Potentiometer Questions in Hindi

(B) मान लीजिए पोटेंशियोमीटर तार के सिरों के बीच विभवांतर $V$ है।
प्रारंभिक विभव प्रवणता (potential gradient) $k_1 = \frac{V}{\ell}$ है।
$E$ emf के लिए संतुलन लंबाई $\ell_1 = \frac{\ell}{3}$ है,इसलिए $E = k_1 \ell_1 = \frac{V}{\ell} \cdot \frac{\ell}{3} = \frac{V}{3}$ है।
जब तार की लंबाई $\ell/2$ बढ़ा दी जाती है,तो नई लंबाई $\ell' = \ell + \frac{\ell}{2} = \frac{3\ell}{2}$ हो जाती है।
नई विभव प्रवणता $k_2 = \frac{V}{\ell'} = \frac{V}{3\ell/2} = \frac{2V}{3\ell}$ है।
उसी सेल $E$ के लिए,नई संतुलन लंबाई $\ell_2$ के लिए $E = k_2 \ell_2$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{V}{3} = \left( \frac{2V}{3\ell} \right) \ell_2$।
$\ell_2$ के लिए हल करने पर: $\ell_2 = \frac{V}{3} \cdot \frac{3\ell}{2V} = \frac{\ell}{2}$।

(A) प्रारंभिक व्यवस्था में,सेल $E_1$ और $E_2$ श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं,इसलिए उनका प्रभावी $EMF$ $E_{eff} = E_1 + E_2 = 5 \, V + 7 \, V = 12 \, V$ है।
दिया गया है कि संतुलन लंबाई $l_1 = 6 \, m$ है,इसलिए हमारे पास $E_{eff} = k \cdot l_1$ है,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
अतः,$12 = k \cdot 6 \implies k = 2 \, V/m$।
जब $E_2$ के टर्मिनलों को उलट दिया जाता है,तो प्रभावी $EMF$ $E'_{eff} = |E_1 - E_2| = |5 \, V - 7 \, V| = 2 \, V$ हो जाता है।
माना कि नई संतुलन लंबाई $l_2$ है। तब $E'_{eff} = k \cdot l_2$।
$2 = 2 \cdot l_2 \implies l_2 = 1 \, m$।

(D) मान लीजिए $x$ पोटेंशियोमीटर तार $PQ$ का विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब कुंजी $K_3$ को $2$ और $1$ के बीच लगाया जाता है,तो $R_1$ के सिरों पर विभवांतर संतुलित होता है:
$V_1 = I R_1 = x l_1$
जब कुंजी $K_3$ को $3$ और $1$ के बीच लगाया जाता है,तो $R_1$ और $R_2$ के श्रेणी संयोजन के सिरों पर विभवांतर संतुलित होता है:
$V_2 = I (R_1 + R_2) = x l_2$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{I R_1}{I (R_1 + R_2)} = \frac{x l_1}{x l_2}$
$\frac{R_1}{R_1 + R_2} = \frac{l_1}{l_2}$
दोनों पक्षों को उलटने पर:
$\frac{R_1 + R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1}$
$1 + \frac{R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1}$
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1} - 1 = \frac{l_2 - l_1}{l_1}$
अतः,अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{l_2 - l_1}$ प्राप्त होता है।

(D) पोटेंशियोमीटर प्रयोग में,विभवांतर $V$ संतुलन लंबाई $l$ के सीधे आनुपातिक होता है,अर्थात $V = kl$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
दिया गया है कि मानक सेल के लिए $E = 1.1 \text{ V}$,$l_1 = 440 \text{ cm}$ पर संतुलित होता है।
अतः,$1.1 = k \times 440 \implies k = \frac{1.1}{440} \text{ V/cm}$.
प्रतिरोध के सिरों पर वास्तविक विभवांतर $V_{actual}$,जो $l_2 = 220 \text{ cm}$ पर संतुलित होता है,वह है:
$V_{actual} = k \times l_2 = \left( \frac{1.1}{440} \right) \times 220 = \frac{1.1}{2} = 0.55 \text{ V}$.
वोल्टमीटर का पाठ्यांक $V_{reading} = 0.5 \text{ V}$ दिया गया है।
पाठ्यांक में त्रुटि $\text{Error} = V_{reading} - V_{actual}$ द्वारा परिभाषित होती है।
$\text{Error} = 0.5 - 0.55 = -0.05 \text{ V}$.

(C) सेल के $e.m.f.$ को मापने के लिए वोल्टमीटर की तुलना में पोटेंशियोमीटर को निम्नलिखित कारणों से प्राथमिकता दी जाती है:
$(i)$ जब पोटेंशियोमीटर संतुलित अवस्था में होता है,तो सेल से कोई धारा नहीं ली जाती है। इस प्रकार,मापा गया विभवांतर सेल के वास्तविक $e.m.f.$ के बराबर होता है।
$(ii)$ पोटेंशियोमीटर के तार को बहुत लंबा बनाया जा सकता है,जो विभव प्रवणता $(V/L)$ को बढ़ाता है,जिससे मानक वोल्टमीटर की तुलना में मापन में बहुत अधिक सटीकता प्राप्त होती है।
अतः,कथन $(i)$ और $(ii)$ सही हैं।

(C) जब सेल ओपन सर्किट में होता है,तो संतुलन लंबाई $\ell$ सेल के विद्युत वाहक बल $(E)$ के अनुरूप होती है।
$E = K\ell$,जहाँ $K$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब सेल को बाहरी प्रतिरोध $R$ से जोड़ा जाता है,तो टर्मिनल वोल्टेज $V$ मापा जाता है।
$V = K\ell'$,जहाँ $\ell'$ नई संतुलन लंबाई है।
आंतरिक प्रतिरोध $r$ का सूत्र है: $r = \left(\frac{E - V}{V}\right)R$।
दिया गया है कि $R = r$,इसलिए समीकरण में मान रखने पर:
$r = \left(\frac{E - V}{V}\right)r$
$1 = \frac{E - V}{V}$
$V = E - V$
$2V = E$
$E = K\ell$ और $V = K\ell'$ रखने पर:
$2(K\ell') = K\ell$
$\ell' = \ell/2$।

(C) पोटेंशियोमीटर तार $AB$ से बहने वाली धारा $I = \frac{\varepsilon}{R_{AB} + r} = \frac{\varepsilon}{12r + r} = \frac{\varepsilon}{13r}$ है।
लंबाई $AJ$ (जहाँ $AJ = x$) पर विभव पतन $V_{AJ} = I \times R_{AJ}$ है।
चूंकि तार का प्रतिरोध उसकी लंबाई के समानुपाती होता है,इसलिए $R_{AJ} = \frac{x}{L} \times 12r$ होगा।
अतः,$V_{AJ} = \left(\frac{\varepsilon}{13r}\right) \times \left(\frac{x}{L} \times 12r\right) = \frac{12\varepsilon x}{13L}$ प्राप्त होता है।
गैल्वेनोमीटर में शून्य विक्षेप के लिए,$AJ$ पर विभव पतन सेल $C$ के $emf$ $(\varepsilon/2)$ के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$\frac{12\varepsilon x}{13L} = \frac{\varepsilon}{2}$।
$x$ के लिए हल करने पर:
$\frac{12x}{13L} = \frac{1}{2}$
$24x = 13L$
$x = \frac{13}{24}L$।

(C) प्राथमिक परिपथ में धारा $i = \frac{4}{5 + R}$ है।
पूरे पोटेंशियोमीटर तार $AB$ पर विभवांतर $V_{AB} = i \times 5 = \frac{20}{5 + R}$ है।
तार पर विभव प्रवणता $k = \frac{V_{AB}}{L} = \frac{20}{5 + R} \times \frac{1}{1} = \frac{20}{5 + R} \, V/m$ है।
$10\, cm$ $(0.1\, m)$ लंबाई पर विभवांतर $V_{AP} = k \times 0.1 = \frac{20}{5 + R} \times 0.1 = \frac{2}{5 + R}$ है।
दिया गया है कि $V_{AP} = 5\, mV = 5 \times 10^{-3} \, V$,इसलिए:
$\frac{2}{5 + R} = 5 \times 10^{-3}$
$5 + R = \frac{2}{5 \times 10^{-3}} = \frac{2000}{5} = 400$
$R = 400 - 5 = 395\, \Omega$.

(C) श्रेणीक्रम में जुड़े दो सेलों का कुल $EMF$ $E_{eq} = 1.5\, V + 1.5\, V = 3.0\, V$ है।
दो सेलों का कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_{int} = 0.5\, \Omega + 0.5\, \Omega = 1.0\, \Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{ext} + r_{int} + R_{wire} = 1.0\, \Omega + 1.0\, \Omega + (400\, cm \times 0.01\, \Omega/cm) = 2.0\, \Omega + 4.0\, \Omega = 6.0\, \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $i = \frac{E_{eq}}{R_{total}} = \frac{3.0\, V}{6.0\, \Omega} = 0.5\, A$ है।
वोल्टमीटर तार के $50\, cm$ लंबाई वाले भाग के सिरों के बीच विभवांतर मापता है।
इस $50\, cm$ खंड का प्रतिरोध $R_{50} = 50\, cm \times 0.01\, \Omega/cm = 0.5\, \Omega$ है।
अतः, वोल्टमीटर का पाठ्यांक $V = i \times R_{50} = 0.5\, A \times 0.5\, \Omega = 0.25\, V$ होगा।

(A) पोटेंशियोमीटर तार $AC$ में प्रवाहित धारा $I$ इस प्रकार है:
$I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{2}{10 + R}$
संपूर्ण पोटेंशियोमीटर तार के सिरों पर विभवांतर $V_{AC}$ है:
$V_{AC} = I \times R_{wire} = \left( \frac{2}{10 + R} \right) \times 10$
$L = 100 \, cm$ लंबाई के तार पर विभव प्रवणता $k$ है:
$k = \frac{V_{AC}}{L} = \left( \frac{2}{10 + R} \right) \times \frac{10}{100} = \frac{2}{10(10 + R)}$
$E' = 10 \, mV = 10 \times 10^{-3} \, V$ के $emf$ स्रोत को $l = 40 \, cm$ लंबाई के विरुद्ध संतुलित किया जाता है। संतुलन की स्थिति है:
$E' = k \times l$
$10 \times 10^{-3} = \left( \frac{2}{10(10 + R)} \right) \times 40$
$10^{-2} = \frac{8}{10 + R}$
$10 + R = \frac{8}{10^{-2}} = 800$
$R = 800 - 10 = 790 \, \Omega$.

(B) मान लीजिए कि $B$ पर विभव $V_B = 0\,V$ है। चूंकि $6\,V$ की बैटरी $AB$ के सिरों पर जुड़ी है,इसलिए $A$ पर विभव $V_A = 6\,V$ होगा।
तार $AB$ पर $A$ से $x$ (सेमी में) दूरी पर किसी भी बिंदु पर विभव $V(x) = V_A - (V_A - V_B) \cdot \frac{x}{L} = 6 - 6 \cdot \frac{x}{100} = 6(1 - 0.01x)$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $C$ पर विभव $4\,V$ की बैटरी द्वारा निर्धारित होता है। चूंकि $4\,V$ की बैटरी और $1\,\Omega$ प्रतिरोध वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है (क्योंकि $C$ पर यह एक खुला परिपथ है),इसलिए $C$ पर विभव $A$ के सापेक्ष $4\,V$ बैटरी के धनात्मक टर्मिनल के विभव के बराबर होता है।
विशेष रूप से,$V_C = V_A - 4\,V = 6\,V - 4\,V = 2\,V$।
हम $A$ से $x$ दूरी पर वह बिंदु $D$ खोजना चाहते हैं जहाँ $V(D) = V_C = 2\,V$ हो।
$6(1 - 0.01x) = 2$ रखने पर,हमें $1 - 0.01x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
$0.01x = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।
$x = \frac{2}{3} \cdot 100 = 66.67\,cm$।
निकटतम पूर्णांक में,हमें $x \approx 67\,cm$ प्राप्त होता है।

(B) विभवमापी में,सेल का $emf$ $(E)$ तार की संतुलन लंबाई $(l)$ के सीधे आनुपातिक होता है,अर्थात $E \propto l$।
दिया गया है:
$E_1 = 1.25\,V$
$l_1 = 35.0\,cm$
$l_2 = 63.0\,cm$
संबंध $\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E_2 = E_1 \times \frac{l_2}{l_1}$
$E_2 = 1.25 \times \frac{63.0}{35.0}$
$E_2 = 1.25 \times 1.8$
$E_2 = 2.25\,V$
अतः,दूसरे सेल का $emf$ $2.25\,V$ है।

(A) प्राथमिक सर्किट में $E = 5 \, V$ की बैटरी और $r = 0.5 \, \Omega$ का आंतरिक प्रतिरोध,पोटेंशियोमीटर तार $AB$ (जिसका प्रतिरोध $R = 4.5 \, \Omega$ है) के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।
प्राथमिक सर्किट का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + r = 4.5 \, \Omega + 0.5 \, \Omega = 5.0 \, \Omega$ है।
पोटेंशियोमीटर तार $AB$ से बहने वाली धारा $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{5 \, V}{5 \, \Omega} = 1 \, A$ है।
तार $AB$ के सिरों के बीच विभवांतर $V_{AB} = I \times R = 1 \, A \times 4.5 \, \Omega = 4.5 \, V$ है।
तार पर विभव प्रवणता $k = \frac{V_{AB}}{L_{AB}} = \frac{4.5 \, V}{3 \, m} = 1.5 \, V/m$ है।
गैल्वेनोमीटर में शून्य विक्षेप के लिए,लंबाई $AC$ (मान लीजिए $\ell$) के बीच का विभवांतर द्वितीयक सेल के $EMF$ $E_1 = 3 \, V$ के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$V_{AC} = k \times \ell = 3 \, V$.
$1.5 \, V/m \times \ell = 3 \, V$.
$\ell = \frac{3}{1.5} = 2 \, m$.

(B) $5 \, \Omega$ प्रतिरोध वाले तार से बहने वाली धारा $I = \frac{E}{r + R}$ सूत्र द्वारा दी जाती है, जहाँ $E = 3 \, V$ बैटरी का $emf$ है और $r = 1 \, \Omega$ इसका आंतरिक प्रतिरोध है.
मान रखने पर: $I = \frac{3}{1 + 5} = \frac{3}{6} = 0.5 \, A$.
तार की पूरी लंबाई पर विभवांतर $V_{wire} = I \times R = 0.5 \times 5 = 2.5 \, V$ है.
तार की लंबाई $L = 1 \, m$ है.
विभव प्रवणता $k$ को प्रति इकाई लंबाई विभव पतन के रूप में परिभाषित किया गया है: $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{2.5 \, V}{1 \, m} = 2.5 \, V/m$.

(B) माना कि अतिरिक्त प्रतिरोध $R$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + R_{wire} = R + 3\, \Omega$ है।
परिपथ में बहने वाली धारा $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{2}{R + 3}$ है।
विभव प्रवणता $\phi = 1\, mV/cm = 10^{-3}\, V/cm$ दी गई है। चूंकि तार की लंबाई $100\, cm$ है,इसलिए तार पर कुल विभवांतर $V_{wire} = \phi \times L = 10^{-3}\, V/cm \times 100\, cm = 0.1\, V$ होगा।
साथ ही,$V_{wire} = I \times R_{wire} = \left( \frac{2}{R + 3} \right) \times 3$ होता है।
$V_{wire}$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$0.1 = \frac{6}{R + 3}$.
$R + 3 = \frac{6}{0.1} = 60$.
$R = 60 - 3 = 57\, \Omega$.

(B) पोटेंशियोमीटर तार $AB$ से बहने वाली धारा $I = \frac{\varepsilon}{R_{wire} + r} = \frac{\varepsilon}{9r + r} = \frac{\varepsilon}{10r}$ है।
तार $AB$ के सिरों के बीच विभवांतर $V_{AB} = I \times R_{wire} = \frac{\varepsilon}{10r} \times 9r = \frac{9\varepsilon}{10}$ है।
तार $AB$ के अनुदिश विभव प्रवणता $x = \frac{V_{AB}}{L} = \frac{9\varepsilon}{10L}$ है।
गैल्वेनोमीटर $G$ में कोई विक्षेप न हो,इसके लिए लंबाई $AJ$ के बीच का विभवांतर सेल $C$ के $emf$ के बराबर होना चाहिए। मान लीजिए लंबाई $AJ = \ell$ है।
अतः,$x \times \ell = \frac{\varepsilon}{2}$.
$x$ का मान रखने पर,$\frac{9\varepsilon}{10L} \times \ell = \frac{\varepsilon}{2}$ प्राप्त होता है।
$\ell$ के लिए हल करने पर,$\ell = \frac{\varepsilon}{2} \times \frac{10L}{9\varepsilon} = \frac{5L}{9}$ प्राप्त होता है।

(A) विभव प्रवणता $x$ का मान $0.0025\,V/cm$ दिया गया है।
इसे $SI$ इकाइयों $(V/m)$ में बदलने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$x = 0.0025 \times 100\,V/m = 0.25\,V/m$.
तार की लंबाई $\ell$ पर विभवांतर $V$ का सूत्र $V = x\ell$ है।
मानक सेल का वोल्टेज $V = 1.025\,V$ दिया गया है,इसलिए हमें शून्य विक्षेप बिंदु की दूरी $\ell$ ज्ञात करनी है:
$\ell = \frac{V}{x} = \frac{1.025}{0.25}$.
$\ell = 4.1\,m$.

(D) मान लीजिए कि विभवमापी तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $x$ है।
जब कुंजी $K_1$ बंद होती है,तो प्रतिरोध $R$ के सिरों के बीच का विभवांतर संतुलित होता है। इस प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $I = \frac{E}{2R}$ है,इसलिए विभवांतर $V_1 = I \cdot R = \frac{E}{2R} \cdot R = \frac{E}{2}$ है।
अतः,$\frac{E}{2} = x \cdot 100 \implies E = 200x$ है।
जब कुंजी $K_2$ बंद होती है,तो दो प्रतिरोधों $R$ और $R$ के श्रेणी संयोजन के सिरों के बीच का विभवांतर संतुलित होता है। इस संयोजन से प्रवाहित धारा $I' = \frac{E}{R+R} = \frac{E}{2R}$ है।
संयोजन के सिरों के बीच विभवांतर $V_2 = I' \cdot (R+R) = \frac{E}{2R} \cdot 2R = E$ है।
अतः,$E = x \cdot \ell'$,जहाँ $\ell'$ नई संतुलन लंबाई है।
$E = 200x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $200x = x \cdot \ell'$ प्राप्त होता है,जिससे $\ell' = 200 \, cm$ मिलता है।

(C) पोटेंशियोमीटर का उपयोग करके सेल के आंतरिक प्रतिरोध $r$ का सूत्र इस प्रकार है:
$r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$
जहाँ $l_1$ ओपन सर्किट में संतुलन लंबाई है और $l_2$ वह संतुलन लंबाई है जब प्रतिरोध $R$ जुड़ा होता है।
दिया गया है:
$l_1 = 3.4 \, m$
$l_2 = 1.7 \, m$
$R = 10 \, \Omega$
सूत्र में मान रखने पर:
$r = 10 \left( \frac{3.4}{1.7} - 1 \right)$
$r = 10 (2 - 1)$
$r = 10 \times 1 = 10 \, \Omega$
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $10 \, \Omega$ है।

(A) माना $A$ और $B$ के बीच विभवांतर $V_{AB}$ है और $B$ और $C$ के बीच विभवांतर $V_{BC}$ है। माना विभवमापी तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $k$ है।
जब $A$ और $B$ के बीच जोड़ा जाता है,तो संतुलन लंबाई $l_1 = 203.6 \, cm$ है। अतः,$V_{AB} = k \cdot 203.6 \, cm$.
जब सिरे को $C$ पर स्थानांतरित किया जाता है,तो विभवांतर $V_{AB} - V_{BC} = k \cdot 24.6 \, cm$ होता है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$V_{BC} = k \cdot (203.6 - 24.6) = k \cdot 179.0 \, cm$.
अतः,$B$ और $C$ के लिए संतुलन बिंदु $179.0 \, cm$ पर होगा।

(B) विभव प्रवणता $x = 0.1 \, mV/cm = 0.1 \times 10^{-3} \, V / (10^{-2} \, m) = 0.01 \, V/m$ दी गई है।
$10 \, m$ तार के सिरों पर कुल विभवांतर $V_{wire} = x \times L = 0.01 \, V/m \times 10 \, m = 0.1 \, V$ है।
पोटेंशियोमीटर तार में प्रवाहित धारा $I = V_{wire} / R_{wire} = 0.1 \, V / 40 \, \Omega = 0.0025 \, A = 1/400 \, A$ है।
परिपथ में $2 \, V$ का सेल,प्रतिरोध बॉक्स $R$ और तार का प्रतिरोध $40 \, \Omega$ श्रेणीक्रम में हैं।
संपूर्ण परिपथ के लिए ओम के नियम का उपयोग करने पर: $I = E / (R + R_{wire}) \implies 1/400 = 2 / (R + 40)$.
$R + 40 = 800 \implies R = 760 \, \Omega$.

(A) पोटेंशियोमीटर प्रयोग में,संतुलन लंबाई $l_1$ सेल के $EMF$ के अनुरूप होती है,$E = k l_1$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता है।
जब बाहरी प्रतिरोध $R$ को समानांतर में जोड़ा जाता है,तो टर्मिनल वोल्टेज $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right) = k l_2$ होता है।
अतः,$\frac{E}{V} = \frac{l_1}{l_2} = 1 + \frac{r}{R}$।
यहाँ $l_1 = 560 \; cm$ और लंबाई में परिवर्तन $60 \; cm$ है,इसलिए नई संतुलन लंबाई $l_2 = 560 - 60 = 500 \; cm$ होगी।
मान रखने पर: $\frac{560}{500} = 1 + \frac{r}{10}$।
$1.12 = 1 + \frac{r}{10} \implies 0.12 = \frac{r}{10} \implies r = 1.2 \; \Omega$।
चूंकि आंतरिक प्रतिरोध $r = \frac{N}{10} \; \Omega$ है,इसलिए $\frac{N}{10} = 1.2$,जिससे $N = 12$ प्राप्त होता है।

(D) माना विभवमापी के तार की कुल लंबाई $L = 1200 \; cm$ है।
तार में प्रवाहित धारा $I = 60 \; mA = 0.06 \; A$ है।
तार का कुल प्रतिरोध $R$ है।
पूरे तार के सिरों के बीच विभवांतर $V_{wire} = I \times R = 0.06 \times R$ होगा।
विभव प्रवणता (potential gradient) $\lambda = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{0.06 \times R}{1200} = 0.00005 \times R \; V/cm$ होगी।
$5 \; V$ के emf के लिए शून्य विक्षेप बिंदु $\ell = 1000 \; cm$ पर प्राप्त होता है।
संतुलन की स्थिति के लिए,$E = \lambda \times \ell$ होता है।
$5 = (\frac{0.06 \times R}{1200}) \times 1000$.
$5 = \frac{0.06 \times R}{1.2} = 0.05 \times R$.
अतः,$R = \frac{5}{0.05} = 100 \; \Omega$।

(N/A) जब स्लाइडिंग संपर्क $B$ पोटेंशियोमीटर के मध्य में होता है,तो प्रतिरोध $R_{0}$ दो समान भागों में विभाजित हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक $R_{0}/2$ है। प्रतिरोध $R$ पोटेंशियोमीटर के निचले आधे हिस्से (बिंदु $A$ और $B$ के बीच) के साथ समानांतर में जुड़ा होता है।
बिंदु $A$ और $B$ के बीच समतुल्य प्रतिरोध $R_{1}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{1}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R_{0}/2} = \frac{1}{R} + \frac{2}{R_{0}} = \frac{R_{0} + 2R}{R \cdot R_{0}}$
$R_{1} = \frac{R \cdot R_{0}}{R_{0} + 2R}$
बिंदु $A$ और $C$ के बीच परिपथ का कुल प्रतिरोध समतुल्य प्रतिरोध $R_{1}$ और पोटेंशियोमीटर के शेष भाग $(R_{0}/2)$ का योग है:
$R_{total} = R_{1} + \frac{R_{0}}{2}$
स्रोत $V$ से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{V}{R_{1} + R_{0}/2} = \frac{2V}{2R_{1} + R_{0}}$
प्रतिरोध $R$ के सिरों पर वोल्टेज $V_{1}$ समानांतर संयोजन $R_{1}$ के सिरों पर वोल्टेज के समान है:
$V_{1} = I \cdot R_{1} = \left( \frac{2V}{2R_{1} + R_{0}} \right) \cdot R_{1}$
$R_{1} = \frac{R \cdot R_{0}}{R_{0} + 2R}$ को $V_{1}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$V_{1} = \frac{2V \cdot \left( \frac{R \cdot R_{0}}{R_{0} + 2R} \right)}{2 \left( \frac{R \cdot R_{0}}{R_{0} + 2R} \right) + R_{0}} = \frac{2V \cdot R \cdot R_{0}}{2R \cdot R_{0} + R_{0}(R_{0} + 2R)} = \frac{2V \cdot R \cdot R_{0}}{2R \cdot R_{0} + R_{0}^{2} + 2R \cdot R_{0}} = \frac{2V \cdot R \cdot R_{0}}{R_{0}^{2} + 4R \cdot R_{0}}$
अंश और हर को $R_{0}$ से विभाजित करने पर:
$V_{1} = \frac{2VR}{R_{0} + 4R}$

(B) पहले सेल का $emf$,$E_{1} = 1.25\; V$ है।
विभवमापी का संतुलन बिंदु,$l_{1} = 35.0\; cm$ है।
सेल को $E_{2}$ $emf$ वाले दूसरे सेल से बदल दिया जाता है।
विभवमापी का नया संतुलन बिंदु,$l_{2} = 63.0\; cm$ है।
विभवमापी के लिए संतुलन की स्थिति निम्नलिखित संबंध द्वारा दी जाती है:
$\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{l_{1}}{l_{2}}$
$E_{2}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$E_{2} = E_{1} \times \frac{l_{2}}{l_{1}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$E_{2} = 1.25 \times \frac{63.0}{35.0} = 1.25 \times 1.8 = 2.25\; V$ है।
अतः,दूसरे सेल का $emf$ $2.25\; V$ है।

(A-D) दिए गए मानक सेल का स्थिर $emf$ $E_1 = 1.02 \; V$ है।
तार पर संतुलन बिंदु $l_1 = 67.3 \; cm$ है।
जब अज्ञात $emf$ $\varepsilon$ वाला सेल मानक सेल को प्रतिस्थापित करता है,तो तार पर नया संतुलन बिंदु $l = 82.3 \; cm$ होता है।
$emf$ और संतुलन बिंदु को जोड़ने वाला संबंध $\frac{E_1}{l_1} = \frac{\varepsilon}{l}$ है।
अतः,$\varepsilon = \frac{l}{l_1} \times E_1 = \frac{82.3}{67.3} \times 1.02 \approx 1.247 \; V$.
अज्ञात $emf$ का मान $1.247 \; V$ है।
$(b)$ $600 \; k \Omega$ के उच्च प्रतिरोध का उपयोग करने का उद्देश्य गैल्वेनोमीटर को उच्च धाराओं से बचाना है जब चल संपर्क संतुलन बिंदु से दूर होता है।
$(c)$ नहीं,संतुलन बिंदु इस उच्च प्रतिरोध की उपस्थिति से प्रभावित नहीं होता है क्योंकि संतुलन बिंदु पर गैल्वेनोमीटर से होकर बहने वाली धारा शून्य होती है,इसलिए उच्च प्रतिरोध पर कोई विभवांतर नहीं होता है।
$(d)$ यदि ड्राइवर सेल का $emf$ $1.0 \; V$ होता तो यह विधि काम नहीं करती क्योंकि मापे जाने वाले सेल का $emf$ ($1.02 \; V$ या $1.247 \; V$) पोटेंशियोमीटर तार पर विभवांतर से अधिक होता,जिससे संतुलन बिंदु खोजना असंभव हो जाता।
$(e)$ यह परिपथ अत्यंत छोटे $emf$ को निर्धारित करने के लिए अच्छी तरह से काम नहीं करेगा क्योंकि संतुलन बिंदु सिरे $A$ के बहुत करीब होगा,जिससे बड़ी प्रतिशत त्रुटि होगी। परिपथ को संशोधित करने के लिए,पोटेंशियोमीटर तार $AB$ के साथ श्रेणीक्रम में एक प्रतिरोधक जोड़ा जाना चाहिए ताकि $AB$ पर विभवांतर को कम किया जा सके ताकि यह मापे जा रहे $emf$ से थोड़ा ही अधिक रहे।

(A) माना सेल का आंतरिक प्रतिरोध $r$ है।
ओपन सर्किट में सेल का संतुलन बिंदु $l_1 = 76.3 \; cm$ दिया गया है।
जब सेल के साथ समानांतर में $R = 9.5 \; \Omega$ का बाहरी प्रतिरोध जोड़ा जाता है,तो नया संतुलन बिंदु $l_2 = 64.8 \; cm$ प्राप्त होता है।
पोटेंशियोमीटर का उपयोग करके सेल के आंतरिक प्रतिरोध $r$ के लिए सूत्र इस प्रकार है:
$r = \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right) R$
दिए गए मानों को रखने पर:
$r = \left( \frac{76.3 - 64.8}{64.8} \right) \times 9.5$
$r = \left( \frac{11.5}{64.8} \right) \times 9.5$
$r \approx 0.17747 \times 9.5 \approx 1.686 \; \Omega$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $1.68 \; \Omega$ प्राप्त होता है।

(N/A) विभवमापी एक ऐसा उपकरण है जिसका उपयोग विभवांतर को मापने या सेलों के विद्युत वाहक बल $(EMF)$ की तुलना करने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग सेल के आंतरिक प्रतिरोध को मापने के लिए भी किया जाता है।
सिद्धांत:
चित्र में दिखाए अनुसार,$\varepsilon$ $EMF$ और $r$ आंतरिक प्रतिरोध वाली एक बैटरी को एक प्रतिरोध बॉक्स $R$ और $L$ लंबाई तथा प्रति इकाई लंबाई $\rho$ प्रतिरोध वाले एक समान तार $AB$ के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + L\rho + r$ है।
तार $AB$ से बहने वाली धारा $I = \frac{\varepsilon}{R + L\rho + r}$ है।
यदि तार के खंड $AC$ की लंबाई $l$ है,तो खंड $AC$ का प्रतिरोध $R_{AC} = \rho l$ होगा।
खंड $AC$ पर विभवांतर $V$ इस प्रकार दिया जाता है:
$V = I \cdot R_{AC} = I \rho l$
$I$ का मान रखने पर:
$V = \left( \frac{\varepsilon \rho}{R + L\rho + r} \right) l$
दिए गए सेटअप के लिए $\varepsilon, \rho, R, L,$ और $r$ स्थिरांक हैं,इसलिए हम $V = \phi l$ लिख सकते हैं,जहाँ $\phi = \frac{\varepsilon \rho}{R + L\rho + r}$ को विभव प्रवणता (Potential Gradient) कहा जाता है।
सिद्धांत का कथन: स्थिर धारा वहन करने वाले एक समान तार के किसी भी खंड पर विभवांतर उस खंड की लंबाई के सीधे आनुपातिक होता है।
विभव प्रवणता की इकाई $V \cdot m^{-1}$ है और इसका विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]$ है।

(A) चित्र में दिखाए अनुसार,$\varepsilon$ emf और $r$ आंतरिक प्रतिरोध वाली एक बैटरी,एक परिवर्ती प्रतिरोध $R$ और एक स्विच $K_{1}$ को पोटेंशियोमीटर के दो सिरों $A$ और $B$ के बीच जोड़ा जाता है।
दो सेलों $\varepsilon_{1}$ और $\varepsilon_{2}$ के emf की तुलना करने के लिए,दोनों सेलों के धनात्मक टर्मिनलों को बिंदु $A$ से जोड़ा जाता है। सेलों के ऋणात्मक टर्मिनलों को टू-वे स्विच के बिंदुओं $1$ और $2$ से जोड़ा जाता है। स्विच के टर्मिनल $3$ को एक गैल्वेनोमीटर $(G)$ और जॉकी के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है। जॉकी को पोटेंशियोमीटर के तार पर घुमाया जा सकता है।
सबसे पहले,स्विच के बिंदुओं $1$ और $3$ को जोड़ा जाता है,जिससे सेल $\varepsilon_{1}$ परिपथ में आ जाता है। जॉकी को तार पर खिसकाकर एक संतुलन बिंदु $N_{1}$ प्राप्त किया जाता है ताकि गैल्वेनोमीटर शून्य विक्षेप दिखाए। मान लीजिए $AN_{1} = l_{1}$ है।
लूप $AN_{1}G31A$ के लिए किरचॉफ का दूसरा नियम लागू करने पर:
$\phi l_{1} - \varepsilon_{1} = 0$
$\therefore \varepsilon_{1} = \phi l_{1} \quad .....(1)$
जहाँ $\phi$ तार का विभव प्रवणता (potential gradient) है।
इसके बाद,स्विच के बिंदुओं $2$ और $3$ को जोड़ा जाता है,जिससे सेल $\varepsilon_{2}$ परिपथ में आ जाता है। जॉकी को खिसकाकर एक संतुलन बिंदु $N_{2}$ प्राप्त किया जाता है ताकि गैल्वेनोमीटर शून्य विक्षेप दिखाए। मान लीजिए $AN_{2} = l_{2}$ है।
लूप $AN_{2}G32A$ के लिए किरचॉफ का दूसरा नियम लागू करने पर:
$\phi l_{2} - \varepsilon_{2} = 0$
$\therefore \varepsilon_{2} = \phi l_{2} \quad .....(2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{2}} = \frac{\phi l_{1}}{\phi l_{2}} = \frac{l_{1}}{l_{2}}$
इस प्रकार,दो सेलों के emf का अनुपात उनकी संबंधित संतुलन लंबाइयों के अनुपात के बराबर होता है।

(N/A) सेल $(\varepsilon)$ के आंतरिक प्रतिरोध $(r)$ को मापने के लिए,चित्र में दिखाए अनुसार एक पोटेंशियोमीटर सर्किट तैयार किया जाता है।
प्राथमिक सर्किट में एक बैटरी $(B)$,एक परिवर्तनीय प्रतिरोध $(R)$,और एक कुंजी $(K_1)$ पोटेंशियोमीटर तार $AC$ के साथ श्रृंखला में जुड़े होते हैं।
जिस सेल $(\varepsilon)$ का आंतरिक प्रतिरोध $(r)$ मापा जाना है,उसे एक प्रतिरोध बॉक्स $(R_{ext})$ और एक कुंजी $(K_2)$ के साथ समानांतर में जोड़ा जाता है। सेल का धनात्मक टर्मिनल बिंदु $A$ से और ऋणात्मक टर्मिनल एक गैल्वेनोमीटर $(G)$ से जुड़ा होता है,जो आगे एक जॉकी से जुड़ा होता है।
$1$. जब कुंजी $K_2$ खुली होती है,तो सेल $(\varepsilon)$ खुले सर्किट में होता है। तार $AC$ पर शून्य विक्षेप के लिए शून्य बिंदु $N_1$ प्राप्त किया जाता है। मान लीजिए कि संतुलन लंबाई $AN_1 = l_1$ है। चूंकि सेल खुले सर्किट में है,इसलिए इसके सिरों के बीच का विभवांतर इसके $EMF$ $(\varepsilon)$ के बराबर होता है।
$\varepsilon = \phi l_1$ ... $(1)$,जहाँ $\phi$ तार पर विभव प्रवणता है।
$2$. अब,कुंजी $K_2$ को बंद करें ताकि प्रतिरोध बॉक्स $(R_{ext})$ और सेल से धारा प्रवाहित हो। तार $AC$ पर शून्य बिंदु $N_2$ प्राप्त किया जाता है। मान लीजिए कि संतुलन लंबाई $AN_2 = l_2$ है। इस स्थिति में,सेल के सिरों के बीच का विभवांतर इसके टर्मिनल वोल्टेज $(V)$ के बराबर होता है।
$V = \phi l_2$ ... $(2)$.
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\varepsilon}{V} = \frac{l_1}{l_2}$
हम जानते हैं कि एक सेल के लिए,$\varepsilon = I(R_{ext} + r)$ और $V = IR_{ext}$,इसलिए $\frac{\varepsilon}{V} = \frac{R_{ext} + r}{R_{ext}} = 1 + \frac{r}{R_{ext}}$.
$\frac{\varepsilon}{V}$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$1 + \frac{r}{R_{ext}} = \frac{l_1}{l_2}$
$\frac{r}{R_{ext}} = \frac{l_1}{l_2} - 1 = \frac{l_1 - l_2}{l_2}$
$r = R_{ext} \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right)$

(N/A) विभव प्रवणता को धारावाही तार की प्रति इकाई लंबाई में विभव के पतन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे $k = \frac{V}{L}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ तार के सिरों के बीच विभवांतर है और $L$ तार की लंबाई है।
विभव प्रवणता का $SI$ मात्रक $\text{वोल्ट प्रति मीटर}$ $(V/m)$ है।

(N/A) विभवमापी एक बहुमुखी उपकरण है जिसका उपयोग विभवांतर और आंतरिक प्रतिरोध को मापने के लिए किया जाता है। इसके मुख्य लाभ निम्नलिखित हैं:
$1$. यह शून्य विक्षेप के सिद्धांत पर कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि जिस $EMF$ को मापा जा रहा है,उस स्रोत से कोई धारा नहीं ली जाती है। इसलिए,यह सेल के वास्तविक $EMF$ को मापता है।
$2$. यह सर्किट की स्थितियों को प्रभावित नहीं करता है क्योंकि यह परीक्षण के तहत सर्किट से कोई धारा नहीं खींचता है।
$3$. यह अत्यधिक संवेदनशील है और इसका उपयोग बहुत छोटे विभवांतर को मापने के लिए किया जा सकता है।
$4$. इसका उपयोग दो सेलों के $EMF$ की तुलना करने और सेल के आंतरिक प्रतिरोध को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

(C) पोटेंशियोमीटर में एक बहुत लंबे तार का उपयोग करने के बजाय, $1 \,m$ लंबाई के कई तारों को मोटी धातु की पट्टियों का उपयोग करके श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है。
इन मोटी धातु की पट्टियों का प्रतिरोध पोटेंशियोमीटर के तार की तुलना में बहुत कम होता है。
मोटी पट्टियों का उपयोग करने से जोड़ों का प्रतिरोध नगण्य हो जाता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि विभव पतन (potential drop) केवल पोटेंशियोमीटर के तार पर ही हो。
यह डिज़ाइन तार के साथ विभव प्रवणता (potential gradient) की सटीकता बनाए रखते हुए एक कॉम्पैक्ट व्यवस्था की अनुमति देता है。

(B) पोटेंशियोमीटर सर्किट में,तार $AB$ के सिरों पर विभवांतर $V_{AB} = I \cdot R_{AB}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ प्राथमिक सर्किट में धारा है और $R_{AB}$ तार $AB$ का प्रतिरोध है।
प्राथमिक सर्किट में धारा $I = \frac{E}{R + R_{AB}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ प्राथमिक सेल का $EMF$ है और $R$ बाहरी प्रतिरोध है।
जब $R$ का मान बढ़ाया जाता है,तो प्राथमिक सर्किट का कुल प्रतिरोध बढ़ जाता है,जिससे धारा $I$ कम हो जाती है।
चूंकि $V_{AB} = I \cdot R_{AB}$ है,इसलिए $I$ में कमी होने से तार $AB$ पर विभवांतर $V_{AB}$ में कमी आती है।
पोटेंशियल ग्रेडिएंट $k$ को $k = \frac{V_{AB}}{L}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $L$ तार $AB$ की लंबाई है। इस प्रकार,पोटेंशियल ग्रेडिएंट $k$ घट जाता है।
संतुलन बिंदु $J$ तब प्राप्त होता है जब द्वितीयक सेल का $EMF$ $\varepsilon$,लंबाई $AJ$ पर विभव पतन के बराबर होता है,अर्थात $\varepsilon = k \cdot AJ$।
इसलिए,$AJ = \frac{\varepsilon}{k}$। चूंकि $k$ घटता है,संतुलन स्थिति बनाए रखने के लिए लंबाई $AJ$ को बढ़ना चाहिए।
जैसे-जैसे लंबाई $AJ$ बढ़ती है,संतुलन बिंदु $J$,$B$ की ओर स्थानांतरित हो जाता है।

(N/A) $(i)$ जब जॉकी को $A$ से $B$ तक ले जाया जाता है,यदि गैल्वेनोमीटर का विक्षेप कम हो जाता है,तो इसका तात्पर्य यह है कि गैल्वेनोमीटर सर्किट में विभवांतर कम हो रहा है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि पोटेंशियोमीटर तार $A$-जॉकी की लंबाई पर विभव पतन $EMF$ $E_1$ का विरोध करता है। जैसे-जैसे जॉकी $B$ की ओर बढ़ती है,विक्षेप घटने के लिए,$X$ से जुड़ा $E_1$ का टर्मिनल धनात्मक $(+)$ होना चाहिए,और $E_1 > E$ होना चाहिए ताकि शुद्ध धारा उस दिशा में हो जो प्रारंभिक विक्षेप का विरोध करे।
$(ii)$ जब जॉकी को $A$ से $B$ तक ले जाया जाता है,यदि विक्षेप बढ़ जाता है,तो इसका तात्पर्य यह है कि गैल्वेनोमीटर सर्किट में विभवांतर बढ़ रहा है। यह तब होता है जब $X$ से जुड़ा $E_1$ का टर्मिनल ऋणात्मक $(-ve)$ होता है,जिससे $EMF$ $E_1$ तार के खंड पर विभव पतन में जुड़ जाता है,जिससे गैल्वेनोमीटर से होकर बहने वाली धारा बढ़ जाती है।

(D) माना पोटेंशियोमीटर तार का प्रतिरोध $R'$ है और इसकी कुल लंबाई $L = 4 \, m$ है (प्रत्येक $1 \, m$ के $4$ खंड मानकर)।
$1$. जब $R = 50 \, \Omega$ है,तो तार पर विभव पतन $V_{wire} = \frac{10 \times R'}{50 + R'}$ है। चूंकि $E_1 \approx 8 \, V$ के लिए कोई शून्य विक्षेप बिंदु नहीं मिलता है,इसलिए पूरे तार पर विभव पतन $E_1$ से कम होना चाहिए।
$\frac{10 R'}{50 + R'} < 8 \Rightarrow 10 R' < 400 + 8 R' \Rightarrow 2 R' < 400 \Rightarrow R' < 200 \, \Omega$.
$2$. जब $R = 10 \, \Omega$ है,तो शून्य विक्षेप बिंदु $4^{th}$ खंड पर है,जिसका अर्थ है कि संतुलन लंबाई $l$,$3 \, m$ और $4 \, m$ के बीच है। तार पर विभव पतन $V'_{wire} = \frac{10 \times R'}{10 + R'}$ है।
शून्य विक्षेप बिंदु के $4^{th}$ खंड पर होने की शर्त यह है कि $3 \, m$ पर विभव पतन $8 \, V$ से कम और $4 \, m$ पर विभव पतन $8 \, V$ से अधिक होना चाहिए।
$\frac{3}{4} V'_{wire} < 8 < V'_{wire} \Rightarrow \frac{3}{4} \left( \frac{10 R'}{10 + R'} \right) < 8 < \frac{10 R'}{10 + R'}$.
$8 < \frac{10 R'}{10 + R'}$ से,हमें $80 + 8 R' < 10 R' \Rightarrow 2 R' > 80 \Rightarrow R' > 40 \, \Omega$ प्राप्त होता है।
$\frac{7.5 R'}{10 + R'} < 8$ से,हमें $7.5 R' < 80 + 8 R' \Rightarrow -0.5 R' < 80$ प्राप्त होता है (जो धनात्मक $R'$ के लिए हमेशा सत्य है)।
पहली शर्त $R' < 200 \, \Omega$ के साथ जोड़ने पर,प्रतिरोध $R'$,$40 \, \Omega < R' < 200 \, \Omega$ की सीमा में है।
विभव प्रवणता $\phi = \frac{V'_{wire}}{4} = \frac{10 R'}{4(10 + R')} \, V/m$ है।

(A) पोटेंशियोमीटर में,संतुलन लंबाई $l$ हमेशा उच्च विभव वाले सिरे $P$ से मापी जाती है।
तार $PQ$ की कुल लंबाई $100\,cm$ दी गई है।
शून्य विक्षेप स्थिति $Q$ से $49\,cm$ की दूरी पर प्राप्त होती है।
इसलिए,$P$ से संतुलन लंबाई $l = 100\,cm - 49\,cm = 51\,cm$ होगी।
सेल $E_{2}$ का emf पोटेंशियोमीटर तार की $l$ लंबाई पर होने वाले विभव पतन (potential drop) द्वारा संतुलित होता है।
emf का सूत्र $E_{2} = \phi \times l$ है,जहाँ $\phi$ विभव प्रवणता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $1.02\,V = \phi \times 51\,cm$.
$\phi$ के लिए हल करने पर: $\phi = \frac{1.02}{51}\,V/cm = 0.02\,V/cm$.
अतः,पोटेंशियोमीटर तार में विभव प्रवणता $0.02\,V/cm$ है।

(C) पोटेंशियोमीटर तार की प्रति इकाई लंबाई पर विभव पतन $k = \frac{V_{AB}}{L}$ है,जहाँ $L = 10\, m = 1000\, cm$ है।
पहली बैटरी $E_{1}$ के लिए,संतुलन लंबाई $l_{1}$ बिंदु $A$ से मापी जाती है। तार प्रत्येक $1\, m$ के $10$ खंडों से बना है। $J_{1}$ दूसरे खंड पर $20\, cm$ पर है,इसलिए $l_{1} = 100 + 20 = 120\, cm$ है।
दूसरी बैटरी $E_{2}$ के लिए,संतुलन लंबाई $l_{2}$ बिंदु $A$ से मापी जाती है। $J_{2}$ आठवें खंड पर $60\, cm$ पर है,इसलिए $l_{2} = 700 + 60 = 760\, cm$ है।
पोटेंशियोमीटर के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$E_{1} = k l_{1}$ और $E_{2} = k l_{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{120}{760} = \frac{12}{76} = \frac{3}{19}$ है।
दिया गया है कि $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{a}{b}$,इसलिए $a = 3$ और $b = 19$ है।

(A) पोटेंशियोमीटर में, प्रति इकाई लंबाई विभव पतन $(\phi)$ स्थिर रहता है।
संतुलन लंबाई $(l)$, सेल के $EMF$ $(E)$ के सीधे आनुपातिक होती है, अर्थात $E = \phi l$।
इसलिए, अनुपात इस प्रकार है: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_2}$।
दिया गया है: $E_1 = 1.5\, V$, $l_1 = 36\, cm$, $E_2 = 2.5\, V$।
मान रखने पर: $\frac{1.5}{2.5} = \frac{36}{l_2}$।
अनुपात को सरल करने पर: $\frac{3}{5} = \frac{36}{l_2}$।
$l_2$ के लिए हल करने पर: $l_2 = \frac{36 \times 5}{3} = 12 \times 5 = 60\, cm$।

(C) पोटेंशियोमीटर द्वारा मापा जा सकने वाला अधिकतम वोल्टेज पोटेंशियोमीटर तार $AB$ की पूरी लंबाई पर होने वाले विभव पतन (potential drop) के बराबर होता है।
सबसे पहले,तार $AB$ का कुल प्रतिरोध ज्ञात करें:
तार की लंबाई $AB = 10 \, m = 1000 \, cm$ है।
प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध = $0.1 \, \Omega/cm$ है।
कुल प्रतिरोध $R_{AB} = 1000 \, cm \times 0.1 \, \Omega/cm = 100 \, \Omega$ है।
अब,वोल्टेज डिवाइडर नियम का उपयोग करके $AB$ पर विभव पतन की गणना करें:
परिपथ में $6 \, V$ की बैटरी,$20 \, \Omega$ का आंतरिक प्रतिरोध और पोटेंशियोमीटर तार का प्रतिरोध $R_{AB} = 100 \, \Omega$ श्रेणीक्रम (series) में जुड़े हैं।
प्राथमिक परिपथ में धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{6 \, V}{20 \, \Omega + 100 \, \Omega} = \frac{6}{120} \, A = 0.05 \, A$ है।
$AB$ पर विभव पतन $V_{AB} = I \times R_{AB} = 0.05 \, A \times 100 \, \Omega = 5 \, V$ है।
अतः,मापा जा सकने वाला अधिकतम emf $5 \, V$ है।

(C) पोटेंशियोमीटर के तार का कुल प्रतिरोध $10\, \Omega$ है। जब स्लाइडिंग कॉन्टैक्ट मध्य में होता है,तो तार दो भागों में विभाजित हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक $5\, \Omega$ का है।
मान लीजिए कि उस नोड पर विभव $V_0$ है जहाँ $2\, \Omega$ का प्रतिरोध और पोटेंशियोमीटर का तार मिलते हैं। तार के शुरुआती सिरे पर विभव $20\, \text{V}$ और अंतिम सिरे पर $0\, \text{V}$ है।
नोड $V_0$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$\frac{V_0 - 20}{5} + \frac{V_0 - 0}{5} + \frac{V_0 - 20}{2} = 0$
समीकरण को सरल बनाने के लिए $10$ से गुणा करने पर:
$2(V_0 - 20) + 2(V_0) + 5(V_0 - 20) = 0$
$2V_0 - 40 + 2V_0 + 5V_0 - 100 = 0$
$9V_0 = 140$
$V_0 = \frac{140}{9}\, \text{V}$
$2\, \Omega$ के प्रतिरोध पर विभवांतर शुरुआती सिरे $(20\, \text{V})$ और नोड $V_0$ के बीच का अंतर है:
$\Delta V = 20 - V_0 = 20 - \frac{140}{9} = \frac{180 - 140}{9} = \frac{40}{9}\, \text{V}$

(C) पोटेंशियोमीटर में,संतुलन लंबाई $l$ सेल के emf $\varepsilon$ के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $\varepsilon = kl$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब गैल्वेनोमीटर बिंदु $(1)$ से जुड़ा होता है,तो सर्किट में केवल सेल $\varepsilon_{1}$ होता है:
$\varepsilon_{1} = k l_{1} = k(250) \ldots (i)$
जब गैल्वेनोमीटर बिंदु $(2)$ से जुड़ा होता है,तो दोनों सेल $\varepsilon_{1}$ और $\varepsilon_{2}$ श्रेणी क्रम में सर्किट में होते हैं:
$\varepsilon_{1} + \varepsilon_{2} = k l_{2} = k(400) \ldots (ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{1} + \varepsilon_{2}} = \frac{250}{400} = \frac{5}{8}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$8 \varepsilon_{1} = 5 \varepsilon_{1} + 5 \varepsilon_{2}$
$3 \varepsilon_{1} = 5 \varepsilon_{2}$
अतः,अनुपात है:
$\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{2}} = \frac{5}{3}$

(C) प्राथमिक परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{wire} + R_{external} = 20 \,\Omega + 30 \,\Omega = 50 \,\Omega$ है।
प्राथमिक परिपथ में धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{25 \,V}{50 \,\Omega} = 0.5 \,A$ है।
पूरे पोटेंशियोमीटर तार पर विभव पतन $V_{wire} = I \times R_{wire} = 0.5 \,A \times 20 \,\Omega = 10 \,V$ है।
तार पर विभव प्रवणता $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{10 \,V}{10 \,m} = 1 \,V/m$ है।
संतुलन लंबाई $l = 250 \,cm = 2.5 \,m$ है।
सेल का emf $E = k \times l = 1 \,V/m \times 2.5 \,m = 2.5 \,V$ है।
दिया गया है कि $E = \frac{x}{10}$,इसलिए $2.5 = \frac{x}{10}$,जिसका अर्थ है कि $x = 25$।

(A) विभवमापी में,संतुलन लंबाई $\ell$ सेल के emf $\varepsilon$ के सीधे आनुपातिक होती है,जिसे $\varepsilon \propto \ell$ या $\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दिया गया है कि $\varepsilon_1 : \varepsilon_2 = 3 : 2$ और $\ell_1 = 75 \, cm$ है।
मान रखने पर: $\frac{3}{2} = \frac{75}{\ell_2}$।
$\ell_2$ के लिए हल करने पर: $\ell_2 = \frac{75 \times 2}{3} = 50 \, cm$।
संतुलन लंबाई में अंतर $\Delta \ell = |\ell_1 - \ell_2| = |75 - 50| = 25 \, cm$ होगा।

(B) माना $E$ सेल का $EMF$ है और $r$ इसका आंतरिक प्रतिरोध है। जब सेल को $R$ प्रतिरोध के साथ शंट किया जाता है,तो सेल के सिरों के बीच टर्मिनल विभवांतर $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि संतुलन लंबाई $l$ टर्मिनल विभवांतर $V$ के सीधे आनुपातिक है,इसलिए $V \propto l$ है।
प्रथम स्थिति के लिए: $V_1 \propto l_1 = 3 \; m$ और $R_1 = 8 \; \Omega$। अतः,$V_1 = k \cdot 3 = E \left( \frac{8}{8+r} \right)$।
द्वितीय स्थिति के लिए: $V_2 \propto l_2 = 2 \; m$ और $R_2 = 4 \; \Omega$। अतः,$V_2 = k \cdot 2 = E \left( \frac{4}{4+r} \right)$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{3}{2} = \frac{E \left( \frac{8}{8+r} \right)}{E \left( \frac{4}{4+r} \right)} = \frac{8}{8+r} \times \frac{4+r}{4} = \frac{2(4+r)}{8+r}$।
$r$ के लिए हल करने पर: $3(8+r) = 4(4+r) \implies 24 + 3r = 16 + 4r \implies r = 8 \; \Omega$।

(B) माना विभवमापी तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $k$ है।
पहले सेल के लिए,$E_1 = 1.20\, V$ emf पर संतुलन बिंदु $l_1 = 36\, cm$ है।
$E_1 = k \cdot l_1 \implies 1.20 = k \times 36 \implies k = \frac{1.20}{36} = \frac{1}{30}\, V/cm$.
दूसरे सेल के लिए,$E_2 = 1.80\, V$ emf पर संतुलन बिंदु $l_2$ है।
$E_2 = k \cdot l_2 \implies 1.80 = \frac{1}{30} \times l_2$.
$l_2 = 1.80 \times 30 = 54\, cm$.
संतुलन लंबाई में अंतर $\Delta l = l_2 - l_1 = 54 - 36 = 18\, cm$ है।

(D) माना पोटेंशियोमीटर तार का प्रतिरोध $R$ है।
पोटेंशियोमीटर तार से प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा $i = \frac{4}{R + 780}$ द्वारा दी जाती है।
पूरे पोटेंशियोमीटर तार $AB$ के सिरों पर विभवांतर $V_{AB} = iR = \frac{4R}{R + 780}$ है।
तार पर विभव प्रवणता (potential gradient) $k = \frac{V_{AB}}{L} = \frac{4R}{(R + 780) \times 300}$ है।
$20\,mV = 20 \times 10^{-3}\,V$ के emf वाले सेल के लिए शून्य विक्षेप बिंदु $l = 60\,cm$ लंबाई पर प्राप्त होता है।
शून्य विक्षेप बिंदु पर,$l$ लंबाई के सिरों पर विभवांतर सेल के emf के बराबर होता है:
$E = k \times l$
$20 \times 10^{-3} = \left( \frac{4R}{(R + 780) \times 300} \right) \times 60$
समीकरण को सरल करने पर:
$20 \times 10^{-3} = \frac{4R \times 60}{(R + 780) \times 300}$
$0.02 = \frac{4R}{5(R + 780)}$
$0.1(R + 780) = 4R$
$0.1R + 78 = 4R$
$3.9R = 78$
$R = \frac{78}{3.9} = 20\,\Omega$.

(A) विभवमापी तार $AB$ के सिरों पर विभवांतर $V_{AB} = I \times R_{AB}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ प्राथमिक परिपथ में धारा है।
धारा $I = \frac{E}{R + R_{AB}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E = 4\,V$ और $R_{AB} = 20\,\Omega$ है।
अतः,$V_{AB} = \left( \frac{4}{R + 20} \right) \times 20 = \frac{80}{R + 20}$.
तार पर विभव प्रवणता $k = \frac{V_{AB}}{L}$ है,जहाँ $L = 300\,cm$ है।
द्वितीयक सेल का emf $E' = 20\,mV = 20 \times 10^{-3}\,V$ है और शून्य विक्षेप बिंदु की लंबाई $l = 60\,cm$ है।
शून्य विक्षेप बिंदु पर,$E' = k \times l = \left( \frac{V_{AB}}{L} \right) \times l$.
मान रखने पर: $20 \times 10^{-3} = \left( \frac{80}{R + 20} \right) \times \left( \frac{60}{300} \right)$.
$20 \times 10^{-3} = \left( \frac{80}{R + 20} \right) \times \left( \frac{1}{5} \right)$.
$20 \times 10^{-3} = \frac{16}{R + 20}$.
$R + 20 = \frac{16}{20 \times 10^{-3}} = \frac{16}{0.02} = 800$.
$R = 800 - 20 = 780\,\Omega$.

(A) पोटेंशियोमीटर में,संतुलन लंबाई $l$ सेल के $e.m.f.$ के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $E \propto l$ या $E = kl$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता है।
जब सेलों को समान ध्रुवता के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल $e.m.f.$ $E_1 + E_2$ होता है। अतः,$E_1 + E_2 = k(625)$.
जब $E_1$ के टर्मिनलों को उलट दिया जाता है,तो प्रभावी $e.m.f.$ $E_2 - E_1$ हो जाता है (क्योंकि $E_2 > E_1$)। अतः,$E_2 - E_1 = k(125)$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{E_1 + E_2}{E_2 - E_1} = \frac{625}{125} = 5$.
$E_1 + E_2 = 5(E_2 - E_1) = 5E_2 - 5E_1$.
$6E_1 = 4E_2$.
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
अतः,$E_1 : E_2$ का अनुपात $2 : 3$ है।

(B) पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $k = \frac{V}{L}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ तार पर वोल्टेज है और $L$ तार की लंबाई है।
जब सेल संतुलित होता है,तो सेल का emf $E = k \cdot l$ होता है,जहाँ $l$ संतुलन लंबाई है।
यदि पोटेंशियोमीटर तार की लंबाई $L$ समान रखी जाती है और अनुप्रस्थ काट $A$ को दोगुना कर दिया जाता है,तो भी बैटरी का वोल्टेज $V$ और तार की लंबाई $L$ अपरिवर्तित रहते हैं।
इसलिए,विभव प्रवणता $k = \frac{V}{L}$ स्थिर रहती है।
चूँकि $E = k \cdot l$ है,इसलिए संतुलन लंबाई $l$ में कोई परिवर्तन नहीं होगा और यह $4 \,m$ ही रहेगी।