Resistance of wire, Resistivity and Conductivity Questions in Hindi

(C) प्रतिरोध $R$ का सूत्र $R = \rho \frac{L}{A}$ है,जहाँ $\rho$ विशिष्ट प्रतिरोध (प्रतिरोधकता) है,$L$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
$\rho$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $\rho = \frac{R \cdot A}{L}$।
मात्रक रखने पर: $\rho$ का मात्रक = $\frac{(\text{ohm}) \cdot (cm^2)}{cm} = \text{ohm} \cdot cm$।
अतः,विशिष्ट प्रतिरोध का मात्रक $Ohm \cdot cm$ है।

(A) प्रतिरोधकता $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{RA}{l}$ है।
सबसे पहले,ओम के नियम का उपयोग करके प्रतिरोध $R$ की विमा ज्ञात करें: $V = IR$,इसलिए $R = \frac{V}{I}$।
चूंकि $V = \frac{W}{Q}$ (कार्य प्रति आवेश),$V$ की विमा $[M L^2 T^{-2} Q^{-1}]$ है।
धारा $I$ की विमा $[Q T^{-1}]$ है।
अतः,$R$ की विमा $\frac{[M L^2 T^{-2} Q^{-1}]}{[Q T^{-1}]} = [M L^2 T^{-1} Q^{-2}]$ है।
अब,प्रतिरोधकता के सूत्र में $R$,क्षेत्रफल $A$ $([L^2])$ और लंबाई $l$ $([L])$ की विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[\rho] = \frac{[M L^2 T^{-1} Q^{-2}] \cdot [L^2]}{[L]} = [M L^3 T^{-1} Q^{-2}]$।

(B) तापमान $t$ पर चालक का प्रतिरोध $R_t = R_{t_0} [1 + \alpha(t - t_0)]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $t_1 = 10^{\circ}C$ पर $R_1 = 2.71 \ \Omega$ और $t_2 = 100^{\circ}C$ पर $R_2 = 3.70 \ \Omega$ है।
मान लीजिए कि $x$ तापमान पर प्रतिरोध $R_x = 3.26 \ \Omega$ है।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $R_2 = R_1 [1 + \alpha(t_2 - t_1)]$
$3.70 = 2.71 [1 + \alpha(100 - 10)]$
$3.70 = 2.71 [1 + 90\alpha] \implies 1 + 90\alpha = \frac{3.70}{2.71} \implies 90\alpha = \frac{3.70}{2.71} - 1 = \frac{0.99}{2.71}$.
अब,तापमान $x$ के लिए: $R_x = R_1 [1 + \alpha(x - t_1)]$
$3.26 = 2.71 [1 + \alpha(x - 10)]$
$\frac{3.26}{2.71} = 1 + \alpha(x - 10) \implies \alpha(x - 10) = \frac{3.26}{2.71} - 1 = \frac{0.55}{2.71}$.
$\alpha$ के लिए दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{\alpha(x - 10)}{90\alpha} = \frac{0.55 / 2.71}{0.99 / 2.71} \implies \frac{x - 10}{90} = \frac{0.55}{0.99} = \frac{55}{99} = \frac{5}{9}$.
$x - 10 = 90 \times \frac{5}{9} = 50$.
$x = 50 + 10 = 60^{\circ}C$.

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि खिंचाव के दौरान आयतन $V = A \times l$ स्थिर रहता है, हम $A = \frac{V}{l}$ लिख सकते हैं।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $R = \rho \frac{l^2}{V}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$ और $V$ स्थिर हैं, इसलिए $R \propto l^2$ होगा।
छोटे परिवर्तनों के लिए अवकलन का उपयोग करने पर, $\frac{\Delta R}{R} \approx 2 \frac{\Delta l}{l}$ प्राप्त होता है।
यह दिया गया है कि लंबाई में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 0.1\%$ है।
अतः, प्रतिरोध में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 2 \times (\frac{\Delta l}{l} \times 100) = 2 \times 0.1\% = 0.2\%$ होगी।

(A) चालक का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \frac{\rho l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
दिया गया है: $\rho = 50 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot m$,$l = 50 \, cm = 0.5 \, m$,और एक घन के लिए,क्षेत्रफल $A = l^2 = (0.5 \, m)^2 = 0.25 \, m^2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$R = \frac{50 \times 10^{-8} \times 0.5}{0.25}$
$R = \frac{25 \times 10^{-8}}{0.25}$
$R = 100 \times 10^{-8} \, \Omega = 10^{-6} \, \Omega$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) प्रतिरोधकता $(\rho)$ पदार्थ का एक आंतरिक गुण है और यह केवल पदार्थ की प्रकृति और तापमान पर निर्भर करती है।
यह चालक के भौतिक आयामों, जैसे कि उसकी लंबाई या अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल (व्यास) पर निर्भर नहीं करती है।
इसलिए, यदि तार की लंबाई और व्यास दोनों को दोगुना कर दिया जाए, तब भी लोहे के तार की प्रतिरोधकता अपरिवर्तित रहती है।
अतः, प्रतिरोधकता $1 \times 10^{-7} \, \Omega \cdot m$ ही रहेगी।

(B) तापमान $t$ पर एक चालक का प्रतिरोध $R_t = R_0(1 + \alpha \Delta t)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_0$ $0\,^{\circ}C$ पर प्रतिरोध है और $\Delta t$ $0\,^{\circ}C$ से तापमान में परिवर्तन है।
दिया गया है: $\alpha = 0.00125\,^{\circ}C^{-1}$,$T_1 = 300\,K$ $(t_1 = 27\,^{\circ}C)$ पर $R_1 = 1\,\Omega$,और $T_2 = ?$ पर $R_2 = 2\,\Omega$.
सूत्र $R_2 = R_1[1 + \alpha(t_2 - t_1)]$ का उपयोग करने पर:
$2 = 1[1 + 0.00125(t_2 - 27)]$
$2 - 1 = 0.00125(t_2 - 27)$
$1 = 0.00125(t_2 - 27)$
$t_2 - 27 = \frac{1}{0.00125} = 800$
$t_2 = 800 + 27 = 827\,^{\circ}C$
केल्विन में बदलने पर: $T_2 = 827 + 273 = 1100\,K$.

(C) एक चालक का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
प्रारंभ में,$R_1 = \rho \frac{l}{A}$ है।
जब लंबाई को दोगुना $(l' = 2l)$ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल को दोगुना $(A' = 2A)$ किया जाता है,तो नया प्रतिरोध $R_2$ होगा:
$R_2 = \rho \frac{l'}{A'} = \rho \frac{2l}{2A} = \rho \frac{l}{A}$।
दोनों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $R_2 = R_1$ है।
अतः,प्रतिरोध समान रहेगा।

(D) जब किसी तार को खींचा जाता है,तो उसका आयतन स्थिर रहता है। तार का प्रतिरोध $R$,$R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आयतन $V = A \times l$ स्थिर है,इसलिए $A = \frac{V}{l}$ होगा।
इस मान को प्रतिरोध के सूत्र में रखने पर,हमें $R = \rho \frac{l^2}{V}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto l^2$ होगा।
दिया गया है कि नई लंबाई $l' = 3l$ है,इसलिए नया प्रतिरोध $R'$ होगा:
$R' = R \times (\frac{l'}{l})^2 = 20 \times (3)^2 = 20 \times 9 = 180 \, \Omega$.

(D) सही उत्तर $D$ है।
प्रतिरोधकता $(\rho)$ चालक के पदार्थ का एक आंतरिक गुण है।
यह केवल पदार्थ की प्रकृति और तापमान पर निर्भर करती है।
यह तार के भौतिक आयामों जैसे कि उसकी लंबाई $(l)$ या उसके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $(A)$ पर निर्भर नहीं करती है।
इसलिए, कथन $A, B$ या $C$ में से कोई भी सही नहीं है।

(B) दिया गया है: आयतन $V = A \times l = 3\,m^3$,प्रतिरोध $R = 3\,\Omega$,विशिष्ट प्रतिरोध = $\rho$.
आयतन के समीकरण से,हमारे पास $A = \frac{3}{l}$ है।
प्रतिरोध का सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ है।
मान रखने पर: $3 = \rho \frac{l}{(3/l)}$.
इसे सरल करने पर $3 = \frac{\rho l^2}{3}$ प्राप्त होता है।
$l^2$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $l^2 = \frac{9}{\rho}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $l = \sqrt{\frac{9}{\rho}} = \frac{3}{\sqrt{\rho}}$.
अतः,लंबाई $\frac{3}{\sqrt{\rho}}$ होगी।

(D) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ है।
अतः,$R = \rho \frac{L}{\pi d^2 / 4} = \frac{4 \rho L}{\pi d^2}$ होता है।
जब तार को खींचकर उसका व्यास कम किया जाता है,तो उसका आयतन $V = A \times L$ स्थिर रहता है।
चूँकि $V = (\pi d^2 / 4) \times L$ स्थिर है,इसलिए $L \propto \frac{1}{d^2}$ होता है।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $R \propto \frac{L}{d^2} \propto \frac{1/d^2}{d^2} = \frac{1}{d^4}$ प्राप्त होता है।
यदि व्यास को आधा कर दिया जाए $(d' = d/2)$,तो नया प्रतिरोध $R'$ होगा:
$R' = R \times (d/d')^4 = R \times (d / (d/2))^4 = R \times (2)^4 = 16R$।
अतः,प्रतिरोध मूल मान का $16$ गुना हो जाएगा।

(B) दिया गया है: लंबाई $L = 100\,cm = 1\,m$,व्यास $d = 2.0\,mm = 2.0 \times 10^{-3}\,m$,प्रतिरोध $R = 0.7\,\Omega$.
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 1.0 \times 10^{-3}\,m$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (1.0 \times 10^{-3})^2 = \frac{22}{7} \times 10^{-6}\,m^2$.
सूत्र $R = \frac{\rho L}{A}$ का उपयोग करने पर,$\rho = \frac{R \cdot A}{L}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\rho = \frac{0.7 \times (\frac{22}{7} \times 10^{-6})}{1}$.
$\rho = 0.1 \times 22 \times 10^{-6} = 2.2 \times 10^{-6}\,\Omega \cdot m$.
अतः,प्रतिरोधकता $2.2 \times 10^{-6}\,\Omega \cdot m$ है।

(B) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूँकि क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ है,इसलिए $R \propto \frac{1}{d^2}$ होता है।
मान लीजिए कि मूल प्रतिरोध $R_1 = R$ है और व्यास $d_1 = d$ है।
दूसरे तार के लिए,व्यास $d_2 = 2d$ है।
अतः,नया प्रतिरोध $R_2$ इस प्रकार होगा: $\frac{R_2}{R_1} = \frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{d^2}{(2d)^2} = \frac{d^2}{4d^2} = \frac{1}{4}$।
इस प्रकार,$R_2 = \frac{R}{4} = 0.25\,R$।

(D) तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि पदार्थ और तापमान समान हैं,इसलिए $\rho$ स्थिर रहता है।
अतः,$R \propto \frac{l}{r^2}$.
दिया गया है: $R_1 = 1\,\Omega$,$l_1 = 5\,m$,$r_1 = 1\,mm$ और $R_2 = 1\,\Omega$,$r_2 = 2\,mm$.
अनुपात लेने पर: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{l_2} \times \frac{r_2^2}{r_1^2}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{1} = \frac{5}{l_2} \times \left(\frac{2}{1}\right)^2$.
$1 = \frac{5}{l_2} \times 4$.
$l_2 = 5 \times 4 = 20\,m$.

(A) किसी धातु का विशिष्ट प्रतिरोध (प्रतिरोधकता) पदार्थ के गुण द्वारा परिभाषित होता है।
धातुओं के लिए,प्रतिरोधकता $\rho$ को $\rho = \frac{m}{ne^2\tau}$ संबंध द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,$n$ मुक्त इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,और $\tau$ विश्रांति काल (relaxation time) है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,जाली आयनों (lattice ions) के तापीय कंपन बढ़ जाते हैं,जिससे विश्रांति काल $\tau$ में कमी आती है।
चूंकि $\rho \propto \frac{1}{\tau}$,इसलिए तापमान बढ़ने पर धातुओं की प्रतिरोधकता काफी बढ़ जाती है।
अतः,तापमान धातुओं के विशिष्ट प्रतिरोध को प्रभावित करने वाला सबसे महत्वपूर्ण कारक है।

(C) प्रतिरोध का ताप गुणांक $(\alpha)$ संबंध $R_t = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ द्वारा परिभाषित होता है।
धात्विक चालकों के लिए, जैसे कि $Copper$ (तांबा), तापमान बढ़ने पर प्रतिरोध बढ़ता है, जिसका अर्थ है कि प्रतिरोध का ताप गुणांक $(\alpha)$ धनात्मक होता है।
इसके विपरीत, $Carbon$ और $Germanium$ जैसे अर्धचालकों, और विद्युत अपघट्यों (electrolytes) में तापमान बढ़ने पर प्रतिरोध घटता है, जिसके परिणामस्वरूप उनका ताप गुणांक ऋणात्मक होता है।

(D) अतिचालकता (Superconductivity) कुछ पदार्थों में होने वाली एक घटना है,जहाँ जब पदार्थ को उसके विशिष्ट क्रांतिक तापमान $(T_c)$ से नीचे ठंडा किया जाता है,तो उसका विद्युत प्रतिरोध शून्य हो जाता है और चालकता अनंत हो जाती है। यह तापमान आमतौर पर कुछ केल्विन से नीचे होता है।

(D) चालक का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ विशिष्ट प्रतिरोध है,$l$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
दिए गए आयाम $1 \, cm \times 1 \, cm \times 100 \, cm$ हैं।
दो वर्गाकार फलकों $(1 \, cm \times 1 \, cm)$ के बीच प्रतिरोध की गणना करने के लिए,धारा $100 \, cm$ की लंबाई से होकर बहती है।
अतः,$l = 100 \, cm = 1 \, m$ है।
वर्गाकार फलक का क्षेत्रफल $A = 1 \, cm \times 1 \, cm = 1 \, cm^2 = 10^{-4} \, m^2$ है।
विशिष्ट प्रतिरोध $\rho = 3 \times 10^{-7} \, \Omega \cdot m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$R = (3 \times 10^{-7} \, \Omega \cdot m) \times \frac{1 \, m}{10^{-4} \, m^2} = 3 \times 10^{-7} \times 10^4 \, \Omega = 3 \times 10^{-3} \, \Omega$.

(B) तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि तार का व्यास $d$ है,इसलिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ होता है।
अतः,$R \propto \frac{L}{d^2}$।
पहले तार के लिए: $R_1 = R$,$L_1 = L$,$d_1 = d$।
दूसरे तार के लिए: $L_2 = 4L$,$d_2 = 2d$।
अनुपात लेने पर: $\frac{R_2}{R_1} = \frac{L_2}{L_1} \times \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2$।
मान रखने पर: $\frac{R_2}{R} = \frac{4L}{L} \times \left( \frac{d}{2d} \right)^2 = 4 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 4 \times \frac{1}{4} = 1$।
इसलिए,$R_2 = R$।

(B) तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि तार समान पदार्थ के हैं,इसलिए $\rho_1 = \rho_2 = \rho$ होगा।
मान लीजिए कि दूसरे तार की लंबाई और व्यास $l_2 = l$ और $d_2 = d$ हैं। तो इसका क्षेत्रफल $A_2 = \pi (d/2)^2 = \pi d^2 / 4$ होगा।
पहले तार के लिए,$l_1 = 2l$ और $d_1 = 2d$ है। तो इसका क्षेत्रफल $A_1 = \pi (2d/2)^2 = \pi d^2$ होगा।
क्षेत्रफलों की तुलना करने पर,$A_1 = 4 A_2$ प्राप्त होता है।
अब,पहले तार का प्रतिरोध $R_1 = \rho \frac{l_1}{A_1} = \rho \frac{2l}{4 A_2} = \frac{1}{2} \left( \rho \frac{l}{A_2} \right) = \frac{1}{2} R_2$ होगा।
अतः,पहले तार का प्रतिरोध दूसरे तार के प्रतिरोध का आधा होगा।

(A) धात्विक चालक का प्रतिरोध तापमान के साथ बदलता है। तापमान की एक छोटी सीमा के लिए,$t\,^oC$ तापमान पर प्रतिरोध $R_t$ और $0\,^oC$ तापमान पर प्रतिरोध $R_0$ के बीच का संबंध निम्नलिखित रैखिक समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$R_t = R_0(1 + \alpha t)$
जहाँ $\alpha$ प्रतिरोध का तापमान गुणांक है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{l}{a}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ पदार्थ की प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है और $a$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
पहले तार के लिए: $R = \rho \frac{l}{a}$.
दूसरे तार के लिए,पदार्थ समान है (इसलिए $\rho$ स्थिर रहता है),लंबाई समान है $(l)$,और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $4a$ है।
अतः,नया प्रतिरोध $R'$ सूत्र $R' = \rho \frac{l}{4a}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$R$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R' = \frac{1}{4} \left( \rho \frac{l}{a} \right) = \frac{R}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) किसी पदार्थ का प्रतिरोध उसके तापमान पर निर्भर करता है।
$Copper$ (तांबा),$Tungsten$ (टंगस्टन) और $Aluminium$ (एल्युमीनियम) जैसी धातुओं के लिए,तापमान बढ़ने पर इलेक्ट्रॉनों का प्रकीर्णन (scattering) बढ़ जाता है,जिससे प्रतिरोध बढ़ जाता है।
$Germanium$ (जर्मेनियम) जैसे अर्धचालकों के लिए,तापमान बढ़ाने पर आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या में काफी वृद्धि होती है,जिससे प्रतिरोध कम हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) तार का प्रतिरोध सूत्र $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि चांदी का द्रव्यमान और घनत्व स्थिर है,इसलिए आयतन $V = A \times L$ स्थिर रहना चाहिए।
हम $A$ को $V/L$ के रूप में लिख सकते हैं। इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R = \rho \frac{L}{V/L} = \rho \frac{L^2}{V}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto L^2$ है।
प्रतिरोध $R$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें लंबाई $L$ को न्यूनतम करना होगा।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर: $(a)$ $L$,$(b)$ $2L$,$(c)$ $L/2$।
सबसे छोटी लंबाई विकल्प $(c)$ में $L/2$ है।
इसलिए,$L/2$ और $2A$ का संयोजन सबसे कम प्रतिरोध उत्पन्न करता है।

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि खींचने के दौरान आयतन $V = A \times l$ स्थिर रहता है,हम $A = \frac{V}{l}$ लिख सकते हैं।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R = \rho \frac{l^2}{V}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto l^2$ है।
यदि लंबाई में $10\%$ की वृद्धि होती है,तो नई लंबाई $l' = l + 0.1l = 1.1l$ होगी।
नया प्रतिरोध $R' = R \left( \frac{l'}{l} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
$R' = 10 \times (1.1)^2 = 10 \times 1.21 = 12.1\,\Omega$.
हालाँकि,छोटे परिवर्तनों के लिए,सन्निकटन $\Delta R/R \approx 2(\Delta l/l)$ का उपयोग करने पर $2 \times 10\% = 20\%$ प्राप्त होता है,जिससे $10 + 2 = 12\,\Omega$ उत्तर मिलता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$12\,\Omega$ सही उत्तर है।

(C) तापमान $T$ पर चालक का प्रतिरोध $R_T = R_0(1 + \alpha T)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_0$ शून्य डिग्री सेल्सियस पर प्रतिरोध है और $\alpha$ प्रतिरोध का ताप गुणांक है।
दिया गया है:
$R_{150} = 133\,\Omega$
$\alpha = 0.0045\,^{\circ}C^{-1}$
$T_1 = 150\,^{\circ}C$,$T_2 = 500\,^{\circ}C$
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{R_{500}}{R_{150}} = \frac{1 + \alpha T_2}{1 + \alpha T_1}$
$\frac{R_{500}}{133} = \frac{1 + (0.0045 \times 500)}{1 + (0.0045 \times 150)}$
$\frac{R_{500}}{133} = \frac{1 + 2.25}{1 + 0.675} = \frac{3.25}{1.675}$
$R_{500} = 133 \times \frac{3.25}{1.675} \approx 133 \times 1.9403 \approx 258.06\,\Omega$
अतः,$500\,^{\circ}C$ पर प्रतिरोध लगभग $258\,\Omega$ होगा।

(C) तार का प्रतिरोध $R$, सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता (विशिष्ट प्रतिरोध), $l$ लंबाई और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
दिया गया है: $\rho = 64 \times 10^{-6} \, \Omega \cdot \text{cm}$, $l = 198 \, \text{cm}$, $R = 7 \, \Omega$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$, जहाँ $r$ त्रिज्या है।
सूत्र में मान रखने पर: $7 = (64 \times 10^{-6}) \times \frac{198}{\pi r^2}$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर: $7 = \frac{64 \times 10^{-6} \times 198}{(22/7) \times r^2}$.
$r^2 = \frac{64 \times 10^{-6} \times 198 \times 7}{7 \times 22} = \frac{64 \times 10^{-6} \times 198}{22} = 64 \times 10^{-6} \times 9 = 576 \times 10^{-6}$.
वर्गमूल लेने पर: $r = \sqrt{576 \times 10^{-6}} = 24 \times 10^{-3} = 0.024 \, \text{cm}$.

(B) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
जब एक तार को खींचा जाता है,तो उसका आयतन $V = A \times l$ स्थिर रहता है।
यदि लंबाई दोगुनी कर दी जाए $(l' = 2l)$,तो आयतन को स्थिर रखने के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल आधा $(A' = A/2)$ हो जाना चाहिए।
नया प्रतिरोध $R'$ इस प्रकार होगा: $R' = \rho \frac{l'}{A'} = \rho \frac{2l}{A/2} = 4 \rho \frac{l}{A} = 4R$.
अतः,नया प्रतिरोध $4R$ होगा।

(A) प्रतिरोध का ताप गुणांक $(\alpha)$ तापमान में प्रति इकाई परिवर्तन के लिए प्रतिरोध में आंशिक परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$Fe$, $Mn$ और $Ag$ जैसी धातुओं के लिए, तापमान बढ़ने पर प्रतिरोध बढ़ता है, जिसके परिणामस्वरूप धनात्मक ताप गुणांक प्राप्त होता है।
कार्बन $(C)$ जैसे अर्धचालकों और कुचालकों के लिए, तापमान बढ़ने पर आवेश वाहकों की संख्या में काफी वृद्धि होती है, जिससे प्रतिरोध में कमी आती है।
इसलिए, कार्बन $(C)$ का ताप गुणांक ऋणात्मक होता है।

(A) प्रतिरोध $(R)$ के व्युत्क्रम को चालकता $(G)$ कहा जाता है।
गणितीय रूप से,इसे $G = \frac{1}{R}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
चालकता की $SI$ इकाई सीमेंस $(S)$ या $\Omega^{-1}$ है।

(A) प्रतिरोध की ताप पर निर्भरता का सूत्र $R_{T_2} = R_{T_1}[1 + \alpha(T_2 - T_1)]$ है।
दिए गए मान $R_{T_1} = 5\,\Omega$ ताप $T_1 = 50\,^{\circ}\text{C}$ पर और $R_{T_2} = 7\,\Omega$ ताप $T_2 = 100\,^{\circ}\text{C}$ पर हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$7 = 5[1 + \alpha(100 - 50)]$
$7 = 5[1 + 50\alpha]$
$7 = 5 + 250\alpha$
$2 = 250\alpha$
$\alpha = \frac{2}{250} = \frac{1}{125} = 0.008\,^{\circ}\text{C}^{-1}$.

(C) तापमान $t$ पर एक चालक का प्रतिरोध सूत्र द्वारा दिया जाता है: $R_t = R_0(1 + \alpha t)$.
वैकल्पिक रूप से,दो तापमानों $t_1$ और $t_2$ के लिए,संबंध है: $R_2 = R_1[1 + \alpha(t_2 - t_1)]$.
दिया गया है: $R_1 = 50\,\Omega$ तापमान $t_1 = 20\,^{\circ}C$ पर,$R_2 = 76.8\,\Omega$,और $\alpha = 3.92 \times 10^{-3}\,^{\circ}C^{-1}$.
मान रखने पर: $76.8 = 50[1 + 3.92 \times 10^{-3}(t_2 - 20)]$.
$50$ से भाग देने पर: $1.536 = 1 + 3.92 \times 10^{-3}(t_2 - 20)$.
$1$ घटाने पर: $0.536 = 3.92 \times 10^{-3}(t_2 - 20)$.
$(t_2 - 20)$ के लिए हल करने पर: $t_2 - 20 = \frac{0.536}{3.92 \times 10^{-3}} \approx 136.73$.
अतः,$t_2 = 136.73 + 20 = 156.73\,^{\circ}C$,जो दिए गए विकल्पों के आधार पर लगभग $167\,^{\circ}C$ है।

(D) किसी पदार्थ की प्रतिरोधकता $(\rho)$ एक आंतरिक गुण है जो यह दर्शाता है कि पदार्थ विद्युत धारा के प्रवाह का कितना विरोध करता है। यह केवल पदार्थ की प्रकृति (सामग्री) और तापमान पर निर्भर करता है। यह तार के भौतिक आयामों जैसे कि उसकी लंबाई, अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल या आकार पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए, सही विकल्प $(d)$ है।

(A) अतिचालक एक ऐसा पदार्थ है जो अपने विशिष्ट क्रांतिक तापमान से नीचे ठंडा किए जाने पर शून्य विद्युत प्रतिरोध प्रदर्शित करता है।
चूंकि चालकता $\sigma$,प्रतिरोधकता $\rho$ का व्युत्क्रम है,और प्रतिरोधकता सीधे प्रतिरोध $R$ के समानुपाती होती है $(R = \rho \frac{l}{A})$,इसलिए चालकता को $\sigma = \frac{1}{\rho}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
जैसे ही अतिचालक का प्रतिरोध $R$ शून्य हो जाता है,उसकी प्रतिरोधकता $\rho$ भी शून्य हो जाती है।
अतः,चालकता $\sigma = \frac{1}{0} = \infty$ (अनंत) होती है।

(D) मिश्र धातुओं में,विभिन्न धातुओं के परमाणु क्रिस्टल जाली (crystal lattice) में बेतरतीब ढंग से वितरित होते हैं। यह यादृच्छिक व्यवस्था धातु की आवधिक संरचना को बाधित करती है,जिससे मुक्त इलेक्ट्रॉनों का प्रकीर्णन (scattering) बढ़ जाता है। इस बढ़े हुए प्रकीर्णन के कारण,इलेक्ट्रॉनों की गतिशीलता कम हो जाती है,जिसके परिणामस्वरूप शुद्ध धातुओं की तुलना में मिश्र धातुओं की प्रतिरोधकता अधिक होती है। इसलिए,$\rho_{\text{alloy}} > \rho_{\text{metal}}$।

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (A \cdot l) \cdot d$ है,और दोनों तारों का पदार्थ और द्रव्यमान समान है,इसलिए $A \cdot l$ स्थिर रहता है।
अतः,$l = \frac{m}{A \cdot d} \propto \frac{1}{A}$।
इस मान को प्रतिरोध के सूत्र में रखने पर: $R = \rho \frac{l}{A} \propto \frac{1}{A^2}$।
चूंकि $A = \pi r^2$,इसलिए $R \propto \frac{1}{(\pi r^2)^2} \propto \frac{1}{r^4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{R_A}{R_B} = \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^4$।
यहाँ $R_A = 34\,\Omega$,$r_A = 2r$,और $r_B = r$ दिया गया है:
$\frac{34}{R_B} = \left( \frac{r}{2r} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$।
$R_B = 34 \times 16 = 544\,\Omega$।

(C) प्रतिरोध और तापमान के बीच का संबंध सूत्र $R_t = R_0(1 + \alpha t)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$R_t = 4.2\, \Omega$ तापमान $t = 100\,^{\circ}C$ पर प्रतिरोध है,$\alpha = 0.004\,^{\circ}C^{-1}$ प्रतिरोध का ताप गुणांक है,और $R_0$ तापमान $0\,^{\circ}C$ पर प्रतिरोध है।
सूत्र में मान रखने पर:
$4.2 = R_0(1 + 0.004 \times 100)$
$4.2 = R_0(1 + 0.4)$
$4.2 = R_0(1.4)$
$R_0 = \frac{4.2}{1.4} = 3\, \Omega$.
अतः,$0\,^{\circ}C$ पर प्रतिरोध $3\, \Omega$ है।

(B) धातुओं की विद्युत चालकता मुक्त इलेक्ट्रॉनों की गतिशीलता पर निर्भर करती है। दी गई धातुओं में,चांदी $(Ag)$ की विद्युत चालकता सबसे अधिक है,उसके बाद तांबा $(Cu)$ और फिर एल्युमीनियम $(Al)$ का स्थान आता है।
इसलिए,बढ़ती हुई चालकता का क्रम $Al < Cu < Ag$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है। चूँकि $A = \pi r^2$,इसलिए $R = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ होता है।
चूँकि संपीड़न के दौरान आयतन $V = A \cdot L$ स्थिर रहता है,इसलिए $L_1 A_1 = L_2 A_2$ होगा।
दिया गया है कि $A_2 = \pi (nr)^2 = n^2 A_1$,अतः $L_2 = L_1 \frac{A_1}{A_2} = \frac{L_1}{n^2}$ प्राप्त होता है।
नया प्रतिरोध $R_2 = \rho \frac{L_2}{A_2} = \rho \frac{L_1 / n^2}{n^2 A_1} = \frac{1}{n^4} \left( \rho \frac{L_1}{A_1} \right) = \frac{R}{n^4}$ होगा।

(D) किसी चालक का तापमान $t$ पर प्रतिरोध $R_t = R_0(1 + \alpha t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_0$ शून्य डिग्री सेल्सियस पर प्रतिरोध है और $\alpha$ प्रतिरोध का तापमान गुणांक है।
दिया गया है:
$R_1 = 5\,\Omega$ तापमान $t_1 = 50\,^{\circ}C$ पर
$R_2 = 6\,\Omega$ तापमान $t_2 = 100\,^{\circ}C$ पर
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1 + \alpha t_1}{1 + \alpha t_2} \Rightarrow \frac{5}{6} = \frac{1 + 50\alpha}{1 + 100\alpha}$
$5(1 + 100\alpha) = 6(1 + 50\alpha) \Rightarrow 5 + 500\alpha = 6 + 300\alpha$
$200\alpha = 1 \Rightarrow \alpha = \frac{1}{200}\,^{\circ}C^{-1}$
अब,$\alpha$ का मान $R_1$ के समीकरण में रखने पर: $5 = R_0(1 + \frac{1}{200} \times 50)$
$5 = R_0(1 + 0.25) \Rightarrow 5 = R_0(1.25)$
$R_0 = \frac{5}{1.25} = 4\,\Omega$.

(B) दिया गया है कि दोनों तारों के लिए विभवांतर $V$ और लंबाई $L$ समान हैं, और धारा $I$ भी समान है।
ओम के नियम के अनुसार, $V = IR$, इसलिए दोनों तारों के लिए प्रतिरोध $R$ समान होना चाहिए।
प्रतिरोध का सूत्र $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ है।
चूंकि $R$, $L$ और $\pi$ स्थिर हैं, इसलिए $\frac{\rho_{\text{iron}}}{r_{\text{iron}}^2} = \frac{\rho_{\text{copper}}}{r_{\text{copper}}^2}$ होगा।
अतः, $\frac{r_{\text{iron}}^2}{r_{\text{copper}}^2} = \frac{\rho_{\text{iron}}}{\rho_{\text{copper}}}$.
वर्गमूल लेने पर, $\frac{r_{\text{iron}}}{r_{\text{copper}}} = \sqrt{\frac{\rho_{\text{iron}}}{\rho_{\text{copper}}}} = \sqrt{\frac{1.0 \times 10^{-7}}{1.7 \times 10^{-8}}} = \sqrt{\frac{10}{1.7}} \approx \sqrt{5.88} \approx 2.42$.
इस प्रकार, अनुपात लगभग $2.4$ है।

(B) छड़ के पदार्थ की प्रतिरोधकता $\rho = \frac{RA}{l}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $R = 3.0 \times 10^{-3} \, \Omega$,$l = 1.0 \, m$,और व्यास $d_1 = 0.6 \, cm = 0.6 \times 10^{-2} \, m$। त्रिज्या $r_1 = 0.3 \times 10^{-2} \, m$ है।
$\rho = \frac{3.0 \times 10^{-3} \times \pi \times (0.3 \times 10^{-2})^2}{1.0} = 3.0 \times 10^{-3} \times \pi \times 0.09 \times 10^{-4} = 27 \times 10^{-9} \pi \, \Omega \cdot m$।
डिस्क के लिए,मोटाई $t = 1.0 \, mm = 1.0 \times 10^{-3} \, m$ और व्यास $d_2 = 2.0 \, cm = 2.0 \times 10^{-2} \, m$ है। त्रिज्या $r_2 = 1.0 \times 10^{-2} \, m$ है।
गोल फलकों के बीच प्रतिरोध $R' = \rho \frac{t}{A_2} = \rho \frac{t}{\pi r_2^2}$ है।
$R' = (27 \times 10^{-9} \pi) \times \frac{1.0 \times 10^{-3}}{\pi \times (1.0 \times 10^{-2})^2} = \frac{27 \times 10^{-12}}{10^{-4}} = 27 \times 10^{-8} = 2.70 \times 10^{-7} \, \Omega$।

(C) तापमान $t$ पर चालक का प्रतिरोध सूत्र $R_t = R_0(1 + \alpha t)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $R_t$ तापमान $t$ पर प्रतिरोध है, $R_0$ तापमान $0^{\circ}C$ पर प्रतिरोध है, और $\alpha$ प्रतिरोध का तापमान गुणांक है।
दिया गया है कि $R_t = 3R_0$ और $\alpha = 4 \times 10^{-3} \,^{\circ}C^{-1}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$3R_0 = R_0(1 + 4 \times 10^{-3} \times t)$
$3 = 1 + 4 \times 10^{-3} \times t$
$2 = 4 \times 10^{-3} \times t$
$t = \frac{2}{4 \times 10^{-3}} = \frac{2000}{4} = 500^{\circ}C$.
अतः, $500^{\circ}C$ तापमान पर प्रतिरोध अपने प्रारंभिक मान का तीन गुना हो जाएगा।

(A) दिया गया है:
लंबाई $l = 50\, cm = 0.5\, m = 50 \times 10^{-2}\, m$
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 1\, mm^2 = 1 \times 10^{-6}\, m^2$
धारा $I = 4\, A$
विभवांतर $V = 2\, V$
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,प्रतिरोध $R$:
$R = \frac{V}{I} = \frac{2}{4} = 0.5\, \Omega$
प्रतिरोधकता $\rho$ के संदर्भ में प्रतिरोध का सूत्र:
$R = \rho \frac{l}{A}$
$\rho$ के लिए हल करने पर:
$\rho = \frac{R \cdot A}{l} = \frac{0.5 \times 10^{-6}}{0.5} = 1 \times 10^{-6}\, \Omega\cdot m$
अतः,तार की प्रतिरोधकता $1 \times 10^{-6}\, \Omega\cdot m$ है।

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
पिघलाने और पुनः ढालने की प्रक्रिया के दौरान आयतन $V = A \times l$ स्थिर रहता है,इसलिए $A = \frac{V}{l}$ होता है।
इस मान को प्रतिरोध के सूत्र में रखने पर,$R = \rho \frac{l}{V/l} = \rho \frac{l^2}{V}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto l^2$ होता है।
अतः,$\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{l_1}{l_2} \right)^2$ होगा।
दिया गया है कि $l_2 = \frac{l_1}{2}$,इसलिए $\frac{R}{R_2} = \left( \frac{l_1}{l_1/2} \right)^2 = (2)^2 = 4$ होगा।
इस प्रकार,नया प्रतिरोध $R_2 = \frac{R}{4}$ होगा।

(A) जब किसी तार को समान रूप से खींचा जाता है,तो उसका आयतन स्थिर रहता है। चूँकि $V = A \times l$,इसलिए $A_1 l_1 = A_2 l_2$ होता है।
यहाँ $l_1 = 5\, cm$ और $l_2 = 20\, cm$ दिया गया है,इसलिए लंबाई का अनुपात $\frac{l_2}{l_1} = \frac{20}{5} = 4$ है।
प्रतिरोध $R$ का सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ है। $A = \frac{V}{l}$ रखने पर,$R = \rho \frac{l^2}{V}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto l^2$ होगा।
अतः,$\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{l_2}{l_1} \right)^2 = (4)^2 = 16$।
दिया गया है कि $R_1 = 10\, \Omega$,इसलिए $R_2 = 16 \times 10 = 160\, \Omega$ प्राप्त होता है।

(C) धात्विक चालक का प्रतिरोध $R$,$R = \frac{ml}{ne^2 \tau A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\tau$ विश्रांति काल (relaxation time) है।
जैसे-जैसे तापमान $T$ बढ़ता है,इलेक्ट्रॉनों और आयनों के बीच टक्कर की आवृत्ति बढ़ जाती है,जिससे विश्रांति काल $\tau$ कम हो जाता है।
चूंकि $R \propto \frac{1}{\tau}$,इसलिए $\tau$ में कमी आने से प्रतिरोध $R$ बढ़ जाता है।
जब एक तापदीप्त लैंप को चालू किया जाता है,तो फिलामेंट गर्म हो जाता है,जिससे उसका तापमान बढ़ जाता है। परिणामस्वरूप,चालू होने पर लैंप का प्रतिरोध,बंद होने की स्थिति की तुलना में अधिक होता है।

(C) चालक के लिए प्रतिरोधकता $\rho$ की तापमान पर निर्भरता $\rho = \rho_{0}[1 + \alpha(T - T_{0})]$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\alpha$ प्रतिरोधकता का तापमान गुणांक है।
चालक के लिए,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,जाली आयनों (lattice ions) के कंपन का आयाम बढ़ता है। इससे मुक्त इलेक्ट्रॉनों और आयनों के बीच टकराव अधिक बार होता है,जिससे विश्रांति काल (relaxation time) $\tau$ कम हो जाता है। चूँकि प्रतिरोधकता $\rho = m / (ne^2\tau)$ है,इसलिए $\tau$ में कमी के कारण प्रतिरोधकता बढ़ जाती है।
अर्धचालक के लिए,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अधिक संयोजी इलेक्ट्रॉन (valence electrons) ऊर्जा अंतराल को पार करके चालन बैंड (conduction band) में जाने के लिए पर्याप्त तापीय ऊर्जा प्राप्त कर लेते हैं। इससे आवेश वाहकों (charge carriers) की संख्या घनत्व $n$ में काफी वृद्धि होती है। चूँकि $\rho \propto 1/n$ है,इसलिए $n$ में वृद्धि के कारण प्रतिरोधकता घट जाती है।

(D) एक तार का प्रतिरोध $R$,$R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आयतन $V = A \cdot l$,इसलिए $A = \frac{V}{l}$ है।
साथ ही,द्रव्यमान $m = d \cdot V$,जहाँ $d$ घनत्व है। अतः,$V = \frac{m}{d}$।
प्रतिरोध के सूत्र में $A$ का मान रखने पर: $R = \rho \frac{l}{(m/dl)} = \rho \cdot d \cdot \frac{l^2}{m}$।
चूंकि धातु समान है,$\rho$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto \frac{l^2}{m}$।
दिए गए अनुपात: $m_1:m_2:m_3 = 1:2:3$ और $l_1:l_2:l_3 = 3:2:1$।
अतः,प्रतिरोधों का अनुपात $R_1:R_2:R_3 = \frac{l_1^2}{m_1} : \frac{l_2^2}{m_2} : \frac{l_3^2}{m_3}$ होगा।
$R_1:R_2:R_3 = \frac{3^2}{1} : \frac{2^2}{2} : \frac{1^2}{3} = 9 : 2 : \frac{1}{3}$।
भिन्न को हटाने के लिए $3$ से गुणा करने पर: $27 : 6 : 1$।