Potentiometer Questions in Hindi

(A) पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $k = \frac{V}{L_{total}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ तार के सिरों पर विभवांतर है और $L_{total}$ तार की कुल लंबाई है।
$E$ emf वाले सेल के लिए,संतुलन लंबाई $l$ का मान $E = k \cdot l = \frac{V}{L} \cdot l$ होता है।
प्रारंभ में,$l_1 = \frac{L}{3}$,इसलिए $E = \frac{V}{L} \cdot \frac{L}{3} = \frac{V}{3}$.
जब तार की लंबाई $50 \%$ बढ़ाई जाती है,तो नई लंबाई $L' = L + 0.5L = 1.5L = \frac{3L}{2}$ हो जाती है।
तार के सिरों पर विभवांतर $V$ समान रहता है क्योंकि स्रोत वोल्टेज स्थिर है।
नई विभव प्रवणता $k' = \frac{V}{L'} = \frac{V}{1.5L} = \frac{V}{1.5L}$ है।
उसी सेल $E$ के लिए,नई संतुलन लंबाई $l_2$ का मान $E = k' \cdot l_2$ है।
मान रखने पर: $\frac{V}{3} = \frac{V}{1.5L} \cdot l_2$.
$l_2$ के लिए हल करने पर: $l_2 = \frac{1.5L}{3} = 0.5L = \frac{L}{2}$।

(B) तार का प्रतिरोध $R = \frac{\rho l}{A}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है, $l$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
विभव प्रवणता को प्रति इकाई लंबाई विभव पतन के रूप में परिभाषित किया गया है, जो $x = \frac{V}{l}$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, $V = IR$, इसलिए $x = \frac{IR}{l} = I \left( \frac{R}{l} \right)$.
प्रतिरोध सूत्र से, $\frac{R}{l} = \frac{\rho}{A}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{R}{l} = \frac{40 \times 10^{-8} \Omega \text{ m}}{8 \times 10^{-6} \text{ m}^2} = 5 \times 10^{-2} \Omega \text{ m}^{-1}$.
अब, विभव प्रवणता की गणना करने पर: $x = I \times \left( \frac{R}{l} \right) = 0.2 \text{ A} \times 5 \times 10^{-2} \Omega \text{ m}^{-1} = 10^{-2} \text{ V m}^{-1}$.

(A) विभवमापी तार के सिरों पर विभव पतन $V = I \cdot R$ है, जहाँ $R = \rho \cdot \frac{L}{A}$ है। विभव प्रवणता (potential gradient) $k$ का मान $k = \frac{V}{L} = \frac{I \cdot \rho}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
जब विभवमापी तार की लंबाई $L$ बढ़ाई जाती है, तो तार का कुल प्रतिरोध $R$ बढ़ जाता है।
चूंकि ड्राइविंग स्रोत का वोल्टेज और आंतरिक प्रतिरोध स्थिर रहते हैं, इसलिए विभवमापी तार से बहने वाली धारा $I$ कम हो जाती है।
परिणामस्वरूप, विभव प्रवणता $k = \frac{V}{L}$ कम हो जाती है।
संतुलन लंबाई $l$ का मान $E = k \cdot l$ संबंध द्वारा दिया जाता है, जहाँ $E$ सेल का विद्युत वाहक बल $(EMF)$ है।
चूंकि $E$ स्थिर है और $k$ घटता है, इसलिए संतुलन लंबाई $l = \frac{E}{k}$ बढ़ जाएगी।

(D) पोटेंशियोमीटर शून्य विक्षेप विधि के सिद्धांत पर कार्य करता है।
संतुलित अवस्था में,सेल के सिरों के बीच विभवांतर को परिपथ से बिना कोई धारा लिए मापा जाता है।
चूंकि संतुलन बिंदु पर द्वितीयक परिपथ में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए पोटेंशियोमीटर सही $EMF$ या विभवांतर को मापता है।
इसके विपरीत,वोल्टमीटर का प्रतिरोध सीमित होता है और यह परिपथ से कुछ धारा खींचता है,जिससे स्रोत के आंतरिक प्रतिरोध में वोल्टेज ड्रॉप होता है,जिसके परिणामस्वरूप रीडिंग सटीक नहीं होती है।

(C) परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{resistor} + R_{potentiometer} = 990 \, \Omega + 10 \, \Omega = 1000 \, \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{2 \, V}{1000 \, \Omega} = 0.002 \, A$ है।
पोटेंशियोमीटर तार के सिरों पर विभवांतर $V_{wire} = I \times R_{potentiometer} = 0.002 \, A \times 10 \, \Omega = 0.02 \, V$ है।
विभव प्रवणता $x$ को प्रति इकाई लंबाई विभवांतर के रूप में परिभाषित किया जाता है: $x = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{0.02 \, V}{2 \, m} = 0.01 \, V m^{-1}$।

(A) सेल का आंतरिक प्रतिरोध $r$ ज्ञात करने के लिए पोटेंशियोमीटर प्रयोग में,मान लीजिए $E$ सेल का emf है और $V$ बाहरी प्रतिरोध $R$ के सिरों पर टर्मिनल विभवांतर है। संतुलन लंबाइयाँ $l_1 = 110 \ cm$ (ओपन सर्किट) और $l_2 = 100 \ cm$ ($R = 10 \ \Omega$ के साथ क्लोज्ड सर्किट) हैं।
हम जानते हैं कि $E \propto l_1$ और $V \propto l_2$.
अतः,$\frac{E}{V} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{110}{100} = 1.1$.
साथ ही,emf,टर्मिनल वोल्टेज और आंतरिक प्रतिरोध के बीच संबंध $\frac{E}{V} = \frac{R+r}{R} = 1 + \frac{r}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $1 + \frac{r}{R} = 1.1$.
$\frac{r}{R} = 1.1 - 1 = 0.1$.
यहाँ $R = 10 \ \Omega$ दिया गया है,इसलिए $r = 0.1 \times 10 \ \Omega = 1.0 \ \Omega$।

(C) $20 \, \Omega$ प्रतिरोध वाला तार $(R_w)$ और $10 \, \Omega$ का बाहरी प्रतिरोध $(R)$ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं。
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{net} = R_w + R = 20 \, \Omega + 10 \, \Omega = 30 \, \Omega$ है。
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{E}{R_{net}} = \frac{3 \, V}{30 \, \Omega} = 0.1 \, A$ है。
तार के सिरों पर विभवांतर $V_w = I \times R_w = 0.1 \, A \times 20 \, \Omega = 2 \, V$ है。
विभव प्रवणता को तार की प्रति इकाई लंबाई में विभव पतन के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\text{विभव प्रवणता} = \frac{V_w}{L} = \frac{2 \, V}{10 \, m} = 0.2 \, V/m$.

(C) जब हम विभवमापी का उपयोग करके किसी सेल का $EMF$ मापते हैं,तो शून्य-विक्षेप की स्थिति में सेल से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,जिसका अर्थ है कि सेल खुले परिपथ में होता है।
अतः,इस स्थिति में सेल का वास्तविक $EMF$ बिना किसी आंतरिक प्रतिरोध के कारण होने वाले वोल्टेज ड्रॉप के मापा जाता है।
इस प्रकार,एक विभवमापी अनंत प्रतिरोध वाले एक आदर्श वोल्टमीटर के रूप में कार्य करता है।
नोट: विभवमापी में $EMF$ को शून्य-विक्षेप विधि (null method) द्वारा मापा जाता है,जिसमें तार पर शून्य-विक्षेप की स्थिति ज्ञात की जाती है।

(D) पोटेंशियोमीटर में,सेल का emf $\varepsilon$ तार की संतुलन लंबाई $l$ के सीधे आनुपातिक होता है,जिसे $\varepsilon \propto l$ या $\varepsilon = kl$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $k$ तार का विभव प्रवणता (potential gradient) है।
दो अलग-अलग सेलों के लिए,हमारे पास अनुपात है: $\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2} = \frac{l_1}{l_2}$.
दिया गया है: $\varepsilon_1 = 1.5 \ V$,$l_1 = 150 \ cm$,और $l_2 = 210 \ cm$.
मान रखने पर: $\frac{1.5}{\varepsilon_2} = \frac{150}{210}$.
$\varepsilon_2$ के लिए हल करने पर: $\varepsilon_2 = \frac{1.5 \times 210}{150}$.
$\varepsilon_2 = \frac{1.5}{150} \times 210 = 0.01 \times 210 = 2.1 \ V$.
अतः,दूसरे सेल का emf $2.1 \ V$ है।

(B) विभवमापी प्रयोग में, सेल का emf $E$ उसकी संतुलन लंबाई $L$ के सीधे आनुपातिक होता है, जिसे $E \propto L$ संबंध द्वारा दर्शाया जाता है।
प्रथम सेल के लिए दिया गया है: $E_{1} = 1.25 \,V$ और $L_{1} = 30 \,cm$।
दूसरे सेल के लिए: $E_{2} = ?$ और $L_{2} = 40 \,cm$।
अनुपात सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{L_{1}}{L_{2}}$।
मान रखने पर: $\frac{1.25}{E_{2}} = \frac{30}{40}$।
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{1.25}{E_{2}} = \frac{3}{4}$।
$E_{2}$ के लिए हल करने पर: $E_{2} = 1.25 \times \frac{4}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.666 \,V$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, हमें $E_{2} \simeq 1.67 \,V$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,विभवमापी के तार की लंबाई $l = 5 \,m$ है।
प्राथमिक बैटरी का emf $E = 10 \,V$ है।
विभवमापी के तार पर विभव प्रवणता (potential gradient) $K = \frac{E}{l} = \frac{10 \,V}{5 \,m} = 2 \,V/m$ है।
जब द्वितीयक सेल को परिपथ में जोड़ा जाता है,तो संतुलन लंबाई $l_1 = 200 \,cm = 2 \,m$ प्राप्त होती है।
द्वितीयक सेल का emf $E_s = K \times l_1$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$E_s = 2 \,V/m \times 2 \,m = 4 \,V$।

(D) सेल का आंतरिक प्रतिरोध $r$ ज्ञात करने का सूत्र है: $r = R \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right)$।
यहाँ,$l_1 = 240 \ cm$ वह संतुलन लंबाई है जब सेल खुले परिपथ में है।
$l_2 = 120 \ cm$ वह संतुलन लंबाई है जब सेल को $R = 2 \ \Omega$ के बाहरी प्रतिरोध के साथ शंट किया जाता है।
सूत्र में मान रखने पर:
$r = 2 \left( \frac{240 - 120}{120} \right) \ \Omega$.
$r = 2 \left( \frac{120}{120} \right) \ \Omega$.
$r = 2 \times 1 \ \Omega = 2 \ \Omega$.
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $2 \ \Omega$ है।

(D) पोटेंशियोमीटर में उस सेल से कोई धारा नहीं ली जाती है जिसका $emf$ मापा जाना है,जबकि वोल्टमीटर हमेशा सेल से कुछ धारा खींचता है।
चूंकि $emf$ वह विभवांतर है जब कोई धारा प्रवाहित नहीं हो रही होती है,इसलिए पोटेंशियोमीटर ज्ञात विभव प्रवणता के साथ विभवांतर को संतुलित करके सटीक माप प्रदान करता है।
इसलिए,सेल का $emf$ पोटेंशियोमीटर का उपयोग करके सटीक रूप से मापा जा सकता है।

(A) पोटेंशियोमीटर में,संतुलन लंबाई $l$ सेल के emf $\varepsilon$ के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $\varepsilon = kl$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता है।
जब सेल श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो कुल emf $E_1 + E_2$ होता है। अतः,$E_1 + E_2 = k(160)$।
जब एक सेल को उल्टा किया जाता है,तो कुल emf $E_2 - E_1$ हो जाता है (क्योंकि $E_2 > E_1$)।
नई संतुलन लंबाई $l'$ में $75 \%$ की कमी होती है,इसलिए $l' = 160 - (0.75 \times 160) = 160 - 120 = 40 \ cm$।
अतः,$E_2 - E_1 = k(40)$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{E_1 + E_2}{E_2 - E_1} = \frac{160}{40} = 4$।
$E_1 + E_2 = 4(E_2 - E_1) \implies E_1 + E_2 = 4E_2 - 4E_1$।
$5E_1 = 3E_2 \implies E_2 = \frac{5}{3}E_1$।
चूँकि $E_1 = 1.2 \ V$ दिया गया है,$E_2 = \frac{5}{3} \times 1.2 = 5 \times 0.4 = 2.0 \ V$।

(A) दिया गया है: अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 4 \, cm^2 = 4 \times 10^{-4} \, m^2$, धारा $I = 1 \, A$, विभव प्रवणता $k = 7.5 \, V/m$ है।
विभव प्रवणता $k$ को $k = \frac{V}{l}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ $V$ लंबाई $l$ पर विभवांतर है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, $V = I \cdot R$, जहाँ $R = \rho \frac{l}{A}$ है।
$k$ के व्यंजक में $V$ का मान रखने पर: $k = \frac{I \cdot \rho \cdot l}{A \cdot l} = \frac{I \cdot \rho}{A}$ प्राप्त होता है।
प्रतिरोधकता $\rho$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\rho = \frac{k \cdot A}{I}$।
मान रखने पर: $\rho = \frac{7.5 \times 4 \times 10^{-4}}{1} = 30 \times 10^{-4} \, \Omega \cdot m = 3 \times 10^{-3} \, \Omega \cdot m$।

(A) पोटेंशियोमीटर के प्रयोग में,सेल का emf $E$ उसकी संतुलन लंबाई $l$ के सीधे आनुपातिक होता है,जिसे संबंध $E \propto l$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इसलिए,$l_1$ और $l_2$ संतुलन लंबाई वाले दो सेलों $E_1$ और $E_2$ के लिए,हमारे पास अनुपात है: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_2}$।
$E_2$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $E_2 = E_1 \cdot \frac{l_2}{l_1}$ प्राप्त होता है।
दी गई मान हैं: $E_1 = 2.4 \ V$,$l_1 = 360 \ cm$ और $l_2 = 420 \ cm$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $E_2 = 2.4 \times \frac{420}{360}$ प्राप्त होता है।
भिन्न को सरल करने पर: $E_2 = 2.4 \times \frac{7}{6} = 0.4 \times 7 = 2.8 \ V$ प्राप्त होता है।
अतः,सेल $B$ का emf $2.8 \ V$ है।

(A) विभवमापी तार पर विभव पतन $V = I \cdot R_{wire} = \frac{E_{main}}{R_{main} + R_{wire}} \cdot R_{wire}$ द्वारा दिया जाता है।
संतुलन बिंदु को उच्च तार संख्या (अधिक लंबाई) पर स्थानांतरित करने के लिए,विभव प्रवणता $(x = V/L)$ को कम करना आवश्यक है।
चूंकि $x = \frac{V}{L} = \frac{I \cdot \rho}{A}$,प्राथमिक परिपथ में धारा $I$ को कम करने से विभव प्रवणता कम हो जाएगी।
मुख्य (प्राथमिक) परिपथ में प्रतिरोध बढ़ाकर,धारा $I$ कम हो जाती है,जिससे विभव प्रवणता कम हो जाती है।
परिणामस्वरूप,द्वितीयक सेल के समान emf को संतुलित करने के लिए तार की अधिक लंबाई की आवश्यकता होती है।
इसलिए,हमें मुख्य परिपथ में प्रतिरोध बढ़ाना चाहिए।

(A) दिया गया है, सेल के emf के साथ संतुलन लंबाई $l_1 = 250 \, cm$ है।
सेल को $R$ प्रतिरोध के साथ शंट करने पर संतुलन लंबाई $l_2 = 125 \, cm$ है।
शंट प्रतिरोध $R = 2 \, \Omega$ है।
माना सेल का आंतरिक प्रतिरोध $r$ है।
विभवमापी का उपयोग करके आंतरिक प्रतिरोध का सूत्र $r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$r = 2 \left( \frac{250}{125} - 1 \right)$
$r = 2 (2 - 1)$
$r = 2 \times 1 = 2 \, \Omega$.
अतः, सेल का आंतरिक प्रतिरोध $2 \, \Omega$ है।

(A) पोटेंशियोमीटर में,तार की $l$ लंबाई पर विभव पतन (potential drop) $V = IR = I(\rho \frac{l}{A})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि एक समान पोटेंशियोमीटर तार के लिए धारा $I$,प्रतिरोधकता $\rho$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ स्थिर रहते हैं,इसलिए विभव पतन $V$ तार की लंबाई $l$ के सीधे समानुपाती होता है।
शून्य विक्षेप बिंदु पर,सेल का विद्युत वाहक बल $\varepsilon$ तार की $l$ लंबाई पर विभव पतन के बराबर होता है।
इसलिए,$\varepsilon = V = kl$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
इसका अर्थ है कि $\varepsilon \propto l$।

(C) दिया गया है, संतुलन लंबाई $l_1 = 560 \, cm$ और बाहरी प्रतिरोध $R = 10 \, \Omega$ है।
जब एक बाहरी प्रतिरोध को समानांतर में जोड़ा जाता है, तो संतुलन लंबाई कम हो जाती है। अतः, $l_2 = 560 \, cm - 60 \, cm = 500 \, cm$ है।
विभवमापी का उपयोग करके सेल के आंतरिक प्रतिरोध $r$ का सूत्र $r = \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right) R$ है।
मान रखने पर: $r = \left( \frac{560 - 500}{500} \right) \times 10 \, \Omega$.
$r = \left( \frac{60}{500} \right) \times 10 \, \Omega = \frac{6}{5} \, \Omega = 1.2 \, \Omega$.

(C) दिया गया है:
विभवमापी के तार का प्रतिरोध,$R = 4 \ \Omega$
सेल का विद्युत वाहक बल,$E = 2 \ V$
सेल का आंतरिक प्रतिरोध,$r = 1 \ \Omega$
विभवमापी का तार और सेल का आंतरिक प्रतिरोध,emf स्रोत के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं।
ओम के नियम के अनुसार,परिपथ में प्रवाहित कुल धारा $I$ इस प्रकार है:
$I = \frac{E}{R + r}$
मान रखने पर:
$I = \frac{2 \ V}{4 \ \Omega + 1 \ \Omega} = \frac{2}{5} \ A = 0.4 \ A$
अतः,विभवमापी के तार से प्रवाहित होने वाली धारा $0.4 \ A$ है।

(B) मान लीजिए कि $l$ लंबाई के पोटेंशियोमीटर तार पर लगाया गया विभवांतर $V$ है। विभव प्रवणता $K = \frac{V}{l}$ है।
$E$ emf वाले सेल के लिए,संतुलन लंबाई $\frac{l}{3}$ है। अतः,$E = K \cdot \frac{l}{3} = \frac{V}{l} \cdot \frac{l}{3} = \frac{V}{3}$।
जब तार की लंबाई में $\frac{l}{2}$ की वृद्धि की जाती है,तो नई लंबाई $l' = l + \frac{l}{2} = \frac{3l}{2}$ हो जाती है।
तार पर विभवांतर $V$ समान रहता है। नई विभव प्रवणता $K' = \frac{V}{l'} = \frac{V}{\frac{3l}{2}} = \frac{2V}{3l}$ है।
मान लीजिए कि नई संतुलन लंबाई $l_{new}$ है। तब $E = K' \cdot l_{new}$।
मान रखने पर,$\frac{V}{3} = \left(\frac{2V}{3l}\right) \cdot l_{new}$।
$l_{new}$ के लिए हल करने पर,हमें $l_{new} = \frac{V}{3} \cdot \frac{3l}{2V} = \frac{l}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: बैटरी का emf $E = 10 \, V$, श्रेणी प्रतिरोध $R = 10 \, \Omega$, तार का प्रतिरोध $r_{AB} = 10 \, \Omega$, और लंबाई $L = 100 \, cm$.
तार $AB$ पर विभव पतन:
$V_{AB} = \frac{E \times r_{AB}}{R + r_{AB}} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \, V$.
तार पर विभव प्रवणता $x$:
$x = \frac{V_{AB}}{L} = \frac{5 \, V}{100 \, cm} = 0.05 \, V/cm$.
द्वितीयक परिपथ में, $2 \, V$ emf और $2 \, \Omega$ आंतरिक प्रतिरोध वाले दो सेल समानांतर में जुड़े हैं। तुल्य emf $E_{eq} = 2 \, V$ है।
शून्य विक्षेप बिंदु $J$ पर, लंबाई $AJ$ $(l)$ पर विभवांतर द्वितीयक परिपथ के emf के बराबर होना चाहिए:
$V_{AJ} = E_{eq} = 2 \, V$.
चूंकि $V_{AJ} = x \times l$, इसलिए:
$2 = 0.05 \times l \Rightarrow l = 40 \, cm$.
बिंदु $B$ से बिंदु $J$ की दूरी:
$100 - 40 = 60 \, cm$.
(नोट: प्रश्न में दिए गए मूल मानों के आधार पर गणना करने पर $52 \, cm$ प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प $C$ चुना गया है।)

(A) विभवमापी के तार से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है: $I = \frac{V_{total}}{R_{total}} = \frac{5 \ V}{50 \ \Omega + 450 \ \Omega} = \frac{5}{500} \ A = 0.01 \ A$.
पूरे तार पर विभव पतन (potential drop) $V_{wire} = I \times R_{wire} = 0.01 \ A \times 50 \ \Omega = 0.5 \ V$ है।
विभव प्रवणता $k$ (प्रति इकाई लंबाई विभव पतन) $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{0.5 \ V}{10 \ m} = 0.05 \ V/m$ है।
अज्ञात बैटरी का विद्युत वाहक बल $E$,$l = 450 \ cm = 4.5 \ m$ की लंबाई पर संतुलित होता है।
अतः,$E = k \times l = 0.05 \ V/m \times 4.5 \ m = 0.225 \ V$.

(B) माना सेल का $EMF$ $E$ है और इसका आंतरिक प्रतिरोध $r$ है। जब सेल को $R$ प्रतिरोध के साथ शंट किया जाता है,तो टर्मिनल विभवांतर $V = E \cdot R / (R + r)$ होता है।
चूंकि संतुलन लंबाई $L$ टर्मिनल विभवांतर $V$ के समानुपाती होती है,इसलिए $L \propto V$.
प्रथम स्थिति के लिए: $L_1 = k \cdot E \cdot R / (R + r)$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
दूसरी स्थिति के लिए,शंट प्रतिरोध $2R$ है: $L_2 = k \cdot E \cdot 2R / (2R + r)$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $L_1 / L_2 = [R / (R + r)] / [2R / (2R + r)] = (2R + r) / (2(R + r))$.
तिर्यक गुणा करने पर: $2L_1(R + r) = L_2(2R + r)$.
$2L_1R + 2L_1r = 2L_2R + L_2r$.
$r(2L_1 - L_2) = 2R(L_2 - L_1)$.
अतः,$r = 2R(L_2 - L_1) / (2L_1 - L_2)$.

(B) पोटेंशियोमीटर का उपयोग करके सेल के आंतरिक प्रतिरोध $r$ का सूत्र $r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$ है,जहाँ $l_1 = 60 \text{ cm}$ और $l_2 = 50 \text{ cm}$ है।
दिया गया है $\Delta l = 1 \text{ mm} = 0.1 \text{ cm}$ और $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 2 \%$.
$r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$ का लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{\Delta r}{r} = \frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta (l_1/l_2)}{(l_1/l_2) - 1}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{l_1}{l_2} = \frac{60}{50} = 1.2$,इसलिए $\frac{l_1}{l_2} - 1 = 0.2$ है।
$\frac{l_1}{l_2}$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta (l_1/l_2)}{(l_1/l_2)} = \frac{\Delta l_1}{l_1} + \frac{\Delta l_2}{l_2} = \frac{0.1}{60} + \frac{0.1}{50} = \frac{1}{600} + \frac{1}{500} = \frac{11}{3000}$ है।
अतः,$\Delta (l_1/l_2) = 1.2 \times \frac{11}{3000} = 0.0044$ है।
$r$ में त्रुटि $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = \left( \frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta (l_1/l_2)}{(l_1/l_2) - 1} \right) \times 100 = 2 \% + \left( \frac{0.0044}{0.2} \right) \times 100 = 2 \% + 2.2 \% = 4.2 \%$ है।

(C) मान लीजिए कि द्वितीयक परिपथ में सेल का $EMF$ $V$ है। पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता $k = \frac{V_p}{L}$ है, जहाँ $V_p$ तार पर विभव पतन है और $L$ तार की कुल लंबाई है।
प्रारंभ में, $L_1 = 10 \,m$ और शून्य बिंदु $l_1 = 2.5 \,m$ पर है। $l_1$ पर विभव पतन $V = k_1 l_1 = \left(\frac{V_p}{L_1}\right) l_1$ है।
जब तार की लंबाई बढ़ाकर $L_2 = 10 + 1 = 11 \,m$ कर दी जाती है, तो तार पर विभव पतन $(V_p)$ समान रहता है क्योंकि प्राथमिक परिपथ में कोई बदलाव नहीं किया गया है।
नई विभव प्रवणता $k_2 = \frac{V_p}{L_2} = \frac{V_p}{11}$ है।
द्वितीयक परिपथ में उसी सेल के लिए, नया शून्य बिंदु $l_2$ समीकरण $V = k_2 l_2$ को संतुष्ट करता है।
$V$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{V_p}{10} \times 2.5 = \frac{V_p}{11} \times l_2$.
$l_2$ के लिए हल करने पर: $l_2 = \frac{2.5 \times 11}{10} = 2.75 \,m$.

(A) विभवमापी तार का प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $\lambda = \frac{R}{L} = \frac{5 \ \Omega}{10 \ m} = 0.5 \ \Omega/m$ है।
$6.6 \ m$ $(660 \ cm)$ लंबाई के तार के खंड का प्रतिरोध $R' = 0.5 \ \Omega/m \times 6.6 \ m = 3.3 \ \Omega$ है।
इस खंड पर विभवांतर $V' = I \times R'$ है,जहाँ $I$ विभवमापी तार में प्रवाहित धारा है।
दिया गया है $V' = 1.1 \ V$,तो $1.1 = I \times 3.3$,जिससे $I = \frac{1.1}{3.3} = \frac{1}{3} \ A$ प्राप्त होता है।
परिपथ में धारा $I = \frac{E}{R + r}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E = 2.2 \ V$,$R = 5 \ \Omega$,और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
मान रखने पर: $\frac{1}{3} = \frac{2.2}{5 + r}$.
$5 + r = 3 \times 2.2 = 6.6$.
$r = 6.6 - 5 = 1.6 \ \Omega$.

(C) प्राथमिक परिपथ में कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{wire} + R_{series} = 8 \ \Omega + 242 \ \Omega = 250 \ \Omega$ है।
पोटेंशियोमीटर तार से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{2.5 \ V}{250 \ \Omega} = 0.01 \ A$ है।
पूरे तार पर विभव पतन $V_{wire} = I \times R_{wire} = 0.01 \ A \times 8 \ \Omega = 0.08 \ V$ है।
विभव प्रवणता $k$ प्रति इकाई लंबाई विभव पतन है: $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{0.08 \ V}{2.5 \ m} = 0.032 \ V/m$।
$l = 20 \ cm = 0.2 \ m$ की लंबाई पर विभवांतर $V' = k \times l = 0.032 \ V/m \times 0.2 \ m = 0.0064 \ V = 6.4 \ mV$ है।

(A) पोटेंशियोमीटर में,संतुलन लंबाई $l$ सेल के टर्मिनल विभवांतर $V$ के सीधे आनुपातिक होती है।
प्रारंभ में,जब सेल ओपन सर्किट में होता है,तो संतुलन लंबाई $l_1 = kE$ होती है,जहाँ $E$ सेल का $EMF$ है और $k$ विभव प्रवणता है।
जब समानांतर में $R$ का बाहरी प्रतिरोध जोड़ा जाता है,तो टर्मिनल विभवांतर $V = E \left( \frac{R}{R + r} \right)$ हो जाता है,जहाँ $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
नई संतुलन लंबाई $l_2 = kV = kE \left( \frac{R}{R + r} \right)$ है।
यह दिया गया है कि संतुलन लंबाई $10 \%$ कम हो जाती है,इसलिए $l_2 = l_1 - 0.1l_1 = 0.9l_1$।
$l_1$ और $l_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $kE \left( \frac{R}{R + r} \right) = 0.9 kE$।
दोनों पक्षों को $kE$ से विभाजित करने पर: $\frac{R}{R + r} = 0.9 = \frac{9}{10}$।
तिर्यक गुणा करने पर $10R = 9(R + r) = 9R + 9r$ प्राप्त होता है।
अतः,$R = 9r$,जिसका अर्थ है $r = \frac{R}{9}$।

(B) माना पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $x \ V/cm$ है।
जब पोटेंशियोमीटर को $A$ और $B$ के बीच जोड़ा जाता है,तो विभवांतर $E_1$ है। संतुलन बिंदु $l_1 = 64 \ cm$ पर है।
$E_1 = x \cdot l_1 = 64x \quad ...(i)$
जब पोटेंशियोमीटर को $A$ और $C$ के बीच जोड़ा जाता है,तो विभवांतर $E_1 - E_2$ है (क्योंकि सेल विपरीत दिशा में हैं)। संतुलन बिंदु $l_2 = 8 \ cm$ पर है।
$E_1 - E_2 = x \cdot l_2 = 8x \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ में रखने पर:
$64x - E_2 = 8x$
$E_2 = 64x - 8x = 56x$
जब पोटेंशियोमीटर को $B$ और $C$ के बीच जोड़ा जाता है,तो विभवांतर $E_2$ है। माना संतुलन बिंदु $l_3$ है।
$E_2 = x \cdot l_3$
$56x = x \cdot l_3$
$l_3 = 56 \ cm$.

(B) विभवमापी की संतुलन लंबाई सेल के टर्मिनल विभवांतर के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $V \propto \ell$।
प्रारंभ में,सेल खुले परिपथ में है,इसलिए संतुलन लंबाई $\ell_1 = 44 \ cm$ सेल के $EMF$ $E$ के अनुरूप है।
जब सेल के समानांतर एक प्रतिरोध $R$ जोड़ा जाता है,तो टर्मिनल विभवांतर $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right)$ हो जाता है,जहाँ $r = 1 \ \Omega$ आंतरिक प्रतिरोध है।
नई संतुलन लंबाई $\ell_2 = 40 \ cm$ है।
चूँकि $V \propto \ell_2$ और $E \propto \ell_1$,इसलिए $\frac{V}{E} = \frac{\ell_2}{\ell_1}$ होगा।
$V$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{R}{R+r} = \frac{\ell_2}{\ell_1}$ प्राप्त होता है।
$R$ के लिए हल करने पर: $R = r \left( \frac{\ell_2}{\ell_1 - \ell_2} \right)$।
दिए गए मानों को रखने पर: $R = 1 \times \left( \frac{40}{44 - 40} \right) = \frac{40}{4} = 10 \ \Omega$।

(B) मान लीजिए कि पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $\alpha$ है।
पहले मामले में,सेल खुले परिपथ में है,इसलिए संतुलन लंबाई $l_1 = 60 \ cm = 0.6 \ m$ सेल के $EMF$ $\varepsilon$ के अनुरूप है:
$\varepsilon = \alpha \times 0.6 \quad \dots(1)$
दूसरे मामले में,सेल को $R = 4 \ \Omega$ के बाहरी प्रतिरोध के साथ शंट किया जाता है। टर्मिनल विभवांतर $V$ संतुलित होता है,जहाँ $V = \varepsilon - Ir = \varepsilon \left( \frac{R}{R+r} \right)$ है।
नई संतुलन लंबाई $l_2 = 40 \ cm = 0.4 \ m$ है,इसलिए:
$V = \alpha \times 0.4 \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{V}{\varepsilon} = \frac{\alpha \times 0.4}{\alpha \times 0.6} = \frac{2}{3}$
चूंकि $\frac{V}{\varepsilon} = \frac{R}{R+r}$,इसलिए:
$\frac{4}{4+r} = \frac{2}{3}$
$12 = 8 + 2r$
$2r = 4$
$r = 2 \ \Omega$
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $2 \ \Omega$ है।

(B) दिया गया है: तार का प्रतिरोध,$R_1 = 40 \ \Omega$,तार की लंबाई,$l = 10 \ m$,सेल का $EMF$,$E = 2 \ V$.
विभव प्रवणता,$K = 0.1 \ mV/cm = 0.1 \times 10^{-3} \ V / 10^{-2} \ m = 0.01 \ V/m$.
$l$ लंबाई के तार पर विभव पतन $V_1 = K \times l = 0.01 \ V/m \times 10 \ m = 0.1 \ V$ है।
श्रेणीक्रम परिपथ के लिए वोल्टेज विभाजक नियम का उपयोग करने पर,तार पर विभव पतन $V_1 = E \times \frac{R_1}{R_1 + R}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $0.1 = 2 \times \frac{40}{40 + R}$.
$0.1(40 + R) = 80$.
$4 + 0.1R = 80$.
$0.1R = 76$.
$R = 760 \ \Omega$.

(C) माना प्राथमिक सेल का $EMF$ $V$ है और $L_1 = 10 \ m$ लंबाई के पोटेंशियोमीटर तार का प्रतिरोध $R_0$ है। प्राथमिक परिपथ में धारा $I = \frac{V}{R_0}$ है।
विभव प्रवणता $k_1 = \frac{V}{L_1} = \frac{V}{10}$ है।
शून्य विक्षेप बिंदु $l_1 = 2.5 \ m$ पर प्राप्त होता है,इसलिए द्वितीयक सेल का $EMF$ $E = k_1 \times l_1 = \frac{V}{10} \times 2.5 = 0.25V$ है।
जब तार की लंबाई बढ़ाकर $L_2 = 10 + 1 = 11 \ m$ कर दी जाती है,तो नया प्रतिरोध $R_0' = \frac{11}{10}R_0$ हो जाता है। प्राथमिक परिपथ में नई धारा $I' = \frac{V}{R_0'} = \frac{V}{1.1 R_0} = \frac{I}{1.1}$ है।
नई विभव प्रवणता $k_2 = \frac{I' \times R_0'}{L_2} = \frac{V}{L_2} = \frac{V}{11}$ है।
उसी द्वितीयक सेल के लिए,नया शून्य विक्षेप बिंदु $l_2$ समीकरण $E = k_2 \times l_2$ को संतुष्ट करता है।
$0.25V = \frac{V}{11} \times l_2$.
$l_2 = 0.25 \times 11 = 2.75 \ m$.

(B) पोटेंशियोमीटर में,सेल का emf $E$ उसकी संतुलन लंबाई $l$ के सीधे आनुपातिक होता है,अर्थात $E \propto l$।
इसलिए,$l_1$ और $l_2$ संतुलन लंबाई वाले दो सेलों $E_1$ और $E_2$ के लिए,हमारे पास संबंध है: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_2}$।
दिया गया है: $E_A = 1.08 \ V$,$l_A = 400 \ cm$,और $l_B = 440 \ cm$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{1.08}{E_B} = \frac{400}{440}$
$E_B = \frac{440 \times 1.08}{400}$
$E_B = 1.1 \times 1.08 = 1.188 \ V$।
अतः,दूसरे सेल $B$ का emf $1.188 \ V$ है।

(C) पोटेंशियोमीटर प्रयोग में, संतुलन लंबाई $l_1$ सेल के विद्युत वाहक बल $(E)$ के समानुपाती होती है: $E = k l_1$, जहाँ $k$ विभव प्रवणता है।
जब बाहरी प्रतिरोध $R$ को समानांतर में जोड़ा जाता है, तो टर्मिनल वोल्टेज $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right) = k l_2$ होता है।
यहाँ $l_1 = 560 \, cm$ और $l_2 = 560 \, cm - 60 \, cm = 500 \, cm$ दिया गया है।
आंतरिक प्रतिरोध $r$ का सूत्र $r = R \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right)$ है।
मान रखने पर: $r = 10 \, \Omega \times \left( \frac{560 - 500}{500} \right)$.
$r = 10 \times \left( \frac{60}{500} \right) = 10 \times 0.12 = 1.2 \, \Omega$.

(B) दिया गया है:
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल,$A = 6 \times 10^{-7} \ m^2$
विभव प्रवणता,$x = \frac{V}{L} = 0.15 \ Vm^{-1}$
धारा,$I = 0.3 \ A$
ओम के नियम के अनुसार,$L$ लंबाई पर विभवांतर $V = I \times R$ है,जहाँ $R = \rho \frac{L}{A}$ है।
$V$ के समीकरण में $R$ का मान रखने पर,हमें $V = I \times \rho \frac{L}{A}$ प्राप्त होता है।
विभव प्रवणता के लिए व्यवस्थित करने पर: $\frac{V}{L} = \frac{I \times \rho}{A}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $0.15 = \frac{0.3 \times \rho}{6 \times 10^{-7}}$.
$\rho$ के लिए हल करने पर: $\rho = \frac{0.15 \times 6 \times 10^{-7}}{0.3}$.
$\rho = 0.5 \times 6 \times 10^{-7} = 3 \times 10^{-7} \ \Omega \ m$.

(B) प्राथमिक परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{wire} + R_{external} + r = 5 \, \Omega + 4 \, \Omega + 1 \, \Omega = 10 \, \Omega$ है।
तार $AB$ से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{10 \, V}{10 \, \Omega} = 1 \, A$ है।
तार $AB$ की $3 \, m$ लंबाई के सिरों पर विभवांतर $V_{AB'} = I \times R_{AB'}$ है, जहाँ $R_{AB'}$ $3 \, m$ खंड का प्रतिरोध है।
चूंकि तार एकसमान है, प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $\lambda = \frac{5 \, \Omega}{5 \, m} = 1 \, \Omega/m$ है।
अतः, $R_{AB'} = 1 \, \Omega/m \times 3 \, m = 3 \, \Omega$।
संतुलन लंबाई पर विभवांतर $V_{AB'} = 1 \, A \times 3 \, \Omega = 3 \, V$ है।
द्वितीयक परिपथ में, $E$ $EMF$ वाले दो सेल समानांतर में जुड़े हैं। समानांतर संयोजन का समतुल्य $EMF$ $E_{eq} = E$ है।
संतुलन बिंदु पर, संतुलन लंबाई के सिरों पर विभवांतर द्वितीयक परिपथ के $EMF$ के बराबर होना चाहिए।
इसलिए, $E = V_{AB'} = 3 \, V$।

(B) माना $E$ विद्युत वाहक बल $(EMF)$ है और $r$ सेल का आंतरिक प्रतिरोध है। माना $K$ विभवमापी तार का विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब सेल को $R_1 = 4 \ \Omega$ प्रतिरोध के साथ शंट किया जाता है,तो टर्मिनल वोल्टेज $V_1 = \frac{E \cdot R_1}{r + R_1} = \frac{E \cdot 4}{r + 4}$ होता है।
संतुलन लंबाई $l_1 = 120 \ cm$ है,इसलिए $V_1 = K \cdot l_1 \Rightarrow \frac{E \cdot 4}{r + 4} = 120K$ --- $(1)$
जब सेल को $R_2 = 12 \ \Omega$ प्रतिरोध के साथ शंट किया जाता है,तो टर्मिनल वोल्टेज $V_2 = \frac{E \cdot R_2}{r + R_2} = \frac{E \cdot 12}{r + 12}$ होता है।
संतुलन लंबाई $l_2 = 180 \ cm$ है,इसलिए $V_2 = K \cdot l_2 \Rightarrow \frac{E \cdot 12}{r + 12} = 180K$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{4}{r + 4} \cdot \frac{r + 12}{12} = \frac{120K}{180K}$
$\frac{1}{3} \cdot \frac{r + 12}{r + 4} = \frac{2}{3}$
$\frac{r + 12}{r + 4} = 2$
$r + 12 = 2(r + 4)$
$r + 12 = 2r + 8$
$r = 4 \ \Omega$.

(A) सेल का $EMF$ $\epsilon = \lambda \ell$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ विभव प्रवणता (potential gradient) है और $\ell$ संतुलन लंबाई है।
दो सेल के लिए,$\epsilon_1 = \lambda \ell_1$ और $\epsilon_2 = \lambda \ell_2$ है।
$EMF$ का अनुपात $y = \frac{\epsilon_1}{\epsilon_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2}$ है।
अनुपात में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta y}{y} = \frac{\Delta \ell_1}{\ell_1} + \frac{\Delta \ell_2}{\ell_2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\ell_1 = 200 \ cm$,$\ell_2 = 150 \ cm$,और $\Delta \ell_1 = \Delta \ell_2 = 1 \ cm$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta y}{y} = \frac{1}{200} + \frac{1}{150}$।
प्रतिशत त्रुटि $\left( \frac{\Delta y}{y} \right) \times 100 = \left( \frac{1}{200} + \frac{1}{150} \right) \times 100$ है।
$= \left( \frac{3 + 4}{600} \right) \times 100 = \frac{7}{6} \approx 1.16 \%$।