frac{l}{A} = 3.5 \times 10^{-5} \times \frac{0.5}{10^{-4}} = 3.5 \times 0.5 \times 10^{-1} = 1.75 \times 10^{-1} = 17.5 \times 10^{-2} \ \Omega$.
स्थिति $2$: आयताकार सिरों के बीच प्रतिरोध $(l = 1 \ cm = 0.01 \ m, A = 1 \ cm \times 50 \ cm = 50 \ cm^2 = 50 \times 10^{-4} \ m^2)$:
$R_2 = \rho \frac{l}{A} = 3.5 \times 10^{-5} \times \frac{0.01}{50 \times 10^{-4}} = 3.5 \times 10^{-5} \times \frac{10^{-2}}{50 \times 10^{-4}} = 3.5 \times 10^{-5} \times \frac{1}{50} \times 10^2 = 0.07 \times 10^{-4} = 7 \times 10^{-6} \ \Omega$.

(C) तापमान $t$ पर प्रतिरोध का सूत्र $R_t = R_0 [1 + \alpha t]$ है,जहाँ $R_0$ $0^{\circ}C$ पर प्रतिरोध है और $\alpha$ प्रतिरोध का तापमान गुणांक है।
$t = 50^{\circ}C$ के लिए,$R_{50} = R_0 [1 + 50\alpha] = 5 \quad \dots(1)$
$t = 100^{\circ}C$ के लिए,$R_{100} = R_0 [1 + 100\alpha] = 6 \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5}{6} = \frac{1 + 50\alpha}{1 + 100\alpha}$
$5(1 + 100\alpha) = 6(1 + 50\alpha)$
$5 + 500\alpha = 6 + 300\alpha$
$200\alpha = 1 \implies \alpha = \frac{1}{200} \, ^{\circ}C^{-1}$
$\alpha$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$5 = R_0 [1 + 50 \times \frac{1}{200}]$
$5 = R_0 [1 + \frac{1}{4}]$
$5 = R_0 [\frac{5}{4}]$
$R_0 = 4 \, \Omega$

(D) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि खींचने के दौरान तार का आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $V = A_1 L_1 = A_2 L_2$ होगा।
अतः,$L_1 \pi r_1^2 = L_2 \pi r_2^2$,जिसका अर्थ है कि $\frac{L_2}{L_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$।
प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_2}{R_1} = \frac{L_2}{L_1} \cdot \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \cdot \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^4$ होगा।
यहाँ $r_2 = \frac{r_1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{r_1}{r_2} = 2$ होगा।
इस मान को अनुपात में रखने पर,$\frac{R_2}{R} = (2)^4 = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,नया प्रतिरोध $R' = 16\, R$ होगा।

(D) तापमान $t$ पर चालक का प्रतिरोध $R_t = R_0(1 + \alpha t)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $t_1 = 20\,^{\circ}C$ पर $R_1 = 20\,\Omega$ और $t_2 = 500\,^{\circ}C$ पर $R_2 = 60\,\Omega$ है।
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1 + \alpha t_1}{1 + \alpha t_2} \Rightarrow \frac{20}{60} = \frac{1 + 20\alpha}{1 + 500\alpha}$.
$\alpha$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{3} = \frac{1 + 20\alpha}{1 + 500\alpha} \Rightarrow 1 + 500\alpha = 3 + 60\alpha \Rightarrow 440\alpha = 2 \Rightarrow \alpha = \frac{1}{220}\,^{\circ}C^{-1}$.
अब,वह तापमान $t$ ज्ञात करने के लिए जहाँ $R = 25\,\Omega$ है: $\frac{R_1}{R} = \frac{1 + \alpha t_1}{1 + \alpha t}$.
$\frac{20}{25} = \frac{1 + 20(1/220)}{1 + t(1/220)} \Rightarrow 0.8 = \frac{1 + 1/11}{1 + t/220} \Rightarrow 0.8 = \frac{12/11}{1 + t/220}$.
$1 + \frac{t}{220} = \frac{12}{11 \times 0.8} = \frac{12}{8.8} = \frac{15}{11}$.
$\frac{t}{220} = \frac{15}{11} - 1 = \frac{4}{11} \Rightarrow t = \frac{4}{11} \times 220 = 80\,^{\circ}C$.

(A) प्रतिरोध का सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ है।
दिया गया है: प्रतिरोधकता $\rho = 50 \times 10^{-8} \, \Omega m$,लंबाई $l = 50 \, cm = 0.5 \, m$।
एक घन के लिए,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = l^2 = (0.5 \, m)^2 = 0.25 \, m^2$ है।
मानों को सूत्र में रखने पर:
$R = (50 \times 10^{-8}) \times \frac{0.5}{0.25} = (50 \times 10^{-8}) \times 2 = 100 \times 10^{-8} \, \Omega = 10^{-6} \, \Omega$।

(B) चालक का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
तार के लिए: $l_1 = 1.0\, m$,$d_1 = 0.6\, cm = 0.6 \times 10^{-2\, m}$,$r_1 = 0.3 \times 10^{-2\, m}$,$R_1 = 3.0 \times 10^{-3}\, \Omega$.
$R_1 = \rho \frac{l_1}{\pi r_1^2} \Rightarrow \rho = \frac{R_1 \pi r_1^2}{l_1}$.
डिस्क के लिए: $l_2 = 1.0\, mm = 1.0 \times 10^{-3\, m}$,$d_2 = 2.0\, cm = 2.0 \times 10^{-2\, m}$,$r_2 = 1.0 \times 10^{-2\, m}$.
$R_2 = \rho \frac{l_2}{\pi r_2^2} = \left( \frac{R_1 \pi r_1^2}{l_1} \right) \frac{l_2}{\pi r_2^2} = R_1 \left( \frac{l_2}{l_1} \right) \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$.
मान रखने पर: $R_2 = (3.0 \times 10^{-3}) \times \left( \frac{1.0 \times 10^{-3}}{1.0} \right) \times \left( \frac{0.3 \times 10^{-2}}{1.0 \times 10^{-2}} \right)^2$.
$R_2 = (3.0 \times 10^{-6}) \times (0.3)^2 = (3.0 \times 10^{-6}) \times 0.09 = 0.27 \times 10^{-6} = 2.7 \times 10^{-7}\, \Omega$.

(D) चालक का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ खोखले भाग का क्षेत्रफल है: $A = \pi (r_2^2 - r_1^2)$.
दिया गया है: $r_2 = 10 \, cm = 0.1 \, m$,मोटाई $t = 5 \, mm = 0.005 \, m$.
अतः,आंतरिक त्रिज्या $r_1 = r_2 - t = 10 \, cm - 0.5 \, cm = 9.5 \, cm = 0.095 \, m$.
$A = \pi [(0.1)^2 - (0.095)^2] = \pi [0.01 - 0.009025] = \pi [0.000975] \, m^2$.
अब,$R = (1.7 \times 10^{-8}) \times \frac{5}{\pi \times 0.000975} \approx 2.77 \times 10^{-5} \, \Omega$.

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आयतन $V = A \times l$ स्थिर रहता है,इसलिए $A = \frac{V}{l}$ होता है।
इस मान को प्रतिरोध के सूत्र में रखने पर,$R = \rho \frac{l^2}{V}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto l^2$ होता है।
अवकलन करने पर,$\frac{\Delta R}{R} = 2 \frac{\Delta l}{l}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{\Delta l}{l} = 0.1\%$,इसलिए प्रतिरोध में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 2 \times 0.1\% = 0.2\%$ होगा।

(D) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आयतन $V = A \times l$ और घनत्व $\sigma = \frac{m}{V}$ है,इसलिए $A = \frac{m}{\sigma l}$ होगा।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में रखने पर: $R = \rho \frac{l^2 \sigma}{m}$ प्राप्त होता है।
चूंकि पदार्थ समान है,$\rho$ और $\sigma$ स्थिर हैं। इसलिए,$R \propto \frac{l^2}{m}$।
दिए गए अनुपात $m_1 : m_2 : m_3 = 1 : 3 : 5$ और $l_1 : l_2 : l_3 = 5 : 3 : 1$ हैं,तो प्रतिरोध का अनुपात होगा:
$R_1 : R_2 : R_3 = \frac{l_1^2}{m_1} : \frac{l_2^2}{m_2} : \frac{l_3^2}{m_3}$
$R_1 : R_2 : R_3 = \frac{5^2}{1} : \frac{3^2}{3} : \frac{1^2}{5}$
$R_1 : R_2 : R_3 = 25 : 3 : 0.2$
भिन्न को हटाने के लिए $5$ से गुणा करने पर: $125 : 15 : 1$।

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि सभी तार एक ही पदार्थ से बने हैं ($\rho$ स्थिर है) और उनकी लंबाई समान है ($l$ स्थिर है),इसलिए प्रतिरोध केवल अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ पर निर्भर करता है।
तार $A$ के लिए: अनुप्रस्थ काट एक वर्गाकार फ्रेम है जिसकी बाहरी भुजा $\sqrt{3}a$ और आंतरिक भुजा $\sqrt{2}a$ है। क्षेत्रफल $A_A = (\sqrt{3}a)^2 - (\sqrt{2}a)^2 = 3a^2 - 2a^2 = a^2$.
तार $B$ के लिए: अनुप्रस्थ काट एक वर्गाकार फ्रेम है जिसकी बाहरी भुजा $\sqrt{2}a$ और आंतरिक भुजा $a$ है। क्षेत्रफल $A_B = (\sqrt{2}a)^2 - (a)^2 = 2a^2 - a^2 = a^2$.
तार $C$ के लिए: अनुप्रस्थ काट $a$ भुजा वाला एक ठोस वर्ग है। क्षेत्रफल $A_C = a^2$.
चूंकि $A_A = A_B = A_C = a^2$,इसलिए $R_A = R_B = R_C$ होगा।

(B) दिया गया है: प्रतिरोधकता $\rho = 3 \times 10^{-7} \, \Omega \cdot m$।
ब्लॉक के आयाम $1 \, cm \times 1 \, cm \times 100 \, cm$ हैं।
आयताकार फलकों ($1 \, cm \times 100 \, cm$ फलक) के बीच प्रतिरोध के लिए,धारा का पथ $l = 1 \, cm = 10^{-2} \, m$ होगा।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 1 \, cm \times 100 \, cm = 100 \, cm^2 = 100 \times 10^{-4} \, m^2 = 10^{-2} \, m^2$ है।
प्रतिरोध का सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ है।
मान रखने पर: $R = (3 \times 10^{-7} \, \Omega \cdot m) \times \frac{10^{-2} \, m}{10^{-2} \, m^2}$।
$R = 3 \times 10^{-7} \, \Omega$।

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि लंबाई $L$ और प्रतिरोधकता $\rho$ दोनों खंडों के लिए समान हैं,इसलिए प्रतिरोध $R$ त्रिज्या के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $R \propto \frac{1}{r^2}$.
मान लीजिए $r_{AB} = 3r$ और $r_{BC} = r$ है। तब प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_{AB}}{R_{BC}} = \frac{r_{BC}^2}{r_{AB}^2} = \frac{r^2}{(3r)^2} = \frac{1}{9}$ होगा।
चूंकि खंड $AB$ और $BC$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए दोनों में समान विद्युत धारा $I$ प्रवाहित होती है।
ओम के नियम के अनुसार,विभवांतर $V = IR$ होता है।
अतः,विभवांतर का अनुपात $\frac{V_{AB}}{V_{BC}} = \frac{I R_{AB}}{I R_{BC}} = \frac{R_{AB}}{R_{BC}} = \frac{1}{9}$ होगा।

(C) माना प्रारंभिक लंबाई $l$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है। प्रारंभिक प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ है।
जब तार को $10\%$ खींचा जाता है,तो नई लंबाई $l' = l + 0.1l = 1.1l$ हो जाती है।
चूंकि आयतन $V = Al$ स्थिर रहता है,इसलिए $A'l' = Al \Rightarrow A' = \frac{Al}{1.1l} = \frac{A}{1.1}$ होगा।
नया प्रतिरोध $R' = \rho \frac{l'}{A'} = \rho \frac{1.1l}{A/1.1} = (1.1)^2 \rho \frac{l}{A} = 1.21 R$ होगा।
विशिष्ट प्रतिरोध (प्रतिरोधकता) $\rho$ पदार्थ का एक गुण है और यह केवल तापमान पर निर्भर करता है,तार के आयामों पर नहीं।
अतः,नया प्रतिरोध मूल प्रतिरोध का $1.21$ गुना हो जाता है और विशिष्ट प्रतिरोध समान रहता है।

(C) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A} = 4 \,\Omega$ द्वारा दिया जाता है .... $(i)$
जब तार को उसकी मूल लंबाई से दोगुना खींचा जाता है,तो नई लंबाई $l^{\prime} = 2l$ हो जाती है।
चूंकि खींचने के दौरान तार का आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $V = lA = l^{\prime}A^{\prime}$ होगा।
$l^{\prime} = 2l$ प्रतिस्थापित करने पर,$lA = (2l)A^{\prime}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $A^{\prime} = \frac{A}{2}$।
नया प्रतिरोध $R^{\prime} = \rho \frac{l^{\prime}}{A^{\prime}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$R^{\prime} = \rho \frac{2l}{A/2} = 4 \left( \rho \frac{l}{A} \right)$।
समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर,$R^{\prime} = 4 \times 4 \,\Omega = 16 \,\Omega$।

(B) चूंकि दोनों धातु के तार समान विमाओं के हैं,इसलिए उनकी लंबाई और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल समान होगा। मान लीजिए वे क्रमशः $l$ और $A$ हैं।
पहले तार का प्रतिरोध $R_1 = \frac{l}{\sigma_1 A}$ ...$(i)$
दूसरे तार का प्रतिरोध $R_2 = \frac{l}{\sigma_2 A}$ ...$(ii)$
चूंकि वे श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए उनका प्रभावी प्रतिरोध $R_s = R_1 + R_2$ होगा।
$R_s = \frac{l}{\sigma_1 A} + \frac{l}{\sigma_2 A} = \frac{l}{A} \left( \frac{1}{\sigma_1} + \frac{1}{\sigma_2} \right)$ ...$(iii)$
यदि $\sigma_{eff}$ संयोजन की प्रभावी चालकता है,तो कुल लंबाई $2l$ होगी और कुल प्रतिरोध $R_s = \frac{2l}{\sigma_{eff} A}$ होगा ...$(iv)$
समीकरण $(iii)$ और $(iv)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2l}{\sigma_{eff} A} = \frac{l}{A} \left( \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{\sigma_1 \sigma_2} \right)$
$\frac{2}{\sigma_{eff}} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{\sigma_1 \sigma_2}$
$\sigma_{eff} = \frac{2 \sigma_1 \sigma_2}{\sigma_1 + \sigma_2}$

(B) $l$ लंबाई,$A$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल और $\rho$ प्रतिरोधकता वाले तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
जब तार को उसकी मूल लंबाई का $n$ गुना खींचा जाता है,तो नई लंबाई $l' = nl$ हो जाती है।
चूंकि प्रक्रिया के दौरान तार का आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $V = A \cdot l = A' \cdot l'$ होगा।
$l' = nl$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A' = \frac{A \cdot l}{nl} = \frac{A}{n}$ प्राप्त होता है।
नया प्रतिरोध $R'$ का मान $R' = \rho \frac{l'}{A'}$ है।
$l'$ और $A'$ के मान रखने पर,हमें $R' = \rho \frac{nl}{A/n} = n^2 \left( \rho \frac{l}{A} \right) = n^2 R$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $\rho$ पदार्थ की प्रतिरोधकता है।
एक चालक का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ धारा के प्रवाह की दिशा में चालक की लंबाई है और $A$ धारा के प्रवाह के लंबवत अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
$1$. $A-A$ संपर्क के लिए (ऊपरी और निचला फलक):
लंबाई $L = x$ और क्षेत्रफल $A = 2x \times 4x = 8x^2$.
$R_{AA} = \rho \frac{x}{8x^2} = \frac{\rho}{8x}$.
$2$. $B-B$ संपर्क के लिए (बायां और दायां फलक):
लंबाई $L = 2x$ और क्षेत्रफल $A = x \times 4x = 4x^2$.
$R_{BB} = \rho \frac{2x}{4x^2} = \frac{\rho}{2x} = \frac{4\rho}{8x}$.
$3$. $C-C$ संपर्क के लिए (अगला और पिछला फलक):
लंबाई $L = 4x$ और क्षेत्रफल $A = x \times 2x = 2x^2$.
$R_{CC} = \rho \frac{4x}{2x^2} = \frac{2\rho}{x} = \frac{16\rho}{8x}$.
प्रतिरोधों की तुलना करने पर,$R_{CC} > R_{BB} > R_{AA}$.
अतः,अधिकतम विद्युत प्रतिरोध $C-C$ संपर्क के लिए प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{S}$ द्वारा दिया जाता है।
चालकता $\sigma$,प्रतिरोधकता $\rho$ का व्युत्क्रम है,इसलिए $\sigma = \frac{1}{\rho}$।
चालकत्व $G$,प्रतिरोध $R$ का व्युत्क्रम है,इसलिए $G = \frac{1}{R}$,जिसका अर्थ है $R = \frac{1}{G}$।
प्रतिरोध के सूत्र में $R = \frac{1}{G}$ रखने पर: $\frac{1}{G} = \rho \frac{l}{S}$।
$\rho$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\rho = \frac{S}{Gl}$।
चूंकि $\sigma = \frac{1}{\rho}$,इसलिए $\sigma = \frac{Gl}{S}$।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,यदि हम $\sigma = \frac{1}{\rho}$ और $G = \frac{1}{R}$ पर विचार करें,तो $GR = 1$ होता है। इसलिए,$\sigma = \frac{GR}{\rho}$ गणितीय रूप से सुसंगत है क्योंकि $\sigma = \frac{1}{\rho} \times 1 = \frac{1}{\rho} \times (GR) = \frac{GR}{\rho}$।

(C) एक चालक का प्रतिरोध $R$,सूत्र $R = \rho \frac{l}{A_{cs}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $A_{cs}$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
$l$ लंबाई और $t$ मोटाई वाली वर्गाकार प्लेट के लिए,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल जिससे धारा प्रवाहित होती है,$A_{cs} = l \times t$ है।
अतः,प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{l \times t} = \frac{\rho}{t}$ है।
चूंकि दोनों प्लेटें $A$ और $B$ एक ही धातु (समान $\rho$) से बनी हैं और उनकी मोटाई $(t)$ समान है,इसलिए प्रत्येक प्लेट का प्रतिरोध उसकी भुजा की लंबाई से स्वतंत्र है।
इसलिए,$R_A = \frac{\rho}{t}$ और $R_B = \frac{\rho}{t}$ है।
प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_A}{R_B} = \frac{\rho/t}{\rho/t} = 1:1$ है।

(C) चालक का प्रतिरोध $R$, $R = \frac{\rho l}{A}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है, $l$ लंबाई है, और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चालक $A$ (ठोस तार) के लिए, त्रिज्या $r_A = 0.5 \, mm$ है। अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_A = \pi r_A^2$ है।
अतः, $R_A = \frac{\rho l}{\pi r_A^2}$ है।
चालक $B$ (खोखली नली) के लिए, बाहरी त्रिज्या $r_{out} = 1.0 \, mm$ और आंतरिक त्रिज्या $r_{in} = 0.5 \, mm$ है। अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_B = \pi (r_{out}^2 - r_{in}^2) = \pi (1.0^2 - 0.5^2) = \pi (1 - 0.25) = 0.75 \pi \, mm^2$ है।
क्षेत्रफलों की तुलना करने पर, $A_B = \pi (1.0^2 - 0.5^2) = 3 \pi (0.5^2) = 3 A_A$ प्राप्त होता है।
चूँकि $R \propto \frac{1}{A}$, इसलिए $\frac{R_A}{R_B} = \frac{A_B}{A_A} = \frac{3 A_A}{A_A} = 3$।

(B) माना तार की मूल लंबाई $l$ है और इसका मूल प्रतिरोध $R = \frac{\rho l}{A}$ है।
माना खींचे गए लंबाई का अंश $a$ है। खींचे जाने वाले भाग की लंबाई $al$ है और शेष भाग की लंबाई $l(1-a)$ है।
बिना खींचे भाग का प्रतिरोध $R_1 = \frac{\rho l(1-a)}{A} = R(1-a)$ है।
जब $al$ लंबाई के भाग को नई लंबाई $l'$ तक खींचा जाता है,तो कुल लंबाई $l' + l(1-a) = \frac{3}{2}l$ हो जाती है,इसलिए $l' = \frac{3}{2}l - l + al = l(\frac{1}{2} + a)$।
चूंकि खींचे गए भाग का आयतन समान रहता है,$A'l' = A(al)$,इसलिए $A' = \frac{A(al)}{l'} = \frac{A(al)}{l(\frac{1}{2} + a)} = \frac{Aa}{\frac{1}{2} + a}$।
खींचे गए भाग का प्रतिरोध $R' = \frac{\rho l'}{A'} = \frac{\rho l(\frac{1}{2} + a)}{\frac{Aa}{\frac{1}{2} + a}} = R \frac{(\frac{1}{2} + a)^2}{a}$ है।
कुल प्रतिरोध $R_1 + R' = 4R$ है।
$R(1-a) + R \frac{(\frac{1}{2} + a)^2}{a} = 4R$।
$(1-a) + \frac{\frac{1}{4} + a + a^2}{a} = 4$।
$a - a^2 + \frac{1}{4} + a + a^2 = 4a$।
$2a + \frac{1}{4} = 4a$।
$2a = \frac{1}{4} \Rightarrow a = \frac{1}{8}$।

(A) एक चालक की प्रतिरोधकता $\rho = \frac{m}{n e^{2} \tau}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,$e$ इलेक्ट्रॉन पर आवेश है,$n$ प्रति इकाई आयतन मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $\tau$ विश्रांति काल (relaxation time) है।
इससे,हम देख सकते हैं कि $\rho \propto \frac{1}{\tau}$.
साथ ही,चालकता $\sigma$ प्रतिरोधकता का व्युत्क्रम है,इसलिए $\sigma = \frac{1}{\rho}$.
अतः,$\sigma \propto \tau$.
प्रतिरोधकता और चालकता का अनुपात $\frac{\rho}{\sigma} = \frac{\rho}{1/\rho} = \rho^{2}$ है।
चूंकि $\rho \propto \frac{1}{\tau}$,इसलिए $\frac{\rho}{\sigma} \propto \frac{1}{\tau^{2}}$.
जब चालक का तापमान बढ़ता है,तो इलेक्ट्रॉनों का तापीय वेग बढ़ जाता है,जिससे टक्करें अधिक बार होती हैं। परिणामस्वरूप,विश्रांति काल $\tau$ कम हो जाता है।
चूंकि $\frac{\rho}{\sigma} \propto \frac{1}{\tau^{2}}$,इसलिए जैसे-जैसे $\tau$ घटता है,अनुपात $\frac{\rho}{\sigma}$ बढ़ता है।

(C) तापमान $T$ पर प्रतिरोध का सूत्र $R_T = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ है,जहाँ $R_0$ शून्य डिग्री सेल्सियस पर प्रतिरोध है।
दिया गया है:
$R_1 = 100\,\Omega$ तापमान $T_1 = 100\,^{\circ}C$ पर
$R_2 = 200\,\Omega$ तापमान $T_2 = T$ पर
$\alpha = 0.005\,^{\circ}C^{-1}$
सूत्र $R = R_0(1 + \alpha T)$ का उपयोग करने पर:
$100 = R_0(1 + 0.005 \times 100) = R_0(1 + 0.5) = 1.5 R_0$
$R_0 = \frac{100}{1.5} = \frac{200}{3}\,\Omega$
अब,$R_2 = 200\,\Omega$ के लिए:
$200 = R_0(1 + 0.005 \times T)$
$200 = \frac{200}{3}(1 + 0.005 T)$
$3 = 1 + 0.005 T$
$2 = 0.005 T$
$T = \frac{2}{0.005} = 400\,^{\circ}C$.

(A) दिया गया है: $\rho_B = 2\rho_A$ और $d_B = 2d_A$.
चूंकि तार वृत्ताकार हैं,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ है।
प्रतिरोध समान होने के लिए,$R_B = R_A$.
सूत्र $R = \frac{\rho l}{A}$ का उपयोग करते हुए,$\frac{\rho_B l_B}{A_B} = \frac{\rho_A l_A}{A_A}$.
मान रखने पर: $\frac{2\rho_A l_B}{\frac{\pi (2d_A)^2}{4}} = \frac{\rho_A l_A}{\frac{\pi d_A^2}{4}}$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{2\rho_A l_B}{4 A_A} = \frac{\rho_A l_A}{A_A} \Rightarrow \frac{2 l_B}{4} = l_A$.
अतः,$\frac{l_B}{l_A} = \frac{4}{2} = 2$.

(D) हम जानते हैं कि तापमान $t$ पर प्रतिरोध का सूत्र इस प्रकार है:
$R_{t} = R_{0}(1 + \alpha t)$
जहाँ $R_{t}$,$t\, ^\circ C$ पर प्रतिरोध है,$R_{0}$,$0\, ^\circ C$ पर प्रतिरोध है,और $\alpha$ प्रतिरोध का तापमान गुणांक है।
$t = 50\, ^\circ C$ के लिए:
$5 = R_{0}(1 + 50\alpha)$ ......$(i)$
$t = 100\, ^\circ C$ के लिए:
$6 = R_{0}(1 + 100\alpha)$ ......$(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5}{6} = \frac{R_{0}(1 + 50\alpha)}{R_{0}(1 + 100\alpha)}$
$\frac{5}{6} = \frac{1 + 50\alpha}{1 + 100\alpha}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$5(1 + 100\alpha) = 6(1 + 50\alpha)$
$5 + 500\alpha = 6 + 300\alpha$
$200\alpha = 1$
$\alpha = \frac{1}{200} = 0.005\, ^\circ C^{-1}$
अब,$R_{0}$ ज्ञात करने के लिए $\alpha$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$5 = R_{0}(1 + 50 \times 0.005)$
$5 = R_{0}(1 + 0.25)$
$5 = R_{0}(1.25)$
$R_{0} = \frac{5}{1.25} = 4\, \Omega$
अतः,$0\, ^\circ C$ पर प्रतिरोध $4\, \Omega$ है।

(D) माना $j$ धारा घनत्व है।
चूंकि धारा $I$,$2 \pi r^2$ क्षेत्रफल वाली अर्धगोलीय सतह पर फैलती है,इसलिए धारा घनत्व $j = \frac{I}{2 \pi r^2}$ है।
ओम के नियम $E = \rho j$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = \rho \left( \frac{I}{2 \pi r^2} \right) = \frac{\rho I}{2 \pi r^2}$.

(B) तार का प्रतिरोध $R = \frac{\rho l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार को खींचने पर उसका आयतन $V = A \times l$ स्थिर रहता है,इसलिए हम $A = \frac{V}{l}$ लिख सकते हैं।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R = \frac{\rho l^2}{V}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto l^2$ है।
छोटे परिवर्तनों के लिए अवकलन का उपयोग करने पर,प्रतिरोध में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta R}{R} = 2 \frac{\Delta l}{l}$ होता है।
यह दिया गया है कि तार को $0.1 \%$ खींचा जाता है,इसलिए $\frac{\Delta l}{l} = 0.1 \% = 0.001$ है।
अतः,$\frac{\Delta R}{R} = 2 \times 0.1 \% = 0.2 \%$ है।
चूंकि परिवर्तन धनात्मक है,इसलिए प्रतिरोध $0.2 \%$ बढ़ जाएगा।

(C) धात्विक तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{\ell}{A} = \rho \frac{\ell}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$\ell$ लंबाई है,और $r$ त्रिज्या है।
इससे,हम देख सकते हैं कि $R \propto \frac{\ell}{r^2}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक प्रतिरोध $R = k \frac{\ell}{r^2}$ है।
विकल्प $C$ के लिए,नई लंबाई $\ell' = 2\ell$ और नई त्रिज्या $r' = \frac{r}{2}$ है।
नया प्रतिरोध $R'$ इस प्रकार होगा: $R' = k \frac{\ell'}{(r')^2} = k \frac{2\ell}{(r/2)^2} = k \frac{2\ell}{r^2/4} = 8 \times k \frac{\ell}{r^2} = 8R$।
अतः,जब लंबाई दोगुनी और त्रिज्या आधी कर दी जाती है,तो प्रतिरोध $8$ गुना हो जाता है।

(D) तार दो समानांतर चालकों से बना है: आंतरिक कोर और बाहरी परत।
$1$. आंतरिक कोर का प्रतिरोध $(R_1)$: त्रिज्या $R$,प्रतिरोधकता $\rho$ और लंबाई $l$ है। अतः,$R_1 = \frac{\rho l}{\pi R^2}$।
$2$. बाहरी परत का प्रतिरोध $(R_2)$: आंतरिक त्रिज्या $R$ है और बाहरी त्रिज्या $2R$ है (क्योंकि मोटाई $R$ है)। अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_2 = \pi((2R)^2 - R^2) = 3\pi R^2$ है। प्रतिरोधकता $2\rho$ है। अतः,$R_2 = \frac{2\rho l}{3\pi R^2}$।
$3$. तुल्य प्रतिरोध $(R_{eq})$: चूंकि वे समानांतर में हैं,$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{\pi R^2}{\rho l} + \frac{3\pi R^2}{2\rho l} = \frac{\pi R^2}{\rho l} (1 + 1.5) = \frac{2.5 \pi R^2}{\rho l} = \frac{5 \pi R^2}{2 \rho l}$।
अतः,$R_{eq} = \frac{2 \rho l}{5 \pi R^2}$।

(C) चालक का प्रतिरोध तापमान बढ़ने के साथ बढ़ता है क्योंकि इलेक्ट्रॉनों के टकराने की आवृत्ति बढ़ जाती है,जिससे प्रतिरोध का ताप गुणांक धनात्मक होता है।
इसके विपरीत,अर्धचालक का प्रतिरोध तापमान बढ़ने के साथ घटता है क्योंकि तापीय उत्तेजना के कारण अधिक आवेश वाहक (इलेक्ट्रॉन और होल) उत्पन्न होते हैं,जिससे प्रतिरोध का ताप गुणांक ऋणात्मक होता है।
चूंकि $P$ का प्रतिरोध तापमान के साथ बढ़ता है,इसलिए $P$ एक चालक है।
चूंकि $Q$ का प्रतिरोध तापमान के साथ घटता है,इसलिए $Q$ एक अर्धचालक है।
अतः,सही निष्कर्ष यह है कि $P$ एक चालक है और $Q$ एक अर्धचालक है।

(C) तार को खींचने के दौरान उसका आयतन स्थिर रहता है। इसलिए,$V = A_1 l_1 = A_2 l_2$।
चूंकि $A = \pi r^2$,हमारे पास $\pi r^2 l_1 = \pi (r/2)^2 l_2$ है।
इसे सरल करने पर $r^2 l_1 = \frac{r^2}{4} l_2$ प्राप्त होता है,जिससे $l_2 = 4 l_1$ मिलता है।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
अतः,$R \propto \frac{l}{r^2}$।
मान लीजिए $R_1 = R$ और $R_2$ नया प्रतिरोध है।
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1} \times (\frac{r_1}{r_2})^2$।
मान रखने पर: $\frac{R_2}{R} = (4) \times (\frac{r}{r/2})^2 = 4 \times 2^2 = 4 \times 4 = 16$।
इसलिए,नया प्रतिरोध $16R$ होगा।

(B) किसी पदार्थ की प्रतिरोधकता या विशिष्ट प्रतिरोध उस पदार्थ का एक आंतरिक गुण है।
यह केवल पदार्थ की प्रकृति और तापमान पर निर्भर करता है।
यह चालक के भौतिक आयामों जैसे कि उसकी लंबाई,त्रिज्या या अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल पर निर्भर नहीं करता है।
चूँकि दोनों तार एक ही पदार्थ से बने हैं,इसलिए उनका विशिष्ट प्रतिरोध समान होगा।
अतः,उनके विशिष्ट प्रतिरोध का अनुपात $1 : 1$ है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(C) तार का आयतन $V$,$V = \pi r^2 l$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $l$ लंबाई है।
चूंकि खींचने के दौरान आयतन स्थिर रहता है,$\frac{\Delta V}{V} = 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l} = 0$.
इसका अर्थ है $\frac{\Delta l}{l} = -2\frac{\Delta r}{r} \dots (1)$.
प्रतिरोध $R$,$R = \frac{\rho l}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
सापेक्ष त्रुटि लेने पर,हमें $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta l}{l} - 2\frac{\Delta r}{r}$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ को इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta R}{R} = (-2\frac{\Delta r}{r}) - 2\frac{\Delta r}{r} = -4\frac{\Delta r}{r}$.
दिया गया है कि त्रिज्या में $0.1\%$ की कमी होती है,इसलिए $\frac{\Delta r}{r} = -0.1\%$.
अतः,प्रतिरोध में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta R}{R} = -4 \times (-0.1\%) = 0.4\%$ है।

(C) दिया गया है: प्रारंभिक प्रतिरोध $R_0 = 100\,\Omega$,वोल्टेज $V = 220\,V$,धारा $I = 2\,A$,और तापमान में परिवर्तन $\Delta t = 500\,^{\circ}C$.
सबसे पहले,ओम के नियम का उपयोग करके उच्च तापमान पर प्रतिरोध $R_t$ की गणना करें: $R_t = \frac{V}{I} = \frac{220}{2} = 110\,\Omega$.
प्रतिरोध की तापमान निर्भरता का सूत्र $R_t = R_0(1 + \alpha \Delta t)$ है।
मान रखने पर: $110 = 100(1 + \alpha \times 500)$.
$1.1 = 1 + 500\alpha$.
$0.1 = 500\alpha$.
$\alpha = \frac{0.1}{500} = \frac{1}{5000} = 0.0002\,^{\circ}C^{-1}$.
अतः,$\alpha = 2 \times 10^{-4}\,^{\circ}C^{-1}$.

(A) दिया गया है: प्रारंभिक प्रतिरोध $R_1 = 100\, \Omega$,प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = r$,अंतिम त्रिज्या $r_2 = r/2$.
तार का प्रतिरोध $R = \frac{\rho l}{A}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार को पुनः ढालते समय उसका आयतन $V$ स्थिर रहता है,इसलिए $V = A \cdot l = \text{स्थिरांक}$.
प्रतिरोध के सूत्र में $l = V/A$ रखने पर,हमें $R = \frac{\rho V}{A^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto \frac{1}{A^2}$.
चूंकि $A = \pi r^2$,इसलिए $R \propto \frac{1}{(\pi r^2)^2} \propto \frac{1}{r^4}$.
अतः,$\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^4$.
मान रखने पर: $\frac{R_2}{100} = \left( \frac{r}{r/2} \right)^4 = (2)^4 = 16$.
$R_2 = 16 \times 100 = 1600\, \Omega$.

(B) हम जानते हैं कि प्रतिरोधकता $\rho = \frac{R A}{\ell}$ द्वारा दी जाती है।
चालकता $\sigma = \frac{1}{\rho} = \frac{\ell}{R A}$ है।
चूंकि $V = I R$,इसलिए $R = \frac{V}{I}$ होता है। इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\sigma = \frac{\ell I}{V A}$ प्राप्त होता है।
आयाम इस प्रकार हैं:
$[\ell] = [L]$
$[I] = [I]$
$[A] = [L^2]$
$[V] = [M L^2 T^{-3} I^{-1}]$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\sigma = \frac{[L][I]}{[M L^2 T^{-3} I^{-1}] [L^2]} = \frac{[L][I]}{[M L^3 T^{-3} I^{-1}]}$
$\sigma = [M^{-1} L^{-3} T^3 I^2]$.

(C) तार का प्रारंभिक प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
जब तार को बीच से $180^o$ पर मोड़ा जाता है और सिरों को मरोड़ा जाता है,तो नई लंबाई $l' = \frac{l}{2}$ हो जाती है और नया अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A' = 2A$ हो जाता है।
नया प्रतिरोध $R'$ सूत्र $R' = \rho \frac{l'}{A'}$ द्वारा दिया जाता है।
नए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $R' = \rho \frac{l/2}{2A} = \frac{1}{4} \left( \rho \frac{l}{A} \right) = \frac{R}{4}$.