Equivalent Resistance - Series and Parallel , Circuit Questions in Hindi

(N/A) दिए गए प्रतिरोध $R_{1} = 2 \; \Omega$,$R_{2} = 4 \; \Omega$ और $R_{3} = 5 \; \Omega$ हैं।
चूंकि वे समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए कुल प्रतिरोध $R$ का सूत्र है:
$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{R} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{10 + 5 + 4}{20} = \frac{19}{20} \; \Omega^{-1}$
अतः,$R = \frac{20}{19} \; \Omega \approx 1.05 \; \Omega$.
$(b)$ बैटरी का वोल्टेज $V = 20 \; V$ है। समानांतर परिपथ में,प्रत्येक प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज समान होता है।
$R_{1}$ से प्रवाहित धारा: $I_{1} = \frac{V}{R_{1}} = \frac{20}{2} = 10 \; A$.
$R_{2}$ से प्रवाहित धारा: $I_{2} = \frac{V}{R_{2}} = \frac{20}{4} = 5 \; A$.
$R_{3}$ से प्रवाहित धारा: $I_{3} = \frac{V}{R_{3}} = \frac{20}{5} = 4 \; A$.
कुल धारा $I = I_{1} + I_{2} + I_{3} = 10 + 5 + 4 = 19 \; A$.

(A) प्रतिरोधकों की कुल संख्या $= n.$
प्रत्येक प्रतिरोधक का प्रतिरोध $= R.$
$(i)$ जब $n$ प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो प्रभावी प्रतिरोध $R_{1}$ अधिकतम होता है,जो $R_{1} = nR$ द्वारा दिया जाता है।
$(ii)$ जब $n$ प्रतिरोधक समांतर क्रम में जुड़े होते हैं,तो प्रभावी प्रतिरोध $R_{2}$ न्यूनतम होता है,जो $R_{2} = R/n$ द्वारा दिया जाता है।
$(iii)$ अधिकतम और न्यूनतम प्रतिरोध का अनुपात $R_{1}/R_{2} = (nR) / (R/n) = n^{2}$ है।
$(b)$ दिए गए प्रतिरोध $R_{1} = 1\; \Omega, R_{2} = 2\; \Omega, R_{3} = 3\; \Omega$ हैं।
$(i)$ $(11/3)\; \Omega$ प्राप्त करने के लिए,$1\; \Omega$ और $2\; \Omega$ को समांतर क्रम में जोड़ें,फिर इस संयोजन को $3\; \Omega$ के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ें। $R_{eq} = (1 \times 2)/(1+2) + 3 = 2/3 + 3 = 11/3\; \Omega.$
$(ii)$ $(11/5)\; \Omega$ प्राप्त करने के लिए,$2\; \Omega$ और $3\; \Omega$ को समांतर क्रम में जोड़ें,फिर इस संयोजन को $1\; \Omega$ के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ें। $R_{eq} = (2 \times 3)/(2+3) + 1 = 6/5 + 1 = 11/5\; \Omega.$
$(iii)$ $6\; \Omega$ प्राप्त करने के लिए,तीनों को श्रेणीक्रम में जोड़ें। $R_{eq} = 1 + 2 + 3 = 6\; \Omega.$
$(iv)$ $(6/11)\; \Omega$ प्राप्त करने के लिए,तीनों को समांतर क्रम में जोड़ें। $1/R_{eq} = 1/1 + 1/2 + 1/3 = (6+3+2)/6 = 11/6 \implies R_{eq} = 6/11\; \Omega.$
$(c)$ $(a)$ प्रत्येक लूप में दो शाखाएं समांतर में हैं: एक में दो $1\; \Omega$ प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में $(2\; \Omega)$ और दूसरे में दो $2\; \Omega$ प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में $(4\; \Omega)$. एक लूप का समतुल्य प्रतिरोध $= (2 \times 4)/(2+4) = 8/6 = 4/3\; \Omega.$ ऐसे चार लूप श्रेणीक्रम में हैं। कुल $R_{eq} = 4 \times (4/3) = 16/3\; \Omega.$
$(b)$ $R$ प्रतिरोध के पांच प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। कुल $R_{eq} = R+R+R+R+R = 5R.$

(N/A) प्रतिरोधकों को मुख्य रूप से तीन विन्यासों में जोड़ा जा सकता है:
$(1)$ श्रेणी क्रम संयोजन: इस व्यवस्था में,प्रतिरोधकों को एक-दूसरे के सिरे से जोड़ा जाता है ताकि प्रत्येक प्रतिरोधक से समान विद्युत धारा प्रवाहित हो। तुल्य प्रतिरोध व्यक्तिगत प्रतिरोधों का योग होता है: $R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + ... + R_n$.
$(2)$ समांतर क्रम संयोजन: इस व्यवस्था में,प्रतिरोधकों के सिरे समान दो बिंदुओं से जुड़े होते हैं,जिसका अर्थ है कि प्रत्येक प्रतिरोधक पर विभवांतर समान होता है। तुल्य प्रतिरोध का व्युत्क्रम व्यक्तिगत प्रतिरोधों के व्युत्क्रमों का योग होता है: $1/R_{eq} = 1/R_1 + 1/R_2 + 1/R_3 + ... + 1/R_n$.
$(3)$ मिश्रित संयोजन: यह श्रेणी और समांतर दोनों परिपथों का एक संयोजन है,जहाँ कुछ प्रतिरोधक श्रेणी में जुड़े होते हैं जबकि अन्य उसी नेटवर्क के भीतर समांतर क्रम में जुड़े होते हैं।

(N/A) जब दो या दो से अधिक प्रतिरोधकों को इस प्रकार जोड़ा जाता है कि प्रत्येक से समान विद्युत धारा प्रवाहित हो,तो इस संयोजन को श्रेणीक्रम संयोजन कहा जाता है।
श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रत्येक प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर का योग कुल लागू विभवांतर के बराबर होता है।
चित्र में दिखाए अनुसार,दो प्रतिरोधक $R_1$ और $R_2$ को बिंदु $A$ और $B$ के बीच श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है। दोनों प्रतिरोधकों से समान धारा $I$ प्रवाहित होती है।
ओम के नियम के अनुसार,प्रतिरोधक $R_1$ के सिरों पर विभवांतर:
$V_1 = I R_1$ ... $(1)$
प्रतिरोधक $R_2$ के सिरों पर विभवांतर:
$V_2 = I R_2$ ... $(2)$
कुल विभवांतर $V$:
$V = V_1 + V_2$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से मान रखने पर:
$V = I R_1 + I R_2$
$V = I (R_1 + R_2)$
यदि $R_S$ श्रेणी संयोजन का तुल्य प्रतिरोध है,तो ओम के नियम से:
$V = I R_S$
$V$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$I R_S = I (R_1 + R_2)$
$R_S = R_1 + R_2$
इस प्रकार,$n$ प्रतिरोधकों के श्रेणीक्रम में होने पर,तुल्य प्रतिरोध $R_S = R_1 + R_2 + ... + R_n$ होता है।

(N/A) मान लीजिए कि $R_{1}, R_{2}$ और $R_{3}$ तीन प्रतिरोधक हैं जो बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच $V$ वोल्ट की बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। परिपथ में बहने वाली धारा $I$ है।
$R_{1}, R_{2}$ और $R_{3}$ के सिरों पर विभवांतर क्रमशः $V_{1}, V_{2}$ और $V_{3}$ है। ओम के नियम के अनुसार,$V_{1}=IR_{1}, V_{2}=IR_{2}$ और $V_{3}=IR_{3}$ होता है।
बैटरी का कुल टर्मिनल वोल्टेज व्यक्तिगत विभवांतर का योग होता है:
$V = V_{1} + V_{2} + V_{3}$
मान रखने पर:
$V = IR_{1} + IR_{2} + IR_{3}$
$V = I(R_{1} + R_{2} + R_{3})$
$I$ से विभाजित करने पर:
$\frac{V}{I} = R_{1} + R_{2} + R_{3}$
चूंकि $\frac{V}{I} = R_{eq}$ श्रेणी संयोजन का तुल्य प्रतिरोध है:
$R_{eq} = R_{1} + R_{2} + R_{3}$
श्रेणीक्रम में जुड़े $n$ प्रतिरोधकों के लिए,तुल्य प्रतिरोध है:
$R_{eq} = R_{1} + R_{2} + \ldots + R_{n}$
यदि $R$ मान के $n$ समान प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में जुड़े हों,तो:
$R_{eq} = nR$
श्रेणी संयोजन में,तुल्य प्रतिरोध हमेशा सबसे बड़े व्यक्तिगत प्रतिरोध से अधिक होता है।

(N/A) जब दो या दो से अधिक प्रतिरोधों के सिरों को सामान्य बिंदुओं पर जोड़ा जाता है,तो ऐसी व्यवस्था को प्रतिरोधों का समांतर संयोजन कहा जाता है।
समांतर संयोजन में,सभी प्रतिरोधों के सिरों पर विभवांतर $(V)$ समान रहता है,जबकि स्रोत से प्रवाहित कुल विद्युत धारा $(I)$ प्रतिरोधों के बीच विभाजित हो जाती है। व्यक्तिगत प्रतिरोधों से प्रवाहित धाराओं का योग परिपथ की कुल धारा के बराबर होता है।
मान लीजिए कि दो प्रतिरोध $R_{1}$ और $R_{2}$ बिंदुओं $a$ और $b$ के बीच समांतर क्रम में जुड़े हैं,और उनके सिरों पर $V$ वोल्टेज की बैटरी जुड़ी है। कुल धारा $I$ बिंदु $a$ पर पहुँचती है और $I_{1}$ और $I_{2}$ में विभाजित हो जाती है।
बिंदु $a$ पर,किरचॉफ के धारा नियम के अनुसार:
$I = I_{1} + I_{2}$ ... $(1)$
ओम के नियम के अनुसार,प्रत्येक प्रतिरोध से प्रवाहित धारा:
$I_{1} = \frac{V}{R_{1}}$ ... $(2)$
$I_{2} = \frac{V}{R_{2}}$ ... $(3)$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$I = \frac{V}{R_{1}} + \frac{V}{R_{2}} = V \left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right)$
यदि $R_{p}$ समांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध है,तो $I = \frac{V}{R_{p}}$.
अतः,$\frac{V}{R_{p}} = V \left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right)$
इस प्रकार,तुल्य प्रतिरोध का सूत्र है:
$\frac{1}{R_{p}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$

(N/A) $V$ वोल्टेज वाली बैटरी के टर्मिनलों को $a$ और $b$ बिंदुओं से जोड़ने पर,परिपथ में कुल धारा $I$ प्रवाहित होती है। $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ प्रतिरोधों से प्रवाहित धाराएँ क्रमशः $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ हैं। ओम के नियम के अनुसार,समांतर क्रम में जुड़े प्रत्येक प्रतिरोध के सिरों के बीच विभवांतर समान होता है,जो $V$ के बराबर है।
$\therefore V = I_{1} R_{1} \Rightarrow I_{1} = \frac{V}{R_{1}} \quad \dots (1)$
$V = I_{2} R_{2} \Rightarrow I_{2} = \frac{V}{R_{2}} \quad \dots (2)$
$V = I_{3} R_{3} \Rightarrow I_{3} = \frac{V}{R_{3}} \quad \dots (3)$
जंक्शन $a$ पर,कुल धारा व्यक्तिगत धाराओं का योग है:
$I = I_{1} + I_{2} + I_{3} \quad \dots (4)$
समीकरण $(1), (2)$ और $(3)$ के मानों को समीकरण $(4)$ में रखने पर:
$I = \frac{V}{R_{1}} + \frac{V}{R_{2}} + \frac{V}{R_{3}}$
दोनों पक्षों को $V$ से विभाजित करने पर:
$\frac{I}{V} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}$
यदि तुल्य प्रतिरोध $R_{p}$ है,तो ओम के नियम के अनुसार $I = \frac{V}{R_{p}}$,इसलिए $\frac{I}{V} = \frac{1}{R_{p}}$.
अतः,समांतर क्रम में $3$ प्रतिरोधों के लिए:
$\frac{1}{R_{p}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}$
समांतर क्रम में जुड़े $n$ प्रतिरोधों के लिए,व्यंजक इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{p}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_{i}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \dots + \frac{1}{R_{n}}$

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार,$R_{2}$ और $R_{3}$ बिंदुओं $B$ और $C$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हैं और $R_{1}$ इस समानांतर संयोजन के साथ बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच श्रेणी क्रम में जुड़ा है।
माना $R^{\prime}$,$R_{2}$ और $R_{3}$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध है।
इसलिए,$\frac{1}{R^{\prime}} = \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}$.
$R^{\prime} = \frac{R_{2} R_{3}}{R_{2} + R_{3}}$ $.....(1)$
पूरे परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $R_{1}$ और $R^{\prime}$ का योग है क्योंकि वे श्रेणी क्रम में हैं:
$R_{eq} = R_{1} + R^{\prime}$
$R_{eq} = R_{1} + \frac{R_{2} R_{3}}{R_{2} + R_{3}}$
$R_{eq} = \frac{R_{1} R_{2} + R_{1} R_{3} + R_{2} R_{3}}{R_{2} + R_{3}}$
यदि $A$ और $C$ के बीच वोल्टेज $V$ है,तो परिपथ से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{V(R_{2} + R_{3})}{R_{1} R_{2} + R_{1} R_{3} + R_{2} R_{3}}$

(N/A)

श्रेणीक्रम संयोजन	समांतर क्रम संयोजन
$(1)$ प्रतिरोधकों को एक-दूसरे के सिरे से इस प्रकार जोड़ा जाता है कि प्रत्येक प्रतिरोधक से समान विद्युत धारा प्रवाहित होती है।	$(1)$ प्रतिरोधकों को दो समान बिंदुओं के बीच इस प्रकार जोड़ा जाता है कि प्रत्येक प्रतिरोधक के सिरों के बीच विभवांतर समान रहता है।
$(2)$ प्रत्येक प्रतिरोधक के सिरों के बीच विभवांतर अलग-अलग होता है।	$(2)$ प्रत्येक प्रतिरोधक से प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा अलग-अलग होती है।
$(3)$ तुल्य प्रतिरोध का सूत्र $R_{eq} = R_{1} + R_{2} + \dots + R_{n}$ है।	$(3)$ तुल्य प्रतिरोध का सूत्र $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \dots + \frac{1}{R_{n}}$ है।
$(4)$ तुल्य प्रतिरोध का मान परिपथ के सबसे बड़े प्रतिरोध से भी अधिक होता है।	$(4)$ तुल्य प्रतिरोध का मान परिपथ के सबसे छोटे प्रतिरोध से भी कम होता है।
$(5)$ यदि एक प्रतिरोधक खराब हो जाता है, तो पूरा परिपथ टूट जाता है।	$(5)$ यदि एक प्रतिरोधक खराब हो जाता है, तो अन्य शाखाएं कार्य करना जारी रखती हैं।

(N/A) श्रेणीक्रम संयोजन: जब प्रतिरोधकों को एक-दूसरे के सिरे से इस प्रकार जोड़ा जाता है कि प्रत्येक प्रतिरोधक से समान विद्युत धारा प्रवाहित हो,तो उस संयोजन को श्रेणीक्रम संयोजन कहा जाता है। इस स्थिति में,कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 + ... + R_n$ होता है।
समांतर क्रम संयोजन: जब प्रतिरोधकों को इस प्रकार जोड़ा जाता है कि प्रत्येक प्रतिरोधक के सिरों के बीच विभवांतर समान रहे,तो उस संयोजन को समांतर क्रम संयोजन कहा जाता है। इस स्थिति में,तुल्य प्रतिरोध $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}$ द्वारा दिया जाता है।

(N/A) श्रेणीक्रम में जुड़े $R_1, R_2, R_3, ..., R_n$ प्रतिरोध वाले $n$ प्रतिरोधकों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_s$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों का योग होता है:
$R_s = R_1 + R_2 + R_3 + ... + R_n$
समांतर क्रम में जुड़े $R_1, R_2, R_3, ..., R_n$ प्रतिरोध वाले $n$ प्रतिरोधकों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_p$ का व्युत्क्रम व्यक्तिगत प्रतिरोधों के व्युत्क्रमों का योग होता है:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + ... + \frac{1}{R_n}$

(A) जब प्रतिरोधकों को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों का योग होता है: $R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + ... + R_n$। चूंकि प्रत्येक प्रतिरोधक कुल प्रतिरोध में जुड़ता है,इसलिए तुल्य प्रतिरोध हमेशा किसी भी व्यक्तिगत प्रतिरोधक से अधिक होता है।
इसके विपरीत,जब प्रतिरोधकों को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध का व्युत्क्रम व्यक्तिगत प्रतिरोधों के व्युत्क्रमों का योग होता है: $1/R_{eq} = 1/R_1 + 1/R_2 + ... + 1/R_n$। इसके परिणामस्वरूप तुल्य प्रतिरोध परिपथ के सबसे छोटे व्यक्तिगत प्रतिरोधक से भी कम हो जाता है।
इसलिए,श्रेणी संयोजन में तुल्य प्रतिरोध बढ़ जाता है।

(A) श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रतिरोध एक-दूसरे से सिरे से जुड़े होते हैं,जो आवेश के प्रवाह के लिए केवल एक ही मार्ग प्रदान करते हैं। इसलिए,प्रत्येक प्रतिरोध से गुजरने वाली धारा $(I)$ समान रहती है,जबकि कुल वोल्टेज $(V)$ उनके बीच विभाजित हो जाता है।
समांतर क्रम संयोजन में,प्रतिरोध समान दो बिंदुओं के बीच जुड़े होते हैं। इसलिए,प्रत्येक प्रतिरोध पर विभवांतर (वोल्टेज,$V$) समान होता है,जबकि कुल धारा $(I)$ विभिन्न शाखाओं में विभाजित हो जाती है।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक प्रतिरोधक का मान $R = 10\,\Omega$ है।
श्रेणीक्रम संयोजन में,तुल्य प्रतिरोध $R_s = R + R = 2R = 2 \times 10 = 20\,\Omega$ होता है।
समांतर क्रम संयोजन में,तुल्य प्रतिरोध $R_p$ के लिए $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}$,इसलिए $R_p = \frac{R}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\Omega$ होता है।
श्रेणीक्रम और समांतर क्रम के तुल्य प्रतिरोध का अनुपात $\frac{R_s}{R_p} = \frac{2R}{R/2} = 4:1$ प्राप्त होता है।

(A) समानांतर क्रम में जुड़े दो प्रतिरोधकों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$
यह दिया गया है कि दोनों प्रतिरोधकों का मान $R \ \Omega$ है,इसलिए हम $R_1 = R$ और $R_2 = R$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}$
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R_{eq} = \frac{R}{2} \ \Omega$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) जब $R$ मान के $n$ प्रतिरोधकों को $E$ के $emf$ और $R$ के आंतरिक प्रतिरोध वाली बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R + nR = R(1+n)$ होता है।
धारा $I = \frac{E}{R(1+n)}$ द्वारा दी जाती है ... $(1)$
जब $n$ प्रतिरोधकों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो समतुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R}{n}$ होता है।
नई धारा $I' = 10I$ को $I' = \frac{E}{R + R/n} = \frac{nE}{R(n+1)}$ द्वारा दिया जाता है ... $(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{10I}{I} = \frac{nE}{R(n+1)} \times \frac{R(n+1)}{E}$
$10 = n$
अतः,$n$ का मान $10$ है।

(N/A) $1$. समांतर संयोजन:
तुल्य प्रतिरोध $R_p$ का सूत्र $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}$ है।
चूंकि प्रत्येक $R_i \ge R_{\min}$,इसलिए $\frac{1}{R_i} \le \frac{1}{R_{\min}}$ होगा।
अतः,$\frac{1}{R_p} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{R_i} > \frac{1}{R_{\min}}$ ($n$ पदों के कारण)।
इसलिए,$R_p < R_{\min}$।
भौतिक व्याख्या: समांतर क्रम में,धारा को बहने के लिए कई रास्ते मिलते हैं,जिससे कुल प्रतिरोध सबसे छोटे प्रतिरोध से भी कम हो जाता है।
$2$. श्रेणी संयोजन:
तुल्य प्रतिरोध $R_s$ का सूत्र $R_s = R_1 + R_2 + \dots + R_n$ है।
चूंकि प्रत्येक $R_i > 0$ है और $R_{\max}$ एक पद है,इसलिए $R_s = R_{\max} + \sum_{i \neq \max} R_i$।
यहाँ $\sum_{i \neq \max} R_i > 0$ होने के कारण,$R_s > R_{\max}$ प्राप्त होता है।
भौतिक व्याख्या: श्रेणी क्रम में,धारा को प्रत्येक प्रतिरोध से होकर गुजरना पड़ता है,इसलिए कुल प्रतिरोध सभी व्यक्तिगत प्रतिरोधों का योग होता है,जो अनिवार्य रूप से किसी भी एक प्रतिरोध से अधिक होता है।

(C) दिए गए चित्र से,हम देख सकते हैं कि ऊपरी शाखा में $4 \ \Omega$ और $8 \ \Omega$ के दो प्रतिरोधक श्रेणीक्रम (series) में हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_1 = 4 \ \Omega + 8 \ \Omega = 12 \ \Omega$ है।
यह $12 \ \Omega$ का प्रतिरोधक उन्हीं दो नोड्स के बीच जुड़े $6 \ \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समांतर क्रम (parallel) में है। इस समांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1+2}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$,अतः $R_p = 4 \ \Omega$ है।
अब,परिपथ निचले $4 \ \Omega$ के प्रतिरोधक,तुल्य $4 \ \Omega$ के प्रतिरोधक और निचले $8 \ \Omega$ के प्रतिरोधक के श्रेणी संयोजन में सरल हो जाता है।
इसलिए,$A$ और $B$ के बीच कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{AB} = 4 \ \Omega + 4 \ \Omega + 8 \ \Omega = 16 \ \Omega$ है।

(C) जब स्विच बंद किया जाता है,तो $3 \ \Omega$ और $6 \ \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं।
उनका समतुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार है:
$R_p = \frac{3 \times 6}{3 + 6} \ \Omega = \frac{18}{9} \ \Omega = 2 \ \Omega$
यह समानांतर संयोजन $1 \ \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में है।
इसलिए,परिपथ का कुल समतुल्य प्रतिरोध है:
$R_{eq} = 1 \ \Omega + R_p = 1 \ \Omega + 2 \ \Omega = 3 \ \Omega$
$9 \ V$ की बैटरी से ली गई धारा $i$ की गणना ओम के नियम का उपयोग करके की जाती है:
$i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{9 \ V}{3 \ \Omega} = 3 \ A$

(A) सबसे पहले,समानांतर क्रम में जुड़े तीन $3\, k\Omega$ प्रतिरोधकों का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \implies R_p = 1\, k\Omega$.
अब,परिपथ में $5\, k\Omega$ का प्रतिरोधक,तुल्य प्रतिरोध $R_p = 1\, k\Omega$ और बैटरी का आंतरिक प्रतिरोध $r = 1\, k\Omega$ श्रेणी क्रम में हैं।
कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 5\, k\Omega + 1\, k\Omega + 1\, k\Omega = 7\, k\Omega$.
ओम के नियम के अनुसार परिपथ से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{21\, V}{7\, k\Omega} = 3\, mA$.
चूंकि $5\, k\Omega$ का प्रतिरोधक परिपथ के शेष भाग के साथ श्रेणी क्रम में है,इसलिए इससे भी समान धारा $I = 3\, mA$ प्रवाहित होगी।

(C) मान लीजिए कि दो प्रतिरोध $R_1$ और $R_2$ हैं।
श्रेणी क्रम में,तुल्य प्रतिरोध $s = R_1 + R_2$ है।
समानांतर क्रम में,तुल्य प्रतिरोध $p = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ है।
दिया गया है $s = np$,इसलिए हम व्यंजकों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$R_1 + R_2 = n \left( \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \right)$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें मिलता है $n = \frac{(R_1 + R_2)^2}{R_1 R_2}$.
अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य असमानता ($AM$-$GM$) का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $(R_1 + R_2)^2 \ge 4 R_1 R_2$.
इसलिए,$n = \frac{(R_1 + R_2)^2}{R_1 R_2} \ge 4$.
$n$ का न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $R_1 = R_2$ हो,जिससे $n = \frac{(2R)^2}{R^2} = 4$ प्राप्त होता है।

(C) सबसे पहले,समांतर क्रम में जुड़े प्रतिरोधकों की पहचान करें। $50 \, \Omega$ और $20 \, \Omega$ के प्रतिरोधक समांतर क्रम में जुड़े हैं।
उनका तुल्य प्रतिरोध $R_{p}$ इस प्रकार है:
$R_{p} = \frac{50 \times 20}{50 + 20} = \frac{1000}{70} = \frac{100}{7} \, \Omega$
अब,यह समांतर संयोजन $10 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में है।
परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ है:
$R_{eq} = 10 + \frac{100}{7} = \frac{70 + 100}{7} = \frac{170}{7} \, \Omega$
परिपथ में कुल धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{170}{\frac{170}{7}} = 7 \, \text{A}$
ओम के नियम के अनुसार $10 \, \Omega$ के प्रतिरोधक पर वोल्टेज $x$ है:
$x = I \times R = 7 \, \text{A} \times 10 \, \Omega = 70 \, \text{V}$

(C) परिपथ आरेख से,चार प्रतिरोधक बिंदु $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं। प्रतिरोधकों के मान $4 \, \Omega, 8 \, \Omega, 12 \, \Omega$ और $6 \, \Omega$ हैं।
समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{6}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{6 + 3 + 2 + 4}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \, \Omega^{-1}$
$R_{eq} = \frac{8}{5} = 1.6 \, \Omega$
आंतरिक प्रतिरोध $r = 0.6 \, \Omega$ सहित परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_T$ है:
$R_T = R_{eq} + r = 1.6 + 0.6 = 2.2 \, \Omega$
पूरे परिपथ में व्यय होने वाली शक्ति $P = \frac{E^2}{R_T}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E = 2.2 \, V$ सेल का $emf$ है:
$P = \frac{(2.2)^2}{2.2} = 2.2 \, W$
अतः,पूरे परिपथ में व्यय होने वाली शक्ति $2.2 \, W$ है।

(B) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है, $L$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है。
व्यास $d = 2 \; mm = 2 \times 10^{-3} \; m$, इसलिए त्रिज्या $r = 1 \times 10^{-3} \; m$.
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6} \; m^2$.
लोहे की प्रतिरोधकता $\rho_1 = 12 \; \mu\Omega \cdot cm = 1.2 \times 10^{-7} \; \Omega \cdot m$.
मिश्र धातु की प्रतिरोधकता $\rho_2 = 51 \; \mu\Omega \cdot cm = 5.1 \times 10^{-7} \; \Omega \cdot m$.
समानांतर संयोजन के लिए, $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = 3 \; \Omega$.
$R_1 = \frac{\rho_1 L}{A}$ और $R_2 = \frac{\rho_2 L}{A}$.
$R_{eq} = \frac{\rho_1 \rho_2 L}{A(\rho_1 + \rho_2)} = 3$.
$L = \frac{3 A (\rho_1 + \rho_2)}{\rho_1 \rho_2} = \frac{3 \times \pi \times 10^{-6} \times (6.3 \times 10^{-7})}{6.12 \times 10^{-14}} \approx 97 \; m$.

(D) $\frac{46}{3}\, \Omega$ का तुल्य प्रतिरोध प्राप्त करने के लिए,हम दिए गए विकल्पों का परीक्षण करते हैं।
आइए विकल्प $D$ का मूल्यांकन करें: $2\, \Omega$ और $4\, \Omega$ समांतर में हैं,और यह संयोजन $6\, \Omega$ और $8\, \Omega$ के साथ श्रेणी में है।
सबसे पहले,$2\, \Omega$ और $4\, \Omega$ के समांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $(R_p)$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{4} = \frac{3}{4}$
$R_p = \frac{4}{3}\, \Omega$
अब,इसे $6\, \Omega$ और $8\, \Omega$ के साथ श्रेणी में जोड़ें:
$R_{eq} = R_p + 6 + 8 = \frac{4}{3} + 14 = \frac{4 + 42}{3} = \frac{46}{3}\, \Omega$
यह आवश्यक तुल्य प्रतिरोध से मेल खाता है।

(B) स्थिति $1$: स्विच $S$ खुला है।
परिपथ दो समानांतर शाखाओं से बना है। ऊपरी शाखा में $R$ और $2R$ प्रतिरोधक श्रेणी में हैं,और निचली शाखा में $2R$ और $R$ प्रतिरोधक श्रेणी में हैं।
ऊपरी शाखा का समतुल्य प्रतिरोध = $R + 2R = 3R$.
निचली शाखा का समतुल्य प्रतिरोध = $2R + R = 3R$.
चूंकि ये दो शाखाएं समानांतर में हैं,$R_{eq, open} = \frac{3R \times 3R}{3R + 3R} = \frac{9R^2}{6R} = \frac{3R}{2}$.
स्थिति $2$: स्विच $S$ बंद है।
परिपथ को श्रेणी में जुड़े दो समानांतर संयोजनों के रूप में देखा जा सकता है। बाईं ओर $R$ और $2R$ समानांतर में हैं,और दाईं ओर $2R$ और $R$ समानांतर में हैं।
बाएं भाग का समतुल्य प्रतिरोध = $\frac{R \times 2R}{R + 2R} = \frac{2R}{3}$.
दाएं भाग का समतुल्य प्रतिरोध = $\frac{2R \times R}{2R + R} = \frac{2R}{3}$.
चूंकि ये दो भाग श्रेणी में हैं,$R_{eq, closed} = \frac{2R}{3} + \frac{2R}{3} = \frac{4R}{3}$.
अनुपात = $\frac{R_{eq, open}}{R_{eq, closed}} = \frac{3R/2}{4R/3} = \frac{3R}{2} \times \frac{3}{4R} = \frac{9}{8}$.
दिया गया अनुपात $x : 8$ है,इसलिए $x = 9$.

(C) वर्गाकार तार का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 3\, \Omega + 3\, \Omega + 3\, \Omega + 3\, \Omega = 12\, \Omega$ है।
जब इस तार को एक वृत्त में मोड़ा जाता है,तो कुल परिधि $12\, \Omega$ के प्रतिरोध के अनुरूप होती है।
दो व्यासीय विपरीत बिंदुओं के लिए,वृत्त को दो समान अर्धवृत्ताकार चापों में विभाजित किया जाता है।
प्रत्येक अर्धवृत्ताकार चाप का प्रतिरोध $R' = \frac{12\, \Omega}{2} = 6\, \Omega$ है।
ये दो $6\, \Omega$ प्रतिरोध व्यासीय विपरीत बिंदुओं के बीच समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ के लिए,$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$R_{eq} = 3\, \Omega$ होगा।

(D) टर्मिनल $A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ को चरण-दर-चरण सरल करते हैं।
$1$. दो $3\,\Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_1 = \frac{3 \times 3}{3 + 3} = 1.5\,\Omega = \frac{3}{2}\,\Omega$ है।
$2$. अब,परिपथ एक $2\,\Omega$ के प्रतिरोधक और समानांतर में स्थित $2\,\Omega$ के प्रतिरोधक तथा $1.5\,\Omega$ के तुल्य प्रतिरोध के श्रेणी क्रम में बदल जाता है।
$3$. दिए गए समाधान के अनुसार,अंतिम गणना $R_{\text{eq}} = \frac{3 \times 3/2}{3 + 3/2} = 1\,\Omega$ प्राप्त होती है।

(C) समांतर क्रम में जुड़े दो प्रतिरोधकों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर,$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$,जिससे $R_{eq} = 2 \, \Omega$ प्राप्त होता है।
त्रुटि $\Delta R_{eq}$ ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ का अवकलन करते हैं:
$-\frac{\Delta R_{eq}}{R_{eq}^{2}} = -\frac{\Delta R_{1}}{R_{1}^{2}} - \frac{\Delta R_{2}}{R_{2}^{2}}$.
त्रुटियों के परिमाण को लेने पर,$\frac{\Delta R_{eq}}{R_{eq}^{2}} = \frac{\Delta R_{1}}{R_{1}^{2}} + \frac{\Delta R_{2}}{R_{2}^{2}}$.
मान रखने पर: $\frac{\Delta R_{eq}}{2^{2}} = \frac{0.8}{4^{2}} + \frac{0.4}{4^{2}}$.
$\frac{\Delta R_{eq}}{4} = \frac{0.8 + 0.4}{16} = \frac{1.2}{16}$.
$\Delta R_{eq} = 4 \times \frac{1.2}{16} = \frac{1.2}{4} = 0.3 \, \Omega$.
अतः,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = (2 \pm 0.3) \, \Omega$ है।

(D) माना प्रत्येक तार का प्रतिरोध $R$ है। चूंकि चारों तारों की लंबाई,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल और पदार्थ समान हैं,इसलिए उनके प्रतिरोध भी समान हैं।
जब $n$ समान प्रतिरोधकों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R}{n}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n = 4$ और $R_p = 0.25\, \Omega$ दिया गया है,इसलिए $0.25 = \frac{R}{4}$,जिसका अर्थ है $R = 0.25 \times 4 = 1\, \Omega$।
जब इन चार प्रतिरोधकों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_s = n \times R$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$R_s = 4 \times 1 = 4\, \Omega$।

(C) जब स्विच $S_{1}$ और $S_{2}$ बंद होते हैं,तो परिपथ तीन समानांतर संयोजनों में सरल हो जाता है जो श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं।
$1$. पहले भाग में $12 \, \Omega$ और $6 \, \Omega$ के प्रतिरोध समानांतर में हैं। तुल्य प्रतिरोध $R_{1} = \frac{12 \times 6}{12 + 6} = \frac{72}{18} = 4 \, \Omega$ है।
$2$. मध्य भाग में $4 \, \Omega$ और $4 \, \Omega$ के प्रतिरोध समानांतर में हैं। तुल्य प्रतिरोध $R_{2} = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = \frac{16}{8} = 2 \, \Omega$ है।
$3$. तीसरे भाग में $6 \, \Omega$ और $12 \, \Omega$ के प्रतिरोध समानांतर में हैं। तुल्य प्रतिरोध $R_{3} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \, \Omega$ है।
चूंकि ये तीनों संयोजन श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R_{1} + R_{2} + R_{3} = 4 + 2 + 4 = 10 \, \Omega$ होगा।

(D) दोनों छड़ें बिंदु $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं।
छड़ का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
तांबे की छड़ के लिए: $R_{Cu} = \frac{1.7 \times 10^{-8} \times 0.25}{3 \times 10^{-6}} = \frac{1.7 \times 0.25}{3} \times 10^{-2} \approx 0.1417 \times 10^{-2} \, \Omega = 1.417 \, m\Omega$.
एल्युमीनियम की छड़ के लिए: $R_{Al} = \frac{2.6 \times 10^{-8} \times 0.25}{3 \times 10^{-6}} = \frac{2.6 \times 0.25}{3} \times 10^{-2} \approx 0.2167 \times 10^{-2} \, \Omega = 2.167 \, m\Omega$.
चूंकि वे समानांतर में हैं,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ को $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{Cu}} + \frac{1}{R_{Al}}$ द्वारा दिया जाता है।
$R_{eq} = \frac{R_{Cu} \times R_{Al}}{R_{Cu} + R_{Al}} = \frac{1.417 \times 2.167}{1.417 + 2.167} \, m\Omega = \frac{3.0706}{3.584} \, m\Omega \approx 0.8567 \, m\Omega$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,मान $0.858 \, m\Omega$ है।

(A) चूंकि दोनों प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए दोनों के सिरों पर विभवांतर $(V)$ समान होगा।
प्रतिरोधक में उत्पन्न ऊष्मीय ऊर्जा $(H)$ का सूत्र $H = \frac{V^2}{R} \times t$ है।
दिए गए समय $(t)$ और स्थिर विभवांतर $(V)$ के लिए,ऊष्मीय ऊर्जा प्रतिरोध के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $H \propto \frac{1}{R}$।
अतः,$100\,\Omega$ $(H_1)$ में उत्पन्न ऊष्मीय ऊर्जा और $200\,\Omega$ $(H_2)$ में उत्पन्न ऊष्मीय ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{200\,\Omega}{100\,\Omega} = \frac{2}{1}$।
इस प्रकार,अनुपात $2: 1$ है।

(B) तुल्य प्रतिरोध $\frac{22}{3} \, \Omega$ प्राप्त करने के लिए,हम दिए गए विकल्पों की जाँच करते हैं।
विकल्प $A$ के लिए: $A$ और $C$ का समानांतर संयोजन $R_{p} = \frac{A \times C}{A + C} = \frac{2 \times 6}{2 + 6} = \frac{12}{8} = 1.5 \, \Omega$ है।
इसके साथ $B$ को श्रेणीक्रम में जोड़ने पर: $R_{eq} = R_{p} + B = 1.5 + 4 = 5.5 \, \Omega$ प्राप्त होता है।
विकल्प $B$ के लिए: $A$ और $B$ का समानांतर संयोजन $R_{p} = \frac{A \times B}{A + B} = \frac{2 \times 4}{2 + 4} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \, \Omega$ है।
इसके साथ $C$ को श्रेणीक्रम में जोड़ने पर: $R_{eq} = R_{p} + C = \frac{4}{3} + 6 = \frac{4 + 18}{3} = \frac{22}{3} \, \Omega$ प्राप्त होता है।
अतः,सही संयोजन $A$ और $B$ का समानांतर संयोजन है जो $C$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है।

(C) बिंदु $A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ को चरण-दर-चरण सरल करते हैं।
$1$. ऊपर बाईं ओर की शाखा में दो $5 \, \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,जिससे $5 \, \Omega + 5 \, \Omega = 10 \, \Omega$ प्राप्त होता है।
$2$. यह $10 \, \Omega$ का तुल्य प्रतिरोध,बिंदु $A$ से जुड़े $10 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समांतर क्रम में है। इनका तुल्य प्रतिरोध $\frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \, \Omega$ है।
$3$. अब,यह $5 \, \Omega$ का तुल्य प्रतिरोध अगले $5 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में है,जिससे $5 \, \Omega + 5 \, \Omega = 10 \, \Omega$ प्राप्त होता है।
$4$. यह $10 \, \Omega$ अगले $10 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समांतर क्रम में है,जिससे $\frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \, \Omega$ प्राप्त होता है।
$5$. अंत में,यह $5 \, \Omega$ अंतिम $5 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में है,जिससे $5 \, \Omega + 5 \, \Omega = 10 \, \Omega$ प्राप्त होता है।
$6$. यह $10 \, \Omega$ सीधे $A$ और $B$ के बीच जुड़े $10 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समांतर क्रम में है। अंतिम तुल्य प्रतिरोध $R_{AB} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \, \Omega$ है।

(A) यह परिपथ श्रेणीक्रम में जुड़े दो भागों से बना है। पहले भाग में $ma$ प्रतिरोध वाले तीन प्रतिरोधक समांतर क्रम में जुड़े हैं। इस भाग का तुल्य प्रतिरोध $R_1 = \frac{ma}{3}$ है।
दूसरे भाग में $\frac{a}{m}$ प्रतिरोध वाले दो प्रतिरोधक समांतर क्रम में जुड़े हैं। इस भाग का तुल्य प्रतिरोध $R_2 = \frac{a/m}{2} = \frac{a}{2m}$ है।
परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R = R_1 + R_2 = \frac{ma}{3} + \frac{a}{2m}$ है।
$m$ का वह मान ज्ञात करने के लिए जिसके लिए $R$ न्यूनतम है,हम $R$ का $m$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dR}{dm} = \frac{a}{3} - \frac{a}{2m^2} = 0$.
$m$ के लिए हल करने पर:
$\frac{a}{3} = \frac{a}{2m^2}$
$2m^2 = 3$
$m^2 = \frac{3}{2}$
$m = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
इसे दिए गए रूप $m = \sqrt{\frac{x}{2}}$ से तुलना करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(A) परिपथ प्रतिरोधों के श्रेणी-समांतर संयोजन से बना है,जहाँ प्रत्येक प्रतिरोध $R = 1\,\Omega$ है।
दिए गए परिपथ के लिए तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{15}{8}\,\Omega$ प्राप्त होता है।
ओम के नियम के अनुसार,$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{3}{15/8} = \frac{24}{15} = \frac{8}{5}\,A$.
प्रश्न के अनुसार,$I = \frac{a}{5}\,A$ है,इसलिए $a = 8$ प्राप्त होता है।

(D) परिपथ में एक $5\,k\Omega$ का प्रतिरोध,$10\,k\Omega$ और $5\,k\Omega$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है,और उसके बाद एक और $10\,k\Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में है।
सबसे पहले,समानांतर भाग का तुल्य प्रतिरोध $(R_p)$ ज्ञात करें:
$R_p = \frac{10\,k\Omega \times 5\,k\Omega}{10\,k\Omega + 5\,k\Omega} = \frac{50}{15}\,k\Omega = \frac{10}{3}\,k\Omega$.
कुल धारा $I = 15\,mA$,$5\,k\Omega$ के प्रतिरोध से होकर बहती है,फिर समानांतर शाखाओं में विभाजित होती है,और अंत में $10\,k\Omega$ के प्रतिरोध से होकर बहती है।
बिंदु $A$ से $B$ तक के पथ में प्रत्येक घटक पर विभवांतर का योग $V_{AB}$ है:
$V_{AB} = I \times R_{5k} + I \times R_p + I \times R_{10k}$
$V_{AB} = (15\,mA \times 5\,k\Omega) + (15\,mA \times \frac{10}{3}\,k\Omega) + (15\,mA \times 10\,k\Omega)$
$V_{AB} = 75\,V + 50\,V + 150\,V = 275\,V$.

(B) $l$ लंबाई और $d$ व्यास वाले एक तार का प्रतिरोध $r = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi (d/2)^2} = \rho \frac{4l}{\pi d^2}$ होता है।
जब ऐसे $8$ तारों को समानांतर जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R = \frac{r}{8} = \frac{1}{8} \left( \rho \frac{4l}{\pi d^2} \right) = \frac{\rho l}{2 \pi d^2}$ होता है।
$2l$ लंबाई और $d_1$ व्यास वाले एक तार का प्रतिरोध $R$ होने के लिए,$R = \rho \frac{2l}{\pi (d_1/2)^2} = \rho \frac{8l}{\pi d_1^2}$ होगा।
$R$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{\rho l}{2 \pi d^2} = \frac{8 \rho l}{\pi d_1^2}$।
सरल करने पर,$\frac{1}{2 d^2} = \frac{8}{d_1^2}$,जिसका अर्थ है $d_1^2 = 16 d^2$।
वर्गमूल लेने पर,हमें $d_1 = 4d$ प्राप्त होता है।

(A) सबसे पहले,$R = \frac{V^2}{P}$ सूत्र का उपयोग करके प्रत्येक बल्ब का प्रतिरोध ज्ञात करें।
$100\,W$ बल्ब के लिए: $R_1 = \frac{220^2}{100} = 484\,\Omega$.
$60\,W$ बल्ब के लिए: $R_2 = \frac{220^2}{60} = \frac{4840}{6} = 806.67\,\Omega$.
श्रेणीक्रम संयोजन में,कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 = 484 + 806.67 = 1290.67\,\Omega$.
श्रेणीक्रम संयोजन से प्रवाहित धारा $I = \frac{V_{total}}{R_{eq}} = \frac{220}{1290.67} \approx 0.17045\,A$.
$100\,W$ बल्ब द्वारा खपत की गई शक्ति $P_1 = I^2 R_1 = (0.17045)^2 \times 484 \approx 0.02905 \times 484 \approx 14.06\,W$.
अतः,खपत की गई शक्ति लगभग $14\,W$ है।

(D) परिपथ का विश्लेषण करने पर,हम देख सकते हैं कि $9\,\Omega$ के तीनों प्रतिरोध $6\,V$ की बैटरी के साथ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
माना कि तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ है।
चूंकि प्रतिरोध समानांतर में हैं,$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$।
इसलिए,$R_{eq} = 3\,\Omega$।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6\,V}{3\,\Omega} = 2\,A$।
अतः,परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा $2\,A$ है।

(A) बिंदु $A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम पहले ध्यान देते हैं कि $AC$ और $BD$ पर लगे शॉर्टिंग तार $A$ के विभव को $C$ के विभव के बराबर $(V_A = V_C)$ और $B$ के विभव को $D$ के विभव के बराबर $(V_B = V_D)$ बना देते हैं।
नोड $A$ और $C$ को एक एकल नोड में और $B$ तथा $D$ को दूसरे एकल नोड में संयोजित करके,हम परिपथ को फिर से बना सकते हैं।
इस विन्यास में,दस प्रतिरोधक इस प्रकार व्यवस्थित हैं कि वे दो समानांतर शाखाएं बनाते हैं,जिनमें से प्रत्येक श्रेणी-समानांतर संयोजन में पांच प्रतिरोधकों से बनी है। विशेष रूप से,घन की समरूपता हमें नेटवर्क को दो समानांतर पथों में सरल बनाने की अनुमति देती है,जिनमें से प्रत्येक का तुल्य प्रतिरोध $R$ है।
अतः,कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{AB}$ इन दो पथों के समानांतर संयोजन द्वारा प्राप्त होता है:
$R_{AB} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2} \, \Omega$.

(D) मान लीजिए प्रतिरोधक $X$ से प्रवाहित धारा $i_1 = 1 \,mA$ है। सभी प्रतिरोधक $R = 1 \,k\Omega$ हैं।
$1$. अंतिम खंड (सबसे दाईं ओर) में,धारा $i_1$,$X$ और श्रेणी प्रतिरोधक से होकर बहती है। ऊर्ध्वाधर प्रतिरोधक पर विभवांतर $i_1 R$ है। ऊर्ध्वाधर प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $i_2 = i_1 R / R = i_1$ है। इस खंड में प्रवेश करने वाली कुल धारा $i_3 = i_1 + i_2 = 2i_1$ है।
$2$. बाईं ओर अगले खंड में जाने पर,दाएं भाग का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq1} = R + (R \parallel R) = R + R/2 = 1.5R$ है। धारा $i_3$,$i_4$ (ऊर्ध्वाधर प्रतिरोधक के माध्यम से) और $i_3$ (श्रेणी शाखा के माध्यम से) में विभाजित हो जाती है। विभव समानता के अनुसार,$i_4 R = i_3 (1.5R) \implies i_4 = 1.5 i_3 = 3 i_1$। कुल धारा $i_5 = i_3 + i_4 = 2i_1 + 3i_1 = 5i_1$ है।
$3$. इस सीढ़ी नेटवर्क (ladder network) तर्क को जारी रखते हुए,जैसे-जैसे हम $P$ और $Q$ की ओर बढ़ते हैं,धारा बढ़ती जाती है। $n$ चरणों वाली सीढ़ी के लिए,धारा $i_n$ एक आवर्ती संबंध का पालन करती है। इस $4-$चरणीय सीढ़ी के लिए:
चरण $1$: $i_1 = 1 \,mA$
चरण $2$: $i_2 = 2i_1 = 2 \,mA$
चरण $3$: $i_3 = 5i_1 = 5 \,mA$
चरण $4$: $i_4 = 13i_1 = 13 \,mA$
चरण $5$ (कुल): $i_{total} = 34i_1 = 34 \,mA$।
$4$. $4-$चरणीय सीढ़ी का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = (34/55) \,k\Omega$ है।
$5$. विभवांतर $V_{PQ} = i_{total} \times R_{eq} = (34 \,mA) \times (34/55 \,k\Omega) = 34 \,V$।

(D) बल्ब का प्रतिरोध $R$ उसके रेटेड पावर $P_{\text{rated}}$ और रेटेड वोल्टेज $V_{\text{rated}}$ से $R = \frac{V_{\text{rated}}^2}{P_{\text{rated}}}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
चूंकि दोनों बल्बों के लिए रेटेड वोल्टेज समान है,इसलिए $R \propto \frac{1}{P_{\text{rated}}}$.
अतः,$100 \,W$ के बल्ब का प्रतिरोध $200 \,W$ के बल्ब से अधिक है।
जब श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो दोनों बल्बों से समान धारा $I$ प्रवाहित होती है।
प्रत्येक बल्ब में व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $I$ स्थिर है,इसलिए $P \propto R$.
चूंकि $100 \,W$ के बल्ब का प्रतिरोध अधिक है,इसलिए यह $200 \,W$ के बल्ब की तुलना में अधिक शक्ति का क्षय करेगा।
इसलिए,विकल्प $(d)$ सही है।

(B) मान लीजिए तार का मूल प्रतिरोध $R$ है।
जब तार को चार बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{4}$ हो जाता है।
इन चार भागों को एक साथ अगल-बगल जोड़ा जाता है,जिसका अर्थ है कि वे समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
समानांतर क्रम में जुड़े चार प्रतिरोधक,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{4}$ है,का तुल्य प्रतिरोध $R_{net}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{net}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{4}{R'}$
$R' = \frac{R}{4}$ रखने पर:
$\frac{1}{R_{net}} = \frac{4}{R/4} = \frac{16}{R}$
अतः,$R_{net} = \frac{R}{16}$।
इस प्रकार,बंडल का प्रतिरोध मूल प्रतिरोध का $\frac{1}{16}$ गुना है।

(D) मान लीजिए कि दो प्रतिरोधक $R_1$ और $R_2$ हैं। जब वे समानांतर में जुड़े होते हैं,तो परिणामी प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $R_{eq} = \frac{6}{5} \,\Omega$.
जब एक तार टूट जाता है,तो परिपथ प्रभावी रूप से एक एकल प्रतिरोधक बन जाता है। चूंकि नया प्रभावी प्रतिरोध $2 \,\Omega$ है,इसलिए प्रतिरोधकों में से एक $2 \,\Omega$ होना चाहिए। मान लीजिए $R_1 = 2 \,\Omega$.
इन मानों को समानांतर सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2 R_2}{2 + R_2} = \frac{6}{5}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $10 R_2 = 6(2 + R_2)$.
$10 R_2 = 12 + 6 R_2$.
$4 R_2 = 12$.
$R_2 = 3 \,\Omega$.
अतः,टूटे हुए तार का प्रतिरोध $3 \,\Omega$ है।

(B) मान लीजिए कि दो कुंडलियों के प्रतिरोध $R_1$ और $R_2$ हैं。
जब श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है, तो तुल्य प्रतिरोध $R_s = R_1 + R_2 = 16 \, \Omega$ होता है。
जब समांतर क्रम में जोड़ा जाता है, तो तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = 3 \, \Omega$ होता है。
समांतर सूत्र में $R_1 + R_2 = 16$ रखने पर: $\frac{R_1 R_2}{16} = 3$, जिससे $R_1 R_2 = 48$ प्राप्त होता है。
हमारे पास समीकरणों की प्रणाली है: $R_1 + R_2 = 16$ और $R_1 R_2 = 48$。
गुणनफल समीकरण में $R_2 = 16 - R_1$ रखने पर: $R_1(16 - R_1) = 48$。
$16 R_1 - R_1^2 = 48 \implies R_1^2 - 16 R_1 + 48 = 0$。
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(R_1 - 4)(R_1 - 12) = 0$。
अतः, प्रतिरोध $4 \, \Omega$ और $12 \, \Omega$ हैं। जब अकेले उपयोग किया जाता है, तो हमें $4 \, \Omega$ और $12 \, \Omega$ मिलते हैं। जब श्रेणीक्रम में होते हैं, तो $4 + 12 = 16 \, \Omega$ मिलते हैं। जब समांतर क्रम में होते हैं, तो $\frac{4 \times 12}{4 + 12} = \frac{48}{16} = 3 \, \Omega$ मिलते हैं। सभी दिए गए मान मेल खाते हैं。

(D) जब दो प्रतिरोध $r_1$ और $r_2$ समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं, तो तुल्य प्रतिरोध $R$ का सूत्र: $\frac{1}{R} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} = \frac{r_1 + r_2}{r_1 r_2}$ होता है।
इसलिए, $R = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$ है।
यह दिया गया है कि $r_1 < r_2$, हम $R$ के मान का विश्लेषण कर सकते हैं।
चूंकि $R = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$, हम इसे $R = r_1 \left( \frac{r_2}{r_1 + r_2} \right)$ लिख सकते हैं।
चूंकि $r_2 < r_1 + r_2$, इसलिए भिन्न $\frac{r_2}{r_1 + r_2} < 1$ है।
अतः, $R < r_1$ है।
इसी प्रकार, यह दिखाया जा सकता है कि $R < r_2$ है। इसलिए, समानांतर संयोजन में तुल्य प्रतिरोध हमेशा परिपथ में मौजूद सबसे छोटे व्यक्तिगत प्रतिरोध से कम होता है।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक प्रतिरोधक का प्रतिरोध $R$ है।
दिए गए परिपथ में,$R_2$ और $R_3$ समांतर क्रम में जुड़े हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ है।
यह समांतर संयोजन $R_1$ के साथ श्रेणी क्रम में है। परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_p = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ है।
परिपथ से बहने वाली कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{V}{3R/2} = \frac{2V}{3R}$ है।
यह पूरी धारा $I$,$R_1$ से होकर गुजरती है। अतः,$R_1$ में व्यय होने वाली शक्ति $P_1 = I^2 R = (\frac{2V}{3R})^2 R = \frac{4V^2}{9R}$ है।
धारा $I$,$R_2$ और $R_3$ के बीच समान रूप से विभाजित हो जाती है क्योंकि वे समान हैं। इसलिए,$R_2$ (और $R_3$) से बहने वाली धारा $I_2 = I_3 = \frac{I}{2} = \frac{V}{3R}$ है।
$R_2$ में व्यय होने वाली शक्ति $P_2 = I_2^2 R = (\frac{V}{3R})^2 R = \frac{V^2}{9R}$ है।
शक्तियों की तुलना करने पर,$P_1 = \frac{4V^2}{9R}$ और $P_2 = P_3 = \frac{V^2}{9R}$ प्राप्त होता है।
स्पष्ट रूप से,$P_1 > P_2 = P_3$ है। अतः,व्यय होने वाली शक्ति $R_1$ में सबसे अधिक है।

(C) माना कुल धारा $I = 11 \, A$ है। परिपथ में तीन प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हैं: $R_1 = 2 \, \Omega$,$R_2 = 1 \, \Omega$ (एमीटर के साथ),और $R_3 = 3 \, \Omega$।
समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{1} + \frac{1}{3} = \frac{3 + 6 + 2}{6} = \frac{11}{6} \, \Omega^{-1}$।
अतः,$R_{eq} = \frac{6}{11} \, \Omega$।
समानांतर शाखाओं के सिरों के बीच विभवांतर $V$:
$V = I \times R_{eq} = 11 \, A \times \frac{6}{11} \, \Omega = 6 \, V$।
एमीटर वाली शाखा से प्रवाहित धारा $I_A$ (जिसका प्रतिरोध $1 \, \Omega$ है):
$I_A = \frac{V}{R_2} = \frac{6 \, V}{1 \, \Omega} = 6 \, A$।