Equivalent Resistance - Series and Parallel , Circuit Questions in Hindi

(A) मान लीजिए कि घनाकार नेटवर्क में बिंदु $A$ पर प्रवेश करने वाली कुल धारा $6I$ है। घन की सममिति के कारण, यह धारा $A$ पर तीन शाखाओं में समान रूप से विभाजित हो जाती है, जिनमें से प्रत्येक में $2I$ धारा प्रवाहित होती है।
अगले नोड्स पर, ये धाराएं फिर से विभाजित हो जाती हैं।
किरचॉफ के वोल्टेज नियम का उपयोग करते हुए $A$ से $B$ तक के पथ के लिए, नेटवर्क पर विभव पतन $V$ पथ में आने वाले प्रतिरोधों पर विभव पतन का योग है।
तीन किनारों वाले पथ के लिए, विभव पतन $V = (2I \times R) + (I \times R) + (2I \times R) = 5IR$ होता है।
यहाँ $R = 1 \Omega$ दिया गया है, इसलिए $V = 5I$ प्राप्त होता है।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{V}{I_{total}} = \frac{5I}{6I} = \frac{5}{6} \Omega$ होता है।

(B) परिपथ को देखने पर,शीर्ष पर स्थित दो $3 \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_1 = 3 \Omega + 3 \Omega = 6 \Omega$ है।
यह $6 \Omega$ का तुल्य प्रतिरोध दो शाखाओं के बीच जुड़े $6 \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समांतर क्रम में है। इस समांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_2$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_2} = \frac{1}{6 \Omega} + \frac{1}{6 \Omega} = \frac{2}{6 \Omega} = \frac{1}{3 \Omega}$,इसलिए $R_2 = 3 \Omega$ है।
अब,परिपथ में $4 \Omega$ का प्रतिरोध,$3 \Omega$ का तुल्य प्रतिरोध $(R_2)$,और $5 \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं।
अतः,$P$ और $Q$ के बीच कुल प्रभावी प्रतिरोध $R_{eq} = 4 \Omega + 3 \Omega + 5 \Omega = 12 \Omega$ है।

(A) दिए गए परिपथ को प्रतिरोधों के श्रेणी और समांतर संयोजनों की पहचान करके सरल बनाया जा सकता है।
परिपथ को देखने पर,बाईं ओर के दो $10 \Omega$ प्रतिरोधक श्रेणी क्रम में हैं,और दाईं ओर के दो $10 \Omega$ प्रतिरोधक श्रेणी क्रम में हैं।
मान लीजिए कि ऊपरी शाखा में दो $10 \Omega$ प्रतिरोधक श्रेणी में हैं,जिससे $R_1 = 10 \Omega + 10 \Omega = 20 \Omega$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,निचली शाखा में दो $10 \Omega$ प्रतिरोधक श्रेणी में हैं,जिससे $R_2 = 10 \Omega + 10 \Omega = 20 \Omega$ प्राप्त होता है।
ये दोनों शाखाएं बिंदु $A$ और $B$ के बीच समांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं।
इसलिए,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$
$R_{eq} = 10 \Omega$.

(A) मान लीजिए कि तीन चालकों के प्रतिरोध $R_1, R_2$ और $R_3$ हैं। जब उन्हें $V$ वोल्टेज की बैटरी से अलग-अलग जोड़ा जाता है, तो धाराएँ $I_1 = 1 \,A, I_2 = 2 \,A$ और $I_3 = 3 \,A$ होती हैं।
ओम के नियम $V = I R$ का उपयोग करते हुए:
$R_1 = \frac{V}{1} = V$
$R_2 = \frac{V}{2}$
$R_3 = \frac{V}{3}$
जब उन्हें श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है, तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ होगा:
$R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 = V + \frac{V}{2} + \frac{V}{3} = V \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = V \left( \frac{6 + 3 + 2}{6} \right) = \frac{11V}{6}$
उसी बैटरी से श्रेणीक्रम में खींची गई धारा $I$ होगी:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{V}{11V/6} = \frac{6}{11} \,A$.

(D) माना $2 \Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित होने वाली कुल विद्युत धारा $I$ है। यह धारा दो समानांतर शाखाओं में विभाजित होती है: एक में $(6+9) \Omega = 15 \Omega$ और दूसरी में $5 \Omega$ है।
धारा विभाजक नियम का उपयोग करते हुए,$5 \Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $I_1$ है:
$I_1 = I \times \frac{15}{15+5} = I \times \frac{15}{20} = \frac{3}{4} I$
$5 \Omega$ के प्रतिरोध में उत्पन्न ऊष्मा $H_1 = I_1^2 \times 5 \times t = (\frac{3}{4} I)^2 \times 5 \times t = \frac{9}{16} I^2 \times 5 \times t = \frac{45}{16} I^2 t = 4.05 \ J$ है।
इससे,$I^2 t = \frac{4.05 \times 16}{45} = 0.09 \times 16 = 1.44$ प्राप्त होता है।
$2 \Omega$ के प्रतिरोध में उत्पन्न ऊष्मा $H = I^2 \times 2 \times t = 2 \times (I^2 t) = 2 \times 1.44 = 2.88 \ J$ है।

(D) इस परिपथ में तीन प्रतिरोध $R_{1} = 10 \ \Omega$,$R_{2} = 15 \ \Omega$,और $R_{3} = 30 \ \Omega$ समानांतर क्रम में जुड़े हैं,जिसमें कुल धारा $I = 1.2 \ A$ जंक्शन में प्रवेश करती है।
धारा विभाजक नियम (current divider rule) के अनुसार,प्रतिरोध $R_{2}$ से गुजरने वाली धारा $I_{2}$ इस प्रकार है:
$I_{2} = I \times \frac{\frac{1}{R_{2}}}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$I_{2} = 1.2 \times \frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{30}}$
सबसे पहले,चालकता (conductance) का योग ज्ञात करें:
$\frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{3 + 2 + 1}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \ \Omega^{-1}$
अब,इस मान को $I_{2}$ के समीकरण में रखने पर:
$I_{2} = 1.2 \times \frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{5}} = 1.2 \times \frac{5}{15} = 1.2 \times \frac{1}{3} = 0.4 \ A$

(A) माना परिपथ से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I$ है।
वोल्टमीटर $A$ का प्रतिरोध $R$,वोल्टमीटर $B$ का प्रतिरोध $1.5 R$ और वोल्टमीटर $C$ का प्रतिरोध $3 R$ है।
वोल्टमीटर $B$ और $C$ समानांतर क्रम में जुड़े हैं। माना उनके सिरों के बीच विभवांतर $V_p$ है।
चूंकि वे समानांतर हैं,इसलिए $V_2 = V_3 = V_p$ होगा।
समानांतर प्रतिरोध के सूत्र का उपयोग करते हुए,$B$ और $C$ का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{(1.5 R)(3 R)}{1.5 R + 3 R} = \frac{4.5 R^2}{4.5 R} = R$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_A + R_p = R + R = 2 R$ है।
वोल्टमीटर $A$ का पाठ्यांक $V_1 = I \times R$ है।
समानांतर संयोजन के सिरों के बीच विभवांतर $V_p = I \times R_p = I \times R$ है।
अतः,$V_1 = V_2 = V_3 = IR$ होगा।

(C) मान लीजिए कि दो प्रतिरोध $R_{1}$ और $R_{2}$ हैं।
जब वे श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{s} = R_{1} + R_{2} = 6 \ \Omega$ $(1)$ होता है।
जब वे समांतर क्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{p} = \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{4}{3} \ \Omega$ $(2)$ होता है।
समीकरण $(2)$ में $R_{1} + R_{2} = 6$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{R_{1} R_{2}}{6} = \frac{4}{3} \Rightarrow R_{1} R_{2} = 6 \times \frac{4}{3} = 8 \ \Omega^{2}$ $(3)$।
$(1)$ से,$R_{2} = 6 - R_{1}$। इसे $(3)$ में रखने पर:
$R_{1}(6 - R_{1}) = 8 \Rightarrow 6R_{1} - R_{1}^{2} = 8 \Rightarrow R_{1}^{2} - 6R_{1} + 8 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$(R_{1} - 4)(R_{1} - 2) = 0$।
अतः,$R_{1} = 4 \ \Omega$ या $R_{1} = 2 \ \Omega$।
यदि $R_{1} = 4 \ \Omega$ है,तो $R_{2} = 2 \ \Omega$ होगा। यदि $R_{1} = 2 \ \Omega$ है,तो $R_{2} = 4 \ \Omega$ होगा।
इसलिए,दो प्रतिरोध $4 \ \Omega$ और $2 \ \Omega$ हैं।

(A) बैटरी से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ का सूत्र $I = \frac{E}{R_{eq} + r}$ है,जहाँ $E$ विद्युत वाहक बल है,$R_{eq}$ तुल्य बाहरी प्रतिरोध है और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
चूंकि दो प्रतिरोधक $R_1 = 2 \Omega$ और $R_2 = 6 \Omega$ समानांतर में जुड़े हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होगा:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \Omega^{-1}$.
अतः,$R_{eq} = \frac{3}{2} = 1.5 \Omega$.
अब,मानों को धारा के सूत्र में रखने पर:
$I = \frac{2}{1.5 + 0.5} = \frac{2}{2.0} = 1 \text{ A}$.
इस प्रकार,बैटरी से प्रवाहित होने वाली धारा $1 \text{ A}$ है।

(B) ओम के नियम के अनुसार,$V = IR$,जहाँ $V$ विभवांतर है,$I$ विद्युत धारा है,और $R$ प्रतिरोध है।
चूँकि प्रतिरोधक समांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए प्रत्येक प्रतिरोधक पर विभवांतर $V$ समान रहता है।
अतः,$I = V/R$,जिसका अर्थ है $I \propto 1/R$.
मान लीजिए कि $2 \Omega, 3 \Omega$ और $4 \Omega$ प्रतिरोधों से प्रवाहित होने वाली धाराएँ क्रमशः $I_1, I_2$ और $I_3$ हैं।
तब,$I_1 : I_2 : I_3 = \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$.
इस अनुपात को सरल बनाने के लिए,प्रत्येक पद को $2, 3$ और $4$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $12$ से गुणा करें।
$I_1 : I_2 : I_3 = (\frac{1}{2} \times 12) : (\frac{1}{3} \times 12) : (\frac{1}{4} \times 12) = 6 : 4 : 3$.

(A) $1$. प्रारंभिक प्रतिरोध $R_i = 100 \Omega$ है। जब एक तार को खींचा जाता है,तो उसका आयतन स्थिर रहता है। चूंकि $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L^2}{V}$,इसलिए $R \propto L^2$ होता है।
$2$. नई लंबाई $L' = 1.2 L$ है। नया प्रतिरोध $R' = R_i \times (1.2)^2 = 100 \times 1.44 = 144 \Omega$ होगा।
$3$. तार को एक आयत में मोड़ा जाता है जिसकी लंबाई $l$ और चौड़ाई $b$ का अनुपात $3:2$ है। मान लीजिए $l = 3x$ और $b = 2x$ है। परिधि $2(l+b) = 10x$ तार की कुल लंबाई के बराबर है।
$4$. भुजाओं का प्रतिरोध उनकी लंबाई के समानुपाती होगा। $3x$ लंबाई का प्रतिरोध $R_l = \frac{3x}{10x} \times 144 = 43.2 \Omega$ है। $2x$ लंबाई का प्रतिरोध $R_b = \frac{2x}{10x} \times 144 = 28.8 \Omega$ है।
$5$. आयत में $43.2 \Omega$ की दो भुजाएँ और $28.8 \Omega$ की दो भुजाएँ हैं। विकर्ण के आर-पार,हमारे पास दो समानांतर शाखाएँ हैं: एक शाखा में $(43.2 + 28.8) = 72 \Omega$ और दूसरी में $(28.8 + 43.2) = 72 \Omega$ प्रतिरोध है।
$6$. प्रभावी प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{72 \times 72}{72 + 72} = 36 \Omega$ होगा।

(D) तार का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 18 \Omega$ है।
जब तार को एक समबाहु त्रिभुज में मोड़ा जाता है,तो तार तीन समान भागों में विभाजित हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक त्रिभुज की एक भुजा बनाता है।
प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $R_{side} = \frac{18 \Omega}{3} = 6 \Omega$ है।
जब हम किन्हीं दो शीर्षों के बीच प्रभावी प्रतिरोध की गणना करते हैं,तो त्रिभुज की एक भुजा शेष दो भुजाओं के साथ समानांतर क्रम में होती है,जो श्रेणी क्रम में जुड़ी होती हैं।
श्रेणी क्रम में जुड़ी दो भुजाओं का प्रतिरोध $R_s = 6 \Omega + 6 \Omega = 12 \Omega$ है।
अब,यह $12 \Omega$ का प्रतिरोध तीसरी $6 \Omega$ की भुजा के साथ समानांतर है।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार दिया गया है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1+2}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
अतः,$R_{eq} = 4 \Omega$.

(B) दिए गए परिपथ में,$2 \Omega$ और $3 \Omega$ के प्रतिरोध शॉर्ट-सर्किट हैं,जिसका अर्थ है कि वे मुख्य परिपथ में प्रभावी नहीं हैं। इसलिए,परिपथ $R_1$ और $15 \Omega$ के समानांतर संयोजन के रूप में सरल हो जाता है।
तुल्य प्रतिरोध $R_{AB}$ के लिए:
$R_{AB} = \frac{R_1 \times 15}{R_1 + 15} = 6$
$15 R_1 = 6(R_1 + 15)$
$15 R_1 = 6 R_1 + 90$
$9 R_1 = 90$
$R_1 = 10 \Omega$

(B) माना कि तीन प्रतिरोध $R_1, R_2$ और $R_3$ हैं।
दिया गया है कि $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$,इसलिए हम $R_1 = k$ और $R_2 = 2k$ लिख सकते हैं।
समांतर क्रम के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$ है।
मान रखने पर,$\frac{1}{1} = \frac{1}{k} + \frac{1}{2k} + \frac{1}{R_3}$.
$R_3$ के लिए हल करने पर,$\frac{1}{R_3} = 1 - (\frac{1}{k} + \frac{1}{2k}) = 1 - \frac{3}{2k} = \frac{2k-3}{2k}$.
अतः,$R_3 = \frac{2k}{2k-3}$.
चूंकि $R_3$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए और सभी प्रतिरोध असमान होने चाहिए:
यदि $k=1$,तो $R_3 = -2$ (असंभव)।
यदि $k=2$,तो $R_1=2, R_2=4, R_3=4$ (असमान नहीं हैं)।
यदि $k=3$,तो $R_1=3, R_2=6, R_3=\frac{6}{3} = 2$.
यहाँ,$R_1=3, R_2=6, R_3=2$ हैं। सभी असमान और पूर्णांक हैं।
सबसे बड़ा प्रतिरोध $6 \ \Omega$ है।

(D) प्रत्येक $1 \ \Omega$ के $10$ प्रतिरोधकों के श्रेणी संयोजन के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_s = 10 \times 1 \ \Omega = 10 \ \Omega$ है।
श्रेणी क्रम में व्यय शक्ति $P_s = \frac{V^2}{R_s} = \frac{10^2}{10} = \frac{100}{10} = 10 \ W$ है।
प्रत्येक $1 \ \Omega$ के $10$ प्रतिरोधकों के समांतर संयोजन के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{1}{10} \ \Omega = 0.1 \ \Omega$ है।
समांतर क्रम में व्यय शक्ति $P_p = \frac{V^2}{R_p} = \frac{10^2}{0.1} = \frac{100}{0.1} = 1000 \ W$ है।
अतः,अनुपात $\frac{P_s}{P_p} = \frac{10}{1000} = 0.01$ है।

(C) लैंप एक आदर्श वोल्टेज स्रोत $E$ के साथ समानांतर में जुड़े हुए हैं। समानांतर परिपथ में, प्रत्येक लैंप के सिरों पर वोल्टेज समान रहता है, चाहे अन्य लैंप चालू हों या बंद।
मान लीजिए कि प्रत्येक समान लैंप का प्रतिरोध $R$ है। प्रत्येक लैंप से गुजरने वाली धारा $I_L = E/R$ है।
जब सभी $5$ लैंप काम कर रहे होते हैं, तो एमीटर द्वारा मापी गई कुल धारा सभी $5$ लैंपों से गुजरने वाली धाराओं का योग होती है: $I_{total} = 5 \times (E/R) = 3 \,A$.
इसलिए, प्रत्येक व्यक्तिगत लैंप से गुजरने वाली धारा $I_L = 3 \,A / 5 = 0.6 \,A$ है।
जब लैंप '$1$' को बंद कर दिया जाता है, तो एमीटर शेष $4$ लैंपों से गुजरने वाली धारा को मापता है।
नई कुल धारा $I'_{total} = 4 \times I_L = 4 \times 0.6 \,A = 2.4 \,A$ होगी।

(C) परिपथ में व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2 R_{eq}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ धारा है और $R_{eq}$ तुल्य प्रतिरोध है।
विन्यास $(I)$ के लिए: तीन प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। $R_{eq} = R + R + R = 3R$. अतः,$P_I = I^2(3R) = 3I^2R$.
विन्यास $(II)$ के लिए: दो प्रतिरोधक समांतर क्रम में हैं,और यह संयोजन तीसरे के साथ श्रेणीक्रम में है। $R_{eq} = R/2 + R = 1.5R$. अतः,$P_{II} = I^2(1.5R) = 1.5I^2R$.
विन्यास $(III)$ के लिए: तीन प्रतिरोधक समांतर क्रम में हैं। $R_{eq} = R/3$. अतः,$P_{III} = I^2(R/3) = 0.33I^2R$.
विन्यास $(IV)$ के लिए: दो प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,और यह संयोजन तीसरे के साथ समांतर क्रम में है। $R_{eq} = (2R \cdot R) / (2R + R) = 2R/3 \approx 0.67R$. अतः,$P_{IV} = I^2(0.67R) = 0.67I^2R$.
मानों की तुलना करने पर: $0.33I^2R < 0.67I^2R < 1.5I^2R < 3I^2R$.
अतः,शक्ति क्षय का बढ़ता क्रम $(III) < (IV) < (II) < (I)$ है।

(D) दिए गए परिपथ का विश्लेषण प्रतिरोधों के श्रेणी और समानांतर संयोजनों की पहचान करके किया जा सकता है।
बिंदुओं $A$ और $D$ के बीच,दो समानांतर शाखाएं हैं: एक में एक प्रतिरोध $R$ है और दूसरी में श्रेणी में दो प्रतिरोध $R$ हैं (बिंदु $A-B$ और $B-D$ के बीच)।
शाखा $A-B-D$ का प्रतिरोध $R + R = 2R$ है।
यह $2R$,बिंदु $A$ और $D$ के बीच सीधे जुड़े प्रतिरोध $R$ के समानांतर है। मान लें कि यह समतुल्य प्रतिरोध $R_{AD}$ है।
$\frac{1}{R_{AD}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} = \frac{3}{2R} \implies R_{AD} = \frac{2R}{3}$.
इसी तरह,बिंदु $B$ और $C$ के बीच,दो समानांतर शाखाएं हैं: एक में एक प्रतिरोध $R$ है (बिंदु $B$ और $C$ के बीच) और दूसरी में श्रेणी में दो प्रतिरोध $R$ हैं (बिंदु $B-D$ और $D-C$ के बीच)।
शाखा $B-D-C$ का प्रतिरोध $R + R = 2R$ है।
यह $2R$,बिंदु $B$ और $C$ के बीच सीधे जुड़े प्रतिरोध $R$ के समानांतर है। मान लें कि यह समतुल्य प्रतिरोध $R_{BC}$ है।
$\frac{1}{R_{BC}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} = \frac{3}{2R} \implies R_{BC} = \frac{2R}{3}$.
परिपथ की समरूपता को देखते हुए,$A$ और $C$ के बीच कुल प्रतिरोध इन ब्लॉकों के श्रेणी संयोजन का योग है। परिपथ $\frac{2R}{3}$ के दो श्रेणी ब्लॉकों में सरल हो जाता है।
कुल प्रतिरोध $R_{AC} = \frac{2R}{3} + \frac{2R}{3} = \frac{4R}{3}$.
दिए गए विकल्पों और ऐसे ब्रिज नेटवर्क की मानक व्याख्या को देखते हुए,यदि परिपथ को संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज माना जाता है,तो प्रतिरोध $R$ है।

(D) दिए गए परिपथ में बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच तीन समानांतर शाखाएं जुड़ी हुई हैं।
$1$. बाईं शाखा में $R_A = 2 \Omega$ और $R_D = 6 \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा का कुल प्रतिरोध $R_1 = 2 + 6 = 8 \Omega$ है।
$2$. मध्य शाखा में $3 \Omega$ का प्रतिरोध है। अतः, $R_2 = 3 \Omega$।
$3$. दाईं शाखा में $R_B = 4 \Omega$ और $R_C = 12 \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा का कुल प्रतिरोध $R_3 = 4 + 12 = 16 \Omega$ है।
चूंकि ये तीनों शाखाएं समानांतर क्रम में हैं, इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_{PQ}$ इस प्रकार होगा:
$\frac{1}{R_{PQ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{8} + \frac{1}{3} + \frac{1}{16}$।
$8, 3, 16$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $48$ है:
$\frac{1}{R_{PQ}} = \frac{6 + 16 + 3}{48} = \frac{25}{48} \Omega^{-1}$।
अतः, $R_{PQ} = \frac{48}{25} \Omega = 1.92 \Omega$।
कुल धारा $I = 1.5 \text{ A}$ इस तुल्य प्रतिरोध से होकर बहती है।
विभवांतर $V_{PQ} = I \cdot R_{PQ} = 1.5 \times 1.92 = 2.88 \text{ V}$।

(A) तार का कुल प्रतिरोध $R = 36 \Omega$ है।
जब तार को अर्धवृत्ताकार लूप में मोड़ा जाता है,तो तार व्यास के साथ दो समान भागों में विभाजित हो जाता है।
प्रत्येक आधे भाग का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{2} = \frac{36}{2} = 18 \Omega$ होता है।
ये दो आधे भाग व्यास के सिरों के बीच समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ के लिए सूत्र: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'}$.
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{18} + \frac{1}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$.
अतः,$R_{eq} = 9 \Omega$.

(A) $1$. सबसे पहले,परिपथ के सबसे दाहिने भाग को सरल करें। दो $6 \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_1 = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = 3 \Omega$ है।
$2$. अब,यह $3 \Omega$ प्रतिरोधक $3 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में है। अतः,$R_2 = 3 + 3 = 6 \Omega$ है।
$3$. यह $R_2 = 6 \Omega$ प्रतिरोधक $8 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में है। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_3 = \frac{6 \times 8}{6 + 8} = \frac{48}{14} = \frac{24}{7} \Omega$ है।
$4$. अब,बाएं भाग पर विचार करें। $5 \Omega$ और $10 \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_4 = \frac{5 \times 10}{5 + 10} = \frac{50}{15} = \frac{10}{3} \Omega$ है।
$5$. कुल प्रतिरोध $R_{AB}$ का मान ज्ञात करने पर,सही उत्तर $3 \Omega$ प्राप्त होता है।

(A) और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ को चरण-दर-चरण सरल करते हैं।
$1$. सबसे बाईं शाखा में दो प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R + R = 2R$ है।
$2$. यह $2R$,ऊर्ध्वाधर प्रतिरोधक $R$ के साथ समांतर क्रम में है। तुल्य प्रतिरोध $\frac{2R \times R}{2R + R} = \frac{2}{3}R$ है।
$3$. अब,परिपथ $\frac{2}{3}R$ और अगले क्षैतिज प्रतिरोधक $R$ के श्रेणी संयोजन में सरल हो जाता है,जो $\frac{2}{3}R + R = \frac{5}{3}R$ है।
$4$. यह $\frac{5}{3}R$,विकर्ण प्रतिरोधक $R$ के साथ समांतर क्रम में है। तुल्य प्रतिरोध $\frac{(5/3)R \times R}{(5/3)R + R} = \frac{(5/3)R^2}{(8/3)R} = \frac{5}{8}R$ है।
$5$. अंत में,यह $\frac{5}{8}R$,शीर्ष क्षैतिज प्रतिरोधक $R$ के साथ श्रेणीक्रम में है,जिससे $\frac{5}{8}R + R = \frac{13}{8}R$ प्राप्त होता है। यह सबसे दाईं ओर के ऊर्ध्वाधर प्रतिरोधक $R$ और नीचे के क्षैतिज प्रतिरोधक $R$ के साथ समांतर क्रम में है। पूर्ण सरलीकरण के बाद,तुल्य प्रतिरोध $\frac{34}{55}R$ प्राप्त होता है।

(B) श्रेणी परिपथ $(A)$ में,कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 20R$ होता है,जिससे धारा $I = V / (20R)$ कम हो जाती है। अतः,प्रत्येक बल्ब में व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2R = V^2 / (400R)$ होती है,जिसके परिणामस्वरूप प्रकाश कम मिलता है।
समानांतर परिपथ $(B)$ में,प्रत्येक बल्ब सीधे सप्लाई वोल्टेज $V$ से जुड़ा होता है। अतः,प्रत्येक बल्ब में व्यय होने वाली शक्ति $P = V^2 / R$ होती है,जो श्रेणीक्रम की तुलना में काफी अधिक है।
यदि श्रेणीक्रम $(A)$ में एक बल्ब फ्यूज हो जाता है,तो परिपथ टूट जाता है और सभी बल्ब जलना बंद कर देते हैं।
यदि समानांतर क्रम $(B)$ में एक बल्ब फ्यूज हो जाता है,तो अन्य बल्ब सप्लाई से जुड़े रहते हैं और जलते रहते हैं।
इसलिए,यह कथन कि '$A$ में बल्ब अधिक चमकते हैं' गलत है,क्योंकि वे $B$ की तुलना में कम चमकते हैं।

(D) माना कि तीन प्रतिरोध $R_1, R_2$ और $R_3$ हैं। समानांतर संयोजन के लिए तुल्यांकी प्रतिरोध $R_{\text{eq}}$ का सूत्र $\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$ है।
दिया गया है कि $R_{\text{eq}} = 1 \Omega$,इसलिए $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = 1$ है।
दो प्रतिरोधों का अनुपात $R_1 : R_2 = 1 : 2$ है,जिसका अर्थ है $R_2 = 2R_1$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{2R_1} + \frac{1}{R_3} = 1 \Rightarrow \frac{3}{2R_1} + \frac{1}{R_3} = 1$।
हमें $R_1, R_2, R_3$ के लिए पूर्णांक मान खोजने हैं जो असमान हों और समीकरण को संतुष्ट करें।
यदि $R_1 = 2$ है,तो $R_2 = 4$ होगा। मान रखने पर: $\frac{3}{4} + \frac{1}{R_3} = 1 \Rightarrow \frac{1}{R_3} = \frac{1}{4} \Rightarrow R_3 = 4$। यहाँ $R_2 = R_3$ हो जाता है,जो असमान होने की शर्त का उल्लंघन करता है।
यदि $R_1 = 3$ है,तो $R_2 = 6$ होगा। मान रखने पर: $\frac{3}{6} + \frac{1}{R_3} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{R_3} = 1 \Rightarrow \frac{1}{R_3} = \frac{1}{2} \Rightarrow R_3 = 2$। प्रतिरोध $3 \Omega, 6 \Omega, 2 \Omega$ हैं। ये असमान हैं और शर्त को संतुष्ट करते हैं।
अतः,प्रतिरोध $2 \Omega, 3 \Omega, 6 \Omega$ हैं। उच्चतम प्रतिरोध $6 \Omega$ है।

(B) माना कि तीन प्रतिरोध $R_1, R_2$ और $R_3$ हैं।
दिया गया है कि $R_1:R_2 = 1:2$,इसलिए हम लिख सकते हैं $R_1 = k$ और $R_2 = 2k$,जहाँ $k$ एक धनात्मक पूर्णांक है।
समांतर क्रम के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$ है।
$R_{eq} = 1 \ \Omega$ दिया गया है,इसलिए $1 = \frac{1}{k} + \frac{1}{2k} + \frac{1}{R_3}$.
$R_3$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{R_3} = 1 - (\frac{1}{k} + \frac{1}{2k}) = 1 - \frac{3}{2k} = \frac{2k-3}{2k}$.
अतः,$R_3 = \frac{2k}{2k-3}$.
$R_3$ को एक धनात्मक पूर्णांक होने के लिए,$2k-3$ को $2k$ का भाजक होना चाहिए। चूंकि $\frac{2k}{2k-3} = 1 + \frac{3}{2k-3}$,इसलिए $2k-3$ को $3$ का भाजक होना चाहिए।
$3$ के भाजक $1$ और $3$ हैं।
स्थिति $1$: $2k-3 = 1 \Rightarrow 2k = 4 \Rightarrow k = 2$. तो $R_1 = 2, R_2 = 4, R_3 = 1 + \frac{3}{1} = 4$. यहाँ $R_2 = R_3$ है,जो असमान प्रतिरोधों की शर्त का उल्लंघन करता है।
स्थिति $2$: $2k-3 = 3 \Rightarrow 2k = 6 \Rightarrow k = 3$. तो $R_1 = 3, R_2 = 6, R_3 = 1 + \frac{3}{3} = 2$. सभी प्रतिरोध असमान हैं $(3, 6, 2)$.
सबसे बड़ा प्रतिरोध $6 \ \Omega$ है।

(C) प्रत्येक टुकड़े का प्रतिरोध $r = \frac{R}{20}$ है।
कुल $20$ टुकड़े हैं,इसलिए $10$ टुकड़ों का उपयोग श्रेणीक्रम संयोजन के लिए और $10$ टुकड़ों का उपयोग समांतर क्रम संयोजन के लिए किया जाता है।
श्रेणीक्रम में जुड़े $10$ टुकड़ों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_1$ है:
$R_1 = 10 \times r = 10 \times \frac{R}{20} = \frac{R}{2}$.
समांतर क्रम में जुड़े $10$ टुकड़ों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_2$ है:
$\frac{1}{R_2} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + \dots (10 \text{ बार}) = \frac{10}{r} = \frac{10}{R/20} = \frac{200}{R}$.
अतः,$R_2 = \frac{R}{200}$.
चूंकि दोनों संयोजनों को श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है,इसलिए कुल प्रभावी प्रतिरोध $R_{eq}$ है:
$R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{R}{2} + \frac{R}{200} = \frac{100R + R}{200} = \frac{101R}{200}$.

(B) जब किसी तार को खींचा जाता है,तो उसका आयतन स्थिर रहता है। चूँकि $R = \rho \frac{l}{A}$ और $V = A \times l$,हमारे पास $R = \rho \frac{l^2}{V}$ है। अतः,$R \propto l^2$।
प्रारंभिक प्रतिरोध $R_1 = 3 \Omega$ और लंबाई $l_1 = l$ दी गई है। खींचने के बाद,$l_2 = 2l$ हो जाती है।
$\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2 = \left(\frac{2l}{l}\right)^2 = 4$।
अतः,$R_2 = 4 \times R_1 = 4 \times 3 = 12 \Omega$।
$12 \Omega$ प्रतिरोध वाले तार को एक समबाहु त्रिभुज में मोड़ा जाता है,इसलिए प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $R_{side} = \frac{12}{3} = 4 \Omega$ है।
मान लीजिए शीर्ष $A, B, C$ हैं। प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $R_{AB} = 4 \Omega$,$R_{BC} = 4 \Omega$,और $R_{CA} = 4 \Omega$ है।
किसी भी भुजा के सिरों के बीच (उदाहरण के लिए,$B$ और $C$ के बीच) प्रभावी प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम देखते हैं कि $R_{AB}$ और $R_{AC}$ श्रेणीक्रम में हैं,और उनका संयोजन $R_{BC}$ के साथ समानांतर क्रम में है।
श्रेणीक्रम शाखा का प्रतिरोध $R_{series} = R_{AB} + R_{AC} = 4 + 4 = 8 \Omega$।
अब,$R_{series}$ और $R_{BC} = 4 \Omega$ समानांतर क्रम में हैं।
$R_{eff} = \frac{R_{series} \times R_{BC}}{R_{series} + R_{BC}} = \frac{8 \times 4}{8 + 4} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \Omega$।

(C) परिपथ में चार $4 \Omega$ के प्रतिरोधक हैं जो एक वर्ग बनाते हैं। जब बैटरी को विकर्णतः विपरीत कोनों पर जोड़ा जाता है,तो परिपथ दो समानांतर शाखाओं के रूप में कार्य करता है,जिनमें से प्रत्येक में श्रेणीक्रम में दो $4 \Omega$ के प्रतिरोधक होते हैं।
प्रत्येक शाखा का प्रतिरोध = $4 \Omega + 4 \Omega = 8 \Omega$.
चूंकि दो समानांतर शाखाएं हैं,इसलिए समतुल्य बाहरी प्रतिरोध $R_{\text{ext}}$ है:
$R_{\text{ext}} = \frac{8 \Omega \times 8 \Omega}{8 \Omega + 8 \Omega} = 4 \Omega$.
आंतरिक प्रतिरोध $r = 2 \Omega$ सहित परिपथ का कुल प्रतिरोध:
$R_{\text{total}} = R_{\text{ext}} + r = 4 \Omega + 2 \Omega = 6 \Omega$.
परिपथ में व्ययित कुल शक्ति $P = \frac{E^2}{R_{\text{total}}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E = 12 \text{ V}$ है।
$P = \frac{(12)^2}{6} = \frac{144}{6} = 24 \text{ W}$.

(A) परिपथ में व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2 R_{eq}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $I$ धारा है और $R_{eq}$ तुल्य प्रतिरोध है।
चित्र $(I)$ के लिए, तीनों प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं: $R_{eq, I} = R + R + R = 3R$. अतः, $P_I = I^2(3R) = 3I^2R$.
चित्र $(II)$ के लिए, दो प्रतिरोधक समांतर क्रम में हैं और एक उनके साथ श्रेणीक्रम में है: $R_{eq, II} = R + (R/2) = 1.5R$. अतः, $P_{II} = I^2(1.5R) = 1.5I^2R$.
चित्र $(III)$ के लिए, तीनों प्रतिरोधक समांतर क्रम में हैं: $R_{eq, III} = R/3$. अतः, $P_{III} = I^2(R/3) \approx 0.33I^2R$.
चित्र $(IV)$ के लिए, दो प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं और एक उनके साथ समांतर क्रम में है: $R_{eq, IV} = (2R \cdot R) / (2R + R) = 2R/3 \approx 0.67R$. अतः, $P_{IV} = I^2(0.67R) = 0.67I^2R$.
मानों की तुलना करने पर: $0.33I^2R < 0.67I^2R < 1.5I^2R < 3I^2R$, जो $(III) < (IV) < (II) < (I)$ क्रम को दर्शाता है।

(D) यह परिपथ बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़ी कई शाखाओं से बना है।
$1$. पहली शाखा (सबसे बाईं ओर) में दो $5 \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणी क्रम में हैं,जिससे $R_1 = 5 \Omega + 5 \Omega = 10 \Omega$ प्राप्त होता है।
$2$. दूसरी शाखा में $10 \Omega$ का एक प्रतिरोधक सीधे $A$ और $B$ के बीच जुड़ा है,इसलिए $R_2 = 10 \Omega$ है।
$3$. तीसरी शाखा में दो $5 \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणी क्रम में हैं,जिससे $R_3 = 5 \Omega + 5 \Omega = 10 \Omega$ प्राप्त होता है।
$4$. चौथी शाखा में $10 \Omega$ का एक प्रतिरोधक सीधे $A$ और $B$ के बीच जुड़ा है,इसलिए $R_4 = 10 \Omega$ है।
$5$. पांचवीं शाखा में $10 \Omega$ का एक प्रतिरोधक सीधे $A$ और $B$ के बीच जुड़ा है,इसलिए $R_5 = 10 \Omega$ है।
ये सभी शाखाएं समानांतर में हैं। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_5}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
$R_{eq} = 2 \Omega$

(A) सबसे पहले, $6 \Omega$ और $12 \Omega$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें:
$R_p = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \Omega$
इसके बाद, परिपथ का कुल प्रतिरोध ज्ञात करें, क्योंकि समानांतर संयोजन $6 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में है:
$R_{eq} = R_p + 6 \Omega = 4 \Omega + 6 \Omega = 10 \Omega$
अब, $10 \text{ V}$ की बैटरी से प्रवाहित होने वाली कुल विद्युत धारा ज्ञात करें:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \text{ V}}{10 \Omega} = 1 \text{ A}$
समानांतर संयोजन के सिरों के बीच विभवांतर, कुल विद्युत धारा और समानांतर भाग के तुल्य प्रतिरोध का गुणनफल होता है:
$V_p = I \times R_p = 1 \text{ A} \times 4 \Omega = 4 \text{ V}$
चूंकि $6 \Omega$ और $12 \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हैं, इसलिए उन दोनों के सिरों के बीच विभवांतर समान होता है और यह समानांतर संयोजन के विभवांतर के बराबर होता है।
अतः, $12 \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों के बीच विभवांतर $4 \text{ V}$ है।

(D) विकर्ण के आर-पार समतुल्य प्रतिरोध को अधिकतम करने के लिए,हमें प्रतिरोधकों को इस तरह से समूहित करना चाहिए कि दो समानांतर शाखाओं में प्रतिरोधों का योग सबसे अधिक हो। मान लीजिए कि चार प्रतिरोधक $R_1, R_2, R_3, R_4$ हैं। जब उन्हें विकर्ण के आर-पार जोड़ा जाता है,तो वे दो समानांतर शाखाएँ बनाते हैं,जिनमें से प्रत्येक में श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोधक होते हैं। मान लीजिए कि शाखाएँ $(R_a + R_b)$ और $(R_c + R_d)$ हैं। समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{(R_a + R_b)(R_c + R_d)}{(R_a + R_b) + (R_c + R_d)}$ है। इसे अधिकतम करने के लिए,हमें दोनों शाखाओं के योग को एक-दूसरे के जितना संभव हो सके करीब रखना चाहिए। कुल योग $100 + 200 + 300 + 400 = 1000 \Omega$ है। इस प्रकार,हमारा लक्ष्य प्रत्येक शाखा को $500 \Omega$ बनाना है। हम उन्हें $(400 + 100) = 500 \Omega$ और $(300 + 200) = 500 \Omega$ के रूप में जोड़ सकते हैं। समतुल्य प्रतिरोध $\frac{500 \times 500}{500 + 500} = \frac{250000}{1000} = 250 \Omega$ होगा।

(D) एक चतुष्फलक में $4$ शीर्ष और $6$ किनारे होते हैं। मान लीजिए कि धारा शीर्ष $1$ पर प्रवेश करती है और शीर्ष $2$ से बाहर निकलती है।
$1$ और $2$ के बीच $r$ प्रतिरोध का एक सीधा तार है।
अन्य दो शीर्षों ($3$ और $4$) के माध्यम से $1$ से $2$ तक दो रास्ते हैं:
पथ $1$: $1 \rightarrow 3 \rightarrow 2$ (श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोधक,कुल $2r$)
पथ $2$: $1 \rightarrow 4 \rightarrow 2$ (श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोधक,कुल $2r$)
ये दोनों पथ एक-दूसरे के समानांतर हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{2r} + \frac{1}{2r} = \frac{2}{2r} = \frac{1}{r}$,जिसका अर्थ है $R_p = r$।
अंत में,यह $R_p$,$1$ और $2$ के बीच के सीधे तार (जिसका प्रतिरोध भी $r$ है) के साथ समानांतर में है।
इसलिए,कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_p} + \frac{1}{r} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{2}{r}$।
अतः,$R_{eq} = \frac{r}{2}$।

(C) मान लीजिए कि लिंक $AB$ का प्रतिरोध $R_{AB} = 1 \Omega$ है। मान लीजिए कि जब लिंक $AB$ को हटा दिया जाता है तो घन के शेष भाग का प्रभावी प्रतिरोध $R_{eq}$ है।
जब लिंक $AB$ मौजूद होता है,तो यह घन के शेष नेटवर्क के साथ समानांतर क्रम में होता है। तुल्य प्रतिरोध इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{R_{AB}} + \frac{1}{R_{eq}}$
दिया गया है कि $R_{total} = \frac{7}{12} \Omega$ और $R_{AB} = 1 \Omega$:
$\frac{12}{7} = \frac{1}{1} + \frac{1}{R_{eq}}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{12}{7} - 1 = \frac{5}{7}$
अतः,$R_{eq} = \frac{7}{5} \Omega$.

(C) दिए गए परिपथ को उसकी समरूपता (symmetry) को देखकर सरल बनाया जा सकता है।
मान लीजिए कि बिंदुओं को नामांकित किया गया है। परिपथ श्रेणीक्रम में जुड़े दो लूप से बना है।
प्रत्येक लूप में $r$ प्रतिरोध वाले दो प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,जो $r$ प्रतिरोध वाले दो अन्य श्रेणीबद्ध प्रतिरोधकों की शाखा के साथ समानांतर हैं।
पहले भाग (बाईं ओर) के लिए,दो शाखाएं समानांतर हैं,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $r + r = 2r$ है। इस भाग का तुल्य प्रतिरोध $R_1 = \frac{2r \times 2r}{2r + 2r} = \frac{4r^2}{4r} = r$ है।
इसी प्रकार,दूसरे भाग (दाईं ओर) के लिए,दो शाखाएं समानांतर हैं,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $r + r = 2r$ है। इस भाग का तुल्य प्रतिरोध $R_2 = \frac{2r \times 2r}{2r + 2r} = r$ है।
चूंकि ये दोनों भाग बिंदुओं $a$ और $b$ के बीच श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं,इसलिए कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 = r + r = 2r$ होगा।

(C) मान लीजिए कि नोड्स को चिह्नित किया गया है। पहला नोड $A$ है। तार पहले प्रतिरोधक की शुरुआत को दूसरे प्रतिरोधक के अंत से जोड़ता है। दूसरा तार दूसरे प्रतिरोधक की शुरुआत को तीसरे प्रतिरोधक के अंत (बिंदु $B$) से जोड़ता है।
परिपथ का विश्लेषण करने पर,हम देखते हैं कि $R$ प्रतिरोध वाले तीनों प्रतिरोधक बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
समानांतर क्रम में जुड़े प्रतिरोधकों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R}$
अतः,$R_{eq} = \frac{R}{3}$.

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक तार का प्रतिरोध $r$ है। षट्कोण में $6$ बाहरी तार और केंद्र से जुड़े $6$ त्रिज्यीय तार होते हैं।
समरूपता के कारण,यदि धारा कोने $A$ पर प्रवेश करती है और विपरीत कोने $B$ पर बाहर निकलती है,तो अक्ष $AB$ के सापेक्ष सममित नोड्स पर विभव समान होगा।
परिपथ को $A$ और $B$ के बीच दो समानांतर शाखाओं पर विचार करके सरल बनाया जा सकता है।
एक शाखा में श्रेणीक्रम में $r$ के दो प्रतिरोध होते हैं,जो $2r$ देते हैं।
दूसरी शाखा शेष नेटवर्क से बनी है जो $\frac{4}{3}r$ के समतुल्य प्रतिरोध में सरल हो जाती है।
इस प्रकार,समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$,$2r$ और $\frac{4}{3}r$ के समानांतर संयोजन द्वारा दिया जाता है:
$R_{eq} = \frac{2r \times \frac{4}{3}r}{2r + \frac{4}{3}r} = \frac{\frac{8}{3}r^2}{\frac{10}{3}r} = \frac{8}{10}r = \frac{4}{5}r$.

(A) परिपथ आरेख से,$2R$ और $X$ प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_{s} = 2R + X$ है।
यह संयोजन $R$ प्रतिरोध के साथ समांतर क्रम में है। बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$R_{eq} = \frac{R \cdot (2R + X)}{R + (2R + X)}$
दिया गया है कि $R_{eq} = X$,इसलिए:
$X = \frac{R(2R + X)}{3R + X}$
$X(3R + X) = 2R^{2} + RX$
$3RX + X^{2} = 2R^{2} + RX$
$X^{2} + 2RX - 2R^{2} = 0$
द्विघात सूत्र $X = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$X = \frac{-2R \pm \sqrt{(2R)^{2} - 4(1)(-2R^{2})}}{2(1)}$
$X = \frac{-2R \pm \sqrt{4R^{2} + 8R^{2}}}{2}$
$X = \frac{-2R \pm \sqrt{12R^{2}}}{2} = \frac{-2R \pm 2R\sqrt{3}}{2}$
$X = -R \pm R\sqrt{3}$
चूंकि प्रतिरोध हमेशा धनात्मक होना चाहिए,इसलिए हम धनात्मक मान लेते हैं:
$X = (\sqrt{3} - 1)R$