Potentiometer Questions in Gujarati

(A) પોટેન્શિયોમીટર માટે,ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(E)$ એ બેલેન્સિંગ લંબાઈ $(l)$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,જે $E = k l$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
આપેલ છે:
$E_1 = k l_1$
$E_2 = k l_2$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{625 \, cm}{500 \, cm} = \frac{625}{500} = \frac{25}{20} = \frac{5}{4}$
આમ,ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2}$ એ $5:4$ છે.

(B) પોટેન્શિયોમીટરની સંવેદનશીલતા એટલે તેના દ્વારા માપી શકાય તેવો સૌથી નાનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $(k)$ ને વાયરની એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $k = V/L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંવેદનશીલતા એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $(k)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,જેમ $k$ ઘટે છે,તેમ સંવેદનશીલતા વધે છે.
$k = V/L$ હોવાથી,$k$ ઘટાડવાનો અર્થ એ છે કે નિશ્ચિત વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(V)$ માટે પોટેન્શિયોમીટર વાયરની લંબાઈ $(L)$ વધારવી.
આમ,સંવેદનશીલતા એ વાયરની લંબાઈ $(L)$ ના સમપ્રમાણમાં અને પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $(k)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
વિધાનો $(A)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(B) ધારો કે $\varepsilon$ એ કોષનું $EMF$ છે અને $r$ તેનો આંતરિક અવરોધ છે. ધારો કે $x$ એ પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કોષને $R_1 = 5\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શંટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V_1 = \frac{\varepsilon R_1}{r + R_1} = \frac{5\varepsilon}{r + 5}$ થાય છે.
તટસ્થ બિંદુ $l_1 = 200\,cm$ પર છે,તેથી $V_1 = x l_1 = 200x$.
આમ,$\frac{5\varepsilon}{r + 5} = 200x$ --- (સમીકરણ $1$)
જ્યારે કોષને $R_2 = 15\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શંટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V_2 = \frac{\varepsilon R_2}{r + R_2} = \frac{15\varepsilon}{r + 15}$ થાય છે.
તટસ્થ બિંદુ $l_2 = 300\,cm$ પર છે,તેથી $V_2 = x l_2 = 300x$.
આમ,$\frac{15\varepsilon}{r + 15} = 300x$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{5\varepsilon / (r + 5)}{15\varepsilon / (r + 15)} = \frac{200x}{300x}$
$\frac{5}{r + 5} \times \frac{r + 15}{15} = \frac{2}{3}$
$\frac{r + 15}{3(r + 5)} = \frac{2}{3}$
$\frac{r + 15}{r + 5} = 2$
$r + 15 = 2r + 10$
$r = 5\,\Omega$.

(B) પોટેન્શિયોમીટર માટે,કોષનું $emf$ એ સંતુલન લંબાઈ $(l)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto l$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_2}$.
આપેલ છે કે $E_1 = 1.5 \ V$ અને $l_1 = 60 \ cm$.
નવી લંબાઈ $l_2 = l_1 + 40 \ cm = 60 + 40 = 100 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.5}{E} = \frac{60}{100}$.
$\frac{1.5}{E} = \frac{6}{10} = 0.6$.
$E = \frac{1.5}{0.6} = \frac{15}{6} = 2.5 \ V$.
આપેલ છે કે $E = \frac{x}{10} \ V$,તેથી $\frac{x}{10} = 2.5$.
$x = 25$.

(D) પોટેન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ કરીને કોષના આંતરિક અવરોધ $r$ માટેનું સૂત્ર $r = R \left( \frac{\ell_1}{\ell_2} - 1 \right)$ છે,જ્યાં $\ell_1$ એ ઓપન સર્કિટ માટેની સંતુલન લંબાઈ છે અને $\ell_2$ એ બાહ્ય અવરોધ $R$ સાથેની સંતુલન લંબાઈ છે.
આ પ્રશ્નમાં,આપણને બે અલગ-અલગ બાહ્ય અવરોધો $R_1 = 10 \ \Omega$ અને $R_2 = 1 \ \Omega$ આપેલા છે,જેની સંતુલન લંબાઈ અનુક્રમે $\ell_1 = 500 \ cm$ અને $\ell_2 = 400 \ cm$ છે.
ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = \varepsilon - Ir = I R = \lambda \ell$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
$R_1 = 10 \ \Omega$ માટે: $V_1 = \frac{\varepsilon}{r + 10} \times 10 = \lambda \times 500 \implies \varepsilon = 50 \lambda (r + 10)$.
$R_2 = 1 \ \Omega$ માટે: $V_2 = \frac{\varepsilon}{r + 1} \times 1 = \lambda \times 400 \implies \varepsilon = 400 \lambda (r + 1)$.
$\varepsilon$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$50 \lambda (r + 10) = 400 \lambda (r + 1)$
$r + 10 = 8(r + 1)$
$r + 10 = 8r + 8$
$7r = 2$
$r = \frac{2}{7} \approx 0.285 \ \Omega \approx 0.3 \ \Omega$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો કુલ અવરોધ $1 \Omega$ છે. સ્લાઇડિંગ કોન્ટેક્ટ મધ્યમાં હોવાથી,વાયર બે ભાગમાં વહેંચાય છે,જેમાંથી દરેકનો અવરોધ $0.5 \Omega$ છે.
વાયરનો એક ભાગ $(0.5 \Omega)$ એ બાહ્ય અવરોધ $R_e = 2 \Omega$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p' = \frac{0.5 \times 2}{0.5 + 2} = \frac{1}{2.5} = 0.4 \Omega$ છે.
આ સમાંતર જોડાણ પોટેન્શિયોમીટર વાયરના બીજા ભાગ $(0.5 \Omega)$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
તેથી,પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{eq}} = 0.5 \Omega + 0.4 \Omega = 0.9 \Omega$ છે.
બેટરીમાંથી ખેંચાતો કુલ પ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{0.9 \text{ V}}{0.9 \Omega} = 1.0 \text{ A}$ થાય.

(C) ધારો કે $x$ એ પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે. કોષનું emf $E$ એ સંતુલન લંબાઈ $l$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E = xl$.
શ્રેણીમાં $A, B, C$ કોષો માટે: $E_A + E_B + E_C = x(420) \quad (1)$
શ્રેણીમાં $A, B$ કોષો માટે: $E_A + E_B = x(220) \quad (2)$
શ્રેણીમાં $B, C$ કોષો માટે: $E_B + E_C = x(320) \quad (3)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $E_C = x(420 - 220) = x(200)$.
$E_C$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા: $E_B + x(200) = x(320) \implies E_B = x(120)$.
$E_B$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા: $E_A + x(120) = x(220) \implies E_A = x(100)$.
આમ,ગુણોત્તર $E_A : E_B : E_C = 100 : 120 : 200 = 1 : 1.2 : 2$ થાય.

(D) પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{wire} + R_{series} = 20 \ \Omega + 10 \ \Omega = 30 \ \Omega$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{3 \ V}{30 \ \Omega} = 0.1 \ A$ છે.
તારના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{wire} = I \times R_{wire} = 0.1 \ A \times 20 \ \Omega = 2 \ V$ છે.
તાર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ એ એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો છે: $\text{Potential gradient} = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{2 \ V}{10 \ m} = 0.2 \ V/m$.

(C) પોટેન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ કરીને કોષનો આંતરિક અવરોધ $r$ શોધવાનું સૂત્ર $r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$ છે,જ્યાં $R$ એ શંટ અવરોધ છે અને $l$ એ સંતુલન લંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $R_1 = 5 \Omega$,$l_1 = 250 \ cm$.
બીજા કિસ્સા માટે: $R_2 = 20 \Omega$,$l_2 = 400 \ cm$.
$EMF$ $E$ અચળ હોવાથી,સંતુલન લંબાઈ ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$\frac{l_1}{l_2} = \frac{R_1(R_2+r)}{R_2(R_1+r)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{250}{400} = \frac{5(20+r)}{20(5+r)}$.
$\frac{5}{8} = \frac{20+r}{4(5+r)}$.
$20(5+r) = 8(20+r)$.
$100 + 20r = 160 + 8r$.
$12r = 60$.
$r = 5 \Omega$.

(C) પોટેન્શિયોમીટરની સંતુલન લંબાઈ $l$ એ કોષના ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,$V = kl$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
$E$ $EMF$ અને $r$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતા કોષને $R$ બાહ્ય અવરોધ સાથે શંટ કરતા,ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = E \frac{R}{R+r}$ મળે છે.
તેથી,$E \frac{R}{R+r} = kl$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $E \frac{5}{5+r} = k(200) \quad ... (1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $E \frac{15}{15+r} = k(300) \quad ... (2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{5}{5+r} \times \frac{15+r}{15} = \frac{200}{300}$
$\frac{15+r}{3(5+r)} = \frac{2}{3}$
$\frac{15+r}{5+r} = 2$
$15 + r = 10 + 2r$
$r = 5 \ \Omega$.
આમ,કોષનો આંતરિક અવરોધ $5 \ \Omega$ છે.

(C) પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ ને $k = V/L$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $L$ એ તારની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $V$ અચળ છે,જો લંબાઈ $L$ વધારવામાં આવે,તો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ ઘટે છે.
તટસ્થ બિંદુ ત્યારે મળે છે જ્યારે સંતુલન લંબાઈ $l$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો એ કોષના $EMF$ $E$ જેટલો હોય,એટલે કે $E = kl$.
કારણ કે $E$ અચળ છે અને $k$ ઘટ્યો છે,તેથી સંતુલન લંબાઈ $l = E/k$ વધવી જોઈએ.
તેથી,તટસ્થ બિંદુ મોટા અંતરે મળે છે.

(C) ધારો કે પોટેન્શિયોમીટરના તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ છે. $L$ લંબાઈના મૂળ તાર માટે પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k_1 = \frac{V}{L}$ છે.
સંતુલન બિંદુ $l_1 = \frac{L}{5}$ પર છે,તેથી $E = k_1 l_1 = \frac{V}{L} \cdot \frac{L}{5} = \frac{V}{5}$.
જ્યારે તારની લંબાઈમાં $\frac{L}{2}$ નો વધારો કરવામાં આવે,ત્યારે નવી લંબાઈ $L' = L + \frac{L}{2} = \frac{3L}{2}$ થાય છે.
તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહે છે. નવો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k_2 = \frac{V}{L'} = \frac{V}{3L/2} = \frac{2V}{3L}$ થાય છે.
તે જ કોષ $E$ માટે,નવું સંતુલન બિંદુ $x$ એ $E = k_2 x$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V}{5} = \left( \frac{2V}{3L} \right) x$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{V}{5} \cdot \frac{3L}{2V} = \frac{3L}{10}$.

(B) પોટેન્શિયોમીટરમાં,e.m.f. $E$ એ સંતુલન લંબાઈ $\ell$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E = k\ell$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
પ્રથમ કોષ માટે,$E_1 = k\ell_1$.
જ્યારે બે કોષોને વિરોધમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક e.m.f. $(E_1 - E_2)$ થાય છે. નવી સંતુલન લંબાઈ $\ell_2$ છે,તેથી $(E_1 - E_2) = k\ell_2$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{E_1}{E_1 - E_2} = \frac{k\ell_1}{k\ell_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $E_1\ell_2 = \ell_1(E_1 - E_2) = \ell_1E_1 - \ell_1E_2$ મળે.
પદોને ગોઠવતા: $\ell_1E_2 = E_1(\ell_1 - \ell_2)$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{\ell_1}{\ell_1 - \ell_2}$ થાય.

(B) ધારો કે $k$ એ પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે પોટેન્શિયોમીટરને $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે માપવામાં આવતો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $E_1$ છે. તેથી,$E_1 = k \times 3.60$.
જ્યારે પોટેન્શિયોમીટરને $A$ અને $C$ વચ્ચે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કોષો શ્રેણીમાં વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે જોડાયેલા છે. તેથી કુલ e.m.f. $E_1 - E_2$ થાય છે. તેથી,$E_1 - E_2 = k \times 0.90$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $E_1 / (E_1 - E_2) = 3.60 / 0.90 = 4$.
આનો અર્થ એ છે કે $E_1 = 4(E_1 - E_2) = 4E_1 - 4E_2$.
પુનઃગોઠવણી કરતા $3E_1 = 4E_2$ મળે છે,તેથી $E_1 / E_2 = 4/3$.

(B) ધારો કે પોટેન્શિયોમીટરના તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ છે. પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,સંતુલન લંબાઈ $l_1 = \frac{L}{4}$ છે. e.m.f. $E = k \cdot l_1 = \frac{V}{L} \cdot \frac{L}{4} = \frac{V}{4}$ થાય.
જ્યારે તારની લંબાઈમાં $\frac{L}{3}$ નો વધારો કરવામાં આવે,ત્યારે નવી લંબાઈ $L' = L + \frac{L}{3} = \frac{4L}{3}$ થાય છે.
નવો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k' = \frac{V}{L'} = \frac{V}{4L/3} = \frac{3V}{4L}$ થાય.
ધારો કે નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2$ છે. તેથી $E = k' \cdot l_2$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{V}{4} = \frac{3V}{4L} \cdot l_2$ મળે.
$l_2$ માટે ઉકેલતા,$l_2 = \frac{V}{4} \cdot \frac{4L}{3V} = \frac{L}{3}$ મળે છે.

(D) પોટેન્શિયોમીટરના તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $(k)$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ થતા પોટેન્શિયલ ડ્રોપ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે,કુલ લંબાઈ $L = 5 \ m$ અને કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 4 \ V$.
$k = \frac{V}{L} = \frac{4 \ V}{5 \ m} = 0.8 \ V/m$.
સંતુલન લંબાઈ $l = 200 \ cm = 2 \ m$ આપેલ છે.
કોષનું e.m.f. $(E)$ એ $E = k \times l$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$E = 0.8 \ V/m \times 2 \ m = 1.6 \ V$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે $V_{total} = 2.5 \ V$ એ $L$ લંબાઈના પોટેન્શિયોમીટરના તાર પર લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ છે.
ધારો કે $V_x = 1.08 \ V$ એ $l = 2.16 \ m$ લંબાઈ પર સંતુલિત થતા કોષનું e.m.f. છે.
પોટેન્શિયોમીટરના તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V_{total}}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l$ લંબાઈ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_x = k \cdot l = \left( \frac{V_{total}}{L} \right) \cdot l$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $1.08 = \left( \frac{2.5}{L} \right) \cdot 2.16$.
$L$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $L = \frac{2.5 \cdot 2.16}{1.08}$.
અહીં $\frac{2.16}{1.08} = 2$ હોવાથી,આપણને $L = 2.5 \cdot 2 = 5 \ m$ મળે છે.
તેથી,પોટેન્શિયોમીટરના તારની લંબાઈ $5 \ m$ છે.

(B) પોટેન્શિયોમીટરમાં,કોષનું $E.M.F.$ તેની સંતુલન લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto l$ અથવા $E = kl$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
પ્રથમ કોષ માટે,$E_1 = kl_1$.
જ્યારે બે કોષોને વિરોધમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક $E.M.F.$ $(E_1 - E_2)$ થાય છે. નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2$ હોવાથી,$(E_1 - E_2) = kl_2$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{E_1}{E_1 - E_2} = \frac{l_1}{l_2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $E_1 l_2 = l_1 E_1 - l_1 E_2$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા: $l_1 E_2 = E_1 (l_1 - l_2)$.
તેથી,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_1 - l_2}$.

(D) પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V_{total}}{R_{total}} = \frac{2}{R + 495}$ છે.
આપેલ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $\phi = 0.2 \ mV/cm = 0.02 \ V/m$ છે.
$L = 1 \ m$ લંબાઈના તાર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{wire} = I \times R = \phi \times L$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2R}{R + 495} = 0.02 \times 1$.
$2R = 0.02(R + 495)$.
$2R = 0.02R + 9.9$.
$1.98R = 9.9$.
$R = \frac{9.9}{1.98} = 5 \ \Omega$.

(D) પોટેન્શિયોમીટરમાં,સંતુલન લંબાઈ $l$ એ કોષના e.m.f. ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E = k \cdot l$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કોષોને સમાન ધ્રુવીયતા સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક e.m.f. $E_1 + E_2 = k \cdot l_1$ થાય છે.
અહીં $l_1 = 80 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $E_1 + E_2 = 80k$ (સમીકરણ $1$).
જ્યારે $E_2$ ની ધ્રુવીયતા ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક e.m.f. $E_1 - E_2 = k \cdot l_2$ થાય છે.
અહીં $l_2 = 20 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $E_1 - E_2 = 20k$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{80k}{20k} = \frac{4}{1}$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા:
$\frac{(E_1 + E_2) + (E_1 - E_2)}{(E_1 + E_2) - (E_1 - E_2)} = \frac{4 + 1}{4 - 1}$.
$\frac{2E_1}{2E_2} = \frac{5}{3}$.
તેથી,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{5}{3}$ અથવા $5 : 3$.

(C) કોષનો આંતરિક અવરોધ $r$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $r = R \left( \frac{l_0 - l}{l} \right)$,જ્યાં $l_0$ એ ઓપન સર્કિટમાં સંતુલન લંબાઈ છે અને $l$ એ $R$ અવરોધ સાથે શન્ટ કરેલી સંતુલન લંબાઈ છે.
કિસ્સો $1$: $R_1 = 5 \ \Omega$,$l_1 = 150 \ cm$.
$r = 5 \left( \frac{l_0 - 150}{150} \right) = \frac{l_0 - 150}{30} \quad \dots (1)$
કિસ્સો $2$: $R_2 = 10 \ \Omega$,$l_2 = 150 + 25 = 175 \ cm$.
$r = 10 \left( \frac{l_0 - 175}{175} \right) = \frac{2(l_0 - 175)}{35} \quad \dots (2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{l_0 - 150}{30} = \frac{2(l_0 - 175)}{35}$
$\frac{l_0 - 150}{6} = \frac{2(l_0 - 175)}{7}$
$7(l_0 - 150) = 12(l_0 - 175)$
$7l_0 - 1050 = 12l_0 - 2100$
$5l_0 = 1050$
$l_0 = 210 \ cm$.

(A) પોટેન્શિયોમીટરમાં,સંતુલન લંબાઈ $l$ એ કોષના e.m.f. ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto l$ અથવા $E = kl$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કોષો સમાન ધ્રુવીયતા સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે અસરકારક e.m.f. $E_1 + E_2 = k l_1$ થાય છે.
અહીં $l_1 = 64 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $E_1 + E_2 = 64k$ --- (સમીકરણ $1$).
જ્યારે $E_2$ ની ધ્રુવીયતા ઉલટાવવામાં આવે,ત્યારે અસરકારક e.m.f. $E_1 - E_2 = k l_2$ થાય છે.
અહીં $l_2 = 32 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $E_1 - E_2 = 32k$ --- (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{64k}{32k} = \frac{2}{1}$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા:
$\frac{(E_1 + E_2) + (E_1 - E_2)}{(E_1 + E_2) - (E_1 - E_2)} = \frac{2 + 1}{2 - 1}$.
$\frac{2E_1}{2E_2} = \frac{3}{1}$.
તેથી,$\frac{E_1}{E_2} = 3: 1$.

(A) પોટેન્શિયોમીટરના તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $K$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{E_{driving} \times R}{(R + r) L}$
અહીં $E_{driving} = 5 \, V$, $r = 4 \, \Omega$, $L = 5 \, m$, અને $R = 16 \, \Omega$ છે:
$K = \frac{5 \times 16}{(16 + 4) \times 5} = \frac{80}{100} = 0.8 \, V/m$
કિસ્સો $1$: કોષો એકબીજાને મદદ કરે છે $(E_{net} = E_1 + E_2)$
$E_1 + E_2 = K l_1$
$1.3 + 1.1 = 0.8 \times l_1$
$2.4 = 0.8 \times l_1 \implies l_1 = 3 \, m$
કિસ્સો $2$: કોષો એકબીજાનો વિરોધ કરે છે $(E_{net} = E_1 - E_2)$
$E_1 - E_2 = K l_2$
$1.3 - 1.1 = 0.8 \times l_2$
$0.2 = 0.8 \times l_2 \implies l_2 = 0.25 \, m$
આમ, સંતુલન લંબાઈ $3 \, m$ અને $0.25 \, m$ છે.

(C) આપેલ છે કે,જે લંબાઈ પર કોષ સંતુલિત થાય છે તે $l = 300 \ cm = 3 \ m$ છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $2 \ \Omega/m$ છે.
તારના ભાગનો કુલ અવરોધ $R = 3 \ m \times 2 \ \Omega/m = 6 \ \Omega$ થાય.
પોટેન્શિયોમીટર સંતુલિત હોવાથી,તારના ભાગ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત કોષના e.m.f. જેટલો એટલે કે $1.5 \ V$ થાય.
ઓહ્મના નિયમ $V = IR$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = V / R = 1.5 \ V / 6 \ \Omega = 0.25 \ A$.
મિલીએમ્પિયરમાં ફેરવતા,$I = 0.25 \times 1000 \ mA = 250 \ mA$.

(B) પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{wire} + R_{series} + r = 5 \, \Omega + 992 \, \Omega + 3 \, \Omega = 1000 \, \Omega$ છે.
પોટેન્શિયોમીટરના તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{4 \, V}{1000 \, \Omega} = 0.004 \, A$ છે.
$4 \, m$ ના આખા તાર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{wire} = I \times R_{wire} = 0.004 \, A \times 5 \, \Omega = 0.02 \, V$ છે.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ (એકમ લંબાઈ દીઠ પોટેન્શિયલ ડ્રોપ) $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{0.02 \, V}{4 \, m} = 0.005 \, V/m$ છે.
$0.75 \, m$ ની લંબાઈ દ્વારા સંતુલિત થતું e.m.f. $E' = k \times l = 0.005 \, V/m \times 0.75 \, m = 0.00375 \, V$ છે.
મિલિવોલ્ટમાં ફેરવતા, $E' = 0.00375 \times 1000 \, mV = 3.75 \, mV$ મળે છે.

(D) ધારો કે $E_1$ અને $E_2$ એ બે કોષોના e.m.f. છે.
જ્યારે કોષો શ્રેણીમાં હોય,ત્યારે કુલ e.m.f. $E_1 + E_2$ થાય અને સંતુલન લંબાઈ $l_1 = 8 \ m$ મળે છે. તેથી,$E_1 + E_2 = k l_1 = 8k$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કોષો વિરોધમાં હોય,ત્યારે કુલ e.m.f. $E_1 - E_2$ થાય અને સંતુલન લંબાઈ $l_2 = 4 \ m$ મળે છે. તેથી,$E_1 - E_2 = k l_2 = 4k$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{8k}{4k} = 2$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા: $\frac{(E_1 + E_2) + (E_1 - E_2)}{(E_1 + E_2) - (E_1 - E_2)} = \frac{2 + 1}{2 - 1}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $\frac{2E_1}{2E_2} = \frac{3}{1}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{E_1}{E_2} = 3:1$.

(C) બાહ્ય શન્ટ અવરોધ $R$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{E R}{R + r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $E$ એ વિદ્યુતચાલક બળ (emf) છે અને $r$ એ કોષનો આંતરિક અવરોધ છે।
પોટેન્શિયોમીટર વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત માપે છે, તેથી સંતુલન લંબાઈ $L$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $L \propto V$.
તેથી, $\frac{L_1}{L_2} = \frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1(R_2 + r)}{R_2(R_1 + r)}$.
આપેલ છે: $L_1 = 1 \, m$, $R_1 = 3 \, \Omega$, $L_2 = 1.5 \, m$, $R_2 = 6 \, \Omega$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{1.5} = \frac{3(6 + r)}{6(3 + r)}$
$\frac{2}{3} = \frac{6 + r}{2(3 + r)}$
$2(2)(3 + r) = 3(6 + r)$
$4(3 + r) = 18 + 3r$
$12 + 4r = 18 + 3r$
$r = 18 - 12 = 6 \, \Omega$.
આમ, કોષનો આંતરિક અવરોધ $6 \, \Omega$ છે।

(D) પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ ને તારની એકમ લંબાઈ દીઠ સ્થિતિમાનના તફાવત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$k = \frac{V}{L}$
ઓમના નિયમ મુજબ,$R$ અવરોધ ધરાવતા તાર પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = I R$ છે.
અવરોધ માટેનું સૂત્ર $R = \frac{\rho L}{A}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$V = I \left( \frac{\rho L}{A} \right)$
હવે,આ કિંમતને પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટના સૂત્રમાં મૂકતા:
$k = \frac{I (\rho L / A)}{L}$
$k = \frac{I \rho}{A}$
આમ,પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $\frac{I \rho}{A}$ છે.

(B) ધારો કે પોટેન્શિયોમીટરના તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $E_0$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k_1 = \frac{E_0}{L}$ છે.
સંતુલન લંબાઈ $l_1 = \frac{L}{3}$ છે.
તેથી,કોષનું e.m.f. $E = k_1 l_1 = \left(\frac{E_0}{L}\right) \left(\frac{L}{3}\right) = \frac{E_0}{3} \quad \dots (1)$
બીજા કિસ્સામાં,તારની નવી લંબાઈ $L' = L + \frac{L}{2} = \frac{3L}{2}$ છે.
નવો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k_2 = \frac{E_0}{L'} = \frac{E_0}{3L/2} = \frac{2E_0}{3L}$ છે.
ધારો કે તે જ કોષ $E$ માટે નવી સંતુલન લંબાઈ $x$ છે.
તેથી,$E = k_2 x = \left(\frac{2E_0}{3L}\right) x \quad \dots (2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{E_0}{3} = \left(\frac{2E_0}{3L}\right) x$
$\Rightarrow x = \frac{L}{2}$.

(D) પોટેન્શિયોમીટરના તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો છે.
$k = \frac{V}{L} = \frac{3 \,V}{4 \,m} = 0.75 \,V/m$.
અહીં સંતુલન લંબાઈ $l = 100 \,cm = 1 \,m$ આપેલી છે.
કોષનું ઈ.એમ.એફ. $E$ એ $E = k \times l$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$E = 0.75 \,V/m \times 1 \,m = 0.75 \,V$.

(D) અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = E_1$ છે. સંતુલન લંબાઈ $l_{AB} = 300 \ cm$ છે. તેથી,$E_1 = k \cdot l_{AB} = k \cdot 300$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
$A$ અને $C$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AC} = E_1 - E_2$ છે (કારણ કે કોષો વિરોધમાં જોડાયેલા છે). સંતુલન લંબાઈ $l_{AC} = 100 \ cm$ છે. તેથી,$E_1 - E_2 = k \cdot l_{AC} = k \cdot 100$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{E_1}{E_1 - E_2} = \frac{k \cdot 300}{k \cdot 100} = 3$
$E_1 = 3(E_1 - E_2)$
$E_1 = 3E_1 - 3E_2$
$3E_2 = 2E_1$
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{3}{2}$

(B) પોટેન્શિયોમીટરમાં,શૂન્ય બિંદુની લંબાઈ $l$ એ માપવામાં આવતા બિંદુઓ વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $V = kl$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત માટે,$EMF$ $E_1$ છે. તેથી,$E_1 = k(0.9)$.
$A$ અને $C$ વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત માટે,કુલ $EMF$ $E_1 - E_2$ છે. તેથી,$E_1 - E_2 = k(0.3)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{E_1}{E_1 - E_2} = \frac{0.9}{0.3} = 3$
$E_1 = 3(E_1 - E_2)$
$E_1 = 3E_1 - 3E_2$
$3E_2 = 2E_1$
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{2}{3}$

(B) પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $x$ એ $x = \frac{V}{L} = \frac{E R}{(R + R') L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ ડ્રાઈવર કોષનું e.m.f. છે,$R$ એ પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો અવરોધ છે,$R'$ એ મુખ્ય પરિપથમાં રહેલ અવરોધ છે અને $L$ એ વાયરની કુલ લંબાઈ છે.
$e.m.f.$ $\epsilon$ ધરાવતા આપેલ કોષ માટે,સંતુલન લંબાઈ $l$ એ $\epsilon = x \cdot l$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $l = \frac{\epsilon}{x}$.
તટસ્થ બિંદુને $7^{\text{th}}$ વાયરથી $9^{\text{th}}$ વાયર પર ખસેડવા માટે,સંતુલન લંબાઈ $l$ વધારવી જરૂરી છે.
$l = \frac{\epsilon}{x}$ હોવાથી,$l$ વધારવા માટે પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $x$ ઘટાડવો પડે.
$x = \frac{E R}{(R + R') L}$ સમીકરણ જોતા,$x$ ઘટાડવા માટે આપણે છેદમાં રહેલ પદ $(R + R')$ વધારવું પડે.
તેથી,આપણે મુખ્ય પરિપથમાં અવરોધ $R'$ વધારવો જોઈએ.

(B) પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ એ $k = V/L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $V$ એ વાયર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $L$ એ વાયરની કુલ લંબાઈ છે।
જ્યારે ડ્રાઇવિંગ સોર્સને અચળ રાખીને પોટેન્શિયોમીટર વાયરની લંબાઈ વધારવામાં આવે છે, ત્યારે વાયરનો કુલ અવરોધ વધે છે।
ડ્રાઇવિંગ વોલ્ટેજ $V$ અચળ રહેતો હોવાથી, પ્રવાહ $I = V/R_{total}$ ઘટે છે।
પરિણામે, પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = I \cdot \rho$ (જ્યાં $\rho$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ છે) ઘટે છે।
$E$ જેટલા ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ધરાવતા કોષ માટે, બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l$ એ $E = k \cdot l$ અથવા $l = E/k$ દ્વારા મળે છે।
અહીં $k$ ઘટતું હોવાથી, સમાન ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $E$ ને બેલેન્સ કરવા માટે બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l$ માં વધારો થશે।

(D) સંતુલન લંબાઈ $\ell_1$ એ કોષના $EMF$ $E$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી $E = k\ell_1$.
જ્યારે કોષને $R = 2 \ \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = k\ell_2$ મળે છે,જ્યાં $\ell_2$ એ નવી સંતુલન લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $\ell_1 = 240 \ cm$ અને $\ell_2 = \frac{\ell_1}{2} = 120 \ cm$.
ટર્મિનલ વોલ્ટેજનું સૂત્ર $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right)$ છે,જ્યાં $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
સંબંધોને મૂકતા,$k\ell_2 = k\ell_1 \left( \frac{R}{R+r} \right)$ મળે.
આથી $\frac{\ell_2}{\ell_1} = \frac{R}{R+r}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{120}{240} = \frac{2}{2+r}$.
$\frac{1}{2} = \frac{2}{2+r} \implies 2+r = 4 \implies r = 2 \ \Omega$.

(C) પોટેન્શિયોમીટરના પ્રયોગમાં,સંતુલન લંબાઈ $\ell$ એ કોષના e.m.f. ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto \ell$ અથવા $E = k\ell$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કોષો સમાન ધ્રુવીયતા સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે અસરકારક e.m.f. $E_1 + E_2 = k\ell_1$ થાય,જ્યાં $\ell_1 = 64 \ cm$.
જ્યારે $E_2$ ની ધ્રુવીયતા ઉલટાવવામાં આવે,ત્યારે અસરકારક e.m.f. $E_1 - E_2 = k\ell_2$ થાય,જ્યાં $\ell_2 = 32 \ cm$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{64}{32} = 2$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા: $\frac{(E_1 + E_2) + (E_1 - E_2)}{(E_1 + E_2) - (E_1 - E_2)} = \frac{2 + 1}{2 - 1}$.
આથી $\frac{2E_1}{2E_2} = \frac{3}{1}$,એટલે કે $\frac{E_1}{E_2} = 3: 1$.

(D) પોટેન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ કરીને કોષના આંતરિક અવરોધ $r$ માટેનું સૂત્ર $r = R \left( \frac{\ell_1}{\ell_2} - 1 \right)$ છે,જ્યાં $\ell_1$ એ ઓપન સર્કિટ માટેની બેલેન્સિંગ લંબાઈ છે અને $\ell_2$ એ $R$ અવરોધ સાથે શન્ટ કરેલી સ્થિતિમાં બેલેન્સિંગ લંબાઈ છે.
આપેલ છે:
કિસ્સો $1$: $R_1 = 3 \ \Omega$,$\ell_2 = 1 \ m$
કિસ્સો $2$: $R_2 = 6 \ \Omega$,$\ell_2' = 1.5 \ m$
કોષનું $EMF$ અચળ હોવાથી,બંને કિસ્સામાં બેલેન્સિંગ લંબાઈ $\ell_1$ સમાન રહેશે.
$r = 3 \left( \frac{\ell_1}{1} - 1 \right) = 6 \left( \frac{\ell_1}{1.5} - 1 \right)$
$3 \ell_1 - 3 = 4 \ell_1 - 6$
$\ell_1 = 3 \ m$
$\ell_1$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$r = 3 \left( \frac{3}{1} - 1 \right) = 3 \times 2 = 6 \ \Omega$.

(D) પોટેન્શિયોમીટરની સંવેદનશીલતા એટલે તેના દ્વારા માપી શકાતો લઘુત્તમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત.
સંવેદનશીલતા એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $(k = V/L)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
નાનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ એટલે ઉચ્ચ સંવેદનશીલતા.
તેથી, સંવેદનશીલતા ઘટાડવા માટે, આપણે તાર પરના પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટમાં વધારો કરવો જોઈએ.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = I \cdot R/L$ હોવાથી, તારમાંથી વહેતા પ્રવાહ $(I)$ માં વધારો કરવાથી પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ વધે છે, જેનાથી સંવેદનશીલતા ઘટે છે.

(D) ધારો કે તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ છે. પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V}{L_{total}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,સંતુલન લંબાઈ $l_1 = \frac{L}{5}$ છે. e.m.f. $E = k_1 l_1 = \frac{V}{L} \cdot \frac{L}{5} = \frac{V}{5}$ થાય.
જ્યારે તારની લંબાઈમાં $\frac{L}{2}$ નો વધારો કરવામાં આવે,ત્યારે નવી કુલ લંબાઈ $L' = L + \frac{L}{2} = \frac{3L}{2}$ થાય છે.
નવો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k_2 = \frac{V}{L'} = \frac{V}{3L/2} = \frac{2V}{3L}$ થાય.
ધારો કે નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2$ છે. તેથી $E = k_2 l_2$.
$E$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{V}{5} = \frac{2V}{3L} \cdot l_2$.
$l_2$ માટે ઉકેલતા: $l_2 = \frac{V}{5} \cdot \frac{3L}{2V} = \frac{3L}{10}$.

(D) પોટેન્શિયોમીટરમાં,સંતુલન લંબાઈ $\ell$ એ કોષના ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ઓપન સર્કિટ માટે,સંતુલન લંબાઈ $\ell_{1}$ એ કોષના e.m.f. $E$ ને અનુરૂપ છે: $E \propto \ell_{1}$.
જ્યારે કોષને બાહ્ય અવરોધ $R$ સાથે શંટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V = E - Ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I = \frac{E}{R+r}$.
તેથી,$V = E - \left(\frac{E}{R+r}\right)r = E\left(1 - \frac{r}{R+r}\right) = E\left(\frac{R}{R+r}\right)$.
નવી સંતુલન લંબાઈ $\ell_{2}$ એ ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ ને અનુરૂપ છે: $V \propto \ell_{2}$.
આપેલ છે કે $\ell_{2} = \frac{\ell_{1}}{2}$,તેથી $\frac{V}{E} = \frac{\ell_{2}}{\ell_{1}} = \frac{1}{2}$.
$V/E$ માટેના સમીકરણને મૂકતા: $\frac{R}{R+r} = \frac{1}{2}$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $2R = R + r$,જે આપણને $r = R$ આપે છે.

(D) કોષનો આંતરિક અવરોધ $(r)$ શોધવા માટેના પોટેન્શિયોમીટરના પ્રયોગમાં,કોષ $E_1$ ને અવરોધ પેટી $R$ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે.
જ્યારે પરિપથ ખુલ્લો હોય,ત્યારે સંતુલન લંબાઈ $l_1$ એ $EMF$ $(E_1)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E_1 = k l_1$.
જ્યારે પરિપથ બંધ હોય (અવરોધ $R$ જોડાયેલ હોય),ત્યારે સંતુલન લંબાઈ $l_2$ એ ટર્મિનલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(V)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $V = k l_2$.
આંતરિક અવરોધનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $r = R \left( \frac{E_1}{V} - 1 \right)$.
અહીં,$E_1$ એ કોષનું $EMF$ છે,$V$ એ ટર્મિનલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે,અને $R$ એ બાહ્ય અવરોધ છે.

(D) ધારો કે $k$ એ પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કોષો સમાન ધ્રુવીયતા સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ e.m.f. $(E_{1} + E_{2})$ થાય છે. સંતુલન સ્થિતિ $(E_{1} + E_{2}) = k \ell_{1}$ છે,જ્યાં $\ell_{1} = 64 \ cm$.
જ્યારે $E_{2}$ ની ધ્રુવીયતા ઉલટાવવામાં આવે,ત્યારે કુલ e.m.f. $(E_{1} - E_{2})$ થાય છે. સંતુલન સ્થિતિ $(E_{1} - E_{2}) = k \ell_{2}$ છે,જ્યાં $\ell_{2} = 32 \ cm$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{E_{1} + E_{2}}{E_{1} - E_{2}} = \frac{64}{32} = 2$.
$E_{1} + E_{2} = 2(E_{1} - E_{2})$.
$E_{1} + E_{2} = 2E_{1} - 2E_{2}$.
$3E_{2} = E_{1}$.
તેથી,$\frac{E_{1}}{E_{2}} = 3: 1$.

(B) કુલ અવરોધ $R_{total} = 495 \, \Omega + 5 \, \Omega = 500 \, \Omega$ છે।
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{4 \, V}{500 \, \Omega} = 8 \times 10^{-3} \, A$ મળે।
પોટેન્શિયોમીટર વાયર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{wire} = I \times R_{wire} = 8 \times 10^{-3} \, A \times 5 \, \Omega = 40 \times 10^{-3} \, V$ થાય।
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો છે: $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{40 \times 10^{-3} \, V}{4 \, m} = 10 \times 10^{-3} \, V/m = 0.01 \, V/m$.

(D) પોટેન્શિયોમીટરના તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ એ $k = V/L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $L$ એ તારની કુલ લંબાઈ છે.
જ્યારે તારની લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે $(L' = 2L)$,ત્યારે પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k' = V/(2L) = k/2$ થાય છે.
અજ્ઞાત e.m.f. $E$ માટે સંતુલન શરત $E = k \cdot l$ છે,જ્યાં $l$ એ સંતુલન લંબાઈ છે.
કારણ કે $E$ અચળ રહે છે,તેથી $k \cdot l = k' \cdot l'$.
$k' = k/2$ મૂકતા,આપણને $k \cdot l = (k/2) \cdot l'$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $l' = 2l$ થાય છે.
પ્રારંભિક સંતુલન લંબાઈ $l = 1.5 \,m$ આપેલ હોવાથી,નવી સંતુલન લંબાઈ $l' = 2 \times 1.5 \,m = 3 \,m$ થશે.

(C) અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = E_{1}$ છે. નલ પોઈન્ટની લંબાઈ $L_{AB} = 0.9 \ m$ છે.
$V \propto L$ હોવાથી,$E_{1} = k \times 0.9$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
$A$ અને $C$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AC} = E_{1} - E_{2}$ છે. નલ પોઈન્ટની લંબાઈ $L_{AC} = 0.3 \ m$ છે.
તેથી,$E_{1} - E_{2} = k \times 0.3$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{E_{1}}{E_{1} - E_{2}} = \frac{0.9}{0.3} = 3$.
$E_{1} = 3(E_{1} - E_{2})$
$E_{1} = 3E_{1} - 3E_{2}$
$3E_{2} = 2E_{1}$
$\frac{E_{2}}{E_{1}} = \frac{2}{3}$.

(C) પોટેન્શિયોમીટર તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ એ કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અને તારની કુલ લંબાઈ $L$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$k = \frac{V}{L} = \frac{3 \,V}{4 \,m} = 0.75 \,V/m$.
આપણને આપેલ છે કે કોષ $l = 100 \,cm = 1 \,m$ લંબાઈ પર સંતુલિત થાય છે।
કોષનું e.m.f. $E$ એ સંતુલન લંબાઈ $l$ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના ઘટાડા જેટલું હોય છે, જે $E = k \times l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે $E = 0.75 \,V/m \times 1 \,m = 0.75 \,V$.

(D) સીધું વાંચન આપતું સાધન (direct reading instrument) માપવામાં આવતી રાશિનું મૂલ્ય કોઈપણ ગણતરી કે સંતુલન પ્રક્રિયા વગર સીધું જ સ્કેલ અથવા ડિસ્પ્લે પર દર્શાવે છે.
$A$,$B$,અને $C$ એ સીધું વાંચન આપતા સાધનો છે કારણ કે તે પરિણામ તરત જ દર્શાવે છે.
પોટેન્શિયોમીટર એ નલ-ટાઈપ (null-type) સાધન છે. તેમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત અથવા $EMF$ માપવા માટે સંતુલન પ્રક્રિયા (નલ પોઈન્ટ શોધવો) જરૂરી છે,અને અંતિમ મૂલ્ય સંતુલન લંબાઈના આધારે ગણવામાં આવે છે.
તેથી,પોટેન્શિયોમીટર એ સીધું વાંચન આપતું સાધન નથી.
સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{wire} + R_{series} + r_{internal} = 3 \ \Omega + 8 \ \Omega + 1 \ \Omega = 12 \ \Omega$ છે.
પોટેન્શિયોમીટરના તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{4 \ V}{12 \ \Omega} = \frac{1}{3} \ A$ છે.
પોટેન્શિયોમીટરના તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{wire} = I \times R_{wire} = \frac{1}{3} \ A \times 3 \ \Omega = 1 \ V$ છે.
તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $K = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{1 \ V}{100 \ cm} = 0.01 \ V/cm$ છે.
$50 \ cm$ લંબાઈ પર સંતુલિત થતા કોષનું e.m.f. $E = K \times \ell = 0.01 \ V/cm \times 50 \ cm = 0.50 \ V$ થાય.

(D) પોટેન્શિયોમીટર સર્કિટમાં,જ્યારે બે કોષો એકબીજાને મદદરૂપ થાય તે રીતે જોડાયેલા હોય,ત્યારે સંતુલન લંબાઈ $\ell_{1}$ એ $(E_{1} + E_{2})$ ના પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,$E_{1} + E_{2} = k \ell_{1}$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે તેઓ એકબીજાની વિરુદ્ધમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે સંતુલન લંબાઈ $\ell_{2}$ એ $(E_{1} - E_{2})$ ના પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,$E_{1} - E_{2} = k \ell_{2}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{E_{1} + E_{2}}{E_{1} - E_{2}} = \frac{\ell_{1}}{\ell_{2}}$.
આપેલ કિંમતો $\ell_{1} = 490 \ cm$ અને $\ell_{2} = 90 \ cm$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{E_{1} + E_{2}}{E_{1} - E_{2}} = \frac{490}{90} = \frac{49}{9}$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા:
$\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{49 + 9}{49 - 9} = \frac{58}{40} = 1.45$.

(D) પોટેન્શિયોમીટર વાયર $AB$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{AB} = E \cdot \frac{R_{AB}}{R + R_{AB} + r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ ડ્રાઈવર સેલનું $EMF$ છે,$R$ એ બાહ્ય અવરોધ છે,$R_{AB}$ એ વાયરનો અવરોધ છે અને $r$ એ ડ્રાઈવર સેલનો આંતરિક અવરોધ છે.
$(i)$ જ્યારે વિદ્યાર્થી $X$,$R$ વધારે છે,ત્યારે પ્રાથમિક પરિપથનો કુલ અવરોધ વધે છે,તેથી પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + R_{AB} + r}$ ઘટે છે. પરિણામે,પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V_{AB}}{L}$ ઘટે છે. સંતુલન સ્થિતિ $E_1 = k \cdot l$ હોવાથી,જ્યાં $l$ એ સંતુલન લંબાઈ છે,જો $k$ ઘટે,તો સમાન $E_1$ જાળવી રાખવા માટે $l$ વધવું જોઈએ. આમ,નલ પોઈન્ટ $B$ તરફ ખસે છે.
(ii) જ્યારે વિદ્યાર્થી $Y$,$S$ ઘટાડે છે,ત્યારે સેલ $E_1$ પરનો ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V = E_1 - I_1 r_1$ છે,જ્યાં $I_1 = \frac{E_1}{S + r_1}$. $S$ ઘટાડવાથી સેલ $E_1$ માંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I_1$ વધે છે,જે આંતરિક અવરોધ $r_1$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $I_1 r_1$ વધારે છે. તેથી,સેલ $E_1$ પરનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ ઘટે છે. $V = k \cdot l$ હોવાથી,$V$ માં ઘટાડો થવા માટે નાની સંતુલન લંબાઈ $l$ ની જરૂર પડે છે. આમ,નલ પોઈન્ટ $A$ તરફ ખસે છે.