Potentiometer Questions in Hindi

(A) पोटेंशियोमीटर के लिए,विद्युत वाहक बल $(E)$ संतुलन लंबाई $(l)$ के सीधे आनुपातिक होता है,जिसे $E = k l$ के रूप में दर्शाया जाता है,जहाँ $k$ पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता (potential gradient) है।
दिया गया है:
$E_1 = k l_1$
$E_2 = k l_2$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{625 \, cm}{500 \, cm} = \frac{625}{500} = \frac{25}{20} = \frac{5}{4}$
अतः,अनुपात $\frac{E_1}{E_2}$ का मान $5:4$ है।

(B) पोटेंशियोमीटर की संवेदनशीलता को उसके द्वारा मापे जा सकने वाले सबसे छोटे विभवांतर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
विभव प्रवणता $(k)$ को तार की प्रति इकाई लंबाई में विभव पतन के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $k = V/L$ द्वारा दिया जाता है।
संवेदनशीलता विभव प्रवणता $(k)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है। इसलिए,जैसे-जैसे $k$ घटता है,संवेदनशीलता बढ़ती है।
चूंकि $k = V/L$,$k$ को कम करने का अर्थ है एक निश्चित विभवांतर $(V)$ के लिए पोटेंशियोमीटर तार की लंबाई $(L)$ को बढ़ाना।
इस प्रकार,संवेदनशीलता तार की लंबाई $(L)$ के सीधे आनुपातिक और विभव प्रवणता $(k)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
कथन $(A)$ और $(C)$ सही हैं।

(B) माना $\varepsilon$ सेल का $EMF$ है और $r$ इसका आंतरिक प्रतिरोध है। माना $x$ पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब सेल को $R_1 = 5\,\Omega$ के प्रतिरोध से शंट किया जाता है,तो टर्मिनल विभवांतर $V_1 = \frac{\varepsilon R_1}{r + R_1} = \frac{5\varepsilon}{r + 5}$ होता है।
शून्य विक्षेप बिंदु $l_1 = 200\,cm$ पर है,इसलिए $V_1 = x l_1 = 200x$ है।
अतः,$\frac{5\varepsilon}{r + 5} = 200x$ --- (समीकरण $1$)
जब सेल को $R_2 = 15\,\Omega$ के प्रतिरोध से शंट किया जाता है,तो टर्मिनल विभवांतर $V_2 = \frac{\varepsilon R_2}{r + R_2} = \frac{15\varepsilon}{r + 15}$ होता है।
शून्य विक्षेप बिंदु $l_2 = 300\,cm$ पर है,इसलिए $V_2 = x l_2 = 300x$ है।
अतः,$\frac{15\varepsilon}{r + 15} = 300x$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5\varepsilon / (r + 5)}{15\varepsilon / (r + 15)} = \frac{200x}{300x}$
$\frac{5}{r + 5} \times \frac{r + 15}{15} = \frac{2}{3}$
$\frac{r + 15}{3(r + 5)} = \frac{2}{3}$
$\frac{r + 15}{r + 5} = 2$
$r + 15 = 2r + 10$
$r = 5\,\Omega$.

(B) पोटेंशियोमीटर के लिए,सेल का $emf$ संतुलन लंबाई $(l)$ के सीधे आनुपातिक होता है: $E \propto l$,जिसका अर्थ है $\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_2}$.
दिया गया है $E_1 = 1.5 \ V$ और $l_1 = 60 \ cm$.
नई लंबाई $l_2 = l_1 + 40 \ cm = 60 + 40 = 100 \ cm$.
मान रखने पर: $\frac{1.5}{E} = \frac{60}{100}$.
$\frac{1.5}{E} = \frac{6}{10} = 0.6$.
$E = \frac{1.5}{0.6} = \frac{15}{6} = 2.5 \ V$.
दिया गया है $E = \frac{x}{10} \ V$,इसलिए $\frac{x}{10} = 2.5$.
$x = 25$.

(D) पोटेंशियोमीटर का उपयोग करके सेल के आंतरिक प्रतिरोध $r$ के लिए सूत्र $r = R \left( \frac{\ell_1}{\ell_2} - 1 \right)$ है,जहाँ $\ell_1$ ओपन सर्किट के लिए संतुलन लंबाई है और $\ell_2$ बाहरी प्रतिरोध $R$ के साथ संतुलन लंबाई है।
इस प्रश्न में,हमें दो अलग-अलग बाहरी प्रतिरोध $R_1 = 10 \ \Omega$ और $R_2 = 1 \ \Omega$ दिए गए हैं,जिनकी संतुलन लंबाई क्रमशः $\ell_1 = 500 \ cm$ और $\ell_2 = 400 \ cm$ है।
टर्मिनल वोल्टेज $V = \varepsilon - Ir = I R = \lambda \ell$ है,जहाँ $\lambda$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
$R_1 = 10 \ \Omega$ के लिए: $V_1 = \frac{\varepsilon}{r + 10} \times 10 = \lambda \times 500 \implies \varepsilon = 50 \lambda (r + 10)$.
$R_2 = 1 \ \Omega$ के लिए: $V_2 = \frac{\varepsilon}{r + 1} \times 1 = \lambda \times 400 \implies \varepsilon = 400 \lambda (r + 1)$.
$\varepsilon$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$50 \lambda (r + 10) = 400 \lambda (r + 1)$
$r + 10 = 8(r + 1)$
$r + 10 = 8r + 8$
$7r = 2$
$r = \frac{2}{7} \approx 0.285 \ \Omega \approx 0.3 \ \Omega$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) पोटेंशियोमीटर तार का कुल प्रतिरोध $1 \Omega$ है। चूंकि स्लाइडिंग संपर्क मध्य में है,इसलिए तार दो भागों में विभाजित हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $0.5 \Omega$ है।
तार का एक भाग $(0.5 \Omega)$ बाहरी प्रतिरोध $R_e = 2 \Omega$ के साथ समानांतर क्रम में है।
इस समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p' = \frac{0.5 \times 2}{0.5 + 2} = \frac{1}{2.5} = 0.4 \Omega$ है।
यह समानांतर संयोजन पोटेंशियोमीटर तार के दूसरे भाग $(0.5 \Omega)$ के साथ श्रेणी क्रम में है।
इसलिए,परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{\text{eq}} = 0.5 \Omega + 0.4 \Omega = 0.9 \Omega$ है।
बैटरी से ली गई कुल धारा $i = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{0.9 \text{ V}}{0.9 \Omega} = 1.0 \text{ A}$ है।

(C) माना $x$ विभवमापी तार का विभव प्रवणता (potential gradient) है। सेल का emf $E$,संतुलन लंबाई $l$ के समानुपाती होता है,अर्थात $E = xl$।
श्रेणीक्रम में $A, B, C$ सेल के लिए: $E_A + E_B + E_C = x(420) \quad (1)$
श्रेणीक्रम में $A, B$ सेल के लिए: $E_A + E_B = x(220) \quad (2)$
श्रेणीक्रम में $B, C$ सेल के लिए: $E_B + E_C = x(320) \quad (3)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ घटाने पर: $E_C = x(420 - 220) = x(200)$।
$E_C$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर: $E_B + x(200) = x(320) \implies E_B = x(120)$।
$E_B$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर: $E_A + x(120) = x(220) \implies E_A = x(100)$।
अतः,अनुपात $E_A : E_B : E_C = 100 : 120 : 200 = 1 : 1.2 : 2$ है।

(D) परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{wire} + R_{series} = 20 \ \Omega + 10 \ \Omega = 30 \ \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{3 \ V}{30 \ \Omega} = 0.1 \ A$ है।
तार के सिरों के बीच विभवांतर $V_{wire} = I \times R_{wire} = 0.1 \ A \times 20 \ \Omega = 2 \ V$ है।
तार के अनुदिश विभव प्रवणता को प्रति इकाई लंबाई विभव पतन के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\text{Potential gradient} = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{2 \ V}{10 \ m} = 0.2 \ V/m$.

(C) पोटेंशियोमीटर का उपयोग करके सेल के आंतरिक प्रतिरोध $r$ का सूत्र $r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$ है,जहाँ $R$ शंट प्रतिरोध है और $l$ संतुलन लंबाई है।
पहले मामले के लिए: $R_1 = 5 \Omega$,$l_1 = 250 \ cm$.
दूसरे मामले के लिए: $R_2 = 20 \Omega$,$l_2 = 400 \ cm$.
चूंकि $EMF$ $E$ स्थिर है,संतुलन लंबाई टर्मिनल वोल्टेज $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right)$ के समानुपाती होती है।
अतः,$\frac{l_1}{l_2} = \frac{R_1(R_2+r)}{R_2(R_1+r)}$.
मान रखने पर: $\frac{250}{400} = \frac{5(20+r)}{20(5+r)}$.
$\frac{5}{8} = \frac{20+r}{4(5+r)}$.
$20(5+r) = 8(20+r)$.
$100 + 20r = 160 + 8r$.
$12r = 60$.
$r = 5 \Omega$.

(C) पोटेंशियोमीटर की संतुलन लंबाई $l$,सेल के टर्मिनल विभवांतर $V$ के समानुपाती होती है। अतः,$V = kl$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता है।
$E$ विद्युत वाहक बल और $r$ आंतरिक प्रतिरोध वाले सेल को $R$ बाह्य प्रतिरोध के साथ शंट करने पर,टर्मिनल वोल्टेज $V = E \frac{R}{R+r}$ होता है।
अतः,$E \frac{R}{R+r} = kl$।
प्रथम स्थिति के लिए: $E \frac{5}{5+r} = k(200) \quad ... (1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $E \frac{15}{15+r} = k(300) \quad ... (2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5}{5+r} \times \frac{15+r}{15} = \frac{200}{300}$
$\frac{15+r}{3(5+r)} = \frac{2}{3}$
$\frac{15+r}{5+r} = 2$
$15 + r = 10 + 2r$
$r = 5 \ \Omega$।
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $5 \ \Omega$ है।

(C) विभव प्रवणता $k$ को $k = V/L$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $V$ तार के सिरों पर विभवांतर है और $L$ तार की लंबाई है।
यह दिया गया है कि $V$ स्थिर है,यदि लंबाई $L$ बढ़ाई जाती है,तो विभव प्रवणता $k$ कम हो जाती है।
शून्य विक्षेप बिंदु तब प्राप्त होता है जब संतुलन लंबाई $l$ पर विभव पतन सेल के $EMF$ $E$ के बराबर होता है,अर्थात $E = kl$।
चूंकि $E$ स्थिर है और $k$ कम हो गया है,इसलिए संतुलन लंबाई $l = E/k$ बढ़नी चाहिए।
अतः,शून्य विक्षेप बिंदु अधिक दूरी पर प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि पोटेंशियोमीटर तार के सिरों पर विभवांतर $V$ है। $L$ लंबाई के मूल तार के लिए विभव प्रवणता $k_1 = \frac{V}{L}$ है।
संतुलन बिंदु $l_1 = \frac{L}{5}$ पर है,इसलिए $E = k_1 l_1 = \frac{V}{L} \cdot \frac{L}{5} = \frac{V}{5}$ है।
जब तार की लंबाई में $\frac{L}{2}$ की वृद्धि की जाती है,तो नई लंबाई $L' = L + \frac{L}{2} = \frac{3L}{2}$ हो जाती है।
तार पर विभवांतर $V$ समान रहता है। नई विभव प्रवणता $k_2 = \frac{V}{L'} = \frac{V}{3L/2} = \frac{2V}{3L}$ है।
उसी सेल $E$ के लिए,नया संतुलन बिंदु $x$,$E = k_2 x$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{V}{5} = \left( \frac{2V}{3L} \right) x$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{V}{5} \cdot \frac{3L}{2V} = \frac{3L}{10}$।

(B) पोटेंशियोमीटर में,e.m.f. $E$ संतुलन लंबाई $\ell$ के समानुपाती होता है,अर्थात $E = k\ell$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
पहले सेल के लिए,$E_1 = k\ell_1$ है।
जब दो सेलों को विरोध में जोड़ा जाता है,तो प्रभावी e.m.f. $(E_1 - E_2)$ होता है। नई संतुलन लंबाई $\ell_2$ है,इसलिए $(E_1 - E_2) = k\ell_2$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{E_1}{E_1 - E_2} = \frac{k\ell_1}{k\ell_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2}$।
तिर्यक गुणा करने पर $E_1\ell_2 = \ell_1(E_1 - E_2) = \ell_1E_1 - \ell_1E_2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\ell_1E_2 = E_1(\ell_1 - \ell_2)$।
अतः,अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{\ell_1}{\ell_1 - \ell_2}$ है।

(B) मान लीजिए $k$ पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब पोटेंशियोमीटर को $A$ और $B$ के बीच जोड़ा जाता है,तो मापा गया विभवांतर $E_1$ है। अतः,$E_1 = k \times 3.60$ है।
जब पोटेंशियोमीटर को $A$ और $C$ के बीच जोड़ा जाता है,तो सेल विपरीत ध्रुवता के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं। कुल e.m.f. $E_1 - E_2$ है। अतः,$E_1 - E_2 = k \times 0.90$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $E_1 / (E_1 - E_2) = 3.60 / 0.90 = 4$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $E_1 = 4(E_1 - E_2) = 4E_1 - 4E_2$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $3E_1 = 4E_2$ मिलता है,इसलिए $E_1 / E_2 = 4/3$ है।

(B) मान लीजिए कि पोटेंशियोमीटर तार के सिरों पर विभवांतर $V$ है। विभव प्रवणता $k = \frac{V}{L}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए,संतुलन लंबाई $l_1 = \frac{L}{4}$ है। e.m.f. $E = k \cdot l_1 = \frac{V}{L} \cdot \frac{L}{4} = \frac{V}{4}$ है।
जब तार की लंबाई में $\frac{L}{3}$ की वृद्धि की जाती है,तो नई लंबाई $L' = L + \frac{L}{3} = \frac{4L}{3}$ हो जाती है।
नई विभव प्रवणता $k' = \frac{V}{L'} = \frac{V}{4L/3} = \frac{3V}{4L}$ है।
मान लीजिए कि नई संतुलन लंबाई $l_2$ है। तब $E = k' \cdot l_2$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{V}{4} = \frac{3V}{4L} \cdot l_2$ प्राप्त होता है।
$l_2$ के लिए हल करने पर,$l_2 = \frac{V}{4} \cdot \frac{4L}{3V} = \frac{L}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता $(k)$ प्रति इकाई लंबाई में होने वाले विभव पतन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है,कुल लंबाई $L = 5 \ m$ और कुल विभवांतर $V = 4 \ V$ है।
$k = \frac{V}{L} = \frac{4 \ V}{5 \ m} = 0.8 \ V/m$ है।
संतुलन लंबाई $l = 200 \ cm = 2 \ m$ दी गई है।
सेल का e.m.f. $(E)$ सूत्र $E = k \times l$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$E = 0.8 \ V/m \times 2 \ m = 1.6 \ V$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) मान लीजिए $V_{total} = 2.5 \ V$ पोटेंशियोमीटर के $L$ लंबाई वाले तार पर लगाया गया वोल्टेज है।
मान लीजिए $V_x = 1.08 \ V$ उस सेल का e.m.f. है जो $l = 2.16 \ m$ लंबाई पर संतुलित होता है।
पोटेंशियोमीटर के तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $k = \frac{V_{total}}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
$l$ लंबाई पर वोल्टेज ड्रॉप $V_x = k \cdot l = \left( \frac{V_{total}}{L} \right) \cdot l$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $1.08 = \left( \frac{2.5}{L} \right) \cdot 2.16$.
$L$ के लिए हल करने पर: $L = \frac{2.5 \cdot 2.16}{1.08}$.
चूंकि $\frac{2.16}{1.08} = 2$,हमें $L = 2.5 \cdot 2 = 5 \ m$ प्राप्त होता है।
अतः,पोटेंशियोमीटर के तार की लंबाई $5 \ m$ है।

(B) पोटेंशियोमीटर में,सेल का $E.M.F.$ संतुलन लंबाई के समानुपाती होता है,अर्थात $E \propto l$ या $E = kl$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
पहले सेल के लिए,$E_1 = kl_1$ है।
जब दोनों सेलों को विरोध में जोड़ा जाता है,तो प्रभावी $E.M.F.$ $(E_1 - E_2)$ होता है। नई संतुलन लंबाई $l_2$ है,इसलिए $(E_1 - E_2) = kl_2$ होगा।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{E_1}{E_1 - E_2} = \frac{l_1}{l_2}$।
तिर्यक गुणा करने पर $E_1 l_2 = l_1 E_1 - l_1 E_2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $l_1 E_2 = E_1 (l_1 - l_2)$।
अतः,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_1 - l_2}$।

(D) परिपथ में धारा $I = \frac{V_{total}}{R_{total}} = \frac{2}{R + 495}$ है।
दी गई विभव प्रवणता $\phi = 0.2 \ mV/cm = 0.02 \ V/m$ है।
$L = 1 \ m$ लंबाई के तार पर विभव पतन $V_{wire} = I \times R = \phi \times L$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{2R}{R + 495} = 0.02 \times 1$.
$2R = 0.02(R + 495)$.
$2R = 0.02R + 9.9$.
$1.98R = 9.9$.
$R = \frac{9.9}{1.98} = 5 \ \Omega$.

(D) विभवमापी में,संतुलन लंबाई $l$ सेल के e.m.f. के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $E = k \cdot l$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब सेलों को समान ध्रुवता के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रभावी e.m.f. $E_1 + E_2 = k \cdot l_1$ होता है।
दिया गया है $l_1 = 80 \ cm$,इसलिए $E_1 + E_2 = 80k$ (समीकरण $1$)।
जब $E_2$ की ध्रुवता उलट दी जाती है,तो प्रभावी e.m.f. $E_1 - E_2 = k \cdot l_2$ होता है।
दिया गया है $l_2 = 20 \ cm$,इसलिए $E_1 - E_2 = 20k$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{80k}{20k} = \frac{4}{1}$।
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर:
$\frac{(E_1 + E_2) + (E_1 - E_2)}{(E_1 + E_2) - (E_1 - E_2)} = \frac{4 + 1}{4 - 1}$।
$\frac{2E_1}{2E_2} = \frac{5}{3}$।
अतः,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{5}{3}$ या $5 : 3$।

(C) सेल का आंतरिक प्रतिरोध $r$ सूत्र $r = R \left( \frac{l_0 - l}{l} \right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l_0$ ओपन सर्किट में संतुलन लंबाई है और $l$ प्रतिरोध $R$ के साथ शंट होने पर संतुलन लंबाई है।
स्थिति $1$: $R_1 = 5 \ \Omega$,$l_1 = 150 \ cm$.
$r = 5 \left( \frac{l_0 - 150}{150} \right) = \frac{l_0 - 150}{30} \quad \dots (1)$
स्थिति $2$: $R_2 = 10 \ \Omega$,$l_2 = 150 + 25 = 175 \ cm$.
$r = 10 \left( \frac{l_0 - 175}{175} \right) = \frac{2(l_0 - 175)}{35} \quad \dots (2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{l_0 - 150}{30} = \frac{2(l_0 - 175)}{35}$
$\frac{l_0 - 150}{6} = \frac{2(l_0 - 175)}{7}$
$7(l_0 - 150) = 12(l_0 - 175)$
$7l_0 - 1050 = 12l_0 - 2100$
$5l_0 = 1050$
$l_0 = 210 \ cm$.

(A) पोटेंशियोमीटर में,संतुलन लंबाई $l$ सेल के e.m.f. के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $E \propto l$ या $E = kl$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब सेल समान ध्रुवता के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो प्रभावी e.m.f. $E_1 + E_2 = k l_1$ होता है।
दिया गया है $l_1 = 64 \ cm$,इसलिए $E_1 + E_2 = 64k$ --- (समीकरण $1$).
जब $E_2$ की ध्रुवता उलट दी जाती है,तो प्रभावी e.m.f. $E_1 - E_2 = k l_2$ होता है।
दिया गया है $l_2 = 32 \ cm$,इसलिए $E_1 - E_2 = 32k$ --- (समीकरण $2$).
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{64k}{32k} = \frac{2}{1}$.
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर:
$\frac{(E_1 + E_2) + (E_1 - E_2)}{(E_1 + E_2) - (E_1 - E_2)} = \frac{2 + 1}{2 - 1}$.
$\frac{2E_1}{2E_2} = \frac{3}{1}$.
अतः,$\frac{E_1}{E_2} = 3: 1$.

(A) पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $K$ इस प्रकार है:
$K = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{E_{driving} \times R}{(R + r) L}$
यहाँ $E_{driving} = 5 \, V$, $r = 4 \, \Omega$, $L = 5 \, m$, और $R = 16 \, \Omega$ है:
$K = \frac{5 \times 16}{(16 + 4) \times 5} = \frac{80}{100} = 0.8 \, V/m$
स्थिति $1$: सेल एक-दूसरे की सहायता करते हैं $(E_{net} = E_1 + E_2)$
$E_1 + E_2 = K l_1$
$1.3 + 1.1 = 0.8 \times l_1$
$2.4 = 0.8 \times l_1 \implies l_1 = 3 \, m$
स्थिति $2$: सेल एक-दूसरे का विरोध करते हैं $(E_{net} = E_1 - E_2)$
$E_1 - E_2 = K l_2$
$1.3 - 1.1 = 0.8 \times l_2$
$0.2 = 0.8 \times l_2 \implies l_2 = 0.25 \, m$
अतः, संतुलन लंबाइयाँ $3 \, m$ और $0.25 \, m$ हैं।

(C) दिया गया है कि जिस लंबाई पर सेल संतुलित होता है वह $l = 300 \ cm = 3 \ m$ है।
प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $2 \ \Omega/m$ है।
तार के खंड का कुल प्रतिरोध $R = 3 \ m \times 2 \ \Omega/m = 6 \ \Omega$ है।
चूंकि पोटेंशियोमीटर संतुलित है,इसलिए तार के खंड पर विभवांतर सेल के e.m.f. के बराबर यानी $1.5 \ V$ है।
ओम के नियम $V = IR$ का उपयोग करते हुए:
$I = V / R = 1.5 \ V / 6 \ \Omega = 0.25 \ A$.
मिलीएम्पियर में बदलने पर,$I = 0.25 \times 1000 \ mA = 250 \ mA$।

(B) परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{wire} + R_{series} + r = 5 \, \Omega + 992 \, \Omega + 3 \, \Omega = 1000 \, \Omega$ है।
पोटेंशियोमीटर तार से बहने वाली धारा $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{4 \, V}{1000 \, \Omega} = 0.004 \, A$ है।
पूरे $4 \, m$ तार पर विभव पतन (potential drop) $V_{wire} = I \times R_{wire} = 0.004 \, A \times 5 \, \Omega = 0.02 \, V$ है।
विभव प्रवणता (प्रति इकाई लंबाई विभव पतन) $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{0.02 \, V}{4 \, m} = 0.005 \, V/m$ है।
$0.75 \, m$ की लंबाई द्वारा संतुलित e.m.f. $E' = k \times l = 0.005 \, V/m \times 0.75 \, m = 0.00375 \, V$ है।
मिलीवोल्ट में बदलने पर, $E' = 0.00375 \times 1000 \, mV = 3.75 \, mV$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $E_1$ और $E_2$ दो सेलों के विद्युत वाहक बल हैं।
जब सेल श्रेणीक्रम में होते हैं,तो कुल e.m.f. $E_1 + E_2$ होता है और संतुलन लंबाई $l_1 = 8 \ m$ होती है। अतः,$E_1 + E_2 = k l_1 = 8k$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब सेल विपरीत क्रम में होते हैं,तो कुल e.m.f. $E_1 - E_2$ होता है और संतुलन लंबाई $l_2 = 4 \ m$ होती है। अतः,$E_1 - E_2 = k l_2 = 4k$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{8k}{4k} = 2$।
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर: $\frac{(E_1 + E_2) + (E_1 - E_2)}{(E_1 + E_2) - (E_1 - E_2)} = \frac{2 + 1}{2 - 1}$।
इसे सरल करने पर $\frac{2E_1}{2E_2} = \frac{3}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{E_1}{E_2} = 3:1$।

(C) बाह्य शंट प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभवांतर $V = \frac{E R}{R + r}$ द्वारा दिया जाता है, जहां $E$ विद्युत वाहक बल (emf) है और $r$ सेल का आंतरिक प्रतिरोध है।
चूंकि पोटेंशियोमीटर विभवांतर को मापता है, इसलिए संतुलन लंबाई $L$ विभवांतर $V$ के सीधे आनुपातिक होती है, अर्थात $L \propto V$.
इसलिए, $\frac{L_1}{L_2} = \frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1(R_2 + r)}{R_2(R_1 + r)}$.
दिया गया है: $L_1 = 1 \, m$, $R_1 = 3 \, \Omega$, $L_2 = 1.5 \, m$, $R_2 = 6 \, \Omega$.
मान रखने पर:
$\frac{1}{1.5} = \frac{3(6 + r)}{6(3 + r)}$
$\frac{2}{3} = \frac{6 + r}{2(3 + r)}$
$2(2)(3 + r) = 3(6 + r)$
$4(3 + r) = 18 + 3r$
$12 + 4r = 18 + 3r$
$r = 18 - 12 = 6 \, \Omega$.
अतः, सेल का आंतरिक प्रतिरोध $6 \, \Omega$ है।

(D) विभव प्रवणता $k$ को तार की प्रति इकाई लंबाई पर विभवांतर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$k = \frac{V}{L}$
ओम के नियम के अनुसार,$R$ प्रतिरोध वाले तार पर विभवांतर $V = I R$ होता है।
प्रतिरोध के लिए सूत्र $R = \frac{\rho L}{A}$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:
$V = I \left( \frac{\rho L}{A} \right)$
अब,इस मान को विभव प्रवणता के सूत्र में रखने पर:
$k = \frac{I (\rho L / A)}{L}$
$k = \frac{I \rho}{A}$
अतः,विभव प्रवणता $\frac{I \rho}{A}$ है।

(B) मान लीजिए कि पोटेंशियोमीटर तार के सिरों पर विभवांतर $E_0$ है।
पहले मामले में,विभव प्रवणता (potential gradient) $k_1 = \frac{E_0}{L}$ है।
संतुलन लंबाई $l_1 = \frac{L}{3}$ है।
अतः,सेल का e.m.f. $E = k_1 l_1 = \left(\frac{E_0}{L}\right) \left(\frac{L}{3}\right) = \frac{E_0}{3} \quad \dots (1)$
दूसरे मामले में,तार की नई लंबाई $L' = L + \frac{L}{2} = \frac{3L}{2}$ है।
नई विभव प्रवणता $k_2 = \frac{E_0}{L'} = \frac{E_0}{3L/2} = \frac{2E_0}{3L}$ है।
मान लीजिए कि उसी सेल $E$ के लिए नई संतुलन लंबाई $x$ है।
तब,$E = k_2 x = \left(\frac{2E_0}{3L}\right) x \quad \dots (2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{E_0}{3} = \left(\frac{2E_0}{3L}\right) x$
$\Rightarrow x = \frac{L}{2}$.

(D) विभवमापी तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $k$ प्रति इकाई लंबाई में विभव का पतन है।
$k = \frac{V}{L} = \frac{3 \,V}{4 \,m} = 0.75 \,V/m$.
यहाँ संतुलन लंबाई $l = 100 \,cm = 1 \,m$ दी गई है।
सेल का विद्युत वाहक बल $E$ सूत्र $E = k \times l$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$E = 0.75 \,V/m \times 1 \,m = 0.75 \,V$.

(D) और $B$ के बीच विभवांतर $V_{AB} = E_1$ है। संतुलन लंबाई $l_{AB} = 300 \ cm$ है। अतः,$E_1 = k \cdot l_{AB} = k \cdot 300$,जहाँ $k$ पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता (potential gradient) है।
$A$ और $C$ के बीच विभवांतर $V_{AC} = E_1 - E_2$ है (क्योंकि सेल विपरीत दिशा में जुड़े हैं)। संतुलन लंबाई $l_{AC} = 100 \ cm$ है। अतः,$E_1 - E_2 = k \cdot l_{AC} = k \cdot 100$.
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{E_1}{E_1 - E_2} = \frac{k \cdot 300}{k \cdot 100} = 3$
$E_1 = 3(E_1 - E_2)$
$E_1 = 3E_1 - 3E_2$
$3E_2 = 2E_1$
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{3}{2}$

(B) पोटेंशियोमीटर में,शून्य विक्षेप बिंदु की लंबाई $l$ मापे जाने वाले बिंदुओं के बीच विभवांतर $V$ के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $V = kl$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
$A$ और $B$ के बीच विभवांतर के लिए,$EMF$ $E_1$ है। अतः,$E_1 = k(0.9)$.
$A$ और $C$ के बीच विभवांतर के लिए,कुल $EMF$ $E_1 - E_2$ है। अतः,$E_1 - E_2 = k(0.3)$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{E_1}{E_1 - E_2} = \frac{0.9}{0.3} = 3$
$E_1 = 3(E_1 - E_2)$
$E_1 = 3E_1 - 3E_2$
$3E_2 = 2E_1$
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{2}{3}$

(B) विभवमापी तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $x$ का मान $x = \frac{V}{L} = \frac{E R}{(R + R') L}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ ड्राइवर सेल का e.m.f. है,$R$ विभवमापी तार का प्रतिरोध है,$R'$ मुख्य परिपथ में प्रतिरोध है और $L$ तार की कुल लंबाई है।
$e.m.f.$ $\epsilon$ वाले दिए गए सेल के लिए,संतुलन लंबाई $l$ का मान $\epsilon = x \cdot l$ होता है,जिसका अर्थ है $l = \frac{\epsilon}{x}$।
शून्य विक्षेप बिंदु को $7^{\text{th}}$ तार से $9^{\text{th}}$ तार पर स्थानांतरित करने के लिए,संतुलन लंबाई $l$ को बढ़ाना आवश्यक है।
चूंकि $l = \frac{\epsilon}{x}$ है,इसलिए $l$ को बढ़ाने के लिए विभव प्रवणता $x$ को कम करना होगा।
समीकरण $x = \frac{E R}{(R + R') L}$ को देखते हुए,$x$ को कम करने के लिए हमें हर (denominator) में स्थित पद $(R + R')$ को बढ़ाना होगा।
अतः,हमें मुख्य परिपथ में प्रतिरोध $R'$ को बढ़ाना चाहिए।

(B) पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $k$, $k = V/L$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $V$ तार के सिरों पर विभवांतर है और $L$ तार की कुल लंबाई है।
जब ड्राइविंग स्रोत को स्थिर रखते हुए पोटेंशियोमीटर तार की लंबाई बढ़ाई जाती है, तो तार का कुल प्रतिरोध बढ़ जाता है।
चूंकि ड्राइविंग वोल्टेज $V$ स्थिर रहता है, इसलिए धारा $I = V/R_{total}$ घट जाती है।
परिणामस्वरूप, विभव प्रवणता $k = I \cdot \rho$ (जहाँ $\rho$ प्रति इकाई लंबाई का प्रतिरोध है) घट जाती है।
$E$ विद्युत वाहक बल $(EMF)$ वाले सेल के लिए, संतुलन लंबाई $l$ को $E = k \cdot l$ या $l = E/k$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
चूंकि $k$ का मान घटता है, इसलिए समान विद्युत वाहक बल $E$ को संतुलित करने के लिए संतुलन लंबाई $l$ बढ़ जाएगी।

(D) संतुलन लंबाई $\ell_1$ सेल के $EMF$ $E$ के समानुपाती होती है,इसलिए $E = k\ell_1$।
जब सेल को $R = 2 \ \Omega$ के बाहरी प्रतिरोध के साथ जोड़ा जाता है,तो टर्मिनल वोल्टेज $V = k\ell_2$ होता है,जहाँ $\ell_2$ नई संतुलन लंबाई है।
दिया गया है कि $\ell_1 = 240 \ cm$ और $\ell_2 = \frac{\ell_1}{2} = 120 \ cm$।
टर्मिनल वोल्टेज का सूत्र $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right)$ है,जहाँ $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
संबंधों को प्रतिस्थापित करने पर,$k\ell_2 = k\ell_1 \left( \frac{R}{R+r} \right)$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{\ell_2}{\ell_1} = \frac{R}{R+r}$ में सरल हो जाता है।
मान रखने पर: $\frac{120}{240} = \frac{2}{2+r}$।
$\frac{1}{2} = \frac{2}{2+r} \implies 2+r = 4 \implies r = 2 \ \Omega$।

(C) पोटेंशियोमीटर प्रयोग में,संतुलन लंबाई $\ell$ सेल के e.m.f. के समानुपाती होती है,अर्थात $E \propto \ell$ या $E = k\ell$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब सेल समान ध्रुवता के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो प्रभावी e.m.f. $E_1 + E_2 = k\ell_1$ होता है,जहाँ $\ell_1 = 64 \ cm$ है।
जब $E_2$ की ध्रुवता उलट दी जाती है,तो प्रभावी e.m.f. $E_1 - E_2 = k\ell_2$ होता है,जहाँ $\ell_2 = 32 \ cm$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{64}{32} = 2$।
योगानुपात और अंतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर: $\frac{(E_1 + E_2) + (E_1 - E_2)}{(E_1 + E_2) - (E_1 - E_2)} = \frac{2 + 1}{2 - 1}$।
यह सरल होकर $\frac{2E_1}{2E_2} = \frac{3}{1}$ हो जाता है,अतः $\frac{E_1}{E_2} = 3: 1$।

(D) पोटेंशियोमीटर का उपयोग करके सेल के आंतरिक प्रतिरोध $r$ का सूत्र $r = R \left( \frac{\ell_1}{\ell_2} - 1 \right)$ है,जहाँ $\ell_1$ ओपन सर्किट के लिए संतुलन लंबाई है और $\ell_2$ प्रतिरोध $R$ के साथ शंट होने पर संतुलन लंबाई है।
दिया गया है:
स्थिति $1$: $R_1 = 3 \ \Omega$,$\ell_2 = 1 \ m$
स्थिति $2$: $R_2 = 6 \ \Omega$,$\ell_2' = 1.5 \ m$
चूंकि सेल का $EMF$ स्थिर रहता है,इसलिए दोनों स्थितियों में संतुलन लंबाई $\ell_1$ समान रहेगी।
$r = 3 \left( \frac{\ell_1}{1} - 1 \right) = 6 \left( \frac{\ell_1}{1.5} - 1 \right)$
$3 \ell_1 - 3 = 4 \ell_1 - 6$
$\ell_1 = 3 \ m$
$\ell_1$ का मान पहले समीकरण में रखने पर:
$r = 3 \left( \frac{3}{1} - 1 \right) = 3 \times 2 = 6 \ \Omega$.

(D) विभवमापी की सुग्राहिता को उस न्यूनतम विभवांतर के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे इसके द्वारा मापा जा सकता है।
सुग्राहिता विभव प्रवणता $(k = V/L)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
कम विभव प्रवणता का अर्थ है उच्च सुग्राहिता।
अतः, सुग्राहिता को कम करने के लिए, हमें तार के अनुदिश विभव प्रवणता को बढ़ाना होगा।
चूंकि विभव प्रवणता $k = I \cdot R/L$ होती है, इसलिए तार से बहने वाली धारा $(I)$ को बढ़ाने से विभव प्रवणता बढ़ जाती है, जिससे सुग्राहिता कम हो जाती है।

(D) मान लीजिए कि तार के सिरों पर विभवांतर $V$ है। विभव प्रवणता $k = \frac{V}{L_{total}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति में,संतुलन लंबाई $l_1 = \frac{L}{5}$ है। e.m.f. $E = k_1 l_1 = \frac{V}{L} \cdot \frac{L}{5} = \frac{V}{5}$ है।
जब तार की लंबाई में $\frac{L}{2}$ की वृद्धि की जाती है,तो नई कुल लंबाई $L' = L + \frac{L}{2} = \frac{3L}{2}$ हो जाती है।
नई विभव प्रवणता $k_2 = \frac{V}{L'} = \frac{V}{3L/2} = \frac{2V}{3L}$ है।
मान लीजिए कि नई संतुलन लंबाई $l_2$ है। अतः $E = k_2 l_2$।
$E$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{V}{5} = \frac{2V}{3L} \cdot l_2$।
$l_2$ के लिए हल करने पर: $l_2 = \frac{V}{5} \cdot \frac{3L}{2V} = \frac{3L}{10}$।

(D) विभवमापी में,संतुलन लंबाई $\ell$ सेल के टर्मिनल विभवांतर $V$ के सीधे आनुपातिक होती है।
ओपन सर्किट के लिए,संतुलन लंबाई $\ell_{1}$ सेल के e.m.f. $E$ के अनुरूप है: $E \propto \ell_{1}$.
जब सेल को बाहरी प्रतिरोध $R$ के साथ शंट किया जाता है,तो टर्मिनल विभवांतर $V = E - Ir$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I = \frac{E}{R+r}$ है।
अतः,$V = E - \left(\frac{E}{R+r}\right)r = E\left(1 - \frac{r}{R+r}\right) = E\left(\frac{R}{R+r}\right)$.
नई संतुलन लंबाई $\ell_{2}$ टर्मिनल विभवांतर $V$ के अनुरूप है: $V \propto \ell_{2}$.
दिया गया है कि $\ell_{2} = \frac{\ell_{1}}{2}$,इसलिए $\frac{V}{E} = \frac{\ell_{2}}{\ell_{1}} = \frac{1}{2}$.
$V/E$ के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{R}{R+r} = \frac{1}{2}$.
$r$ के लिए हल करने पर: $2R = R + r$,जिससे $r = R$ प्राप्त होता है।

(D) सेल के आंतरिक प्रतिरोध $(r)$ को ज्ञात करने के लिए पोटेंशियोमीटर प्रयोग में,सेल $E_1$ को एक प्रतिरोध बॉक्स $R$ के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है।
जब परिपथ खुला होता है,तो संतुलन लंबाई $l_1$,$EMF$ $(E_1)$ के समानुपाती होती है: $E_1 = k l_1$।
जब परिपथ बंद होता है (प्रतिरोध $R$ जुड़ा होता है),तो संतुलन लंबाई $l_2$,टर्मिनल विभवांतर $(V)$ के समानुपाती होती है: $V = k l_2$।
आंतरिक प्रतिरोध का सूत्र इस प्रकार है: $r = R \left( \frac{E_1}{V} - 1 \right)$।
यहाँ,$E_1$ सेल का $EMF$ है,$V$ टर्मिनल विभवांतर है,और $R$ बाह्य प्रतिरोध है।

(D) माना कि $k$ विभवमापी तार का विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब सेल समान ध्रुवता के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो कुल e.m.f. $(E_{1} + E_{2})$ होता है। संतुलन की स्थिति $(E_{1} + E_{2}) = k \ell_{1}$ है,जहाँ $\ell_{1} = 64 \ cm$ है।
जब $E_{2}$ की ध्रुवता उलट दी जाती है,तो कुल e.m.f. $(E_{1} - E_{2})$ होता है। संतुलन की स्थिति $(E_{1} - E_{2}) = k \ell_{2}$ है,जहाँ $\ell_{2} = 32 \ cm$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{E_{1} + E_{2}}{E_{1} - E_{2}} = \frac{64}{32} = 2$.
$E_{1} + E_{2} = 2(E_{1} - E_{2})$.
$E_{1} + E_{2} = 2E_{1} - 2E_{2}$.
$3E_{2} = E_{1}$.
अतः,$\frac{E_{1}}{E_{2}} = 3: 1$.

(B) कुल प्रतिरोध $R_{total} = 495 \, \Omega + 5 \, \Omega = 500 \, \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{4 \, V}{500 \, \Omega} = 8 \times 10^{-3} \, A$ है।
पोटेंशियोमीटर तार के सिरों के बीच विभवांतर $V_{wire} = I \times R_{wire} = 8 \times 10^{-3} \, A \times 5 \, \Omega = 40 \times 10^{-3} \, V$ है।
विभव प्रवणता $k$ को प्रति इकाई लंबाई विभव पतन के रूप में परिभाषित किया गया है: $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{40 \times 10^{-3} \, V}{4 \, m} = 10 \times 10^{-3} \, V/m = 0.01 \, V/m$।

(D) पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $k$ को $k = V/L$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $V$ तार के सिरों पर विभवांतर है और $L$ तार की कुल लंबाई है।
जब तार की लंबाई दोगुनी $(L' = 2L)$ की जाती है,तो विभव प्रवणता $k' = V/(2L) = k/2$ हो जाती है।
अज्ञात e.m.f. $E$ के लिए संतुलन की स्थिति $E = k \cdot l$ है,जहाँ $l$ संतुलन लंबाई है।
चूंकि $E$ स्थिर रहता है,इसलिए $k \cdot l = k' \cdot l'$.
$k' = k/2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $k \cdot l = (k/2) \cdot l'$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $l' = 2l$ मिलता है।
प्रारंभिक संतुलन लंबाई $l = 1.5 \,m$ दी गई है,इसलिए नई संतुलन लंबाई $l' = 2 \times 1.5 \,m = 3 \,m$ होगी।

(C) और $B$ के बीच विभवांतर $V_{AB} = E_{1}$ है। शून्य विक्षेप बिंदु की लंबाई $L_{AB} = 0.9 \ m$ है।
चूंकि $V \propto L$,हमारे पास $E_{1} = k \times 0.9$ है,जहां $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
$A$ और $C$ के बीच विभवांतर $V_{AC} = E_{1} - E_{2}$ है। शून्य विक्षेप बिंदु की लंबाई $L_{AC} = 0.3 \ m$ है।
अतः,$E_{1} - E_{2} = k \times 0.3$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{E_{1}}{E_{1} - E_{2}} = \frac{0.9}{0.3} = 3$।
$E_{1} = 3(E_{1} - E_{2})$
$E_{1} = 3E_{1} - 3E_{2}$
$3E_{2} = 2E_{1}$
$\frac{E_{2}}{E_{1}} = \frac{2}{3}$।

(C) विभवमापी तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $k$, कुल विभवांतर $V$ और तार की कुल लंबाई $L$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
$k = \frac{V}{L} = \frac{3 \,V}{4 \,m} = 0.75 \,V/m$.
हमें दिया गया है कि सेल $l = 100 \,cm = 1 \,m$ की लंबाई पर संतुलित होता है।
सेल का विद्युत वाहक बल $E$, संतुलन लंबाई $l$ पर विभव पतन के बराबर होता है, जो $E = k \times l$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है $E = 0.75 \,V/m \times 1 \,m = 0.75 \,V$.

(D) एक प्रत्यक्ष पठन उपकरण मापी जाने वाली राशि का मान बिना किसी गणना या संतुलन प्रक्रिया के सीधे स्केल या डिस्प्ले पर प्रदान करता है।
$A$,$B$,और $C$ प्रत्यक्ष पठन उपकरण हैं क्योंकि वे परिणाम तुरंत दिखाते हैं।
पोटेंशियोमीटर एक नल-टाइप (null-type) उपकरण है। इसमें विभवांतर या $EMF$ को मापने के लिए एक संतुलन प्रक्रिया (नल पॉइंट खोजना) की आवश्यकता होती है,और अंतिम मान संतुलन लंबाई के आधार पर गणना करके प्राप्त किया जाता है।
इसलिए,पोटेंशियोमीटर एक प्रत्यक्ष पठन उपकरण नहीं है।
सही विकल्प $D$ है।

(C) परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{wire} + R_{series} + r_{internal} = 3 \ \Omega + 8 \ \Omega + 1 \ \Omega = 12 \ \Omega$ है।
विभवमापी तार से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{4 \ V}{12 \ \Omega} = \frac{1}{3} \ A$ है।
विभवमापी तार के सिरों पर विभवांतर $V_{wire} = I \times R_{wire} = \frac{1}{3} \ A \times 3 \ \Omega = 1 \ V$ है।
तार की विभव प्रवणता (potential gradient) $K = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{1 \ V}{100 \ cm} = 0.01 \ V/cm$ है।
$50 \ cm$ लंबाई पर संतुलित सेल का विद्युत वाहक बल $E = K \times \ell = 0.01 \ V/cm \times 50 \ cm = 0.50 \ V$ है।

(D) पोटेंशियोमीटर सर्किट में,जब दो सेल एक-दूसरे की सहायता करने के लिए जुड़े होते हैं,तो संतुलन लंबाई $\ell_{1}$,$(E_{1} + E_{2})$ के समानुपाती होती है। अतः,$E_{1} + E_{2} = k \ell_{1}$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब वे एक-दूसरे का विरोध करने के लिए जुड़े होते हैं,तो संतुलन लंबाई $\ell_{2}$,$(E_{1} - E_{2})$ के समानुपाती होती है। अतः,$E_{1} - E_{2} = k \ell_{2}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{E_{1} + E_{2}}{E_{1} - E_{2}} = \frac{\ell_{1}}{\ell_{2}}$.
दिए गए मान $\ell_{1} = 490 \ cm$ और $\ell_{2} = 90 \ cm$ का उपयोग करने पर:
$\frac{E_{1} + E_{2}}{E_{1} - E_{2}} = \frac{490}{90} = \frac{49}{9}$.
योगानुपात और अंतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{49 + 9}{49 - 9} = \frac{58}{40} = 1.45$.

(D) पोटेंशियोमीटर तार $AB$ पर विभव पतन $V_{AB} = E \cdot \frac{R_{AB}}{R + R_{AB} + r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ ड्राइवर सेल का $EMF$ है,$R$ बाहरी प्रतिरोध है,$R_{AB}$ तार का प्रतिरोध है,और $r$ ड्राइवर सेल का आंतरिक प्रतिरोध है।
$(i)$ जब छात्र $X$,$R$ को बढ़ाता है,तो प्राथमिक परिपथ का कुल प्रतिरोध बढ़ जाता है,जिससे धारा $I = \frac{E}{R + R_{AB} + r}$ घट जाती है। परिणामस्वरूप,विभव प्रवणता $k = \frac{V_{AB}}{L}$ घट जाती है। चूंकि संतुलन स्थिति $E_1 = k \cdot l$ है,जहाँ $l$ संतुलन लंबाई है,यदि $k$ घटता है,तो समान $E_1$ बनाए रखने के लिए $l$ को बढ़ना होगा। अतः,शून्य विक्षेप बिंदु $B$ की ओर खिसक जाता है।
(ii) जब छात्र $Y$,$S$ को घटाता है,तो सेल $E_1$ के सिरों पर टर्मिनल विभवांतर $V = E_1 - I_1 r_1$ होता है,जहाँ $I_1 = \frac{E_1}{S + r_1}$ है। $S$ को घटाने से सेल $E_1$ से ली जाने वाली धारा $I_1$ बढ़ जाती है,जिससे आंतरिक प्रतिरोध $r_1$ पर वोल्टेज ड्रॉप $I_1 r_1$ बढ़ जाता है। इसलिए,सेल $E_1$ के सिरों पर टर्मिनल वोल्टेज $V$ घट जाता है। चूंकि $V = k \cdot l$ है,$V$ में कमी के लिए छोटी संतुलन लंबाई $l$ की आवश्यकता होती है। अतः,शून्य विक्षेप बिंदु $A$ की ओर खिसक जाता है।