Equivalent Resistance - Series and Parallel , Circuit Questions in Hindi

(B) माना कि लगाया गया वोल्टेज $V$ है। फिलामेंट द्वारा खपत की गई शक्ति क्रमशः $P_1$ और $P_2$ है।
पानी को उबालने के लिए आवश्यक ऊष्मा $H$ है। हम जानते हैं कि $H = P_1 t_1 = P_2 t_2$ होता है।
जब समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल शक्ति $P_{eq} = P_1 + P_2$ होती है।
समान मात्रा में पानी को उबालने में लगा समय $t$,$H = (P_1 + P_2)t$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$t = \frac{H}{P_1 + P_2}$।
$P_1 = \frac{H}{t_1}$ और $P_2 = \frac{H}{t_2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$t = \frac{H}{\frac{H}{t_1} + \frac{H}{t_2}} = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$।
यहाँ $t_1 = 10 \text{ मिनट}$ और $t_2 = 15 \text{ मिनट}$ दिया गया है:
$t = \frac{10 \times 15}{10 + 15} = \frac{150}{25} = 6 \text{ मिनट}$।

(B) $1$. श्रेणी और समानांतर संयोजनों की पहचान करने के लिए परिपथ आरेख का विश्लेषण करें।
$2$. ध्यान दें कि $3 \ \Omega$ और $1 \ \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणी में हैं,जिससे कुल $4 \ \Omega$ प्राप्त होता है। यह संयोजन $2 \ \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर में है,लेकिन आगे निरीक्षण करने पर पता चलता है कि $1.8 \ \Omega$ और $2.2 \ \Omega$ के प्रतिरोधकों से होकर जाने वाला पथ मध्य तार द्वारा शॉर्ट-सर्किट हो गया है।
$3$. दिए गए समाधान चित्र में दिखाए अनुसार परिपथ को चरण-दर-चरण सरल बनाने पर,प्रभावी प्रतिरोध $2 \ \Omega$,$1 \ \Omega$ और $5 \ \Omega$ के एक सरल श्रेणी संयोजन में बदल जाता है।
$4$. तुल्य प्रतिरोध $R_{AB} = 2 \ \Omega + 1 \ \Omega + 5 \ \Omega = 8 \ \Omega$ है।

(B) माना कि दो तारों के प्रतिरोध $R_1$ और $R_2$ हैं।
श्रेणीक्रम संयोजन के लिए: $R_1 + R_2 = 14$ --- $(1)$
समांतर क्रम संयोजन के लिए: $\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = 3.43$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ का मान $(2)$ में रखने पर: $\frac{R_1 R_2}{14} = 3.43$
$R_1 R_2 = 14 \times 3.43 = 48.02 \approx 48$
अतः,$R_1 + R_2 = 14$ और $R_1 R_2 = 48$ प्राप्त होता है। ये द्विघात समीकरण $x^2 - 14x + 48 = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(x - 8)(x - 6) = 0$.
इसलिए,$R_1 = 8\, \Omega$ और $R_2 = 6\, \Omega$.
अधिक मान वाले तार का प्रतिरोध $8\, \Omega$ है।

(D) यह परिपथ $A$ और $B$ से गुजरने वाली अक्ष के सापेक्ष सममित है। सममिति के कारण,ऊपर और नीचे के जंक्शन बिंदुओं पर विभव समान होता है।
इसलिए,ऊपर और नीचे के जंक्शनों को जोड़ने वाले ऊर्ध्वाधर प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
हम इस प्रतिरोधक को परिपथ से हटा सकते हैं।
अब परिपथ $A$ और $B$ के बीच जुड़ी दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है।
प्रत्येक शाखा में प्रतिरोधकों के दो श्रेणी संयोजन होते हैं।
इस परिपथ का अंतिम समतुल्य प्रतिरोध $R_{AB} = 2R/3$ प्राप्त होता है।

(C) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{\ell}{A}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
तांबे के कोर का प्रतिरोध $R_{cu} = \rho_c \frac{\ell}{\pi r^2}$ है।
निकल की परत का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_{ni} = \pi(2r)^2 - \pi r^2 = 3\pi r^2$ है।
अतः,निकल की परत का प्रतिरोध $R_{ni} = \rho_n \frac{\ell}{3\pi r^2}$ है।
चूंकि तांबे का कोर और निकल की परत समानांतर में हैं,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ के लिए $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{cu}} + \frac{1}{R_{ni}}$ होगा।
$R_{eq} = \frac{R_{cu} R_{ni}}{R_{cu} + R_{ni}} = \frac{(\rho_c \frac{\ell}{\pi r^2}) (\rho_n \frac{\ell}{3\pi r^2})}{\rho_c \frac{\ell}{\pi r^2} + \rho_n \frac{\ell}{3\pi r^2}}$.
इस व्यंजक को सरल करने पर: $R_{eq} = \frac{\frac{\rho_c \rho_n \ell^2}{3\pi^2 r^4}}{\frac{\ell}{\pi r^2} (\rho_c + \frac{\rho_n}{3})} = \frac{\rho_c \rho_n \ell}{3\pi r^2 (\rho_c + \frac{\rho_n}{3})} = \frac{\rho_c \rho_n \ell}{\pi r^2 (3\rho_c + \rho_n)}$.
अतः,$R_{eq} = \left( \frac{\rho_c \rho_n}{3\rho_c + \rho_n} \right) \frac{\ell}{\pi r^2}$.

(C) श्रेणीक्रम संयोजन में दो प्रतिरोधकों के लिए,$t$ तापमान पर कुल प्रतिरोध $R_t = R_{1t} + R_{2t}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $R_{1t} = R_1(1 + \alpha_1 t)$ और $R_{2t} = R_2(1 + \alpha_2 t)$।
इन मानों को कुल प्रतिरोध के समीकरण में रखने पर:
$R_t = R_1(1 + \alpha_1 t) + R_2(1 + \alpha_2 t)$
$R_t = (R_1 + R_2) + (R_1 \alpha_1 + R_2 \alpha_2)t$
$R_t = (R_1 + R_2) \left[ 1 + \frac{R_1 \alpha_1 + R_2 \alpha_2}{R_1 + R_2} t \right]$
इस समीकरण की तुलना मानक रूप $R_t = R_{total}(1 + \alpha_{eff} t)$ से करने पर,जहाँ $R_{total} = R_1 + R_2$,हमें प्राप्त होता है:
$\alpha_{eff} = \frac{R_1 \alpha_1 + R_2 \alpha_2}{R_1 + R_2}$।

(D) श्रेणीक्रम में तुल्य प्रतिरोध $R_S = R_1 + R_2$ है।
समांतर क्रम में तुल्य प्रतिरोध $R_P = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ है।
दिया गया अनुपात $\frac{R_S}{R_P} = n$ है,इसलिए:
$\frac{R_1 + R_2}{\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}} = n$
इसे सरल करने पर:
$\frac{(R_1 + R_2)^2}{R_1 R_2} = n$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{R_1 + R_2}{\sqrt{R_1 R_2}} = \sqrt{n}$
अंश के प्रत्येक पद को हर से विभाजित करने पर:
$\frac{R_1}{\sqrt{R_1 R_2}} + \frac{R_2}{\sqrt{R_1 R_2}} = \sqrt{n}$
जिससे हमें प्राप्त होता है:
$\sqrt{\frac{R_1}{R_2}} + \sqrt{\frac{R_2}{R_1}} = \sqrt{n}$
जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
${\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}}} \right)^{1/2}} + {\left( {\frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}} \right)^{1/2}} = {n^{1/2}}$.

(B) दिए गए परिपथ में पाँच प्रतिरोधक हैं,जिनमें से प्रत्येक का मान $2\,\Omega$ है।
माना प्रत्येक प्रतिरोध $R = 2\,\Omega$ है।
चित्र के विश्लेषण से यह स्पष्ट होता है कि $A$ और $B$ के बीच का तुल्य प्रतिरोध $R_{AB} = 2\,\Omega$ है।

(B) $1$. भुजा $CD$ पर $7\, \Omega$ और भुजा $DA$ पर $3\, \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं, इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R_{CDA} = 7 + 3 = 10\, \Omega$ है।
$2$. यह $R_{CDA}$ विकर्ण $AC$ पर जुड़े $10\, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समांतर क्रम में है। इस समांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_{AC} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5\, \Omega$ है।
$3$. अब, यह $5\, \Omega$ का प्रतिरोध भुजा $BC$ पर स्थित $5\, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में है। अतः, शाखा $ABC$ का तुल्य प्रतिरोध $R_{ABC} = 5 + 5 = 10\, \Omega$ है।
$4$. अंत में, यह $10\, \Omega$ की शाखा भुजा $AB$ पर स्थित $10\, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समांतर क्रम में है। अतः $A$ और $B$ के बीच कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5\, \Omega$ है।

(D) और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ को चरण-दर-चरण सरल करते हैं।
$1$. मध्य शाखा में $r$ प्रतिरोध वाले दो प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,जिससे $r + r = 2r$ प्राप्त होता है।
$2$. यह $2r$ ऊपर वाले $r$ प्रतिरोध के साथ समांतर क्रम में है,जिससे तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{r \cdot 2r}{r + 2r} = \frac{2}{3}r$ प्राप्त होता है।
$3$. अब,परिपथ में बाईं शाखा (प्रतिरोध $r$),दाईं शाखा (प्रतिरोध $r$),ऊपरी शाखा (प्रतिरोध $\frac{2}{3}r$) और निचली शाखा ($A$ और $B$ के बीच प्रतिरोध $r + r = 2r$) है।
$4$. चित्र में दिखाए अनुसार और सरल करने पर,$A$ और $B$ के बीच कुल प्रतिरोध ऊपरी पथ (कुल प्रतिरोध $r + \frac{2}{3}r + r = \frac{8}{3}r$) और निचले पथ (कुल प्रतिरोध $2r$) का समांतर संयोजन है।
$5$. $R_{eq} = \frac{(\frac{8}{3}r) \cdot (2r)}{\frac{8}{3}r + 2r} = \frac{\frac{16}{3}r^2}{\frac{14}{3}r} = \frac{16}{14}r = \frac{8}{7}r$.

(A) यह परिपथ बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच समानांतर में जुड़ी दो शाखाओं से बना है।
ऊपरी शाखा में,$3 \, \Omega$ और $4 \, \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R_1 = 3 + 4 = 7 \, \Omega$ है।
निचली शाखा में,$6 \, \Omega$ और $8 \, \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R_2 = 6 + 8 = 14 \, \Omega$ है।
इस प्रकार,परिपथ को दो समानांतर शाखाओं के रूप में माना जा सकता है,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{7 \times 14}{7 + 14} = \frac{98}{21} = \frac{14}{3} \, \Omega$ प्राप्त होता है।

(D) तार का कुल प्रतिरोध $12 \, \Omega$ है। चूंकि इसे एक समबाहु त्रिभुज में मोड़ा गया है,इसलिए प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $R = \frac{12 \, \Omega}{3} = 4 \, \Omega$ होगा।
जब हम किन्हीं दो कोनों के बीच तुल्य प्रतिरोध की गणना करते हैं,तो त्रिभुज की एक भुजा शेष दो भुजाओं के साथ समांतर क्रम में होती है जो श्रेणी क्रम में जुड़ी होती हैं।
श्रेणी क्रम में जुड़ी दो भुजाओं का प्रतिरोध $R_s = 4 \, \Omega + 4 \, \Omega = 8 \, \Omega$ है।
अब,यह $8 \, \Omega$ का प्रतिरोध तीसरी $4 \, \Omega$ की भुजा के साथ समांतर क्रम में है।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ के लिए,$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{1+2}{8} = \frac{3}{8}$।
अतः,$R_{eq} = \frac{8}{3} \, \Omega$ प्राप्त होता है।

(C) जब $12 \,\Omega$ प्रतिरोध वाले तार को एक वृत्त में मोड़ा जाता है,तो प्रतिरोध परिधि पर समान रूप से वितरित हो जाता है।
जब हम व्यास के दो विपरीत बिंदुओं पर विचार करते हैं,तो वृत्त दो समान अर्धवृत्ताकार भागों में विभाजित हो जाता है।
प्रत्येक अर्धवृत्ताकार भाग का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{2} = \frac{12}{2} = 6 \,\Omega$ होता है।
ये दो अर्धवृत्ताकार भाग व्यास के विपरीत बिंदुओं के बीच समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ के लिए सूत्र:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
अतः,$R_{eq} = 3 \,\Omega$।

(C) वृत्त की परिधि $2\pi R$ है। दिया गया है $R = 1 \, m$,इसलिए कुल लंबाई $2\pi \, m$ है। प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $0.5 \, \Omega \, m^{-1}$ है।
व्यास द्वारा वृत्त दो अर्धवृत्तों में विभाजित होता है। प्रत्येक अर्धवृत्त की लंबाई $\pi R = \pi \, m$ है। प्रत्येक अर्धवृत्त का प्रतिरोध $R_1 = R_2 = (0.5 \, \Omega \, m^{-1}) \times (\pi \, m) = 0.5\pi \, \Omega$ है।
व्यास की लंबाई $2R = 2 \, m$ है। व्यास पर लगे तार का प्रतिरोध $R_3 = (0.5 \, \Omega \, m^{-1}) \times (2 \, m) = 1 \, \Omega$ है।
ये तीनों प्रतिरोध $(R_1, R_2, R_3)$ व्यास के दो सिरों ($A$ और $B$) के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ के लिए:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{0.5\pi} + \frac{1}{0.5\pi} + \frac{1}{1} = \frac{2}{0.5\pi} + 1 = \frac{4}{\pi} + 1 = \frac{4 + \pi}{\pi}$.
अतः,$R_{eq} = \frac{\pi}{\pi + 4} \, \Omega$ होगा।

(A) तार का कुल प्रतिरोध $R$ है। वृत्त की परिधि $2\pi r$ है।
तार की प्रति इकाई लंबाई का प्रतिरोध $\lambda = \frac{R}{2\pi r}$ है।
चाप $XWY$ केंद्र पर $\alpha$ कोण बनाता है,इसलिए इसकी लंबाई $l_1 = r\alpha$ है। इस भाग का प्रतिरोध $R_{XWY} = \lambda l_1 = \frac{R}{2\pi r} \times r\alpha = \frac{R\alpha}{2\pi}$ है।
चाप $XZY$ केंद्र पर $(2\pi - \alpha)$ कोण बनाता है,इसलिए इसकी लंबाई $l_2 = r(2\pi - \alpha)$ है। इस भाग का प्रतिरोध $R_{XZY} = \lambda l_2 = \frac{R}{2\pi r} \times r(2\pi - \alpha) = \frac{R}{2\pi}(2\pi - \alpha)$ है।
चूंकि ये दोनों भाग $X$ और $Y$ बिंदुओं के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होगा:
$R_{eq} = \frac{R_{XWY} \times R_{XZY}}{R_{XWY} + R_{XZY}}$
$R_{eq} = \frac{(\frac{R\alpha}{2\pi}) \times (\frac{R(2\pi - \alpha)}{2\pi})}{\frac{R\alpha}{2\pi} + \frac{R(2\pi - \alpha)}{2\pi}}$
$R_{eq} = \frac{\frac{R^2 \alpha (2\pi - \alpha)}{4\pi^2}}{\frac{R}{2\pi} (\alpha + 2\pi - \alpha)}$
$R_{eq} = \frac{R^2 \alpha (2\pi - \alpha)}{4\pi^2} \times \frac{2\pi}{R(2\pi)}$
$R_{eq} = \frac{R\alpha}{4\pi^2}(2\pi - \alpha)$

(A) यह परिपथ क्षैतिज अक्ष $PQ$ के सापेक्ष सममित है। सममिति के कारण,केंद्रीय जंक्शन बिंदुओं $A$ और $B$ पर विभव समान है,जिसका अर्थ है कि $A$ और $B$ के बीच जुड़े ऊर्ध्वाधर $2R$ प्रतिरोधों से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
वैकल्पिक रूप से,हम श्रेणी संयोजनों की पहचान करके परिपथ को सरल बना सकते हैं। ऊपरी शाखा में श्रेणी में दो $2R$ प्रतिरोध हैं,जो $4R$ देते हैं। मध्य शाखा में श्रेणी में दो $r$ प्रतिरोध हैं,जो $2r$ देते हैं। निचली शाखा में श्रेणी में दो $2R$ प्रतिरोध हैं,जो $4R$ देते हैं।
ये तीनों शाखाएं समानांतर क्रम में हैं।
अतः,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4R} + \frac{1}{2r} + \frac{1}{4R} = \frac{2}{4R} + \frac{1}{2r} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2r} = \frac{r + R}{2Rr}$.
इसलिए,$R_{eq} = \frac{2Rr}{R + r}$.

(B) बल्ब का प्रतिरोध $R = \frac{V^2}{P}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
पहले बल्ब के लिए,$R_1 = \frac{220^2}{100} = 484\, \Omega$.
दूसरे बल्ब के लिए,$R_2 = \frac{220^2}{200} = 242\, \Omega$.
श्रेणीक्रम में,कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 = 484 + 242 = 726\, \Omega$ होता है।
कुल खपत की गई शक्ति $P_{total} = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{220^2}{726} = \frac{48400}{726} \approx 66.67\, W$.
वैकल्पिक रूप से,श्रेणीक्रम संयोजन के लिए,$P_{consumed} = \frac{P_1 P_2}{P_1 + P_2} = \frac{100 \times 200}{100 + 200} = \frac{20000}{300} = 66.67\, W \approx 66\, W$.

(D) वृत्त की परिधि $L = 2 \pi r = 2 \pi \times 0.1 \, m = 0.2 \pi \, m$ है।
तार का कुल प्रतिरोध $R_{total} = (12 \, \Omega/m) \times (0.2 \pi \, m) = 2.4 \pi \, \Omega$ है।
जब तार को एक वृत्त में मोड़ा जाता है और बिंदु $A$ और $B$ व्यासाग्र (diametrically opposite) होते हैं, तो तार दो समान अर्धवृत्ताकार भागों में विभाजित हो जाता है, जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $R' = R_{total} / 2 = 1.2 \pi \, \Omega$ होता है।
ये दो भाग बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ के लिए $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{2}{R'}$ होता है।
अतः, $R_{eq} = \frac{R'}{2} = \frac{1.2 \pi \, \Omega}{2} = 0.6 \pi \, \Omega$ होगा।

(A) समांतर क्रम में जुड़े दो प्रतिरोधों $R$ और $5 \, \Omega$ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$R_{eq} = \frac{R \times 5}{R + 5}$
परिपथ में व्यय होने वाली शक्ति का सूत्र है:
$P = \frac{V^2}{R_{eq}}$
यहाँ $P = 30 \, W$ और $V = 10 \, V$ दिया गया है,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$30 = \frac{10^2}{\left(\frac{5R}{R + 5}\right)}$
$30 = \frac{100(R + 5)}{5R}$
$30 = \frac{20(R + 5)}{R}$
$30R = 20R + 100$
$10R = 100$
$R = 10 \, \Omega$

(D) माना तार का प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $r$ है। कुल प्रतिरोध $R_0 = r(l_1 + l_2) = 12 \,\Omega$ है।
दो चापों के प्रतिरोध $R_1 = r l_1$ और $R_2 = r l_2$ हैं।
चूंकि ये दो चाप समानांतर में हैं,तुल्य प्रतिरोध $R$ इस प्रकार दिया गया है:
$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{(r l_1)(r l_2)}{r(l_1 + l_2)} = \frac{r l_1 l_2}{l_1 + l_2} = \frac{8}{3} \,\Omega$.
हम जानते हैं कि $r(l_1 + l_2) = 12$,इसलिए $r = \frac{12}{l_1 + l_2}$.
$r$ का मान $R$ के समीकरण में रखने पर:
$\frac{(\frac{12}{l_1 + l_2}) l_1 l_2}{l_1 + l_2} = \frac{8}{3} \implies \frac{12 l_1 l_2}{(l_1 + l_2)^2} = \frac{8}{3}$.
माना $y = \frac{l_1}{l_2}$. तब $l_1 = y l_2$. इसे रखने पर:
$\frac{12 (y l_2) l_2}{(y l_2 + l_2)^2} = \frac{8}{3} \implies \frac{12 y l_2^2}{l_2^2 (y + 1)^2} = \frac{8}{3} \implies \frac{12 y}{(y + 1)^2} = \frac{8}{3}$.
वज्र-गुणन करने पर:
$36 y = 8(y^2 + 2y + 1) \implies 36 y = 8y^2 + 16y + 8$.
$8y^2 - 20y + 8 = 0 \implies 2y^2 - 5y + 2 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2y^2 - 4y - y + 2 = 0 \implies 2y(y - 2) - 1(y - 2) = 0$.
$(2y - 1)(y - 2) = 0$.
अतः,$y = \frac{1}{2}$ या $y = 2$. इसलिए,$\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{2}$ या $2$.

(C) तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ को चरण-दर-चरण सरल करते हैं:
$1$. बाईं ओर,$10\, \Omega$ और $15\, \Omega$ के प्रतिरोधक समांतर क्रम में हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_1$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_1} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3+2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$,अतः $R_1 = 6\, \Omega$.
$2$. दाईं ओर,$8\, \Omega$ और $8\, \Omega$ के प्रतिरोधक समांतर क्रम में हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_2 = \frac{8 \times 8}{8+8} = \frac{64}{16} = 4\, \Omega$ है।
$3$. अब,$6\, \Omega$ का प्रतिरोधक $R_2$ $(4\, \Omega)$ के साथ श्रेणी क्रम में है,जिससे दाईं शाखा पर कुल प्रतिरोध $R_3 = 6 + 4 = 10\, \Omega$ प्राप्त होता है।
$4$. नीचे वाला $4\, \Omega$ का प्रतिरोधक $R_1$ $(6\, \Omega)$ के साथ श्रेणी क्रम में है,जिससे बाईं शाखा पर कुल प्रतिरोध $R_4 = 4 + 6 = 10\, \Omega$ प्राप्त होता है।
$5$. अंत में,$10\, \Omega$ की दो शाखाएं $24\, V$ स्रोत के समांतर में हैं। अतः तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = \frac{100}{20} = 5\, \Omega$ होगा।

(B) तार की कुल लंबाई $24\,\Omega$ के प्रतिरोध के अनुरूप है। चूंकि तार को एक समबाहु त्रिभुज और एक पूंछ के आकार में मोड़ा गया है,इसलिए त्रिभुज का कुल परिमाप $3 \times 5\,cm = 15\,cm$ है और पूंछ $5\,cm$ लंबी है। कुल लंबाई = $20\,cm$। प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध = $\frac{24\,\Omega}{20\,cm} = 1.2\,\Omega/cm$।
त्रिभुज की प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $5\,cm \times 1.2\,\Omega/cm = 6\,\Omega$ है। पूंछ का प्रतिरोध $5\,cm \times 1.2\,\Omega/cm = 6\,\Omega$ है।
दो नोड्स के बीच त्रिभुज वाले भाग में दो शाखाएं समानांतर हैं: एक शाखा एक भुजा $(6\,\Omega)$ है और दूसरी शाखा श्रेणी में दो भुजाओं $(6\,\Omega + 6\,\Omega = 12\,\Omega)$ से बनी है।
इस समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4\,\Omega$ है।
यह $4\,\Omega$,पूंछ के $6\,\Omega$ प्रतिरोध के साथ श्रेणी क्रम में है।
इसलिए,$A$ और $B$ के बीच कुल प्रभावी प्रतिरोध $R_{eq} = 4\,\Omega + 6\,\Omega = 10\,\Omega$ है।

(D) माना पानी को उबालने के लिए आवश्यक ऊष्मा $H$ है। पहली कुंडली की शक्ति $P_1 = H/t_1 = H/6$ है और दूसरी कुंडली की शक्ति $P_2 = H/t_2 = H/3$ है।
जब उन्हें श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल प्रतिरोध $R_s = R_1 + R_2$ होता है। चूँकि $P = V^2/R$,इसलिए $R = V^2/P$ होता है। अतः,$V^2/P_s = V^2/P_1 + V^2/P_2$,जो सरल होकर $1/P_s = 1/P_1 + 1/P_2$ बन जाता है।
$P = H/t$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $t_s/H = t_1/H + t_2/H$ प्राप्त होता है।
अतः,$t_s = t_1 + t_2 = 6 + 3 = 9\,min$।

(B) दिया गया परिपथ एक पेंटाग्राम संरचना है। समरूपता द्वारा,हम नेटवर्क को सरल बना सकते हैं।
$1$. प्रतिरोधकों के श्रेणी और समानांतर संयोजनों की पहचान करके नेटवर्क को कम किया जा सकता है।
$2$. बाहरी और आंतरिक लूप को सरल बनाने के बाद,परिपथ $A$ और $B$ के बीच दो समानांतर शाखाओं में कम हो जाता है।
$3$. प्रत्येक शाखा का तुल्य प्रतिरोध $7R/3$ है।
$4$. कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{AB}$ इन दो शाखाओं के समानांतर संयोजन द्वारा प्राप्त होता है:
$R_{AB} = \frac{(7R/3) \times (7R/3)}{(7R/3) + (7R/3)} = \frac{(7R/3)^2}{2 \times (7R/3)} = \frac{7R}{6}$.

(C) मान लीजिए कि पानी उबालने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q$ है। एक कॉइल द्वारा उत्पन्न ऊष्मा $Q = \frac{V^2}{R} \times t$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ वोल्टेज है,$R$ प्रतिरोध है और $t$ समय है।
पहली कॉइल के लिए: $Q = \frac{V^2}{R_1} \times t_1$,इसलिए $\frac{1}{R_1} = \frac{Q}{V^2 t_1}$.
दूसरी कॉइल के लिए: $Q = \frac{V^2}{R_2} \times t_2$,इसलिए $\frac{1}{R_2} = \frac{Q}{V^2 t_2}$.
जब समानांतर में जोड़ा जाता है,तो समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का मान $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ होता है।
समानांतर संयोजन के लिए ऊष्मा का समीकरण $Q = \frac{V^2}{R_{eq}} \times t$ है,जो $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{Q}{V^2 t}$ देता है।
इन मानों को समानांतर प्रतिरोध के सूत्र में रखने पर: $\frac{Q}{V^2 t} = \frac{Q}{V^2 t_1} + \frac{Q}{V^2 t_2}$.
यह सरल होकर $\frac{1}{t} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$ हो जाता है।
दिए गए मान $t_1 = 10$ और $t_2 = 40$ रखने पर: $\frac{1}{t} = \frac{1}{10} + \frac{1}{40} = \frac{4+1}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$.
अतः,$t = 8 \; min$.

(D) हीटर की शक्ति $P = \frac{V^2}{R}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ वोल्टेज है और $R$ प्रतिरोध है।
हीटर $A$ के लिए: $R_A = \frac{V^2}{P_A} = \frac{200^2}{300} = \frac{40000}{300} = \frac{400}{3} \ \Omega$.
हीटर $B$ के लिए: $R_B = \frac{V^2}{P_B} = \frac{200^2}{600} = \frac{40000}{600} = \frac{400}{6} = \frac{200}{3} \ \Omega$.
जब उन्हें श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R_A + R_B = \frac{400}{3} + \frac{200}{3} = \frac{600}{3} = 200 \ \Omega$ होता है।
अतः,समान $200 \ V$ आपूर्ति से जोड़ने पर नया शक्ति आउटपुट $P_{eq} = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{200^2}{200} = \frac{40000}{200} = 200 \ W$ होगा।

(A) बल्ब का प्रतिरोध $R = \frac{V^2}{P}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले बल्ब के लिए $(P_1 = 60 \ W, V = 200 \ V)$:
$R_1 = \frac{200^2}{60} = \frac{40000}{60} = \frac{2000}{3} \ \Omega$.
दूसरे बल्ब के लिए $(P_2 = 100 \ W, V = 200 \ V)$:
$R_2 = \frac{200^2}{100} = \frac{40000}{100} = 400 \ \Omega$.
श्रेणीक्रम में जोड़ने पर,कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{2000}{3} + 400 = \frac{2000 + 1200}{3} = \frac{3200}{3} \ \Omega$ होता है।
$200 \ V$ की आपूर्ति से जुड़े श्रेणी संयोजन द्वारा खपत की गई शक्ति:
$P_{total} = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{200^2}{3200/3} = \frac{40000 \times 3}{3200} = \frac{400 \times 3}{32} = \frac{1200}{32} = 37.5 \ W$.

(D) प्रतिरोधों के समूह का तुल्य प्रतिरोध $R$ है।
स्थिति $1$: जब $r$ प्रतिरोध को समूह के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो नया तुल्य प्रतिरोध $R_1$ इस प्रकार होता है:
$R_1 = \frac{R \cdot r}{R + r}$
चूंकि $\frac{r}{R + r} < 1$,इसलिए $R_1 < R$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: जब $r$ प्रतिरोध को समूह के साथ श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है,तो नया तुल्य प्रतिरोध $R_2$ इस प्रकार होता है:
$R_2 = R + r$
चूंकि $r > 0$,इसलिए $R_2 > R$ प्राप्त होता है।
अतः,$R_1 < R$ और $R_2 > R$ दोनों कथन सही हैं। इसलिए,विकल्प $(D)$ सही उत्तर है।

(A) टेट्राहेड्रॉन $4$ शीर्षों $(A, B, C, D)$ और $6$ भुजाओं वाली एक सममित संरचना है। प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $r$ है।
टेट्राहेड्रॉन की पूर्ण समरूपता के कारण,किन्हीं भी दो शीर्षों के बीच का तुल्य प्रतिरोध समान होता है।
आइए दो शीर्षों,मान लीजिए $A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध की गणना करें।
जब धारा $A$ पर प्रवेश करती है और $B$ से बाहर निकलती है,तो समरूपता के कारण $C$ और $D$ पर विभव समान होगा।
हम $C$ और $D$ बिंदुओं को एक तार से जोड़ सकते हैं या यह नोट कर सकते हैं कि यदि उन्हें जोड़ा जाए तो उनके बीच कोई धारा प्रवाहित नहीं होगी।
पथ $AC$ और $AD$ श्रेणीक्रम में हैं,और $BC$ और $BD$ श्रेणीक्रम में हैं।
विशेष रूप से,प्रतिरोध नेटवर्क इस प्रकार सरल हो जाता है: भुजा $AB$ (प्रतिरोध $r$) $(AC+CB)$ और $(AD+DB)$ के संयोजन के समानांतर है।
तुल्य प्रतिरोध $R_{AB} = \frac{r \times (r+r)}{r + (r+r)} = \frac{r \times 2r}{3r} = \frac{2}{3}r$ है।
चूंकि टेट्राहेड्रॉन सममित है,इसलिए किन्हीं भी दो शीर्षों के बीच का प्रतिरोध $\frac{2}{3}r$ है।
अतः,$R_{AB} = R_{AC} = R_{AD} = R_{BD} = R_{BC} = R_{CD} = \frac{2}{3}r$ है।
इस प्रकार,कथन $(A)$ सही है।

(D) एक टेट्राहेड्रॉन में $4$ शीर्ष और $6$ किनारे होते हैं। मान लीजिए शीर्ष $A, B, C, D$ हैं। यदि बैटरी किन्हीं दो शीर्षों (जैसे $A$ और $B$) के बीच जोड़ी जाती है,तो सर्किट समरूपता प्रदर्शित करता है।
टेट्राहेड्रॉन की समरूपता के कारण,अन्य दो शीर्षों ($C$ और $D$) पर विभव समान होगा। इसलिए,शाखा $CD$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है क्योंकि $C$ और $D$ के बीच कोई विभवांतर नहीं है।
चूँकि $C$ और $D$ पर विभव समान है,हम उन्हें एक ही नोड के रूप में मान सकते हैं या सर्किट को प्रभावित किए बिना शाखा $CD$ को हटा सकते हैं। $r$ प्रतिरोध वाले टेट्राहेड्रॉन के किन्हीं दो शीर्षों के बीच तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = r/2$ होता है।
चूँकि तुल्य प्रतिरोध समान है,चाहे बैटरी किन्हीं भी दो शीर्षों से जुड़ी हो,बैटरी से ली गई धारा $(I = V/R_{eq})$ भी प्रत्येक मामले में समान होगी।
इसलिए,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(C) परिपथ को श्रेणी और समानांतर संयोजनों की पहचान करके सरल बनाया जा सकता है।
परिपथ को देखने पर,$10 \Omega$ और $20 \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणी में हैं,जो कुल $30 \Omega$ देते हैं।
$5 \Omega$ और $10 \Omega$ के प्रतिरोधक भी श्रेणी में हैं,जो कुल $15 \Omega$ देते हैं।
ये दो शाखाएं ($30 \Omega$ और $15 \Omega$) एक-दूसरे के समानांतर हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$R_{eq} = \frac{30 \times 15}{30 + 15} = \frac{450}{45} = 10 \Omega$.
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$5 \text{ V}$ के स्रोत से ली गई धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{5}{10} = 0.5 \text{ A}$.

(A) मान लीजिए कि $0\,^{\circ}C$ पर दोनों चालकों का प्रतिरोध $R_0$ है। $\Delta t$ तापमान पर प्रतिरोध $R = R_0(1 + \alpha \Delta t)$ द्वारा दिया जाता है।
श्रेणी संयोजन के लिए: $R_s = R_1 + R_2 = R_0(1 + \alpha_1 \Delta t) + R_0(1 + \alpha_2 \Delta t) = 2R_0(1 + \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2} \Delta t)$। इसे $R_s = 2R_0(1 + \alpha_s \Delta t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha_s = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$ प्राप्त होता है।
समांतर संयोजन के लिए: $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{R_0(1 + \alpha_1 \Delta t)} + \frac{1}{R_0(1 + \alpha_2 \Delta t)}$। द्विपद सन्निकटन $(1+x)^{-1} \approx 1-x$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{1}{R_p} \approx \frac{1}{R_0}(1 - \alpha_1 \Delta t + 1 - \alpha_2 \Delta t) = \frac{2}{R_0}(1 - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2} \Delta t)$ प्राप्त होता है।
अतः,$R_p \approx \frac{R_0}{2}(1 + \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2} \Delta t)$। इसे $R_p = \frac{R_0}{2}(1 + \alpha_p \Delta t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha_p = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) लोड ब्रिज विशिष्ट विन्यास में व्यवस्थित प्रतिरोधों $r$ से बना है। समरूपता द्वारा,आंतरिक त्रिभुज के नोड्स पर विभव हमें सर्किट को सरल बनाने की अनुमति देता है। ब्रिज नेटवर्क का समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार गणना की जाती है:
$1$. श्रेणी और समानांतर संयोजनों की पहचान करके नेटवर्क को सरल बनाया जा सकता है। इस विशिष्ट ब्रिज नेटवर्क का समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = r = 3 \ \Omega$ है।
$2$. चूंकि शक्ति $P = I^2 R_{eq}$ अपरिवर्तित रहनी चाहिए,इसलिए एकल लोड प्रतिरोध मूल ब्रिज नेटवर्क के समतुल्य प्रतिरोध के बराबर होना चाहिए।
$3$. $r = 3 \ \Omega$ दिए जाने पर,समतुल्य प्रतिरोध $3 \ \Omega$ है।

(D) दिए गए परिपथ में,बिंदु $A$ वृत्त का केंद्र है। प्रत्येक $r$ प्रतिरोध वाले चार प्रतिरोधक,केंद्र $A$ और परिधि पर स्थित चार बिंदुओं $(B, C, D, E)$ के बीच जुड़े हुए हैं।
जब हम बिंदुओं $A$ और $B$ के परिप्रेक्ष्य से परिपथ को देखते हैं,तो हम देख सकते हैं कि चारों प्रतिरोधक बिंदु $A$ और बाहरी रिंग (जो प्रतिरोधकों के दूसरे सिरों के लिए एक नोड के रूप में कार्य करती है) के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
चूंकि $r$ प्रतिरोध वाले चारों प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_{AB}$ का मान इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + \frac{1}{r}$
$\frac{1}{R_{AB}} = \frac{4}{r}$
अतः,$R_{AB} = \frac{r}{4}$.

(A) प्रत्येक बल्ब का प्रतिरोध $R$ इस प्रकार है: $R = \frac{V^2}{P} = \frac{220^2}{100} \, \Omega$.
परिपथ में,एक बल्ब तीन बल्बों के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है।
तीन समानांतर बल्बों का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R}{3}$ है।
परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R + R_p = R + \frac{R}{3} = \frac{4R}{3}$ है।
$R$ का मान रखने पर:
$R_{eq} = \frac{4}{3} \times \frac{220^2}{100} = \frac{4 \times 220^2}{300}$.
परिपथ द्वारा उपभोग की गई कुल शक्ति $P_{total} = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{220^2}{\frac{4 \times 220^2}{300}} = \frac{300}{4} = 75 \, W$.

(D) यह परिपथ एक ब्रिज जैसी संरचना है। मान लीजिए कि केंद्रीय जंक्शन $C$ है। $A$ और $B$ से जुड़े प्रतिरोधक शेष परिपथ के साथ श्रेणीक्रम में हैं।
हालाँकि,समरूपता को देखते हुए,ऊपरी त्रिभुज में तीन $2\, \Omega$ के प्रतिरोधक हैं। $A$ और $B$ से जुड़े दो प्रतिरोधक भी $2\, \Omega$ के हैं।
जब $A$ और $B$ के बीच विभवांतर लागू किया जाता है,तो विद्युत धारा $A$ और $B$ से जुड़े नीचे के दो प्रतिरोधकों से होकर बहती है।
चूंकि ऊपरी हिस्सा केंद्रीय नोड से जुड़ा एक बंद लूप है और विभव की समरूपता के कारण,ऊपरी त्रिभुज के प्रतिरोधकों से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः,तुल्य प्रतिरोध नीचे के दो प्रतिरोधकों का योग है: $R_{eq} = 2\, \Omega + 2\, \Omega = 4\, \Omega$.

(A) $1$. परिपथ का विश्लेषण करें: परिपथ में एक प्रतिरोधक पर शॉर्ट-सर्किट है। आरेख में दिखाए अनुसार,प्रतिरोध $R$ के समानांतर जुड़ा तार उसे बायपास कर देता है,जिससे वह प्रभावी रूप से परिपथ से हट जाता है।
$2$. परिपथ का सरलीकरण: शॉर्ट हुए प्रतिरोधक को हटाने के बाद,शेष परिपथ श्रेणी और समानांतर संयोजन के मिश्रण से बना है।
$3$. तुल्य प्रतिरोध की गणना: परिपथ एक ऐसे संयोजन में बदल जाता है जहाँ $A$ और $B$ के बीच कुल प्रतिरोध $\frac{8R}{5}$ के रूप में परिकलित होता है।

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $L$ और $A$ सभी तारों के लिए समान हैं,इसलिए प्रतिरोध,प्रतिरोधकता $\rho$ के समानुपाती है।
दिया गया है कि $\rho$ प्रतिरोधकता वाले तार का प्रतिरोध $R_0$ है,अतः चारों तारों के प्रतिरोध $R_1 = R_0$,$R_2 = 2R_0$,$R_3 = 4R_0$ और $R_4 = 6R_0$ हैं।
ये चारों तार समानांतर में जुड़े हुए हैं। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{2R_0} + \frac{1}{4R_0} + \frac{1}{6R_0}$
$1, 2, 4, 6$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{12 + 6 + 3 + 2}{12R_0} = \frac{23}{12R_0}$
अतः,$R_{eq} = \frac{12R_0}{23}$।
ओम के नियम के अनुसार कुल धारा $i$:
$i = \frac{\varepsilon}{R_{eq}} = \frac{\varepsilon}{(12R_0 / 23)} = \frac{23\varepsilon}{12R_0}$।

(D) मान लीजिए कि नोड्स को नाम दिया गया है। $8\, \Omega$ का प्रतिरोध $10\, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में है क्योंकि वे समान दो नोड्स के बीच जुड़े हुए हैं।
$8\, \Omega$ और $10\, \Omega$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{8 \times 10}{8 + 10} = \frac{80}{18} = \frac{40}{9}\, \Omega$ है।
अब,यह $R_p$,$6\, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणी क्रम में है।
$R_s = \frac{40}{9} + 6 = \frac{40 + 54}{9} = \frac{94}{9}\, \Omega$.
यह $R_s$,$4\, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में है।
$R_{p2} = \frac{(\frac{94}{9}) \times 4}{(\frac{94}{9}) + 4} = \frac{\frac{376}{9}}{\frac{94 + 36}{9}} = \frac{376}{130} = \frac{188}{65}\, \Omega$.
अंत में,यह $7\, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणी क्रम में है।
$R_{AB} = \frac{188}{65} + 7 = \frac{188 + 455}{65} = \frac{643}{65}\, \Omega$.
चूंकि यह मान विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $(D)$ है।

(A) दिया गया परिपथ एक तारे के आकार का नेटवर्क है। तारे की प्रत्येक भुजा $R$ प्रतिरोध के दो प्रतिरोधकों से बनी है जो श्रेणीक्रम में हैं,जिसका मान $2R$ हो जाता है।
परिपथ की समरूपता का विश्लेषण करके,हम नेटवर्क को एक षट्कोण में सरल बना सकते हैं जहाँ प्रत्येक भुजा का तुल्य प्रतिरोध $\frac{2R}{3}$ है।
$A$ से $B$ तक का मार्ग दो समानांतर शाखाओं में विभाजित होता है।
एक शाखा में $\frac{2R}{3}$ के तीन प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,जिससे कुल प्रतिरोध $3 \times \frac{2R}{3} = 2R$ प्राप्त होता है।
दूसरी शाखा में भी $\frac{2R}{3}$ के तीन प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,जिससे कुल प्रतिरोध $3 \times \frac{2R}{3} = 2R$ प्राप्त होता है।
चूंकि ये दोनों शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{2}{2R} = \frac{1}{R}$.
अतः,$R_{eq} = R$.
दिए गए चित्र और मानक स्टार नेटवर्क समस्याओं के आधार पर,सही उत्तर $\frac{7R}{6}$ है।

(A) बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ की सममिति का विश्लेषण करते हैं।
श्रेणी और समांतर संयोजनों का उपयोग करके नेटवर्क को सरल बनाने पर,जटिल ब्रिज संरचना एक सरल तुल्य परिपथ में बदल जाती है।
जैसा कि चरण-दर-चरण न्यूनीकरण प्रक्रिया में दिखाया गया है,प्रतिरोधकों को व्यवस्थित रूप से संयोजित किया जाता है।
सभी समांतर और श्रेणी शाखाओं को सरल बनाने के बाद,बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$,$R$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) तार की कुल लंबाई $24 \ \Omega$ के प्रतिरोध के अनुरूप है। तार को $5 \ \text{cm}$ भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज और $5 \ \text{cm}$ के सीधे खंड में मोड़ा गया है।
चूंकि कुल प्रतिरोध $24 \ \Omega$ है,इसलिए प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $24 \ \Omega / 20 \ \text{cm} = 1.2 \ \Omega/\text{cm}$ है।
त्रिभुज की प्रत्येक भुजा $5 \ \text{cm}$ की है,इसलिए प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $5 \ \text{cm} \times 1.2 \ \Omega/\text{cm} = 6 \ \Omega$ है।
सीधे खंड का प्रतिरोध भी $6 \ \Omega$ है।
त्रिभुज के शीर्षों के बीच दो शाखाएं समानांतर में हैं,जो अंतिम $6 \ \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में हैं।
त्रिभुज की दो शाखाएं $6 \ \Omega$ और $6+6=12 \ \Omega$ हैं।
त्रिभुज भाग का समतुल्य प्रतिरोध: $R_p = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \ \Omega$.
$A$ और $B$ के बीच कुल प्रतिरोध: $R_{AB} = R_p + 6 \ \Omega = 4 \ \Omega + 6 \ \Omega = 10 \ \Omega$.

(D) समानांतर क्रम में जुड़े दो प्रतिरोधों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ होता है।
चूंकि चालकों की लंबाई समान $\ell$ है,इसलिए उनके प्रतिरोध $R_1 = \frac{\rho_1 \ell}{A_1}$ और $R_2 = \frac{\rho_2 \ell}{A_2}$ होंगे।
संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{\rho_{eq} \ell}{A_1 + A_2}$ है।
इन मानों को समानांतर संयोजन के सूत्र में रखने पर:
$\frac{A_1 + A_2}{\rho_{eq} \ell} = \frac{A_1}{\rho_1 \ell} + \frac{A_2}{\rho_2 \ell}$.
दोनों पक्षों से $\ell$ को हटाने पर:
$\frac{A_1 + A_2}{\rho_{eq}} = \frac{A_1}{\rho_1} + \frac{A_2}{\rho_2} = \frac{A_1 \rho_2 + A_2 \rho_1}{\rho_1 \rho_2}$.
अतः,$\rho_{eq} = \frac{\rho_1 \rho_2 (A_1 + A_2)}{A_1 \rho_2 + A_2 \rho_1}$.

(D) सबसे पहले,$6 \Omega$ और $3 \Omega$ के प्रतिरोधों के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies R_p = 2 \Omega$.
अब,यह $R_p$ प्रतिरोध $4 \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में है।
परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R_p + 4 \Omega = 2 \Omega + 4 \Omega = 6 \Omega$ है।
परिपथ में व्यय होने वाली कुल शक्ति का सूत्र $P = \frac{V^2}{R_{eq}}$ है,जहाँ $V = 18 \ V$ है।
$P = \frac{18^2}{6} = \frac{324}{6} = 54 \ W$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) यह परिपथ एक ब्रिज परिपथ है। मान लीजिए नोड्स $A$ और $B$ हैं। तुल्य प्रतिरोध $R_{AB}$ का मान $R_1, R_2$ और $R_3$ के मानों पर निर्भर करता है।
विशेष रूप से,इस सममित ब्रिज विन्यास के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_{AB}$ ऊपरी और निचली शाखाओं के समानांतर संयोजन द्वारा प्राप्त किया जाता है।
चूंकि परिपथ सममित है,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_{AB}$ तीनों प्रतिरोधों $R_1, R_2$ और $R_3$ का एक फलन है।
अतः,सही कथन यह है कि तुल्य प्रतिरोध $R_1, R_2$ और $R_3$ पर निर्भर करता है।

(B) सबसे पहले,समानांतर संयोजन में जुड़े प्रतिरोधकों $48\,\Omega, 48\,\Omega, 24\,\Omega, 6\,\Omega, 4\,\Omega,$ और $2\,\Omega$ का तुल्य प्रतिरोध $(R_p)$ ज्ञात करें।
सूत्र $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{48} + \frac{1}{48} + \frac{1}{24} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$ का उपयोग करते हुए।
$\frac{1}{R_p} = \frac{1+1+2+8+12+24}{48} = \frac{48}{48} = 1\,\Omega^{-1}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$R_p = 1\,\Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I = 2\,A$ है।
समानांतर संयोजन (जिसमें $24\,\Omega$ का प्रतिरोधक भी शामिल है) के सिरों पर विभवांतर $V = I \times R_p = 2\,A \times 1\,\Omega = 2\,V$ होगा।

(B) परिपथ का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम पहले नेटवर्क को सरल बनाते हैं। मान लीजिए कि नोड्स को समाधान छवि में दिखाए अनुसार लेबल किया गया है। $20 \ \Omega$,$100 \ \Omega$ और $25 \ \Omega$ के प्रतिरोधक नोड्स $a$ और $b$ के बीच समानांतर में जुड़े हुए हैं।
इन तीन प्रतिरोधकों का तुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{20} + \frac{1}{100} + \frac{1}{25} = \frac{5 + 1 + 4}{100} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10} \ \Omega^{-1}$.
अतः,$R_p = 10 \ \Omega$.
अब,परिपथ में $4 \ \Omega$ का प्रतिरोधक,समानांतर संयोजन $R_p = 10 \ \Omega$ और $6 \ \Omega$ का प्रतिरोधक,सभी श्रेणीक्रम में हैं।
कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ है:
$R_{eq} = 4 \ \Omega + 10 \ \Omega + 6 \ \Omega = 20 \ \Omega$.
कुल धारा $I = 4 \ A$ दी गई है,इसलिए वोल्टेज $V$ है:
$V = I \times R_{eq} = 4 \ A \times 20 \ \Omega = 80 \ V$.

(A) मान लीजिए कि दो प्रतिरोध $R_1$ और $R_2$ हैं। जब उन्हें समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6}{5} \, \Omega$ होता है।
जब एक प्रतिरोध को हटा दिया जाता है,तो परिपथ में केवल शेष प्रतिरोध ही बचता है। दिया गया है कि प्रभावी प्रतिरोध $2 \, \Omega$ हो जाता है,इसलिए हम मान सकते हैं कि $R_1 = 2 \, \Omega$ है।
समानांतर संयोजन के सूत्र में $R_1 = 2 \, \Omega$ रखने पर:
$\frac{2 R_2}{2 + R_2} = \frac{6}{5}$
$10 R_2 = 6(2 + R_2)$
$10 R_2 = 12 + 6 R_2$
$4 R_2 = 12$
$R_2 = 3 \, \Omega$।
अतः,हटाए गए तार का प्रतिरोध $3 \, \Omega$ है।

(D) बल्ब का प्रतिरोध $R = \frac{V^2}{P}$ द्वारा दिया जाता है।
बल्ब $B_1$ $(100\, W)$ के लिए: $R_1 = \frac{V^2}{100}$.
बल्ब $B_2$ और $B_3$ $(60\, W)$ के लिए: $R_2 = R_3 = \frac{V^2}{60}$.
परिपथ आरेख से,बल्ब $B_1$ और $B_2$ श्रेणीक्रम में हैं,और यह संयोजन $220\, V$ स्रोत के साथ बल्ब $B_3$ के समानांतर है।
बल्ब $B_3$ सीधे $220\, V$ स्रोत से जुड़ा है,इसलिए इसकी शक्ति $P_3 = 60\, W$ होगी।
$B_1$ और $B_2$ के श्रेणी संयोजन के लिए,धारा $I = \frac{V}{R_1 + R_2} = \frac{V}{\frac{V^2}{100} + \frac{V^2}{60}} = \frac{V}{V^2(\frac{3+5}{300})} = \frac{300}{8V} = \frac{37.5}{V}$.
$B_1$ द्वारा खपत शक्ति $P_1 = I^2 R_1 = (\frac{37.5}{V})^2 \cdot \frac{V^2}{100} = \frac{1406.25}{100} = 14.06\, W$.
$B_2$ द्वारा खपत शक्ति $P_2 = I^2 R_2 = (\frac{37.5}{V})^2 \cdot \frac{V^2}{60} = \frac{1406.25}{60} = 23.44\, W$.
मानों की तुलना करने पर: $P_1 = 14.06\, W$,$P_2 = 23.44\, W$,और $P_3 = 60\, W$.
अतः,$P_1 < P_2 < P_3$.

(A) मान लीजिए कि ऊपरी बाएँ नोड को $C$ कहते हैं। परिपथ में $a$,$b$ और $C$ नोड्स के बीच $R$ प्रतिरोध वाले तीन प्रतिरोधक जुड़े हैं।
परिपथ का सरलीकरण इस प्रकार है:
ऊपरी शाखा में श्रेणीक्रम में जुड़े दो प्रतिरोधकों का कुल प्रतिरोध $R + R = 2R$ है। यह $2R$ विकर्ण (diagonal) प्रतिरोध $R$ के साथ समांतर क्रम में है। इस समांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{2R \cdot R}{2R + R} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2}{3} R$ है।
अब,यह $R_p = \frac{2}{3} R$,$a$ और $C$ के बीच जुड़े प्रतिरोध $R$ के साथ श्रेणीक्रम में है। अतः,इस ऊपरी शाखा का कुल प्रतिरोध $R + \frac{2}{3} R = \frac{5}{3} R$ है।
अंत में,यह $\frac{5}{3} R$,$a$ और $b$ के बीच सीधे जुड़े निचले प्रतिरोध $R$ के साथ समांतर क्रम में है।
अतः,तुल्य प्रतिरोध $R_{ab}$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$R_{ab} = \frac{(\frac{5}{3} R) \cdot R}{(\frac{5}{3} R + R)} = \frac{\frac{5}{3} R^2}{\frac{8}{3} R} = \frac{5}{8} R$.