Equivalent Resistance - Series and Parallel , Circuit Questions in Hindi

(C) मान लीजिए कि $A$ और $B$ के बीच प्रभावी प्रतिरोध $R_{eq}$ है।
चूंकि लैडर अनंत है या इसमें कई तत्व हैं,इसलिए एक और खंड जोड़ने से प्रभावी प्रतिरोध नहीं बदलता है। इस प्रकार,पहले खंड के दाईं ओर के पूरे नेटवर्क का प्रतिरोध भी $R_{eq}$ है।
पहले खंड में दो $2 \ \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,जो $8 \ \Omega$ के प्रतिरोधक और शेष नेटवर्क $(R_{eq})$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में हैं।
अतः,$R_{eq} = 2 + 2 + \frac{8 \times R_{eq}}{8 + R_{eq}} = 4 + \frac{8 R_{eq}}{8 + R_{eq}}$.
$R_{eq} - 4 = \frac{8 R_{eq}}{8 + R_{eq}}$.
$(R_{eq} - 4)(8 + R_{eq}) = 8 R_{eq}$.
$8 R_{eq} + R_{eq}^2 - 32 - 4 R_{eq} = 8 R_{eq}$.
$R_{eq}^2 - 4 R_{eq} - 32 = 0$.
$(R_{eq} - 8)(R_{eq} + 4) = 0$.
चूंकि प्रतिरोध ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $R_{eq} = 8 \ \Omega$.
नेटवर्क के तत्वों की संख्या से स्वतंत्र होने के लिए,अंतिम प्रतिरोध $R$ को नेटवर्क के अभिलक्षणिक प्रतिरोध के बराबर होना चाहिए,जो $R_{eq} = 8 \ \Omega$ है।

(B) $1$. $2 \,\Omega$ के दो प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_1$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \implies R_1 = 1 \,\Omega$.
$2$. $4 \,\Omega$ के दो प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_2$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \implies R_2 = 2 \,\Omega$.
$3$. अब,$R_1$ और $R_2$ श्रेणी क्रम में हैं। अतः कुल प्रभावी प्रतिरोध $R_{net} = R_1 + R_2 = 1 \,\Omega + 2 \,\Omega = 3 \,\Omega$.

(A) और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ को चरण-दर-चरण सरल करते हैं:
$1$. बाईं ओर के दो $4 \,\Omega$ प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं,जिससे तुल्य प्रतिरोध $R_1 = (4 \times 4) / (4 + 4) = 2 \,\Omega$ प्राप्त होता है।
$2$. दाईं ओर के दो $4 \,\Omega$ प्रतिरोधक भी समानांतर क्रम में हैं,जिससे तुल्य प्रतिरोध $R_2 = (4 \times 4) / (4 + 4) = 2 \,\Omega$ प्राप्त होता है।
$3$. अब,परिपथ एक ब्रिज जैसी संरचना में सरल हो जाता है जहाँ इनपुट और आउटपुट नोड्स के बीच दो शाखाएं समानांतर हैं। प्रत्येक शाखा में श्रेणी क्रम में दो $2 \,\Omega$ के प्रतिरोधक हैं।
$4$. ऊपरी शाखा का प्रतिरोध $2 \,\Omega + 2 \,\Omega = 4 \,\Omega$ है।
$5$. निचली शाखा का प्रतिरोध $2 \,\Omega + 2 \,\Omega = 4 \,\Omega$ है।
$6$. अंत में,ये दो $4 \,\Omega$ की शाखाएं समानांतर हैं,इसलिए कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = (4 \times 4) / (4 + 4) = 2 \,\Omega$ है।

(C) परिपथ आरेख का अवलोकन करने पर:
$1$. प्रतिरोधक $R_2$ और $R_3$ इस प्रकार जुड़े हैं कि उनके सिरे समान दो नोड्स पर जुड़े हुए हैं। इसलिए,वे समानांतर क्रम में हैं।
$2$. $R_1$,$(R_2, R_3)$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणी क्रम में है।
$3$. $R_4$ और $R_5$ एक-दूसरे के साथ श्रेणी क्रम में हैं।
$4$. $(R_1, R_2, R_3)$ वाली शाखा,$R_6$ वाली शाखा,और $(R_4, R_5)$ वाली शाखा,सभी नोड्स $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं।
अतः,सही कथन यह है कि $R_2$ और $R_3$ समानांतर क्रम में जुड़े हैं।

(B) बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ की संरचना का विश्लेषण करते हैं.
$1$. परिपथ में $\frac{2r}{3}$ का एक प्रतिरोधक समानांतर नेटवर्क के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा हुआ है.
$2$. समानांतर नेटवर्क में दो शाखाएं हैं. नोडल विश्लेषण या समरूपता का उपयोग करके ब्रिज जैसी संरचना को सरल बनाने पर,हम पाते हैं कि समानांतर भाग का तुल्य प्रतिरोध $\frac{4r}{3}$ हो जाता है.
$3$. कुल प्रभावी प्रतिरोध $R_{\text{net}}$ श्रेणीक्रम प्रतिरोधक और समानांतर भाग के तुल्य प्रतिरोध का योग है:
$R_{\text{net}} = \frac{2r}{3} + \frac{4r}{3} = \frac{6r}{3} = 2r$.
अतः,सही विकल्प $(b)$ है.

(B) परिपथ आरेख से, तीन $6 \, \Omega$ के प्रतिरोधक वोल्टेज स्रोत के साथ समानांतर में जुड़े हुए हैं और एक $6 \, \Omega$ का प्रतिरोधक बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में है।
मान लीजिए कि तीन समानांतर प्रतिरोधक $R_1, R_2, R_3$ हैं जहाँ $R_1 = R_2 = R_3 = 6 \, \Omega$ है।
इन तीन समानांतर प्रतिरोधकों का समतुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{6}{3} = 2 \, \Omega$ है।
यह समतुल्य प्रतिरोध $R_p$ शेष $6 \, \Omega$ प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में है।
इसलिए, परिपथ का कुल समतुल्य प्रतिरोध $R_{net} = R_p + 6 \, \Omega = 2 \, \Omega + 6 \, \Omega = 8 \, \Omega$ है।
बैटरी का वोल्टेज $V = 24 \, V$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, $I = \frac{V}{R_{net}} = \frac{24 \, V}{8 \, \Omega} = 3 \, A$.
अतः, धारा $I$ का मान $3 \, A$ है।

(B) यह परिपथ $A$ और $B$ बिंदुओं के बीच जुड़ी दो समानांतर शाखाओं से बना है। प्रत्येक शाखा में श्रेणीक्रम में दो $10 \,\Omega$ के प्रतिरोधक हैं।
$1$. ऊपरी शाखा में श्रेणीक्रम में दो $10 \,\Omega$ के प्रतिरोधक हैं,इसलिए इसका प्रतिरोध $R_1 = 10 \,\Omega + 10 \,\Omega = 20 \,\Omega$ है।
$2$. निचली शाखा में भी श्रेणीक्रम में दो $10 \,\Omega$ के प्रतिरोधक हैं,इसलिए इसका प्रतिरोध $R_2 = 10 \,\Omega + 10 \,\Omega = 20 \,\Omega$ है।
$3$. डायोड इन दो शाखाओं के मध्य बिंदुओं के बीच जुड़ा हुआ है। चूंकि परिपथ सममित है,दोनों मध्य बिंदुओं पर विभव समान है,जिसका अर्थ है कि डायोड के सिरों पर कोई विभवांतर नहीं है। इसलिए,डायोड संतुलन की स्थिति में है और इसमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
$4$. $A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$,$R_1$ और $R_2$ का समानांतर संयोजन है:
$R_{eq} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{20 \times 20}{20 + 20} = \frac{400}{40} = 10 \,\Omega$.

(D) मान लीजिए कि तार का कुल प्रतिरोध $R$ है। चित्र $(1)$ में,$M$ और $N$ के बीच प्रतिरोध $R_1 = R$ है।
चित्र $(2)$ में,तार को एक वर्ग में मोड़ा गया है,इसलिए प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $R/4$ है। $M$ और $N$ बिंदु वर्ग के विपरीत कोनों पर हैं। यह दो समानांतर शाखाएं बनाता है,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $R/2$ (दो भुजाएं श्रेणीक्रम में) है। तुल्य प्रतिरोध $R_2$ का मान $\frac{1}{R_2} = \frac{1}{R/2} + \frac{1}{R/2} = \frac{4}{R}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $R_2 = R/4$ है।
चूंकि $R_2 < R_1$,प्रतिरोध कम हो जाता है।
ओम के नियम के अनुसार,$I = V/R$। चूंकि $R$ कम हो जाता है,इसलिए धारा $I$ बढ़ जाती है।
उत्पन्न ऊष्मा $H = \frac{V^2}{R} t$ है। चूंकि $R$ कम हो जाता है,इसलिए उत्पन्न ऊष्मा $H$ बढ़ जाती है।
अतः,तार से प्रवाहित धारा और तार में उत्पन्न ऊष्मा दोनों बढ़ जाते हैं।

(D) दिए गए परिपथ में,दो $4\,\Omega$ के प्रतिरोधक एक शॉर्ट-सर्किटिंग तार के साथ समानांतर में जुड़े हुए हैं। इसका मतलब है कि विद्युत धारा इन प्रतिरोधकों से होकर नहीं बहेगी,जिससे वे प्रभावी रूप से परिपथ से हट जाएंगे।
शॉर्ट हुए प्रतिरोधकों को हटाने के बाद,परिपथ $3\,\Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में,फिर $2\,\Omega$ के दो प्रतिरोधकों के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में,और अंत में $6\,\Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में सरल हो जाता है।
$2\,\Omega$ के दो समानांतर प्रतिरोधकों का तुल्य प्रतिरोध:
$R_p = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = \frac{4}{4} = 1\,\Omega$
अब,टर्मिनल $A$ और $B$ के बीच कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ श्रेणीक्रम में जुड़े घटकों का योग है:
$R_{eq} = 3\,\Omega + R_p + 6\,\Omega$
$R_{eq} = 3\,\Omega + 1\,\Omega + 6\,\Omega = 10\,\Omega$

(A) परिपथ आरेख से,हम $A$ और $B$ बिंदुओं के बीच समानांतर में जुड़ी शाखाओं को सरल बना सकते हैं:
$1$. ऊपरी शाखा में $1.5 \, \Omega$ और $0.5 \, \Omega$ के दो प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए $R_1 = 1.5 + 0.5 = 2 \, \Omega$।
$2$. दूसरी शाखा $12 \, \Omega$ का एक प्रतिरोधक है।
$3$. सरलीकृत परिपथ आरेख के अनुसार,पाँच समानांतर शाखाएँ हैं जिनके प्रतिरोध: $2 \, \Omega$,$12 \, \Omega$,$(1.6 + 2.4) = 4 \, \Omega$,$6 \, \Omega$,और $2 \, \Omega$ हैं।
अब,इन समानांतर शाखाओं के लिए तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ की गणना करें:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{6 + 1 + 3 + 2 + 6}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \, \Omega^{-1}$
अतः,$R_{eq} = \frac{2}{3} \, \Omega$।

(A) मान लीजिए कि बहुभुज का कुल प्रतिरोध $R$ है। चूंकि यह $n$-भुजा वाला बहुभुज है,इसलिए प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $r = \frac{R}{n}$ होगा।
जब हम दो आसन्न कोनों,मान लीजिए $A$ और $B$ पर विचार करते हैं,तो परिपथ दो समानांतर पथों में विभाजित हो जाता है:
$1$. सीधी भुजा $AB$ जिसका प्रतिरोध $r$ है।
$2$. शेष $(n-1)$ भुजाएँ जो श्रेणीक्रम में जुड़ी हैं और जिनका कुल प्रतिरोध $(n-1)r$ है।
$A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इन दो पथों के समानांतर संयोजन द्वारा दिया जाता है:
$R_{eq} = \frac{r \cdot (n-1)r}{r + (n-1)r}$
$R_{eq} = \frac{(n-1)r^2}{nr} = \frac{(n-1)r}{n}$
समीकरण में $r = \frac{R}{n}$ रखने पर:
$R_{eq} = \frac{(n-1)}{n} \cdot \frac{R}{n} = \frac{(n-1)R}{n^2}$

(A) परिपथ आरेख से,हम देख सकते हैं कि बिंदु $A$,एक तार द्वारा बिंदु $D$ से जुड़ा है,इसलिए $V_A = V_D$ है।
इसी प्रकार,बिंदु $C$,एक तार द्वारा बिंदु $B$ से जुड़ा है,इसलिए $V_C = V_B$ है।
इन दो सामान्य विभव बिंदुओं $(A, D)$ और $(B, C)$ के बीच तीन प्रतिरोधक जुड़े हुए हैं:
$1$. $D$ और $B$ के बीच $10\,k\Omega$ का प्रतिरोधक।
$2$. $A$ और $C$ के बीच $20\,k\Omega$ का प्रतिरोधक।
$3$. $C$ और $D$ के बीच $20\,k\Omega$ का प्रतिरोधक।
चूंकि तीनों प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होगा:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{20} + \frac{1}{20}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{2 + 1 + 1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$
अतः,$R_{eq} = 5\,k\Omega$।

(B) परिपथ में एक केंद्रीय नोड है जो बिंदुओं $a$,$b$ और शीर्ष बिंदु से जुड़ा है।
मान लीजिए शीर्ष बिंदु $c$ है। $c$ से जुड़े प्रतिरोधक $a$ और $b$ से जुड़े प्रतिरोधकों के साथ श्रेणीक्रम में हैं।
विशेष रूप से,$a$ से $c$ तक की शाखा में दो $4\,\Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,जिससे $4+4=8\,\Omega$ प्राप्त होता है।
$b$ से $c$ तक की शाखा में दो $4\,\Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,जिससे $4+4=8\,\Omega$ प्राप्त होता है।
ये दोनों शाखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं,और उनका तुल्य प्रतिरोध $\frac{8 \times 8}{8+8} = 4\,\Omega$ है।
अंत में,यह $4\,\Omega$ का तुल्य प्रतिरोध $a$ और $b$ के बीच सीधे जुड़े $16\,\Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समांतर है।
$R_{eq} = \frac{4 \times 16}{4+16} = \frac{64}{20} = 3.2\,\Omega$.

(D) अधिकतम प्रतिरोध तब प्राप्त होता है जब सभी प्रतिरोधकों को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है।
$R_{\max} = n \times R$,जहाँ $n = 10$ और $R = 10\,\Omega$ है।
$R_{\max} = 10 \times 10 = 100\,\Omega$।
न्यूनतम प्रतिरोध तब प्राप्त होता है जब सभी प्रतिरोधकों को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है।
$R_{\min} = \frac{R}{n}$,जहाँ $n = 10$ और $R = 10\,\Omega$ है।
$R_{\min} = \frac{10}{10} = 1\,\Omega$।
अधिकतम और न्यूनतम तुल्य प्रतिरोध का अनुपात है:
$\frac{R_{\max}}{R_{\min}} = \frac{100}{1} = 100$।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक हीटर फिलामेंट का प्रतिरोध $R$ है और लागू वोल्टेज $V$ है। $t$ समय में उत्पन्न ऊष्मा $H = \frac{V^2}{R_{eq}} t$ द्वारा दी जाती है।
समानांतर संयोजन के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ है।
अतः,उत्पन्न ऊष्मा $H_p = \frac{V^2}{R_p} t = \frac{V^2}{R/2} t = \frac{2V^2 t}{R}$ है।
श्रेणी संयोजन के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_s = R + R = 2R$ है।
अतः,उत्पन्न ऊष्मा $H_s = \frac{V^2}{R_s} t = \frac{V^2}{2R} t$ है।
समानांतर और श्रेणी संयोजन के लिए उत्पन्न ऊष्मा का अनुपात $\frac{H_p}{H_s} = \frac{2V^2 t / R}{V^2 t / 2R} = 2 \times 2 = 4$ है।
इसलिए,अनुपात $4:1$ है।

(D) स्थिर धारा $I$ वाले परिपथ में व्यय शक्ति $P = I^2 R_{eq}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R_{eq}$ तुल्य प्रतिरोध है।
चूँकि सभी परिपथों के लिए $I$ समान है,इसलिए $P$ सीधे $R_{eq}$ के समानुपाती है $(P \propto R_{eq})$।
आइए प्रत्येक परिपथ के लिए तुल्य प्रतिरोध की गणना करें:
$(A)$ समानांतर में दो प्रतिरोधक $(R/2)$ और श्रेणी में एक प्रतिरोधक $(R)$: $R_A = R/2 + R = 1.5R$।
$(B)$ श्रेणी में दो प्रतिरोधक $(2R)$ और समानांतर में एक प्रतिरोधक $(R)$: $R_B = (2R \cdot R) / (2R + R) = 2R/3 \approx 0.67R$।
$(C)$ समानांतर में तीन प्रतिरोधक: $R_C = R/3 \approx 0.33R$।
$(D)$ श्रेणी में तीन प्रतिरोधक: $R_D = R + R + R = 3R$।
तुल्य प्रतिरोधों की तुलना करने पर: $R_C (0.33R) < R_B (0.67R) < R_A (1.5R) < R_D (3R)$।
अतः,शक्ति क्षय का बढ़ता क्रम $P_C < P_B < P_A < P_D$ है।

(C) श्रेणीक्रम संयोजन में,कुल प्रतिरोध $R_S = 10R$ है। धारा $I_S$ का मान $I_S = \frac{E}{10R}$ है।
समांतर क्रम संयोजन में,तुल्य प्रतिरोध $R_P = \frac{R}{10}$ है। धारा $I_P$ का मान $I_P = \frac{E}{R/10} = \frac{10E}{R}$ है।
प्रश्न के अनुसार,धारा $n$ गुना बढ़ जाती है,इसलिए $I_P = n \times I_S$ है।
मान रखने पर: $\frac{10E}{R} = n \times \frac{E}{10R}$।
$n$ के लिए हल करने पर: $n = \frac{10E}{R} \times \frac{10R}{E} = 100$।
अतः,$n$ का मान $100$ है।

(A) जब $R$ प्रतिरोध वाले एक तार को $5$ बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{5}$ हो जाता है।
जब इन $5$ भागों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का सूत्र है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{5}{R'}$.
समीकरण में $R' = \frac{R}{5}$ रखने पर:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{5}{R/5} = \frac{25}{R}$.
अतः,$R_{eq} = \frac{R}{25}$.

(A) सबसे पहले, परिपथ का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात कीजिए। प्रतिरोध $R_2$ और $R_3$ समानांतर क्रम में हैं, इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार है:
$R_p = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3} = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = \frac{16}{8} = 2 \,\Omega$
अब, परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$, $R_1$, $R_p$ और $R_4$ का श्रेणी क्रम में योग है:
$R_{eq} = R_1 + R_p + R_4 = 2 \,\Omega + 2 \,\Omega + 1 \,\Omega = 5 \,\Omega$
परिपथ में प्रवाहित कुल धारा $i$ है:
$i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \,V}{5 \,\Omega} = 2 \,A$
यह कुल धारा $i = 2 \,A$, $R_1$ से होकर गुजरती है, और फिर दो समानांतर शाखाओं $R_2$ और $R_3$ में विभाजित हो जाती है। चूंकि $R_2 = R_3 = 4 \,\Omega$ है, इसलिए धारा दोनों में समान रूप से विभाजित होती है:
$i_{R_3} = i \times \left( \frac{R_2}{R_2 + R_3} \right) = 2 \,A \times \left( \frac{4}{4 + 4} \right) = 2 \times \frac{4}{8} = 1 \,A$

(D) दिया गया है कि $20 \ \Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $i_1 = 0.3 \ A$ है। एमीटर द्वारा मापी गई कुल धारा $I = i_1 + i_2 + i_3 = 0.9 \ A$ है।
चूंकि प्रतिरोध समांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए उनके सिरों के बीच विभवांतर $V_{AB}$ समान होगा।
$V_{AB} = i_1 \times 20 \ \Omega = 0.3 \ A \times 20 \ \Omega = 6 \ V$.
अब,$15 \ \Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $i_2$ की गणना करें:
$i_2 = \frac{V_{AB}}{15 \ \Omega} = \frac{6 \ V}{15 \ \Omega} = 0.4 \ A$.
कुल धारा के समीकरण का उपयोग करते हुए:
$i_1 + i_2 + i_3 = 0.9 \ A$
$0.3 \ A + 0.4 \ A + i_3 = 0.9 \ A$
$0.7 \ A + i_3 = 0.9 \ A$
$i_3 = 0.2 \ A$.
अंत में,$V_{AB}$ और धारा $i_3$ का उपयोग करके $R_1$ की गणना करें:
$R_1 = \frac{V_{AB}}{i_3} = \frac{6 \ V}{0.2 \ A} = 30 \ \Omega$.

(C) सर्किट को बाएं से दाएं देखने पर:
$1$. सबसे बाईं ओर का $6 \ \Omega$ प्रतिरोध एक शॉर्ट सर्किट के साथ समानांतर में है,जो इसे प्रभावी रूप से बायपास कर देता है।
$2$. सर्किट बाएं से दाएं चरण-दर-चरण सरल होता जाता है।
$3$. बाएं हिस्से को सरल बनाने के बाद,हमारे पास टर्मिनल $A$ और $B$ के बीच समानांतर में जुड़े तीन $3 \ \Omega$ के प्रतिरोध बचते हैं।
$4$. समानांतर में जुड़े तीन $3 \ \Omega$ के प्रतिरोधों का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \ \Omega$.
$5$. अतः,$R_{eq} = 1 \ \Omega$.

(D) परिपथ आरेख से,प्रतिरोधक $R_2, R_3,$ और $R_4$ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{1+2+1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \Omega^{-1}$.
अतः,$R_p = 2 \Omega$.
यह समानांतर संयोजन प्रतिरोधक $R_1$ के साथ श्रेणी क्रम में है। इसलिए,परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ है:
$R_{eq} = R_1 + R_p = 10 \Omega + 2 \Omega = 12 \Omega$.
ओम के नियम के अनुसार बैटरी द्वारा आपूर्ति की गई धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12 \text{ V}}{12 \Omega} = 1 \text{ A}$.

(A) तार का कुल प्रतिरोध $R = 20 \Omega$ है। इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित किया गया है,इसलिए प्रत्येक भाग का प्रतिरोध $r = \frac{20 \Omega}{10} = 2 \Omega$ है।
दो भागों को समानांतर में जोड़ा जाता है। ऐसे एक समानांतर युग्म का समतुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{r \times r}{r + r} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 \Omega$ है।
चूंकि कुल $10$ भाग थे,और हमने उन्हें युग्मों में उपयोग किया है,इसलिए हमारे पास ऐसे $5$ समानांतर युग्म हैं।
इन $5$ युग्मों को फिर श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है। कुल समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 5 \times R_p = 5 \times 1 \Omega = 5 \Omega$ है।

(D) और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ को चरण-दर-चरण सरल करते हैं।
नोड्स को लेबल करके,हम देखते हैं कि समानांतर शाखाओं की पहचान करके परिपथ को कम किया जा सकता है।
$10 \Omega$ और $5 \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणी में हैं $(15 \Omega)$,$4 \Omega$ और $11 \Omega$ श्रेणी में हैं $(15 \Omega)$,और मध्य की ऊर्ध्वाधर शाखा भी नोड $C$ और $D$ के बीच $15 \Omega$ का मार्ग बनाती है।
ये तीनों $15 \Omega$ की शाखाएं नोड $C$ और $D$ के बीच समानांतर में हैं।
इन तीनों समानांतर शाखाओं का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{15 \Omega}{3} = 5 \Omega$ है।
अब,परिपथ $6 \Omega$,$5 \Omega$ और $8 \Omega$ के श्रेणी संयोजन में सरल हो जाता है।
अतः,कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 6 \Omega + 5 \Omega + 8 \Omega = 19 \Omega$ है।

(B) क्षैतिज अक्ष के परितः परिपथ की सममिति के कारण, ऊपर और नीचे के नोड्स पर विभव समान है। अतः, ऊर्ध्वाधर प्रतिरोधों से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है, और उन्हें हटाया जा सकता है।
ऊर्ध्वाधर प्रतिरोधों को हटाने के बाद, परिपथ दो केंद्रीय नोड्स के बीच तीन समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है, जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $R + R = 2R$ है।
इन तीन समानांतर शाखाओं का तुल्य प्रतिरोध $\frac{1}{R_{eq, parallel}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{3}{2R}$ द्वारा दिया जाता है, जिससे $R_{eq, parallel} = \frac{2R}{3}$ प्राप्त होता है।
अंत में, यह तुल्य प्रतिरोध टर्मिनल $A$ और $B$ से जुड़े दो प्रतिरोधों के साथ श्रेणीक्रम में है। इसलिए, कुल प्रभावी प्रतिरोध $R_{total} = R + \frac{2R}{3} + R = 2R + \frac{2R}{3} = \frac{8R}{3}$ है।

(A) मूल तार का प्रतिरोध $R = 100 \Omega$ है।
जब तार को $10$ समान भागों में विभाजित किया जाता है,तो प्रत्येक भाग का प्रतिरोध $r = \frac{R}{10} = \frac{100 \Omega}{10} = 10 \Omega$ होता है।
श्रेणीक्रम में जुड़े पहले $5$ भागों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_S = 5 \times r = 5 \times 10 \Omega = 50 \Omega$ है।
समांतर क्रम में जुड़े अगले $5$ भागों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_P$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_P} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{5}{r}$।
अतः,$R_P = \frac{r}{5} = \frac{10 \Omega}{5} = 2 \Omega$।
चूंकि ये दोनों संयोजन श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं,इसलिए अंतिम तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R_S + R_P = 50 \Omega + 2 \Omega = 52 \Omega$ है।

(A) परिपथ में व्ययित शक्ति $P = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि वोल्टेज $V = 3 \text{ V}$ सभी विन्यासों के लिए स्थिर है, इसलिए शक्ति $P$ समतुल्य प्रतिरोध $R$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(P \propto \frac{1}{R})$।
$1$. विन्यास $R_1$ के लिए: परिपथ में तीन $1 \text{ }\Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं। अतः, $R_1 = \frac{1 \text{ }\Omega}{3} = 0.33 \text{ }\Omega$.
$2$. विन्यास $R_2$ के लिए: यह एक व्हीटस्टोन ब्रिज परिपथ है। चूंकि सभी प्रतिरोधक $1 \text{ }\Omega$ हैं, यह एक संतुलित ब्रिज है। बीच वाले प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। समतुल्य प्रतिरोध $2 \text{ }\Omega$ की दो समानांतर शाखाएं हैं, इसलिए $R_2 = \frac{2 \text{ }\Omega}{2} = 1 \text{ }\Omega$.
$3$. विन्यास $R_3$ के लिए: यह एक श्रेणी-समानांतर संयोजन है। चित्र के अनुसार गणना करने पर, $R_3 = 2 \text{ }\Omega$ प्राप्त होता है।
प्रतिरोधों की तुलना करने पर: $R_1 = 0.33 \text{ }\Omega$, $R_2 = 1 \text{ }\Omega$, $R_3 = 2 \text{ }\Omega$.
चूंकि $P \propto \frac{1}{R}$, इसलिए शक्ति का क्रम $P_1 > P_2 > P_3$ होगा।

(B) संयुक्त छड़ दो समानांतर प्रतिरोधों के रूप में कार्य करती है,एक $Fe$ का और एक $Al$ का।
लंबाई $L = 50 \times 10^{-3} \ m$.
$Fe$ कोर का क्षेत्रफल $A_{Fe} = (2 \times 10^{-3} \ m)^2 = 4 \times 10^{-6} \ m^2$.
$Al$ भाग का क्षेत्रफल $A_{Al} = (7 \times 10^{-3} \ m)^2 - (2 \times 10^{-3} \ m)^2 = (49 - 4) \times 10^{-6} \ m^2 = 45 \times 10^{-6} \ m^2$.
$Fe$ भाग का प्रतिरोध: $R_{Fe} = \frac{\rho_{Fe} L}{A_{Fe}} = \frac{1.0 \times 10^{-7} \times 50 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-6}} = 1.25 \times 10^{-3} \ \Omega = 1250 \ \mu \Omega$.
$Al$ भाग का प्रतिरोध: $R_{Al} = \frac{\rho_{Al} L}{A_{Al}} = \frac{2.7 \times 10^{-8} \times 50 \times 10^{-3}}{45 \times 10^{-6}} = 0.03 \times 10^{-3} \ \Omega = 30 \ \mu \Omega$.
चूंकि वे समानांतर में हैं,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{R_{Fe} \times R_{Al}}{R_{Fe} + R_{Al}} = \frac{1250 \times 30}{1250 + 30} = \frac{37500}{1280} \ \mu \Omega = \frac{3750}{128} \ \mu \Omega = \frac{1875}{64} \ \mu \Omega$.

(C) तार का कुल प्रतिरोध $9 \ \Omega$ है। चूंकि इसे एक समबाहु त्रिभुज में मोड़ा गया है,इसलिए तार को तीन बराबर भागों में विभाजित किया जाता है,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $R' = 9 \ \Omega / 3 = 3 \ \Omega$ है।
जब हम किन्हीं दो शीर्षों (मान लीजिए $B$ और $C$) के बीच समतुल्य प्रतिरोध पर विचार करते हैं,तो $B$ और $C$ के बीच का प्रतिरोध अन्य दो प्रतिरोधों (जो $A-B$ और $A-C$ के बीच हैं) के श्रेणी संयोजन के साथ समानांतर होता है।
$AB$ और $AC$ शाखा का श्रेणी प्रतिरोध $R_{series} = 3 \ \Omega + 3 \ \Omega = 6 \ \Omega$ है।
अब,यह $6 \ \Omega$ का प्रतिरोध $B$ और $C$ के बीच सीधे जुड़े $3 \ \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर है।
समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार दिया गया है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः,$R_{eq} = 2 \ \Omega$।

(C) परिपथ के नोड्स को नामांकित करके,हम प्रत्येक बिंदु पर विभव की पहचान कर सकते हैं। मान लीजिए कि बायां सिरा $A$ है और दायां सिरा $B$ है।
कनेक्शनों को ट्रेस करने पर,हम देखते हैं कि तीनों प्रतिरोधक,जिनमें से प्रत्येक का मान $\frac{r}{3}$ है,बिंदु $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
समानांतर क्रम में जुड़े प्रतिरोधकों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$
$R_1 = R_2 = R_3 = \frac{r}{3}$ रखने पर:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{r/3} + \frac{1}{r/3} + \frac{1}{r/3} = \frac{3}{r} + \frac{3}{r} + \frac{3}{r} = \frac{9}{r}$
अतः,$R_{eq} = \frac{r}{9}$।

(D) तार का प्रतिरोध $R = \frac{\rho \ell}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $R \propto \ell$ है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $R/3$ है। एक भुजा के दो सिरों के बीच समतुल्य प्रतिरोध ज्ञात करते समय,हमारे पास $R/3$ का एक प्रतिरोध बाकी दो श्रेणीबद्ध प्रतिरोधों (जिनका योग $2R/3$ है) के साथ समानांतर क्रम में होता है।
$(R_{eq})_1 = \frac{(R/3) \times (2R/3)}{(R/3) + (2R/3)} = \frac{2R^2/9}{R} = \frac{2R}{9}$।
वर्ग के लिए,प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $R/4$ है। एक भुजा के दो सिरों के बीच समतुल्य प्रतिरोध ज्ञात करते समय,हमारे पास $R/4$ का एक प्रतिरोध बाकी तीन श्रेणीबद्ध प्रतिरोधों (जिनका योग $3R/4$ है) के साथ समानांतर क्रम में होता है।
$(R_{eq})_2 = \frac{(R/4) \times (3R/4)}{(R/4) + (3R/4)} = \frac{3R^2/16}{R} = \frac{3R}{16}$।
समतुल्य प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{(R_{eq})_1}{(R_{eq})_2} = \frac{2R/9}{3R/16} = \frac{2}{9} \times \frac{16}{3} = \frac{32}{27}$ है।

(D) दिया गया है: लंबाई $L = 25 \ m$,क्षेत्रफल $A = 5 \ mm^2 = 5 \times 10^{-6} \ m^2$,प्रतिरोधकता $\rho = 2 \times 10^{-6} \ \Omega \ m$.
सबसे पहले,तार का कुल प्रतिरोध ज्ञात करें: $R = \frac{\rho L}{A} = \frac{2 \times 10^{-6} \times 25}{5 \times 10^{-6}} = 10 \ \Omega$.
जब तार को एक वृत्त में मोड़ा जाता है,तो व्यास के विपरीत बिंदु तार को दो समान अर्धवृत्ताकार भागों में विभाजित करते हैं,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{2} = \frac{10}{2} = 5 \ \Omega$ होता है।
ये दो भाग व्यास के विपरीत बिंदुओं के बीच समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं।
इसलिए,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होगा: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{2}{R'} = \frac{2}{5} \implies R_{eq} = \frac{5}{2} = 2.5 \ \Omega$.

(A) $6 \ \Omega$ का तुल्य प्रतिरोध प्राप्त करने के लिए,हम चित्र $A$ में दिखाए गए सर्किट का विश्लेषण करते हैं:
ऊपरी शाखा में,$R_1$ और $R_2$ श्रेणी में हैं,इसलिए $R_{up} = R_1 + R_2 = 5 \ \Omega + 5 \ \Omega = 10 \ \Omega$.
निचली शाखा में,$R_3$ और $R_4$ श्रेणी में हैं,इसलिए $R_{low} = R_3 + R_4 = 5 \ \Omega + 10 \ \Omega = 15 \ \Omega$.
ये दो शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_P$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_P} = \frac{1}{R_{up}} + \frac{1}{R_{low}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3 + 2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \ \Omega^{-1}$.
अतः,$R_P = 6 \ \Omega$.
इस प्रकार,चित्र $A$ में दिखाया गया सर्किट आवश्यक तुल्य प्रतिरोध प्रदान करता है।

(D) मान लीजिए कि $6$ खंडों में से प्रत्येक का प्रतिरोध $r$ है। चूंकि तार का कुल प्रतिरोध $R$ है,इसलिए $6r = R$,जिसका अर्थ है $r = R / 6$।
परिपथ को देखने पर,हम पहचान सकते हैं कि यह संरचना व्हीटस्टोन ब्रिज के समान है। शीर्ष नोड से जुड़े दो प्रतिरोधक और केंद्रीय नोड से जुड़े दो प्रतिरोधक बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच एक संतुलित ब्रिज बनाते हैं।
विशेष रूप से,$A$ से $B$ तक के पथ में तीन समानांतर शाखाएं हैं:
$1$. श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोधकों वाली शाखा: $r + r = 2r$।
$2$. श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोधकों वाली दूसरी शाखा: $r + r = 2r$।
$3$. $A$ और $B$ के बीच सीधा प्रतिरोध $r$।
इस प्रकार,तुल्य प्रतिरोध $R_{AB}$ इस प्रकार दिया गया है:
$\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{2r} + \frac{1}{2r} + \frac{1}{r} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{2}{r}$।
$r = R / 6$ रखने पर:
$R_{AB} = \frac{r}{2} = \frac{R / 6}{2} = \frac{R}{12}$।
इसे $R / n$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 12$ प्राप्त होता है।

(C) $8$ बराबर टुकड़ों में से प्रत्येक का प्रतिरोध $r = \frac{R}{8}$ होगा।
जब ऐसे $4$ टुकड़ों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो एक सेट का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{r}{4} = \frac{R/8}{4} = \frac{R}{32}$ होता है।
चूंकि ऐसे दो सेट श्रेणी क्रम में जुड़े हैं,इसलिए कुल प्रभावी प्रतिरोध $R_{\text{eff}} = R_p + R_p = 2 \times \frac{R}{32} = \frac{R}{16}$ होगा।

(C) तीनों प्रतिरोध $10 \Omega$,$15 \Omega$,और $30 \Omega$ समांतर क्रम में जुड़े हैं। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{3+2+1}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \Omega^{-1}$
अतः,$R_{eq} = 5 \Omega$.
समांतर संयोजन के सिरों पर कुल विभवांतर $V$:
$V = I \times R_{eq} = 1.2 \times 5 = 6 \ V$.
चूंकि प्रतिरोध समांतर क्रम में हैं,इसलिए प्रत्येक प्रतिरोध पर विभवांतर समान $(6 \ V)$ होगा।
अतः,$15 \Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $I_2$:
$I_2 = \frac{V}{R_2} = \frac{6}{15} = 0.4 \ A$.

(C) परिपथ सममित है। आइए नेटवर्क को चरण दर चरण सरल करें।
$1$. नोड $a$ और $b$ के बीच समानांतर में जुड़े दो प्रतिरोधों का तुल्य प्रतिरोध $R_{ab} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ है।
$2$. इसी प्रकार,नोड $c$ और $d$ के बीच समानांतर में जुड़े दो प्रतिरोधों का तुल्य प्रतिरोध $R_{cd} = \frac{R}{2}$ है।
$3$. नोड $e$ से जुड़े दो प्रतिरोध श्रेणी में हैं,जो $2R$ देते हैं। यह $2R$,$a-f-d$ पथ के साथ समानांतर में है। इस प्रकार,बाएं भाग का तुल्य प्रतिरोध $R$ है।
$4$. समरूपता से,दाएं भाग का तुल्य प्रतिरोध भी $R$ है।
$5$. अब,परिपथ बाएं भाग $(R)$,$A$ से जुड़े प्रतिरोध $(R)$,$B$ से जुड़े प्रतिरोध $(R)$,और दाएं भाग $(R)$ के श्रेणी संयोजन में सरल हो जाता है।
$6$. कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{AB} = R + R + R + R = 4R$ होता है। हालांकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\frac{9R}{4}$ है।

(C) $1$. परिपथ का ध्यानपूर्वक अवलोकन करें। नीचे स्थित दो $2\ R$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_{p1} = \frac{2\ R \times 2\ R}{2\ R + 2\ R} = R$ है।
$2$. यह $R$,इसके ऊपर स्थित $R$ प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में है,जिससे $R + R = 2\ R$ प्राप्त होता है।
$3$. यह $2\ R$,उसी नोड से जुड़े दूसरे $2\ R$ प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में है। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_{p2} = \frac{2\ R \times 2\ R}{2\ R + 2\ R} = R$ है।
$4$. यह $R$,शीर्ष पर स्थित $R$ प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में है,जिससे $R + R = 2\ R$ प्राप्त होता है।
$5$. अंत में,यह $2\ R$ सबसे दाईं ओर की शाखा के साथ समानांतर क्रम में है,जिसमें दो $R$ प्रतिरोधक श्रेणी क्रम में हैं $(R + R = 2\ R)$।
$6$. कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{2\ R \times 2\ R}{2\ R + 2\ R} = R$ है।

(D) रिंग का कुल प्रतिरोध $R$ है। बिंदु $A$ और $B$ द्वारा रिंग दो भागों में विभाजित हो जाती है।
$\theta$ कोण के संगत चाप की लंबाई $l_1 = r\theta$ है और शेष चाप की लंबाई $l_2 = r(2\pi - \theta)$ है।
चूंकि प्रतिरोध लंबाई के समानुपाती होता है,इसलिए दोनों भागों के प्रतिरोध हैं:
$R_1 = R \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)$ और $R_2 = R \left(\frac{2\pi - \theta}{2\pi}\right)$।
ये दोनों भाग बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{\left(R \frac{\theta}{2\pi}\right) \left(R \frac{2\pi - \theta}{2\pi}\right)}{R \left(\frac{\theta}{2\pi} + \frac{2\pi - \theta}{2\pi}\right)}$
$R_{eq} = \frac{R^2 \theta (2\pi - \theta) / 4\pi^2}{R (2\pi / 2\pi)} = \frac{R \theta (2\pi - \theta)}{4\pi^2}$।

(D) वृत्ताकार कुंडली बिंदुओं $P$ और $Q$ द्वारा दो भागों में विभाजित है,जिनके प्रतिरोध $R_1 = 30 \Omega$ और $R_2 = 10 \Omega$ हैं। ये दोनों भाग बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_{PQ}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{PQ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{30} + \frac{1}{10} = \frac{1+3}{30} = \frac{4}{30}$
$R_{PQ} = \frac{30}{4} = 7.5 \Omega$
आंतरिक प्रतिरोध $r = 0.5 \Omega$ को मिलाकर परिपथ का कुल प्रतिरोध:
$R_{total} = R_{PQ} + r = 7.5 \Omega + 0.5 \Omega = 8 \Omega$
ओम के नियम के अनुसार परिपथ में प्रवाहित धारा $I$:
$I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{16 \text{ V}}{8 \Omega} = 2 \text{ A}$

(A) बिंदुओं $X$ और $Y$ के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम समानांतर और श्रेणी संयोजनों की पहचान करके परिपथ को सरल बनाते हैं।
$1$. परिपथ को नोड्स की पहचान करके फिर से बनाया जा सकता है। मान लीजिए कि मध्य प्रतिरोधकों के बीच का नोड $Z$ है।
$2$. $X$ और $Z$ के बीच समानांतर में जुड़े प्रतिरोधकों का तुल्य प्रतिरोध $R_1 = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 \Omega$ है।
$3$. इसी प्रकार,$Z$ और $Y$ के बीच समानांतर में जुड़े प्रतिरोधकों का तुल्य प्रतिरोध $R_2 = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 \Omega$ है।
$4$. अब,$R_1$ और $R_2$ श्रेणी में हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R_3 = R_1 + R_2 = 1 + 1 = 2 \Omega$ है।
$5$. अंत में,यह $R_3$,$X$ और $Y$ के बीच सीधे जुड़े हुए शीर्ष $2 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर में है। अतः,कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ है:
$R_{eq} = \frac{R_3 \times 2}{R_3 + 2} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = \frac{4}{4} = 1 \Omega$.

(C) न्यूनतम प्रतिरोध प्राप्त करने के लिए,प्रतिरोधकों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाना चाहिए।
$R_{\min} = \frac{R}{n} = \frac{2}{10} = 0.2 \ \Omega$
अधिकतम प्रतिरोध प्राप्त करने के लिए,प्रतिरोधकों को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाना चाहिए।
$R_{\max} = n \times R = 10 \times 2 = 20 \ \Omega$
अधिकतम और न्यूनतम प्रतिरोध का अनुपात है:
$\frac{R_{\max}}{R_{\min}} = \frac{20}{0.2} = 100$

(D) सही विकल्प $D$ है।
परिपथ आरेख से,$6 \Omega$ और $2 \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार है:
$R_p = \frac{6 \times 2}{6 + 2} = \frac{12}{8} = 1.5 \Omega$
अब,यह तुल्य प्रतिरोध $R_p = 1.5 \Omega$,$1.5 \Omega$ के प्रतिरोधक और $3 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में है।
अतः,परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ है:
$R_{eq} = 1.5 \Omega + 1.5 \Omega + 3 \Omega = 6 \Omega$
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,बैटरी द्वारा दी गई कुल धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{9 \text{ V}}{6 \Omega} = 1.5 \text{ A}$

(D) मान लीजिए वलय का कुल प्रतिरोध $R$ है। वलय की कुल लंबाई $2 \pi r$ है। प्रति इकाई लंबाई का प्रतिरोध $\lambda = \frac{R}{2 \pi r}$ है।
लघु चाप $AB$ की लंबाई $l_1 = r \theta$ है। इस भाग का प्रतिरोध $R_1 = \lambda l_1 = \left(\frac{R}{2 \pi r}\right) (r \theta) = \frac{R \theta}{2 \pi}$ है।
दीर्घ चाप $AB$ की लंबाई $l_2 = r(2 \pi - \theta)$ है। इस भाग का प्रतिरोध $R_2 = \lambda l_2 = \left(\frac{R}{2 \pi r}\right) (r(2 \pi - \theta)) = \frac{R(2 \pi - \theta)}{2 \pi}$ है।
चूंकि दोनों चाप बिंदु $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_{AB}$ इस प्रकार होगा:
$R_{AB} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$
$R_{AB} = \frac{\left(\frac{R \theta}{2 \pi}\right) \left(\frac{R(2 \pi - \theta)}{2 \pi}\right)}{\frac{R \theta}{2 \pi} + \frac{R(2 \pi - \theta)}{2 \pi}}$
$R_{AB} = \frac{\frac{R^2 \theta (2 \pi - \theta)}{4 \pi^2}}{\frac{R}{2 \pi} (\theta + 2 \pi - \theta)}$
$R_{AB} = \frac{\frac{R^2 \theta (2 \pi - \theta)}{4 \pi^2}}{\frac{R}{2 \pi} (2 \pi)}$
$R_{AB} = \frac{R^2 \theta (2 \pi - \theta)}{4 \pi^2} \cdot \frac{1}{R} = \frac{R \theta (2 \pi - \theta)}{4 \pi^2}$

(A) तार की कुल लंबाई $L = 2 \pi r = 2 \pi (2) = 4 \pi \ m$ है।
तार का कुल प्रतिरोध $R_{total} = (\text{प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध}) \times L = \frac{1}{\pi} \times 4 \pi = 4 \ \Omega$ है।
चूंकि $\angle AOB = 90^{\circ}$ है,तार दो चापों में विभाजित होता है: लघु चाप $AB$ और दीर्घ चाप $AB$।
लघु चाप की लंबाई $L_1 = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times (2 \pi r) = \frac{1}{4} \times 4 \pi = \pi \ m$ है।
लघु चाप का प्रतिरोध $R_1 = \frac{1}{\pi} \times \pi = 1 \ \Omega$ है।
दीर्घ चाप की लंबाई $L_2 = L - L_1 = 4 \pi - \pi = 3 \pi \ m$ है।
दीर्घ चाप का प्रतिरोध $R_2 = \frac{1}{\pi} \times 3 \pi = 3 \ \Omega$ है।
ये दोनों प्रतिरोध $A$ और $B$ बिंदुओं के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_p$ के लिए,$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \ \Omega^{-1}$,इसलिए $R_p = \frac{3}{4} \ \Omega$ प्राप्त होता है।
बैटरी से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_p} = \frac{6}{3/4} = 6 \times \frac{4}{3} = 8 \ A$ है।

(A) माना प्रत्येक प्रतिरोधक का प्रतिरोध $R$ है और बैटरी का वोल्टेज $V$ है।
श्रेणीक्रम संयोजन में,तुल्य प्रतिरोध $R_s = 4R$ होता है।
श्रेणीक्रम में व्यय शक्ति $P_s = \frac{V^2}{R_s} = \frac{V^2}{4R} = 20 \ W$ है।
इससे हमें $\frac{V^2}{R} = 20 \times 4 = 80 \ W$ प्राप्त होता है।
समांतर क्रम संयोजन में,तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R}{4}$ होता है।
समांतर क्रम में व्यय शक्ति $P_p = \frac{V^2}{R_p} = \frac{V^2}{R/4} = 4 \times \frac{V^2}{R}$ है।
$\frac{V^2}{R}$ का मान रखने पर,हमें $P_p = 4 \times 80 \ W = 320 \ W$ प्राप्त होता है।

(A) $R$ प्रतिरोध वाले $n$ प्रतिरोधकों को समांतर क्रम में जोड़ने पर,न्यूनतम प्रतिरोध $R_{\min} = \frac{R}{n}$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ $R = 1 \ \Omega$ और $n = 10$ है,इसलिए $R_{\min} = \frac{1}{10} \ \Omega$ होगा।
$n$ प्रतिरोधकों को श्रेणी क्रम में जोड़ने पर,अधिकतम प्रतिरोध $R_{\max} = nR$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$R_{\max} = 10 \times 1 = 10 \ \Omega$ होगा।
न्यूनतम और अधिकतम प्रतिरोध का अनुपात $\frac{R_{\min}}{R_{\max}} = \frac{1/10}{10} = \frac{1}{100}$ है।

(B) परिपथ को श्रेणी और समानांतर संयोजनों की पहचान करके चरण-दर-चरण सरल बनाया जा सकता है।
$1$. शाखा $ACD$ में $2 \ \Omega$ और $2 \ \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणी में हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_1 = 2 + 2 = 4 \ \Omega$ है।
$2$. यह $R_1 = 4 \ \Omega$,$A$ और $D$ के बीच जुड़े $4 \ \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर में है। तुल्य प्रतिरोध $R_2$ के लिए $\frac{1}{R_2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$,इसलिए $R_2 = 2 \ \Omega$ प्राप्त होता है।
$3$. अब,$R_2 = 2 \ \Omega$,शाखा $DE$ में स्थित $2 \ \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी में है। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_3 = 2 + 2 = 4 \ \Omega$ है।
$4$. यह $R_3 = 4 \ \Omega$,$A$ और $E$ के बीच जुड़े $4 \ \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर में है। तुल्य प्रतिरोध $R_4$ के लिए $\frac{1}{R_4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$,इसलिए $R_4 = 2 \ \Omega$ प्राप्त होता है।
$5$. अंत में,$R_4 = 2 \ \Omega$,शाखा $EB$ में स्थित $2 \ \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी में है। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_5 = 2 + 2 = 4 \ \Omega$ है।
$6$. यह $R_5 = 4 \ \Omega$,$A$ और $B$ के बीच सीधे जुड़े $8 \ \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर में है। कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{AB}$ के लिए $\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2 + 1}{8} = \frac{3}{8}$ होता है।
$7$. अतः,$R_{AB} = \frac{8}{3} \ \Omega$।

(C) तार का कुल प्रतिरोध $R = 24 \Omega$ है।
जब तार को एक वृत्त में मोड़ा जाता है,तो व्यास तार को दो समान अर्धवृत्ताकार भागों में विभाजित करता है।
प्रत्येक अर्धवृत्ताकार भाग का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{2} = \frac{24 \Omega}{2} = 12 \Omega$ होता है।
ये दोनों अर्धवृत्ताकार भाग व्यास पर स्थित दो बिंदुओं के बीच समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ समानांतर प्रतिरोधों के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \Omega^{-1}$.
अतः,$R_{eq} = 6 \Omega$ है।

(B) न्यूनतम संभव प्रतिरोध प्राप्त करने के लिए,सभी $n$ प्रतिरोधकों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाना चाहिए।
समानांतर क्रम में तुल्य प्रतिरोध $R_{\text{min}} = \frac{r}{n}$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम संभव प्रतिरोध प्राप्त करने के लिए,सभी $n$ प्रतिरोधकों को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाना चाहिए।
श्रेणी क्रम में तुल्य प्रतिरोध $R_{\text{max}} = n \times r$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूनतम प्रतिरोध और अधिकतम प्रतिरोध का अनुपात $\frac{R_{\text{min}}}{R_{\text{max}}} = \frac{r/n}{nr} = \frac{r}{n^2 r} = \frac{1}{n^2}$ है।