Potentiometer Questions in Gujarati

(B) ધારો કે પોટેન્શિયોમીટરના તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ છે.
શરૂઆતમાં પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k_1 = \frac{V}{\ell}$ છે.
$E$ emf માટે સંતુલન લંબાઈ $\ell_1 = \frac{\ell}{3}$ છે,તેથી $E = k_1 \ell_1 = \frac{V}{\ell} \cdot \frac{\ell}{3} = \frac{V}{3}$.
જ્યારે તારની લંબાઈમાં $\ell/2$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $\ell' = \ell + \frac{\ell}{2} = \frac{3\ell}{2}$ થાય છે.
નવો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k_2 = \frac{V}{\ell'} = \frac{V}{3\ell/2} = \frac{2V}{3\ell}$ છે.
તે જ કોષ $E$ માટે,નવી સંતુલન લંબાઈ $\ell_2$ માટે $E = k_2 \ell_2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V}{3} = \left( \frac{2V}{3\ell} \right) \ell_2$.
$\ell_2$ માટે ઉકેલતા: $\ell_2 = \frac{V}{3} \cdot \frac{3\ell}{2V} = \frac{\ell}{2}$.

(A) પ્રારંભિક ગોઠવણીમાં,કોષો $E_1$ અને $E_2$ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે જેથી તેમનું અસરકારક $EMF$ $E_{eff} = E_1 + E_2 = 5 \, V + 7 \, V = 12 \, V$ થાય.
આપેલ છે કે સંતુલન લંબાઈ $l_1 = 6 \, m$ છે,તેથી આપણી પાસે $E_{eff} = k \cdot l_1$ છે,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
તેથી,$12 = k \cdot 6 \implies k = 2 \, V/m$.
જ્યારે $E_2$ ના ટર્મિનલ્સ ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક $EMF$ $E'_{eff} = |E_1 - E_2| = |5 \, V - 7 \, V| = 2 \, V$ થાય છે.
ધારો કે નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2$ છે. તો $E'_{eff} = k \cdot l_2$.
$2 = 2 \cdot l_2 \implies l_2 = 1 \, m$.

(D) ધારો કે $x$ એ પોટેન્શિયોમીટર વાયર $PQ$ નો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કી $K_3$ ને $2$ અને $1$ ની વચ્ચે લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે $R_1$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સંતુલિત થાય છે:
$V_1 = I R_1 = x l_1$
જ્યારે કી $K_3$ ને $3$ અને $1$ ની વચ્ચે લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે $R_1$ અને $R_2$ ના શ્રેણી જોડાણના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સંતુલિત થાય છે:
$V_2 = I (R_1 + R_2) = x l_2$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{I R_1}{I (R_1 + R_2)} = \frac{x l_1}{x l_2}$
$\frac{R_1}{R_1 + R_2} = \frac{l_1}{l_2}$
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા:
$\frac{R_1 + R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1}$
$1 + \frac{R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1}$
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1} - 1 = \frac{l_2 - l_1}{l_1}$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{l_2 - l_1}$ મળે છે.

(D) પોટેન્શિયોમીટરના પ્રયોગમાં,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ સંતુલન લંબાઈ $l$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $V = kl$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
આપેલ છે કે,પ્રમાણિત કોષ માટે $E = 1.1 \text{ V}$ એ $l_1 = 440 \text{ cm}$ પર સંતુલિત થાય છે.
તેથી,$1.1 = k \times 440 \implies k = \frac{1.1}{440} \text{ V/cm}$.
અવરોધ પરનો સાચો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{actual}$,જે $l_2 = 220 \text{ cm}$ પર સંતુલિત થાય છે,તે:
$V_{actual} = k \times l_2 = \left( \frac{1.1}{440} \right) \times 220 = \frac{1.1}{2} = 0.55 \text{ V}$.
વોલ્ટમીટરનું અવલોકન $V_{reading} = 0.5 \text{ V}$ આપેલ છે.
અવલોકનમાં ત્રુટિ $\text{Error} = V_{reading} - V_{actual}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\text{Error} = 0.5 - 0.55 = -0.05 \text{ V}$.

(C) કોષના $e.m.f.$ ને માપવા માટે વોલ્ટમીટર કરતા પોટેન્શિયોમીટરને નીચેના કારણોસર પસંદ કરવામાં આવે છે:
$(i)$ જ્યારે પોટેન્શિયોમીટર સંતુલિત સ્થિતિમાં હોય છે,ત્યારે કોષમાંથી કોઈ પ્રવાહ ખેંચાતો નથી. આમ,માપવામાં આવેલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ કોષના વાસ્તવિક $e.m.f.$ જેટલો જ હોય છે.
$(ii)$ પોટેન્શિયોમીટરના તારને ખૂબ લાંબો બનાવી શકાય છે,જે પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $(V/L)$ વધારે છે,જેનાથી પ્રમાણભૂત વોલ્ટમીટરની તુલનામાં માપનમાં ઘણી વધારે ચોકસાઈ મળે છે.
તેથી,વિધાનો $(i)$ અને $(ii)$ સાચા છે.

(C) જ્યારે કોષ ઓપન સર્કિટમાં હોય,ત્યારે સંતુલન લંબાઈ $\ell$ એ કોષના ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(E)$ ને અનુરૂપ છે.
$E = K\ell$,જ્યાં $K$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કોષને બાહ્ય અવરોધ $R$ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ માપવામાં આવે છે.
$V = K\ell'$,જ્યાં $\ell'$ એ નવી સંતુલન લંબાઈ છે.
આંતરિક અવરોધ $r$ નું સૂત્ર: $r = \left(\frac{E - V}{V}\right)R$ છે.
આપેલ છે કે $R = r$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$r = \left(\frac{E - V}{V}\right)r$
$1 = \frac{E - V}{V}$
$V = E - V$
$2V = E$
$E = K\ell$ અને $V = K\ell'$ મૂકતા:
$2(K\ell') = K\ell$
$\ell' = \ell/2$.

(C) પોટેન્શિયોમીટરના તાર $AB$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R_{AB} + r} = \frac{\varepsilon}{12r + r} = \frac{\varepsilon}{13r}$ છે.
લંબાઈ $AJ$ (જ્યાં $AJ = x$) પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{AJ} = I \times R_{AJ}$ છે.
તારનો અવરોધ તેની લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,$R_{AJ} = \frac{x}{L} \times 12r$ થાય.
તેથી,$V_{AJ} = \left(\frac{\varepsilon}{13r}\right) \times \left(\frac{x}{L} \times 12r\right) = \frac{12\varepsilon x}{13L}$ મળે.
ગેલ્વેનોમીટરમાં શૂન્ય આવર્તન માટે,$AJ$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ કોષ $C$ ના $emf$ $(\varepsilon/2)$ જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{12\varepsilon x}{13L} = \frac{\varepsilon}{2}$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{12x}{13L} = \frac{1}{2}$
$24x = 13L$
$x = \frac{13}{24}L$.

(C) પ્રાથમિક પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{4}{5 + R}$ છે.
આખા પોટેન્શિયોમીટરના તાર $AB$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = i \times 5 = \frac{20}{5 + R}$ છે.
તાર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V_{AB}}{L} = \frac{20}{5 + R} \times \frac{1}{1} = \frac{20}{5 + R} \, V/m$ છે.
$10\, cm$ $(0.1\, m)$ લંબાઈ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AP} = k \times 0.1 = \frac{20}{5 + R} \times 0.1 = \frac{2}{5 + R}$ છે.
આપેલ છે કે $V_{AP} = 5\, mV = 5 \times 10^{-3} \, V$,તેથી:
$\frac{2}{5 + R} = 5 \times 10^{-3}$
$5 + R = \frac{2}{5 \times 10^{-3}} = \frac{2000}{5} = 400$
$R = 400 - 5 = 395\, \Omega$.

(C) શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કોષોનું કુલ $EMF$ $E_{eq} = 1.5\, V + 1.5\, V = 3.0\, V$ છે.
બે કોષોનો કુલ આંતરિક અવરોધ $r_{int} = 0.5\, \Omega + 0.5\, \Omega = 1.0\, \Omega$ છે.
સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{ext} + r_{int} + R_{wire} = 1.0\, \Omega + 1.0\, \Omega + (400\, cm \times 0.01\, \Omega/cm) = 2.0\, \Omega + 4.0\, \Omega = 6.0\, \Omega$ છે.
સર્કિટમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{E_{eq}}{R_{total}} = \frac{3.0\, V}{6.0\, \Omega} = 0.5\, A$ છે.
વોલ્ટમીટર તારના $50\, cm$ લંબાઈના ભાગ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત માપે છે.
આ $50\, cm$ ના ભાગનો અવરોધ $R_{50} = 50\, cm \times 0.01\, \Omega/cm = 0.5\, \Omega$ છે.
તેથી, વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ $V = i \times R_{50} = 0.5\, A \times 0.5\, \Omega = 0.25\, V$ થશે.

(A) પોટેન્શિયોમીટર વાયર $AC$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{2}{10 + R}$
આખા પોટેન્શિયોમીટર વાયર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AC}$ છે:
$V_{AC} = I \times R_{wire} = \left( \frac{2}{10 + R} \right) \times 10$
$L = 100 \, cm$ લંબાઈના વાયર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ છે:
$k = \frac{V_{AC}}{L} = \left( \frac{2}{10 + R} \right) \times \frac{10}{100} = \frac{2}{10(10 + R)}$
$E' = 10 \, mV = 10 \times 10^{-3} \, V$ ના $emf$ સ્ત્રોતને $l = 40 \, cm$ લંબાઈ સામે સંતુલિત કરવામાં આવે છે. સંતુલન સ્થિતિ:
$E' = k \times l$
$10 \times 10^{-3} = \left( \frac{2}{10(10 + R)} \right) \times 40$
$10^{-2} = \frac{8}{10 + R}$
$10 + R = \frac{8}{10^{-2}} = 800$
$R = 800 - 10 = 790 \, \Omega$.

(B) ધારો કે $B$ આગળનું સ્થિતિમાન $V_B = 0\,V$ છે. $6\,V$ ની બેટરી $AB$ સાથે જોડાયેલી હોવાથી,$A$ આગળનું સ્થિતિમાન $V_A = 6\,V$ થશે.
તાર $AB$ પર $A$ થી $x$ (સેમીમાં) અંતરે આવેલા કોઈપણ બિંદુ આગળનું સ્થિતિમાન $V(x) = V_A - (V_A - V_B) \cdot \frac{x}{L} = 6 - 6 \cdot \frac{x}{100} = 6(1 - 0.01x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $C$ આગળનું સ્થિતિમાન $4\,V$ ની બેટરી દ્વારા નક્કી થાય છે. $4\,V$ ની બેટરી અને $1\,\Omega$ ના અવરોધવાળી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી (કારણ કે $C$ આગળ તે ઓપન સર્કિટ છે),તેથી $C$ આગળનું સ્થિતિમાન $A$ ની સાપેક્ષમાં $4\,V$ ની બેટરીના ધન ટર્મિનલના સ્થિતિમાન જેટલું જ રહે છે.
ચોક્કસ રીતે,$V_C = V_A - 4\,V = 6\,V - 4\,V = 2\,V$.
આપણે $A$ થી $x$ અંતરે એવું બિંદુ $D$ શોધવા માંગીએ છીએ કે જ્યાં $V(D) = V_C = 2\,V$ થાય.
$6(1 - 0.01x) = 2$ લેતા,આપણને $1 - 0.01x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ મળે છે.
$0.01x = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
$x = \frac{2}{3} \cdot 100 = 66.67\,cm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$x \approx 67\,cm$ મળે છે.

(B) પોટેન્શિયોમીટરમાં,કોષનું $emf$ $(E)$ એ તારની સંતુલન લંબાઈ $(l)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto l$.
આપેલ છે:
$E_1 = 1.25\,V$
$l_1 = 35.0\,cm$
$l_2 = 63.0\,cm$
સંબંધ $\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$E_2 = E_1 \times \frac{l_2}{l_1}$
$E_2 = 1.25 \times \frac{63.0}{35.0}$
$E_2 = 1.25 \times 1.8$
$E_2 = 2.25\,V$
તેથી,બીજા કોષનું $emf$ $2.25\,V$ છે.

(A) પ્રાથમિક સર્કિટમાં $E = 5 \, V$ ની બેટરી અને $r = 0.5 \, \Omega$ નો આંતરિક અવરોધ,પોટેન્શિયોમીટર વાયર $AB$ (જેનો અવરોધ $R = 4.5 \, \Omega$ છે) સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
પ્રાથમિક સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + r = 4.5 \, \Omega + 0.5 \, \Omega = 5.0 \, \Omega$ છે.
પોટેન્શિયોમીટર વાયર $AB$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{5 \, V}{5 \, \Omega} = 1 \, A$ છે.
વાયર $AB$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = I \times R = 1 \, A \times 4.5 \, \Omega = 4.5 \, V$ છે.
વાયર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V_{AB}}{L_{AB}} = \frac{4.5 \, V}{3 \, m} = 1.5 \, V/m$ છે.
ગેલ્વેનોમીટરમાં શૂન્ય વિચલન માટે,લંબાઈ $AC$ (ધારો કે $\ell$) વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત ગૌણ કોષના $EMF$ $E_1 = 3 \, V$ જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$V_{AC} = k \times \ell = 3 \, V$.
$1.5 \, V/m \times \ell = 3 \, V$.
$\ell = \frac{3}{1.5} = 2 \, m$.

(B) $5 \, \Omega$ અવરોધ ધરાવતા તારમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{E}{r + R}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે, જ્યાં $E = 3 \, V$ એ બેટરીનું $emf$ છે અને $r = 1 \, \Omega$ તેનો આંતરિક અવરોધ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{3}{1 + 5} = \frac{3}{6} = 0.5 \, A$.
તારના સમગ્ર લંબાઈ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{wire} = I \times R = 0.5 \times 5 = 2.5 \, V$ થાય.
તારની લંબાઈ $L = 1 \, m$ છે.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો છે: $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{2.5 \, V}{1 \, m} = 2.5 \, V/m$.

(B) ધારો કે વધારાનો અવરોધ $R$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + R_{wire} = R + 3\, \Omega$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{2}{R + 3}$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાન પ્રચલન $\phi = 1\, mV/cm = 10^{-3}\, V/cm$ આપેલ છે. તારની લંબાઈ $100\, cm$ હોવાથી,તાર પરનો કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{wire} = \phi \times L = 10^{-3}\, V/cm \times 100\, cm = 0.1\, V$ થાય.
વળી,$V_{wire} = I \times R_{wire} = \left( \frac{2}{R + 3} \right) \times 3$ થાય.
$V_{wire}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$0.1 = \frac{6}{R + 3}$.
$R + 3 = \frac{6}{0.1} = 60$.
$R = 60 - 3 = 57\, \Omega$.

(B) પોટેન્શિયોમીટરના તાર $AB$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R_{wire} + r} = \frac{\varepsilon}{9r + r} = \frac{\varepsilon}{10r}$ છે.
તાર $AB$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = I \times R_{wire} = \frac{\varepsilon}{10r} \times 9r = \frac{9\varepsilon}{10}$ છે.
તાર $AB$ પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $x = \frac{V_{AB}}{L} = \frac{9\varepsilon}{10L}$ છે.
ગેલ્વેનોમીટર $G$ માં કોઈ વિચલન ન થાય તે માટે,લંબાઈ $AJ$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત કોષ $C$ ના $emf$ જેટલો હોવો જોઈએ. ધારો કે લંબાઈ $AJ = \ell$ છે.
તેથી,$x \times \ell = \frac{\varepsilon}{2}$.
$x$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{9\varepsilon}{10L} \times \ell = \frac{\varepsilon}{2}$ મળે છે.
$\ell$ માટે ઉકેલતા,$\ell = \frac{\varepsilon}{2} \times \frac{10L}{9\varepsilon} = \frac{5L}{9}$ મળે છે.

(A) પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $x$ એ $0.0025\,V/cm$ તરીકે આપેલ છે.
આને $SI$ એકમો $(V/m)$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$x = 0.0025 \times 100\,V/m = 0.25\,V/m$.
વાયરની લંબાઈ $\ell$ પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ એ $V = x\ell$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રમાણિત કોષનો વોલ્ટેજ $V = 1.025\,V$ આપેલ છે,તેથી આપણે નલ પોઈન્ટનું અંતર $\ell$ શોધવાનું છે:
$\ell = \frac{V}{x} = \frac{1.025}{0.25}$.
$\ell = 4.1\,m$.

(D) ધારો કે પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $x$ છે.
જ્યારે કળ $K_1$ બંધ હોય,ત્યારે અવરોધ $R$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સંતુલિત થાય છે. આ અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{2R}$ છે,તેથી વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = I \cdot R = \frac{E}{2R} \cdot R = \frac{E}{2}$ થાય.
આથી,$\frac{E}{2} = x \cdot 100 \implies E = 200x$.
જ્યારે કળ $K_2$ બંધ હોય,ત્યારે બે અવરોધો $R$ અને $R$ ના શ્રેણી જોડાણના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સંતુલિત થાય છે. આ જોડાણમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I' = \frac{E}{R+R} = \frac{E}{2R}$ છે.
જોડાણના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = I' \cdot (R+R) = \frac{E}{2R} \cdot 2R = E$ થાય.
આથી,$E = x \cdot \ell'$,જ્યાં $\ell'$ એ નવી સંતુલન લંબાઈ છે.
$E = 200x$ મૂકતા,આપણને $200x = x \cdot \ell'$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\ell' = 200 \, cm$.

(C) પોટેન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ કરીને કોષના આંતરિક અવરોધ $r$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$r = R \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right)$
જ્યાં $l_1$ એ ઓપન સર્કિટમાં સંતુલન લંબાઈ છે અને $l_2$ એ સંતુલન લંબાઈ છે જ્યારે અવરોધ $R$ જોડાયેલ હોય.
આપેલ છે:
$l_1 = 3.4 \, m$
$l_2 = 1.7 \, m$
$R = 10 \, \Omega$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$r = 10 \left( \frac{3.4}{1.7} - 1 \right)$
$r = 10 (2 - 1)$
$r = 10 \times 1 = 10 \, \Omega$
તેથી,કોષનો આંતરિક અવરોધ $10 \, \Omega$ છે.

(A) ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB}$ છે અને $B$ અને $C$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{BC}$ છે. ધારો કે પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ છે.
જ્યારે $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સંતુલન લંબાઈ $l_1 = 203.6 \, cm$ છે. તેથી,$V_{AB} = k \cdot 203.6 \, cm$.
જ્યારે છેડાને $C$ પર ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} - V_{BC} = k \cdot 24.6 \, cm$ થાય છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$V_{BC} = k \cdot (203.6 - 24.6) = k \cdot 179.0 \, cm$.
આમ,$B$ અને $C$ માટે સંતુલન બિંદુ $179.0 \, cm$ પર મળશે.

(B) પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $x = 0.1 \, mV/cm = 0.1 \times 10^{-3} \, V / (10^{-2} \, m) = 0.01 \, V/m$ આપેલ છે.
$10 \, m$ વાયર પરનો કુલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V_{wire} = x \times L = 0.01 \, V/m \times 10 \, m = 0.1 \, V$ છે.
પોટેન્શિયોમીટર વાયરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = V_{wire} / R_{wire} = 0.1 \, V / 40 \, \Omega = 0.0025 \, A = 1/400 \, A$ છે.
પરિપથમાં $2 \, V$ નો સેલ,અવરોધ પેટી $R$ અને વાયરનો અવરોધ $40 \, \Omega$ શ્રેણીમાં છે.
આખા પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ: $I = E / (R + R_{wire}) \implies 1/400 = 2 / (R + 40)$.
$R + 40 = 800 \implies R = 760 \, \Omega$.

(A) પોટેન્શિયોમીટરના પ્રયોગમાં,સંતુલન લંબાઈ $l_1$ એ કોષના $EMF$ ને અનુરૂપ છે,$E = k l_1$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે બાહ્ય અવરોધ $R$ સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right) = k l_2$ થાય છે.
આમ,$\frac{E}{V} = \frac{l_1}{l_2} = 1 + \frac{r}{R}$.
અહીં $l_1 = 560 \; cm$ અને લંબાઈમાં ફેરફાર $60 \; cm$ હોવાથી,નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2 = 560 - 60 = 500 \; cm$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{560}{500} = 1 + \frac{r}{10}$.
$1.12 = 1 + \frac{r}{10} \implies 0.12 = \frac{r}{10} \implies r = 1.2 \; \Omega$.
આંતરિક અવરોધ $r = \frac{N}{10} \; \Omega$ હોવાથી,$\frac{N}{10} = 1.2$,તેથી $N = 12$.

(D) ધારો કે પોટેન્શિયોમીટરના તારની કુલ લંબાઈ $L = 1200 \; cm$ છે.
તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = 60 \; mA = 0.06 \; A$ છે.
તારનો કુલ અવરોધ $R$ છે.
તારના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{wire} = I \times R = 0.06 \times R$ થાય.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $\lambda = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{0.06 \times R}{1200} = 0.00005 \times R \; V/cm$ થાય.
$5 \; V$ ના emf માટે તટસ્થ બિંદુ $\ell = 1000 \; cm$ પર મળે છે.
સંતુલન સ્થિતિ માટે,$E = \lambda \times \ell$.
$5 = (\frac{0.06 \times R}{1200}) \times 1000$.
$5 = \frac{0.06 \times R}{1.2} = 0.05 \times R$.
તેથી,$R = \frac{5}{0.05} = 100 \; \Omega$.

(N/A) જ્યારે સ્લાઇડિંગ કોન્ટેક્ટ $B$ પોટેન્શિયોમીટરની મધ્યમાં હોય,ત્યારે અવરોધ $R_{0}$ બે સમાન ભાગોમાં વહેંચાય છે,જે દરેક $R_{0}/2$ છે. અવરોધ $R$ એ પોટેન્શિયોમીટરના નીચેના અડધા ભાગ (બિંદુ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે) સાથે સમાંતર જોડાયેલ છે.
બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{1}$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{R_{1}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R_{0}/2} = \frac{1}{R} + \frac{2}{R_{0}} = \frac{R_{0} + 2R}{R \cdot R_{0}}$
$R_{1} = \frac{R \cdot R_{0}}{R_{0} + 2R}$
બિંદુ $A$ અને $C$ વચ્ચેનો કુલ અવરોધ એ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{1}$ અને પોટેન્શિયોમીટરના બાકીના ભાગ $(R_{0}/2)$ નો સરવાળો છે:
$R_{total} = R_{1} + \frac{R_{0}}{2}$
સ્ત્રોત $V$ માંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$ છે:
$I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{V}{R_{1} + R_{0}/2} = \frac{2V}{2R_{1} + R_{0}}$
અવરોધ $R$ ની આસપાસનો વોલ્ટેજ $V_{1}$ એ સમાંતર જોડાણ $R_{1}$ ની આસપાસના વોલ્ટેજ જેટલો જ છે:
$V_{1} = I \cdot R_{1} = \left( \frac{2V}{2R_{1} + R_{0}} \right) \cdot R_{1}$
$R_{1} = \frac{R \cdot R_{0}}{R_{0} + 2R}$ ને $V_{1}$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$V_{1} = \frac{2V \cdot \left( \frac{R \cdot R_{0}}{R_{0} + 2R} \right)}{2 \left( \frac{R \cdot R_{0}}{R_{0} + 2R} \right) + R_{0}} = \frac{2V \cdot R \cdot R_{0}}{2R \cdot R_{0} + R_{0}(R_{0} + 2R)} = \frac{2V \cdot R \cdot R_{0}}{2R \cdot R_{0} + R_{0}^{2} + 2R \cdot R_{0}} = \frac{2V \cdot R \cdot R_{0}}{R_{0}^{2} + 4R \cdot R_{0}}$
અંશ અને છેદને $R_{0}$ વડે ભાગતા:
$V_{1} = \frac{2VR}{R_{0} + 4R}$

(B) પ્રથમ કોષનું $emf$,$E_{1} = 1.25\; V$.
પોટેન્શિયોમીટરનું સંતુલન બિંદુ,$l_{1} = 35.0\; cm$.
કોષને $E_{2}$ $emf$ ધરાવતા બીજા કોષ દ્વારા બદલવામાં આવે છે.
પોટેન્શિયોમીટરનું નવું સંતુલન બિંદુ,$l_{2} = 63.0\; cm$.
પોટેન્શિયોમીટર માટે સંતુલન સ્થિતિ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{l_{1}}{l_{2}}$
$E_{2}$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$E_{2} = E_{1} \times \frac{l_{2}}{l_{1}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$E_{2} = 1.25 \times \frac{63.0}{35.0} = 1.25 \times 1.8 = 2.25\; V$.
તેથી,બીજા કોષનું $emf$ $2.25\; V$ છે.

(A-D) આપેલ પ્રમાણિત કોષનો અચળ $emf$ $E_1 = 1.02 \; V$ છે.
તાર પરનું તટસ્થ બિંદુ $l_1 = 67.3 \; cm$ છે.
જ્યારે અજ્ઞાત $emf$ $\varepsilon$ ધરાવતો કોષ પ્રમાણિત કોષને બદલે છે,ત્યારે તાર પરનું નવું તટસ્થ બિંદુ $l = 82.3 \; cm$ છે.
$emf$ અને તટસ્થ બિંદુ વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{E_1}{l_1} = \frac{\varepsilon}{l}$ છે.
તેથી,$\varepsilon = \frac{l}{l_1} \times E_1 = \frac{82.3}{67.3} \times 1.02 \approx 1.247 \; V$.
અજ્ઞાત $emf$ નું મૂલ્ય $1.247 \; V$ છે.
$(b)$ $600 \; k \Omega$ ના ઊંચા અવરોધનો ઉપયોગ કરવાનો હેતુ ગેલ્વેનોમીટરને વધુ પડતા પ્રવાહથી બચાવવાનો છે જ્યારે સંપર્ક બિંદુ તટસ્થ બિંદુથી દૂર હોય.
$(c)$ ના,તટસ્થ બિંદુ આ ઊંચા અવરોધથી પ્રભાવિત થતું નથી કારણ કે તટસ્થ બિંદુ પર ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ શૂન્ય હોય છે,તેથી ઊંચા અવરોધ પર કોઈ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો થતો નથી.
$(d)$ જો ડ્રાઈવર કોષનો $emf$ $1.0 \; V$ હોત તો આ પદ્ધતિ કામ ન કરત કારણ કે માપવાના કોષનો $emf$ ($1.02 \; V$ અથવા $1.247 \; V$) પોટેન્શિયોમીટરના તાર પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત કરતા વધારે હોત,જેના કારણે તટસ્થ બિંદુ શોધવું અશક્ય બનત.
$(e)$ આ પરિપથ ખૂબ જ નાના $emf$ નક્કી કરવા માટે સારી રીતે કામ કરશે નહીં કારણ કે તટસ્થ બિંદુ છેડા $A$ ની ખૂબ નજીક હશે,જેનાથી મોટી ટકાવારી ભૂલ આવશે. પરિપથમાં ફેરફાર કરવા માટે,પોટેન્શિયોમીટરના તાર $AB$ સાથે શ્રેણીમાં એક અવરોધ જોડવો જોઈએ જેથી $AB$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો માપવામાં આવતા $emf$ કરતા થોડો જ વધારે રહે.

(A) ધારો કે કોષનો આંતરિક અવરોધ $r$ છે.
ઓપન સર્કિટમાં કોષનું બેલેન્સ પોઈન્ટ $l_1 = 76.3 \; cm$ આપેલ છે.
જ્યારે કોષ સાથે સમાંતરમાં $R = 9.5 \; \Omega$ નો બાહ્ય અવરોધ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવું બેલેન્સ પોઈન્ટ $l_2 = 64.8 \; cm$ મળે છે.
પોટેન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ કરીને કોષના આંતરિક અવરોધ $r$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$r = \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right) R$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$r = \left( \frac{76.3 - 64.8}{64.8} \right) \times 9.5$
$r = \left( \frac{11.5}{64.8} \right) \times 9.5$
$r \approx 0.17747 \times 9.5 \approx 1.686 \; \Omega$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,કોષનો આંતરિક અવરોધ $1.68 \; \Omega$ મળે છે.

(N/A) પોટેન્શિયોમીટર એ એક એવું સાધન છે જેનો ઉપયોગ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત માપવા અથવા કોષોના વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ ની સરખામણી કરવા માટે થાય છે. તેનો ઉપયોગ કોષનો આંતરિક અવરોધ માપવા માટે પણ થાય છે.
સિદ્ધાંત:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,$\varepsilon$ $EMF$ અને $r$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બેટરીને $R$ અવરોધ પેટી અને $L$ લંબાઈ તથા એકમ લંબાઈ દીઠ $\rho$ અવરોધ ધરાવતા સમાન આડછેદવાળા તાર $AB$ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + L\rho + r$ છે.
તાર $AB$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R + L\rho + r}$ છે.
જો તારના ભાગ $AC$ ની લંબાઈ $l$ હોય,તો $AC$ ભાગનો અવરોધ $R_{AC} = \rho l$ થાય.
$AC$ ભાગ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V = I \cdot R_{AC} = I \rho l$
$I$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \left( \frac{\varepsilon \rho}{R + L\rho + r} \right) l$
આપેલ સેટઅપ માટે $\varepsilon, \rho, R, L,$ અને $r$ અચળ હોવાથી,આપણે $V = \phi l$ લખી શકીએ,જ્યાં $\phi = \frac{\varepsilon \rho}{R + L\rho + r}$ ને પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ (સ્થિતિમાન પ્રચલન) કહેવામાં આવે છે.
સિદ્ધાંતનું વિધાન: અચળ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા સમાન તારના કોઈપણ ભાગ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત તે ભાગની લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટનો એકમ $V \cdot m^{-1}$ છે અને તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]$ છે.

(A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,$\varepsilon$ emf અને $r$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બેટરી,ચલ અવરોધ $R$ અને કળ $K_{1}$ ને પોટેન્શિયોમીટરના બે છેડા $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડવામાં આવે છે.
બે કોષો $\varepsilon_{1}$ અને $\varepsilon_{2}$ ના emf ની સરખામણી કરવા માટે,બંને કોષોના ધન ધ્રુવોને બિંદુ $A$ સાથે જોડવામાં આવે છે. કોષોના ઋણ ધ્રુવોને ટુ-વે સ્વિચના બિંદુ $1$ અને $2$ સાથે જોડવામાં આવે છે. સ્વિચના ટર્મિનલ $3$ ને ગેલ્વેનોમીટર $(G)$ અને જોકી સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે. જોકીને પોટેન્શિયોમીટરના તાર પર ખસેડી શકાય છે.
પ્રથમ,સ્વિચના બિંદુ $1$ અને $3$ ને જોડતા,કોષ $\varepsilon_{1}$ પરિપથમાં આવે છે. જોકીને તાર પર સરકાવીને એવું બિંદુ $N_{1}$ મેળવવામાં આવે છે કે જેથી ગેલ્વેનોમીટર શૂન્ય આવર્તન દર્શાવે. ધારો કે $AN_{1} = l_{1}$.
લૂપ $AN_{1}G31A$ માટે કિર્ચોફનો બીજો નિયમ વાપરતા:
$\phi l_{1} - \varepsilon_{1} = 0$
$\therefore \varepsilon_{1} = \phi l_{1} \quad .....(1)$
જ્યાં $\phi$ એ તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
ત્યારબાદ,સ્વિચના બિંદુ $2$ અને $3$ ને જોડતા,કોષ $\varepsilon_{2}$ પરિપથમાં આવે છે. જોકીને સરકાવીને એવું બિંદુ $N_{2}$ મેળવવામાં આવે છે કે જેથી ગેલ્વેનોમીટર શૂન્ય આવર્તન દર્શાવે. ધારો કે $AN_{2} = l_{2}$.
લૂપ $AN_{2}G32A$ માટે કિર્ચોફનો બીજો નિયમ વાપરતા:
$\phi l_{2} - \varepsilon_{2} = 0$
$\therefore \varepsilon_{2} = \phi l_{2} \quad .....(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{2}} = \frac{\phi l_{1}}{\phi l_{2}} = \frac{l_{1}}{l_{2}}$
આમ,બે કોષોના emf નો ગુણોત્તર તેમની સંબંધિત સંતુલન લંબાઈના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.

(N/A) કોષ $(\varepsilon)$ નો આંતરિક અવરોધ $(r)$ માપવા માટે,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પોટેન્શિયોમીટર સર્કિટ તૈયાર કરવામાં આવે છે.
પ્રાથમિક સર્કિટમાં બેટરી $(B)$,ચલ અવરોધ $(R)$ અને કળ $(K_1)$ પોટેન્શિયોમીટરના તાર $AC$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
જે કોષ $(\varepsilon)$ નો આંતરિક અવરોધ $(r)$ માપવાનો છે,તેને અવરોધ પેટી $(R_{ext})$ અને કળ $(K_2)$ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે. કોષનો ધન ધ્રુવ બિંદુ $A$ સાથે અને ઋણ ધ્રુવ ગેલ્વેનોમીટર $(G)$ સાથે જોડાયેલ છે,જે જોકી સાથે જોડાયેલ છે.
$1$. જ્યારે કળ $K_2$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે કોષ $(\varepsilon)$ ખુલ્લા પરિપથમાં હોય છે. તાર $AC$ પર શૂન્ય આવર્તન માટે તટસ્થ બિંદુ $N_1$ મેળવવામાં આવે છે. ધારો કે સંતુલન લંબાઈ $AN_1 = l_1$ છે. કોષ ખુલ્લા પરિપથમાં હોવાથી,તેના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત તેના $EMF$ $(\varepsilon)$ જેટલો હોય છે.
$\varepsilon = \phi l_1$ ... $(1)$,જ્યાં $\phi$ એ તાર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
$2$. હવે,કળ $K_2$ બંધ કરો જેથી અવરોધ પેટી $(R_{ext})$ અને કોષમાંથી પ્રવાહ વહે. તાર $AC$ પર નવું તટસ્થ બિંદુ $N_2$ મેળવવામાં આવે છે. ધારો કે સંતુલન લંબાઈ $AN_2 = l_2$ છે. આ સ્થિતિમાં,કોષના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત તેના ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $(V)$ જેટલો હોય છે.
$V = \phi l_2$ ... $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\varepsilon}{V} = \frac{l_1}{l_2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે કોષ માટે,$\varepsilon = I(R_{ext} + r)$ અને $V = IR_{ext}$,તેથી $\frac{\varepsilon}{V} = \frac{R_{ext} + r}{R_{ext}} = 1 + \frac{r}{R_{ext}}$.
$\frac{\varepsilon}{V}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$1 + \frac{r}{R_{ext}} = \frac{l_1}{l_2}$
$\frac{r}{R_{ext}} = \frac{l_1}{l_2} - 1 = \frac{l_1 - l_2}{l_2}$
$r = R_{ext} \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right)$

(N/A) વિદ્યુતસ્થિતિમાન પ્રચલન એટલે વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારની લંબાઈના એકમ દીઠ થતો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો.
ગાણિતિક રીતે,તે $k = \frac{V}{L}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ તારના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $L$ એ તારની લંબાઈ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાન પ્રચલનનો $SI$ એકમ $\text{વોલ્ટ પ્રતિ મીટર}$ $(V/m)$ છે.

(N/A) પોટેન્શિયોમીટર એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત અને આંતરિક અવરોધ માપવા માટે વપરાતું એક બહુમુખી સાધન છે. તેના મુખ્ય ફાયદાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. તે શૂન્ય વિચલનના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે,જેનો અર્થ છે કે જે $EMF$ માપવાનું હોય તે સ્ત્રોતમાંથી કોઈ પ્રવાહ ખેંચાતો નથી. તેથી,તે કોષનું સાચું $EMF$ માપે છે.
$2$. તે સર્કિટની સ્થિતિને અસર કરતું નથી કારણ કે તે પરીક્ષણ હેઠળની સર્કિટમાંથી કોઈ પ્રવાહ ખેંચતું નથી.
$3$. તે અત્યંત સંવેદનશીલ છે અને ખૂબ જ નાના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતો માપવા માટે વાપરી શકાય છે.
$4$. તેનો ઉપયોગ બે કોષોના $EMF$ ની સરખામણી કરવા અને કોષનો આંતરિક અવરોધ નક્કી કરવા માટે થઈ શકે છે.

(C) પોટેન્શિયોમીટરમાં એક ખૂબ લાંબા વાયરનો ઉપયોગ કરવાને બદલે, $1 \,m$ લંબાઈના અનેક વાયરને જાડી ધાતુની પટ્ટીઓનો ઉપયોગ કરીને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે。
આ જાડી ધાતુની પટ્ટીઓનો અવરોધ પોટેન્શિયોમીટરના વાયરની સરખામણીમાં ખૂબ જ ઓછો હોય છે。
જાડી પટ્ટીઓનો ઉપયોગ કરવાથી સાંધાનો અવરોધ નહિવત થઈ જાય છે, જે સુનિશ્ચિત કરે છે કે પોટેન્શિયલ ડ્રોપ ફક્ત પોટેન્શિયોમીટરના વાયર પર જ થાય છે。
આ ડિઝાઇન વાયરની લંબાઈ સાથે પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટની ચોકસાઈ જાળવી રાખીને એક કોમ્પેક્ટ ગોઠવણીની મંજૂરી આપે છે。

(B) પોટેન્શિયોમીટર સર્કિટમાં,તાર $AB$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = I \cdot R_{AB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રાથમિક સર્કિટમાં વહેતો પ્રવાહ છે અને $R_{AB}$ એ તાર $AB$ નો અવરોધ છે.
પ્રાથમિક સર્કિટમાં પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + R_{AB}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ પ્રાથમિક કોષનું $EMF$ છે અને $R$ એ બાહ્ય અવરોધ છે.
જ્યારે $R$ નું મૂલ્ય વધારવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રાથમિક સર્કિટનો કુલ અવરોધ વધે છે,જેના કારણે પ્રવાહ $I$ ઘટે છે.
$V_{AB} = I \cdot R_{AB}$ હોવાથી,$I$ માં ઘટાડો થવાથી તાર $AB$ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V_{AB}$ માં ઘટાડો થાય છે.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ ને $k = \frac{V_{AB}}{L}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ તાર $AB$ ની લંબાઈ છે. આમ,પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ ઘટે છે.
જ્યારે ગૌણ કોષનું $EMF$ $\varepsilon$ એ લંબાઈ $AJ$ પરના પોટેન્શિયલ ડ્રોપ જેટલું થાય ત્યારે સંતુલન બિંદુ $J$ મળે છે,એટલે કે $\varepsilon = k \cdot AJ$.
તેથી,$AJ = \frac{\varepsilon}{k}$. કારણ કે $k$ ઘટે છે,સંતુલન સ્થિતિ જાળવવા માટે લંબાઈ $AJ$ વધવી જોઈએ.
જેમ લંબાઈ $AJ$ વધે છે,તેમ સંતુલન બિંદુ $J$ એ $B$ તરફ ખસે છે.

(N/A) $(i)$ જ્યારે જોકીને $A$ થી $B$ તરફ ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે જો ગેલ્વેનોમીટરનું આવર્તન ઘટે છે,તો તેનો અર્થ એ છે કે ગેલ્વેનોમીટર સર્કિટમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત ઘટી રહ્યો છે. આ એટલા માટે થાય છે કારણ કે પોટેન્શિયોમીટર વાયર $A$-જોકીની લંબાઈ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $EMF$ $E_1$ નો વિરોધ કરે છે. જેમ જોકી $B$ તરફ જાય છે તેમ આવર્તન ઘટવા માટે,$X$ સાથે જોડાયેલ $E_1$ નો ટર્મિનલ ધન $(+)$ હોવો જોઈએ,અને $E_1 > E$ હોવું જોઈએ જેથી ચોખ્ખો પ્રવાહ એવી દિશામાં હોય જે પ્રારંભિક આવર્તનનો વિરોધ કરે.
$(ii)$ જ્યારે જોકીને $A$ થી $B$ તરફ ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે જો આવર્તન વધે છે,તો તેનો અર્થ એ છે કે ગેલ્વેનોમીટર સર્કિટમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત વધી રહ્યો છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $X$ સાથે જોડાયેલ $E_1$ નો ટર્મિનલ ઋણ $(-ve)$ હોય છે,જેના કારણે $EMF$ $E_1$ વાયરના ભાગ પરના પોટેન્શિયલ ડ્રોપમાં ઉમેરાય છે,જેનાથી ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ વધે છે.

(D) ધારો કે પોટેન્શિયોમીટરના તારનો અવરોધ $R'$ છે અને તેની કુલ લંબાઈ $L = 4 \, m$ છે (દરેક $1 \, m$ ના $4$ વિભાગો ધારીને).
$1$. જ્યારે $R = 50 \, \Omega$ હોય,ત્યારે તાર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{wire} = \frac{10 \times R'}{50 + R'}$ છે. $E_1 \approx 8 \, V$ માટે કોઈ તટસ્થ બિંદુ મળતું નથી,તેથી આખા તાર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $E_1$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
$\frac{10 R'}{50 + R'} < 8 \Rightarrow 10 R' < 400 + 8 R' \Rightarrow 2 R' < 400 \Rightarrow R' < 200 \, \Omega$.
$2$. જ્યારે $R = 10 \, \Omega$ હોય,ત્યારે તટસ્થ બિંદુ $4^{th}$ વિભાગ પર છે,એટલે કે સંતુલન લંબાઈ $l$ એ $3 \, m$ અને $4 \, m$ ની વચ્ચે છે. તાર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V'_{wire} = \frac{10 \times R'}{10 + R'}$ છે.
તટસ્થ બિંદુ $4^{th}$ વિભાગ પર હોવાની શરત એ છે કે $3 \, m$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $8 \, V$ કરતા ઓછો અને $4 \, m$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $8 \, V$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
$\frac{3}{4} V'_{wire} < 8 < V'_{wire} \Rightarrow \frac{3}{4} \left( \frac{10 R'}{10 + R'} \right) < 8 < \frac{10 R'}{10 + R'}$.
$8 < \frac{10 R'}{10 + R'}$ પરથી,આપણને $80 + 8 R' < 10 R' \Rightarrow 2 R' > 80 \Rightarrow R' > 40 \, \Omega$ મળે છે.
$\frac{7.5 R'}{10 + R'} < 8$ પરથી,આપણને $7.5 R' < 80 + 8 R' \Rightarrow -0.5 R' < 80$ મળે છે (જે ધન $R'$ માટે હંમેશા સાચું છે).
પ્રથમ શરત $R' < 200 \, \Omega$ સાથે જોડતા,અવરોધ $R'$ એ $40 \, \Omega < R' < 200 \, \Omega$ ની રેન્જમાં છે.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $\phi = \frac{V'_{wire}}{4} = \frac{10 R'}{4(10 + R')} \, V/m$ છે.

(A) પોટેન્શિયોમીટરમાં,સંતુલન લંબાઈ $l$ હંમેશા ઉચ્ચ પોટેન્શિયલ છેડા $P$ થી માપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે તાર $PQ$ ની કુલ લંબાઈ $100\,cm$ છે.
તટસ્થ બિંદુ $Q$ થી $49\,cm$ ના અંતરે મળે છે.
તેથી,$P$ થી સંતુલન લંબાઈ $l = 100\,cm - 49\,cm = 51\,cm$ થશે.
કોષ $E_{2}$ નું emf પોટેન્શિયોમીટર તારની $l$ લંબાઈ પરના પોટેન્શિયલ ડ્રોપ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
emf માટેનું સૂત્ર $E_{2} = \phi \times l$ છે,જ્યાં $\phi$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $1.02\,V = \phi \times 51\,cm$.
$\phi$ માટે ઉકેલતા: $\phi = \frac{1.02}{51}\,V/cm = 0.02\,V/cm$.
આમ,પોટેન્શિયોમીટર તારમાં પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $0.02\,V/cm$ છે.

(C) પોટેન્શિયોમીટર વાયરની એકમ લંબાઈ દીઠ પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $k = \frac{V_{AB}}{L}$ છે,જ્યાં $L = 10\, m = 1000\, cm$ છે.
પ્રથમ બેટરી $E_{1}$ માટે,સંતુલન લંબાઈ $l_{1}$ બિંદુ $A$ થી માપવામાં આવે છે. વાયર દરેક $1\, m$ ના $10$ વિભાગોનો બનેલો છે. $J_{1}$ બીજા વિભાગ પર $20\, cm$ પર છે,તેથી $l_{1} = 100 + 20 = 120\, cm$ થાય.
બીજી બેટરી $E_{2}$ માટે,સંતુલન લંબાઈ $l_{2}$ બિંદુ $A$ થી માપવામાં આવે છે. $J_{2}$ આઠમા વિભાગ પર $60\, cm$ પર છે,તેથી $l_{2} = 700 + 60 = 760\, cm$ થાય.
પોટેન્શિયોમીટરના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,$E_{1} = k l_{1}$ અને $E_{2} = k l_{2}$ મળે.
તેથી,$\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{120}{760} = \frac{12}{76} = \frac{3}{19}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{a}{b}$,તેથી $a = 3$ અને $b = 19$ મળે.

(A) પોટેન્શિયોમીટરમાં, એકમ લંબાઈ દીઠ પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $(\phi)$ અચળ હોય છે।
સંતુલન લંબાઈ $(l)$ એ કોષના $EMF$ $(E)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $E = \phi l$.
તેથી, ગુણોત્તર આ મુજબ મળે છે: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_2}$.
આપેલ છે: $E_1 = 1.5\, V$, $l_1 = 36\, cm$, $E_2 = 2.5\, V$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.5}{2.5} = \frac{36}{l_2}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{3}{5} = \frac{36}{l_2}$.
$l_2$ માટે ઉકેલતા: $l_2 = \frac{36 \times 5}{3} = 12 \times 5 = 60\, cm$.

(C) પોટેન્શિયોમીટર દ્વારા માપી શકાય તેવો મહત્તમ વોલ્ટેજ પોટેન્શિયોમીટરના તાર $AB$ ની સમગ્ર લંબાઈ પરના પોટેન્શિયલ ડ્રોપ જેટલો હોય છે.
પ્રથમ,તાર $AB$ નો કુલ અવરોધ ગણો:
તારની લંબાઈ $AB = 10 \, m = 1000 \, cm$.
એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ = $0.1 \, \Omega/cm$.
કુલ અવરોધ $R_{AB} = 1000 \, cm \times 0.1 \, \Omega/cm = 100 \, \Omega$.
હવે,વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $AB$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ ગણો:
પરિપથમાં $6 \, V$ ની બેટરી,$20 \, \Omega$ નો આંતરિક અવરોધ અને પોટેન્શિયોમીટર તારનો અવરોધ $R_{AB} = 100 \, \Omega$ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
પ્રાથમિક પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{6 \, V}{20 \, \Omega + 100 \, \Omega} = \frac{6}{120} \, A = 0.05 \, A$ છે.
$AB$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{AB} = I \times R_{AB} = 0.05 \, A \times 100 \, \Omega = 5 \, V$ છે.
આમ,માપી શકાય તેવું મહત્તમ emf $5 \, V$ છે.

(C) પોટેન્શિયોમીટરના તારનો કુલ અવરોધ $10\, \Omega$ છે. જ્યારે સ્લાઇડિંગ કોન્ટેક્ટ મધ્યમાં હોય,ત્યારે તાર બે ભાગમાં વહેંચાય છે,જે દરેક $5\, \Omega$ ના છે.
ધારો કે $2\, \Omega$ ના અવરોધ અને પોટેન્શિયોમીટરના તાર જ્યાં મળે છે તે નોડ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_0$ છે. તારના શરૂઆતના છેડે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $20\, \text{V}$ અને અંતિમ છેડે $0\, \text{V}$ છે.
નોડ $V_0$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V_0 - 20}{5} + \frac{V_0 - 0}{5} + \frac{V_0 - 20}{2} = 0$
સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે $10$ વડે ગુણતા:
$2(V_0 - 20) + 2(V_0) + 5(V_0 - 20) = 0$
$2V_0 - 40 + 2V_0 + 5V_0 - 100 = 0$
$9V_0 = 140$
$V_0 = \frac{140}{9}\, \text{V}$
$2\, \Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ શરૂઆતના છેડા $(20\, \text{V})$ અને નોડ $V_0$ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta V = 20 - V_0 = 20 - \frac{140}{9} = \frac{180 - 140}{9} = \frac{40}{9}\, \text{V}$

(C) પોટેન્શિયોમીટરમાં,સંતુલન લંબાઈ $l$ એ કોષના emf $\varepsilon$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\varepsilon = kl$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે ગેલ્વેનોમીટર બિંદુ $(1)$ સાથે જોડાયેલ હોય,ત્યારે સર્કિટમાં માત્ર કોષ $\varepsilon_{1}$ હોય છે:
$\varepsilon_{1} = k l_{1} = k(250) \ldots (i)$
જ્યારે ગેલ્વેનોમીટર બિંદુ $(2)$ સાથે જોડાયેલ હોય,ત્યારે બંને કોષો $\varepsilon_{1}$ અને $\varepsilon_{2}$ શ્રેણીમાં સર્કિટમાં હોય છે:
$\varepsilon_{1} + \varepsilon_{2} = k l_{2} = k(400) \ldots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{1} + \varepsilon_{2}} = \frac{250}{400} = \frac{5}{8}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$8 \varepsilon_{1} = 5 \varepsilon_{1} + 5 \varepsilon_{2}$
$3 \varepsilon_{1} = 5 \varepsilon_{2}$
તેથી,ગુણોત્તર છે:
$\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{2}} = \frac{5}{3}$

(C) પ્રાથમિક પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{wire} + R_{external} = 20 \,\Omega + 30 \,\Omega = 50 \,\Omega$ છે.
પ્રાથમિક પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{25 \,V}{50 \,\Omega} = 0.5 \,A$ છે.
આખા પોટેન્શિયોમીટર તાર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{wire} = I \times R_{wire} = 0.5 \,A \times 20 \,\Omega = 10 \,V$ છે.
તાર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{10 \,V}{10 \,m} = 1 \,V/m$ છે.
સંતુલન લંબાઈ $l = 250 \,cm = 2.5 \,m$ છે.
કોષનું emf $E = k \times l = 1 \,V/m \times 2.5 \,m = 2.5 \,V$ છે.
આપેલ છે કે $E = \frac{x}{10}$,તેથી $2.5 = \frac{x}{10}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 25$.

(A) પોટેન્શિયોમીટરમાં,સંતુલન લંબાઈ $\ell$ એ કોષના emf $\varepsilon$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $\varepsilon \propto \ell$ અથવા $\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\varepsilon_1 : \varepsilon_2 = 3 : 2$ અને $\ell_1 = 75 \, cm$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{2} = \frac{75}{\ell_2}$.
$\ell_2$ માટે ઉકેલતા: $\ell_2 = \frac{75 \times 2}{3} = 50 \, cm$.
સંતુલન લંબાઈમાં તફાવત $\Delta \ell = |\ell_1 - \ell_2| = |75 - 50| = 25 \, cm$ થાય.

(B) ધારો કે $E$ એ કોષનું $EMF$ છે અને $r$ તેનો આંતરિક અવરોધ છે. જ્યારે કોષને $R$ અવરોધ સાથે શંટ કરવામાં આવે ત્યારે તેના બે છેડા વચ્ચેનો ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંતુલન લંબાઈ $l$ એ ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,$V \propto l$ થાય.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $V_1 \propto l_1 = 3 \; m$ અને $R_1 = 8 \; \Omega$. તેથી,$V_1 = k \cdot 3 = E \left( \frac{8}{8+r} \right)$.
બીજા કિસ્સા માટે: $V_2 \propto l_2 = 2 \; m$ અને $R_2 = 4 \; \Omega$. તેથી,$V_2 = k \cdot 2 = E \left( \frac{4}{4+r} \right)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{3}{2} = \frac{E \left( \frac{8}{8+r} \right)}{E \left( \frac{4}{4+r} \right)} = \frac{8}{8+r} \times \frac{4+r}{4} = \frac{2(4+r)}{8+r}$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $3(8+r) = 4(4+r) \implies 24 + 3r = 16 + 4r \implies r = 8 \; \Omega$.

(B) ધારો કે પોટેન્શિયોમીટર તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ છે.
પ્રથમ કોષ માટે,$E_1 = 1.20\, V$ emf માટે સંતુલન બિંદુ $l_1 = 36\, cm$ પર છે.
$E_1 = k \cdot l_1 \implies 1.20 = k \times 36 \implies k = \frac{1.20}{36} = \frac{1}{30}\, V/cm$.
બીજા કોષ માટે,$E_2 = 1.80\, V$ emf માટે સંતુલન બિંદુ $l_2$ છે.
$E_2 = k \cdot l_2 \implies 1.80 = \frac{1}{30} \times l_2$.
$l_2 = 1.80 \times 30 = 54\, cm$.
સંતુલન લંબાઈમાં તફાવત $\Delta l = l_2 - l_1 = 54 - 36 = 18\, cm$ છે.

(D) ધારો કે પોટેન્શિયોમીટરના તારનો અવરોધ $R$ છે.
પોટેન્શિયોમીટરના તારમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i = \frac{4}{R + 780}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આખા પોટેન્શિયોમીટર તાર $AB$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = iR = \frac{4R}{R + 780}$ છે.
તાર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V_{AB}}{L} = \frac{4R}{(R + 780) \times 300}$ છે.
$20\,mV = 20 \times 10^{-3}\,V$ ના emf ધરાવતા કોષ માટે તટસ્થ બિંદુ $l = 60\,cm$ લંબાઈ પર મળે છે.
તટસ્થ બિંદુએ,$l$ લંબાઈ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત કોષના emf જેટલો હોય છે:
$E = k \times l$
$20 \times 10^{-3} = \left( \frac{4R}{(R + 780) \times 300} \right) \times 60$
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા:
$20 \times 10^{-3} = \frac{4R \times 60}{(R + 780) \times 300}$
$0.02 = \frac{4R}{5(R + 780)}$
$0.1(R + 780) = 4R$
$0.1R + 78 = 4R$
$3.9R = 78$
$R = \frac{78}{3.9} = 20\,\Omega$.

(A) પોટેન્શિયોમીટરના તાર $AB$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = I \times R_{AB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રાથમિક પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ છે.
પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + R_{AB}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E = 4\,V$ અને $R_{AB} = 20\,\Omega$ છે.
તેથી,$V_{AB} = \left( \frac{4}{R + 20} \right) \times 20 = \frac{80}{R + 20}$.
તાર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V_{AB}}{L}$ છે,જ્યાં $L = 300\,cm$ છે.
ગૌણ કોષનું emf $E' = 20\,mV = 20 \times 10^{-3}\,V$ છે અને તટસ્થ બિંદુની લંબાઈ $l = 60\,cm$ છે.
તટસ્થ બિંદુએ,$E' = k \times l = \left( \frac{V_{AB}}{L} \right) \times l$.
કિંમતો મૂકતા: $20 \times 10^{-3} = \left( \frac{80}{R + 20} \right) \times \left( \frac{60}{300} \right)$.
$20 \times 10^{-3} = \left( \frac{80}{R + 20} \right) \times \left( \frac{1}{5} \right)$.
$20 \times 10^{-3} = \frac{16}{R + 20}$.
$R + 20 = \frac{16}{20 \times 10^{-3}} = \frac{16}{0.02} = 800$.
$R = 800 - 20 = 780\,\Omega$.

(A) પોટેન્શિયોમીટરમાં,સંતુલન લંબાઈ $l$ એ કોષના $e.m.f.$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto l$ અથવા $E = kl$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કોષોને સમાન ધ્રુવીયતા સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ $e.m.f.$ $E_1 + E_2$ થાય છે. તેથી,$E_1 + E_2 = k(625)$.
જ્યારે $E_1$ ના ટર્મિનલ્સ ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક $e.m.f.$ $E_2 - E_1$ થાય છે (કારણ કે $E_2 > E_1$). તેથી,$E_2 - E_1 = k(125)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{E_1 + E_2}{E_2 - E_1} = \frac{625}{125} = 5$.
$E_1 + E_2 = 5(E_2 - E_1) = 5E_2 - 5E_1$.
$6E_1 = 4E_2$.
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$E_1 : E_2$ નો ગુણોત્તર $2 : 3$ છે.

(B) પોટેન્શિયોમીટરના તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ તાર પરનો વોલ્ટેજ અને $L$ એ તારની લંબાઈ છે.
જ્યારે કોષ સંતુલિત થાય છે,ત્યારે કોષનું emf $E = k \cdot l$ થાય છે,જ્યાં $l$ એ સંતુલન લંબાઈ છે.
જો પોટેન્શિયોમીટરના તારની લંબાઈ $L$ સમાન રાખવામાં આવે અને આડછેદ $A$ બમણો કરવામાં આવે,તો પણ બેટરીનો વોલ્ટેજ $V$ અને તારની લંબાઈ $L$ બદલાતા નથી.
તેથી,પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V}{L}$ અચળ રહે છે.
આમ,$E = k \cdot l$ હોવાથી,સંતુલન લંબાઈ $l$ માં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં અને તે $4 \,m$ જ રહેશે.