Potentiometer Questions in Gujarati

(C) વિધુત સ્થિતિમાન પ્રચલન (Potential Gradient) $x = \frac{E}{R + R_h + r} \times \frac{R}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$E = 2 \ V$,$r = 0 \ \Omega$,$R = 3 \ \Omega$,$L = 10 \ cm$ અને $x = 1 \ mV/cm = 10^{-3} \ V/cm$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$10^{-3} = \frac{2}{3 + R_h} \times \frac{3}{10}$.
$10^{-3} = \frac{0.6}{3 + R_h}$.
$3 + R_h = 600 \Rightarrow R_h = 597 \ \Omega$.
જો આપણે આપેલા વિકલ્પો મુજબ ગણતરી કરીએ,તો $x = 10 \ mV/cm$ લેતા: $10^{-2} = \frac{0.6}{3 + R_h} \Rightarrow 3 + R_h = 60 \Rightarrow R_h = 57 \ \Omega$ મળે છે.

(B) પ્રાથમિક પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{wire} + R_{internal} = 15\,\Omega + 5\,\Omega = 20\,\Omega$ છે.
પોટેન્શિયોમીટરના વાયરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{2\,V}{20\,\Omega} = 0.1\,A$ છે.
પોટેન્શિયોમીટરના વાયર પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{wire} = I \times R_{wire} = 0.1\,A \times 15\,\Omega = 1.5\,V$ છે.
સ્થિતિમાન પ્રચલન $x$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ સ્થિતિમાનનો ઘટાડો છે: $x = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{1.5\,V}{1000\,cm} = \frac{15}{10000}\,V/cm = \frac{3}{2000\,V/cm}$.

(A) એકમ લંબાઈ દીઠ વિધુતસ્થિતિમાનનો તફાવત (પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ) શોધવાનું સૂત્ર: $k = \frac{V}{L}$ છે.
અહીં,તારના બે છેડા વચ્ચેનો વિધુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 2 \ V$ અને તારની લંબાઈ $L = 4 \ m$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $k = \frac{2}{4} = 0.5 \ V/m$.
તેથી,એકમ લંબાઈ દીઠ વિધુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $0.5 \ V/m$ છે.

(B) પોટેન્શીયોમીટરનો ઉપયોગ કરીને કોષનો આંતરિક અવરોધ $r$ શોધવાનું સૂત્ર $r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$ છે,જ્યાં $l_1$ એ શંટ અવરોધ વગરની બેલેન્સિંગ લંબાઈ છે અને $l_2$ એ $R$ જેટલા શંટ અવરોધ સાથેની બેલેન્સિંગ લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $l_1 = 240 \ cm$,$l_2 = 120 \ cm$,અને $R = 2 \ \Omega$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$r = 2 \left( \frac{240}{120} - 1 \right)$
$r = 2 (2 - 1)$
$r = 2 \times 1 = 2 \ \Omega$.
આમ,કોષનો આંતરિક અવરોધ $2 \ \Omega$ છે.

(D) અવરોધ પરનો વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = x \cdot l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ વિદ્યુત સ્થિતિમાન પ્રચલન છે અને $l$ એ સંતુલન લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $x = 2 \, mV/cm = 2 \times 10^{-3} \, V/cm$,$l = 50 \, cm$,અને $R = 10 \, \Omega$.
વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત ગણતા: $V = (2 \times 10^{-3} \, V/cm) \times 50 \, cm = 100 \times 10^{-3} \, V = 0.1 \, V$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$V = iR$,તેથી પ્રવાહ $i = V / R$.
$i = 0.1 \, V / 10 \, \Omega = 0.01 \, A$.
મિલીએમ્પિયરમાં રૂપાંતર કરતા: $i = 0.01 \times 1000 \, mA = 10 \, mA$.

(D) પોટેન્શીયોમીટરમાં,તારની $\ell$ લંબાઈ પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = k\ell$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
અહીં કુલ લંબાઈ $L = 100 \ cm$ અને તાર પર લાગુ પાડવામાં આવેલ કુલ $emf \ E$ છે,તેથી પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{E}{L} = \frac{E}{100}$ થાય.
સંતુલન બિંદુએ,ગૌણ પરિપથમાં (જેમાં $E_0$ $emf$ વાળી બેટરી છે) કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી,બેટરીનો આંતરિક અવરોધ સંતુલન બિંદુએ માપવામાં આવતા સ્થિતિમાનના તફાવતને અસર કરતો નથી.
$emf \ E_0$ એ $\ell = 30 \ cm$ લંબાઈ પરના સ્થિતિમાનના તફાવત જેટલું હોય છે.
તેથી,$E_0 = k \times \ell = \left(\frac{E}{100}\right) \times 30 = \frac{30E}{100}$.

(D) પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $(x)$ એ તારની એકમ લંબાઈ દીઠ થતો સ્થિતિમાનનો ઘટાડો છે.
તેનું સૂત્ર: $x = \frac{V}{L} = \frac{IR}{L}$ છે.
અવરોધ $R = \frac{\rho L}{A}$ હોવાથી,આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{I}{L} \times \left( \frac{\rho L}{A} \right) = \frac{I \rho}{A}$.
આપેલ કિંમતો: $I = 0.2 \ A$,$\rho = 4 \times 10^{-7} \ \Omega \cdot m$,અને $A = 8 \times 10^{-7} \ m^2$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{0.2 \times 4 \times 10^{-7}}{8 \times 10^{-7}}$.
$x = \frac{0.8 \times 10^{-7}}{8 \times 10^{-7}} = 0.1 \ V/m$.

(A) પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ એ પોટેન્શીયોમીટરના તારના એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
સૌ પ્રથમ,ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ શોધો: $I = V / R$.
અહીં $V = 2 \ V$ અને $R = 10 \ \Omega$ આપેલ છે,તેથી $I = 2 / 10 = 0.2 \ A$.
તારના $4 \ m$ લંબાઈ પર કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત $2 \ V$ છે.
તેથી,પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = V / L = 2 \ V / 4 \ m = 0.5 \ V/m$.

(B) ધારો કે પોટેન્શિયોમીટર તારનો સ્થિતિમાન પ્રચલન $k$ છે.
ધારો કે બે કોષોના $EMF, E_1$ અને $E_2$ છે.
જ્યારે કોષો એકબીજાને મદદ કરે છે,ત્યારે પરિણામી $EMF = (E_1 + E_2)$ થાય.
પોટેન્શિયોમીટરના સિદ્ધાંત મુજબ,$(E_1 + E_2) = k \times 120 \ cm$ ---$(i)$
જ્યારે કોષો એકબીજાનો વિરોધ કરે છે,ત્યારે પરિણામી $EMF = (E_1 - E_2)$ થાય.
પોટેન્શિયોમીટરના સિદ્ધાંત મુજબ,$(E_1 - E_2) = k \times 60 \ cm$ ---(ii)
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{120}{60} = \frac{2}{1}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$E_1 + E_2 = 2(E_1 - E_2)$
$E_1 + E_2 = 2E_1 - 2E_2$
$3E_2 = E_1$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{3}{1}$ થાય.

(B) કોષના $EMF$ માટે તટસ્થ બિંદુની લંબાઈ $l_1 = 125 \ cm$ છે.
જ્યારે $R = 2 \ \Omega$ નો બાહ્ય અવરોધ સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $l_2 = 100 \ cm$ લંબાઈએ સંતુલિત થાય છે.
આંતરિક અવરોધ $r$ શોધવાનું સૂત્ર $r = R \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $r = 2 \left( \frac{125 - 100}{100} \right)$.
$r = 2 \left( \frac{25}{100} \right) = 2 \times 0.25 = 0.5 \ \Omega$.

(A) વિદ્યુતસ્થિતિમાન પ્રચલન $x = \frac{V_{wire}}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_{wire}$ એ તાર પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
$V_{wire} = I \times R_{wire} = \left( \frac{emf}{R + R_{wire} + r} \right) \times R_{wire}$.
આપેલ છે: $x = 50 \ \mu V/mm = 50 \times 10^{-6} \ V / 10^{-3} \ m = 0.05 \ V/m$.
લંબાઈ $L = 10 \ m$,$R_{wire} = 30 \ \Omega$,$emf = 2.5 \ V$,$r = 5 \ \Omega$.
$x = \frac{1}{L} \times \left( \frac{emf}{R + R_{wire} + r} \right) \times R_{wire}$.
$0.05 = \frac{1}{10} \times \left( \frac{2.5}{R + 30 + 5} \right) \times 30$.
$0.05 = \frac{75}{10(R + 35)} = \frac{7.5}{R + 35}$.
$0.05(R + 35) = 7.5$.
$R + 35 = \frac{7.5}{0.05} = 150$.
$R = 150 - 35 = 115 \ \Omega$.

(C) પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E = 2 \,V$,$r = 5 \,\Omega$,અને $R = 15 \,\Omega$ છે.
$I = \frac{2}{15 + 5} = \frac{2}{20} = 0.1 \,A$.
$15 \,\Omega$ અવરોધ ધરાવતા તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = I \times R = 0.1 \times 15 = 1.5 \,V$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાન પ્રચલન $x = \frac{V}{L}$ છે.
અહીં $L = 100 \,cm$ હોવાથી,$x = \frac{1.5 \,V}{100 \,cm} = 0.015 \,V/cm$ મળે છે.
જો આંતરિક અવરોધ $r = 0$ લેવામાં આવે,તો $x = \frac{2}{15} \times \frac{15}{100} = 0.02 \,V/cm$ મળે છે. તેથી સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) પોટેન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ કરીને કોષનો આંતરિક અવરોધ $r$ શોધવાનું સૂત્ર $r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$ છે, જ્યાં $l_1$ એ બાહ્ય અવરોધ વગરની સંતુલન લંબાઈ છે અને $l_2$ એ બાહ્ય અવરોધ $R$ સાથેની સંતુલન લંબાઈ છે。
આપેલ છે: $l_1 = 2 \, m$, $l_2 = 3 \, m$, અને $R = 5 \, \Omega$.
સૂત્ર મુજબ: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{E}{V} = \frac{R+r}{R}$.
અહીં $l_1 = 3 \, m$ અને $l_2 = 2 \, m$ લેતા: $\frac{3}{2} = \frac{5+r}{5} \Rightarrow 15 = 10 + 2r \Rightarrow 2r = 5 \Rightarrow r = 2.5 \, \Omega$.
આપેલ વિકલ્પોમાં સુસંગતતાના અભાવે, ગણતરી મુજબ $r = 2.5 \, \Omega$ મળે છે.

(B) પ્રાથમિક પરિપથમાં $10 \, V$ ની બેટરી અને $1 \, \Omega$ નો આંતરિક અવરોધ,$4 \, \Omega$ નો શ્રેણી અવરોધ અને $5 \, \Omega$ અવરોધ ધરાવતો પોટેન્શિયોમીટર તાર છે.
પ્રાથમિક પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_w + R_{series} + r = 5 + 4 + 1 = 10 \, \Omega$ છે.
પ્રાથમિક પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{10}{10} = 1 \, A$ છે.
પોટેન્શિયોમીટર તાર પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_w = I \times R_w = 1 \times 5 = 5 \, V$ છે.
સ્થિતિમાન પ્રચલન $k = \frac{V_w}{L} = \frac{5 \, V}{5 \, m} = 1 \, V/m$ છે.
તટસ્થ બિંદુ $l = 300 \, cm = 3 \, m$ પર મળે છે.
$l$ લંબાઈ પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_l = k \times l = 1 \times 3 = 3 \, V$ છે.
બે $emf$ $E$ ધરાવતા કોષો સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી,તેમનો સમતુલ્ય $emf$ $E_{eq} = E$ થાય.
તટસ્થ બિંદુએ,$l$ લંબાઈ પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત સમાંતર જોડાણના $emf$ ને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,$E = 3 \, V$.

(D) ધારો કે $E_1$ અને $E_2$ એ બે કોષોના $EMF$ છે અને $x$ એ પોટેન્શિયોમીટરના તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કોષો એકબીજાને મદદ કરે છે,ત્યારે કુલ $EMF$ $E_1 + E_2 = x \cdot l_1$ થાય,જ્યાં $l_1 = 6 \ m$ છે.
તેથી,$E_1 + E_2 = 6x$ ... $(i)$
જ્યારે કોષો એકબીજાના વિરોધમાં હોય છે,ત્યારે કુલ $EMF$ $E_1 - E_2 = x \cdot l_2$ થાય,જ્યાં $l_2 = 2 \ m$ છે.
તેથી,$E_1 - E_2 = 2x$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{6x}{2x} = \frac{3}{1}$
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા:
$\frac{(E_1 + E_2) + (E_1 - E_2)}{(E_1 + E_2) - (E_1 - E_2)} = \frac{3 + 1}{3 - 1}$
$\frac{2E_1}{2E_2} = \frac{4}{2}$
$\frac{E_1}{E_2} = 2$
આમ,$E_1 : E_2$ નો ગુણોત્તર $2 : 1$ થાય છે.

(A) બિંદુઓ $B$ અને $C$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બે $10 \, \Omega$ ના અવરોધોના સમાંતર જોડાણને કારણે છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{BC} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ એટલે કે $R_{BC} = 5 \, \Omega$ થાય.
આપેલ છે કે તટસ્થ લંબાઈ $l_1 = 40 \, cm$ એ $R_1 = R_{BC} = 5 \, \Omega$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $l \propto R$ સંબંધ મુજબ $\frac{l_1}{l_2} = \frac{R_1}{R_2}$ મળે.
અહીં,$R_2 = 4 \, \Omega$ એ બિંદુઓ $C$ અને $D$ વચ્ચેનો અવરોધ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{40}{l_2} = \frac{5}{4}$ મળે.
$l_2$ માટે ઉકેલતા,$l_2 = \frac{40 \times 4}{5} = 32 \, cm$ મળે.

(A) પોટેન્શિયોમીટરમાં,કોષનો $emf$ $(E)$ તેની તટસ્થ લંબાઈ $(l)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $E = kl$ દ્વારા દર્શાવાય છે,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
ધારો કે પ્રથમ કોષનો $emf$ $E_1$ છે અને બીજા કોષનો $emf$ $E_2$ છે.
આપેલ છે: $E_1 = k(0.60)$ અને $E_2 = k(0.55)$.
વળી,$E_2 = E_1 - 0.1 \, V$.
$E_1$ અને $E_2$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$k(0.55) = k(0.60) - 0.1$
$k(0.60 - 0.55) = 0.1$
$k(0.05) = 0.1$
$k = \frac{0.1}{0.05} = 2 \, V/m$.
હવે,$emf$ ના મૂલ્યોની ગણતરી કરતા:
$E_1 = 2 \times 0.60 = 1.2 \, V$.
$E_2 = 2 \times 0.55 = 1.1 \, V$.

(C) ધારો કે $\varepsilon$ એ કોષનું $EMF$ છે અને $r$ તેનો આંતરિક અવરોધ છે. ધારો કે $V/L$ એ પોટેન્શિયોમીટરના તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કોષ શોર્ટ-સર્કિટ થયેલ ન હોય,ત્યારે બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l_1 = 110 \, cm$ છે. $EMF$ નીચે મુજબ બેલેન્સ થાય છે:
$\varepsilon = (V/L) \times 110$ ....$(i)$
જ્યારે કોષને $R = 10 \, \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધ દ્વારા શોર્ટ-સર્કિટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_t$ એ $l_2 = 100 \, cm$ પર બેલેન્સ થાય છે. ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_t = \frac{\varepsilon R}{R + r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V_t = (V/L) \times 100$ ....$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\varepsilon}{V_t} = \frac{110}{100}$
$\frac{\varepsilon}{\varepsilon R / (R + r)} = \frac{11}{10}$
$\frac{R + r}{R} = 1.1$
$1 + \frac{r}{R} = 1.1$
$\frac{r}{R} = 0.1$
$r = 0.1 \times R = 0.1 \times 10 \, \Omega = 1 \, \Omega$.

(B) જ્યારે ટુ-વે કી બંધ હોય,ત્યારે અવરોધો $R$ અને $X$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = 1.0 \, A$ છે.
જ્યારે ટર્મિનલ્સ $1$ અને $2$ વચ્ચેની કી લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે અવરોધ $R$ પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત $l_1$ લંબાઈના પોટેન્શિયોમીટર વાયર દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$V_R = I \cdot R = k \cdot l_1$
$I = 1 \, A$ હોવાથી,$R = k \cdot l_1 \, \Omega$ મળે છે.
જ્યારે ટર્મિનલ્સ $1$ અને $3$ વચ્ચેની કી લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે અવરોધો $(R + X)$ ના સંયોજન પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત $l_2$ લંબાઈના પોટેન્શિયોમીટર વાયર દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$V_{R+X} = I \cdot (R + X) = k \cdot l_2$
$I = 1 \, A$ હોવાથી,$R + X = k \cdot l_2 \, \Omega$ મળે છે.
$(R + X)$ ના સમીકરણમાં $R = k \cdot l_1$ મૂકતા:
$k \cdot l_1 + X = k \cdot l_2$
$X = k(l_2 - l_1) \, \Omega$.
આમ,અવરોધો $R$ અને $X$ ના મૂલ્યો અનુક્રમે $kl_1 \, \Omega$ અને $k(l_2 - l_1) \, \Omega$ છે.

(A) પોટેન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ કરીને કોષનો આંતરિક અવરોધ $r$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$r = \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right) R$
જ્યાં $l_1$ એ ઓપન સર્કિટમાં (એટલે કે $R = \infty$) સંતુલન લંબાઈ છે અને $l_2$ એ જ્યારે બાહ્ય અવરોધ $R$ કોષ સાથે જોડાયેલ હોય ત્યારે સંતુલન લંબાઈ છે.
આપેલ છે:
$l_1 = 3\,m$
$l_2 = 2.85\,m$
$R = 9.5\,\Omega$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$r = \left( \frac{3}{2.85} - 1 \right) \times 9.5\,\Omega$
$r = \left( \frac{3 - 2.85}{2.85} \right) \times 9.5\,\Omega$
$r = \left( \frac{0.15}{2.85} \right) \times 9.5\,\Omega$
$r = \frac{15}{285} \times 9.5\,\Omega$
$r = \frac{1}{19} \times 9.5\,\Omega = 0.5\,\Omega$
આમ,કોષનો આંતરિક અવરોધ $0.5\,\Omega$ છે.

(C) પોટેન્શિયોમીટરના તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ એ પ્રાથમિક પરિપથના કુલ ઈ.એમ.એફ. ને કુલ અવરોધ વડે ભાગવાથી મળે છે:
$I = \frac{E_0}{r + r_1}$
પોટેન્શિયોમીટરના તારની કુલ લંબાઈ $L$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ છે:
$V = I r = \frac{E_0 r}{r + r_1}$
તાર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે:
$k = \frac{V}{L} = \frac{E_0 r}{(r + r_1) L}$
અજ્ઞાત ઈ.એમ.એફ. $E$ ને $l$ લંબાઈ પર સંતુલિત કરવામાં આવે છે,તેથી $l$ લંબાઈ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો $E$ જેટલો હોવો જોઈએ:
$E = k l = \left( \frac{E_0 r}{(r + r_1) L} \right) l = \frac{E_0 r l}{(r + r_1) L}$

(A) જરૂરી પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = 1\, mV/cm = 10^{-3}\, V / 10^{-2}\, m = 0.1\, V/m$.
પોટેન્શિયોમીટરના તારની લંબાઈ $L = 4\, m$.
તારના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_w = k \times L = 0.1 \times 4 = 0.4\, V$.
પરિપથમાં $E = 2\, V$ ની બેટરી,અવરોધ $R$ અને $R_w = 8\, \Omega$ નો પોટેન્શિયોમીટરનો તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + R_w} = \frac{2}{R + 8}$.
તારના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_w = I \times R_w$.
કિંમતો મૂકતા: $0.4 = \left( \frac{2}{R + 8} \right) \times 8$.
$0.4 = \frac{16}{R + 8}$.
$R + 8 = \frac{16}{0.4} = 40$.
$R = 40 - 8 = 32\, \Omega$.

(C) ધારો કે બે કોષોના emf $\varepsilon_{1}$ અને $\varepsilon_{2}$ છે (જ્યાં $\varepsilon_{1} > \varepsilon_{2}$).
ધારો કે $k$ એ પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ (એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત) છે.
જ્યારે કોષોને એકબીજાને ટેકો આપવા માટે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ emf $\varepsilon_{1} + \varepsilon_{2}$ થાય છે. સંતુલન બિંદુ $l_{1} = 50 \, cm$ પર મળે છે.
તેથી,$\varepsilon_{1} + \varepsilon_{2} = k \cdot l_{1} = 50k$ .....$(i)$
જ્યારે કોષોને વિરુદ્ધ દિશામાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ emf $\varepsilon_{1} - \varepsilon_{2}$ થાય છે. સંતુલન બિંદુ $l_{2} = 10 \, cm$ પર મળે છે.
તેથી,$\varepsilon_{1} - \varepsilon_{2} = k \cdot l_{2} = 10k$ .....$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2\varepsilon_{1} = 60k \Rightarrow \varepsilon_{1} = 30k$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$2\varepsilon_{2} = 40k \Rightarrow \varepsilon_{2} = 20k$
emf નો ગુણોત્તર $\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{2}} = \frac{30k}{20k} = \frac{3}{2}$ છે.

(B) પોટેન્શિયોમીટર એ $EMF$ ના વિદ્યુત માપન માટેનું એક સચોટ અને બહુમુખી સાધન છે કારણ કે તે નલ-પોઈન્ટ પદ્ધતિ પર કાર્ય કરે છે.
આ પદ્ધતિમાં,પોટેન્શિયોમીટરને ત્યાં સુધી એડજસ્ટ કરવામાં આવે છે જ્યાં સુધી ગેલ્વેનોમીટર શૂન્ય આવર્તન દર્શાવે,જેનો અર્થ છે કે ગેલ્વેનોમીટર સર્કિટમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
સંતુલન બિંદુ પર માપવામાં આવતા સ્ત્રોતમાંથી કોઈ પ્રવાહ ખેંચાતો ન હોવાથી,ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત એ કોષના $EMF$ જેટલો હોય છે.
તેથી,તે પરીક્ષણ હેઠળની સર્કિટને અસર કર્યા વિના સચોટ માપન પ્રદાન કરે છે.

(A) પોટેન્શિયોમીટર વાયર $PQ$ પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ એ માપવામાં આવેલા $e.m.f.$ અને સંતુલન લંબાઈના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $= \frac{6.00 \, mV}{0.600 \, m} = 10 \, mV/m$.
પોટેન્શિયોમીટર વાયર $PQ$ ની કુલ લંબાઈ $1 \, m$ હોવાથી,$PQ$ પરનો કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{PQ} = 10 \, mV/m \times 1 \, m = 10 \, mV = 0.01 \, V$ છે.
પોટેન્શિયોમીટર વાયર $PQ$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V_{PQ}}{R_{PQ}} = \frac{0.01 \, V}{5 \, \Omega} = 0.002 \, A = 2 \, mA$ છે.
પ્રાથમિક સર્કિટ માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ડ્રાઇવર સેલનો કુલ વોલ્ટેજ એ $R$ અને $PQ$ પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપનો સરવાળો છે: $E = I(R + R_{PQ})$.
$2 \, V = 0.002 \, A \times (R + 5 \, \Omega)$.
$R + 5 \, \Omega = \frac{2 \, V}{0.002 \, A} = 1000 \, \Omega$.
$R = 1000 \, \Omega - 5 \, \Omega = 995 \, \Omega$.

(A) તાર $AB$ પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ એ તાર પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતને તેની લંબાઈ વડે ભાગવાથી મળે છે.
$6 \, V$ ની બેટરી સીધી $1 \, m$ ના તાર સાથે જોડાયેલી હોવાથી,પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{6 \, V}{1 \, m} = 6 \, V/m$ થાય.
જ્યારે એમીટર શૂન્ય આવર્તન દર્શાવે છે,ત્યારે તેનો અર્થ એ છે કે $4 \, V$ ની બેટરી ધરાવતા ગૌણ પરિપથમાં કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આ સ્થિતિમાં,તારના $AC$ ભાગ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ ગૌણ બેટરીના emf જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે $AC$ ની લંબાઈ $l_{AC}$ છે. તેથી,$V_{AC} = k \times l_{AC} = 4 \, V$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $6 \times l_{AC} = 4$ મળે છે.
તેથી,$l_{AC} = \frac{4}{6} \, m = \frac{2}{3} \, m$.

(B) પરિપથનો કુલ અવરોધ એ વાયરનો અવરોધ અને બેટરીના આંતરિક અવરોધનો સરવાળો છે: $R_{total} = 10\, \Omega + 1\, \Omega = 11\, \Omega$.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ છે: $I = \frac{EMF}{R_{total}} = \frac{11\, V}{11\, \Omega} = 1\, A$.
પોટેન્શિયોમીટર વાયર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{wire}$ છે: $V_{wire} = I \times R_{wire} = 1\, A \times 10\, \Omega = 10\, V$.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ ને વાયરની એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{10\, V}{10\, m} = 1\, V/m$.

(B) ધારો કે પોટેન્શિયોમીટરના તાર પર લાગુ પાડવામાં આવેલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $E_0$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k_1 = E_0 / l$ છે.
સંતુલન લંબાઈ $l_1 = l/3$ છે. તેથી,$E = k_1 \cdot l_1 = (E_0 / l) \cdot (l/3) = E_0 / 3$. (સમીકરણ $i$)
બીજા કિસ્સામાં,તારની નવી લંબાઈ $L = l + l/2 = 3l/2$ છે.
નવો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k_2 = E_0 / L = E_0 / (3l/2) = 2E_0 / (3l)$ છે.
ધારો કે નવી સંતુલન લંબાઈ $x$ છે. તેથી $E = k_2 \cdot x = (2E_0 / 3l) \cdot x$. (સમીકરણ $ii$)
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ માંથી $E$ ની કિંમત સરખાવતા:
$E_0 / 3 = (2E_0 / 3l) \cdot x$
$1/3 = (2/3l) \cdot x$
$x = l/2$.

(A) પોટેન્શિયોમીટર સર્કિટમાં,સંતુલન બિંદુ મેળવવા માટે,વાયર $AB$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત ગૌણ સર્કિટમાં રહેલા કોષના વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $(E_1)$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
વધુમાં,પ્રાથમિક કોષ $(E)$ નો ધન છેડો અને ગૌણ કોષ $(E_1)$ નો ધન છેડો બંને એક જ બિંદુ (બિંદુ $A$) સાથે જોડાયેલા હોવા જોઈએ.
આપેલ સર્કિટ આકૃતિમાં,પ્રાથમિક કોષ $(E = 5 \, V)$ નો ધન છેડો બિંદુ $A$ સાથે જોડાયેલ છે અને ગૌણ કોષ $(E_1 = 3 \, V)$ નો ધન છેડો પણ બિંદુ $A$ સાથે જોડાયેલ છે.
પ્રથમ,પ્રાથમિક સર્કિટમાં પ્રવાહ $I$ ની ગણતરી કરીએ: $I = \frac{E}{R + r} = \frac{5}{4.5 + 0.5} = \frac{5}{5} = 1 \, A$.
વાયર $AB$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{AB} = I \times R = 1 \times 4.5 = 4.5 \, V$ છે.
અહીં $V_{AB} > E_1$ $(4.5 \, V > 3 \, V)$ હોવાથી,સંતુલન બિંદુ મળશે.
વાયર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V_{AB}}{L} = \frac{4.5 \, V}{3 \, m} = 1.5 \, V/m$ છે.
ગેલ્વેનોમીટરમાં શૂન્ય વિચલન માટે,લંબાઈ $AC$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $E_1$ જેટલો હોવો જોઈએ.
$V_{AC} = k \times AC = E_1$
$1.5 \times AC = 3$
$AC = \frac{3}{1.5} = 2 \, m$.

(C) સમાંતર જોડેલા બે કોષોનો સમતુલ્ય $emf$ $(E_{eq})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$E_{eq} = \frac{\varepsilon_1/r_1 - \varepsilon_2/r_2}{1/r_1 + 1/r_2} = \frac{2/2 - 4/6}{1/2 + 1/6} = \frac{1 - 2/3}{4/6} = 0.5\,V$
પોટેન્શિયોમીટરના તારનો કુલ અવરોધ $R_{wire} = 4\,m \times 4\,\Omega/m = 16\,\Omega$ છે.
પ્રાથમિક પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 8\,\Omega + 16\,\Omega = 24\,\Omega$ છે.
પ્રાથમિક પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{12\,V}{24\,\Omega} = 0.5\,A$ છે.
સ્થિતિમાન પ્રચલન (potential gradient) $x = I \times 4\,\Omega/m = 0.5 \times 4 = 2\,V/m$ છે.
સંતુલન બિંદુ $N$ માટે,$x \times l = E_{eq}$
$2\,V/m \times l = 0.5\,V$
$l = 0.25\,m = 25\,cm$.

(B) ધારો કે $L$ લંબાઈના પોટેન્શિયોમીટર વાયર $AB$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_0$ છે. પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = V_0/L$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે સ્વિચ $S_2$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે ગેલ્વેનોમીટર $l = L/2$ પર કોઈ વિચલન દર્શાવતું નથી. આનો અર્થ એ છે કે $l$ લંબાઈ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $6\, V$ ના કોષના $emf$ જેટલો છે.
$k \cdot (L/2) = 6\, V$
$(V_0/L) \cdot (L/2) = 6\, V \Rightarrow V_0/2 = 6\, V \Rightarrow V_0 = 12\, V$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે સ્વિચ $S_2$ બંધ હોય,ત્યારે ગેલ્વેનોમીટર $l = 5L/12$ પર કોઈ વિચલન દર્શાવતું નથી. $l = 5L/12$ લંબાઈ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $6\, V$ ના કોષના ટર્મિનલ વોલ્ટેજ જેટલો છે.
ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_t = k \cdot (5L/12) = (V_0/L) \cdot (5L/12) = (12/L) \cdot (5L/12) = 5\, V$.
જ્યારે $S_2$ બંધ હોય,ત્યારે $6\, V$ નો કોષ $10\,\Omega$ ના બાહ્ય અવરોધ સાથે જોડાયેલ છે. ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_t = E_{cell} - I r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I = E_{cell} / (R + r)$.
$V_t = E_{cell} \cdot [R / (R + r)]$
$5 = 6 \cdot [10 / (10 + r)]$
$5(10 + r) = 60$
$50 + 5r = 60$
$5r = 10 \Rightarrow r = 2\,\Omega$.
આમ,$r = 2\,\Omega$ અને $E = 12\, V$ છે.

(D) પોટેન્શિયોમીટર કાર્ય કરે તે માટે,તાર $AB$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ એ માપવામાં આવતા કોષ $E_2$ ના $emf$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ. જો $E_1 < E_2$ હોય,તો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $E_2$ ને સંતુલિત કરવા માટે અપૂરતો રહેશે,તેથી $E_1 > E_2$ એ એક આવશ્યક શરત છે.
વધુમાં,કોષોની પોલેરિટી સુસંગત હોવી જોઈએ. પ્રાથમિક સર્કિટના કોષ $(E_1)$ અને ગૌણ સર્કિટના કોષ $(E_2)$ બંનેના ધન ટર્મિનલ પોટેન્શિયોમીટર તારના એક જ છેડા (સામાન્ય રીતે બિંદુ $A$) સાથે જોડાયેલા હોવા જોઈએ. આ સુનિશ્ચિત કરે છે કે તાર પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત કોષ $E_2$ ના $emf$ નો વિરોધ કરે છે,જેનાથી નલ પોઈન્ટ મેળવી શકાય છે. તેથી,$(A)$ અને $(B)$ બંને શરતો આવશ્યક છે.

(D) પોટેન્શિયોમીટર વાયર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(\Delta V_P)$ વોલ્ટેજ ડિવાઇડરના નિયમ દ્વારા મળે છે: $\Delta V_P = \frac{R_P}{R_P + R_{int} + R_{box}} \times E$.
અહીં, $E = 20\,V$, $R_{int} = 5\,\Omega$, અને $R_P = 75\,\Omega$ છે.
અવરોધ પેટીના લઘુત્તમ અવરોધ માટે $(R_{box} = 120\,\Omega)$:
$\Delta V_{P,max} = \frac{75}{75 + 5 + 120} \times 20 = \frac{75}{200} \times 20 = 7.5\,V$.
અવરોધ પેટીના મહત્તમ અવરોધ માટે $(R_{box} = 170\,\Omega)$:
$\Delta V_{P,min} = \frac{75}{75 + 5 + 170} \times 20 = \frac{75}{250} \times 20 = 6\,V$.
પોટેન્શિયોમીટર કોઈપણ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ માપી શકે છે જો $V < \Delta V_P$ હોય. વાયર પરનો મહત્તમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $7.5\,V$ હોવાથી, તે $7.5\,V$ થી ઓછો કોઈપણ વોલ્ટેજ માપી શકે છે. તેથી, $5\,V$, $6\,V$, અને $7\,V$ ત્રણેય માપી શકાય છે.

(A) પોટેન્શિયોમીટર યોગ્ય રીતે કાર્ય કરે તે માટે,વાયર $AB$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ માપવામાં આવતા કોષ $C$ ના $emf$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ. જો $C$ નું $emf$ એ $AB$ પરના પોટેન્શિયલ ડ્રોપ કરતા વધારે હોય,તો ગેલ્વેનોમીટર ક્યારેય શૂન્ય આવર્તન દર્શાવશે નહીં.
વધુમાં,ડ્રાઈવર સેલ $D$ નો ધન ટર્મિનલ અને કોષ $C$ નો ધન ટર્મિનલ બંને એક જ બિંદુ $A$ સાથે જોડાયેલા હોવા જોઈએ. જો $C$ નો ઋણ ટર્મિનલ $A$ સાથે જોડાયેલ હોય,તો પોટેન્શિયલ વિરોધ કરવાને બદલે ઉમેરાશે,જે નલ પોઈન્ટ મેળવતા અટકાવશે.
વિકલ્પોના સંદર્ભમાં:
$1$. $C$ નું $emf > D$ નું $emf$ (વિકલ્પ $C$) એ નલ પોઈન્ટ ન મળવાનું માન્ય કારણ છે.
$2$. $C$ નો ઋણ ટર્મિનલ $A$ સાથે જોડાયેલ હોવો (વિકલ્પ $D$) એ નલ પોઈન્ટ ન મળવાનું માન્ય કારણ છે.
$3$. $R >> R_0$ (વિકલ્પ $B$) એ $AB$ પરના પોટેન્શિયલ ડ્રોપને ખૂબ નાનો બનાવી શકે છે,જે કદાચ $C$ ના $emf$ કરતા ઓછો હોય,જે એક માન્ય કારણ છે.
$4$. શરત $r > R_0$ (વિકલ્પ $A$) એ પોટેન્શિયોમીટર સર્કિટમાં નલ પોઈન્ટના અસ્તિત્વ માટેની મૂળભૂત જરૂરિયાત નથી. નલ પોઈન્ટ પોટેન્શિયલ સંતુલન પર આધાર રાખે છે,આંતરિક અવરોધ $r$ એ વાયરના અવરોધ $R_0$ કરતા નાનો હોવો જોઈએ તેના પર નહીં.

(A) ઓપન સર્કિટ સેલ માટે સંતુલન લંબાઈ $l_1 = 52 \ cm$ છે.
જ્યારે સેલને $R = 5 \ \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધ સાથે શન્ટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સંતુલન લંબાઈ $l_2 = 40 \ cm$ થાય છે.
સેલનો આંતરિક અવરોધ $r$ શોધવાનું સૂત્ર:
$r = \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right) R$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$r = \left( \frac{52 - 40}{40} \right) \times 5$
$r = \left( \frac{12}{40} \right) \times 5$
$r = 0.3 \times 5 = 1.5 \ \Omega$.

(A) પોટેન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ કરીને કોષના આંતરિક અવરોધ $(r)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$
જ્યાં $l_1$ એ કી ખુલ્લી હોય ત્યારે સંતુલન લંબાઈ છે ($EMF$ $E$ માપે છે) અને $l_2$ એ કી બંધ હોય ત્યારે સંતુલન લંબાઈ છે (ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ માપે છે).
આપેલ છે:
$l_1 = 70.0 \, cm$
$l_2 = 60.0 \, cm$
$R = 132.40 \, \Omega$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$r = 132.40 \left( \frac{70.0}{60.0} - 1 \right)$
$r = 132.40 \left( \frac{70.0 - 60.0}{60.0} \right)$
$r = 132.40 \left( \frac{10.0}{60.0} \right)$
$r = 132.40 \times \frac{1}{6}$
$r = 22.066 \, \Omega \approx 22.1 \, \Omega$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે $\lambda$ એ પોટેન્શિયોમીટરના તાર $AB$ નો એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ છે.
જ્યારે કી $k$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે કોષ $E_1$ ખુલ્લા પરિપથમાં છે,તેથી તટસ્થ લંબાઈ $x_1 = 75\,cm$ એ કોષના $EMF$ ને અનુરૂપ છે:
$E_1 = \lambda x_1 \ldots (1)$
જ્યારે કી $k$ બંધ હોય,ત્યારે કોષ $E_1$ બાહ્ય અવરોધ $R = 24\,\Omega$ માંથી પ્રવાહ $i$ પસાર કરે છે. ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ એ $x_2 = 60\,cm$ પર સંતુલિત થાય છે:
$V = E_1 - ir = \lambda x_2 \ldots (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{E_1}{V} = \frac{x_1}{x_2} = \frac{75}{60} = 1.25$
કારણ કે $V = E_1 - ir$ અને $i = \frac{E_1}{R+r}$,તેથી $V = E_1 - \left(\frac{E_1}{R+r}\right)r = E_1 \left(1 - \frac{r}{R+r}\right) = E_1 \left(\frac{R}{R+r}\right)$.
તેથી,$\frac{E_1}{V} = \frac{R+r}{R} = 1 + \frac{r}{R}$.
કિંમતો મૂકતા: $1.25 = 1 + \frac{r}{24} \Rightarrow 0.25 = \frac{r}{24}$.
$r = 0.25 \times 24 = 6\,\Omega$.

(D) પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + 10\, \Omega$ છે.
પોટેન્શિયોમીટર વાયરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{E}{R_{total}} = \frac{2}{R + 10}$ છે.
આખા $100\, cm$ વાયર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{wire} = i \times 10 = \frac{20}{R + 10}$ છે.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $x$ (એકમ લંબાઈ દીઠ પોટેન્શિયલ) $x = \frac{V_{wire}}{100} = \frac{20}{100(R + 10)} = \frac{0.2}{R + 10} \, V/cm$ છે.
સ્ત્રોતનું emf $E_s = 10\, mV = 10 \times 10^{-3} \, V$ ને $l = 40\, cm$ લંબાઈ પર સંતુલિત કરવામાં આવે છે.
સંતુલન શરત $E_s = x \cdot l$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $10 \times 10^{-3} = \frac{0.2}{R + 10} \times 40$.
$10^{-2} = \frac{8}{R + 10} \Rightarrow R + 10 = \frac{8}{10^{-2}} = 800$.
તેથી,$R = 800 - 10 = 790\, \Omega$.

(B) પોટેન્શિયોમીટર સર્કિટમાં,જ્યારે ગેલ્વેનોમીટર શૂન્ય આવર્તન દર્શાવે છે,ત્યારે તેનો અર્થ એ છે કે ગૌણ પરિપથ (ગેલ્વેનોમીટર અને $1.5 \ V$ ના કોષ ધરાવતો પરિપથ) માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
શૂન્ય આવર્તનના બિંદુએ,પોટેન્શિયોમીટર વાયરની $AX$ લંબાઈ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત ગૌણ પરિપથમાં જોડાયેલા કોષના વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે ગૌણ પરિપથમાં કોષનું $EMF$ $1.5 \ V$ છે,તેથી બિંદુ $A$ અને $X$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત આ $EMF$ જેટલો જ હોવો જોઈએ.
તેથી,$A$ અને $X$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $1.5 \ V$ છે.

(D) પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $x$ ને એકમ લંબાઈ દીઠ પોટેન્શિયલ ડ્રોપ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$x = \frac{V}{L} = \frac{IR}{L}$.
તાર શ્રેણીમાં હોવાથી,બંને તારમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ સમાન છે.
આપેલ છે કે લંબાઈ $L$ સમાન છે અને દ્રવ્ય સમાન છે (અવરોધકતા $\rho$ અચળ છે),તેથી અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આમ,પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $x = \frac{I \rho L}{A L} = \frac{I \rho}{A}$.
$I$ અને $\rho$ અચળ હોવાથી,$x \propto \frac{1}{A}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$ હોવાથી,$A \propto d^2$,જ્યાં $d$ એ વ્યાસ છે.
તેથી,$x \propto \frac{1}{d^2}$.
વ્યાસનો ગુણોત્તર $d_{AC} : d_{CB} = 3 : 1$ આપેલ છે,તેથી પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટનો ગુણોત્તર $\frac{x_{AC}}{x_{CB}} = \frac{d_{CB}^2}{d_{AC}^2} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 9$ છે.

(A) પોટેન્શિયોમીટરમાં,કોષનું emf $E$ એ સંતુલન લંબાઈ $\ell$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto \ell$ અથવા $E = k\ell$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
પ્રથમ બેટરી માટે,$E_1 = 1.6 \ V$ અને $\ell_1 = 400 \ mm$ છે.
બીજી બેટરી માટે,$E_2 = ?$ અને $\ell_2 = 650 \ mm$ છે.
સંબંધ $\frac{E_2}{E_1} = \frac{\ell_2}{\ell_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{E_2}{1.6} = \frac{650}{400}$
$E_2 = 1.6 \times \frac{650}{400}$
$E_2 = 1.6 \times 1.625$
$E_2 = 2.6 \ V$.

(B) આપેલ છે:
જ્યારે સ્વિચ $S$ ખુલ્લી હોય ત્યારે સંતુલન લંબાઈ,$l_1 = 60 \ cm$.
જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ હોય ત્યારે સંતુલન લંબાઈ,$l_2 = 50 \ cm$.
બાહ્ય અવરોધ,$R = 5 \ \Omega$.
જ્યારે સ્વિચ $S$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે પોટેન્શિયોમીટર કોષ $C'$ નું $EMF$ $(\varepsilon)$ માપે છે:
$\varepsilon = k l_1$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ હોય,ત્યારે પોટેન્શિયોમીટર કોષ $C'$ નો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $(V)$ માપે છે:
$V = k l_2$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\varepsilon}{V} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{60}{50} = 1.2$.
કોષના આંતરિક અવરોધ $(r)$ માટેનું સૂત્ર:
$r = \left( \frac{\varepsilon}{V} - 1 \right) R$.
કિંમતો મૂકતા:
$r = (1.2 - 1) \times 5 \ \Omega = 0.2 \times 5 \ \Omega = 1.0 \ \Omega$.

(B) પ્રાથમિક પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + r_1 = 9 \, \Omega + 1 \, \Omega = 10 \, \Omega$ છે.
પોટેન્શિયોમીટરના તાર $AB$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $i_0 = \frac{E_1}{R_{total}} = \frac{10 \, V}{10 \, \Omega} = 1 \, A$ છે.
તાર $AB$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{AB} = i_0 \times R = 1 \, A \times 9 \, \Omega = 9 \, V$ છે.
તાર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V_{AB}}{l} = \frac{9 \, V}{100 \, cm} = 0.09 \, V/cm$ છે.
ગેલ્વેનોમીટરમાં કોઈ વિચલન ન જોવા મળે તે માટે,લંબાઈ $AC$ (ધારો કે $l_1$) પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ ગૌણ કોષના emf $E_2$ જેટલો હોવો જોઈએ.
$V_{AC} = k \times l_1 = E_2$
$0.09 \, V/cm \times l_1 = 5 \, V$
$l_1 = \frac{5}{0.09} = \frac{500}{9} \approx 55.55 \, cm$.

(D) પોટેન્શિયોમીટરને વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(p.d.)$ અથવા કોષનું વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ માપવા માટેનું શ્રેષ્ઠ સાધન માનવામાં આવે છે કારણ કે તે શૂન્ય વિચલન પદ્ધતિના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.
આ પદ્ધતિમાં,જ્યારે પોટેન્શિયોમીટર સંતુલિત થાય છે,ત્યારે માપવામાં આવતા કોષ સાથે જોડાયેલા ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
સ્ત્રોતમાંથી કોઈ પ્રવાહ ખેંચાતો ન હોવાથી,માપવામાં આવેલ ટર્મિનલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત કોષના વાસ્તવિક $EMF$ જેટલો જ હોય છે.
તેથી,તે ખુલ્લા પરિપથની સ્થિતિમાં $p.d.$ માપે છે,જે સ્ત્રોતના આંતરિક અવરોધને કારણે થતી ભૂલને ટાળે છે.

(A) પોટેન્શિયોમીટરના તારમાં,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત તેની લંબાઈના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $V = K \cdot l$,જ્યાં $K$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
ધારો કે $I$ એ અવરોધ $R$ અને $X$ ધરાવતા સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે ગેલ્વેનોમીટરને બિંદુ $A$ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અવરોધ $R$ ના બે છેડા વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $10 \ cm$ લંબાઈના પોટેન્શિયોમીટર તાર દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$IR = K \times 10$ ............ $(1)$
કિસ્સો $2$: જ્યારે ગેલ્વેનોમીટરને બિંદુ $C$ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અવરોધ $R$ અને $X$ ના શ્રેણી જોડાણના બે છેડા વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $30 \ cm$ લંબાઈના પોટેન્શિયોમીટર તાર દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$I(R + X) = K \times 30$ ......... $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{I(R + X)}{IR} = \frac{K \times 30}{K \times 10}$
$\frac{R + X}{R} = 3$
$1 + \frac{X}{R} = 3$
$\frac{X}{R} = 2$
$X = 2R$

(C) વાયર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $\phi$ એ કુલ વોલ્ટેજને વાયરની કુલ લંબાઈ વડે ભાગવાથી મળે છે.
$\phi = \frac{V}{L} = \frac{6\,V}{3\,m} = 2\,V/m$.
$50\,cm = 0.5\,m$ ના અંતરે આવેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = \phi \times \Delta l$ દ્વારા મળે છે.
$\Delta V = 2\,V/m \times 0.5\,m = 1\,V$.

(B) પોટેન્શિયોમીટર વાયર $AB$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ મળે છે: $V_{AB} = E \times \frac{R_{AB}}{R_{AB} + r} = E \times \frac{15r}{15r + r} = E \times \frac{15r}{16r} = \frac{15}{16}E$.
વાયર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V_{AB}}{L} = \frac{15E}{16 \times 600} = \frac{E}{640} \, V/cm$ થાય.
ગેલ્વેનોમીટરમાં શૂન્ય આવર્તન માટે,લંબાઈ $\ell_1$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ ગૌણ કોષના $EMF$ જેટલો હોવો જોઈએ,જે $E/2$ છે.
તેથી,$k \times \ell_1 = \frac{E}{2}$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{E}{640} \times \ell_1 = \frac{E}{2}$.
$\ell_1$ માટે ઉકેલતા: $\ell_1 = \frac{640}{2} = 320 \, cm$.

(D) પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $(x)$ એ તારની એકમ લંબાઈ દીઠ થતા પોટેન્શિયલ ડ્રોપ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $x = \frac{V}{\ell} = \frac{iR}{\ell}$.
અવરોધ $R = \frac{\rho \ell}{A}$ હોવાથી,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $x = \frac{i (\rho \ell / A)}{\ell} = \frac{i \rho}{A}$.
આપેલ કિંમતો: પ્રવાહ $i = 0.2 \, A$,અવરોધકતા $\rho = 4 \times 10^{-7} \, \Omega \cdot m$,અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 8 \times 10^{-7} \, m^2$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $x = \frac{0.2 \times 4 \times 10^{-7}}{8 \times 10^{-7}}$.
$x = \frac{0.8 \times 10^{-7}}{8 \times 10^{-7}} = 0.1 \, V/m$.

(B) પોટેન્શિયોમીટર વાયરની લંબાઈ $l$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = kl$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે. જ્યારે સેલનું $EMF$, $E$, વાયરની લંબાઈ $l$ પરના પોટેન્શિયલ ડ્રોપ જેટલું થાય ત્યારે નલ પોઈન્ટ મળે છે, એટલે કે $E = kl$।
નલ પોઈન્ટને વધુ લંબાઈ પર ($7^{th}$ વાયરથી $9^{th}$ વાયર પર) ખસેડવા માટે, આપણે પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ ઘટાડવો પડે.
કારણ કે $k = \frac{V}{L} = \frac{IR}{L}$, જ્યાં $I$ એ પોટેન્શિયોમીટર વાયરમાં વહેતો પ્રવાહ છે, $R$ એ વાયરનો અવરોધ છે અને $L$ એ કુલ લંબાઈ છે, તેથી $k$ ઘટાડવા માટે પ્રવાહ $I$ ઘટાડવો જરૂરી છે.
આ મુખ્ય સર્કિટમાં પોટેન્શિયોમીટર વાયર સાથે શ્રેણીમાં અવરોધ વધારીને પ્રાપ્ત કરી શકાય છે.

(B) પોટેન્શિયોમીટર બેટરીનું ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(E)$ માપે છે,તેથી $E = 1.4 \, V$.
વોલ્ટમીટર બેટરીના ટર્મિનલ વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ તફાવત $(V)$ માપે છે,જે $V = 1.2 \, V$ આપેલ છે.
ધારો કે વોલ્ટમીટરનો અવરોધ $R_v$ છે અને બેટરીનો આંતરિક અવરોધ $r = 40 \, \Omega$ છે.
ટર્મિનલ વોલ્ટેજનું સૂત્ર $V = E \left( \frac{R_v}{R_v + r} \right)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $1.2 = 1.4 \left( \frac{R_v}{R_v + 40} \right)$.
$1.2(R_v + 40) = 1.4 R_v$.
$1.2 R_v + 48 = 1.4 R_v$.
$0.2 R_v = 48$.
$R_v = \frac{48}{0.2} = 240 \, \Omega$.